Положительные рациональные числа.
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
Признаки делимости.
Теоретико-множественный смысл разности.
Теоретико-множественный смысл суммы.
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Из истории возникновения понятия натурального числа.
2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.
4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
6. Законы сложения.
8. Отношения «больше на» и «меньше на».
9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
11. Понятие системы счисления.
12. Позиционные и непозиционные системы счисления.
13. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления.
14. Сложение в десятичной системе счисления.
15. Умножение в десятичной системе счисления
16. Упорядоченность множества натуральных чисел.
17. Вычитание в десятичной системе счисления.
18. Деление в десятичной системе счисления.
19. Множество целых неотрицательных чисел.
20. Отношение делимости и его свойства.
23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
24. Понятие дроби.
27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
28. Действительные числа.
МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.
Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерений положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.
В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.
В освоении этого материала учителю поможет материал данного модуля. В нем с учетом подготовки, полученной студентами в школьном курсе математики, представлен геометрический материал, необходимый для обучения младших школьников элементам геометрии.
Студент должен уметь:
Иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы к определению натурального числа и действий над числами, как результата измерения величин;
Решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения;
Решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур;
Изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования.
С дошкольного возраста ребенок оперирует натуральными числами, то производя счет предметов, то пересчитывая множество пальцев на руках. Основным понятием при введении понятия множества натуральных чисел N является отношение , которое определяется следующими аксиомами Пеано.
Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, который называется единицей и обозначается символом 1.
Аксиома 2. Для каждого элемента п множества N, существует единственный элемент (п+1) , непосредственно следующий за п .
Аксиома 3. Для каждого элемента п из N существует не более одного элемента (п-1) , за которым непосредственно следует п.
Аксиома 4. Любое подмножество Р множества N совпадает с N , если для него выполняются свойства: 1) 1 содержится в Р ; 2) из того, что п содержится в Р , следует, что и (п+1) содержится в Р .
На основании аксиом Пеано сформулируем определение множества натуральных чисел.
Определение. Множество N, элементы которого удовлетворяют аксиомам 1-4, т.е. находятся в отношении «непосредственно следовать за» , называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами.
Расширением множества натуральных чисел N является множество целых чисел Z, которое является объединением натуральных чисел, числа нуль и чисел противоположных натуральным числам.
Расширением множества целых чисел является множество рациональных чисел Q, представляющее собой объединение целых и дробных чисел. Множество всех чисел представимых в виде несократимой дроби m/n , где m может быть любым целым числом, (не исключая нуля), т.е. m Î Z, а n – натуральное число, т.е. n Î N, составляют множество рациональных чисел. Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и наоборот, любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число.
Существуют числа, которые нельзя представить в виде несократимой дроби, т.е. не принадлежат множеству рациональных чисел. Такие числа составляют множество иррациональных чисел I , их можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 должна выражаться некоторым положительным числом r 2 =1 2 +1 2 (по теореме Пифагора), т.е. таким, что r 2 =2. Число r не может быть целым, 1 2 = 1, 2 2 = 4 и т.д. Число r не может быть и дробным: если r = m/n - несократимая дробь, где n¹1, то r 2 =m 2 /n 2 тоже будет несократимой дробью, где n 2 ¹ 1; значит, m 2 /n 2 не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается . Аналогично, не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются , , . Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются - ,- ,- .
Множество иррациональных чисел бесконечно. Например, число p, выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби – это иррациональное число.
Множество, элементами которого являются рациональные и иррациональные числа называется множеством действительных чисел и обозначается буквой R. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу. Множество действительных чисел называют также числовой прямой.
Нами рассмотрен процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным, который был связан с потребностями практики и с нуждами самой математики. Необходимость выполнения деления привела от натуральных чисел к понятию дробных положительных чисел; затем операция вычитания привела к понятиям отрицательных чисел и нуля; далее, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррационального числа. Множество, на котором выполнимы все эти операции, есть множество действительных чисел, однако не все операции выполнимы на данном множестве. Например, нет возможности извлечь корень квадратный из отрицательного числа или решить квадратное уравнение х 2 + х + 1 = 0. Значит, есть потребность в расширении множества действительных чисел.
Введем число i , такое, что i 2 = - 1. Это число позволит извлекать корни из отрицательных чисел. Итак, расширением множества действительных чисел есть множество комплексных чисел , которое обозначается буквой С . Подробно, с множеством комплексных чисел, мы познакомимся позже.
Будем пользоваться обозначениями:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел,
R - множество действительных чисел
С - множество комплексных чисел.
РАСШИРЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ: ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
Пермский государственный педагогический университет, математический факультет , *****@***ru
В работе представлена история расширения числовых множеств: от натуральных до гиперкомплексных чисел. Показаны условия происхождения новых множеств.
Понятие числа появилось впервые еще в доисторические времена в связи с практической деятельностью человека. При этом натуральные числа возникли из потребностей счета на самых ранних ступенях развития человеческого общества. Наименьшим из натуральных чисел является единица, наибольшего натурального числа не существует. При их сложении и умножении получается натуральное число, но не всегда выполнима операция вычитания, поэтому появляется необходимость рассмотрения целых отрицательных чисел.
Известно, что операция деления также не всегда выполнима на множестве натуральных чисел. Она приводит к новому расширению понятия числа: появлению дробей и рациональных чисел.
Действительные числа появились в процессе дальнейшего расширения понятия числа. Необходимость такого расширения была обусловлена как практическими применениями математики при выражении значения любой величины с помощью вполне определенного числа, так и внутренними потребностями самой математики. Эти потребности были связаны со стремлением расширить область применения ряда операций над числами (извлечение корня, вычисление логарифмов, решение уравнений и т. д.).
Дальнейшее расширение понятия числа связано с введением комплексных чисел. Необходимость введения таких чисел обусловлена развитием теории алгебраических уравнений. При нахождении решений квадратных уравнений, в некоторых случаях (например, x 2 + 1 = 0) приходилось рассматривать корень квадратный из отрицательного числа. Это привело к необходимости рассмотрения и изучения выражений вида a + bi , где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, квадрат которой равен –1 (i 2 = –1) .
Впервые мнимые величины появились в 1545 году в известном труде Джероламо Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах», который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Рафаэле Бомбелли в 1572 году. Он же впервые представил некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.
Выражения вида Бытие" href="/text/category/bitie/" rel="bookmark">бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы» .
Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в 1707 году в работах Абрахама де Муавра и в 1722 году в работах Роджера Котса.
Символ предложил в 1777 году Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius . Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Леонард Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу в 1747 году пришел Жан Лерон Д’Аламбер, но первое строгое доказательство этого факта, представленное в 1799 году, принадлежит Карлу Фридриху Гауссу. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Обобщением комплексных чисел являются гиперкомплексные числа, получаемые присоединением к множеству вещественных чисел нескольких комплексных единиц i 1, i 2, … , i n. Такие числа имеют вид z = a 0 + a 1i 1 + a 2i 2 + … + anin , где a 0, a 1, … , an – вещественные числа .
Одним из примеров гиперкомплексных чисел являются кватернионы. Кватернионы – это четверки чисел (a , b , c , d ), которые удобно записывать в виде q = a + bi + cj + dk , где a , b , c , d – произвольные действительные числа, а i , j , k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах .
Развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее, в 1877 году Фердинард Георг Фробениус строго доказал теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.
Несмотря на некоммутативность новых чисел, эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Джеймс Клерк Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки уравнений электромагнитного поля. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ.
Сегодня кватернионы также приносят практическую пользу: они широко используются в 3D графике, компьютерном моделировании и при программировании компьютерных игр .
Библиографический список
1. Комплексные числа // Квант. 1983. №2.
2. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984. С. 139
3. Кантор И .Л., Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973.
4. , Кватернионы // Квант. 1983. №9.
5. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963. С. 68
6. Martin John Baker Use of quaternions to represent transformations in 3D // URL: http://www. /maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index. htm (дата обращения 30.10.2011)
NUMERICAL SETS EXPANSION: HISTORICAL ASPECT
Kosyakova Yekaterina Pavlovna
Perm State Pedagogical University, mathematical faculty
Numerical sets expansion history is depicted in the article: beginning from natural till hupercomplex numbers. New sets origins are shown.
в курсе алгебры девятилетней школы
Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 - знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?
Разделить - значит найти
Два случая: 1) , следовательно, надо найти. Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти. Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.
Изучение нового числового множества идет по единой схеме:
- · необходимость новых чисел;
- · введение новых чисел;
- · сравнение (геометрическая интерпретация);
- · действия над числами;
- · законы.
Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел - числовое поле.
Поле (П) - множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого
и для каждого противоположного
Существует единичный элемент:
(Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем .) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.
Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5-6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:
N , 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
N , 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
N , 0 Десятичные дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)
N , 0 Целые числа Десятичные дроби (положительные) Обыкновенные дроби (положительные) Рациональные числа (введение отрицательных чисел)
У П.М. Эрдниева в "Математике 5-6":
N , 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)
Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.
В основной школе дроби обычно вводятся методом целесообразных задач (С.И. Шохор-Троцкий), например, при рассмотрении следующей задачи: "1 кг сахарного песка стоит 15 рублей. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг? кг?" Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти от 15. Учащиеся могут разделить на 3 и умножить на 2. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на.
- - умножение на целое число;
- - умножение целого числа на смешанное число;
- - умножение дроби на смешанное число;
- - умножение на правильную дробь;
- - умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.
Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.
Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными способами:
1. Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.
Пример . Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке км, но, оказавшись перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл км. Где он оказался по отношению к исходному месту входа в реку?
Ответом служит разность, но при действие невозможно.
- 2. В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл.
- 3. Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.
- 4. На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси.
- 5. Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток.
Пример . Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?
6. Как средство изображения расстояний на температурной шкале.
Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования правил сравнения нередко служит координатная прямая.
Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.
К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождения логарифма положительного числа при положительном основании.
В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет длину, каждая фигура - площадь), построения графиков (должны быть неразрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса. бинарный алгебраический дробный
Если ввести иррациональные числа как неизвлекаемые корни, то у учащихся сформируется представление об иррациональных числах только как о неизвлекаемых корнях, поэтому целесообразно указать школьникам на несоизмеримость отрезков.
Периодичность бесконечной десятичной дроби, выражающей рациональное число, вытекает из деления натуральных чисел, так как при таком делении может получиться только конечное число различных остатков, непревосходящих делителя. Следовательно, при бесконечном делении какой-то остаток должен повториться, а за ним повторятся и соответствующие остатки числа частного - получится периодическая дробь.
В большинстве учебников иррациональное число рассматривается как бесконечная непериодическая десятичная дробь (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках - как длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.
Далее необходимо установить, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел. Поскольку иррациональные числа вводятся для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д.К. Фаддеева и др.) используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.
Можно не доказывать непрерывность множества, но необходимо выяснить различие в структуре множеств рациональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н.Н. Лузин предложил такое сравнение: если представить, что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти сплошь. У С.И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные - в красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной.
Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория Кантора - Мере, рассматривающая стягивающиеся последовательности вложенных в друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается как число, заключенное между всеми приближенными результатами, взятыми по избытку, и всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В.К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников) школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися, приближенными. Многие считают, что числа, нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: "точный" корень, "неточный" корень. Он советует использовать термины "приближенное значение корня" и "точное значение корня".
Действия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы. Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.
Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными числами могут получиться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей.
Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.
Лекция №19
По математике
Введение
2. Понятие дроби
6. Действительные числа
Введение
Понятие дроби
В записи дроби
Дробь - называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Вернемся к рисунку 2, где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке д: целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок д: будет состоять из 28
28 таких частей и его длина будет выражаться дробью .
Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью .
Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k- натуральное число.
Теорема . Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = nр.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Определение . Две дроби и называются равными, если mq = np.
Если дроби равны, то пишут = .
Например, = , так как 17 · 21 = 119 · 3 = 357, а ≠ , потому что 17 · 27 = 459, 19 · 23 = 437 и 459≠437.
Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.
Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.
Теорема . Равенство дробей является отношением эквивалентности.
Доказательство . Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство mn = mn справедливо для любых натуральных чисел тип. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из mq = nр следует, что р n = qm (m, n, p, q N). Оно транзитивно: если = и = , то = . В самом деле, так как = , то mq = nр, а так как = , то ps = qr. Умножив обе части равенства mq = nр на s, а равенства рs = qr на n, получим mqs = nps и nps = qrs. Откуда mqs = qrn или ms = nr. Последнее равенство означает, что = . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.
Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.
Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17) =1.
Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(n, q).
Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю и .
Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3·5, 35 = 5·7. Тогда К(15, 35) = 3·5·7 = 105. Поскольку 105= 15·7 = 35·3,то = = , = = .
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби мри измерении длины отрезка.
Пусть х- отрезок, длину которого надо измерить, е- единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е - буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е, и отрезка х 1 , который короче отрезка е (рис. 3), т.е.
n·Е < X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е 1 - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке х 1 . При этом возможны два случая.
1) Отрезок е 1 уложился в отрезке х 1 точно n раз. Тогда длина и отрезка х выражается конечной десятичной дробью:
X = ·Е= ·Е. Например, X = 3,4·Е.
2) Отрезок х 1 оказывается состоящим из n отрезков, равных е 1 , и отрезка х 2 , который короче отрезка е 1 . Тогда ·Е<Х ·Е, где и
Приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.
Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е 2 -сотую часть отрезка е.
На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:
1) На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка х выразится конечной десятичной дробью вида .
2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом , который называют бесконечной десятичной дробью.
Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого достаточно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5-. Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: 5 = 5,666....
Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.
Теорема . Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.
Доказательство . Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата ABCD выражается несократимой дробью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство 1 2 +1 2 = . Из него следует, что m 2 = 2п 2 . Значит, m 2 - четное число, тогда и число m -четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m 2 = 2n 2 число m на 2р, получаем, что 4р 2 = 2n 2 , т.е. 2р 2 = n 2 . Отсюда следует, что n 2 четно, следовательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n чётны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о её несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.
Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.
Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.
Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так, , , - это иррациональное числа. Иррациональными являются также tg5, sin 31, числа π = 3,14..., е = 2,7828... и другие
Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J + .
Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R + . Таким образом, Q + J + = R + . При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 4.
Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).
Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.
Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R + , присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.
Лекция №19
По математике
Тема: «О расширении множества натуральных чисел»
Введение
2. Понятие дроби
3. Положительные рациональные числа
4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел
5. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
6. Действительные числа
Введение
Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.
Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Q и R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис. 1).
Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.
Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.
Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами.
Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q + положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.
Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 2). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е.
И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ·Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ - называть дробью.
В общем виде понятие дроби определяют так.
Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n -ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ·Е, где символ - называют дробью (и читают «эм энных»).
В записи дроби числа m и n- натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.
