Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x →0.
3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x →0.
4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x →∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство .
1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α| . Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначим f(x) – b= α , то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдетсяδ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем | β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
Исчисление бесконечно малых и больших
Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .
Бесконечно малая
Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки
x
0
, если 
.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности
, если 
либо 
.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если 
, то f
(x
) − a
= α(x
)
, .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность a
n
называется бесконечно большой
, если 
.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки
x
0
, если 
.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности
, если 
либо 
.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших
Сравнение бесконечно малых величин
Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .
Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .
Примеры сравнения
С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).Эквивалентные величины
Определение
Если , то бесконечно малые величины α
и β
называются эквивалентными
().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):
Теорема
Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
Пример использования
Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем
Исторический очерк
Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.
В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .
Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.
Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия
Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин
Приводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности.
СодержаниеСм. также: Определение предела последовательности
Определение
Последовательность {
β n }
называется бесконечно большой последовательностью
, если для любого, сколь угодно большого числа M
,
существует такое натуральное число N M
,
зависящее от M
,
что для всех натуральных n > N M
выполняется неравенство
|β n | > M
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности
.
Если ,
начиная с некоторого номера N 0
,
то
( сходится к плюс бесконечности
).
Если же ,
то
( сходится к минус бесконечности
).
Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.
Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.
Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .
Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.
Окрестности бесконечно удаленных точек
Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.
Пусть M
- произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность"
, ,
называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность"
, ,
называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность"
, ,
называется множество .
Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4)
,
где M 1
и M 2
- произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, ,
поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).
Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.
Универсальное определение предела последовательности
.
Точка a
(конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности ,
если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N
,
что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.
Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.
Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a
(конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности ,
необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .
Также иногда вводят понятия ε
- окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε
- окрестностью конечной точки a
называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε
- окрестность точки a
.
Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε
- окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:
Точка a
(конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности ,
если для любого положительного числа ε > 0
существует такое натуральное число N ε
,
зависящее от ε
,
что для всех номеров n > N ε
члены x n
принадлежат ε
- окрестности точки a
:
.
С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.
Примеры бесконечно больших последовательностей
Пример 1
.
.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1)
.
В нашем случае
.
Вводим числа и ,
связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и ,
то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n
.
Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .
Итак, для любого можно найти натуральное число ,
удовлетворяющее неравенству .
Тогда для всех ,
.
Это означает, что .
То есть последовательность является бесконечно большой.
Пример 2
Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.
(2)
.
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.
Вводим числа и :
.
.
Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству ,
так что для всех ,
.
Это означает, что .
.
Пример 3
Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.
Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3)
.
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.
Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и ,
то
.
Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству ,
то
.
При заданном ,
в качестве N
можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.
Пример 4
Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.
Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2)
.
Поскольку n
есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ...
,
то
;
;
.
Вводим числа и M
,
связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и ,
то
.
Итак, для любого числа M
можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству .
Тогда для всех ,
.
Это означает, что .
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство .
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем | β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство
. Пусть 
. Тогда 1/f(x)
есть ограниченная функция. Поэтому дробь 
есть произведение
бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно
малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a .
Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .
Примеры.
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Доказательство
. Проведем доказательство для
двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть 
.Тогда f(x)=b+α(x)
и
g(x)=c+β(x)
,
где α
и β
– бесконечно малые функции.
Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)) .
Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
Пример. .
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Доказательство
. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x)
и
g(x)=c+β(x)
и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример.
.
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Доказательство . Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) , где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.
Примеры.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
, то .
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b≥0 .
Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a . Но тогда y не стремится к пределу b при x→a , что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c .
Доказательство.
По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0
, следовательно, по теореме 5 
, или 
.
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a , слева или справа от a . Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a , оставаясь с одной стороны от а , слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a , то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.
Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
СодержаниеСм. также:
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства
Свойства бесконечно больших последовательностей
Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции
Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .
Определение бесконечно малой функции
Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x
стремящемся к x 0
0
,
и он равен нулю:
.
Определение бесконечно большой функции
Функция f(x)
называется бесконечно большой
при x
стремящемся к x 0
,
если функция имеет предел при x → x 0
,
и он равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно малых функций
Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .
Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Для того, чтобы функция f(x)
имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0
.
Свойства бесконечно больших функций
Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
и бесконечно большой функции, при x → x 0
,
является бесконечно большой функцией при x → x 0
.
Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Если функция f(x)
является бесконечно большой при x → x 0
,
а функция g(x)
- ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то
.
Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0
:
,
и существует проколотая окрестность точки ,
на которой ,
то
.
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и ,
на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Это свойство имеет два частных случая.
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки ,
функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если ,
то и .
Если ,
то и .
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
,
или .
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Доказательство свойств и теорем
Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся . А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
.
,
a последовательность является бесконечно малой:
.
Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
.
Теорема доказана.
Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Необходимость
. Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций , имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .
Достаточность
. Пусть и .
Применим свойство предела суммы функций :
.
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.
Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно малой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно большой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки ,
на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно большой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .
По условию существует проколотая окрестность точки ,
на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Причем и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки ,
на которой
при .
Возьмем произвольную последовательность ,
сходящуюся к .
Тогда, начиная с некоторого номера N
,
элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .
Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к ,
то по определению предела функции по Гейне,
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
