Πώς να βρείτε τη διαφορά προόδου. Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου

Ποια είναι η κύρια ουσία της φόρμουλας;

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε και τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά προόδου ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Το να απομνημονεύσετε (ή να ξαπλώσετε) αυτή τη φόρμουλα δεν αρκεί. Πρέπει να κατανοήσετε την ουσία του και να εφαρμόσετε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Και επίσης να μην ξεχνάμε την κατάλληλη στιγμή, ναι...) Πώς μην ξεχάσεις- Δεν γνωρίζω. Και εδώ πώς να θυμάστεΑν χρειαστεί, θα σας συμβουλεύσω οπωσδήποτε. Για όσους ολοκληρώσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Λοιπόν, ας δούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι γενικά μια φόρμουλα; Παρεμπιπτόντως, ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι είναι η θητεία.

Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος, α 4- το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστή - s ένα 120.

Πώς μπορούμε να το ορίσουμε με γενικούς όρους; όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου, με όποιοςαριθμός; Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι νος όρος μιας αριθμητικής προόδου.Το γράμμα n κρύβει όλους τους αριθμούς μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκεφτείτε, αντί για έναν αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητική πρόοδο. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και λύστε ένα σωρό άλλα προβλήματα προόδου. Θα δείτε μόνοι σας περαιτέρω.

Στον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου:

a n = a 1 + (n-1)d

Α'1- ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεΚαι n. Όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτές τις παραμέτρους.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, το πρόβλημα μπορεί να λέει ότι η πρόοδος καθορίζεται από τη συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να είναι αδιέξοδο... Δεν υπάρχει ούτε σειρά ούτε διαφορά... Όμως, συγκρίνοντας την συνθήκη με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι σε αυτή την εξέλιξη a 1 =5 και d=2.

Και μπορεί να είναι ακόμα χειρότερο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,Ναι, ανοίξτε τις παρενθέσεις και δώστε παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

a n = 3 + 2n.

Αυτό Απλά όχι γενικά, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ κρύβεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα ο πρώτος όρος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με έναν τέτοιο τροποποιημένο τύπο.

Στα προβλήματα προόδου υπάρχει μια άλλη σημείωση - ένα n+1. Αυτός είναι, όπως μαντέψατε, ο όρος "n συν πρώτος" της προόδου. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό n κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε a nπέμπτη θητεία τότε ένα n+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα n+1που βρέθηκαν σε τύπους υποτροπής. Μην φοβάστε αυτήν την τρομακτική λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός μέλους μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αμέσως, ας πούμε, τον εικοστό όρο; ένα 20? Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση!) Μέχρι να μάθουμε τον 19ο όρο, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τον 20ο. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επαναλαμβανόμενου τύπου και του τύπου του nου όρου. Τα επαναλαμβανόμενα έργα μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου είναι μέσω πρώτακαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίσετε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας επαναλαμβανόμενος τύπος σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη του μορφή και δουλέψτε μαζί του. Τέτοια καθήκοντα συναντώνται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.

Εφαρμογή του τύπου για τον νιο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Προσθέστε και προσθέστε... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Ας αποφασίσουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 =3, d=1/6.Μένει να καταλάβουμε τι είναι ίσο n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Γράφουμε λοιπόν:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει το μέλος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει τον πεντακόσιο δέκατο όρο, και τον χίλια τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε παρένθεση, και μετράμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω το σημείο: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα με πιο πονηρό τρόπο. Ας συναντήσουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n), εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε κάποιες δυσκολίες, θα σας πω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με τα χέρια σου, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

a n = a 1 + (n-1)d

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος... Είναι αυτό; Αν νομίζετε ότι είναι αυτό, τότε δεν θα λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε ακόμα έναν αριθμό n! Σε κατάσταση a 17 =-2κρυμμένος δύο παραμέτρους.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου όρου (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό», όχι το κεφάλι!) το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Αυτό είναι βασικά όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να τον υπολογίσουμε. Η απάντηση θα είναι: α 1 = 6.

Αυτή η τεχνική - καταγραφή ενός τύπου και απλώς αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ σε απλές εργασίες. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά μπορεί να μην μελετηθούν καθόλου...

Ένα άλλο δημοφιλές παζλ:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε; Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τη φόρμουλα!)

a n = a 1 + (n-1)d

Ας εξετάσουμε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (θα τονίσω ιδιαίτερα!) n=15. Μη διστάσετε να το αντικαταστήσετε στον τύπο:

12=2 + (15-1)δ

Κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Έτσι, τα καθήκοντα για α ν, α 1Και ρεαποφασισμένος. Το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές μας ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a n- αυτό είναι κάποιο μέλος της εξέλιξης με έναν αριθμό n...Και γνωρίζουμε αυτό το μέλος του progression! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,Αυτός ο αριθμός λοιπόν είναι αυτό που πρέπει να βρείτε. Αντικαθιστούμε τον όρο της προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί μας δίνονται μάτια;) Βλέπουμε τον πρώτο όρο της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 = -3,6.Διαφορά ρεμπορείς να προσδιορίσεις από μια σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Έτσι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με τον άγνωστο αριθμό nκαι ο ακατάληπτος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν... Τι να κάνουμε!; Λοιπόν, τι να κάνουμε, τι να κάνουμε... Άναψε Δημιουργικές δεξιότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι, ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου ανάμεσα στους εκατό πρώτους και εκατό δεύτερους όρους. Αν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. είναι θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: Οχι.

Μια εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη τίθεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιος τύπος... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Δεν πειράζει, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, αντικαθιστούμε n=1σε αυτόν τον τύπο:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Αναζητούμε τον δέκατο όρο με τον ίδιο τρόπο:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Αυτό είναι.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης της Κρατικής Εξέτασης ή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, έχετε ξεχάσει τον χρήσιμο τύπο για τον ένατο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Θυμάμαι κάτι, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο... Ή nεκεί, ή n+1, ή ν-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Όχι πολύ αυστηρά, αλλά για αυτοπεποίθηση και η σωστή απόφασησίγουρα αρκετά!) Για να βγάλουμε ένα συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθούμε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και να έχουμε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σημειώστε την πρώτη πάνω της. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώνουμε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: τι σημαίνει ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες; Δεν είναι τυχαίο που επισημαίνω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα).

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, Πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Δηλαδή στον αριθμό n, αριθμός διαστημάτωνθα n-1.Επομένως, ο τύπος θα είναι (χωρίς παραλλαγές!):

a n = a 1 + (n-1)d

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών στη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείτε να εισάγετε μια εικόνα στην εξίσωση...

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Βρείτε ένα 3.

Υπόδειξη: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε 20 δευτερόλεπτα... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για την κυριαρχία του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τόσο την εικόνα όσο και τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, δεν θέλετε να ζωγραφίσετε;) Φυσικά! Καλύτερα σύμφωνα με τον τύπο, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτήν την εργασία, η πρόοδος καθορίζεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν είναι όλοι ικανοί για ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα του nου όρου είναι στη δύναμη του καθενός!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.

5. Σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας 4, να βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών όρων της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι ίσο με μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι...) Η μέθοδος "δάχτυλο" δεν θα λειτουργήσει εδώ. Θα πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην τελευταία εργασία. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για τον τέταρτο, και το λεπτό σημείο για τον έκτο, και γενικές προσεγγίσεις για την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν τον τύπο του nου όρου - περιγράφονται τα πάντα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Λοιπόν, ας καθίσουμε και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με μια ευρύτερη έννοια ως μια άπειρη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου όρου της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολα, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, α, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

• ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι διπλή αξίαμέλος της προόδου που βρίσκεται ανάμεσά τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός όρου προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, πρέπει να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Καρλ Γκάους ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ρώτησε το εξής πρόβλημα στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων φυσικούς αριθμούςαπό έως (σύμφωνα με άλλες πηγές έως) συμπεριλαμβανομένων." Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Το έχεις δοκιμάσει; Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες;

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, πνευματώδεις άνθρωποι έκαναν πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε Αρχαία Αίγυπτοςκαι το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - η κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος εάν τοποθετηθούν τούβλα από τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες;
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές η Μάσα θα κάνει squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Κατά την αποθήκευση των κορμών, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε το καθένα ανώτερο στρώμαπεριέχει ένα ημερολόγιο λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.

3. Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ας το συνοψίσουμε

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
4. Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται το οο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα; Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με τον μύθο, μεγάλος μαθηματικόςΟ Καρλ Γκάους, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας στον προηγούμενο αριθμό. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
3. Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
   Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος εύρεσης του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

ΤΑ ΥΠΟΜΕΝΟΝΤΑ 2/3 ΑΡΘΡΩΝ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΜΟΝΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ YOUCLEVER!

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση ή την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά στην τιμή «ένα φλιτζάνι καφέ το μήνα»,

Επίσης, αποκτήστε απεριόριστη πρόσβαση στο εγχειρίδιο "YouClever", το πρόγραμμα προετοιμασίας "100gia" (βιβλίο εργασίας), απεριόριστη δοκιμαστική εξέταση Unified State Examination και Unified State Examination, 6000 προβλήματα με ανάλυση λύσεων και άλλες υπηρεσίες YouClever και 100gia.

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Θεωρητικές πληροφορίες

Θεωρητικές πληροφορίες

	Αριθμητική πρόοδος	Γεωμετρική πρόοδος
Ορισμός	Αριθμητική πρόοδος a nείναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό ρε (ρε- διαφορά εξέλιξης)	Γεωμετρική πρόοδος b nείναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε όρος των οποίων, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό q (q- παρονομαστής προόδου)
Φόρμουλα υποτροπής	Για κάθε φυσικό n a n + 1 = a n + d	Για κάθε φυσικό n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Φόρμουλα ντος όρος	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Χαρακτηριστική ιδιότητα
Άθροισμα των πρώτων ν όρων

Παραδείγματα εργασιών με σχόλια

Ασκηση 1

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) Α'1 = -6, Α2

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

ένα 22 = Α'1+ d (22 - 1) = Α'1+ 21 d

Κατά όρο:

Α'1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21 d .

Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 2

Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου: -3; 6;....

1η μέθοδος (χρησιμοποιώντας τον τύπο n-term)

Σύμφωνα με τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Επειδή β 1 = -3,

2η μέθοδος (με χρήση επαναλαμβανόμενου τύπου)

Εφόσον ο παρονομαστής της προόδου είναι -2 (q = -2), τότε:

β 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

β 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

β 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: β 5 = -48.

Εργασία 3

Σε αριθμητική πρόοδο ( α ν ) α 74 = 34; ένα 76= 156. Βρείτε τον εβδομήντα πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, η χαρακτηριστική ιδιότητα έχει τη μορφή .

Επομένως:

.

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

Απάντηση: 95.

Εργασία 4

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n ) a n= 3n - 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δεκαεπτά όρων.

Για να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούνται δύο τύποι:

.

Ποιο από αυτά είναι πιο βολικό στη χρήση σε αυτήν την περίπτωση;

Κατά συνθήκη, ο τύπος για τον nο όρο της αρχικής προόδου είναι γνωστός ( a n) a n= 3n - 4. Μπορείτε να βρείτε αμέσως και Α'1, Και ένα 16χωρίς να βρεθεί δ. Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο.

Απάντηση: 368.

Εργασία 5

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) Α'1 = -6; Α2= -8. Βρείτε τον εικοστό δεύτερο όρο της προόδου.

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = Α'1+ 21η.

Κατά όρο, εάν Α'1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21η . Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 6

Γράφονται αρκετοί διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου:

Βρείτε τον όρο της προόδου που υποδεικνύεται με x.

Κατά την επίλυση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον nο όρο b n = b 1 ∙ q n - 1για γεωμετρικές προόδους. Ο πρώτος όρος της προόδου. Για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου q, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε από τους δεδομένους όρους της προόδου και να διαιρέσετε με τον προηγούμενο. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να πάρουμε και να διαιρέσουμε με. Λαμβάνουμε ότι q = 3. Αντί για n, αντικαθιστούμε 3 στον τύπο, αφού είναι απαραίτητο να βρούμε τον τρίτο όρο μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε:

.

Απάντηση:.

Εργασία 7

Από τις αριθμητικές προόδους που δίνονται από τον τύπο του nου όρου, επιλέξτε αυτή για την οποία ικανοποιείται η συνθήκη ένα 27 > 9:

Εφόσον η δεδομένη συνθήκη πρέπει να ικανοποιηθεί για τον 27ο όρο της προόδου, αντικαθιστούμε 27 αντί για n σε καθεμία από τις τέσσερις προόδους. Στην 4η εξέλιξη παίρνουμε:

.

Απάντηση: 4.

Εργασία 8

Σε αριθμητική πρόοδο Α'1= 3, d = -1,5. Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή του n για την οποία ισχύει η ανισότητα a n > -6.

Αν για κάθε φυσικό αριθμό n ταιριάζει με έναν πραγματικό αριθμό a n , τότε λένε ότι δίνεται σειρά αριθμών :

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n , . . . .

Άρα, η αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος.

Αριθμός ένα 1 που ονομάζεται πρώτο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 2 — δεύτερος όρος της ακολουθίας , αριθμός ένα 3 — τρίτος και ούτω καθεξής. Αριθμός a n που ονομάζεται η θητείαακολουθίες και ένας φυσικός αριθμός n — τον αριθμό του .

Από δύο παρακείμενα μέλη a n Και a n +1 μέλος της ακολουθίας a n +1 που ονομάζεται μεταγενέστερος (προς a n ), ΕΝΑ a n — προηγούμενος (προς a n +1 ).

Για να ορίσετε μια ακολουθία, πρέπει να καθορίσετε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρείτε ένα μέλος της ακολουθίας με οποιονδήποτε αριθμό.

Συχνά η ακολουθία καθορίζεται χρησιμοποιώντας τύποι nου όρου , δηλαδή ένας τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος μιας ακολουθίας από τον αριθμό της.

Για παράδειγμα,

ακολουθία θετικών περιττοί αριθμοίμπορεί να δοθεί από τον τύπο

a n= 2n- 1,

και η ακολουθία των εναλλασσόμενων 1 Και -1 - φόρμουλα

σι n = (-1)n +1 . ◄

Η σειρά μπορεί να προσδιοριστεί επαναλαμβανόμενη φόρμουλα, δηλαδή ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από μερικά, μέσα από τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα) μέλη.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 1 , ΕΝΑ a n +1 = a n + 5

ένα 1 = 1,

ένα 2 = ένα 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ένα 3 = ένα 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ένα 4 = ένα 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ένα 5 = ένα 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Αν Α'1= 1, Α2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , τότε οι πρώτοι επτά όροι της αριθμητικής ακολουθίας καθορίζονται ως εξής:

Α'1 = 1,

Α2 = 1,

α 3 = Α'1 + Α2 = 1 + 1 = 2,

α 4 = Α2 + α 3 = 1 + 2 = 3,

α 5 = α 3 + α 4 = 2 + 3 = 5,

ένα 6 = ένα 4 + ένα 5 = 3 + 5 = 8,

ένα 7 = ένα 5 + ένα 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Οι ακολουθίες μπορεί να είναι τελικός Και ατελείωτες .

Η ακολουθία ονομάζεται τελικός , εάν έχει πεπερασμένο αριθμό μελών. Η ακολουθία ονομάζεται ατελείωτες , αν έχει άπειρα μέλη.

Για παράδειγμα,

ακολουθία διψήφιων φυσικών αριθμών:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

τελικός.

Ακολουθία πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ατελείωτες. ◄

Η ακολουθία ονομάζεται αυξανόμενη , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

Η ακολουθία ονομάζεται μειώνεται , αν κάθε μέλος του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Για παράδειγμα,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — αυξανόμενη ακολουθία.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — φθίνουσα ακολουθία. ◄

Μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία δεν μειώνονται όσο αυξάνεται ο αριθμός ή, αντίθετα, δεν αυξάνονται, ονομάζεται μονότονη ακολουθία .

Οι μονοτονικές ακολουθίες, ειδικότερα, είναι αλληλουχίες αύξησης και φθίνουσας αλληλουχίας.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο, στο οποίο προστίθεται ο ίδιος αριθμός.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n, . . .

είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

a n +1 = a n + ρε,

Οπου ρε - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, η διαφορά μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων όρων μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου είναι πάντα σταθερή:

Α2 - ένα 1 = α 3 - ένα 2 = . . . = a n +1 - a n = ρε.

Αριθμός ρε που ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου.

Για να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο, αρκεί να υποδείξουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 3, ρε = 4 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

Α'1 =3,

Α2 = Α'1 + ρε = 3 + 4 = 7,

α 3 = Α2 + ρε= 7 + 4 = 11,

α 4 = α 3 + ρε= 11 + 4 = 15,

ένα 5 = ένα 4 + ρε= 15 + 4 = 19. ◄

Για μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο ένα 1 και η διαφορά ρε αυτήν n

a n = Α'1 + (n- 1)ρε.

Για παράδειγμα,

βρείτε τον τριακοστό όρο της αριθμητικής προόδου

1, 4, 7, 10, . . .

Α'1 =1, ρε = 3,

ένα 30 = Α'1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ένα n-1 = Α'1 + (n- 2)ρε,

a n= Α'1 + (n- 1)ρε,

a n +1 = ένα 1 + nd,

τότε προφανώς

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι κάποιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ένας από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

a n = 2n- 7 , είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

a n = 2n- 7,

ένα n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ένα n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ως εκ τούτου,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω ένα 1 , αλλά και κάθε προηγούμενο ένα κ

a n = ένα κ + (n- κ)ρε.

Για παράδειγμα,

Για ένα 5 μπορεί να καταγραφεί

α 5 = Α'1 + 4ρε,

α 5 = Α2 + 3ρε,

α 5 = α 3 + 2ρε,

α 5 = α 4 + ρε. ◄

a n = ένα ν-κ + κδ,

a n = ένα ν+κ - κδ,

τότε προφανώς

a n=	ένα ν-κ + α n+k
	2

οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των ίσων απεχόντων μελών αυτής της αριθμητικής προόδου.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο

1) ένα 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ένα 9 + ένα 11 )/2;

2) 28 = ένα 10 = α 3 + 7ρε= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ένα 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ένα 7 + ένα 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, επειδή

α 2 + α 12= 4 + 34 = 38,

ένα 5 + ένα 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

πρώτα n Οι όροι μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσοι με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων όρων και του αριθμού των όρων:

Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι εάν χρειαστεί να συνοψίσετε τους όρους

ένα κ, ένα κ +1 , . . . , a n,

τότε ο προηγούμενος τύπος διατηρεί τη δομή του:

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

μικρό 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = μικρό 10 - μικρό 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Αν δίνεται αριθμητική πρόοδος, τότε οι ποσότητες ένα 1 , a n, ρε, nΚαιμικρό n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο ποσοτήτων καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια μονότονη ακολουθία. Εν:

• Αν ρε > 0 , τότε αυξάνεται.
• Αν ρε < 0 , τότε μειώνεται.
• Αν ρε = 0 , τότε η ακολουθία θα είναι ακίνητη.

Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό.

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . , b n, . . .

είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

b n +1 = b n · q,

Οπου q ≠ 0 - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, ο λόγος του επόμενου όρου μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου προς τον προηγούμενο είναι ένας σταθερός αριθμός:

σι 2 / σι 1 = σι 3 / σι 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Αριθμός q που ονομάζεται παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου.

Για να ορίσουμε μια γεωμετρική πρόοδο, αρκεί να υποδείξουμε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της.

Για παράδειγμα,

Αν σι 1 = 1, q = -3 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

β 1 = 1,

β 2 = β 1 · q = 1 · (-3) = -3,

β 3 = β 2 · q= -3 · (-3) = 9,

β 4 = β 3 · q= 9 · (-3) = -27,

σι 5 = σι 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

σι 1 και παρονομαστής q αυτήν n Ο όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

b n = σι 1 · qn -1 .

Για παράδειγμα,

βρείτε τον έβδομο όρο της γεωμετρικής προόδου 1, 2, 4, . . .

σι 1 = 1, q = 2,

σι 7 = σι 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = β 1 · qn -2 ,

b n = β 1 · qn -1 ,

b n +1 = σι 1 · qn,

τότε προφανώς

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

κάθε μέλος της γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το γεωμετρικό μέσο (αναλογικό) των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Εφόσον ισχύει και το αντίστροφο, ισχύει η ακόλουθη δήλωση:

οι αριθμοί a, b και c είναι διαδοχικοί όροι κάποιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν το τετράγωνο ενός από αυτούς είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο, δηλαδή ένας από τους αριθμούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

Ας αποδείξουμε ότι η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο b n= -3 2 n , είναι μια γεωμετρική πρόοδος. Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ως εκ τούτου,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

που αποδεικνύει την επιθυμητή δήλωση. ◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω σι 1 , αλλά και οποιοδήποτε προηγούμενο μέλος β κ , για το οποίο αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

b n = β κ · qn - κ.

Για παράδειγμα,

Για σι 5 μπορεί να καταγραφεί

β 5 = β 1 · q 4 ,

β 5 = β 2 · q 3,

β 5 = β 3 · q 2,

β 5 = β 4 · q. ◄

b n = β κ · qn - κ,

b n = b n - κ · q k,

τότε προφανώς

b n 2 = b n - κ· b n + κ

το τετράγωνο οποιουδήποτε όρου μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το γινόμενο των όρων αυτής της προόδου που ισαπέχουν από αυτόν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο ισχύει η ισότητα:

b m· b n= β κ· β λ,

Μ+ n= κ+ μεγάλο.

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο

1) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = σι 5 · σι 7 ;

2) 1024 = σι 11 = σι 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = σι 4 · σι 8 ;

4) σι 2 · σι 7 = σι 4 · σι 5 , επειδή

σι 2 · σι 7 = 2 · 64 = 128,

σι 4 · σι 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . + b n

πρώτα n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q ≠ 0 υπολογίζεται με τον τύπο:

Και πότε q = 1 - σύμφωνα με τον τύπο

S n= σημ 1

Σημειώστε ότι εάν χρειάζεται να συνοψίσετε τους όρους

β κ, β κ +1 , . . . , b n,

τότε χρησιμοποιείται ο τύπος:

S n- S k -1 = β κ + β κ +1 + . . . + b n = β κ ·	1 - qn - κ +1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

μικρό 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = μικρό 10 - μικρό 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Αν δίνεται γεωμετρική πρόοδος, τότε οι ποσότητες σι 1 , b n, q, nΚαι S n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δοθούν οι τιμές οποιωνδήποτε τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο ποσοτήτων καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο σι 1 και παρονομαστής q λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα ιδιότητες της μονοτονίας :

• Η εξέλιξη αυξάνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και q> 1;

σι 1 < 0 Και 0 < q< 1;

• Η εξέλιξη μειώνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και 0 < q< 1;

σι 1 < 0 Και q> 1.

Αν q< 0 , τότε η γεωμετρική πρόοδος εναλλάσσεται: οι όροι του με περιττούς αριθμούς έχουν το ίδιο πρόσημο με τον πρώτο όρο και οι όροι με ζυγούς αριθμούς έχουν το αντίθετο πρόσημο. Είναι σαφές ότι μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδος δεν είναι μονότονη.

Προϊόν του πρώτου n Οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πν= β 1 · β 2 · β 3 · . . . · b n = (β 1 · b n) n / 2 .

Για παράδειγμα,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται άπειρη γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο συντελεστής παρονομαστή είναι μικρότερος 1 , αυτό είναι

|q| < 1 .

Σημειώστε ότι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να μην είναι μια φθίνουσα ακολουθία. Ταιριάζει στην περίσταση

1 < q< 0 .

Με έναν τέτοιο παρονομαστή, η ακολουθία εναλλάσσεται. Για παράδειγμα,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου ονομάστε τον αριθμό στον οποίο πλησιάζει το άθροισμα των πρώτων χωρίς όριο n μέλη μιας προόδου με απεριόριστη αύξηση του αριθμού n . Αυτός ο αριθμός είναι πάντα πεπερασμένος και εκφράζεται με τον τύπο

μικρό= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . =	σι 1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Σχέση αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου

Οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές προόδους συνδέονται στενά. Ας δούμε μόνο δύο παραδείγματα.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . ρε , Οτι

β α 1 , β α 2 , β α 3 , . . . β δ .

Για παράδειγμα,

1, 3, 5, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 Και

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 7 2 . ◄

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή q , Οτι

καταγραφή α β 1, καταγραφή α β 2, καταγραφή α β 3, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά κούτσουρο αq .

Για παράδειγμα,

2, 12, 72, . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 6 Και

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά lg 6 . ◄

Η έννοια της ακολουθίας αριθμών υπονοεί ότι κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποια πραγματική τιμή. Μια τέτοια σειρά αριθμών μπορεί να είναι είτε αυθαίρετη είτε να έχει ορισμένες ιδιότητες - μια εξέλιξη. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο (μέλος) της ακολουθίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το προηγούμενο.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμητικών τιμών στην οποία τα γειτονικά μέλη της διαφέρουν μεταξύ τους κατά τον ίδιο αριθμό (όλα τα στοιχεία της σειράς, ξεκινώντας από το 2ο, έχουν παρόμοια ιδιότητα). Αυτός ο αριθμός– η διαφορά μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων είναι σταθερή και ονομάζεται διαφορά προόδου.

Διαφορά προόδου: ορισμός

Θεωρήστε μια ακολουθία που αποτελείται από j τιμές A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N. Μια αριθμητική πρόοδος, σύμφωνα με τον ορισμό της, είναι μια ακολουθία , στην οποία a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Η τιμή d είναι η επιθυμητή διαφορά αυτής της προόδου.

d = a(j) – a(j-1).

Αποκορύφωμα:

• Μια αυξανόμενη πρόοδος, οπότε d > 0. Παράδειγμα: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Μείωση της εξέλιξης, τότε d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Η εξέλιξη της διαφοράς και τα αυθαίρετα στοιχεία της

Εάν είναι γνωστοί 2 αυθαίρετοι όροι της προόδου (i-ος, k-ος), τότε η διαφορά για μια δεδομένη ακολουθία μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τη σχέση:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, που σημαίνει d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Διαφορά προόδου και πρώτος όρος της

Αυτή η έκφραση θα βοηθήσει στον προσδιορισμό μιας άγνωστης τιμής μόνο σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας είναι γνωστός.

Διαφορά προόδου και το άθροισμά της

Το άθροισμα μιας προόδου είναι το άθροισμα των όρων της. Για να υπολογίσετε τη συνολική τιμή των πρώτων j στοιχείων του, χρησιμοποιήστε τον κατάλληλο τύπο:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, αλλά αφού a(j) = a(1) + d(j – 1), μετά S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.