Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί διανυσματικών συστημάτων. Βήμα διανυσματικό σύστημα

§7. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Ισοδύναμα συστήματα. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Αφήνω ΜΕ– πεδίο μιγαδικών αριθμών. Εξίσωση της φόρμας

Οπου
, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με nάγνωστος
. Παραγγελθέν σετ
,
ονομάζεται λύση της εξίσωσης (1) αν .

Σύστημα mγραμμικές εξισώσεις με nΤο άγνωστο είναι ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:

- συντελεστές του συστήματος γραμμικών εξισώσεων, - δωρεάν μέλη.

Ορθογώνιο τραπέζι

,

ονομάζεται πίνακας μεγέθους
. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: - εγώ-η σειρά του πίνακα,
- κ-η στήλη του πίνακα. Μήτρα ΕΝΑεπίσης ορίζουν
ή
.

Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί σειρών μήτρας ΕΝΑονομάζονται στοιχειώδη:
) εξαίρεση μηδενικής γραμμής. ) πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε συμβολοσειράς με έναν αριθμό
; ) προσθέτοντας σε οποιαδήποτε συμβολοσειρά οποιαδήποτε άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη επί
. Παρόμοιοι μετασχηματισμοί στηλών μήτρας ΕΝΑονομάζονται μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα ΕΝΑ.

Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο (μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά) οποιασδήποτε σειράς του πίνακα ΕΝΑονομάζεται το κύριο στοιχείο αυτής της γραμμής.

Ορισμός. Μήτρα
καλείται σταδιακά εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) οι μηδενικές σειρές του πίνακα (εάν υπάρχουν) βρίσκονται κάτω από μη μηδενικές.

2) αν
κύρια στοιχεία των σειρών μήτρας, λοιπόν

Οποιοσδήποτε μη μηδενικός πίνακας Α μπορεί να αναχθεί σε πίνακα κλιμακίου χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σε σειρά.

Παράδειγμα. Ας παρουσιάσουμε τη μήτρα
στον πίνακα βημάτων:
~
~
.

Πίνακας που αποτελείται από συντελεστές συστήματος Οι γραμμικές εξισώσεις (2) ονομάζονται κύριος πίνακας του συστήματος. Μήτρα
που προκύπτει από την προσθήκη μιας στήλης ελεύθερων όρων ονομάζεται εκτεταμένος πίνακας του συστήματος.

Ένα διατεταγμένο σύνολο ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (2) εάν είναι λύση σε κάθε γραμμική εξίσωση αυτού του συστήματος.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει λύσεις.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται οριστικό εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις.

Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται στοιχειώδεις:

) εξαίρεση από το σύστημα εξισώσεων της μορφής ;

) πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης με
,
;

) προσθέτοντας σε οποιαδήποτε εξίσωση οποιαδήποτε άλλη εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη επί,.

Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων από nΤα άγνωστα ονομάζονται ισοδύναμα εάν δεν είναι συμβατά ή τα σύνολα λύσεών τους συμπίπτουν.

Θεώρημα. Εάν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων λαμβάνεται από ένα άλλο μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών όπως ), τότε είναι ισοδύναμο με τον αρχικό.

Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με εξάλειψη αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Ας δοθεί το σύστημα mγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος:

Αν το σύστημα (1) περιέχει μια εξίσωση της μορφής

τότε αυτό το σύστημα δεν είναι συμβατό.

Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα (1) δεν περιέχει εξίσωση της μορφής (2). Έστω στο σύστημα (1) ο συντελεστής της μεταβλητής x 1 στην πρώτη εξίσωση
(αν δεν είναι έτσι, τότε με την αναδιάταξη των εξισώσεων θα το πετύχουμε, αφού δεν είναι όλοι οι συντελεστές για x 1 είναι ίσο με μηδέν). Ας εφαρμόσουμε την ακόλουθη αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1):

, προσθέστε στη δεύτερη εξίσωση.

Πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί
, προσθέστε στην τρίτη εξίσωση και ούτω καθεξής.

Πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί
, προσθέστε στην τελευταία εξίσωση του συστήματος.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (σε όσα ακολουθούν θα χρησιμοποιήσουμε τη συντομογραφία CLU για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων) ισοδύναμο με το σύστημα (1). Μπορεί να αποδειχθεί ότι στο προκύπτον σύστημα δεν υπάρχει ούτε μία εξίσωση με αριθμό εγώ, εγώ 2, δεν περιέχει άγνωστο x 2. Αφήνω κο μικρότερος φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε ο άγνωστος x κπεριέχεται σε τουλάχιστον μία εξίσωση με αριθμό εγώ, εγώ 2. Τότε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή:

Το σύστημα (3) είναι ισοδύναμο με το σύστημα (1). Ας εφαρμόσουμε τώρα το υποσύστημα
συστήματα γραμμικών εξισώσεων (3) συλλογισμού που εφαρμόστηκαν στο SNL (1). Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας, φτάνουμε σε ένα από τα δύο αποτελέσματα.

1. Ας πάρουμε ένα SLE που περιέχει μια εξίσωση της μορφής (2). Σε αυτήν την περίπτωση, η SLU (1) είναι ασυνεπής.

2. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί που εφαρμόζονται στο SLE (1) δεν οδηγούν σε ένα σύστημα που περιέχει μια εξίσωση της μορφής (2). Στην περίπτωση αυτή, SLE (1) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς
ανάγεται σε ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:

(4)

όπου, 1< κ < μεγάλο < . . .< μικρό,

Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων της μορφής (4) ονομάζεται βαθμιαία. Οι ακόλουθες δύο περιπτώσεις είναι δυνατές εδώ.

ΕΝΑ) r= n, τότε το σύστημα (4) έχει τη μορφή

(5)

Το σύστημα (5) έχει μια μοναδική λύση. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1) έχει επίσης μια μοναδική λύση.

ΣΙ) r< n. Στην προκειμένη περίπτωση οι άγνωστοι
στο σύστημα (4) ονομάζονται οι κύριοι άγνωστοι και οι υπόλοιποι άγνωστοι σε αυτό το σύστημα ονομάζονται ελεύθεροι (ο αριθμός τους είναι ίσος με n- r). Ας αντιστοιχίσουμε αυθαίρετες αριθμητικές τιμές στους ελεύθερους αγνώστους, τότε το SLE (4) θα έχει την ίδια μορφή με το σύστημα (5). Από αυτό, τα κύρια άγνωστα καθορίζονται μοναδικά. Έτσι, το σύστημα έχει μια λύση, είναι δηλαδή συνεπές. Δεδομένου ότι τα δωρεάν άγνωστα δόθηκαν αυθαίρετες αριθμητικές τιμές από ΜΕ, τότε το σύστημα (4) είναι αβέβαιο. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1) είναι επίσης αβέβαιο. Εκφράζοντας τους κύριους αγνώστους στο SLE (4) σε όρους ελεύθερων αγνώστων, παίρνουμε ένα σύστημα που ονομάζεται γενική λύση του συστήματος (1).

Παράδειγμα. Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σολ aussa

Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος γραμμικών εξισώσεων και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς κατά σειρά, ας τον αναγάγουμε σε βηματικό πίνακα:

~

~
~
~

~ . Χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα πίνακα, επαναφέρουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. Ας πάρουμε λοιπόν ως τα κύρια άγνωστα
δωρεάν άγνωστο. Ας εκφράσουμε τους κύριους αγνώστους μόνο με όρους ελεύθερων αγνώστων:

Λάβαμε τη γενική λύση του SLU. Αφήστε τότε

(5, 0, -5, 0, 1) – μια συγκεκριμένη λύση του SNL.

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1. Βρείτε μια γενική λύση και μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:

1)
2)

4)
6)

2. Βρείτε για διαφορετικές τιμές παραμέτρων ΕΝΑγενική λύση στο σύστημα εξισώσεων:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Διανυσματικοί χώροι

Η έννοια του διανυσματικού χώρου. Οι απλούστερες ιδιότητες.

Αφήνω V ≠ Ø, ( φά, +,∙) – πεδίο. Θα ονομάσουμε τα στοιχεία του πεδίου βαθμωτές.

Επίδειξη φ : φά× V –> Vονομάζεται η πράξη πολλαπλασιασμού στοιχείων ενός συνόλου Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φά. Ας υποδηλώσουμε φ (λ,α) διά μέσου λαπροϊόν ενός στοιχείου ΕΝΑσε κλιμακωτό λ .

Ορισμός.Πολοί Vμε δεδομένη αλγεβρική πράξη πρόσθεσης στοιχείων ενός συνόλου Vκαι πολλαπλασιασμός στοιχείων συνόλου Vσε σκαλοπάτια από το γήπεδο φάονομάζεται διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο F αν ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα:

Παράδειγμα. Αφήνω φάπεδίο, φά n = {(ένα 1 , α 2 , … , α n) | ένα εγώ φά (εγώ=)). Κάθε στοιχείο του σετ φά nκάλεσε n-διάνυσμα αριθμητικής διαστάσεων. Ας εισαγάγουμε την πράξη πρόσθεσης n-διανύσματα διαστάσεων και πολλαπλασιασμός n-διάνυσμα διαστάσεων σε βαθμωτή από το πεδίο φά. Αφήνω
. Ας βάλουμε = ( ένα 1 + σι 1 , … , ένα n + σι n), = (λ ένα 1 , λ ένα 2 , … , λ ένα n). Πολοί φάΤο n σε σχέση με τις εισαγόμενες πράξεις είναι ένας διανυσματικός χώρος και ονομάζεται n-διάστατος αριθμητικός διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά.

Αφήνω V- διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά, ,
. Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1)
;

3)
;

4)
;

Απόδειξη ιδιοκτησίας 3.

Από την ισότητα σύμφωνα με το νόμο της μείωσης στην ομάδα ( V,+) έχουμε
.

Γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία διανυσματικών συστημάτων.

Αφήνω V– διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο φά,

. Ένα διάνυσμα ονομάζεται ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων
. Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών ενός συστήματος διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικό εύρος αυτού του συστήματος διανυσμάτων και συμβολίζεται με .

Ορισμός.Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχουν τέτοιοι βαθμωτοί
δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, αυτό

Αν η ισότητα (1) ικανοποιείται αν και μόνο αν λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, τότε το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο.

Παράδειγμα.Μάθετε αν το σύστημα των διανυσμάτων είναι = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) διάστημα R 3 γραμμικά εξαρτώμενο ή ανεξάρτητο.

Διάλυμα.Έστω λ 1, λ 2, λ 3
Και

 |=> (0,0,0) – λύση του συστήματος. Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων.

1. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

2. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο.

3. Σύστημα διανυσμάτων, όπου
εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα διάνυσμα αυτού του συστήματος διαφορετικό από το διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων που προηγούνται του.

4. Αν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και το σύστημα των διανυσμάτων
γραμμικά εξαρτώμενο, μετά το διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων και, επιπλέον, με μοναδικό τρόπο.

Απόδειξη.Εφόσον το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε
δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, αυτό

Σε διανυσματική ισότητα (2) λ m+1 ≠ 0. Υποθέτοντας ότι λ m+1 =0, τότε από (2) => Συνεπάγεται ότι το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, αφού λ 1 , λ 2 , … , λ mδεν είναι όλα ίσα με μηδέν. Ήρθαμε σε αντίφαση με την κατάσταση. Από (1) => όπου
.

Έστω το διάνυσμα να παριστάνεται και με τη μορφή: Τότε από τη διανυσματική ισότητα
λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας του συστήματος των διανυσμάτων προκύπτει ότι
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Έστω δύο συστήματα διανυσμάτων και
, m>κ. Εάν κάθε διάνυσμα ενός συστήματος διανυσμάτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Βάση, κατάταξη του διανυσματικού συστήματος.

Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων χώρου Vπάνω από το γήπεδο φά δηλώνουν με μικρό.

Ορισμός.Οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα ενός συστήματος διανυσμάτων μικρόονομάζεται η βάση του συστήματος των διανυσμάτων μικρό, εάν υπάρχει διάνυσμα του συστήματος μικρόμπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ενός συστήματος διανυσμάτων.

Παράδειγμα.Βρείτε τη βάση του διανυσματικού συστήματος = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού, σύμφωνα με την ιδιότητα 5, το σύστημα των διανυσμάτων προκύπτει από το σύστημα των διανυσμάτων Εφόσον το εκπαιδευτικό επίδομα βασικάηλεκτρομηχανοτρονική: εκπαιδευτικόςεπίδομα βασικάηλεκτρολόγος μηχανικός"; ...

Εκπαιδευτική βιβλιογραφία 2000-2008 (1)

Λογοτεχνία

Μαθηματικά Μαθηματικά Lobkova N.I. Βασικάγραμμικός άλγεβρακαι αναλυτική γεωμετρία: εκπαιδευτικόςεπίδομα/ N.I Lobkova, M.V. Lagunova... σχέδιο σύμφωνα με βασικάηλεκτρομηχανοτρονική: εκπαιδευτικόςεπίδομα/ PGUPS. Caf. "Θεωρητικός βασικάηλεκτρολόγος μηχανικός"; ...

Παρακάτω εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων στο πεδίο των μεταβλητών ΠΡΟΣΘΕΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ. Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων λέγονται ισοδύναμα εάν κάθε λύση ενός συστήματος είναι λύση του άλλου συστήματος.

Οι παρακάτω προτάσεις εκφράζουν τις ιδιότητες της ισοδυναμίας που προκύπτουν από τον ορισμό της ισοδυναμίας και τις προαναφερθείσες ιδιότητες συνέπειας συστημάτων.

ΠΡΟΤΑΣΗ 2.2. Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι ισοδύναμα αν και μόνο εάν καθένα από αυτά τα συστήματα είναι συνέπεια του άλλου συστήματος.

ΠΡΟΤΑΣΗ 2.3. Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν το σύνολο όλων των λύσεων του ενός συστήματος συμπίπτει με το σύνολο όλων των λύσεων του άλλου συστήματος.

ΠΡΟΤΑΣΗ 2.4. Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν οι κατηγορούμενες που ορίζονται από αυτά τα συστήματα είναι ισοδύναμες.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ονομάζονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

(α) πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές κάποιας εξίσωσης του συστήματος με ένα μη μηδενικό βαθμωτό.

(P) προσθέτοντας (αφαιρώντας) και στις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης ενός συστήματος τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης του συστήματος, πολλαπλασιαζόμενα με ένα βαθμωτό.

Εξαίρεση από το σύστημα ή προσθήκη στο σύστημα γραμμικής εξίσωσης με μηδενικούς συντελεστές και μηδενικό ελεύθερο όρο.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2.5. Εάν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων προκύπτει από ένα άλλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων ως αποτέλεσμα μιας αλυσίδας στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε αυτά τα δύο συστήματα είναι ισοδύναμα.

Απόδειξη. Ας δοθεί το σύστημα

Αν πολλαπλασιάσουμε μια από τις εξισώσεις του, για παράδειγμα την πρώτη, με ένα μη μηδενικό κλιμακωτό X, προκύπτει το σύστημα

Κάθε λύση στο σύστημα (1) είναι επίσης μια λύση στο σύστημα (2).

Αντίστροφα: εάν - οποιαδήποτε λύση του συστήματος (2),

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ισότητα με και χωρίς να αλλάξουμε τις επόμενες ισότητες, λαμβάνουμε ισότητες που δείχνουν ότι το διάνυσμα είναι μια λύση στο σύστημα (1). Κατά συνέπεια, το σύστημα (2) είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα (1). Είναι επίσης εύκολο να επαληθευτεί ότι μια μεμονωμένη εφαρμογή ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού (P) στο σύστημα (1) ή οδηγεί σε ένα σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα (1). Δεδομένου ότι η σχέση ισοδυναμίας είναι μεταβατική, η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή στοιχειωδών μετασχηματισμών οδηγεί σε ένα σύστημα εξισώσεων ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα (1).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 2.6. Εάν προσθέσετε έναν γραμμικό συνδυασμό άλλων εξισώσεων του συστήματος σε μία από τις εξισώσεις ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, θα έχετε ένα σύστημα εξισώσεων που είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

ΣΥΝΤΕΛΕΣΜΑ 2.7. Εάν εξαιρέσετε από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή προσθέσετε σε αυτό μια εξίσωση που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων εξισώσεων του συστήματος, θα έχετε ένα σύστημα εξισώσεων που είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν:

1) Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές της μιας εξίσωσης τα αντίστοιχα μέρη της άλλης, πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό, όχι ίσο με το μηδέν.

2) Αναδιάταξη των εξισώσεων.

3) Αφαίρεση από το σύστημα εξισώσεων που είναι ταυτότητες για όλα τα x.

ΘΕΩΡΗΜΑ KRONECKER–CAPELLI

(συνθήκη συμβατότητας συστήματος)

(Leopold Kronecker (1823-1891) Γερμανός μαθηματικός)

Θεώρημα: Ένα σύστημα είναι συνεπές (έχει τουλάχιστον μία λύση) εάν και μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα.

Προφανώς, το σύστημα (1) μπορεί να γραφτεί ως:

x 1 + x 2 + … + x n

Απόδειξη.

1) Εάν υπάρχει λύση, τότε η στήλη των ελεύθερων όρων είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα Α, που σημαίνει προσθήκη αυτής της στήλης στον πίνακα, δηλ. μετάβαση А®А * μην αλλάξετε την κατάταξη.

2) Αν RgA = RgA *, τότε αυτό σημαίνει ότι έχουν το ίδιο βασικό δευτερεύον. Η στήλη των ελεύθερων όρων είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του ελάσσονος βάσης, επομένως η παραπάνω σημειογραφία είναι σωστή.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη συμβατότητα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

~ . RgA = 2.

Α* = RgA* = 3.

Το σύστημα είναι ασυνεπές.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη συμβατότητα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

Α* =

RgA* = 2.

Το σύστημα είναι συνεργατικό. Λύσεις: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Γερμανός μαθηματικός)

Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα και τη μέθοδο του Cramer, η μέθοδος Gauss μπορεί να εφαρμοστεί σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων με αυθαίρετο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων. Η ουσία της μεθόδου είναι η διαδοχική εξάλειψη των αγνώστων.

Θεωρήστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της 1ης εξίσωσης με ένα 11 ¹ 0, τότε:

1) πολλαπλασιάζουμε με 21 και αφαιρούμε από τη δεύτερη εξίσωση

2) πολλαπλασιάζουμε με 31 και αφαιρούμε από την τρίτη εξίσωση

, Πού d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Παράδειγμα.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

, από όπου παίρνουμε: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Παράδειγμα.Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ας δημιουργήσουμε μια εκτεταμένη μήτρα του συστήματος.

Έτσι, το αρχικό σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

, από όπου παίρνουμε: z = 3; y = 2; x = 1.

Η απάντηση που λαμβάνεται συμπίπτει με την απάντηση που λαμβάνεται για αυτό το σύστημα με τη μέθοδο Cramer και τη μέθοδο matrix.

Για να το λύσετε μόνοι σας:

Απάντηση: (1, 2, 3, 4).

ΘΕΜΑ 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ

Ορισμός.Διάνυσμαονομάζεται κατευθυνόμενο τμήμα (ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων). Οι φορείς περιλαμβάνουν επίσης άκυροςένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν.

Ορισμός.Μήκος (ενότητα)διάνυσμα είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους του διανύσματος.

Ορισμός. Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ή παράλληλη ευθεία. Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Ορισμός. Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα.

Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα, αλλά δεν είναι όλα τα συνεπίπεδα διανύσματα συγγραμμικά.

Ορισμός. Τα διανύσματα ονομάζονται ίσος, εάν είναι συγγραμμικά, πανομοιότυπα κατευθυνόμενα και έχουν τις ίδιες ενότητες.

Όλα τα διανύσματα μπορούν να έρθουν σε μια κοινή προέλευση, δηλ. να κατασκευάσουν διανύσματα που είναι αντίστοιχα ίσα με τα δεδομένα και έχουν κοινή προέλευση. Από τον ορισμό της ισότητας των διανυσμάτων προκύπτει ότι κάθε διάνυσμα έχει άπειρα διανύσματα ίσα με αυτό.

Ορισμός.Γραμμικές πράξειςπάνω από διανύσματα ονομάζεται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό.

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα -

Εργασία - , και είναι συγγραμμική.

Το διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα ( ) αν a > 0.

Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα με το διάνυσμα ( ¯ ), αν α< 0.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1) + = + - ανταλλαγή.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – συνειρμικότητα

6) (a+b) = a + b - κατανομή

7) a( + ) = a + a

Ορισμός.

1) Βάσηστο διάστημα ονομάζονται 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά.

2) Βάσησε ένα επίπεδο ονομάζονται 2 μη γραμμικά διανύσματα που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά.

3)ΒάσηΟποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα σε μια γραμμή ονομάζεται.

Αφήνω – σύστημα διανυσμάτων m από . Βασικοί στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του διανυσματικού συστήματος εκτάριο

1. - προσθέτοντας σε ένα από τα διανύσματα (διάνυσμα) γραμμικό συνδυασμό των άλλων.

2. - πολλαπλασιασμός ενός από τα διανύσματα (διάνυσμα) με έναν αριθμό όχι ίσο με το μηδέν.

3. αναδιάταξη δύο διανυσμάτων () κατά τόπους. Τα συστήματα διανυσμάτων θα ονομάζονται ισοδύναμα (ονομασία) εάν υπάρχει μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών που μετατρέπει το πρώτο σύστημα σε δεύτερο.

Ας σημειώσουμε τις ιδιότητες της εισαγόμενης έννοιας της ισοδυναμίας διανυσμάτων

(αντανακλαστικότητα)

Από αυτό προκύπτει ότι (συμμετρία)

Αν και , τότε (μεταβατικότητα) Θεώρημα.Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και είναι ισοδύναμο με αυτό, τότε το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Απόδειξη.Προφανώς, αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα για ένα σύστημα που προκύπτει από τη χρήση ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού. Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Τότε προκύπτει ότι . Αφήστε το σύστημα να ληφθεί από τη χρήση ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού. Προφανώς, η αναδιάταξη των διανυσμάτων ή ο πολλαπλασιασμός ενός από τα διανύσματα με έναν αριθμό όχι ίσο με το μηδέν δεν αλλάζει τη γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σύστημα των διανυσμάτων προκύπτει από το σύστημα προσθέτοντας στο διάνυσμα έναν γραμμικό συνδυασμό των υπολοίπων, . Είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί ότι (1) προκύπτει ότι Αφού , τότε από το (1) λαμβάνουμε . (2)

Επειδή σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε από το (2) προκύπτει ότι για όλα .

Από εδώ παίρνουμε . Q.E.D.

57. Πίνακες. πρόσθεση πινάκων, πολλαπλασιασμός πίνακα με βαθμωτό πίνακα ως διανυσματικό χώρο διάσταση του.

Τύπος μήτρας: τετράγωνο

Προσθήκη μήτρας

Ιδιότητες πρόσθεσης πίνακα:

1.ανταλλαγή: A+B = B+A;

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό

Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα A με τον αριθμό ¥ (ονομασία: ¥A) συνίσταται στην κατασκευή του πίνακα B, τα στοιχεία του οποίου προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του πίνακα A με αυτόν τον αριθμό, δηλαδή κάθε στοιχείο του πίνακα B ισούται με: Bij= ¥Aij

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πινάκων με έναν αριθμό:

2. (λβ)Α = λ(βΑ)

3. (λ+β)A = λA + βΑ

4. λ(A+B) = λA + λB

Διάνυσμα γραμμής και διάνυσμα στήλης

Οι πίνακες μεγέθους m x 1 και 1 x n είναι στοιχεία των διαστημάτων K^n και K^m, αντίστοιχα:

ένας πίνακας μεγέθους m x1 ονομάζεται διάνυσμα στήλης και έχει ειδική σημείωση:

Ένας πίνακας μεγέθους 1 x n ονομάζεται διάνυσμα γραμμής και έχει μια ειδική σημείωση:

58. Πίνακες. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός πινάκων. Οι μήτρες ως δακτύλιος, ιδιότητες του δακτυλίου μήτρας.

Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που αποτελείται από m σειρές ίσου μήκους ή n στροβοσκόπιους ίσου μήκους.

Το aij είναι ένα στοιχείο μήτρας που βρίσκεται στην i-η σειρά και στην j-η στήλη.

Τύπος μήτρας: τετράγωνο

Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ένας πίνακας με ίσο αριθμό στηλών και σειρών.

Προσθήκη μήτρας

Η πρόσθεση των πινάκων A + B είναι η πράξη εύρεσης ενός πίνακα C, όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το ζεύγος άθροισμα όλων των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων A και B, δηλαδή κάθε στοιχείο του πίνακα είναι ίσο με Cij = Aij + Bij

Ιδιότητες πρόσθεσης πίνακα:

1.ανταλλαγή: A+B = B+A;

2. συσχετισμός: (A+B)+C =A+(B+C);

3.προσθήκη με μηδενικό πίνακα: A + Θ = A;

4.ύπαρξη του αντίθετου πίνακα: A + (-A) = Θ;

Όλες οι ιδιότητες των γραμμικών πράξεων επαναλαμβάνουν τα αξιώματα του γραμμικού χώρου και επομένως ισχύει το θεώρημα:

Το σύνολο όλων των πινάκων του ίδιου μεγέθους mxn με στοιχεία από το πεδίο P (το πεδίο όλων των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών) σχηματίζει ένα γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο P (κάθε τέτοιος πίνακας είναι ένα διάνυσμα αυτού του χώρου).

Πολλαπλασιασμός πίνακα

Ο πολλαπλασιασμός πίνακα (ονομασία: AB, λιγότερο συχνά με το σύμβολο πολλαπλασιασμού A x B) είναι η πράξη υπολογισμού του πίνακα C, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων στην αντίστοιχη σειρά του πρώτου παράγοντα και της στήλης του το δεύτερο.

Ο αριθμός των στηλών στον πίνακα Α πρέπει να ταιριάζει με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα Β, με άλλα λόγια, ο πίνακας Α πρέπει να είναι συνεπής με τον πίνακα Β. Εάν ο πίνακας Α έχει διαστάσεις m x n, B - n x k, τότε η διάσταση του γινομένου τους AB=C είναι m x k.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πίνακα:

1.συσχετισμός (AB)C = A(BC);

2.μη-ανταλλαγή (στη γενική περίπτωση): AB BA;

3. το γινόμενο είναι αντισταθμιστικό στην περίπτωση πολλαπλασιασμού με τον πίνακα ταυτότητας: AI = IA.

4.κατανομή: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. συσχετισμός και ανταλλαξιμότητα σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Αναστρέψιμες μήτρες. Ενικού και μη μοναδικού στοιχειώδεις μετασχηματισμοί σειρών μήτρας. Στοιχειώδεις πίνακες. Πολλαπλασιασμός με στοιχειώδεις πίνακες.

Αντίστροφος πίνακας- μια τέτοια μήτρα A−1, όταν πολλαπλασιαστεί με το οποίο, ο αρχικός πίνακας ΕΝΑκαταλήγει στον πίνακα ταυτότητας μι:

Μετατροπές στοιχειωδών συμβολοσειρώνονομάζονται:

Ομοίως ορίζεται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί στηλών.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις αναστρεπτός.

Ο συμβολισμός υποδεικνύει ότι ο πίνακας μπορεί να ληφθεί από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς (ή αντίστροφα).