Определение параллельных прямых первый признак. Н.Никитин Геометрия

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Эта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так называются две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей обстановке - это два края прямоугольного стола, два края обложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные прямые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит аксиома параллельных прямых - одна из самых известных аксиом геометрии.

В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются.

Определение

Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b.

На рисунке 98 изображены прямые а и b, перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Рис. 98

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 99, а отрезки АВ и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки MN и CD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 99, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 99, в).

Рис. 99 Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 100). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 100 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы : 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рис. 100

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

Рис. 101

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН 1 , равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН 1 . Треугольники ОНА и ОН 1 В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н 1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н 1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH 1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).

Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.

Рис. 103 На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.

Рис. 104 Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).

Рис. 105

Задачи

186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что а || b, если:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.

Рис. 106

187. По данным рисунка 107 докажите, что АВ || DE.

Рис. 107

188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

189. Используя данные рисунка 108, докажите, что ВС || AD.

Рис. 108

190. На рисунке 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || АС.

Рис. 109

191. Отрезок ВК - биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.

192. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

193. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.

195. Начертите треугольник АВС и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.

Параллельность двух прямых можно доказать на основе теоремы, согласно которой, два проведенных перпендикуляра по отношению к одной прямой, будут параллельны. Существуют определенные признаки параллельности прямых – всего их три, и все их мы рассмотрим более конкретно.

Первый признак параллельности

Прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой, образуемые внутренние углы, лежащие накрест, будут равны.

Допустим, при пересечении прямых АВ и СD прямой линией ЕF, были образованы углы /1 и /2. Они равны, так как прямая линия ЕF проходит под одним уклоном по отношению к двум остальным прямым. В местах пересечения линий, ставим точки Ки L – у нас получился отрезок секущей ЕF. Находим его середину и ставим точку О (черт. 189).

На прямую АВ опускаем перпендикуляр из точки О. Назовем его ОМ. Продолжаем перпендикуляр до тех пор, пока он не пересечется с прямой СD. В результате, первоначальная прямая АВ строго перпендикулярна МN, а это значит, что и СD_|_МN, но это утверждение требует доказательства. В результате проведения перпендикуляра и линии пересечения, у нас образовалось два треугольника. Один из них – МОЕ, второй – NОК. Рассмотрим их более подробно. признаки параллельности прямых 7 класс

Данные треугольники равны, поскольку, в соответствии с условиями теоремы, /1 =/2, а в соответствии с построением треугольников, сторона ОK = стороне ОL. Угол МОL =/NОК, поскольку это вертикальные углы. Из этого следует, что сторона и два угла, прилежащие к ней одного из треугольников соответственно равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого из треугольников. Таким образом, треугольник МОL =треугольникуNОК, а значит, и угол LМО = углу КNО, но нам известно, что/LМО прямой, значит, и соответствующий ему, угол КNО тоже прямой. То есть, нам удалось доказать, что к прямой МN, как прямая АВ, так и прямая СD перпендикулярны. То есть, АВ и СD по отношению друг к другу являются параллельными. Это нам и требовалось доказать. Рассмотрим остальные признаки параллельности прямых (7 класс), которые отличаются от первого признака по способу доказательства.

Второй признак параллельности

Согласно второму признаку параллельности прямых, нам необходимо доказать, что углы, полученные в процессе пересечения параллельных прямых АВ и СD прямой ЕF, будут равны. Таким образом, признаки параллельности двух прямых, как первый, так и второй, основывается на равности углов, получаемых при пересечении их третьей линией. Допускаем, что /3 = /2, а угол 1 = /3, поскольку он вертикален ему. Таким образом, и /2 будет равен углу1, однако следует учитывать, что как угол 1, так и угол 2 являются внутренними, накрест лежащими углами. Следовательно, нам остается применить свои знания, а именно то, что два отрезка будут параллельными, если при их пересечении третьей прямой образованные, накрест лежащие углы будут равными. Таким образом, мы выяснили, что АВ || СD.

Нам удалось доказать, что при условии параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, согласно соответствующей теореме, признак параллельности прямых очевиден.

Третий признак параллельности

Существует еще и третий признак параллельности, который доказывается посредством суммы односторонних внутренних углов. Такое доказательство признака параллельности прямых позволяет сделать вывод, что две прямые будут параллельны, если при пересечении их третье прямой, сумма полученных односторонних внутренних углов, будет равна 2d. См. рисунок 192.

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятием «параллельные прямые», узнаете, как можно убедиться в параллельности прямых, а также, какими свойствами обладают углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые

Вы знаете, что понятие «прямая» относится к числу так называемых неопределяемых понятий геометрии.

Вы уже знаете, что две прямые могут совпадать, то есть иметь все общие точки, могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. Пересекаются прямые под разными углами, при этом углом между прямыми считают наименьших из углов, которые ими образованы. Частным случаем пересечения можно считать случай перпендикулярности, когда угол, образованный прямыми, равен 90 0 .

Но две прямые могут и не иметь общих точек, то есть не пересекаться. Такие прямые называются параллельными .

Поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».

Чтобы познакомиться с понятием «параллельные прямые», поработайте в материалами видеоурока

Таким образом, теперь вы знаете определение параллельных прямых.

Из материалов фрагмента видеоурока вы узнали о различных видах углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

Пары углов 1 и 4; 3 и 2 называют внутренними односторонними углами (они лежат между прямыми a и b ).

Пары углов 5 и 8; 7 и 6 называют внешними односторонними углами (они лежат вне прямых a и b ).

Пары углов 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 называют односторонними углами при прямых a и b и секущей c . Как вы видите, из пары соответственных углов один лежит между прямым a и b , а другой вне их.

Признаки параллельности прямых

Очевидно, что пользуясь определением сделать вывод о параллельности двух прямых невозможно. Поэтому для того чтобы сделать заключение о том, что две прямые параллельны, пользуются признаками .

Один из них вы уже можете сформулировать, познакомившись с материалами первой части видеоурока:

Теорема 1 . Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

С другими признаками параллельности прямых на основе равенства определенных пар углов вы познакомитесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Признаки параллельности прямых».

Таким образом, вы должны знать еще три признака параллельности прямых.

Теорема 2 (первый признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рис. 2. Иллюстрация к первому признаку параллельности прямых

Еще раз повторите первый признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а также признак параллельности прямых как перпендикулярных одной прямой.

Задание 1.

Запишите формулировку первого признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 3 (второй признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите второй признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

При доказательстве второго признака параллельности прямых используется свойство вертикальных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 2.

Запишите формулировку второго признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 4 (третий признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Еще раз повторите третий признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется свойство смежных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 3.

Запишите формулировку третьего признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Для того чтобы потренироваться в решении простейших задач, поработайте с материалами электронного образовательного ресурса « ».

Признаки параллельности прямых используются при решении задач.

Теперь рассмотрите примеры решения задач на признаки параллельности прямых, поработав с материалами видеоурока «Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых».

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса « ».

Тот, кто хочет поработать с решением более сложных задач, может поработать с материалами видеоурока «Задачи на признаки параллельности прямых».

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые обладают набором свойств.

Вы узнаете, какие это свойства, поработав с материалами видеоурока «Свойства параллельных прямых».

Таким, образом, важным фактом, который вы должны знать, является аксиома параллельности.

Аксиома параллельности . Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую , параллельную данной, и притом только одну.

Как вы узнали из материалов видеоурока, опираясь на эту аксиому, можно сформулировать два следствия.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую .

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Задание 4.

Запишите формулировку сформулированных следствий и их доказательства в свои тетради.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей являются теоремами, обратными соответствующим признакам.

Так, из материалов видеоурока вы узнали свойство накрест лежащих углов.

Теорема 5 (теорема , обратная первому признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Задание 5.

Еще раз повторите первое свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 6 (теорема , обратная второму признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задание 6.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите второе свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 7 (теорема , обратная третьему признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180 0 .

Задание 7.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите третье свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Все свойства параллельных прямых также используются при решении задач.

Рассмотрите типичные примеры решения задач, поработав с материалами видеоурока «Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей».

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Теорема о том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны (§ 33), даёт признак параллельности двух прямых. Можно вывести более общие признаки параллельности двух прямых.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Пусть / 1 и / 2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .
Но / 3 + / 2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, то эти две прямые параллельны.

Упражнение.

Доказать, что прямые параллельны:
а) если внешние накрест лежащие углы равны (черт. 193);
б) если сумма внешних односторонних углов равняется 2d (черт. 194).