Η επίλυση προβλημάτων στα μαθηματικά για τους μαθητές συνοδεύεται συχνά από πολλές δυσκολίες. Το να βοηθήσουμε τον μαθητή να αντιμετωπίσει αυτές τις δυσκολίες, καθώς και να τον διδάξουμε πώς να εφαρμόζει τις θεωρητικές του γνώσεις στην επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων σε όλες τις ενότητες του μαθήματος του μαθήματος "Μαθηματικά" είναι ο κύριος σκοπός του ιστότοπού μας.
Ξεκινώντας να λύνουν προβλήματα σχετικά με το θέμα, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να χτίσουν ένα σημείο σε ένα επίπεδο σύμφωνα με τις συντεταγμένες του, καθώς και να βρουν τις συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου.
Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων που λαμβάνονται στο επίπεδο A (x A, y A) και B (x B, y B) πραγματοποιείται με τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), όπου d είναι το μήκος του τμήματος που συνδέει αυτά τα σημεία στο επίπεδο.
Εάν ένα από τα άκρα του τμήματος συμπίπτει με την αρχή και το άλλο έχει συντεταγμένες M (x M; y M), τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του d θα λάβει τη μορφή OM = √ (x M 2 + y M 2).
1. Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων με δεδομένες τις συντεταγμένες αυτών των σημείων
Παράδειγμα 1.
Βρείτε το μήκος του τμήματος που συνδέεται επίπεδο συντεταγμένωνσημεία A(2; -5) και B(-4; 3) (Εικ. 1).
Λύση.
Δίνεται η συνθήκη του προβλήματος: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 και y B = 3. Να βρείτε το d.
Εφαρμόζοντας τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), παίρνουμε:
d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.
2. Υπολογισμός των συντεταγμένων ενός σημείου που ισαπέχει από τρία δεδομένα σημεία
Παράδειγμα 2
Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου O 1, που ισαπέχει από τα τρία σημεία A(7; -1) και B(-2; 2) και C(-1; -5).
Λύση.
Από τη διατύπωση της συνθήκης του προβλήματος προκύπτει ότι O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Έστω το επιθυμητό σημείο O 1 συντεταγμένες (a; b). Σύμφωνα με τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) βρίσκουμε:
O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Συνθέτουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Μετά το τετράγωνο του αριστερού και σωστά μέρηεξισώσεις γράφουμε:
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Απλοποιώντας, γράφουμε
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.
Έχοντας λύσει το σύστημα, παίρνουμε: a = 2; b = -1.
Το σημείο O 1 (2; -1) απέχει ίση από τα τρία σημεία που δίνονται στην συνθήκη που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τρία δοθέντες πόντους (Εικ. 2).
3. Υπολογισμός της τετμημένης (τεταγμένης) σημείου που βρίσκεται στον άξονα της τετμημένης (τεταγμένης) και βρίσκεται σε δεδομένη απόσταση από αυτό το σημείο
Παράδειγμα 3
Η απόσταση από το σημείο Β(-5; 6) μέχρι το σημείο Α που βρίσκεται στον άξονα x είναι 10. Βρείτε το σημείο Α.
Λύση.
Από τη διατύπωση της συνθήκης του προβλήματος προκύπτει ότι η τεταγμένη του σημείου Α είναι μηδέν και ΑΒ = 10.
Δηλώνοντας την τετμημένη του σημείου Α έως α, γράφουμε Α(α; 0).
AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).
Παίρνουμε την εξίσωση √((a + 5) 2 + 36) = 10. Απλοποιώντας την, έχουμε
a 2 + 10a - 39 = 0.
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης a 1 = -13; και 2 = 3.
Παίρνουμε δύο βαθμούς A 1 (-13; 0) και A 2 (3; 0).
Εξέταση:
A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.
A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.
Και οι δύο βαθμοί που αποκτήθηκαν ταιριάζουν στην κατάσταση του προβλήματος (Εικ. 3).
4. Υπολογισμός της τετμημένης (τεταγμένης) σημείου που βρίσκεται στον άξονα της τετμημένης (τεταγμένης) και βρίσκεται στην ίδια απόσταση από δύο δεδομένα σημεία
Παράδειγμα 4
Βρείτε ένα σημείο στον άξονα Oy που βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα σημεία A (6; 12) και B (-8; 10).
Λύση.
Έστω οι συντεταγμένες του σημείου που απαιτείται από τη συνθήκη του προβλήματος, που βρίσκεται στον άξονα Oy, O 1 (0; b) (στο σημείο που βρίσκεται στον άξονα Oy, η τετμημένη είναι ίση με μηδέν). Από την προϋπόθεση ότι O 1 A \u003d O 1 V.
Σύμφωνα με τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) βρίσκουμε:
O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);
O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).
Έχουμε την εξίσωση √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ή 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .
Μετά την απλοποίηση, παίρνουμε: b - 4 = 0, b = 4.
Απαιτείται από τη συνθήκη του προβλήματος σημείο O 1 (0; 4) (Εικ. 4).
5. Υπολογισμός των συντεταγμένων ενός σημείου που βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τους άξονες συντεταγμένων και κάποιο δεδομένο σημείο
Παράδειγμα 5
Βρείτε το σημείο Μ που βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων στην ίδια απόσταση από τους άξονες συντεταγμένων και από το σημείο Α (-2; 1).
Λύση.
Το απαιτούμενο σημείο Μ, όπως το σημείο Α (-2, 1), βρίσκεται στη δεύτερη γωνία συντεταγμένων, καθώς απέχει από τα σημεία A, P 1 και P 2 (Εικ. 5). Οι αποστάσεις του σημείου Μ από τους άξονες των συντεταγμένων είναι ίδιες, επομένως, οι συντεταγμένες του θα είναι (-a; a), όπου a > 0.
Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,
εκείνοι. |-α| = α.
Σύμφωνα με τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) βρίσκουμε:
MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).
Ας κάνουμε μια εξίσωση:
√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.
Μετά τον τετραγωνισμό και την απλοποίηση, έχουμε: a 2 - 6a + 5 = 0. Λύνουμε την εξίσωση, βρίσκουμε a 1 = 1; και 2 = 5.
Λαμβάνουμε δύο βαθμούς M 1 (-1; 1) και M 2 (-5; 5), ικανοποιώντας τη συνθήκη του προβλήματος. 
6. Υπολογισμός των συντεταγμένων ενός σημείου που βρίσκεται στην ίδια καθορισμένη απόσταση από τον άξονα της τετμημένης (τεταγμένης) και από αυτό το σημείο
Παράδειγμα 6
Βρείτε ένα σημείο Μ τέτοιο ώστε η απόσταση του από τον άξονα y και από το σημείο Α (8, 6) να είναι ίση με 5.
Λύση.
Από την συνθήκη του προβλήματος προκύπτει ότι MA = 5 και η τετμημένη του σημείου M είναι ίση με 5. Έστω η τεταγμένη του σημείου M ίση με b, τότε M(5; b) (Εικ. 6).
Σύμφωνα με τον τύπο d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) έχουμε:
MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).
Ας κάνουμε μια εξίσωση:
√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Απλοποιώντας το, παίρνουμε: b 2 - 12b + 20 = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Επομένως, υπάρχουν δύο σημεία που ικανοποιούν την συνθήκη του προβλήματος: M 1 (5; 2) και M 2 (5; 10).
Είναι γνωστό ότι πολλοί μαθητές, όταν λύνουν προβλήματα μόνοι τους, χρειάζονται συνεχείς διαβουλεύσεις για τεχνικές και μεθόδους επίλυσής τους. Συχνά, ένας μαθητής δεν μπορεί να βρει τρόπο να λύσει ένα πρόβλημα χωρίς τη βοήθεια ενός δασκάλου. Ο μαθητής μπορεί να λάβει τις απαραίτητες συμβουλές για την επίλυση προβλημάτων στην ιστοσελίδα μας.
Έχετε ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
Let , (Εικόνα 2.3). Απαιτείται να βρεθεί.
Εικόνα 2.3. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων.
Από ορθογώνιο από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε
Αυτό είναι ,
Αυτός ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε διάταξη σημείων και .
II. Η διαίρεση του τμήματος ως προς αυτό:
Αφήστε , . Απαιτείται να βρεθεί η ξαπλωμένη στο τμήμα και να διαιρεθεί σε αυτή την αναλογία (Εικόνα 2.4.).
Εικόνα 2.4. Η διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη.
Από ομοιότητα ~ , δηλαδή , από πού . Επίσης.
Ετσι,
- ο τύπος για τη διαίρεση ενός τμήματος σε σχέση με .
Αν τότε
είναι οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.
Σχόλιο.Οι παραγόμενοι τύποι μπορούν επίσης να γενικευτούν στην περίπτωση ενός χωρικού ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αφήστε σημεία , . Επειτα
- τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ σημείων και .
Ο τύπος για τη διαίρεση ενός τμήματος σε σχέση με .
Εκτός από το καρτεσιανό στο επίπεδο και στο διάστημα, μπορεί κανείς να κατασκευάσει μεγάλος αριθμόςάλλα συστήματα συντεταγμένων, δηλαδή τρόποι χαρακτηρισμού της θέσης ενός σημείου σε ένα επίπεδο ή στο χώρο χρησιμοποιώντας δύο ή τρεις αριθμητικές παραμέτρους (συντεταγμένες). Ας δούμε μερικά από υπάρχοντα συστήματασυντεταγμένες.
Σε ένα αεροπλάνο, μπορεί κανείς να ορίσει πολικό σύστημα συντεταγμένων , το οποίο χρησιμοποιείται, ειδικότερα, στη μελέτη περιστροφικών κινήσεων.
Εικόνα 2.5. Πολικό σύστημα συντεταγμένων.
Καθορίζουμε ένα σημείο στο επίπεδο και μια μισή γραμμή που αναδύεται από αυτό και επίσης επιλέγουμε μια μονάδα κλίμακας (Εικόνα 2.5). Το σημείο λέγεται Πόλος , μισή γραμμή - πολικός άξονας . Ας αντιστοιχίσουμε δύο αριθμούς σε ένα αυθαίρετο σημείο:
– πολική ακτίνα , ίση με την απόσταση από το σημείο M έως τον πόλο O.
– πολική γωνία , ίσο με τη γωνίαμεταξύ του πολικού άξονα και της μισής γραμμής.
Μετρούμενη σε ακτίνια, η μέτρηση της θετικής κατεύθυνσης των τιμών είναι από αριστερόστροφα, συνήθως θεωρείται ότι είναι .
Ο πόλος αντιστοιχεί στην πολική ακτίνα, η πολική γωνία για αυτόν δεν έχει οριστεί.
Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ ορθογώνιων και πολικών συντεταγμένων (Εικόνα 2.6).
Εικόνα 2.6. Σχέση ορθογώνιων και πολικών συστημάτων συντεταγμένων.
Θα θεωρήσουμε την αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ως πόλο και θα πάρουμε τη δέσμη ως πολικό άξονα. Έστω - σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και - σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων. Βρείτε τη σχέση μεταξύ ορθογώνιων και πολικών συντεταγμένων.
Από ορθογώνιο, και από ορθογώνιο. Οι τύποι λοιπόν
εκφράζουν τις ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου ως προς τις πολικές συντεταγμένες του.
Η αντίστροφη σχέση εκφράζεται με τους τύπους
Σχόλιο.Η πολική γωνία μπορεί επίσης να προσδιοριστεί από τον τύπο, αφού προηγουμένως είχε προσδιοριστεί με ορθογώνιες συντεταγμένες σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο.
Παράδειγμα 1Βρείτε τις πολικές συντεταγμένες του σημείου .
Λύση.Υπολογίστε ; Η πολική γωνία βρίσκεται από τις συνθήκες:
Επομένως, , επομένως .
Παράδειγμα 2Να βρείτε τις ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου .
Λύση.Υπολογίζω
Παίρνουμε .
Στον τρισδιάστατο χώρο, εκτός από το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, χρησιμοποιούνται συχνά κυλινδρικά και σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων.
Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένωνείναι ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο , στο οποίο προστίθεται ο χωρικός άξονας, κάθετα σε αυτό το επίπεδο (Εικόνα 2.7). Η θέση οποιουδήποτε σημείου χαρακτηρίζεται από τρεις αριθμούς - τις κυλινδρικές συντεταγμένες του: , όπου και είναι οι πολικές συντεταγμένες (πολική ακτίνα και πολική γωνία) της προβολής του σημείου στο επίπεδο στο οποίο επιλέγεται το πολικό σύστημα συντεταγμένων, - η εφαρμογή , που ισούται με την απόσταση από το σημείο μέχρι το καθορισμένο επίπεδο.
Εικόνα 2.7. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων
Για να καθορίσουμε τη σχέση μεταξύ του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων, θα τα τακτοποιήσουμε το ένα ως προς το άλλο όπως στο σχήμα 2.8 (θα τοποθετήσουμε το επίπεδο στο επίπεδο και ο πολικός άξονας συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα , ο άξονας είναι κοινός και στα δύο συστήματα συντεταγμένων).
Αφήνω να είναι οι ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου , να είναι οι κυλινδρικές συντεταγμένες αυτού του σημείου και να είναι η προβολή του σημείου στο επίπεδο . Επειτα
τύποι που σχετίζονται με ορθογώνιες και κυλινδρικές συντεταγμένες ενός σημείου.
Εικόνα 2.8. Σχέση ορθογώνιου καρτεσιανού
και κυλινδρικά συστήματα συντεταγμένων
Σχόλιο.Οι κυλινδρικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται συχνά όταν εξετάζουμε σώματα περιστροφής και ο άξονας βρίσκεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής.
Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένωνμπορεί να κατασκευαστεί με τον ακόλουθο τρόπο. Επιλέγουμε τον πολικό άξονα στο επίπεδο. Μέσα από το σημείο τραβάμε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο (κανονική). Τότε οποιοδήποτε σημείο στο χώρο μπορεί να συσχετιστεί με τρεις πραγματικούς αριθμούς, όπου είναι η απόσταση από το σημείο έως, είναι η γωνία μεταξύ του άξονα και η προβολή του τμήματος στο επίπεδο, είναι η γωνία μεταξύ του κανονικού και του τμήματος. Σημειώσε ότι , , .
Εάν τοποθετήσουμε το επίπεδο στο επίπεδο και επιλέξουμε τον πολικό άξονα που συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα, επιλέξουμε τον άξονα ως κανονικό (Εικόνα 2.9), τότε λαμβάνουμε τύπους που συνδέουν αυτά τα δύο συστήματα συντεταγμένων
Εικόνα 2.9. Σχέση μεταξύ σφαιρικού και ορθογώνιου καρτεσιανού
συστήματα συντεταγμένων
σκαλοπάτια,ή βαθμωτών χαρακτηρίζονται πλήρως από την αριθμητική τους αξία στο επιλεγμένο σύστημα μονάδων. Διανυσματικές ποσότητες ή διανύσματα, εκτός από αριθμητική τιμή, έχουν και διεύθυνση. Για παράδειγμα, αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s, τότε θα εισαγάγουμε την κλιμακωτή τιμή της ταχύτητας του ανέμου, αλλά αν πούμε ότι ο νοτιοδυτικός άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s , τότε σε αυτήν την περίπτωση η ταχύτητα του ανέμου θα είναι ήδη διάνυσμα.
Διάνυσμαονομάζεται ένα κατευθυνόμενο τμήμα, που έχει ορισμένο μήκος, δηλ. ένα τμήμα συγκεκριμένου μήκους, στο οποίο ένα από τα περιοριστικά σημεία λαμβάνεται ως αρχή και το δεύτερο ως τέλος. Το διάνυσμα θα συμβολίζεται είτε , είτε (Εικόνα 2.10).
Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το σύμβολο ή και ονομάζεται συντελεστής του διανύσματος. Ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1 ονομάζεται μονόκλινο . Το διάνυσμα ονομάζεται μηδέν , αν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν και συμβολίζεται με θ ή . Το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει καθορισμένη κατεύθυνση και έχει μήκος ίσο με μηδέν. Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμική . Δύο διανύσματα και λέγονται ίσος αν είναι συγγραμμικά, έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση. Όλα τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα.
Δύο συγγραμμικά διανύσματα, διαφορετικό από το μηδέν, έχοντας ίσες ενότητες, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, ονομάζονται απεναντι απο . Το αντίθετο διάνυσμα συμβολίζεται με , για το αντίθετο διάνυσμα .
Στον αριθμό λειτουργίες γραμμής τα over vectors περιλαμβάνουν τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης των διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, δηλ. πράξεις που καταλήγουν σε ένα διάνυσμα.
Ας ορίσουμε αυτές τις πράξεις σε διανύσματα. Έστω δύο διανύσματα και δίνονται. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Ο και ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα , από το σημείο Α παραμερίζουμε το διάνυσμα . Τότε καλείται το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου όρου του διανύσματος με το τέλος του δεύτερου άθροισμα από αυτά τα διανύσματα και συμβολίζεται με . Ο θεωρούμενος κανόνας για την εύρεση του αθροίσματος των διανυσμάτων ονομάζεται κανόνες τριγώνου (Εικόνα 2.11).
Το ίδιο άθροισμα διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί με άλλο τρόπο (Εικόνα 2.12). Αφήστε στην άκρη το διάνυσμα και το διάνυσμα από το σημείο. Ας χτίσουμε πάνω σε αυτά τα διανύσματα όπως στις πλευρές ενός παραλληλογράμμου. Το διάνυσμα , το οποίο είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προέρχεται από την κορυφή , θα είναι το άθροισμα . Αυτός ο κανόνας για την εύρεση του αθροίσματος ονομάζεται κανόνες παραλληλογράμμου .
Το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της διακεκομμένης γραμμής (Εικόνα 2.13). Από ένα αυθαίρετο σημείο, αναβάλλουμε το διάνυσμα, μετά αναβάλλουμε το διάνυσμα κ.λπ. Το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου με το τέλος του δεύτερου είναι το άθροισμα
| |
διαφορά δύο διανύσματα και ονομάζεται τέτοιο διάνυσμα, το άθροισμα του οποίου με το αφαιρούμενο διάνυσμα δίνει το διάνυσμα . Από εδώ Διανυσματικός κανόνας κατασκευής διαφοράς(Εικόνα 2.14). Από ένα σημείο παραμερίζουμε ένα διάνυσμα και ένα διάνυσμα . Το διάνυσμα που συνδέει τα άκρα του ανηγμένου διανύσματος και του διανύσματος που πρέπει να αφαιρεθεί και να κατευθυνθεί από το διάνυσμα που αφαιρείται στο ανηγμένο διάνυσμα είναι η διαφορά.
Διανυσματικό προϊόνσε πραγματικό αριθμό λ λέγεται ένα διάνυσμα που είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα, έχει μήκος και ίδια φορά με το διάνυσμα αν και φορά αντίθετη από το διάνυσμα αν.
Εισήχθη γραμμικές πράξεις πάνω από διανύσματα έχουν ιδιότητες :
10 . Ανταλλαγή της πρόσθεσης: .
20 . Συσχετισμός προσθήκης: .
τριάντα. Η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου με προσθήκη: .
40 . Η ύπαρξη του αντίθετου στοιχείου με πρόσθεση:
50 . Κατανομή του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό ως προς τη διανυσματική πρόσθεση: .
60 . Κατανομή πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με το άθροισμα δύο αριθμών:
70. Ιδιότητα συσχετισμού ως προς τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με ένα γινόμενο αριθμών: .
Ας δοθεί το σύστημα των διανυσμάτων:
Η παράσταση , όπου λ i (i = 1,2,…, n) είναι κάποιοι αριθμοί, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός συστήματα διανυσμάτων (2.1). Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη , αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν, με την προϋπόθεση ότι δεν είναι ίσοι με μηδέν όλοι οι αριθμοί λ 1 , λ 2 , …, λ n. Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη , αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν μόνο υπό την προϋπόθεση ότι όλοι οι αριθμοί λ i = 0 (). Είναι δυνατόν να δοθεί ένας άλλος ορισμός της γραμμικής εξάρτησης των διανυσμάτων. Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη , εάν κάποιο διάνυσμα αυτού του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα υπόλοιπα, διαφορετικά το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) γραμμικά ανεξάρτητη .
Για διανύσματα που βρίσκονται σε ένα επίπεδο, οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς.
10 . Οποιαδήποτε τρία διανύσματα στο επίπεδο εξαρτώνται γραμμικά.
20 . Εάν ο αριθμός αυτών των διανυσμάτων στο επίπεδο είναι μεγαλύτερος από τρία, τότε εξαρτώνται επίσης γραμμικά.
τριάντα. Για να είναι γραμμικά ανεξάρτητα δύο διανύσματα στο επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη συγγραμμικά.
Άρα ο μέγιστος αριθμός είναι γραμμικός ανεξάρτητα διανύσματατο διαμέρισμα είναι δύο.
Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο. Οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν για διανύσματα χώρου.
10 . Οποιαδήποτε τέσσερα διανύσματα χώρου εξαρτώνται γραμμικά.
20 . Εάν ο αριθμός των δεδομένων διανυσμάτων στο χώρο είναι μεγαλύτερος από τέσσερα, τότε είναι επίσης γραμμικά εξαρτώμενα.
τριάντα. Για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη ομοεπίπεδα.
Έτσι, ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στο χώρο είναι τρία.
Οποιοδήποτε μέγιστο υποσύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων μέσω του οποίου εκφράζεται οποιοδήποτε διάνυσμα αυτού του συστήματος ονομάζεται βάση θεωρούνται διανυσματικά συστήματα . Είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι η βάση στο επίπεδο αποτελείται από δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και η βάση στο χώρο αποτελείται από τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται τάξη διανυσματικά συστήματα. Οι συντελεστές διαστολής ενός διανύσματος ως προς τα διανύσματα βάσης ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες σε αυτή τη βάση.
Έστω τα διανύσματα να σχηματίσουν μια βάση και έστω , τότε οι αριθμοί λ 1 , λ 2 , λ 3 είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, καταγράφουν. Μπορεί να φανεί ότι η επέκταση του διανύσματος σε όρους της βάσης είναι μοναδική. Η κύρια έννοια της βάσης είναι ότι οι γραμμικές πράξεις σε διανύσματα γίνονται συνηθισμένες γραμμικές πράξεις σε αριθμούς - οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των γραμμικών πράξεων σε διανύσματα, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα. Όταν προστίθενται δύο διανύσματα, προστίθενται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους. Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται με αυτόν τον αριθμό.
Έτσι, αν και , τότε , πού , και πού , λ είναι κάποιος αριθμός.
Συνήθως, το σύνολο όλων των διανυσμάτων στο επίπεδο, ανάγεται σε μια κοινή αρχή, με τις εισαγόμενες γραμμικές πράξεις, συμβολίζεται με V 2 , και το σύνολο όλων των διανυσμάτων του χώρου, ανάγεται σε μια κοινή αρχή, συμβολίζεται με V 3 . Τα σύνολα V 2 και V 3 ονομάζονται χώρους γεωμετρικών διανυσμάτων.
Γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνκαι καλείται η μικρότερη γωνία (), με την οποία ένα από τα διανύσματα πρέπει να περιστραφεί μέχρι να συμπέσει με το δεύτερο αφού φέρουμε αυτά τα διανύσματα σε μια κοινή αρχή.
Προϊόν με τελείεςδύο διανύσματα λέγεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων αυτών των διανυσμάτων με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Τελική γινόμενο των διανυσμάτων και δηλώνουν , ή
Αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση, τότε
Από γεωμετρική άποψη, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο του συντελεστή ενός διανύσματος και της προβολής ενός άλλου διανύσματος σε αυτό. Από την ισότητα (2.2) προκύπτει ότι
Από εδώ συνθήκη ορθογωνικότητας δύο διανυσμάτων: δύο διανύσματαΚαι είναι ορθογώνιες αν και μόνο αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν, δηλ. .
Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων δεν είναι γραμμική πράξη γιατί καταλήγει σε έναν αριθμό, όχι σε διάνυσμα.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.
1º. - ανταλλαγή.
2º. - διανομή.
3º. – συσχετισμός σε σχέση με έναν αριθμητικό παράγοντα.
4º. - ιδιότητα βαθμωτού τετραγώνου.
Η ιδιότητα 4º υποδηλώνει τον ορισμό διανυσματικό μήκος :
Ας δοθεί μια βάση στον χώρο V 3 , όπου τα διανύσματα είναι μοναδιαία διανύσματα (λέγονται orts), η κατεύθυνση καθενός από τα οποία συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων Ox, Oy, Oz ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων .
Ας επεκτείνουμε το διάνυσμα χώρου V 3 σύμφωνα με αυτή τη βάση (Εικόνα 2.15):
Διανύσματα ονομάζονται συστατικά ενός διανύσματος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, ή συνιστωσών, ενός αριθμού a x , a y , a zείναι οι ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες του διανύσματος ΕΝΑ. Η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τις γωνίες α, β, γ που σχηματίζει με τις γραμμές συντεταγμένων. Το συνημίτονο αυτών των γωνιών ονομάζεται διανυσματικοί οδηγοί. Στη συνέχεια τα συνημίτονα κατεύθυνσης καθορίζονται από τους τύπους:
Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό
Εκφράζουμε το βαθμωτό γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή.
Αφήστε και . Πολλαπλασιάζοντας αυτά τα διανύσματα ως πολυώνυμα και θεωρώντας ότι παίρνουμε μια έκφραση για εύρεση τελεία γινόμενο σε μορφή συντεταγμένων:
εκείνοι. το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ισούται με το άθροισμα των ζευγαρωμένων γινομένων των συντεταγμένων με το ίδιο όνομα.
Από τις (2.6) και (2.4) ακολουθεί ο τύπος εύρεσης διανυσματικό μήκος :
Από τις (2.6) και (2.7) παίρνουμε έναν τύπο για τον προσδιορισμό γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:
Ένα τριπλό διανυσμάτων ονομάζεται διατεταγμένο εάν υποδεικνύεται ποιο από αυτά θεωρείται το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ποιο το τρίτο.
Διέταξε τριάδα διανυσμάτων που ονομάζεται σωστά , εάν αφού τα φέρουμε σε κοινή αρχή από το τέλος του τρίτου διανύσματος, η συντομότερη στροφή από το πρώτο στο δεύτερο διάνυσμα είναι αριστερόστροφα. Διαφορετικά, ονομάζεται το τριπλό των διανυσμάτων αριστερά . Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.15, τα διανύσματα , , σχηματίζουν τη δεξιά τριάδα διανυσμάτων και τα διανύσματα , , σχηματίζουν την αριστερή τριάδα διανυσμάτων.
Η έννοια των δεξιών και αριστερών συστημάτων συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο εισάγεται με παρόμοιο τρόπο.
διανυσματική τέχνηδιάνυσμα σε διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα (άλλος συμβολισμός) που:
1) έχει μήκος , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και ?
2) είναι κάθετο στα διανύσματα και (), δηλ. κάθετη στο επίπεδο που περιέχει τα διανύσματα και ;
Εξ ορισμού, βρίσκουμε το διανυσματικό γινόμενο των orts συντεταγμένων , , :
Αν , , τότε οι συντεταγμένες του διασταυρούμενου γινομένου ενός διανύσματος και ενός διανύσματος καθορίζονται από τον τύπο:
Από τον ορισμό προκύπτει γεωμετρική αίσθησηδιανυσματικό προϊόν : ο συντελεστής του διανύσματος είναι ίσος με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα και .
Ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος:
40 . , εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, ή ένα από αυτά τα διανύσματα είναι μηδέν.
Παράδειγμα 3Το παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο στα διανύσματα και , όπου , , . Υπολογίστε το μήκος των διαγωνίων αυτού του παραλληλογράμμου, τη γωνία μεταξύ των διαγωνίων και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.
Λύση.Η κατασκευή των διανυσμάτων και φαίνεται στο Σχήμα 2.16, η κατασκευή ενός παραλληλογράμμου σε αυτά τα διανύσματα φαίνεται στο Σχήμα 2.17.
Ας κάνουμε μια αναλυτική λύση αυτού του προβλήματος. Εκφράζουμε τα διανύσματα που ορίζουν τις διαγώνιες του κατασκευασμένου παραλληλογράμμου μέσω των διανυσμάτων και , και μετά μέσω και . Βρίσκουμε , . Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, ως τα μήκη των κατασκευασμένων διανυσμάτων
Η γωνία μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλογράμμου συμβολίζεται με . Τότε από τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων έχουμε:
Ως εκ τούτου, .
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διασταυρούμενου προϊόντος, υπολογίζουμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου:
Έστω τρία διανύσματα και . Φανταστείτε ότι ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται διανυσματικά με και διάνυσμα και το διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζεται κλιμακωτικά με διάνυσμα, καθορίζοντας έτσι τον αριθμό. Ονομάζεται διανυσματικός-κλιμακωτός ή ανάμεικτο προϊόν τρία διανύσματα και . Συμβολίζεται ή .
Ας ανακαλύψουμε γεωμετρική σημασία του μικτού προϊόντος (Εικόνα 2.18). Αφήστε το , , να μην είναι ομοεπίπεδο. Ας κατασκευάσουμε ένα παραλληλεπίπεδο σε αυτά τα διανύσματα όπως στις ακμές. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (η βάση του παραλληλεπίπεδου) που είναι χτισμένο πάνω στα διανύσματα και κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο του παραλληλογράμμου.
Τελική γινόμενο (ίσο με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και της προβολής στο ). Το ύψος του κατασκευασμένου παραλληλεπιπέδου είναι η απόλυτη τιμή αυτής της προβολής. Επομένως, η απόλυτη τιμή του μικτού γινόμενου τριών διανυσμάτων είναι ίση με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που είναι χτισμένο στα διανύσματα και, δηλ. .
Εξ ου και ο όγκος τριγωνική πυραμίδα, βασίζεται στα διανύσματα , και , υπολογίζεται από τον τύπο .
Σημειώνουμε μερικά ακόμη μεικτές ιδιότητες του προϊόντος φορείς.
1 ο. Το πρόσημο του γινομένου είναι θετικό αν τα διανύσματα , , σχηματίζουν ένα σύστημα με το ίδιο όνομα με το κύριο, και αρνητικό διαφορετικά.
Πραγματικά, το γινόμενο με τελείες είναι θετικό εάν η γωνία μεταξύ και είναι οξεία και αρνητικό εάν η γωνία είναι αμβλεία. Με οξεία γωνία μεταξύ και, τα διανύσματα και βρίσκονται στην ίδια πλευρά σε σχέση με τη βάση του παραλληλεπίπεδου, και επομένως, από το τέλος του διανύσματος, η περιστροφή από το προς θα φαίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως από το τέλος του το διάνυσμα, δηλ. προς τη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα).
Σε αμβλεία γωνία, και τα διανύσματα και βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές σε σχέση με το επίπεδο του παραλληλογράμμου που βρίσκεται στη βάση του παραλληλεπίπεδου, και επομένως, από το τέλος του διανύσματος, η περιστροφή από έως είναι ορατή προς την αρνητική κατεύθυνση ( δεξιόστροφος).
2 o Το μικτό προϊόν δεν μεταβάλλεται με κυκλική μετάθεση των παραγόντων του: .
3 o Όταν ανταλλάσσονται οποιαδήποτε δύο διανύσματα, το μικτό γινόμενο αλλάζει μόνο το πρόσημο. Για παράδειγμα, , . , . - άγνωστα συστήματα.
Σύστημα(3.1) καλείται ομοιογενής αν όλα τα ελεύθερα μέλη είναι . Σύστημα (3.1) καλείται ετερογενής , εάν τουλάχιστον ένα από τα ελεύθερα μέλη του .
Λύση συστήματοςονομάζεται ένα σύνολο αριθμών, κατά την αντικατάσταση των οποίων στις εξισώσεις του συστήματος αντί των αντίστοιχων αγνώστων, κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε ταυτότητα. Ένα σύστημα που δεν έχει λύση ονομάζεται ασύμβατες, ή αμφιλεγόμενος . Ένα σύστημα που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται άρθρωση .
Το σύστημα άρθρωσης ονομάζεται βέβαιος αν έχει μοναδική λύση. Εάν ένα σύστημα άρθρωσης έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε καλείται αβέβαιος . ομοιογενές σύστημαπάντα από κοινού, όπως έχει, σύμφωνα με τουλάχιστον, μηδενική λύση. Η έκφραση για τα άγνωστα, από τα οποία μπορεί να ληφθεί οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση του συστήματος, ονομάζεται κοινή λύση , και κάθε συγκεκριμένη λύση του συστήματος είναι του ιδιωτική απόφαση . Δύο συστήματα με τα ίδια άγνωστα είναι ισοδύναμα (ισοδυναμούν με ) εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου ή και τα δύο συστήματα είναι ασυνεπή.
Εξετάστε μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσεις.
Μία από τις κύριες μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι μέθοδος Gauss, ή διαδοχική μέθοδος αποκλεισμός αγνώστων. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να μειωθεί το σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε μια σταδιακή μορφή. Σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις πρέπει να εκτελούν τα ακόλουθα στοιχειώδεις μεταμορφώσεις :
1. Μετάθεση των εξισώσεων του συστήματος.
2. Προσθήκη άλλης εξίσωσης σε μία εξίσωση.
3. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό.
Ως αποτέλεσμα, το σύστημα θα λάβει τη μορφή:
Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία περαιτέρω, εξαλείφουμε το άγνωστο από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με αριθμούς και προσθέτουμε στην 3η, ..., στην -η εξίσωση του συστήματος. Τα επόμενα βήματα της μεθόδου Gauss πραγματοποιούνται με παρόμοιο τρόπο. Εάν ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών προκύψει μια πανομοιότυπη εξίσωση, τότε τη διαγράφουμε από το σύστημα. Εάν σε κάποιο βήμα της μεθόδου Gauss προκύπτει μια εξίσωση της μορφής:
τότε το υπό εξέταση σύστημα είναι ασυνεπές και η περαιτέρω επίλυσή του σταματά. Αν όμως δεν προκύψει εξίσωση της μορφής (3.2) όταν στοιχειώδεις μεταμορφώσεις, τότε σε όχι περισσότερα από - βήματα το σύστημα (3.1) θα μετατραπεί στη σταδιακή μορφή:
Για να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος, θα χρειαστεί στο (3.4) να αντιστοιχίσετε συγκεκριμένες τιμές στις ελεύθερες μεταβλητές.
Σημειώστε ότι αφού στη μέθοδο Gauss όλοι οι μετασχηματισμοί εκτελούνται στους συντελεστές στο άγνωστες εξισώσειςκαι ελεύθερους όρους, τότε στην πράξη αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται συνήθως σε έναν πίνακα που αποτελείται από συντελεστές αγνώστων και μια στήλη ελεύθερων όρων. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται εκτεταμένος. Με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, αυτός ο πίνακας μειώνεται σε κλιμακωτή μορφή. Μετά από αυτό, το σύστημα αποκαθίσταται χρησιμοποιώντας τη μήτρα που λήφθηκε και όλες οι προηγούμενες εκτιμήσεις εφαρμόζονται σε αυτό.
Παράδειγμα 1Επίλυση συστήματος:
Λύση.Συνθέτουμε τον επαυξημένο πίνακα και τον μειώνουμε σε μια κλιμακωτή μορφή:
~ *) ~ **) ~ ***)
*) - η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζεται επί και η τρίτη γραμμή διαγράφεται.
Στις §§ 5, 6 και 10 αυτού του κεφαλαίου εξετάζουμε μερικά από τα απλούστερα προβλήματα στην αναλυτική γεωμετρία, στα οποία συχνά ανάγονται πολλά πιο σύνθετα προβλήματα. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι το πρόβλημα της απόστασης μεταξύ δύο σημείων.
Έστω δύο σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται στο επίπεδο Ας εκφράσουμε την απόσταση d μεταξύ αυτών των δύο σημείων ως προς τις συντεταγμένες τους.
Ας βρούμε τις προβολές των σημείων Α και Β στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 8). Θα έχω:
Μέσα από ένα από αυτά τα σημεία, για παράδειγμα Α, σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα x έως ότου τέμνεται στο σημείο C με μια ευθεία γραμμή
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ACB παίρνουμε:
(εδώ AC και CB είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ASV). Αλλά από τότε
(Κεφ. 1, § 3), λοιπόν
Είναι σαφές ότι εδώ είναι απαραίτητο να ληφθεί αριθμητική τιμήρίζα.
Έτσι, η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων διαφορών των ίδιων συντεταγμένων αυτών των σημείων.
Σχόλιο. Εάν αυτά τα σημεία Α έως Β βρίσκονται σε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των συντεταγμένων, τότε δεν θα πάρουμε τρίγωνο ABC, αλλά ο τύπος (3) θα ισχύει και σε αυτή την περίπτωση. Πράγματι, αν, για παράδειγμα, τα σημεία Α έως Β βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ox, τότε, προφανώς, (Κεφάλαιο Ι, § 3). Το ίδιο θα ληφθεί και από τον τύπο (3), αφού σε αυτή την περίπτωση
Ο υπολογισμός των αποστάσεων μεταξύ σημείων σύμφωνα με τις συντεταγμένες τους σε ένα επίπεδο είναι στοιχειώδης, στην επιφάνεια της Γης είναι λίγο πιο περίπλοκος: θα εξετάσουμε τη μέτρηση της απόστασης και του αρχικού αζιμουθίου μεταξύ σημείων χωρίς μετασχηματισμούς προβολής. Αρχικά, ας κατανοήσουμε την ορολογία.
Εισαγωγή
Μεγάλο μήκος τόξου κύκλου- η μικρότερη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων που βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας, μετρούμενη κατά μήκος της γραμμής που συνδέει αυτά τα δύο σημεία (μια τέτοια γραμμή ονομάζεται ορθόδρομος) και διέρχεται κατά μήκος της επιφάνειας της σφαίρας ή άλλης επιφάνειας περιστροφής. Η σφαιρική γεωμετρία είναι διαφορετική από τη συνηθισμένη Ευκλείδεια και οι εξισώσεις απόστασης παίρνουν επίσης διαφορετική μορφή. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή. Σε μια σφαίρα, δεν υπάρχουν ευθείες γραμμές. Αυτές οι γραμμές στη σφαίρα είναι μέρος μεγάλων κύκλων - κύκλων των οποίων τα κέντρα συμπίπτουν με το κέντρο της σφαίρας. Αρχικό αζιμούθιο- το αζιμούθιο, το οποίο, όταν ξεκινάει από το σημείο Α, ακολουθώντας τον μεγάλο κύκλο για τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Β, το τελικό σημείο θα είναι το σημείο Β. Όταν μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β κατά μήκος της γραμμής του μεγάλου κύκλου, το αζιμούθιο από το τρέχουσα θέση στο τελικό σημείο Β είναι σταθερή αλλάζει. Το αρχικό αζιμούθιο είναι διαφορετικό από ένα σταθερό, μετά το οποίο το αζιμούθιο από το τρέχον σημείο στο τελικό δεν αλλάζει, αλλά η διαδρομή δεν είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων.Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων στην επιφάνεια της σφαίρας, εάν δεν είναι ακριβώς απέναντι το ένα από το άλλο (δηλαδή, δεν είναι αντίποδες), μπορεί να σχεδιαστεί ένας μοναδικός μεγάλος κύκλος. Δύο σημεία χωρίζουν τον μεγάλο κύκλο σε δύο τόξα. Το μήκος ενός μικρού τόξου είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Ένας άπειρος αριθμός μεγάλων κύκλων μπορεί να σχεδιαστεί μεταξύ δύο αντίποδων σημείων, αλλά η απόσταση μεταξύ τους θα είναι ίδια σε οποιονδήποτε κύκλο και ίση με το ήμισυ της περιφέρειας του κύκλου, ή π*R, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.
Σε ένα επίπεδο (σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων), οι μεγάλοι κύκλοι και τα θραύσματά τους, όπως προαναφέρθηκε, είναι τόξα σε όλες τις προβολές, εκτός από τη γνωμική, όπου οι μεγάλοι κύκλοι είναι ευθείες γραμμές. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι τα αεροπλάνα και άλλες αεροπορικές μεταφορές χρησιμοποιούν πάντα τη διαδρομή της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των σημείων για εξοικονόμηση καυσίμου, δηλαδή η πτήση πραγματοποιείται κατά μήκος της απόστασης ενός μεγάλου κύκλου, στο αεροπλάνο μοιάζει με τόξο.
Το σχήμα της Γης μπορεί να περιγραφεί ως σφαίρα, επομένως οι εξισώσεις απόστασης μεγάλου κύκλου είναι σημαντικές για τον υπολογισμό της μικρότερης απόστασης μεταξύ σημείων στην επιφάνεια της Γης και χρησιμοποιούνται συχνά στην πλοήγηση. Ο υπολογισμός της απόστασης με αυτή τη μέθοδο είναι πιο αποτελεσματικός και σε πολλές περιπτώσεις πιο ακριβής από τον υπολογισμό της για προβαλλόμενες συντεταγμένες (σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων), επειδή, πρώτον, δεν χρειάζεται να μεταφραστεί γεωγραφικές συντεταγμένεςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (εκτελέστε μετασχηματισμούς προβολής) και, δεύτερον, πολλές προβολές, εάν επιλεγούν λανθασμένα, μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντικές παραμορφώσεις μήκους λόγω των χαρακτηριστικών των παραμορφώσεων προβολής. Είναι γνωστό ότι όχι μια σφαίρα, αλλά ένα ελλειψοειδές περιγράφει το σχήμα της Γης με μεγαλύτερη ακρίβεια, ωστόσο, αυτό το άρθρο εξετάζει τον υπολογισμό των αποστάσεων σε μια σφαίρα, για υπολογισμούς χρησιμοποιείται μια σφαίρα με ακτίνα 6372795 μέτρων, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε σφάλμα στον υπολογισμό αποστάσεων της τάξης του 0,5%.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Υπάρχουν τρεις τρόποι για τον υπολογισμό της σφαιρικής απόστασης ενός μεγάλου κύκλου. 1. Θεώρημα σφαιρικού συνημιτόνουΣτην περίπτωση μικρών αποστάσεων και μικρού βάθους bit υπολογισμού (αριθμός δεκαδικών ψηφίων), η χρήση του τύπου μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης. φ1, λ1; φ2, λ2 - γεωγραφικό πλάτος και μήκος δύο σημείων σε ακτίνια Δλ - διαφορά συντεταγμένων στο γεωγραφικό μήκος Δδ - γωνιακή διαφορά Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Για να μετατρέψετε τη γωνιακή απόσταση σε μετρική, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη γωνιακή διαφορά κατά την ακτίνα Γη (6372795 μέτρα), οι μονάδες της τελικής απόστασης θα είναι ίσες με τις μονάδες στις οποίες εκφράζεται η ακτίνα (στην περίπτωση αυτή μέτρα). 2. Φόρμουλα HaversineΧρησιμοποιείται για την αποφυγή προβλημάτων με μικρές αποστάσεις. 3. Τροποποίηση για αντίποδεςΟ προηγούμενος τύπος υπόκειται επίσης στο πρόβλημα των αντιπόδων, για την επίλυσή του χρησιμοποιείται η ακόλουθη τροποποίηση.Η εφαρμογή μου στην PHP
// Ορισμός ακτίνας γης ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Απόσταση μεταξύ δύο σημείων * $φA, $λA - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 1ου σημείου, * $φB, $λB - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 2ου σημείου * Με βάση το http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Μιχαήλ Κομπζάρεφ< >* */ συνάρτηση υπολογισμόςTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // μετατροπή συντεταγμένων σε ακτίνια $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // συνημίτονο και ημίτονο διαφορών γεωγραφικού πλάτους και μήκους $cl1 = cos($lat1), $cl2 = cos($lat2), $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // υπολογισμός του μήκους μεγάλου κύκλου $y = sqrt( pow( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Παράδειγμα κλήσης συνάρτησης: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo υπολογισμόςTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "μέτρα"? // Επιστρέφει "17166029 μέτρα"Το άρθρο ελήφθη από τον ιστότοπο
Θεώρημα 1. Για οποιαδήποτε δύο σημεία και ένα επίπεδο, η απόσταση μεταξύ τους εκφράζεται με τον τύπο:
Για παράδειγμα, εάν δίνονται σημεία και, τότε η απόσταση μεταξύ τους:
2. Εμβαδόν τριγώνου.
Θεώρημα 2.
Για τυχόν σημεία
, χωρίς να βρίσκεται σε μία ευθεία γραμμή, η περιοχή του τριγώνου εκφράζεται με τον τύπο:
Για παράδειγμα, ας βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία , και.
Σχόλιο.Εάν το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
3. Διαίρεση τμήματος σε δεδομένη αναλογία.
Αφήστε ένα αυθαίρετο τμήμα να δοθεί στο επίπεδο και αφήστε
- οποιοδήποτε σημείο αυτού του τμήματος εκτός από τα τελικά σημεία. Ο αριθμός που ορίζεται από την ισότητα ονομάζεται στάση,όπου το σημείο διαιρεί το τμήμα.
Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός τμήματος σε μια δεδομένη αναλογία είναι ότι, σύμφωνα με μια δεδομένη αναλογία και δεδομένες συντεταγμένες σημείων
και βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου.
Θεώρημα 3.
Αν ένα σημείο διαιρεί ένα τμήμα
σε σχέση
,
τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου καθορίζονται από τους τύπους: 
(1.3), όπου είναι οι σημειακές και οι σημειακές συντεταγμένες.
Συνέπεια: Αν είναι το μέσο
, όπου και, τότε (1.4) (επειδή).
Για παράδειγμα. Δεδομένα σημεία και. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι δύο φορές πιο κοντά από το
Λύση: Το επιθυμητό σημείο διαιρεί το τμήμα
όσον αφορά το γιατί 
, Επειτα 
,
, πήρε
Πολικές συντεταγμένες
Το πιο σημαντικό μετά το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι το πολικό σύστημα συντεταγμένων. Αποτελείται από ένα ορισμένο σημείο που ονομάζεται Πόλοςκαι η δέσμη που προέρχεται από αυτό - πολικός άξονας. Επιπλέον, ορίζεται η μονάδα κλίμακας για τη μέτρηση των μηκών των τμημάτων. 
Ας δοθεί ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων και έστω ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. Έστω η απόσταση από το σημείο
έως το σημείο - τη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ο πολικός άξονας ώστε να συμπίπτει με τη δέσμη.
Σημειακές πολικές συντεταγμένεςονομάζονται αριθμοί. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός θεωρείται η πρώτη συντεταγμένη και καλείται πολική ακτίνα, ο αριθμός είναι η δεύτερη συντεταγμένη και καλείται πολική γωνία.
Ορισμένος . Η πολική ακτίνα μπορεί να έχει οποιαδήποτε μη αρνητική τιμή:. Συνήθως πιστεύεται ότι η πολική γωνία ποικίλλει εντός των ακόλουθων ορίων: Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι γωνίες που μετρώνται από τον πολικό άξονα δεξιόστροφα.
Σχέση μεταξύ των πολικών συντεταγμένων ενός σημείου και των ορθογώνιων συντεταγμένων του.
Θα υποθέσουμε ότι η αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων βρίσκεται στον πόλο και ο θετικός ημιάξονας της τετμημένης συμπίπτει με τον πολικό άξονα. 
Έστω σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων. Ορίζεται- ορθογώνιο τρίγωνοΜε. Στη συνέχεια (1,5). Αυτοί οι τύποι εκφράζουν ορθογώνιες συντεταγμένες ως προς τις πολικές συντεταγμένες.
Από την άλλη, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και
(1.6) - αυτοί οι τύποι εκφράζουν πολικές συντεταγμένες ως ορθογώνιες.
Σημειώστε ότι ο τύπος ορίζει δύο τιμές της πολικής γωνίας, αφού. Από αυτές τις δύο τιμές της γωνίας, επιλέξτε αυτή στην οποία ικανοποιούνται οι ισότητες.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις πολικές συντεταγμένες του σημείου ..ή, γιατί τεταρτημόζω.
Παράδειγμα 1:Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σε ένα σημείο 
Σε σχέση με τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας συντεταγμένων.
Λύση:
Ας περάσουμε από το σημείο ΕΝΑαπευθείας μεγάλο 1 κάθετο στη διχοτόμο μεγάλοπρώτη γωνία συντεταγμένων. Αφήστε . Σε ευθεία γραμμή μεγάλο 1 αναβάλετε το τμήμα ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ 1 , ίσο με το τμήμα ΟΠΩΣ ΚΑΙ.ορθογώνια τρίγωνα ASOΚαι ΕΝΑ 1 ΕΤΣΙείναι ίσα μεταξύ τους (σε δύο πόδια). Από αυτό προκύπτει ότι | ΟΑ| = |ΟΑ 1 |. τρίγωνα ΦΑΣΑΡΙΑΚαι ΟΕΑ 1 είναι επίσης ίσα μεταξύ τους (κατά μήκος της υποτείνουσας και της οξείας γωνίας). Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι | μ.Χ| = |ΟΕ| = 4,|ΟΔ| = |ΕΑ 1 | = 2, δηλ. το σημείο έχει συντεταγμένες x = 4, y = -2,εκείνοι. ΕΝΑ 1 (4;-2).
Σημειώστε ότι η γενική πρόταση ισχύει: το σημείο ΕΝΑ 1 , συμμετρικό σε ένα σημείο ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας συντεταγμένων, έχει συντεταγμένες , δηλ. .
Παράδειγμα 2:Να βρείτε το σημείο στο οποίο η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και , θα διασχίσει τον άξονα Ω.
Λύση:
Συντεταγμένες σημείων αναζήτησης ΜΕΥπάρχει ( Χ; 0). Και αφού τα σημεία ΕΝΑ,ΣΕΚαι ΜΕξαπλώστε στην ίδια ευθεία, τότε η κατάσταση (Χ 2 -Χ 1 )(y 3 -υ 1 )-(Χ 3 -Χ 1 )(y 2 -υ 1 ) = 0 (τύπος (1.2), εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοισούται με μηδέν!), όπου είναι οι συντεταγμένες του σημείου ΕΝΑ, – σημεία ΣΕ, – σημεία ΜΕ. Παίρνουμε, δηλ. , . Εξ ου και η ουσία ΜΕέχει συντεταγμένες, δηλ.
Παράδειγμα 3:Τα σημεία , δίνονται στο πολικό σύστημα συντεταγμένων. Εύρημα: ΕΝΑ)απόσταση μεταξύ σημείων και ; β) εμβαδόν τριγώνου ΟΜ 1 Μ 2 (ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- κοντάρι).
Λύση:
α) Χρησιμοποιούμε τους τύπους (1.1) και (1.5):
αυτό είναι, .
β) χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές ΕΝΑΚαι σικαι τη γωνία μεταξύ τους (), βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜ 1 Μ 2 . .
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
