Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)
Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.
Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.
Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.
Основные свойства функции y = k/x, при k>0
График функции y = k/x, при k>0
5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).
Основные свойства функции y = k/x, при k<0
График функции y = k/x, при k<0
1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.
2. Оси координат - асимптоты гиперболы.
4. Область определения функции все х, кроме х=0.
5. y>0 при x0.
6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Функция y=k/x , её свойства и график. Учитель математики МКОУ «Хохольский лицей» Логвинова Ирина Алексеевна
Образовательные: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y = k / x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k ; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x . Развивающие: совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности. Воспитательные: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету. 2 Цели урока
07.10.2014 3 Виды Функций Зависимость одной переменной от другой, называется функцией y = kx y=x 3 y=x 2 y = kx+b
07.10.2014 4 Скорость велосипедиста V км / ч; t ч – время. Сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы проехать 20 км? Выразить зависимость t от V .
07.10.2014 5 Площадь прямоугольника 35 кв. см. Одна сторона прямоугольника а см, другая в см. Выразить зависимость в от а.
07.10.2014 6 Р руб. цена товара, m количество товара. Сколько товара можно купить на 90 руб? Выразить зависимость m от Р.
07.10.2014 7 Что общего и в чем различие этих формул? Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей.
Определение Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой y = k/x, где k ≠ 0 , где х – независимая переменная. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности
В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами. Как графиком можно представить эту зависимость? График обратно пропорциональной функции называется ГИПЕРБОЛА
График функции 12 х _ у = х у -1 -2 -4 -3 -6 -8 -12 -12 -6 -4 -3 -2 -1,5 -1 х у 1 2 3 4 6 8 12 12 6 4 3 2 1,5 1 Построим по точкам график функции
гипербола
1 вариант 2 вариант Г рафик функции у = к/ х и её свойства у = к/х,к˂0 у = к/х,к˃0 1. Область определения функции 2. Область значений функции 3. у >0 , у
14 Термин «функция» в 1664г. ввёл немецкий учёный Лейбниц. Определение функции дал его ученик Бернулли в 1718 году Одним из первых, кто начал изучать эту кривую был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм в IV в. до н.э., но так и не сумел её полностью изучить. А вот полностью исследовал свойства гиперболы и дал ей название крупнейший геометр древности Аполоний Пергский в III в. до н.э.
Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ” 1) Какая из формул задаёт обратную пропорциональность 3) 4) 5) 1) 2)
2) Какая из указанных точек принадлежит графику функции y = -8/x ? 1) A(1;8) 2) B(-1;-8) 3) С(1 ; -8) Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ”
1. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите этот рисунок. 1 3 4 2
Что является графиком функции В каких координатных четвертях расположен график функции? Какова область определения функции Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости? Как называется график обратно пропорциональной функции? Из чего состоит гипербола? 18 Итог урока
Интересные факты 19 Из словаря русского языка Ожегова слово гипербола обозначает в поэтике - приём чрезмерного преувеличения с целью усиления впечатления». В Большой Российской энциклопедии (т.7) – неправдоподобное преувеличение тех или иных свойств изображения предмета или явления». Например: «…редкая птица долетит до середины Днепра» Н.В. Гоголь. Часто гипербола встречается в частушках: Сидит лодырь у ворот Широко разинув рот, И никто не разберёт, Где ворота, а где рот.
В этом видеоуроке вы познакомитесь с функциейy = k/x, k - коэффициент, который может принимать разные значения, кроме 0. Давайте рассмотрим случай, когда k = 1 => y = 1/x. Для построения графика этой функции вспомним материал, который был в предыдущих видео, а именно: подберем для x несколько произвольных значений и подставим их в формулуy = k/x.
Это даст нам возможность вычислить значения зависимой переменной y. Подбор значений и вычислений y построим в два этапа: сначала придадим аргументу положительные значения, а потом - отрицательные.
- Пользуясь формулой y = k/x, найдем значение y. Если x = 1 , то y = 1. Подберем несколько аргументов самостоятельно.
В случае, когда x = 3, то y = 1/3; х = 5, то у = 1/5; х = 7, то у = 1/7.
И когда х = 1/3, то у = 3; х = 1/5, то у = 5; х = 1/7, то у = 7.
Составим таблицу:
- В случае, когда х =1, то у = -1, х = -3, то у = -1/3; х = -5, то у = -1/5; х = -7, то у = -1/7.
И когда х = -1/3, то у = -3; х = -1/5, то у = 5; х = -1/7, то у = -7.
Составим таблицу:
Построим данные точки на координатной плоскости хОу и соединим их.
Пример с другими координатами и последовательность построения графика вы сможете увидеть в видео.
Также в видеоуроке вы ознакомитесь с основными геометрическими свойствами гиперболы.
- Гипербола, как и парабола, обладает симметрией. Если провести прямую через начало координат 0, то она пересечет гиперболу в двух точках, которые лежат на прямой на противоположных сторонах от точки 0 и на равных от неё расстояниях. Тем самым 0 будет являться центром симметрии гиперболы, и она будет симметрична относительно начала координат.
- Симметричные, относительно начала координат, части гиперболы называются её ветвями.
- Одна ветвь гиперболы расположена вблизи оси абсцисс, другая - вблизи ординат. В таких случаях соответствующие прямые принято называть асимптотами. Это значит, что гипербола имеет две асимптоты - ось х и ось у.
- Помимо центра симметрии гипербола имеет оси симметрии.
Графиком функции y = k/x, при k не равно 0 является гипербола, ветви которой находятся в 1 и 3 координатных плоскостях, в случае, когда k > 0, и во 2 и 4 k > 0, и во 2 и 4 координатных плоскостях, когда k < 0. (0,0) - точка центра симметрии гиперболы, а осями координат являются её асимптоты. Функцию y = k/x называют обратно пропорциональной, в силу того, что её величины - x и у, являются обратно пропорциональными, а число k - это коэффициент обратной пропорциональности.
Примеры и более подробную информацию по теме вы можете получить при просмотре видеоурока.
Урок алгебры. 8 класс.
Тема урока: « Функция у=к/х, ее свойства и график».
Цели урока:
Образовательная цель: научить строить график функции у=к/х, исследовать свойства функции, сформировать четкое представление о различиях свойств и расположения графика функции при к 0 и к 0, расширить представление учащихся о функции.
Развивающая цель: продолжить развитие познавательного интереса к изучению алгебры, развивать умение анализировать, наблюдать, сопоставлять, логически мыслить, развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля.
Воспитывающая цель: воспитание навыков коммуникотивности в работе, умение слушать и слышать другого, уважение к мнению товарища, воспитание у учащихся таких нравственных качеств, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, привычка к системному труду, самостоятельность, активность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный аппарат, раздаточный материал, презентация урока.
Структура урока:
- Постановка цели урока. (2 мин)
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся. (8 мин)
- Подготовка к активному изучению нового материала. (9 мин)
- Усвоение новых знаний. (16 мин)
- Закрепление полученных знаний. (5мин)
- Рефлексия. (3 мин)
- Постановка домашнего задания. (2 мин)
- Резервные задания.
Ход урока.
- Организационный момент . (слайд1) Формулируется тема урока и цель урока. Сегодня мы продолжаем знакомится с функциями и рассмотрим функцию у=к/х ее свойства и график, что показывает нам эта функция и какую роль играет в жизни любого человека.
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- К доске выходят два учащихся и заполняют таблицы, которые приготовлены на доске.
1/х |
1/х |
2. В это время идет фронтальная работа с остальным классом.
Дайте определение: что такое область определения функции. (областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент)
Укажите область определение следующих функций (на экране слайд 2):
У=х²+8, у=1/х-7, у=4х-1/5, у=2/х
На каком рисунке из таблицы (слайд 3) изображен график:
1) график линейной функции, написать формулу,
2) прямой пропорциональности, привести из жизни примеры прямой пропорциональности,
3) квадратичной функции,
4) какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графике на рисунке 9 и10.
Потом все вместе проверяем правильность заполнения таблиц. Особое внимание уделяем тому месту, где х=0.
- Подготовка к активному изучению нового материала.
Нам известно, что каждая из данных функций описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Давайте обратимся к физике и на её примере рассмотрим одно из физических явлений, с которым многие сталкивались в жизни. Ребята смотрят слайд 4, на котором изображена физическая модель и физическое явление. Какое физическое явление происходит (давление твердого тела на поверхность, чем больше площадь, тем меньше давление). Напишите формулу и объясните этот слайд с помощью формулы.
Как вы думаете, как можно назвать такую зависимость переменных? (обратная пропорциональность). (слайд5)
В математике такая зависимость записывается формулой у=к/х, а графиком такой функции является гипербола. Как она выглядит, мы узнаем позже. Я знаю, что вы встречали понятие гиперболы в литературе. И об этом нам расскажет Катя Веденеева. (учащаяся читает доклад)
- Усвоение новых знаний.
Вот и подошел момент, когда мы должны узнать, как строить график функции у=к/х и исследовать ее свойства. Теперь вы поработаете в парах. Перед вами лежат листки с координатной плоскостью и написано, какую функцию надо построить. (приложение 1).Что необходимо для построения графика функции? (заполнить таблицу) . Скажите, а может она у нас уже заполнена? (да, на доске). Ребята строят точки на готовой координатной плоскости, а потом проверяют вместе с учителем. (слайд 6,7).
А как соединить правильно? Смотрите, пожалуйста, как это будет происходить на экране. Линии, которые образуются при соединении точек, не должны слиться с координатными осями, поэтому после крайних точек лучше продлить их еще на миллиметра 2. Линии, которые мы получили, называются ветвями гиперболы. Соедините ваши точки.(слайд 8,9)
Ответе на вопрос: как зависит расположение графика функции у=к/х от знака коэффициента к? Учащиеся убеждаются, что если к>0, то график располагается в 1 и 3 координатных четвертях, а если к
После координатной плоскости у вас написаны свойства, которые надо дописать. Две головы хорошо, а четыре лучше. Поэтому объединяемся в группы по четыре человека. Вы исследуете график функции в своей группе и прямо на этом листочке дописываете свойства. Дальше идет коллективное обсуждение, после чего каждое свойство выводится на экран. Только одно свойство учитель показывает сам и объясняет, что непрерывность функции мы понимаем как сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Поэтому 5 свойство учитель объясняет сама. Функция непрерывна на промежутке от (-∞;0) и (0;+∞) претерпевает разрыв в точке х=0.
Вы хорошо поработали и для дальнейших уроков я раздаю вам опорный конспект этой темы, которые вы вклеите. (слайд 10).(приложение2)
Устали давайте немного отдохнем. Предлагаю посмотреть интересные слайды, на которых вы увидите как пословицы можно изобразить с помощью нашей функции у=к/х. (слайд 11,12,13,14).
- Закрепление полученных знаний.
Отдохнули, давайте вернемся к своим опорным конспектам. Я была не внимательна и допустила ошибку при их наборе. Посмотрите, пожалуйста, и найдите ошибку в них. Исправьте эту ошибку. (слайд15)
- Рефлексия:
Что нового узнали на уроке?
Что использовали для открытия новых знаний?
Какие трудности встретили?
- Домашнее задание (слайд 17)
- §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4,
Придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами, и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.
- Резерв:
Работа в группах.
Задача:
Цену на товар понижают – количество покупаемого товара увеличивается. И наоборот. Придумайте задачу. Напишите формулу и сделайте эскиз.
Подписи к слайдам:
Функция у=к/х, ее свойства и график.
Укажите область определение следующих функций
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. На каком рисунке из таблице график линейной функции? Написать формулу?
2.На каком рисунке из таблице изображен график прямой пропорциональности?
3. Приведите примеры прямой пропорциональности из жизни?
4. На каком рисунке из таблице изображен график квадратичной функции?
5. Какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графики на рисунке 9 и10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Функции в мире физики
Физическая модель
Примеры физических явлений
Обратная пропорциональность
Математическая модель обратной пропорциональности:у=к/х, где к коэффициент пропорциональности
График данной функции называется гиперболой
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
y = k / x, k>0
2. y >0 при х>
наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k « Щеголять смолоду, а под старость умирать с голоду»
Богатство, одежда, еда
возраст
«Дожили до того, что не осталось ничего»
время
богатство
« Богатому сладко естся да плохо спится»
сон
богатая жизнь
« Поменьше говори, побольше услышишь»
У Количество услышанного
Х Количество разговора
y = k / x, k>0
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х>0; y 3. Убывающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
3. Возрастающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k Домашнее задание: §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4, придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.
Спасибо за урок
