Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.
- Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
- Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.
Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.
Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.
Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:
- В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
- Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
- Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.
Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.
- В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).
Радиус-вектор этой точки
Рисунок 1.6
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела
P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)
Рисунок 1.7
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Центры тяжести простейших фигур
Рисунок 1.10
1 Треугольник
Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).
DM = MB , CM = (1/3)AM .
2 Дуга окружности
Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .
dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,
Следовательно:
x C = R(sinα/α) .
3 Круговой сектор
Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).
Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .
Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :
14. Способы задания движения точки.
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
15. 1.2 Скорость точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :
средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени
Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Инструкция
Попробуйте определить центр тяжести плоской фигуры опытным путем. Возьмите новый незаточенный карандаш, поставьте его вертикально. Сверху на него поместите плоскую фигуру. Отметьте на фигуре точку, в которой она устойчиво держится на карандаше. Это и будет центр тяжести вашей фигуры . Вместо карандаша использовать просто вытянутый вверх указательный палец. Но это , ведь надо добиться того, чтобы палец стоял ровно, не раскачивался и не дрожал.
Для демонстрации того, что полученная точка и есть центр масс, проделайте в ней иголкой дырочку. Проденьте в отверстие нитку, на одном из концов завяжите узелок − так, чтобы нитка не выскакивала. Держась за другой конец нитки, подвесьте тело на ней. Если центр тяжести верно, фигура расположится ровно, параллельно полу. Ее бока не будут раскачиваться.
Найдите центр тяжести фигуры геометрическим путем. Если у вас дан треугольник, постройте в нем . Эти отрезки соединяют вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Точка станет центром масс треугольника. Чтобы найти срединную точку стороны, можно даже сложить фигуру пополам, но учтите, что при этом нарушится однородность фигуры .
Сравните результаты, полученные геометрическим и опытным путем. Сделайте о ходе эксперимента. Небольшие погрешности считаются нормой. Объясняются они неидеальностью фигуры , неточностью приборов, человеческим фактором (мелкими огрехами в работе, несовершенством человеческого глаза и т.д.).
Источники:
- Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
В однородном гравитационном поле центр тяжести совпадает с центром масс. В геометрии понятия «центр тяжести» и «центр масс» также эквивалентны, поскольку существование гравитационного поля не рассматривается. Центр масс называется еще центром инерции и барицентром (от греч. barus − тяжелый, kentron − центр). Он характеризует движение тела или системы частиц. Так, при свободном падении тело вращается вокруг своего центра инерции.
Инструкция
Пусть система состоит из двух одинаковых точек. Тогда , очевидно, располагается посередине между ними. Если точки с координатами x1 и x2 имеют разные массы m1 и m2, то координата центра масс x(c)=(m1·x1+m2·x2)/(m1+m2). В зависимости от выбранного «нуля» системы отсчета, координаты могут быть и отрицательными.
Точки на плоскости имеют две координаты: x и y. При задании в пространстве добавляется еще третья координата z. Чтобы не расписывать каждую координату в отдельности, удобно рассматривать радиус-вектор точки: r =x·i +y·j +z·k , где i ,j ,k − орты координатных осей.
Пусть теперь система состоит из трех точек с массами m1, m2 и m3. Их радиус-векторы, соответственно, r1 , r2 и r3 . Тогда радиус-вектор их центра тяжести r(c) =(m1·r1 +m2·r2 +m3·r3 )/(m1+m2+m3).
Если система состоит из произвольного точек, тогда радиус-вектор, по определению, находится по формуле:
r(c)
=∑m(i)·r(i)
/∑m(i). Суммирование производится по индексу i (записывается снизу от знака суммы ∑). Здесь m(i) − некоторого i-го системы, r(i)
− его радиус-вектор.
Если тело однородно по массе, сумма переходит в интеграл. Разбейте мысленно тело на бесконечно маленькие кусочки массой dm. Поскольку тело однородно, массу каждого кусочка можно записать как dm=ρ·dV, где dV − элементарный объем этого кусочка, ρ − плотность (одинакова по всему объему однородного тела).
Интегральное суммирование массы всех кусочков даст массу всего тела: ∑m(i)=∫dm=M. Итак, получается r(c) =1/M·∫ρ·dV·dr . Плотность, постоянную величину, можно вынести из-под знака интеграла: r(c) =ρ/M·∫dV·dr . Для непосредственного интегрирования понадобится установить конкретную функцию между dV и dr , которая зависит от параметров фигуры.
К примеру, центр тяжести отрезка (длинного однородного стержня) находится посередине. Центр масс сферы и шара располагается в центре. Барицентр конуса находится на высоты осевого отрезка, считая от основания.
Центр можно определить и опытным путем. Вырежьте из листа плотной бумаги или картона любую фигуру (например, тот же треугольник). Попробуйте установить ее на кончике вертикально вытянутого пальца. То место на , для которого получится это сделать, и будет являться центром инерции тела.
Источники:
- «Механика», Д.В. Сивухин, 2006.
- Определение координат центра тяжести судна
В обыденном смысле центр тяжести воспринимают как точку, к которой можно приложить равнодействующую всех сил, действующих на тело. Самый простой пример - это детские качели в виде обычной доски. Без всяких вычислений любой ребенок подберет опору доски так, чтобы уравновесить (а может, и перевесить) на качелях тяжелого мужчину. В случае сложных тел и сечений без точных расчетов и соответствующих формул не обойтись. Даже если получаются громоздкие выражения, главное - не пугаться их, а помнить, что исходно речь идет о практически элементарной задаче.
Инструкция
Рассмотрите простейший рычаг (см. рис 1), находящийся в положении равновесия. Расположите на горизонтальной оси с абсциссой х₁₂ и поместите на краях материальные точки масс m₁ и m₂. Считайте их координаты по оси 0х известными и равными х₁ и х₂. Рычаг находится в положении равновесия, если моменты сил веса Р₁=m₁g и P₂=m₂g равны. Момент равен произведению силы на ее плечо, которое можно найти как длину перпендикуляра опущенного из точки приложения силы на вертикаль х=х₁₂. Поэтому, в соответствии с рисунком 1, m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Тогда m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Решите это уравнение и получите х₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).
Для выяснения ординаты y₁₂ примените те же самые рассуждения и выкладки, как и на шаге 1. По-прежнему следуйте иллюстрации, приведенной на рисунке 1, где m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Тогда m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Результат - у₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Далее считайте, что вместо системы из двух точек имеется одна точка М₁₂(x12,у12) общей массы (m₁+m₂).
К системе из двух точек добавьте еще одну массу (m₃) с координатами (х₃, у₃). При вычислении следует по-прежнему считать, что имеете дело с двумя точками, где вторая из них имеет массу (m₁+m₂) и координаты (x12,у12). Повторяя уже для этих двух точек все действия шагов 1 и 2, придете к центра трех точек x₁₂₃=(m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), у₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m₃y₃)/(m₁+m₂+m₃). Далее добавляйте четвертую, пятую и так далее точки. После многократного повторения все той же процедуры убедитесь, что для системы n точек координаты центра тяжести вычисляются по формуле (см. рис. 2). Отметьте для себя тот факт, что в процессе работы ускорение свободного падения g сокращалось. Поэтому координаты центра масс и тяжести совпадают.
Представьте себе, что в рассматриваемом сечении расположена некоторая область D, поверхностная плотность которой ρ=1. Сверху и снизу фигура ограничена графиками кривых у=φ(х) и у=ψ(х), х є [а,b]. Разбейте область D вертикалями x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) на тонкие полоски, такие, что их можно приблизительно считать прямоугольниками с основаниями ∆хi (см. рис. 3). При этом середину отрезка ∆хi считайте положите совпадающим с абсциссой центра масс ξi=(1/2). Высоту прямоугольника считайте приблизительно равной [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Тогда ордината центра масс элементарной площади ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].
В силу равномерного распределения плотности считайте, что центр масс полоски совпадет с ее геометрическим центром. Соответствующая элементарная масса ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi сосредоточена в точке (ξi,ηi). Наступил момент обратного перехода от массы, представленной в дискретной форме, к непрерывной. В соответствии с формулами вычисления координат (см. рис. 2) центра тяжести образуются интегральные суммы, проиллюстрированные на рисунке 4а. При предельном переходе при ∆xi→0 (ξi→xi) от сумм к определенным интегралам, получите окончательный ответ (рис. 4b). В ответе масса отсутствует. Равенство S=M следует понимать лишь как количественное. Размерности здесь отличны друг от друга.
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.7
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.8
3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .
Рис.9
4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).
Рис.10
Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:
где L - длина дуги АВ , равная .
Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном
где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .
Рис.11
Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 и А 3:
x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:
x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .
3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .
Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:
Рис.12
Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:
С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .
Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .
Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.
Рис.13
Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их:
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).
Рис.14
Координаты центров тяжести:
Площади:
|
Рис.15
В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:
координата 
так как тело имеет ось симметрии (диагональ).
Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .
Рис.16
Координаты центров тяжести участков:
Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:
Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).
Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.
Рис.17
Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.
Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:
где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.
Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.
Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.
Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.
Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:
x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Вопросы для самопроверки
Что называется центром параллельных сил?
Как определяются координаты центра параллельных сил?
Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?
Каким свойством обладает центр параллельных сил?
По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?
Что называется центром тяжести тела?
Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?
Что называют статическим моментом площади?
Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.
Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
В чем состоит сущность способа отрицательных весов?
Где расположен центр тяжести дуги окружности?
Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.
Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.
По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?
Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?
Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?
Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?
В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...
Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».
Библиотека элементарных фигур.
Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.
Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.
Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.
Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.
Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.
Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).
В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!
В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .
В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .
Синий шрифт – это исходные данные .
Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .
Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .
Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.
Исходные данные:
1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно
в ячейку D3: Прямоугольник
в ячейку E3: Треугольник
в ячейку F3: Полукруг
2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем
в ячейку D4: =80/2= 40,000
xc 1 = a 1 /2
в ячейку D5: =40/2=20,000
yc 1 = b 1 /2
в ячейку E4: =24/2=12,000
xc 2 = a 2 /2
в ячейку E5: =40+42/3=54,000
yc 2 = b 1 + h 2 /3
в ячейку F4: =50=50,000
xc 3 = x 03
в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965
yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»
в ячейке D6: =40*80=3200
F 1 = a 1 * b 1
в ячейке E6: =24*42/2=504
F2 = a2 *h2 /2
в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062
F3 = -π/2*r3 ^2
Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!
Расчет координат центра тяжести:
4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2
в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642
F 0 = F 1 + F 2 + F 3
5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y
в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y
в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640
Xc = Sy / F 0
в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883
Yc =Sx /F0
Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!
Заключение.
Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.
Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).
Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.
Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .
Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!
Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!
Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!
Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.
Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!
Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
