Εργασίες εκπαίδευσης στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Ανεξάρτητη εργασία "εργασίες με θέμα "Πυθαγόρειο θεώρημα"

Όταν αρχίσατε να μαθαίνετε για τις τετραγωνικές ρίζες και πώς να λύνετε παράλογες εξισώσεις (ισότητες που περιλαμβάνουν ένα άγνωστο κάτω από το σύμβολο της ρίζας), πιθανότατα πήρατε την πρώτη γεύση των πρακτικών τους χρήσεων. Η ικανότητα λήψης της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών είναι επίσης απαραίτητη για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό το θεώρημα συσχετίζει τα μήκη των πλευρών οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου.

Αφήστε τα μήκη των ποδιών ενός ορθογωνίου τριγώνου (αυτές τις δύο πλευρές που συναντώνται σε ορθή γωνία) να οριστούν με τα γράμματα και, και το μήκος της υποτείνουσας (η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία) θα οριστεί με το γράμμα. Τότε τα αντίστοιχα μήκη συσχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:

Αυτή η εξίσωση σας επιτρέπει να βρείτε το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου όταν είναι γνωστό το μήκος των άλλων δύο πλευρών του. Επιπλέον, σας επιτρέπει να προσδιορίσετε εάν το εν λόγω τρίγωνο είναι ορθογώνιο τρίγωνο, υπό την προϋπόθεση ότι τα μήκη και των τριών πλευρών είναι γνωστά εκ των προτέρων.

Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα λύσουμε τα παρακάτω προβλήματα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Δεδομένου λοιπόν:

1. Το μήκος ενός από τα πόδια είναι 48, η υποτείνουσα είναι 80.
2. Το μήκος του ποδιού είναι 84, η υποτείνουσα είναι 91.

Πάμε στη λύση:

α) Η αντικατάσταση των δεδομένων στην παραπάνω εξίσωση δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα:

48 2 + σι 2 = 80 2

2304 + σι 2 = 6400

σι 2 = 4096

σι= 64 ή σι = -64

Δεδομένου ότι το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί ως αρνητικός αριθμός, η δεύτερη επιλογή απορρίπτεται αυτόματα.

Απάντηση στην πρώτη εικόνα: σι = 64.

β) Το μήκος του σκέλους του δεύτερου τριγώνου βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο:

84 2 + σι 2 = 91 2

7056 + σι 2 = 8281

σι 2 = 1225

σι= 35 ή σι = -35

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, μια αρνητική απόφαση απορρίπτεται.

Απάντηση στη δεύτερη εικόνα: σι = 35

Μας δίνονται:

1. Τα μήκη των μικρότερων πλευρών του τριγώνου είναι 45 και 55, αντίστοιχα, και των μεγαλύτερων πλευρών είναι 75.
2. Τα μήκη των μικρότερων πλευρών του τριγώνου είναι 28 και 45, αντίστοιχα, και οι μεγαλύτερες πλευρές είναι 53.

Ας λύσουμε το πρόβλημα:

α) Είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των μικρότερων πλευρών ενός δεδομένου τριγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του μεγαλύτερου:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Επομένως, το πρώτο τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο.

β) Εκτελείται η ίδια πράξη:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Επομένως, το δεύτερο τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Αρχικά, ας βρούμε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος που σχηματίζεται από σημεία με συντεταγμένες (-2, -3) και (5, -2). Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο για την εύρεση της απόστασης μεταξύ σημείων σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

Ομοίως, βρίσκουμε το μήκος του τμήματος που περικλείεται μεταξύ σημείων με συντεταγμένες (-2, -3) και (2, 1):

Τέλος, προσδιορίζουμε το μήκος του τμήματος μεταξύ σημείων με συντεταγμένες (2, 1) και (5, -2):

Εφόσον η ισότητα ισχύει:

τότε το αντίστοιχο τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Έτσι, μπορούμε να διατυπώσουμε την απάντηση στο πρόβλημα: αφού το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών με το μικρότερο μήκος είναι ίσο με το τετράγωνο της πλευράς με το μεγαλύτερο μήκος, τα σημεία είναι οι κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Η βάση (βρίσκεται αυστηρά οριζόντια), η λαβή (βρίσκεται αυστηρά κάθετα) και το καλώδιο (τεντωμένο διαγώνια) σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αντίστοιχα, για να βρεθεί το μήκος του καλωδίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Έτσι, το μήκος του καλωδίου θα είναι περίπου 3,6 μέτρα.

Δίνεται: η απόσταση από το σημείο R έως το σημείο P (το σκέλος του τριγώνου) είναι 24, από το σημείο R στο σημείο Q (υποτείνουσα) είναι 26.

Λοιπόν, ας βοηθήσουμε τη Vita να λύσει το πρόβλημα. Δεδομένου ότι οι πλευρές του τριγώνου που φαίνονται στο σχήμα υποτίθεται ότι σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το μήκος της τρίτης πλευράς:

Έτσι, το πλάτος της λίμνης είναι 10 μέτρα.

Σεργκέι Βαλέριεβιτς

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Βασικό γυμνάσιο Krasnikovskaya"

Περιοχή Znamensky, περιοχή Oryol

Περίληψη μαθήματος με θέμα:

«Επίλυση προβλημάτων με θέμα: «Το Πυθαγόρειο Επιμελητήριο»

Καθηγητής μαθηματικών -

Φιλίνα Μαρίνα Αλεξάντροβνα

Ακαδημαϊκό έτος 2015 – 2016

Επίλυση προβλημάτων με θέμα: «Το Πυθαγόρειο Επιμελητήριο»

Σκοπός του μαθήματος:

• Ενίσχυση της ικανότητας εφαρμογής του Πυθαγόρειου θεωρήματος κατά την επίλυση προβλημάτων
• Αναπτύξτε τη λογική σκέψη
• Μάθετε να χρησιμοποιείτε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στην πράξη και στην καθημερινή ζωή

Τύπος μαθήματος: μάθημα γενίκευσης και εμπέδωσης της μελετημένης ύλης.

Μορφές εργασίας στο μάθημα:μετωπική, ατομική, ανεξάρτητη.

Εξοπλισμός: υπολογιστή; προβολέας πολυμέσων; παρουσίαση για το μάθημα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή

Χαιρετισμός, έλεγχος ετοιμότητας για το μάθημα (τετράδια εργασίας, σχολικά βιβλία, υλικό γραφής).

Μαθηματική υπαγόρευση

1. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο;
2. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου;
3. Ποιο είναι το άθροισμα των οξειών γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;
4. Διατυπώστε την ιδιότητα ενός ποδιού που βρίσκεται απέναντι από γωνία 30 μοιρών.
5. Να αναφέρετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
6. Πώς λέγεται η πλευρά απέναντι από μια ορθή γωνία;
7. Πώς λέγεται η πλευρά που βρίσκεται δίπλα σε ορθή γωνία;

Έλεγχος της μαθηματικής υπαγόρευσης

1. Αν υπάρχει ορθή γωνία.

1. 180°
2. 3. 90°

4. Σκέλος ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία

Στις 30° ισούται με τη μισή υποτείνουσα.

5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας

Ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών.

6. Υπόταση.

7. Πόδι.

Επίλυση προβλήματος

Όχι. 2. Πόσο πρέπει να μετακινηθεί το κάτω άκρο της σκάλας από τον τοίχο του σπιτιού;

Ποιο μήκος είναι 13 m ώστε το πάνω άκρο του να βρίσκεται σε ύψος 12 m;

Νο. 3. Δεδομένος:

∆ABC ισοσκελές

AB = 13 cm,

ID – ύψος, ID=12 cm

Εύρεση: AC

№ 4.

Δίνεται: ABCD – ρόμβος,

AC, VD – διαγώνιες,

AC = 12 cm, BD = 16 cm.

Βρείτε: P ABCD

Παύση φυσικής αγωγής

Δοκιμή

1. Ποιο θεώρημα επιστήμονα χρησιμοποιήσαμε σήμερα στην τάξη;
α) Δημόκριτος· β) Magnitsky; γ) Πυθαγόρας. δ) Λομονόσοφ.
2. Τι ανακάλυψε αυτός ο μαθηματικός;
α) θεώρημα· β) χειρόγραφο· γ) αρχαίο ναό. δ) έργο.
3. Ποια λέγεται η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;
α) διάμεσος· β) πόδι? γ) διχοτόμος· δ) υποτείνουσα.
4. Γιατί το θεώρημα ονομάστηκε «θεώρημα της νύφης»
α) επειδή γράφτηκε για τη νύφη?
β) επειδή το έγραψε η νύφη?
γ) επειδή το σχέδιο μοιάζει με "πεταλούδα" και το "πεταλούδα" μεταφράζεται ως "νύμφη" ή "νύφη".
δ) επειδή είναι ένα μυστηριώδες θεώρημα.

5. Γιατί το θεώρημα ονομάστηκε «γέφυρα των γαϊδάρων»
α) χρησιμοποιήθηκε για την εκπαίδευση γαϊδάρων.
β) μόνο οι έξυπνοι και πεισματάρηδες θα μπορούσαν να ξεπεράσουν αυτή τη γέφυρα και να αποδείξουν αυτό το θεώρημα.
γ) γράφτηκε από «γαϊδούρια»·
δ) μια πολύ σύνθετη απόδειξη του θεωρήματος.
6. Στο Πυθαγόρειο θεώρημα το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με
α) το άθροισμα των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου·
β) το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών.
γ) την περιοχή του τριγώνου.
δ) εμβαδόν της πλατείας.
7. Ποιες είναι οι πλευρές του αιγυπτιακού τριγώνου;
α) 1, 2, 3; β) 3,4,5; γ)2,3,4; δ) 6,7,8.

Περίληψη μαθήματος, βαθμολόγηση.

Εργασία για το σπίτι - № 9, № 12

Αντανακλάσεις

«Επανέλαβα…» «Έμαθα…»

«Έχω εδραιωθεί...» «Έμαθα να αποφασίζω...»

"Μου αρέσει…"

Να βρείτε το ύψος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου αν τα σκέλη του είναι 3 cm και 5 cm.

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο, και σίγουρα ένα ορθογώνιο. Για τη διευκόλυνση της περαιτέρω λύσης, θα το σχεδιάσω ξαπλωμένο στην υποτείνουσα.

Τώρα ας σχεδιάσουμε το ύψος. Τι είναι αυτό τέλος πάντων; Αυτή είναι μια γραμμή που τραβιέται από τη γωνία ενός τριγώνου προς την αντίθετη πλευρά, σχηματίζοντας ορθή γωνία με αυτήν την πλευρά.

Από πού προήλθε η αριθμητική ρίζα των 34 cm; Η εύρεση της υποτείνουσας ενός τριγώνου με γνωστά σκέλη είναι πολύ εύκολη χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: (τετράγωνο ενός σκέλους) + (τετράγωνο του δεύτερου σκέλους) = (τετράγωνο της υποτείνουσας) = 9 + 25 = 34.
Υποτείνουσα = ρίζα του τετραγώνου της υποτείνουσας = ρίζα 34 cm.

Αφού σχεδιάσατε το ύψος, εμφανίστηκαν δύο εσωτερικά τρίγωνα. Στην εργασία μας, στην πραγματικότητα, ο προσδιορισμός με γράμματα δεν είναι χρήσιμος, αλλά για λόγους σαφήνειας:

Έτσι, υπήρχε ένα τρίγωνο ABC, σε αυτό το ύψος BD μειώθηκε στην υποτείνουσα AC. Το αποτέλεσμα είναι δύο εσωτερικά ορθογώνια τρίγωνα: ADB και BDC. Δεν ξέρουμε πώς το ύψος διαίρεσε την υποτείνουσα, οπότε συμβολίζουμε το μικρότερο άγνωστο μέρος - AD - με x, και το μεγαλύτερο - DC - με τη διαφορά μεταξύ AC και x, δηλ. (ρίζα 34)-x cm.

Ας συμβολίσουμε το επιθυμητό ύψος με y. Τώρα, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από δύο εσωτερικά ορθογώνια τρίγωνα θα συνθέσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
x^2 + y^2 = 9
((ρίζα του 34)-x)^2 + y^2 = 25

Ας εκφράσουμε το y^2 από την πρώτη εξίσωση: y^2 = 9 - x^2
Ας αντικαταστήσουμε, απλοποιώντας πρώτα τη δεύτερη εξίσωση: ((ρίζα του 34)-x)^2 + y^2 = 34 - 2*(ρίζα του 34)*x + x^2 + y^2 = 34 - 2* (ρίζα 34)*x + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(ρίζα 34)*x = 25
2*(ρίζα 34)*x = 18
x = 9/(ρίζα 34)

Ζήτω! Σχεδόν τελείωσα! Τώρα, πάλι, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο ABD:
(τετράγωνο της υποτείνουσας) - ((βρέθηκε x) τετράγωνο) = τετράγωνο του απαιτούμενου ύψους
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(ρίζα 34)

(Επιλογή 1)

Στο ορθογώνιο ABCD, οι διπλανές πλευρές έχουν λόγο 12:5 και η διαγώνιος του είναι 26 cm Ποια είναι η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου;

Στο παραλληλόγραμμο ABCD BD = 2√41 cm, AC = 26 cm, AD = 16 cm Τραβιέται μια ευθεία γραμμή από το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου Ο, κάθετα στην πλευρά BC. Βρείτε τα τμήματα στα οποία αυτή η ευθεία διαίρεσε την πλευρά AD.

Προβλήματα με θέμα «Πυθαγόρειο Θεώρημα»

Μία από τις εξωτερικές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 135º και η υπότενυσή του είναι 4√2 cm Ποιες είναι οι πλευρές αυτού του τριγώνου;

Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι 24 cm και 18 cm Ποιο είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου;

Η κύρια διαγώνιος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 25 cm και η μεγαλύτερη βάση είναι 24 cm Βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς αν η μικρότερη βάση του είναι 8 cm.

Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 10 cm και 26 cm και η πλευρά είναι 17 cm.

Προβλήματα με θέμα «Πυθαγόρειο Θεώρημα»

Στο ορθογώνιο ABCD, οι διπλανές πλευρές έχουν λόγο 12:5 και η διαγώνιος του είναι 26 cm Ποια είναι η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου;

Μία από τις εξωτερικές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 135º και η υπότενυσή του είναι 4√2 cm Ποιες είναι οι πλευρές αυτού του τριγώνου;

Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι 24 cm και 18 cm Ποιο είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου;

Η κύρια διαγώνιος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 25 cm και η μεγαλύτερη βάση είναι 24 cm Βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς αν η μικρότερη βάση του είναι 8 cm.

Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 10 cm και 26 cm και η πλευρά είναι 17 cm.

Στο παραλληλόγραμμο ABCD BD = 2√41 cm, AC = 26 cm, AD = 16 cm Μια ευθεία γραμμή διασχίζεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου Ο, κάθετα στην πλευρά BC. Βρείτε τα τμήματα στα οποία αυτή η ευθεία διαίρεσε την πλευρά AD.

Προβλήματα με θέμα «Πυθαγόρειο Θεώρημα»

(επιλογή 2)

6*. Δύο κύκλοι ακτίνων 13 cm και 15 cm τέμνονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους O 1 και O 2 είναι 14 cm Η κοινή χορδή αυτών των κύκλων AB τέμνει το τμήμα O 1 O 2 στο σημείο K. Βρείτε O 1 K και KO 2 (O 1 είναι το κέντρο ενός κύκλου ακτίνας. 13 cm).

Προβλήματα με θέμα «Πυθαγόρειο Θεώρημα»

Στο ορθογώνιο ABCD, οι γειτονικές πλευρές έχουν αναλογία 3:4 και η διαγώνιος του είναι 20 cm Ποια είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου;

Μία από τις εξωτερικές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 135º και η υπότενυσή του είναι 5√2 cm Ποιες είναι οι πλευρές αυτού του τριγώνου;

Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι 12 cm και 16 cm Ποιο είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου;

Η μεγαλύτερη διαγώνιος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 17 cm και η μεγαλύτερη βάση είναι 15 cm. Βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς αν η μικρότερη βάση του είναι 9 cm.

5. Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 10 cm και 24 cm, και η πλευρά είναι 25 cm.

Προβλήματα με θέμα «Πυθαγόρειο Θεώρημα»

Στο ορθογώνιο ABCD, οι γειτονικές πλευρές έχουν αναλογία 3:4 και η διαγώνιος του είναι 20 cm Ποια είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου;

Μία από τις εξωτερικές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 135º και η υπότενυσή του είναι 5√2 cm Ποιες είναι οι πλευρές αυτού του τριγώνου;

Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι 12 cm και 16 cm Ποιο είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου;

Η μεγαλύτερη διαγώνιος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 17 cm και η μεγαλύτερη βάση είναι 15 cm. Βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς αν η μικρότερη βάση του είναι 9 cm.

5. Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 10 cm και 24 cm, και η πλευρά είναι 25 cm.

6. Δύο κύκλοι ακτίνων 13 cm και 15 cm τέμνονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους O 1 και O 2 είναι 14 cm Η κοινή χορδή αυτών των κύκλων AB τέμνει το τμήμα O 1 O 2 στο σημείο K. Βρείτε O 1 K και KO 2 (O 1 είναι το κέντρο ενός κύκλου ακτίνας. 13 cm).

Θέμα μαθήματος

Πυθαγόρειο θεώρημα

Στόχοι μαθήματος

Να εισαγάγει τους μαθητές στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Εισαγωγή των μαθητών σε διαφορετικές μεθόδους εφαρμογής αυτού του θεωρήματος κατά την επίλυση προβλημάτων.
Να αναπτύξουν δεξιότητες στη χρήση της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη.
Να αναπτύξει την προσοχή, την ανεξαρτησία και το ενδιαφέρον των μαθητών για τη γεωμετρία.
Καλλιεργήστε μια κουλτούρα μαθηματικού λόγου.

Στόχοι μαθήματος

Μάθετε να χρησιμοποιείτε τις ιδιότητες των σχημάτων κατά την ολοκλήρωση εργασιών.
Να είναι σε θέση να εφαρμόζει το Πυθαγόρειο θεώρημα κατά την επίλυση προβλημάτων.

Πλάνο μαθήματος

Σύντομα βιογραφικά στοιχεία.
Το θεώρημα και η απόδειξή του.
Ενδιαφέροντα γεγονότα.
Επίλυση προβλήματος.
Εργασία για το σπίτι.

Σύντομα βιογραφικά στοιχεία για τον Πυθαγόρα

Δυστυχώς, ο Πυθαγόρας δεν άφησε γραπτά για τη βιογραφία του, έτσι μπορούμε να μάθουμε όλες τις πληροφορίες για αυτόν τον μεγάλο φιλόσοφο και διάσημο μαθηματικό μόνο μέσα από τις αναμνήσεις των οπαδών του, και ακόμη και τότε δεν είναι πάντα δίκαιες. Επομένως, υπάρχουν πολλοί θρύλοι για αυτόν τον άνθρωπο. Η αλήθεια όμως είναι ότι ο Πυθαγόρας ήταν μεγάλος Έλληνας σοφός, φιλόσοφος και ταλαντούχος μαθηματικός.

Σύμφωνα με αναξιόπιστες πληροφορίες, ο μεγάλος σοφός και λαμπρός επιστήμονας Πυθαγόρας γεννήθηκε σε μια πολύ φτωχή οικογένεια, στο νησί Σαμοσέα, γύρω στο 570 π.Χ.

Τη γέννηση ενός λαμπρού παιδιού προέβλεψε η Πάφια. Ως εκ τούτου, ο μελλοντικός φωστήρας έλαβε το όνομά του Πυθαγόρας, που σημαίνει ότι είναι ακριβώς αυτός που ανακοίνωσε η Παφία. Προέβλεψε ότι το μωρό που γεννήθηκε θα έφερνε πολλά οφέλη και καλοσύνη στους ανθρώπους στο μέλλον.

Το νεογέννητο ήταν απίστευτα όμορφο και με τον καιρό ευχαριστούσε τους γύρω του με τις εξαιρετικές του ικανότητες. Και αφού το νεαρό ταλέντο άφησε τις μέρες του ανάμεσα στους σοφούς γέροντες, αυτό απέδωσε καρπούς στο μέλλον. Έτσι, χάρη στον Ερμοδάμαντα, ο Πυθαγόρας ερωτεύτηκε τη μουσική και ο Φερεκύδης κατεύθυνε το μυαλό του παιδιού στον λόγο. Αφού έζησε στη Σαμώσια, ο Πυθαγόρας πήγε στη Μίλητο, όπου συνάντησε έναν άλλο επιστήμονα - τον Θαλή.

Ο Πυθαγόρας γνώρισε τη γνώση όλων των σοφών που ήταν γνωστοί εκείνη την εποχή, αφού του επέτρεψαν να μελετήσει και να μάθει όλα τα μυστήρια που ήταν απαγορευμένα στους άλλους. Προσπάθησε να φτάσει στο βάθος της αλήθειας και να απορροφήσει όλη τη γνώση που συσσώρευσε η ανθρωπότητα.

Μετά από είκοσι δύο χρόνια στην Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας μετακόμισε στη Βαβυλώνα, όπου συνέχισε την επικοινωνία του με διάφορους σοφούς και μάγους. Επιστρέφοντας στο Σάμιο στο τέλος της ζωής του, αναγνωρίστηκε ως ένας από τους σοφότερους της εποχής εκείνης.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Ακόμη και ένα άτομο που δεν είχε ακόμη την ευκαιρία να μελετήσει αυτό το θεώρημα πιθανότατα έχει ακούσει τη δήλωση σχετικά με το «Πυθαγόρειο παντελόνι». Η ιδιαιτερότητα αυτού του θεωρήματος είναι ότι έχει γίνει ένα από τα βασικά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Διευκολύνει την εύρεση και τη δημιουργία αντιστοιχίας μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα θυμόταν κάθε μαθητής όχι μόνο για τη δήλωση: «Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές», αλλά για την απλότητα και τη σημασία του. Και εκ πρώτης όψεως, αυτό το θεώρημα, αν και φαίνεται απλό, έχει μεγάλη σημασία, αφού στη γεωμετρία εφαρμόζεται σχεδόν σε κάθε βήμα.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό διαφορετικών αποδείξεων και είναι ίσως το μόνο θεώρημα που έχει τόσο τεράστιο αριθμό αποδείξεων. Αυτή η ποικιλομορφία υπογραμμίζει την απεριόριστη σημασία αυτού του θεωρήματος.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα περιέχει γεωμετρικές, αλγεβρικές, μηχανικές και άλλες αποδείξεις.

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί θρύλοι για την ανακάλυψη του θεωρήματος από τον Πυθαγόρα. Όμως, παρ' όλα αυτά, το όνομα του Πυθαγόρα μπήκε για πάντα στην ιστορία της γεωμετρίας και συγχωνεύτηκε σταθερά με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Άλλωστε, αυτός ο λαμπρός μαθηματικός θα είναι ο πρώτος που θα παρουσιάσει μια απόδειξη του θεωρήματος που φέρει το όνομά του.

Δηλώσεις του θεωρήματος

Υπάρχουν διάφορες διατυπώσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Το Ευκλείδειο Θεώρημα μας λέει ότι το τετράγωνο της πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου που σύρεται πάνω από τη ορθή του γωνία είναι ίσο με τα τετράγωνα στις πλευρές που περικλείουν τη σωστή γωνία.

Εργασία: Βρείτε διαφορετικές διατυπώσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Βρίσκετε κάποια διαφορά σε αυτά;

Απλοποιημένη απόδειξη του Ευκλείδη

Ανεξάρτητα από το αν πάρουμε τη μέθοδο αποσύνθεσης ή την Ευκλείδεια απόδειξη, μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε διάταξη τετραγώνων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορούν να επιτευχθούν μικρές απλοποιήσεις.

Ας πάρουμε ένα τετράγωνο, το οποίο είναι χτισμένο σε ένα από τα πόδια και έχει την ίδια θέση με το τρίγωνο. Βλέπουμε ότι η συνέχεια της πλευράς απέναντι από το σκέλος αυτού του τετραγώνου διέρχεται από την κορυφή του τετραγώνου, η οποία είναι χτισμένη στην υποτείνουσα.

Η απόδειξη του θεωρήματος φαίνεται αρκετά απλή, αφού θα είναι αρκετά απλό να συγκρίνουμε τις περιοχές των σχημάτων με το εμβαδόν του τριγώνου. Και βλέπουμε ότι το S ενός τριγώνου είναι ίσο με το ½ του εμβαδού ενός τετραγώνου, και επίσης το ½ S ενός ορθογωνίου.

Η πιο απλή απόδειξη

Αλγεβρική απόδειξη

Η αλγεβρική απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος περιλαμβάνει στοιχειώδεις μεθόδους που υπάρχουν στην άλγεβρα. Πρόκειται για μεθόδους επίλυσης εξισώσεων σε συνδυασμό με μέθοδο αλλαγής μεταβλητών.

Ας δούμε αυτά τα στοιχεία με περισσότερες λεπτομέρειες. Και έτσι, έχουμε ένα ορθογώνιο ABC, του οποίου η ορθή γωνία είναι C.

Σχεδιάστε το CD ύψους από αυτή τη γωνία.

Σύμφωνα με τον ορισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας, παίρνουμε:

cosA=AD/AC=AC/AB. Εξ ου και AB*AD=AC2.

Και αντίστοιχα:

cosB = BD/BC=BC/AB.

Εξ ου και AB*BD=BC2.

Τώρα ας προσθέσουμε αυτές τις ισότητες ανά όρο και ας δούμε ότι: AD+DB=AB,

AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2.

Αυτό είναι όλο, το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Οι επιστήμονες «απέδειξαν» το Πυθαγόρειο θεώρημα με τη βοήθεια κινούμενων σχεδίων. Μια ομάδα ομοϊδεατών από το Ινστιτούτο. Η Στέκλοβα έλαβε βραβείο για ένα πρωτότυπο μαθηματικό έργο που ανέπτυξαν για μαθητές και δασκάλους. Δημιούργησαν μίνι μαθήματα μαθηματικών που μετέτρεψαν αυτό το βαρετό μάθημα σε ένα πολύ ενδιαφέρον και εκπαιδευτικό. Οι νεαροί επιστήμονες κυκλοφόρησαν τα ασυνήθιστα σκίτσα τους σε δίσκους και τα δημοσίευσαν στο Διαδίκτυο για δημόσια προβολή.

Ερωτήσεις

1. Ποιος είναι ο Πυθαγόρας;
2. Τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα;
3. Ποιες είναι οι διατυπώσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος;
4. Κατά την επίλυση ποιων προβλημάτων χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα;
5. Πού βρήκε πρακτική εφαρμογή το Πυθαγόρειο θεώρημα;
6. Ποιους τρόπους γνωρίζετε για τη χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος;

Προβλήματα που χρησιμοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα

Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις σας για το Πυθαγόρειο θεώρημα, προσπαθήστε να λύσετε τα ακόλουθα προβλήματα:

Δύο ομάδες τουριστών έφυγαν ταυτόχρονα από την τουριστική βάση. Η πρώτη ομάδα πήγε νότια και περπάτησε επτά χιλιόμετρα και η δεύτερη έστριψε δυτικά και περπάτησε εννέα χιλιόμετρα. Χρησιμοποιώντας τη γνώση του θεωρήματος, βρείτε την απόσταση μεταξύ ομάδων τουριστών.

Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το πόδι του είναι 15 cm και η υποτείνουσα είναι 16 cm, τότε με τι θα ισούται το δεύτερο σκέλος;

Ποιο θα είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς όταν η κύρια βάση του είναι 24 cm, η μικρότερη βάση του είναι 16 και η κύρια διαγώνιος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 26 cm;

Εργασία για το σπίτι

Παρουσιάστε με τη μορφή σύντομης αναφοράς αρκετές αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος ότι κατανοείτε και λύνετε τα προβλήματα.

1. Να βρείτε τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου τριγώνου, με την προϋπόθεση ότι οι πλευρές του είναι 8 cm και 32 cm.

2. Να βρείτε τη διάμεσο του τριγώνου, που τραβιέται στη βάση, αν σε ισοσκελές τρίγωνο η περίμετρος είναι 38 cm και η πλευρική του πλευρά 15 cm.

3. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές ίσες με 10 cm, 6 cm και 9 cm Προσπαθήστε να προσδιορίσετε αν αυτό το τρίγωνο είναι ορθογώνιο;

Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 8ης τάξης