Έκκεντρη φόρμουλα συμπίεσης. Έκκεντρη συμπίεση ή τάση

Πολλά στοιχεία κτιριακών κατασκευών (κολώνες, ράφια, στηρίγματα) υπόκεινται στην επίδραση θλιπτικών δυνάμεων που ασκούνται όχι στο κέντρο βάρους του τμήματος. Στο Σχ. Το σχήμα 12.9 δείχνει τη κολόνα στην οποία στηρίζεται η δοκός δαπέδου. Όπως φαίνεται, η δύναμη δρα σε σχέση με τον άξονα της στήλης με εκκεντρότητα μι,και έτσι, σε ένα αυθαίρετο τμήμα Αχ αχκολώνες μαζί με τη διαμήκη δύναμη Ν = -Ρεμφανίζεται μια ροπή κάμψης, το μέγεθος της οποίας είναι ίσο με Σχετικά με.Η έκκεντρη τάση (συμπίεση) μιας ράβδου αντιπροσωπεύει έναν τύπο παραμόρφωσης στην οποία τα προκύπτοντα εξωτερικές δυνάμειςενεργούν κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα της ράβδου. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κυρίως προβλήματα έκκεντρης συμπίεσης. Με έκκεντρη τάση σε όλους τους δεδομένους τύπους υπολογισμού, το πρόσημο μπροστά από τη δύναμη πρέπει να αλλάξει Rπρος το αντίθετο.

Αφήστε μια ράβδο αυθαίρετης διατομής (Εικ. 12.10) να φορτωθεί στο άκρο με μια έκκεντρα ασκούμενη θλιπτική δύναμη R,παράλληλα με τον άξονα Ω.Ας δεχτούμε τα θετικά

κατευθύνσεις των κύριων αξόνων αδράνειας του τμήματος OUΚαι Οζώστε το σημείο εφαρμογής της δύναμης Rήταν στο πρώτο τέταρτο των αξόνων συντεταγμένων. Ας υποδηλώσουμε τις συντεταγμένες του σημείου εφαρμογής δύναμης Rδιά μέσου y rΚαι z P -

Οι εσωτερικές δυνάμεις σε ένα αυθαίρετο τμήμα της ράβδου είναι ίσες

Τα μείον για τις ροπές κάμψης οφείλονται στο γεγονός ότι στο πρώτο τέταρτο των αξόνων συντεταγμένων αυτές οι ροπές προκαλούν συμπίεση. Τα μεγέθη των εσωτερικών δυνάμεων σε αυτό το παράδειγμα δεν αλλάζουν κατά το μήκος της ράβδου, και έτσι η κατανομή των τάσεων σε τμήματα αρκετά απομακρυσμένα από τον τόπο εφαρμογής του φορτίου θα είναι η ίδια.

Αντικαθιστώντας το (12.11) στο (12.1), λαμβάνουμε τον τύπο για κανονικές τάσεις υπό έκκεντρη συμπίεση:

Αυτός ο τύπος μπορεί να μετατραπεί στη φόρμα

Οπου εγώ, εγώ-κύριες ακτίνες αδράνειας της τομής. Εν

Βάζοντας o = 0 στην (12.12), παίρνουμε την εξίσωση μηδενική γραμμή:

Εδώ y 0 και z 0 -συντεταγμένες των σημείων της μηδενικής ευθείας (Εικ. 12.11). Η εξίσωση (12.14) είναι η εξίσωση μιας ευθείας που δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους της τομής. Για να σχεδιάσουμε τη μηδενική ευθεία, βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων. Υποθέτοντας στην (12.14) διαδοχικά y 0 = 0 και z 0= 0, ανάλογα βρίσκουμε

Οπου a zΚαι και y -τμήματα που κόβονται από τη μηδενική γραμμή στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 12.11).

Ας καθορίσουμε τα χαρακτηριστικά της θέσης της μηδενικής γραμμής κατά την έκκεντρη συμπίεση.

• 1. Από τους τύπους (12.15) προκύπτει ότι και yΚαι a zέχουν σημάδια αντίθετα από τα ζώδια αντίστοιχα y rΚαι z P -Έτσι, η γραμμή μηδέν διέρχεται από εκείνα τα τέταρτα των αξόνων συντεταγμένων που δεν περιέχουν το σημείο εφαρμογής της δύναμης (Εικ. 12.12).
• 2. Καθώς πλησιάζει το σημείο εφαρμογής της δύναμης Rσε ευθεία προς το κέντρο βάρους των συντεταγμένων τομής αυτού του σημείου y rΚαι zPμειώνονται. Από την (12.15) προκύπτει ότι οι απόλυτες τιμές των μηκών των τμημάτων και yΚαι a zαύξηση, δηλαδή η μηδενική γραμμή απομακρύνεται από το κέντρο βάρους, παραμένοντας παράλληλη με τον εαυτό της (Εικ. 12.13). Στο όριο στο Z P = y P = 0 (δύναμη που εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους) η γραμμή μηδέν κινείται στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, οι τάσεις στη διατομή θα είναι σταθερές και ίσες με o = -Π/Φ.
• 3. Αν το σημείο εφαρμογής της δύναμης Rείναι σε έναν από τους κύριους άξονες, η μηδενική γραμμή είναι παράλληλη με τον άλλο άξονα. Πράγματι, βάζοντας μέσα (12.15), για παράδειγμα, y r= 0, το έχουμε και y= δηλαδή η μηδενική γραμμή δεν τέμνει τον άξονα OU(Εικ. 12.14).
• 4. Εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης κινείται κατά μήκος μιας ευθείας που δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους, τότε η γραμμή μηδέν περιστρέφεται γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο. Ας αποδείξουμε αυτή την ιδιότητα. Σημεία εφαρμογής δύναμης R xΚαι R 2,που βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές 1 - 1 και 2-2, παράλληλες με τους άξονες (Εικ. 12.15), που τέμνονται στο σημείο ΡΕ.Δεδομένου ότι αυτό το σημείο ανήκει σε δύο μηδενικές γραμμές, οι τάσεις σε αυτό το σημείο από τις δυνάμεις που εφαρμόζονται ταυτόχρονα R xΚαι R 2θα είναι ίσο με μηδέν. Αφού οποιαδήποτε δύναμη R 3,το σημείο εφαρμογής του οποίου βρίσκεται σε ευθεία γραμμή R (R 2,Μπορώ

αποσυντίθενται σε δύο παράλληλες συνιστώσες που εφαρμόζονται στα σημεία Pj και R 2,τότε προκύπτει ότι το άγχος στο σημείο ρεαπό τη δράση της δύναμης R 3ισούνται επίσης με μηδέν. Έτσι, η γραμμή μηδέν είναι 3-3, που αντιστοιχεί στη δύναμη R 3,διέρχεται από ένα σημείο ΡΕ.

Με άλλα λόγια, σε ένα σύνολο σημείων R,βρίσκεται σε ευθεία γραμμή R (R 2,αντιστοιχεί σε μια δέσμη γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΡΕ.Το αντίστροφο ισχύει επίσης: όταν η γραμμή μηδέν περιστρέφεται γύρω από ένα ορισμένο σημείο, το σημείο εφαρμογής της δύναμης κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους.

Εάν η γραμμή μηδέν τέμνει το τμήμα, τότε το χωρίζει σε ζώνες συμπίεσης και τάσης. Όπως ακριβώς και με την λοξή κάμψη, από την υπόθεση επίπεδα τμήματαέπεται ότι οι τάσεις φτάνουν τις μεγαλύτερες τιμές τους στα πιο απομακρυσμένα σημεία από τη γραμμή μηδέν. Η φύση του διαγράμματος τάσεων σε αυτή την περίπτωση φαίνεται στο Σχ. 12.16, ΕΝΑ.

Εάν η γραμμή μηδέν βρίσκεται έξω από το τμήμα, τότε σε όλα τα σημεία της τομής οι τάσεις θα είναι του ίδιου πρόσημου (Εικ. 12.16, σι).

Παράδειγμα 12.3.Ας κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα κανονικών τάσεων σε μια αυθαίρετη τομή μιας έκκεντρα συμπιεσμένης στήλης ορθογώνιας διατομής με διαστάσεις σιΧ η(Εικ. 12.17). Οι τετραγωνισμένες ακτίνες αδράνειας της τομής σύμφωνα με την (12.22) είναι ίσες

Τα τμήματα που κόβονται από τη μηδενική γραμμή στους άξονες συντεταγμένων καθορίζονται από τους τύπους (12.15):

Αντικαθιστώντας διαδοχικά στην (12.12) τις συντεταγμένες των σημείων C και πιο απομακρυσμένα από τη γραμμή μηδέν ΣΕ(Εικ. 12.18)

θα βρούμε

Το διάγραμμα o φαίνεται στο Σχ. 12.18. Οι υψηλότερες θλιπτικές τάσεις σε απόλυτη τιμή είναι τέσσερις φορές υψηλότερες από τις τιμές τάσεων που θα υπήρχαν σε περίπτωση κεντρικής εφαρμογής δύναμης. Επιπλέον, στην τομή εμφανίστηκαν σημαντικές εφελκυστικές τάσεις. Σημειώστε ότι από την (12.12) προκύπτει ότι στο κέντρο βάρους (y = z= 0) οι τάσεις είναι ίσες με o = -Π/Φ.

Παράδειγμα 12.4.Η κομμένη λωρίδα φορτώνεται με δύναμη εφελκυσμού R(Εικ. 12.19, ΕΝΑ).Ας συγκρίνουμε τις τάσεις στην ενότητα LV,αρκετά μακριά από το άκρο και τη θέση της αποκοπής, με τάσεις στο τμήμα CDστη θέση αποκοπής.

Σε διατομή ΑΒ(Εικ. 12.19, σι)δύναμη Rπροκαλεί κεντρική τάση και οι τάσεις είναι ίσες με a = P/F = P/bh.

Σε διατομή CD(Εικ. 12.19, V)γραμμή δύναμης Rδεν διέρχεται από το κέντρο βάρους του τμήματος και επομένως εμφανίζεται έκκεντρη τάση. Αλλάζοντας το πρόσημο στον τύπο (12.12) στο αντίθετο και αποδεχόμενοι y r= 0, λαμβάνουμε για αυτήν την ενότητα

Λήψη

Γραμμή μηδέν στην τομή CDπαράλληλα με τον άξονα OUκαι τέμνει τον άξονα Οζσε απόσταση α =-i 2 y /z P- β/ 12. Στα σημεία του τμήματος που είναι πιο απομακρυσμένα από τη γραμμή μηδέν C(z - -b/ 4) και D(z - b/ 4) οι τάσεις σύμφωνα με το (12.16) είναι ίσες

Κανονικά διαγράμματα τάσεων για τομές LWΚαι CDφαίνεται στο Σχ. 12.19, προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Έτσι, παρά το γεγονός ότι το τμήμα CDέχει επιφάνεια διπλάσια από τη διατομή ΑΒ,Λόγω της έκκεντρης εφαρμογής δύναμης, οι τάσεις εφελκυσμού στο εξασθενημένο τμήμα αυξάνονται όχι δύο, αλλά οκτώ φορές. Επιπλέον, σε αυτό το τμήμα εμφανίζονται σημαντικές θλιπτικές τάσεις.

Πρέπει να σημειωθεί ότι στον παραπάνω υπολογισμό δεν λαμβάνονται υπόψη πρόσθετες τοπικές τάσεις που προκύπτουν κοντά στο σημείο Γ λόγω παρουσίας εσοχής. Αυτές οι τάσεις εξαρτώνται από την ακτίνα του αυλακιού (καθώς η ακτίνα μειώνεται, αυξάνονται) και μπορεί να υπερβούν σημαντικά την τιμή που βρέθηκε και με = 8P/bh.Σε αυτή την περίπτωση, η φύση του διαγράμματος τάσεων κοντά στο σημείο C θα διαφέρει σημαντικά από τη γραμμική. Ο προσδιορισμός των τοπικών τάσεων (συγκέντρωση τάσεων) συζητείται στο Κεφάλαιο 18.

Πολλά οικοδομικά υλικά (σκυρόδεμα, πλινθοδομή κ.λπ.) έχουν χαμηλή αντοχή σε εφελκυσμό. Η αντοχή τους σε εφελκυσμό είναι πολλές φορές μικρότερη από την αντοχή τους στη θλίψη. Επομένως, η εμφάνιση εφελκυστικών τάσεων σε δομικά στοιχεία κατασκευασμένα από τέτοια υλικά είναι ανεπιθύμητη. Για να πληρούται αυτή η προϋπόθεση, η γραμμή μηδέν πρέπει να βρίσκεται εκτός του τμήματος. Διαφορετικά, η γραμμή μηδέν θα τέμνει το τμήμα και θα εμφανιστούν τάσεις εφελκυσμού σε αυτό. Εάν η γραμμή μηδέν εφάπτεται στο περίγραμμα του τμήματος, τότε η αντίστοιχη θέση του σημείου εφαρμογής δύναμης είναι περιοριστική. Σύμφωνα με την ιδιότητα 2 της μηδενικής γραμμής, εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης πλησιάσει το κέντρο βάρους του τμήματος, η μηδενική γραμμή θα απομακρυνθεί από αυτό. Ο γεωμετρικός τόπος των οριακών σημείων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές εφαπτομένες στο περίγραμμα του τμήματος είναι το όριο πυρήνες τομών.Ο πυρήνας της τομής είναι μια κυρτή περιοχή γύρω από το κέντρο βάρους, η οποία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης βρίσκεται μέσα ή στο όριο αυτής της περιοχής, τότε σε όλα τα σημεία της τομής οι τάσεις έχουν το ίδιο σημάδι. Ο πυρήνας του τμήματος είναι ένα κυρτό σχήμα, αφού οι μηδενικές γραμμές πρέπει να αγγίζουν το περίβλημα του περιγράμματος του τμήματος και να μην το τέμνουν.

Μέσα από το σημείο ΕΝΑ(Εικ. 12.20) μπορείτε να σχεδιάσετε αμέτρητες εφαπτόμενες (μηδενικές γραμμές). σε αυτή την περίπτωση μόνο εφαπτομένη ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝεφάπτεται στο περίβλημα και ένα ορισμένο σημείο στο περίγραμμα του πυρήνα του τμήματος πρέπει να αντιστοιχεί σε αυτό. Ταυτόχρονα, για παράδειγμα, είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στην περιοχή ΑΒπερίγραμμα τμήματος επειδή τέμνει το τμήμα.

Ας κατασκευάσουμε έναν πυρήνα τομής για το ορθογώνιο (Εικ. 12.21). Για την εφαπτομένη 1 - 1 α 7 - β/ 2; ΕΝΑ= . Από την (12.15) βρίσκουμε για το σημείο 1 που αντιστοιχεί σε αυτήν την εφαπτομένη, z P = -i 2 y / a 7 = -b/6; εε - 0. Για την εφαπτομένη 2-2 a y - k/ 2; a 7 =°°,και οι συντεταγμένες του σημείου 2 θα είναι ίσες στοR- -h/6; z P - 0. Σύμφωνα με την ιδιότητα 4 της μηδενικής ευθείας, τα σημεία εφαρμογής της δύναμης που αντιστοιχούν σε διάφορες εφαπτομένες στο κάτω δεξιά γωνιακό σημείο της τομής βρίσκονται στην ευθεία 1-2. Η θέση των σημείων 3 και 4 προσδιορίζεται από συνθήκες συμμετρίας. Έτσι, ο πυρήνας διατομής για ένα ορθογώνιο είναι ένας ρόμβος με διαγώνιες σι/3 και ΑΠΟ.

Για να κατασκευάσουμε έναν πυρήνα τομής για έναν κύκλο, αρκεί να σχεδιάσουμε μία εφαπτομένη (Εικ. 12.22). Εν a = R; ΕΝΑ= °o.

"U U ^ ^

Λαμβάνοντας υπόψη ότι για έναν κύκλο i y - J y /F - R / 4, από την (12.15) λαμβάνουμε

Έτσι, ο πυρήνας διατομής για έναν κύκλο είναι ένας κύκλος με ακτίνα R/4.

Στο Σχ. 12.23, α, 6φαίνονται οι πυρήνες διατομής για τη δέσμη I και το κανάλι. Η παρουσία τεσσάρων γωνιακών σημείων του πυρήνα του τμήματος σε καθένα από αυτά τα παραδείγματα οφείλεται στο γεγονός ότι το περίγραμμα του περιβλήματος τόσο της δέσμης Ι όσο και του καναλιού είναι ένα ορθογώνιο.

Η έκκεντρη τάση (συμπίεση) προκαλείται από μια δύναμη παράλληλη προς τον άξονα της δοκού, αλλά δεν συμπίπτει με αυτόν (Εικ. 9.4).

Η προβολή του σημείου εφαρμογής της δύναμης στη διατομή ονομάζεται πόλος ή σημείο δύναμης και η ευθεία που διέρχεται από τον πόλο και το κέντρο του τμήματος ονομάζεται γραμμή δύναμης.

Η έκκεντρη τάση (συμπίεση) μπορεί να μειωθεί σε αξονική τάση (συμπίεση) και λοξή κάμψη εάν η δύναμη P μεταφερθεί στο κέντρο βάρους της τομής. Έτσι, η δύναμη P, που σημειώνεται στο Σχ. 9.4 με μία παύλα G θα προκαλέσει αξονική τάση της δοκού και ένα ζεύγος δυνάμεων που σημειώνονται με δύο παύλες θα προκαλέσει λοξή κάμψη.

Με βάση την αρχή της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων τάσης σε σημεία διατομής κατά την έκκεντρη τάση (συμπίεση), προσδιορίζονται από τον τύπο

Σε αυτόν τον τύπο, η αξονική δύναμη, οι ροπές κάμψης, καθώς και οι συντεταγμένες του σημείου διατομής στο οποίο προσδιορίζεται η τάση, πρέπει να αντικατασταθούν με τα πρόσημά τους. Για τις ροπές κάμψης θα δεχθούμε τον ίδιο κανόνα πρόσημου όπως για την λοξή κάμψη και η αξονική δύναμη θα θεωρείται θετική όταν προκαλεί τάση.

Αν οι συντεταγμένες του πόλου συμβολίζονται με , τότε η στιγμή ο τύπος (9,5) παίρνει τη μορφή

Από αυτή την εξίσωση είναι σαφές ότι τα άκρα των διανυσμάτων τάσης στα σημεία διατομής βρίσκονται στο επίπεδο. Η γραμμή τομής του επιπέδου τάσης με το επίπεδο διατομής είναι μια ουδέτερη γραμμή, η εξίσωση της οποίας βρίσκεται εξισώνοντας σωστη πλευραισότητα (9,6) έως μηδέν. Μετά από αναγωγή κατά P παίρνουμε

Έτσι, η ουδέτερη γραμμή κατά την έκκεντρη τάση (συμπίεση) δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους της τομής και δεν είναι κάθετη στο επίπεδο δράσης της ροπής κάμψης. Η ουδέτερη γραμμή αποκόπτει τμήματα στους άξονες συντεταγμένων

Ας αναπαραστήσουμε τις ροπές αδράνειας ως το γινόμενο του εμβαδού της διατομής και του τετραγώνου της αντίστοιχης ακτίνας αδράνειας

Τότε οι εκφράσεις (9.8) μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Από τους τύπους (9.8) είναι σαφές ότι ο πόλος και η ουδέτερη γραμμή βρίσκονται πάντα σε αντίθετες πλευρές του κέντρου βάρους του τμήματος και η θέση της ουδέτερης γραμμής καθορίζεται από τις συντεταγμένες του πόλου.

Καθώς ο πόλος πλησιάζει το κέντρο βάρους του τμήματος κατά μήκος της γραμμής δύναμης, η ουδέτερη γραμμή θα απομακρύνεται από το κέντρο, παραμένοντας παράλληλη με την αρχική της διεύθυνση. Στο όριο στο, η ουδέτερη γραμμή πηγαίνει στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, θα συμβεί κεντρική τάση (συμπίεση) της δοκού.

Σε μια γραμμή δύναμης μπορείτε πάντα να βρείτε μια θέση του πόλου στην οποία η ουδέτερη γραμμή θα αγγίζει το περίγραμμα του τμήματος χωρίς να το τέμνει πουθενά. Εάν σχεδιάσουμε όλες τις πιθανές ουδέτερες γραμμές έτσι ώστε να αγγίζουν το περίγραμμα του τμήματος χωρίς να το τέμνουν πουθενά και βρούμε τους αντίστοιχους πόλους, τότε αποδεικνύεται ότι οι πόλοι θα βρίσκονται σε μια κλειστή γραμμή που είναι εντελώς συγκεκριμένη για κάθε τμήμα. Η περιοχή που οριοθετείται από αυτή τη γραμμή ονομάζεται πυρήνας του τμήματος. Σε μια κυκλική διατομή, για παράδειγμα, ο πυρήνας είναι ένας κύκλος με διάμετρο 4 φορές μικρότερη από τη διάμετρο της διατομής και σε ορθογώνιες και Ι-τομές ο πυρήνας έχει σχήμα παραλληλογράμμου (Εικ. 9.5).

Από την ίδια την κατασκευή του πυρήνα του τμήματος προκύπτει ότι όσο ο πόλος βρίσκεται μέσα στον πυρήνα, η ουδέτερη γραμμή δεν θα τέμνει το περίγραμμα του τμήματος και οι τάσεις σε ολόκληρο το τμήμα θα είναι του ίδιου πρόσημου. Εάν ο πόλος βρίσκεται έξω από τον πυρήνα, τότε η ουδέτερη γραμμή θα τέμνει το περίγραμμα του τμήματος και τότε οι τάσεις θα δράσουν στο τμήμα διαφορετικό σημάδι. Αυτή η περίσταση πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τον υπολογισμό της εκτός κέντρου συμπίεσης ραφιών από εύθραυστα υλικά. Δεδομένου ότι τα εύθραυστα υλικά δεν αντέχουν καλά φορτία εφελκυσμού, συνιστάται η εφαρμογή εξωτερικών δυνάμεων στον στύλο έτσι ώστε να ασκούνται μόνο θλιπτικές τάσεις σε ολόκληρη τη διατομή. Για να γίνει αυτό, το σημείο εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων που προκύπτουν που συμπιέζουν το αντηρίδιο πρέπει να βρίσκεται μέσα στον πυρήνα του τμήματος.

Οι υπολογισμοί αντοχής για την έκκεντρη τάση και συμπίεση γίνονται με τον ίδιο τρόπο όπως και για την λοξή κάμψη - με βάση την τάση στο επικίνδυνο σημείο της διατομής. Το επικίνδυνο σημείο είναι το σημείο τομής που βρίσκεται πιο μακριά από την ουδέτερη γραμμή του. Ωστόσο, σε περιπτώσεις όπου η θλιπτική τάση δρα σε αυτό το σημείο και το υλικό της βάσης είναι εύθραυστο, το σημείο στο οποίο δρα η μεγαλύτερη τάση εφελκυσμού μπορεί να είναι επικίνδυνο.

Το διάγραμμα τάσεων είναι κατασκευασμένο σε άξονα κάθετο στην ουδέτερη γραμμή τομής και περιορίζεται από μια ευθεία γραμμή (βλ. Εικ. 9.4).

Η συνθήκη αντοχής θα γραφεί ως εξής.

Ρύζι. 12.3. Έκκεντρη τάση δοκού

Οι τάσεις σε ένα αυθαίρετο σημείο διατομής με συντεταγμένες (x, y) με βάση την αρχή της ανεξαρτησίας των δυνάμεων μπορούν να υπολογιστούν ως εξής (αλγεβρικό άθροισμα)

Από την εξίσωσή τους (12.4) προκύπτει ότι το διάγραμμα τάσεων στην υπό εξέταση τομή σχηματίζει ένα επίπεδο. Λαμβάνουμε την εξίσωση της ουδέτερης γραμμής, στα σημεία της οποίας οι κανονικές τάσεις είναι ίσες με μηδέν, από το (12.4), εξισώνοντας την έκφραση σε μηδέν, δηλ.

(12.5)

Από την εξίσωση που προκύπτει προκύπτει ότι η ουδέτερη γραμμή δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους του τμήματος, το οποίο συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων. Επιπλέον, αν οι συντεταγμένες του σημείου εφαρμογής της δύναμης (x 0 , y 0) είναι θετικές, τότε τουλάχιστονμία από τις συντεταγμένες x ή y της εξίσωσης (12.4) πρέπει να είναι αρνητική και επομένως, εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, τότε η ουδέτερη γραμμή πρέπει να διέρχεται από τα τεταρτημόρια 2,3 και 4 (Εικ. 12.4). .

Είναι γνωστό (αναλυτική γεωμετρία) ότι αν μια ευθεία δίνεται από μια εξίσωση της μορφής

τότε η απόσταση από την αρχή έως την ευθεία θα είναι ίση με

Στην υπό εξέταση περίπτωση (12.5) λαμβάνουμε (Εικ. 12.4)

(12.5a)

Από την έκφραση που προκύπτει προκύπτει ότι όταν το σημείο εφαρμογής της δύναμης P πλησιάζει το κέντρο βάρους της τομής, δηλ. όσο μειώνεται η τιμή των συντεταγμένων x 0 , y 0, αυξάνεται η απόσταση ρ από το κέντρο βάρους της τομής μέχρι την ουδέτερη γραμμή.

σC

Χ

y

ΕΝΑ

Εικ. 12.4. Κατανομή στρες υπό έκκεντρη τάση

Στο όριο στο x 0 =y 0 =0, δηλ. όταν η δύναμη P εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους του τμήματος, η ουδέτερη γραμμή βρίσκεται στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνει χώρα μια απλή (κεντρική) τάση ή συμπίεση, όλες οι τάσεις στο τμήμα είναι του ίδιου πρόσημου και είναι ίσες μεταξύ τους.

Εάν η ουδέτερη γραμμή τέμνει το τμήμα, τότε εμφανίζεται μια ζώνη τάνυσης στη μία πλευρά της και μια ζώνη συμπίεσης στην άλλη (Εικ. 12.4). Σχεδιάζοντας γραμμές παράλληλες στην ουδέτερη γραμμή και εφαπτόμενες στο περίγραμμα του τμήματος, μπορείτε να βρείτε τα πιο απομακρυσμένα σημεία από την ουδέτερη γραμμή στα οποία οι κανονικές τάσεις φτάνουν μέγιστες τιμές. Στην υπό εξέταση περίπτωση, πρόκειται για τα σημεία Γ και Δ.

Γράφουμε τις συνθήκες αντοχής σε αυτά τα σημεία στη φόρμα

όπου x C, y C, x D, y D είναι οι συντεταγμένες των επικίνδυνων σημείων. Τα πρόσημα των όρων στους τύπους (12.6) επιλέγονται βάσει ανάλυσης των κατευθύνσεων δράσης των ροπών κάμψης και των κανονικών δυνάμεων. Εάν η ουδέτερη γραμμή δεν τέμνει τη διατομή, τότε όλες οι κανονικές τάσεις θα έχουν το ίδιο πρόσημο.

Η περιοχή κοντά στο κέντρο βάρους του τμήματος, η οποία έχει την ιδιότητα ότι όταν ασκηθεί δύναμη P σε αυτή την περιοχή, οι τάσεις σε όλα τα σημεία της τομής θα είναι του ίδιου πρόσημου, ονομάζεται πυρήνα τμήματος.

Ορισμένα υλικά (σκυρόδεμα, τούβλα, γκρίζος χυτοσίδηρος) αντέχουν στην τάση πολύ χειρότερα από τη συμπίεση. Για τις αντίστοιχες κατασκευές, είναι σημαντικό να μην δημιουργούνται εφελκυστικές τάσεις στο υλικό, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να ασκούνται θλιπτικές δυνάμεις εντός του πυρήνα της τομής.

Εάν ασκηθεί δύναμη κατά την έκκεντρη τάση (συμπίεση) στο όριο του πυρήνα της τομής, τότε η ουδέτερη γραμμή αγγίζει το περίγραμμα της τομής. Αυτή η συνθήκη χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των διαστάσεων του πυρήνα του τμήματος. Για παράδειγμα, για μια δοκό κυκλικής διατομής, από την συνθήκη της γεωμετρικής συμμετρίας προκύπτει ότι ο πυρήνας της τομής πρέπει να έχει σχήμα κύκλου (Εικ. 12.5). Έστω ότι το σημείο εφαρμογής της δύναμης P βρίσκεται στον άξονα Oy σε απόσταση από την αρχή συντεταγμένων ίση με r (συντεταγμένες του σημείου εφαρμογής της δύναμης είναι x 0 =0, y 0 =r). Η εξίσωση ουδέτερης γραμμής σε αυτήν την περίπτωση έχει τη μορφή (βλ. τύπο 12.5)

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας παράλληλης προς τον άξονα Ox. Δεδομένου ότι ο πυρήνας της τομής είναι ένας κύκλος ακτίνας r, η ουδέτερη γραμμή πρέπει να αγγίζει το περίγραμμα στο σημείο Α (Εικ. 12.5). Η απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων μέχρι την ουδέτερη γραμμή είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου της διατομής της δοκού R. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (12,5a), βρίσκουμε

Επομένως r=R/4, δηλ. ο πυρήνας μιας δοκού κυκλικής διατομής με ακτίνα R είναι ένας κύκλος με ακτίνα R/4.

Έκκεντρη συμπίεση. Κατασκευήπυρήνες τομών. Κάμψη με στρέψη. Υπολογισμοί αντοχής κάτω από σύνθετες καταστάσεις καταπόνησης.

Η έκκεντρη συμπίεση είναιένας τύπος παραμόρφωσης στον οποίο η διαμήκης δύναμη στη διατομή της ράβδου δεν εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους. Στο έκκεντρη συμπίεση, εκτός από τη διαμήκη δύναμη (Ν), προκύπτουν δύο ροπές κάμψης ( και ).

Θεωρείται ότι η ράβδος έχει υψηλή ακαμψία κάμψης προκειμένου να αγνοηθεί η απόκλιση της ράβδου υπό έκκεντρη συμπίεση.

Ας μετατρέψουμε τον τύπο για τις ροπές υπό έκκεντρη συμπίεση αντικαθιστώντας τις τιμές των ροπών κάμψης: .

Ας υποδηλώσουμε τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου της μηδενικής γραμμής υπό έκκεντρη συμπίεση και ας τις αντικαταστήσουμε στον τύπο για κανονικές τάσεις υπό έκκεντρη συμπίεση. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι τάσεις στα σημεία της μηδενικής γραμμής είναι ίσες με μηδέν, μετά από μείωση κατά , λαμβάνουμε την εξίσωση της μηδενικής γραμμής για έκκεντρη συμπίεση: .

Η γραμμή μηδέν για έκκεντρη συμπίεση και το σημείο εφαρμογής φορτίου βρίσκονται πάντα σε αντίθετες πλευρές του κέντρου βάρους του τμήματος.

Τα τμήματα που αποκόπτονται από τη μηδενική γραμμή από τους άξονες συντεταγμένων, που ορίζονται και , μπορούν εύκολα να βρεθούν από την εξίσωση της μηδενικής γραμμής υπό έκκεντρη συμπίεση. Εάν πάρετε πρώτα και μετά αποδεχτείτε , τότε βρίσκουμε τα σημεία τομής της μηδενικής γραμμής κατά την έκκεντρη συμπίεση με τους κύριους κεντρικούς άξονες:

Η μηδενική γραμμή κατά την έκκεντρη συμπίεση θα χωρίσει τη διατομή σε δύο μέρη. Στο ένα μέρος οι τάσεις θα είναι συμπιεστικές, στο άλλο - εφελκυστικές. Οι υπολογισμοί αντοχής, όπως και στην περίπτωση της λοξής κάμψης, πραγματοποιούνται με τη χρήση κανονικών τάσεων που προκύπτουν στο επικίνδυνο σημείο της διατομής (το πιο απομακρυσμένο από τη γραμμή μηδέν).

Ο πυρήνας της διατομής είναι μια μικρή περιοχή γύρω από το κέντρο βάρους της διατομής, που χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οποιαδήποτε θλιπτική διαμήκης δύναμη ασκείται στο εσωτερικό του πυρήνα προκαλεί θλιπτικές τάσεις σε όλα τα σημεία της διατομής.

Παραδείγματα πυρήνων τομής για ορθογώνιες και κυκλικές διατομές ράβδου.

Κάμψη με στρέψη.Οι άξονες των μηχανών και των μηχανισμών υπόκεινται συχνά σε τέτοια φόρτιση (ταυτόχρονη δράση ροπών στρέψης και κάμψης). Για τον υπολογισμό της ξυλείας, είναι απαραίτητο πρώτα από όλα να καθοριστούν τα επικίνδυνα τμήματα. Για το σκοπό αυτό κατασκευάζονται διαγράμματα ροπών κάμψης και ροπής.

Χρησιμοποιώντας την αρχή της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων, θα προσδιορίσουμε τις τάσεις που προκύπτουν στη δοκό ξεχωριστά για στρέψη και κάμψη.

Κατά τη στρέψη προκύπτουν εφαπτομενικές τάσεις στις διατομές της δοκού, φτάνοντας υψηλότερη τιμήσε σημεία του περιγράμματος της τομής Κατά την κάμψη, δημιουργούνται κανονικές τάσεις στις διατομές της δοκού, φθάνοντας στη μέγιστη τιμή τους στις εξωτερικές ίνες της δοκού .

Ας εξετάσουμε μια ευθεία ράβδο φορτωμένη στο άκρο με δυνάμεις που κατευθύνονται παράλληλα προς τον άξονα Ω.Το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων φάεφαρμόζεται στο σημείο ΜΕ.Σε ένα τοπικό δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων yOz, συμπίπτουν με τους κύριους κεντρικούς άξονες του τμήματος, τις συντεταγμένες του σημείου ΜΕίσος ΕΝΑΚαι σι(Εικ. 5.18).

Ας αντικαταστήσουμε το εφαρμοζόμενο φορτίο με ένα στατικά ισοδύναμο σύστημα δυνάμεων και ροπών. Για να γίνει αυτό, μεταφέρουμε τη δύναμη που προκύπτει φάστο κέντρο βάρους του τμήματος ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι φορτώστε τη ράβδο με δύο ροπές κάμψης ίσες με το γινόμενο της δύναμης T^ από τους βραχίονες της σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων: Mff = ΦαΚαι M z = Fb.

Σημειώστε ότι σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιόστροφου συστήματος συντεταγμένων για το σημείο C που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, οι ροπές κάμψης θα είναι τυπικά ως εξής:

Ρύζι. 5.18.Ευθύγραμμη ράβδος φορτωμένη στο άκρο με δυνάμεις που κατευθύνονται παράλληλα προς τον άξοναΩ

σημάδια φυσήματος: M y = Faκαι Μ 7 = -Fb.Σε αυτή την περίπτωση, στη στοιχειώδη περιοχή που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, και οι δύο ροπές προκαλούν εφελκυστική τάση.

Χρησιμοποιώντας την αρχή της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων, προσδιορίζουμε τις τάσεις στο τρέχον σημείο της τομής με συντεταγμένες στοΚαι zαπό κάθε συντελεστή ισχύος χωριστά. Η συνολική τάση προκύπτει αθροίζοντας και τα τρία στοιχεία τάσης:

Ας προσδιορίσουμε τη θέση του ουδέτερου άξονα. Για να γίνει αυτό, σύμφωνα με τον τύπο (5.69), εξισώνουμε την τιμή της κανονικής τάσης στο τρέχον σημείο με μηδέν:

Ως αποτέλεσμα απλών μετασχηματισμών, λαμβάνουμε την εξίσωση της ουδέτερης γραμμής

Οπου i yΚαι i z - κύριες ακτίνες αδράνειας, προσδιορίζεται από τους τύπους (3.14).

Έτσι, στην περίπτωση της έκκεντρης τάσης-συμπίεσης, η ουδέτερη γραμμή δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους της τομής (Εικ. 5.19), όπως φαίνεται από την παρουσία στην εξίσωση (5.70) ενός μη μηδενικού ελεύθερου όρου.

Οι μέγιστες τάσεις εμφανίζονται σε σημεία διατομής ΕΝΑΚαι ΣΕ,πιο μακριά από την ουδέτερη γραμμή. Ας καθορίσουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του σημείου εφαρμογής δύναμης και της θέσης της ουδέτερης γραμμής. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τα σημεία τομής αυτής της γραμμής αξόνων συντεταγμένων:

Ρύζι. 5.19.

Οι τύποι που προκύπτουν δείχνουν ότι η συντεταγμένη του σημείου εφαρμογής της δύναμης ΕΝΑκαι η συντεταγμένη του σημείου όπου η ουδέτερη ευθεία τέμνει τον άξονα συντεταγμένων Οζ(σημείο g 0) έχουν αντίθετα πρόσημα. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τις ποσότητες σιΚαι y 0 .Έτσι, το σημείο εφαρμογής της προκύπτουσας δύναμης και η ουδέτερη γραμμή βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές σε σχέση με την αρχή.

Σύμφωνα με τους τύπους που λαμβάνονται, καθώς το σημείο εφαρμογής της δύναμης πλησιάζει το κέντρο βάρους του τμήματος, η ουδέτερη γραμμή απομακρύνεται από κεντρική ζώνη. Στην περιοριστική περίπτωση (α = β = 0) φτάνουμε στην περίπτωση της κεντρικής τάσης-συμπίεσης.

Είναι ενδιαφέρον να προσδιοριστεί η ζώνη εφαρμογής δύναμης στην οποία οι τάσεις στο τμήμα θα έχουν το ίδιο πρόσημο. Ειδικότερα, για υλικά που έχουν χαμηλή αντοχή σε εφελκυσμό, είναι λογικό να εφαρμόζεται η θλιπτική δύναμη ακριβώς σε αυτή τη ζώνη, έτσι ώστε στην τομή να δρουν μόνο θλιπτικές τάσεις. Αυτή η ζώνη γύρω από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζεται πυρήνα τμήματος.

Εάν η δύναμη ασκηθεί στον πυρήνα του τμήματος, τότε η ουδέτερη γραμμή δεν τέμνει το τμήμα. Εάν ασκηθεί δύναμη κατά μήκος του ορίου του πυρήνα του τμήματος, η ουδέτερη γραμμή αγγίζει το περίγραμμα του τμήματος. Για να προσδιορίσετε τον πυρήνα διατομής, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (5.71).

Εάν η ουδέτερη γραμμή παριστάνεται ως εφαπτομένη στο περίγραμμα του τμήματος και λαμβάνονται υπόψη όλες οι πιθανές θέσεις της εφαπτομένης και τα σημεία εφαρμογής της δύναμης που αντιστοιχούν σε αυτές τις θέσεις, τότε τα σημεία εφαρμογής της δύναμης θα σκιαγραφούν τον πυρήνα του τμήματος .

Ρύζι. 5.20.

ΕΝΑ -έλλειψη; 6 - ορθογώνιο