Фундаментальные исследования. Приложение б

Всем привет!

Эта статья посвящается удивительным особенностям в мире хаоса. Я постараюсь рассказать о том, как обуздать такую странную и сложную вещь, как хаотический процесс и научиться создавать собственные простейшие генераторы хаоса. Вместе с вами мы пройдем путь от сухой теории до прекрасной визуализации хаотических процессов в пространстве. В частности, на примере известных хаотических аттракторов, я покажу как создавать динамические системы и использовать их в задачах, связанных с программируемыми логическими интегральными схемами (ПЛИС).

Введение

Теория хаоса – необычная и молодая наука, описывающая поведение нелинейных динамических систем. В процессе своего зарождения теория хаоса просто перевернула современную науку! Она будоражила умы учёных и заставляла их все больше и больше погружаться в исследования хаоса и его свойств. В отличие от шума, который является случайным процессом, хаос – детерминирован. То есть для хаоса существует закон изменения величин, входящих в уравнения описания хаотического процесса. Казалось бы, при таком определении хаос ничем не отличается от любых других колебаний, описываемых в виде функции. Но это не так. Хаотические системы очень чувствительны к начальным условиям, и малейшие их изменения могут привести к колоссальным различиям. Эти различия могут быть настолько сильными, что невозможно будет сказать, одна или несколько систем подвергались исследованию. Из научно-популярных источников лучше всего это свойство хаоса описывает процесс под названием "эффект бабочки ". Многие слышали о нем, и даже читали книги и смотрели фильмы, в которых использовался прием с использованием эффекта бабочки. В сущности, эффект бабочки отражает главное свойство хаоса.

Американский ученый Эдвард Лоренц, один из первопроходцев в области хаоса, сказал однажды:

Бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии.

Итак, окунемся в теорию хаоса и посмотрим, какими подручными средствами можно генерировать хаос.

Теория

Перед изложением основного материала, хотелось бы дать несколько определений, которые помогут понять и прояснить некоторые моменты в статье.

Динамическая система – это некоторое множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временной координатой и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Проще говоря, динамическая система – это такая система, у которой состояние в пространстве изменяется с течением времени.
Многие физические процессы в природе описываются системами уравнений, представляющими собой динамические системы. Например, это процессы горения, течения жидкости и газов, поведение магнитных полей и электрических колебаний, химические реакции, метеорологические явления, изменение популяций у растений и животных, турбулентности в морских течениях, движение планет и даже галактик. Как видите, многие физические явления можно в той или иной мере описать как хаотический процесс.

Фазовый портрет – это координатная плоскость, в которой каждая точка соответствует состоянию динамической системы в определенный момент времени. Иными словами, это пространственная модель системы (может быть двумерной, трехмерной и даже четырехмерной и более).

Аттрактор – некоторое множество фазового пространства динамической системы, для которого все траектории с течением времени притягиваются к этому множеству. Если совсем простым языком, то это некоторая область, в которой сосредоточено поведение системы в пространстве. Многие хаотические процессы представляют собой аттракторы, т. к. сосредоточены в определенной области пространства.

Реализация

В этой статье я хотел бы рассказать о четырех основных аттракторах – Лоренца, Ресслера, Рикитаке и Нозе-Гувера. Помимо теоретического описания в статье отражены аспекты по созданию динамических систем в среде MATLAB Simulink и дальнейшей их интеграции в FPGA фирмы Xilinx с помощью средства System Generator . Почему не VHDL/Verilog? Можно синтезировать аттракторы и с помощью RTL-языков, но для лучшей визуализации всех процессов MATLAB является идеальным вариантом. Я не буду затрагивать сложные моменты, связанные с расчетом спектра показателей Ляпунова или построения сечений Пуанкаре. И уж тем более никаких громоздких математических формул и выводов не будет. Итак, приступим.

Для создания генераторов хаоса нам потребуется следующий софт:

• MATLAB R2014 с лицензией на Simulink и DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 с лицензией на System-Generator (DSP Edition)

Эти программы достаточно тяжелые, поэтому наберитесь терпения при их установке. Установку лучше начать с MATLAB, а уже затем поставить софт Xilinx (при другой последовательности некоторым моим знакомым не удалось интегрировать одно приложение в другое). При установке последнего выскакивает окно, где можно связать Simulink и System Generator. Ничего сложного и необычного в установке нет, поэтому этот процесс опустим.

Аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца – это, пожалуй, самая известная динамическая система в теории хаоса. Уже несколько десятков лет он привлекает большое внимание многих исследователей для описания тех или иных физических процессов. Первое упоминание аттрактора приводится в 1963 году в работах Э. Лоренца, который занимался моделированием атмосферных явлений. Аттрактор Лоренца – это трехмерная динамическая система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Она имеет сложную топологическую структуру, асимптотически устойчива и устойчива по Ляпунову. Аттрактор Лоренца описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

В формуле точка над параметром означает взятие производной, которая отражает скорость изменения величины по параметру (физический смысл производной).

При значениях параметров σ = 10, r = 28 и b = 8/3 эта простая динамическая система была получена Э. Лоренцом. Он долго не мог понять, что происходит с его вычислительной машиной, пока наконец не осознал, что система проявляет хаотические свойства! Она была получена в ходе экспериментов для задачи о моделировании конвекции жидкости. Кроме того, эта динамическая система описывает поведение следующих физических процессов:

• – модель одномодового лазера,
• – конвекция в замкнутой петле и плоском слое,
• – вращение водяного колеса,
• – гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью,
• – завихрения облачных масс и т.д.

На следующем рисунке приведена система аттрактора Лоренца в среде MATLAB:

На рисунке используется ряд следующих обозначений:

• вычитатели: SUB0-3 ;
• умножители на константу: SIGMA, B, R ;
• перемножители: MULT0-1 ;
• интеграторы с ячейкой задания начального условия: INTEGRATOR X,Y,Z ;
• выходные порты OUT: DATA X,Y,Z для сигналов XSIG, YSIG, ZSIG ;

Кроме того, на схеме представлены вспомогательные инструменты анализа, это:

• сохранение результатов вычисления в файл: To Workspace X,Y,Z ;
• построение пространственных графиков: Graph XY, YZ, XZ ;
• построение временных графиков: Scope XYZ ;
• средства для оценки занимаемых ресурсов кристалла и генерации HDL-кода из модели «Resource Estimator » и «System Generator ».

Внутри каждого узла математических операций необходимо указать разрядность промежуточных данных и их тип. К сожалению, в ПЛИС не так-то просто работать с плавающей точкой и в большинстве случаев все операции производятся в формате с фиксированной точкой. Неправильное задание параметров может привести к неверным результатам и огорчить вас при построении своих систем. Я экспериментировал с разными величинами, но остановился на следующем типе данных: 32-битный вектор знаковых чисел в формате с фиксированной точкой. 12 битов отводится на целую часть, 20 битов на дробную часть.

Установив в интеграторах X, Y, Z в блоке триггера начальное значение системы, например, {10, 0, 0} , я запустил модель. Во временной развертке можно наблюдать три следующих сигнала:


Даже если время моделирования устремить к бесконечности, то реализация во времени никогда не повторится. Хаотические процессы непериодичны.

В трехмерном пространстве аттрактор Лоренца выглядит следующим образом:

Видно, что аттрактор имеет две точки притяжения, вокруг которых происходит весь процесс. При незначительном изменении начальных условий процесс также будет сосредоточен вокруг этих точек, но его траектории будут существенно отличаться от предыдущего варианта.

Аттрактор Рёсслера

Второй по количеству упоминаний в научных статьях и публикациях аттрактор. Для аттрактора Рёсслера характерно наличие граничной точки проявления хаотических или периодических свойств. При определенных параметрах динамической системы колебания перестают быть периодическими, и возникают хаотические колебания. Одно из примечательных свойств аттрактора Рёсслера - фрактальная структура в фазовой плоскости, то есть явление самоподобия. Можно заметить, что и остальные аттракторы, как правило, обладают этим свойством.

Аттрактор Рёсслера наблюдается во многих системах. Например, он применяется для описания потоков жидкости, а также для описания поведения различных химических реакций и молекулярных процессов. Система Рёсслера описывается следующими дифференциальными уравнениями:

В среде MATLAB аттрактор строится следующим образом:

Временная реализация пространственных величин:

Трехмерная модель аттрактора Рёсслера:

Бац! Чуть-чуть изменились значения:

Аттрактор при слегка измененных начальных условиях (траектории отличаются!)

Аттрактор при иных коэффициентах в системе уравнений (хаотический процесс превратился в периодический!)

Сравните картинки трехмерных аттракторов при разных начальных условиях и коэффициентах в системе уравнений. Видите, как резко изменились траектории движения в первом случае? Но так или иначе они сосредоточены вблизи единой области притяжения. Во втором случае аттрактор вообще перестал подавать признаки хаоса, превратившись в замкнутую периодическую петлю (предельный цикл).

Аттрактор Рикитаке

Динамо Рикитаке – одна из известных динамических систем третьего порядка с хаотическим поведением. Представляет собой модель двухдискового динамо и впервые была предложена в задачах о хаотической инверсии геомагнитного поля Земли. Ученый Рикитаке исследовал систему динамо с двумя взаимосвязанными дисками построенную таким образом, что ток из одной катушки диска перетекал в другую и производил возбуждение второго диска, и наоборот. В определенный момент система начала сбоить и показывать непредсказуемые вещи. Активные исследования аттрактора позволили спроецировать динамо Рикитаке на модель связи больших вихрей магнитных полей в ядре Земли.

Динамо Рикитаке описывается следующей системой уравнений:

Модель динамо Рикитаке в MATLAB:

Временная реализация:

Аттрактор (первая версия):

Динамо (вторая версия)

Можно заметить, что динамо Рикитаке в чем-то похоже на аттрактор Лоренца, но это совершенно разные системы и описывают разные физические процессы!

Аттрактор Нозе-Гувера

Менее знаменитая, но не менее важная трехмерная динамическая система – термостат Нозе-Гувера . Используется в молекулярной теории как обратимая во времени термостатическая система. К сожалению, про этот аттрактор я знаю не так много, как про остальные, но мне он показался интересным и я включил его в обзор.

Термостат Нозе-Гувера описывается следующей системой уравнений:

Модель Нозе-Гувера в MATLAB:

Временная реализация:

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Аттрактор Рёсслера - хаотический аттрактор , которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера :

$\backslash left\; \backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{dy\}\{dt\}\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{dz\}\{dt\}\; =\; b\; +\; z(x-c)\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.$ ;

где $a,b,c$ - положительные постоянные. При значениях параметров $a\; =\; b\; =\; 0,2$ и $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом . При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода. Сразу же за точкой $c\; =\; 4,2$ возникает явление хаотического аттрактора . Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала .

Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{dy\}\{dt\}\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.$

Устойчивые решения для $x,\; y$ могут быть найдены вычислением собственного вектора матрицы Якоби вида , для которой $\backslash frac\; \{a\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; 4\}\}\; \{2\}$.

{2}

Отсюда видно, что когда , собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассматривать плоскость $Z$ в том же диапазоне $a$. Пока $x$ меньше $c$, параметр $c$ будет удерживать траекторию близкую к плоскости $x,\; y$. Как только $x$ станет больше $c$, $z$-координата начнёт увеличиваться, а чуть позже параметр $-z$ будет тормозить рост $x$ в $\backslash frac\; \{dx\}\; \{dt\}$.

Точки равновесия

Для того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и $xyz$-координаты каждой точки равновесия находятся путём решения полученных уравнений. В итоге:

$\backslash left\; \backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; \backslash frac\{c\backslash pm\backslash sqrt\{c^2-4ab\}\}\{2\}\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac\{c\backslash pm\backslash sqrt\{c^2-4ab\}\}\{2a\}\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac\{c\backslash pm\backslash sqrt\{c^2-4ab\}\}\{2a\}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.$

Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёсслера, одна из этих неподвижных точек находится в центре аттрактора, а другие лежат сравнительно далеко от центра.

Изменение параметров a, b и c

Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего система может сойтись к периодической орбите, к неподвижной точке или устремиться в бесконечность. Количество периодов аттрактора Рёсслера определяется числом его витков вокруг центральной точки, которые возникают перед серией петель.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в которые включён и аттрактор Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра a

Зафиксируем $b\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ и будем изменять $a$.

В итоге опытным путём получим такую таблицу:

• $a\; \backslash leq\; 0$: Сходится к устойчивой точке.
• $a\; =\; 0.1$: Крутится с периодом 2.
• $a\; =\; 0.2$: Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
• $a\; =\; 0.3$: Хаотичный аттрактор.
• $a\; =\; 0.35$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
• $a\; =\; 0.38$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра b

Зафиксируем $a\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ и будем менять теперь параметр $b$. Как видно из рисунка, при $b$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда $b$ станет больше $a$ и $c$, система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра c

Зафиксируем $a\; =\; b\; =\; 0.1$ и будем изменять $c$. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких $c$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении $c$. Например при $c$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда $c$ = 3 и так далее; пока $c$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений $c$, которые иллюстрируют общее поведение таких систем - частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Напишите отзыв о статье "Аттрактор Рёсслера"

Примечания

Ссылки

• Конструктор

Литература

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0 , гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.

Отрывок, характеризующий Аттрактор Рёсслера

– Пропустите, я вам говорю, – опять повторил, поджимая губы, князь Андрей.
– А ты кто такой? – вдруг с пьяным бешенством обратился к нему офицер. – Ты кто такой? Ты (он особенно упирал на ты) начальник, что ль? Здесь я начальник, а не ты. Ты, назад, – повторил он, – в лепешку расшибу.
Это выражение, видимо, понравилось офицеру.
– Важно отбрил адъютантика, – послышался голос сзади.
Князь Андрей видел, что офицер находился в том пьяном припадке беспричинного бешенства, в котором люди не помнят, что говорят. Он видел, что его заступничество за лекарскую жену в кибиточке исполнено того, чего он боялся больше всего в мире, того, что называется ridicule [смешное], но инстинкт его говорил другое. Не успел офицер договорить последних слов, как князь Андрей с изуродованным от бешенства лицом подъехал к нему и поднял нагайку:
– Из воль те про пус тить!
Офицер махнул рукой и торопливо отъехал прочь.
– Всё от этих, от штабных, беспорядок весь, – проворчал он. – Делайте ж, как знаете.
Князь Андрей торопливо, не поднимая глаз, отъехал от лекарской жены, называвшей его спасителем, и, с отвращением вспоминая мельчайшие подробности этой унизи тельной сцены, поскакал дальше к той деревне, где, как ему сказали, находился главнокомандующий.
Въехав в деревню, он слез с лошади и пошел к первому дому с намерением отдохнуть хоть на минуту, съесть что нибудь и привесть в ясность все эти оскорбительные, мучившие его мысли. «Это толпа мерзавцев, а не войско», думал он, подходя к окну первого дома, когда знакомый ему голос назвал его по имени.
Он оглянулся. Из маленького окна высовывалось красивое лицо Несвицкого. Несвицкий, пережевывая что то сочным ртом и махая руками, звал его к себе.
– Болконский, Болконский! Не слышишь, что ли? Иди скорее, – кричал он.
Войдя в дом, князь Андрей увидал Несвицкого и еще другого адъютанта, закусывавших что то. Они поспешно обратились к Болконскому с вопросом, не знает ли он чего нового. На их столь знакомых ему лицах князь Андрей прочел выражение тревоги и беспокойства. Выражение это особенно заметно было на всегда смеющемся лице Несвицкого.
– Где главнокомандующий? – спросил Болконский.
– Здесь, в том доме, – отвечал адъютант.
– Ну, что ж, правда, что мир и капитуляция? – спрашивал Несвицкий.
– Я у вас спрашиваю. Я ничего не знаю, кроме того, что я насилу добрался до вас.
– А у нас, брат, что! Ужас! Винюсь, брат, над Маком смеялись, а самим еще хуже приходится, – сказал Несвицкий. – Да садись же, поешь чего нибудь.
– Теперь, князь, ни повозок, ничего не найдете, и ваш Петр Бог его знает где, – сказал другой адъютант.
– Где ж главная квартира?
– В Цнайме ночуем.
– А я так перевьючил себе всё, что мне нужно, на двух лошадей, – сказал Несвицкий, – и вьюки отличные мне сделали. Хоть через Богемские горы удирать. Плохо, брат. Да что ты, верно нездоров, что так вздрагиваешь? – спросил Несвицкий, заметив, как князя Андрея дернуло, будто от прикосновения к лейденской банке.
– Ничего, – отвечал князь Андрей.
Он вспомнил в эту минуту о недавнем столкновении с лекарскою женой и фурштатским офицером.
– Что главнокомандующий здесь делает? – спросил он.
– Ничего не понимаю, – сказал Несвицкий.
– Я одно понимаю, что всё мерзко, мерзко и мерзко, – сказал князь Андрей и пошел в дом, где стоял главнокомандующий.
Пройдя мимо экипажа Кутузова, верховых замученных лошадей свиты и казаков, громко говоривших между собою, князь Андрей вошел в сени. Сам Кутузов, как сказали князю Андрею, находился в избе с князем Багратионом и Вейротером. Вейротер был австрийский генерал, заменивший убитого Шмита. В сенях маленький Козловский сидел на корточках перед писарем. Писарь на перевернутой кадушке, заворотив обшлага мундира, поспешно писал. Лицо Козловского было измученное – он, видно, тоже не спал ночь. Он взглянул на князя Андрея и даже не кивнул ему головой.
– Вторая линия… Написал? – продолжал он, диктуя писарю, – Киевский гренадерский, Подольский…
– Не поспеешь, ваше высокоблагородие, – отвечал писарь непочтительно и сердито, оглядываясь на Козловского.
Из за двери слышен был в это время оживленно недовольный голос Кутузова, перебиваемый другим, незнакомым голосом. По звуку этих голосов, по невниманию, с которым взглянул на него Козловский, по непочтительности измученного писаря, по тому, что писарь и Козловский сидели так близко от главнокомандующего на полу около кадушки,и по тому, что казаки, державшие лошадей, смеялись громко под окном дома, – по всему этому князь Андрей чувствовал, что должно было случиться что нибудь важное и несчастливое.
Князь Андрей настоятельно обратился к Козловскому с вопросами.
– Сейчас, князь, – сказал Козловский. – Диспозиция Багратиону.
– А капитуляция?
– Никакой нет; сделаны распоряжения к сражению.
Князь Андрей направился к двери, из за которой слышны были голоса. Но в то время, как он хотел отворить дверь, голоса в комнате замолкли, дверь сама отворилась, и Кутузов, с своим орлиным носом на пухлом лице, показался на пороге.
Князь Андрей стоял прямо против Кутузова; но по выражению единственного зрячего глаза главнокомандующего видно было, что мысль и забота так сильно занимали его, что как будто застилали ему зрение. Он прямо смотрел на лицо своего адъютанта и не узнавал его.
– Ну, что, кончил? – обратился он к Козловскому.
– Сию секунду, ваше высокопревосходительство.
Багратион, невысокий, с восточным типом твердого и неподвижного лица, сухой, еще не старый человек, вышел за главнокомандующим.
– Честь имею явиться, – повторил довольно громко князь Андрей, подавая конверт.
– А, из Вены? Хорошо. После, после!
Кутузов вышел с Багратионом на крыльцо.
– Ну, князь, прощай, – сказал он Багратиону. – Христос с тобой. Благословляю тебя на великий подвиг.
Лицо Кутузова неожиданно смягчилось, и слезы показались в его глазах. Он притянул к себе левою рукой Багратиона, а правой, на которой было кольцо, видимо привычным жестом перекрестил его и подставил ему пухлую щеку, вместо которой Багратион поцеловал его в шею. 1

Статья посвящена применению метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов для разработки законов управления типовыми нелинейными динамическими системами с хаотической динамикой, которые обеспечивают стабилизацию состояний равновесия в таких системах. В статье представлено решение одной из характерных задач антихаотического управления, а именно задачи подавления апериодических колебаний в таких системах. Разработаны синергетические законы управления хаотическими моделями Лоренца и Ресслера, которые обеспечивают стабилизацию фазовых переменных в этих моделях. Введение синтезированных обратных связей приводит к возникновению в системах состояния равновесия. Проведено компьютерное моделирование синтезированных замкнутых динамических систем, которое подтверждает теоретические положения синергетической теории управления. Синтезированные законы управления могут быть использованы в различных технических приложениях с целью повышения эффективности их функционирования.

модель Лоренца

модель Ресслера

динамическая система

управление

синергетика

обратная связь

автоколебания

1. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. – 2010. – Т. 18. – № 3. – С. 186–191.

2. Колесников А.А. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 384 с.

3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. – М.: Энергоатомиздат, 1994. – 344 с.

4. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 255 c.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. – М.: Наука, 1987. – 424 с.

6. Современная прикладная теория управления. Ч. II: Синергетический подход в теории управления / под. ред. А.А. Колесникова. – М.-Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. – 558 с.

7. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. – 1963. – № 20. – P. 130–133.

8. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. – 1976. – Vol. 57А, № 5. – P. 397–398.

На сегодняшний день использование термина «хаос» в научных исследованиях связано с необходимостью описания таких систем, которые характеризуются совершенно случайной, на первый взгляд, динамикой и в то же время присутствием в них скрытого порядка.

Достаточно актуальная научная проблема управления хаотической динамикой не решена и в настоящее время. Из большого количества имеющихся аспектов ее решения в качестве чрезвычайно важного можно выделить исследование разнообразных методов и законов, подавляющих нерегулярные колебания в нелинейных системах, которые характеризуются наличием хаотической динамики .

Проблематика управления нелинейными системами с хаотической динамикой имеет важное прикладное значение. Стоит отметить, что дело здесь не только в борьбе с хаосом, который зачастую нарушает качество функционирования сложных систем, но и в целесообразной для ряда технологических процессов идее возникновения так называемого «порядка из хаоса» .

Проблема подавления нерегулярных колебаний относится к наиболее характерным проблемам управления моделями с хаотической динамикой и состоит в таком формировании управляющих воздействий, при котором обеспечивается стабилизация изначально хаотической модели в устойчивом стационарном состоянии. В дальнейшем полагается, что имеется возможность влияния на динамику модели с помощью некоторого внешнего управляющего воздействия, которое аддитивно входит в состав правой части одного из ее дифференциальных уравнений.

Цель исследования. В данной работе решена задача построения скалярных законов управления, которые обеспечивают подавление хаотических колебаний в типовых хаотических системах Лоренца и Ресслера, при которых происходит стабилизация нерегулярных колебаний исходных моделей в равновесном устойчивом состоянии. Задачи аналогичного типа возникают в случае необходимости устранить нежелательные вибрации конструкций, различные шумы и т.д. .

Материалы и методы исследования

Одним из методов эффективного решения сложной задачи управления хаосом и синтеза объективных законов управления нелинейными системами с хаотической динамикой является метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), предложенный профессором А.А. Колесниковым .

Построение скалярных регуляторов методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов основывается на введении последовательности инвариантных многообразий понижающейся геометрической размерности и последующей поэтапной динамической декомпозиции исходной динамической системы. В таком случае изображающая точка (ИТ) системы, начав двигаться из произвольного начального состояния, последовательно перемещается от одной поверхности притяжения к другой, пока не попадет на финишную поверхность вида ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → ... → ψm = 0. «Внутренние» многообразия топологически вкладываются во «внешние». Таким образом, в синтезируемой системе возникает внутренний процесс самоуправления. В результате происходит каскадное формирование последовательности внутренних управлений, которые сжимают фазовый объем системы по направлению от внешней области фазового пространства к совокупности вкладываемых друг в друга внутренних областей вплоть до попадания ИТ в желаемое состояние системы.

Допустим, что в пространстве состояний замкнутой системы существует притягивающее инвариантное многообразие вида ψ(x) = 0, являющееся асимптотическим пределом фазовых траекторий. Вообще, подобных многообразий может быть несколько. Как правило, количество инвариантных многообразий совпадает с количеством каналов управления. Тогда изображающая точка системы начинает стремиться к пересечению инвариантных многообразий. Необходимым условием попадания изображающей точки замкнутой системы «объект-регулятор» на инвариантное многообразие ψ(x) = 0 является, чтобы ее движение удовлетворяло некоторому устойчивому дифференциальному уравнению, записанному относительно агрегированной макропеременной ψ(x). Такое уравнение в синергетической теории управления называют функциональным или эволюционным. Обычно система функциональных уравнений задается как система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Здесь m - число заданных инвариантных многообразий; Ts - управляющий параметр, φ s (ψ s) - функция, которая должна удовлетворять следующей совокупности условий:

1) φ s (ψ s ) должна быть непрерывна, однозначна и дифференцируема при всех ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 при любых 0,

т.е. они обращаются в нуль только на многообразиях φ s = 0, относительно которых система заданных функциональных уравнений асимптотически устойчива в целом.

Как правило, в методе АКАР используются функциональные уравнения:

т.е. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Уравнения такого типа, как видно, характеризуются асимптотической устойчивостью относительно многообразия ψ s = 0 при условии Ts > 0.

В данной ситуации задача синтеза законов стабилизирующего управления хаотическими моделями в общем случае формулируется следующим образом. Необходимо найти функцию uS(x) как некоторую совокупность обратных связей, обеспечивающих перевод изображающей точки исходной хаотической модели из произвольных начальных условий в некоторой допустимой области в заданное состояние (совокупность состояний), которое соответствует устойчивому режиму . В самом простом случае управление входит только в одно дифференциальное уравнение исходной системы. Могут быть варианты, когда одно и то же управляющее воздействие находится в разных строках исходной системы .

Отличительным аспектом постановки задачи синергетического синтеза законов управления является наличие дополнительного требования к движению системы из начального состояния в конечное, которое состоит в асимптотическом притягивании фазовых траекторий системы к некоторому инвариантному многообразию (пересечению многообразий) в пространстве состояний (ПС) системы.

Введение в уравнения исходной модели стабилизирующей обратной связи приводит к целенаправленному изменению топологии ее пространства состояний. Вследствие подобной перестройки происходит исчезновение хаотического аттрактора и формирование регулярного аттрактора типа «точка», который соответствуют желаемому равновесному режиму поведения.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим этапы реализованной процедуры синтеза стабилизирующего закона управления методом АКАР для хаотической системы Лоренца.

Модель Лоренца была первоначально получена из уравнений Навье - Стокса и теплопроводности с целью исследования возможности прогнозирования погодных условий при вариации управляющих параметров. Модель описывает движение конвективных валов в жидкости при температурном градиенте.

Модель представляет собой следующую систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений :

где σ - число Прандтля; ρ - нормированное число Рэлея; параметр b зависит от взаимоудаленности плоскостей и горизонтального периода.

Рис. 1. Хаотический аттрактор системы Лоренца

В этой системе при определенных условиях происходит формирование хаотических колебаний. На рис. 1 показана фазовая траектория системы при значениях параметров σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режиме детерминированного хаоса. В данной динамической системе впервые исследовались стохастические автоколебания. Хаотический аттрактор системы (1) принципиально отличается от хаотических аттракторов большинства моделей нелинейной динамики. Его структура полностью соответствует странному аттрактору и характеризуется наличием лишь седлового типа движения.

Предположим, что управляющее воздействие u1 входит в первое уравнение системы (1) в виде внутренней обратной связи:

Введем одно инвариантное многообразие вида

где μ - некоторый управляющий параметр.

Если продифференцировать функцию ψ1 (3) по времени и подставить ее производную в функциональное уравнение

мы получим искомый закон управления:

Закон управления (5) обеспечивает перевод изображающей точки системы (2), замкнутой обратной связью (5), на инвариантное многообразие ψ1 = 0.

Динамика движения изображающей точки модели по данному инвариантному многообразию описывается с помощью дифференциальных уравнений декомпозированной модели, которые образуются после подстановки выражения из равенства ψ1 = 0 (3) во второе и третье уравнения системы (2):

(6)

Рис. 2. Фазовые портреты систем (2), (5) и (6)

Рис. 2 иллюстрирует результаты проведенного численного моделирования системы (2), (5) при значениях управляющих параметров σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерных для существования хаотического аттрактора Лоренца, и значениях параметров регулятора T1 = 0,1, μ = 4, которые подтверждают эффективность теоретических положений метода АКАР. Первое уравнение в декомпозированной системе (6) полностью идентично базовому эволюционному уравнению синергетики с бифуркацией типа «вилка».

Проведем построение стабилизирующего закона управления методом АКАР для модели Ресслера. Модель Ресслера - это нелинейная динамическая система дифференциальных уравнений третьего порядка вида :

где a, b, c - управляющие параметры.

Система (7) была предложена Ресслером для моделирования процессов взаимодействия ряда химических веществ. Данная система достаточно часто применяется в разнообразных научных исследованиях явлений разнообразной природы в связи с наличием характерных для них признаков появления и существования хаотической динамики. Рис. 3 демонстрирует хаотический аттрактор системы Ресслера при значениях параметров a = b = 0,2; c = 9.

Допустим, что управляющее воздействие входит во второе уравнение исходной системы (7):

Вид инвариантного многообразия

и функциональное уравнение (4) позволяют получить искомый закон управления:

(10)

Закон управления (10) гарантирует перевод изображающей точки управляемой системы (8), которая замкнута обратной связью (10), на инвариантное многообразие ψ2 = 0 (9).

Рис. 3. Хаотический аттрактор системы Ресслера

Характер движения системы вдоль инвариантного многообразия ψ2 = 0 описывает декомпозированная модель:

(11)

где уравнение бифуркации типа «вилка» присутствует в первой строке.

Рис. 4. Фазовые портреты систем (8), (10) и (11)

Рис. 4 иллюстрирует полученные результаты численного моделирования замкнутой системы (8), (10) для значений управляющих параметров модели a = b = 0,2; c = 9, которые характерны для возникновения аттрактора хаотического типа, а также значений параметров регулятора T2 = 0,1; μ = 25.

В обеих полученных декомпозированных моделях (6), (11) уравнения, расположенные в первой строке, совпадают с базовым эволюционным уравнением синергетики с бифуркацией типа «вилка». В связи с этим мы можем утверждать о естественном характере синтезированных законов стабилизирующего управления исходными хаотическими системами и о имеющемся единстве и внутренней взаимосвязи универсальных эволюционных уравнений нелинейной теории самоорганизации и синергетики.

Естественный характер синтезированных управляющих законов обусловлен, прежде всего, наличием у замкнутых систем совокупности типичных бифуркационных свойств.

В результате проведенного исследования синтезирована совокупность обратных связей, при замыкании которыми исходных хаотических систем возникает изменение характера их поведения и трансформация аттрактора хаотического типа в аттрактор типа «точка». Полученные законы управления u1 (5) и u2 (10) гарантированно обеспечивают асимптотическую устойчивость во всем фазовом пространстве относительно желаемых состояний равновесия при значениях параметра μ < 0 или μ > 0 для соответствующих исходных хаотических моделей. Полученные законы u1 (5) и u2 (10) принадлежат к классу объективных законов управления, преобразовывающих системы Лоренца и Ресслера, обладающие хаотической динамикой, в базовые эволюционные уравнения теории самоорганизации и синергетики.

Синтезированные законы управления u1 (5) и u2 (10) оригинальны и универсальны. Они могут применяться при проектировании управляемых систем разнообразного назначения, значительно повышая эффективность их функционирования.

Библиографическая ссылка

Кучерова В.Ю., Петьков В.Н., Артамонов П.А. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АКАР ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ТИПОВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 5-2. – С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата обращения: 15.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

где – сумма диагональных миноров первого порядка матрицы А

– сумма диагональных миноров второго порядка матрицы А

– сумма диагональных миноров третьего порядка матрицы А

Пусть a = - ,b= , тогда ХУ 3-его порядка имеет вид:

Условие :

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Два характеристического уравнения Ресслера.

При решении системы дифференциальных уравнений находятся 2 особые точки P10(0,0,0) иP20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), если проделать все операции с нахожением Якобиана и сумм диагональных элементов, то подучатся 2 уравнения Ресслера:

3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.

Условие :

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – два(три) кратных веществ. корня

Ф(a,b,c)>0 – два комплексно сопряженных корня

Корни характеристическго уравнения с параметрами: 0,38; 0,30; 4,82 (неустойчивый фокус-седло).

Интегральные кривые нужно строить относительно каждой особой точки.

Рассматриваются все «условия» + условие (с-ав)>0и (с-ав)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Если рассмотреть уравнения с параметрами 0,38…, то получается интересная траектория, траектория отталкивается от Ро1(0,0,0) вдоль R 2 (х1,х2) в фазовом пространствеR 3 , а притягиваются вдоль одномерной кривой, образуя неподвижную точку типа седло-фокус. Изображающая точка покидает область неустойчивой точки равновесия типа Ро1 в плоскости переменных (х1,х3), а затем возвращается к этой точке снова.

Гомоклиническая траектория в фазовом пространстве системы.

Фазовый портрет дает возможность изобразить качественную характеристику всей совокупности свободных движений (процессов) для выбранной области НУ пространства корней.

если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку - возникают две гомоклинические петли (Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия).

Гомоклиническая траектория – не возникает, если параметры не удовлетворяют некоторому строгому ограничению.

Структурная неустойчивость гомоклинической траектории.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Гомоклинические траектории - структурно неустойчивы.

Странный аттрактор

Странный аттрактор : неустойчивое положение равновесия – основная особенность хаотичного поведения. Траектории очень чувствительны к изменению начал.условий – это качество присуще странным аттракторам.

Странный аттрактор - это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является "перемешивание" в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Возможно одновременно стохастическое и регулярное поведение? Или всегда либо регулярное, либо стохастическое?

И регулярные и хаотиечское поведение динамический диссипативных систем с многими переменными (n>2) возможны, причем не только по отдельности (либо-либо), но и одновременно.

Нельзя говорить, что система уходит в хаос сраху после первой бифуркации (так как в одном месте ушло,в другом пришло)

Почему третий порядок? Возможно ли возникновение странных аттракторов в системах второго порядка? А в системах выше третьего порядка?

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (т.е. порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Лекция 3. Интегрируемые и неинтегрируемые системы. Консервативные системы

Интегрируемые системы

1. Сводимость к свободному (невозмущенному) движению систем. Что будет при несводимости?

Для интегрируемых систем можно исключитьвзаимодействия и свести задачу к задаче о свободном движении . Для свободного движения не составляет труда найти выражения для координат и скоростей в виде явных функций времени. Для неинтегрируемых систем необходимо отказаться от описания в терминах траекторий и перейти к вероятностному описанию(при несводимости).

Можно ли описать неинтегрируемую систему в терминах траекторий?

нет, невозможно. Речь идет о принципиально вероятностном описании, несводимом к описанию в терминах отдельных траекторий.

Может ли система, заданная детерминированным уравнением иметь стохастическую динамику?

Д. с. противопоставляется вероятностной системе , выходы которой лишь случайным образом, а не однозначно зависят отвходов.(в д.с. однозначно зависит от входов).Но любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.