Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου; Κανονικό πολύγωνο

Στην 8η τάξη, κατά τη διάρκεια των μαθημάτων γεωμετρίας στο σχολείο, οι μαθητές εισάγονται για πρώτη φορά στην έννοια του κυρτού πολυγώνου. Πολύ σύντομα θα μάθουν ότι αυτή η φιγούρα έχει μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα. Ανεξάρτητα από το πόσο πολύπλοκο μπορεί να είναι, το άθροισμα όλων των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου παίρνει μια αυστηρά καθορισμένη τιμή. Σε αυτό το άρθρο, ένας καθηγητής μαθηματικών και φυσικής μιλά για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου.

Άθροισμα εσωτερικών γωνιών κυρτού πολυγώνου

Πώς να αποδείξετε αυτόν τον τύπο;

Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη αυτής της δήλωσης, ας θυμηθούμε ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη μία πλευρά μιας γραμμής που περιέχει οποιαδήποτε από τις πλευρές του. Για παράδειγμα, αυτό που φαίνεται σε αυτό το σχήμα:

Εάν το πολύγωνο δεν ικανοποιεί την καθορισμένη συνθήκη, τότε ονομάζεται μη κυρτό. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με , όπου είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου.

Η απόδειξη αυτού του γεγονότος βασίζεται στο θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο, γνωστό σε όλους τους μαθητές. Είμαι βέβαιος ότι αυτό το θεώρημα είναι γνωστό και σε εσάς. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι .

Η ιδέα είναι να χωρίσουμε ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλά τρίγωνα. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ανάλογα με τη μέθοδο που θα επιλέξουμε, τα στοιχεία θα είναι ελαφρώς διαφορετικά.

1. Διαιρέστε το κυρτό πολύγωνο σε τρίγωνα χρησιμοποιώντας όλες τις πιθανές διαγώνιες που έχουν σχεδιαστεί από κάποια κορυφή. Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι τότε το n-gon μας θα χωριστεί σε τρίγωνα:

Επιπλέον, το άθροισμα όλων των γωνιών όλων των τριγώνων που προκύπτουν είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του n-γώνου μας. Εξάλλου, κάθε γωνία στα τρίγωνα που προκύπτουν είναι μια μερική γωνία στο κυρτό πολύγωνό μας. Δηλαδή, το απαιτούμενο ποσό ισούται με .

2. Μπορείτε επίσης να επιλέξετε ένα σημείο μέσα στο κυρτό πολύγωνο και να το συνδέσετε με όλες τις κορυφές. Τότε το n-gon μας θα χωριστεί σε τρίγωνα:

Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου μας σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίσο με το άθροισμα όλων των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων μείον την κεντρική γωνία, η οποία είναι ίση με . Δηλαδή, το απαιτούμενο ποσό είναι και πάλι ίσο με .

Άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού πολυγώνου

Ας κάνουμε τώρα το ερώτημα: «Ποιο είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου;» Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί ως εξής. Κάθε εξωτερική γωνία βρίσκεται δίπλα στην αντίστοιχη εσωτερική. Επομένως ισούται με:

Τότε το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών είναι ίσο με . Είναι δηλαδή ίσο.

Δηλαδή προκύπτει ένα πολύ αστείο αποτέλεσμα. Αν σχεδιάσουμε όλες τις εξωτερικές γωνίες οποιουδήποτε κυρτού n-γώνου διαδοχικά η μία μετά την άλλη, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ακριβώς ολόκληρο το επίπεδο.

Αυτό το ενδιαφέρον γεγονός μπορεί να απεικονιστεί ως εξής. Ας μειώσουμε αναλογικά όλες τις πλευρές κάποιου κυρτού πολυγώνου μέχρι να συγχωνευθεί σε ένα σημείο. Αφού συμβεί αυτό, όλες οι εξωτερικές γωνίες θα παραμεριστούν η μία από την άλλη και έτσι θα γεμίσουν ολόκληρο το επίπεδο.

Ενδιαφέρον γεγονός, έτσι δεν είναι; Και υπάρχουν πολλά τέτοια γεγονότα στη γεωμετρία. Μάθε λοιπόν γεωμετρία αγαπητοί μαθητές!

Το υλικό σχετικά με το ίσο με το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου ετοιμάστηκε από τον Sergey Valerievich

Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων. Εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες κυρτού πολυγώνου. Άθροισμα εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon (θεώρημα). Άθροισμα εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon (θεώρημα). Κανονικά πολύγωνα. Κύκλος περιγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο (θεώρημα, συμπέρασμα 1,2)

Η εσωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή. Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με το εσωτερικό σε αυτήν την κορυφή. εσωτερική γωνία εξωτερική γωνία

Θεώρημα. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι (n – 2) · 180 о, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου. Δίνεται: κυρτό n-gon. Απόδειξη: α = (n – 2) ·180 о Απόδειξη Μέσα στο n-γώνιο, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο O και συνδέστε το με όλες τις κορυφές. Το πολύγωνο θα χωριστεί σε n τρίγωνα με κοινή κορυφή Ο. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 o, επομένως, το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων είναι 180 o n. Αυτό το άθροισμα, εκτός από το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου, περιλαμβάνει το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων στην κορυφή Ο, ίσο με 360 μοίρες. Έτσι, το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι ίσο με 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o. Άρα, n = (n – 2) 180 o. Και τα λοιπά. Ο

Θεώρημα. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, που λαμβάνεται μία σε κάθε κορυφή, δεν εξαρτάται από το n και είναι ίσο με 360, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του n-γώνου. Απόδειξη. Εφόσον η εξωτερική γωνία ενός πολυγώνου γειτνιάζει με την αντίστοιχη εσωτερική γωνία και το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι ίσο με 180, τότε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι ίσο με: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Εξωτερική και εσωτερική εσωτερική Άρα, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, που λαμβάνεται μία σε κάθε κορυφή, δεν εξαρτάται από το n και είναι ίσο με 360 o, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του n-γώνου. Και τα λοιπά.

Θεώρημα. Σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο και μόνο έναν. Απόδειξη. Έστω A1,A2,…,A n ένα κανονικό πολύγωνο, O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, επομένως τα ύψη αυτών των τριγώνων που αντλούνται από την κορυφή Ο είναι επίσης ίσα με ОН1 = ОН2 =…= ОНn. Επομένως, ένας κύκλος με άρα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα OH1 διέρχεται από τα σημεία H1, H2, ..., Hn και αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου σε αυτά τα σημεία, δηλ. ο κύκλος εγγράφεται στο δεδομένο πολύγωνο. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Ας αποδείξουμε ότι υπάρχει μόνο ένας εγγεγραμμένος κύκλος. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας άλλος κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ. Τότε το κέντρο του απέχει από τις πλευρές του πολυγώνου, δηλαδή το σημείο Ο1 βρίσκεται σε καθεμία από τις διχοτόμους των γωνιών του πολυγώνου και επομένως συμπίπτει με το σημείο Ο της τομής αυτών των διχοτόμων. Η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με την απόσταση από το σημείο Ο έως τις πλευρές του πολυγώνου, δηλ. ισούται με OH1 Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο. Συμπέρασμα 1 Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου στα μέσα τους. Συμπέρασμα 2 Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου στο ίδιο πολύγωνο.

Το πολύγωνό σου. Για παράδειγμα, εάν χρειάζεται να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου με 15 πλευρές, αντικαταστήστε το n=15 στην εξίσωση. Θα λάβετε S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Στη συνέχεια, διαιρέστε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών που προκύπτει με τον αριθμό τους. Για παράδειγμα, σε ένα πολύγωνο, ο αριθμός των γωνιών είναι ο αριθμός των πλευρών, δηλαδή 15. Έτσι, παίρνετε ότι η γωνία είναι 2340⁰/15=156⁰. Κάθε εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου είναι 156⁰.

Εάν σας είναι πιο βολικό να υπολογίσετε τις γωνίες ενός πολυγώνου σε ακτίνια, προχωρήστε ως εξής. Αφαιρέστε τον αριθμό 2 από τον αριθμό των πλευρών και πολλαπλασιάστε τη διαφορά που προκύπτει με τον αριθμό P (Pi). Στη συνέχεια, διαιρέστε το γινόμενο με τον αριθμό των γωνιών στο πολύγωνο. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να υπολογίσετε τις γωνίες ενός κανονικού 15-γωνίου, προχωρήστε ως εξής: P*(15-2)/15=13/15P, ή 0,87P, ή 2,72 (αλλά, όπως , ο αριθμός P παραμένει αμετάβλητο). Ή απλώς διαιρέστε το μέγεθος της γωνίας σε μοίρες με 57,3 - αυτό είναι το πόσο περιέχεται σε ένα ακτίνι.

Μπορείτε επίσης να προσπαθήσετε να υπολογίσετε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου σε μοίρες. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε 2 από τον αριθμό των πλευρών, διαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει με τον αριθμό των πλευρών και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με 200. Αυτή η μονάδα μέτρησης γωνιών δεν χρησιμοποιείται σχεδόν ποτέ σήμερα, αλλά εάν αποφασίσετε να υπολογίσετε τις γωνίες σε μοίρες, μην ξεχνάτε ότι οι μοίρες χωρίζονται σε μετρικά δευτερόλεπτα και λεπτά (100 δευτερόλεπτα ανά λεπτό).

Ίσως χρειαστεί να υπολογίσετε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου, οπότε κάντε αυτό. Αφαιρέστε την εσωτερική γωνία από 180⁰ - ως αποτέλεσμα θα πάρετε την τιμή της γειτονικής, δηλαδή της εξωτερικής γωνίας. Μπορεί να πάρει μια τιμή από -180⁰ έως +180⁰.

Χρήσιμες συμβουλές

Εάν καταφέρετε να μάθετε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου, μπορείτε εύκολα να το κατασκευάσετε. Σχεδιάστε μια πλευρά ενός συγκεκριμένου μήκους και χρησιμοποιήστε ένα μοιρογνωμόνιο για να σχεδιάσετε την επιθυμητή γωνία από αυτήν. Μετρήστε ακριβώς την ίδια απόσταση (όλες οι πλευρές του κανονικού πολυγώνου είναι ίσες) και αφήστε ξανά στην άκρη την επιθυμητή γωνία. Συνεχίστε μέχρι να συναντηθούν οι πλευρές.

Πηγές:

• γωνία σε κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο του οποίου οι πλευρές αγγίζουν όλες τον κύκλο που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Μπορείτε να περιγράψετε μόνο ένα κανονικό πολύγωνο, δηλαδή ένα με όλες τις πλευρές ίσες. Ακόμη και αρχαίοι αρχιτέκτονες αντιμετώπισαν τη λύση σε ένα παρόμοιο πρόβλημα όταν χρειάστηκε να σχεδιάσουν, για παράδειγμα, μια στήλη. Οι σύγχρονες τεχνολογίες καθιστούν δυνατό να γίνει αυτό με ελάχιστο χρόνο, αλλά η αρχή λειτουργίας παραμένει η ίδια όπως στην κλασική γεωμετρία.

Θα χρειαστείτε

• - πυξίδα
• - μοιρογνωμόνιο
• - χάρακας
• - χαρτί.

Οδηγίες

Σχεδιάστε έναν κύκλο με το δεδομένο . Ορίστε το κέντρο του ως Ο και σχεδιάστε μια από τις ακτίνες ώστε να ξεκινήσετε την κατασκευή. Για να περιγράψετε ένα πολύγωνο γύρω του, χρειάζεστε τη μοναδική του παράμετρο - τον αριθμό των πλευρών. Ονομάστε το n.

Θυμηθείτε, τη γωνία οποιουδήποτε κύκλου. Είναι 360°. Με βάση αυτό, είναι δυνατός ο υπολογισμός των γωνιών των τομέων, οι πλευρές των οποίων θα συνδέουν το κέντρο του κύκλου με τα σημεία επαφής με τις πλευρές του πολυγώνου. Ο αριθμός αυτών των τομέων είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου, δηλαδή n. Βρείτε τη γωνία α χρησιμοποιώντας τον τύπο α = 360°/n.

Χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, σχεδιάστε τη γωνία που προκύπτει από την ακτίνα και σχεδιάστε μια άλλη ακτίνα μέσα από αυτήν. Για να διασφαλίσετε ακριβείς υπολογισμούς, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή και στρογγυλές τιμές μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις. Από αυτή τη νέα ακτίνα, αφήστε ξανά στην άκρη τη γωνία του τομέα και τραβήξτε μια άλλη ευθεία γραμμή μεταξύ του κέντρου και της κυκλικής γραμμής. Κατασκευάστε όλες τις γωνίες με τον ίδιο τρόπο.

Τρίγωνο, τετράγωνο, εξάγωνο - αυτές οι φιγούρες είναι γνωστές σχεδόν σε όλους. Αλλά δεν γνωρίζουν όλοι τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Αλλά αυτά είναι όλα ίδια Ένα κανονικό πολύγωνο είναι αυτό που έχει ίσες γωνίες και πλευρές. Υπάρχουν πολλές τέτοιες φιγούρες, αλλά όλες έχουν τις ίδιες ιδιότητες και ισχύουν οι ίδιοι τύποι.

Ιδιότητες κανονικών πολυγώνων

Κάθε κανονικό πολύγωνο, είτε είναι τετράγωνο είτε οκτάγωνο, μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Αυτή η βασική ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά κατά την κατασκευή μιας φιγούρας. Επιπλέον, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα πολύγωνο. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των σημείων επαφής θα είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Είναι σημαντικό ότι ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα κανονικό πολύγωνο θα έχει ένα κοινό κέντρο μαζί του. Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα υπόκεινται στα ίδια θεωρήματα. Οποιαδήποτε πλευρά ενός κανονικού n-γώνου σχετίζεται με την ακτίνα του κύκλου R που το περιβάλλει, επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a = 2R ∙ sin180°. Μέσα από μπορείτε να βρείτε όχι μόνο τις πλευρές, αλλά και την περίμετρο του πολυγώνου.

Πώς να βρείτε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου

Οποιοδήποτε αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό τμημάτων ίσων μεταξύ τους, τα οποία, όταν συνδέονται, σχηματίζουν μια κλειστή γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι γωνίες του σχήματος που προκύπτει έχουν την ίδια τιμή. Τα πολύγωνα χωρίζονται σε απλά και σύνθετα. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. Τα σύνθετα πολύγωνα έχουν περισσότερες πλευρές. Σε αυτά περιλαμβάνονται επίσης φιγούρες σε σχήμα αστεριού. Για σύνθετα κανονικά πολύγωνα, οι πλευρές βρίσκονται εγγράφοντας τους σε κύκλο. Ας δώσουμε μια απόδειξη. Σχεδιάστε ένα κανονικό πολύγωνο με αυθαίρετο αριθμό πλευρών n. Σχεδιάστε έναν κύκλο γύρω του. Ορίστε την ακτίνα R. Τώρα φανταστείτε ότι σας δίνεται κάποιο n-gon. Εάν τα σημεία των γωνιών του βρίσκονται στον κύκλο και είναι ίσα μεταξύ τους, τότε οι πλευρές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο: a = 2R ∙ sinα: 2.

Εύρεση του αριθμού των πλευρών ενός εγγεγραμμένου κανονικού τριγώνου

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Ισχύουν για αυτό οι ίδιοι τύποι όπως για ένα τετράγωνο και ένα n-gon. Ένα τρίγωνο θα θεωρείται κανονικό εάν οι πλευρές του είναι ίσες σε μήκος. Σε αυτή την περίπτωση, οι γωνίες είναι 60⁰. Ας κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο με δεδομένο μήκος πλευράς a. Γνωρίζοντας τη μέση και το ύψος του, μπορείτε να βρείτε την αξία των πλευρών του. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εύρεσης μέσω του τύπου a = x: cosα, όπου x είναι η διάμεσος ή το ύψος. Εφόσον όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, παίρνουμε a = b = c. Τότε θα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: a = b = c = x: cosα. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε την τιμή των πλευρών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, αλλά x θα είναι το δεδομένο ύψος. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να προβάλλεται αυστηρά στη βάση του σχήματος. Έτσι, γνωρίζοντας το ύψος x, βρίσκουμε την πλευρά α του ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο a = b = x: cosα. Αφού βρείτε την τιμή του a, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της βάσης c. Ας εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα αναζητήσουμε την τιμή του μισού της βάσης c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Τότε c = 2xtanα. Με αυτόν τον απλό τρόπο μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των πλευρών οποιουδήποτε εγγεγραμμένου πολυγώνου.

Υπολογισμός των πλευρών ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο

Όπως κάθε άλλο εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο, ένα τετράγωνο έχει ίσες πλευρές και γωνίες. Για αυτό ισχύουν οι ίδιοι τύποι όπως και για ένα τρίγωνο. Μπορείτε να υπολογίσετε τις πλευρές ενός τετραγώνου χρησιμοποιώντας τη διαγώνια τιμή. Ας εξετάσουμε αυτή τη μέθοδο με περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι γνωστό ότι μια διαγώνιος χωρίζει μια γωνία στο μισό. Αρχικά η τιμή του ήταν 90 μοίρες. Έτσι, μετά τη διαίρεση, σχηματίζονται δύο οι γωνίες τους στη βάση θα είναι ίσες με 45 μοίρες. Αντίστοιχα, κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση, δηλαδή: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, όπου e είναι η διαγώνιος του τετραγώνου ή η βάση του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται μετά διαίρεση. Δεν είναι ο μόνος τρόπος για να βρείτε τις πλευρές ενός τετραγώνου. Ας εγγράψουμε αυτό το σχήμα σε κύκλο. Γνωρίζοντας την ακτίνα αυτού του κύκλου R, βρίσκουμε την πλευρά του τετραγώνου. Θα το υπολογίσουμε ως εξής: a4 = R√2. Οι ακτίνες των κανονικών πολυγώνων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο R = a: 2tg (360 o: 2n), όπου a είναι το μήκος της πλευράς.

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο ενός n-gon

Η περίμετρος ενός n-gon είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του. Είναι εύκολο να υπολογιστεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τις έννοιες όλων των πλευρών. Για ορισμένους τύπους πολυγώνων υπάρχουν ειδικοί τύποι. Σας επιτρέπουν να βρείτε την περίμετρο πολύ πιο γρήγορα. Είναι γνωστό ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές. Επομένως, για να υπολογίσουμε την περίμετρό του, αρκεί να γνωρίζουμε τουλάχιστον ένα από αυτά. Ο τύπος θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος. Γενικά, μοιάζει με αυτό: P = an, όπου a είναι η πλευρική τιμή και n ο αριθμός των γωνιών. Για παράδειγμα, για να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού οκτάγωνου με πλευρά 3 cm, πρέπει να το πολλαπλασιάσετε με 8, δηλαδή P = 3 ∙ 8 = 24 cm Για ένα εξάγωνο με πλευρά 5 cm ως εξής: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Και έτσι για κάθε πολύγωνο.

Εύρεση της περιμέτρου παραλληλογράμμου, τετραγώνου και ρόμβου

Ανάλογα με το πόσες πλευρές έχει ένα κανονικό πολύγωνο, υπολογίζεται η περίμετρός του. Αυτό κάνει το έργο πολύ πιο εύκολο. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλες φιγούρες, σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να ψάξετε για όλες τις πλευρές του, μία αρκεί. Με την ίδια αρχή, βρίσκουμε την περίμετρο των τετράπλευρων, δηλαδή ένα τετράγωνο και έναν ρόμβο. Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για διαφορετικά σχήματα, ο τύπος για αυτούς είναι ο ίδιος: P = 4a, όπου a είναι η πλευρά. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Αν η πλευρά ενός ρόμβου ή τετραγώνου είναι 6 cm, τότε βρίσκουμε την περίμετρο ως εξής: P = 4 ∙ 6 = 24 cm για ένα παραλληλόγραμμο, μόνο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Επομένως, η περίμετρός του βρίσκεται με διαφορετική μέθοδο. Άρα, πρέπει να γνωρίζουμε το μήκος a και το πλάτος b του σχήματος. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο P = (a + b) ∙ 2. Ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες μεταξύ τους είναι ίσες ονομάζεται ρόμβος.

Εύρεση της περιμέτρου ισόπλευρου και ορθογωνίου τριγώνου

Η περίμετρος της σωστής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο P = 3a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς. Εάν είναι άγνωστο, μπορεί να βρεθεί μέσω της διάμεσης. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μόνο δύο πλευρές έχουν ίση αξία. Η βάση μπορεί να βρεθεί μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αφού γίνουν γνωστές οι τιμές και των τριών πλευρών, υπολογίζουμε την περίμετρο. Μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο P = a + b + c, όπου a και b είναι ίσες πλευρές και c είναι η βάση. Θυμηθείτε ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο a = b = a, που σημαίνει a + b = 2a, τότε P = 2a + c. Για παράδειγμα, η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 cm, ας βρούμε τη βάση και την περίμετρό του. Υπολογίζουμε την τιμή της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα με = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Τώρα υπολογίστε την περίμετρο P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Πώς να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου

Ένα κανονικό πολύγωνο εμφανίζεται στη ζωή μας κάθε μέρα, για παράδειγμα, ένα κανονικό τετράγωνο, τρίγωνο, οκτάγωνο. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα πιο εύκολο από το να φτιάξετε μόνοι σας αυτή τη φιγούρα. Αλλά αυτό είναι απλό μόνο με την πρώτη ματιά. Για να κατασκευάσετε οποιοδήποτε n-gon, πρέπει να γνωρίζετε την τιμή των γωνιών του. Πώς να τα βρείτε όμως; Ακόμη και αρχαίοι επιστήμονες προσπάθησαν να κατασκευάσουν κανονικά πολύγωνα. Κατάλαβαν πώς να τα χωρέσουν σε κύκλους. Και μετά σημειώθηκαν πάνω του τα απαραίτητα σημεία και συνδέθηκαν με ευθείες γραμμές. Για απλά σχήματα λύθηκε το κατασκευαστικό πρόβλημα. Λήφθηκαν τύποι και θεωρήματα. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης, στο διάσημο έργο του «Inception», ασχολήθηκε με την επίλυση προβλημάτων για 3-, 4-, 5-, 6- και 15-gons. Βρήκε τρόπους να τα κατασκευάσει και να βρει γωνίες. Ας δούμε πώς να το κάνουμε αυτό για ένα 15-gon. Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο S = 180⁰(n-2). Έτσι, μας δίνεται ένα 15-gon, που σημαίνει ότι ο αριθμός n είναι 15. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα που γνωρίζουμε στον τύπο και παίρνουμε S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Βρήκαμε το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός 15-γωνίου. Τώρα πρέπει να λάβετε την αξία καθενός από αυτά. Υπάρχουν 15 γωνίες συνολικά Κάνουμε τον υπολογισμό 2340⁰: 15 = 156⁰. Αυτό σημαίνει ότι κάθε εσωτερική γωνία είναι ίση με 156⁰, τώρα χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα μπορείτε να κατασκευάσετε ένα κανονικό 15-gon. Τι γίνεται όμως με τα πιο σύνθετα n-gons; Για πολλούς αιώνες, οι επιστήμονες αγωνίζονται να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Βρέθηκε μόλις τον 18ο αιώνα από τον Carl Friedrich Gauss. Ήταν σε θέση να κατασκευάσει ένα 65537-gon. Έκτοτε, το πρόβλημα θεωρείται επίσημα πλήρως λυμένο.

Υπολογισμός γωνιών n-gons σε ακτίνια

Φυσικά, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε τις γωνίες των πολυγώνων. Τις περισσότερες φορές υπολογίζονται σε μοίρες. Μπορούν όμως να εκφραστούν και σε ακτίνια. Πως να το κάνεις; Πρέπει να προχωρήσετε ως εξής. Αρχικά, ανακαλύπτουμε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου και μετά αφαιρούμε 2 από αυτό. Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε την τιμή: n - 2. Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορά που βρέθηκε με τον αριθμό n (“pi” = 3,14). Τώρα το μόνο που μένει είναι να διαιρέσουμε το γινόμενο που προκύπτει με τον αριθμό των γωνιών στο n-gon. Ας εξετάσουμε αυτούς τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το ίδιο δεκάγωνο ως παράδειγμα. Άρα, ο αριθμός n είναι 15. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Αυτός, φυσικά, δεν είναι ο μόνος τρόπος υπολογισμού μιας γωνίας σε ακτίνια. Μπορείτε απλά να διαιρέσετε τη γωνία σε μοίρες με 57,3. Άλλωστε, αυτό είναι πόσες μοίρες ισοδυναμούν με ένα ακτίνιο.

Υπολογισμός γωνιών σε μοίρες

Εκτός από τις μοίρες και τα ακτίνια, μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου σε μοίρες. Αυτό γίνεται ως εξής. Αφαιρέστε 2 από τον συνολικό αριθμό των γωνιών και διαιρέστε τη διαφορά που προκύπτει με τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα που βρέθηκε επί 200. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μονάδα μέτρησης γωνιών ως μοίρες πρακτικά δεν χρησιμοποιείται.

Υπολογισμός εξωτερικών γωνιών n-γωνίων

Για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, εκτός από το εσωτερικό, μπορείτε να υπολογίσετε και την εξωτερική γωνία. Η αξία του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για άλλα σχήματα. Έτσι, για να βρείτε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου, πρέπει να γνωρίζετε την τιμή του εσωτερικού. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών είναι πάντα ίσο με 180 μοίρες. Επομένως, κάνουμε τους υπολογισμούς ως εξής: 180⁰ μείον την τιμή της εσωτερικής γωνίας. Βρίσκουμε τη διαφορά. Θα είναι ίσο με την τιμή της γωνίας που γειτνιάζει με αυτό. Για παράδειγμα, η εσωτερική γωνία ενός τετραγώνου είναι 90 μοίρες, που σημαίνει ότι η εξωτερική γωνία θα είναι 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Όπως βλέπουμε, δεν είναι δύσκολο να το βρεις. Η εξωτερική γωνία μπορεί να πάρει μια τιμή από +180⁰ έως -180⁰, αντίστοιχα.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.