Ακραίο υπό όρους.

Ακραία συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Τοπικό εξτρέμ του FNP

Αφήστε τη συνάρτηση να δοθεί Και= φά(P), РÎDÌR nκαι έστω το σημείο P 0 ( ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ..., ένα σελ) –εσωτερικόςσημείο του συνόλου Δ.

Ορισμός 9.4.

1) Καλείται το σημείο P 0 μέγιστο σημείο λειτουργίες Και= φά(P), εάν υπάρχει γειτονιά αυτού του σημείου U(P 0) М D τέτοια ώστε για οποιοδήποτε σημείο P( Χ 1 , Χ 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , η συνθήκη ικανοποιείται φά(Ρ)£ φά(Ρ 0) . Εννοια φάΗ συνάρτηση (P 0) στο μέγιστο σημείο καλείται μέγιστο της συνάρτησης και ορίζεται φά(P0) = μέγ φά(Ρ) .

2) Καλείται το σημείο P 0 ελάχιστο σημείο λειτουργίες Και= φά(P), εάν υπάρχει γειτονιά αυτού του σημείου U(P 0)Ì D τέτοια ώστε για οποιοδήποτε σημείο P( Χ 1 , Χ 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0, η συνθήκη ικανοποιείται φά(Ρ)³ φά(Ρ 0) . Εννοια φάΗ συνάρτηση (P 0) στο ελάχιστο σημείο καλείται ελάχιστη λειτουργία και ορίζεται φά(Ρ 0) = ελάχ φά(Ρ).

Τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία μιας συνάρτησης καλούνται ακραία σημεία, καλούνται οι τιμές της συνάρτησης στα ακραία σημεία άκρα της συνάρτησης.

Όπως προκύπτει από τον ορισμό, οι ανισότητες φά(Ρ)£ φά(P 0) , φά(Ρ)³ φά(P 0) πρέπει να ικανοποιείται μόνο σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου P 0 και όχι σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα του ίδιου τύπου (πολλά ελάχιστα, αρκετά μέγιστα) . Επομένως, ονομάζονται τα άκρα που ορίζονται παραπάνω τοπικός(τοπικά) άκρα.

Θεώρημα 9.1 (απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο του FNP)

Εάν η συνάρτηση Και= φά(Χ 1 , Χ 2 , ..., x n) έχει ένα άκρο στο σημείο P 0 , τότε οι μερικές παράγωγοί του πρώτης τάξης σε αυτό το σημείο είτε είναι ίσες με μηδέν είτε δεν υπάρχουν.

Απόδειξη.Έστω στο σημείο P 0 ( ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ..., ένα σελ) λειτουργία Και= φάΤο (P) έχει ένα άκρο, για παράδειγμα, ένα μέγιστο. Ας διορθώσουμε τα επιχειρήματα Χ 2 , ..., x n, βάζοντας Χ 2 =ΕΝΑ 2 ,..., x n = ένα σελ. Τότε Και= φά(Ρ) = φά 1 ((Χ 1 , ΕΝΑ 2 , ..., ένα σελ) είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής Χ 1. Δεδομένου ότι αυτή η λειτουργία έχει Χ 1 = ΕΝΑ 1 ακραίο (μέγιστο), τότε φά 1 ¢=0ή δεν υπάρχει όταν Χ 1 =ΕΝΑ 1 (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης μιας μεταβλητής). Αλλά, αυτό σημαίνει ή δεν υπάρχει στο σημείο P 0 - το ακραίο σημείο. Ομοίως, μπορούμε να εξετάσουμε μερικές παραγώγους σε σχέση με άλλες μεταβλητές. CTD.

Τα σημεία στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν ή δεν υπάρχουν ονομάζονται κρίσιμα σημεία αυτή τη λειτουργία.

Όπως προκύπτει από το Θεώρημα 9.1, τα ακραία σημεία του FNP θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των κρίσιμων σημείων της συνάρτησης. Αλλά, όπως για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, δεν είναι κάθε κρίσιμο σημείο ένα ακραίο σημείο.

Θεώρημα 9.2 (επαρκής συνθήκη για το άκρο του FNP)

Έστω P 0 το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης Και= φά(Ρ) και είναι το διαφορικό δεύτερης τάξης αυτής της συνάρτησης. Τότε

α) αν ρε 2 u(P 0) > 0 στο , τότε το P 0 είναι ένα σημείο ελάχιστολειτουργίες Και= φά(P);

β) εάν ρε 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка ανώτατο όριολειτουργίες Και= φά(P);

γ) εάν ρε 2 uΤο (P 0) δεν ορίζεται με πρόσημο, τότε το P 0 δεν είναι ένα ακραίο σημείο.

Θα εξετάσουμε αυτό το θεώρημα χωρίς απόδειξη.

Σημειώστε ότι το θεώρημα δεν εξετάζει την περίπτωση όταν ρε 2 u(P 0) = 0 ή δεν υπάρχει. Αυτό σημαίνει ότι το ζήτημα της παρουσίας ενός άκρου στο σημείο P 0 υπό τέτοιες συνθήκες παραμένει ανοιχτό - απαιτείται πρόσθετη έρευνα, για παράδειγμα, μια μελέτη της αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Σε αναλυτικότερα μαθήματα μαθηματικών αποδεικνύεται ότι, ιδίως για τη συνάρτηση z = f(x,y) δύο μεταβλητών, το διαφορικό δεύτερης τάξης των οποίων είναι ένα άθροισμα της μορφής

η μελέτη της παρουσίας ενός άκρου στο κρίσιμο σημείο P 0 μπορεί να απλοποιηθεί.

Ας συμβολίσουμε , , . Ας συνθέσουμε μια ορίζουσα

.

Αποδεικνύεται:

ρε 2 z> 0 στο σημείο P 0, δηλ. P 0 – ελάχιστο σημείο, εάν ΕΝΑ(P 0) > 0 και D(P 0) > 0;

ρε 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ΕΝΑ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

αν D(P 0)< 0, то ρε 2 zστην περιοχή του σημείου P 0 αλλάζει πρόσημο και δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο P 0.

εάν D(Р 0) = 0, τότε απαιτούνται και πρόσθετες μελέτες της συνάρτησης κοντά στο κρίσιμο σημείο Р 0.

Έτσι, για τη συνάρτηση z = f(x,y) από δύο μεταβλητές έχουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο (ας τον ονομάσουμε "αλγόριθμος D") για την εύρεση ενός άκρου:

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού D( φά) λειτουργίες.

2) Βρείτε κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία από D( φά), για τα οποία και είναι ίσα με μηδέν ή δεν υπάρχουν.

3) Σε κάθε κρίσιμο σημείο P 0, ελέγξτε τις επαρκείς συνθήκες για το άκρο. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε , όπου , , και να υπολογίσετε D(P 0) και ΕΝΑ(P 0). Στη συνέχεια:

αν D(P 0) >0, τότε στο σημείο P 0 υπάρχει ένα άκρο, και αν ΕΝΑ(P 0) > 0 – τότε αυτό είναι το ελάχιστο, και αν ΕΝΑ(P 0)< 0 – максимум;

αν D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Εάν D(P 0) = 0, τότε απαιτείται πρόσθετη έρευνα.

4) Στα άκρα που βρέθηκαν να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε το άκρο της συνάρτησης z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Διάλυμα.Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων. Ας βρούμε κρίσιμα σημεία.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Ας ελέγξουμε αν πληρούνται οι επαρκείς προϋποθέσεις για το ακραίο. Θα βρούμε

6Χ, = -3, = 48στοΚαι = 288xy – 9.

Τότε D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – στο σημείο Р 1 υπάρχει ένα άκρο, και αφού ΕΝΑ(P 1) = 3 >0, τότε αυτό το άκρο είναι ένα ελάχιστο. Οπότε ελάχ z=z(Ρ 1) = .

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το άκρο της συνάρτησης .

Λύση: Δ( φά) =R 2 . Κρίσιμα σημεία: ; δεν υπάρχει όταν στο= 0, που σημαίνει ότι το P 0 (0,0) είναι το κρίσιμο σημείο αυτής της συνάρτησης.

2, = 0, = , = , αλλά το D(P 0) δεν ορίζεται, επομένως η μελέτη του πρόσημου του είναι αδύνατη.

Για τον ίδιο λόγο, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί άμεσα το Θεώρημα 9.2 - ρε 2 zδεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.

Ας εξετάσουμε την αύξηση της συνάρτησης φά(x, y) στο σημείο P 0 . Αν ο Δ φά =φά(P) - φά(P 0)> 0 "P, τότε το P 0 είναι το ελάχιστο σημείο, αλλά αν D φά < 0, то Р 0 – точка максимума.

Στην περίπτωσή μας έχουμε

ρε φά = φά(x, y) – φά(0, 0) = φά(0+D x,0+D y) – φά(0, 0) = .

Στο Δ x= 0,1 και D y= -0,008 παίρνουμε D φά = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 και D y= 0,001 Δ φά= 0,01 + 0,1 > 0, δηλ. κοντά στο σημείο P 0 δεν πληρούται καμία προϋπόθεση D φά <0 (т.е. φά(x, y) < φά(0, 0) και επομένως το P 0 δεν είναι μέγιστο σημείο), ούτε η συνθήκη D φά>0 (δηλ. φά(x, y) > φά(0, 0) και τότε το P 0 δεν είναι ελάχιστο σημείο). Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού ακρότατου, αυτή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.

Εξτρέμ υπό όρους.

Το θεωρούμενο άκρο της συνάρτησης ονομάζεται άνευ όρων, αφού δεν επιβάλλονται περιορισμοί (συνθήκες) στα ορίσματα συνάρτησης.

Ορισμός 9.2. Extrem της συνάρτησης Και = φά(Χ 1 , Χ 2 , ... , x n), βρέθηκε υπό την προϋπόθεση ότι τα επιχειρήματά του Χ 1 , Χ 2 , ... , x nικανοποιεί τις εξισώσεις j 1 ( Χ 1 , Χ 2 , ... , x n) = 0, …, j Τ(Χ 1 , Χ 2 , ... , x n) = 0, όπου P ( Χ 1 , Χ 2 , ... , x n) О D( φά), κάλεσε υπό όρους ακραίο .

Εξισώσεις ι κ(Χ 1 , Χ 2 , ... , x n) = 0 , κ = 1, 2,..., m, ονομάζονται εξισώσεις σύνδεσης.

Ας δούμε τις λειτουργίες z = f(x,y) δύο μεταβλητές. Εάν η εξίσωση σύνδεσης είναι μία, δηλ. , τότε η εύρεση ενός ακραίου υπό όρους σημαίνει ότι το άκρο αναζητείται όχι σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, αλλά σε κάποια καμπύλη που βρίσκεται στο D( φά) (δηλαδή, δεν είναι τα υψηλότερα ή τα χαμηλότερα σημεία της επιφάνειας που αναζητούνται z = f(x,y), και τα υψηλότερα ή χαμηλότερα σημεία μεταξύ των σημείων τομής αυτής της επιφάνειας με τον κύλινδρο, Εικ. 5).

Υπό όρους ακρότατο μιας συνάρτησης z = f(x,y) δύο μεταβλητών μπορούν να βρεθούν με τον ακόλουθο τρόπο( μέθοδος εξάλειψης). Από την εξίσωση, εκφράστε μια από τις μεταβλητές ως συνάρτηση μιας άλλης (για παράδειγμα, γράψτε ) και, αντικαθιστώντας αυτή την τιμή της μεταβλητής στη συνάρτηση, γράψτε την τελευταία ως συνάρτηση μιας μεταβλητής (στην περίπτωση που εξετάζουμε ). Βρείτε το άκρο της συνάρτησης που προκύπτει μιας μεταβλητής.

Ακραίες συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ. Επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Εξτρέμ υπό όρους. Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange. Εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.

Διάλεξη 5.

Ορισμός 5.1.Τελεία M 0 (x 0, y 0)κάλεσε μέγιστο σημείολειτουργίες z = f (x, y),Αν f (x o , y o) > f(x,y)για όλα τα σημεία (x, y) Μ 0.

Ορισμός 5.2.Τελεία M 0 (x 0, y 0)κάλεσε ελάχιστο σημείολειτουργίες z = f (x, y),Αν f (x o , y o) < f(x,y)για όλα τα σημεία (x, y)από κάποια γειτονιά ενός σημείου Μ 0.

Σημείωση 1. Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός ονομάζονται ακραία σημείασυναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Παρατήρηση 2. Το ακραίο σημείο για μια συνάρτηση οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.

Θεώρημα 5.1(απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ). Αν M 0 (x 0, y 0)– ακραίο σημείο της συνάρτησης z = f (x, y),τότε σε αυτό το σημείο οι επιμέρους παράγωγοι πρώτης τάξης αυτής της συνάρτησης είναι ίσες με μηδέν ή δεν υπάρχουν.

Απόδειξη.

Ας διορθώσουμε την τιμή της μεταβλητής στο, μετρώντας y = y 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση f (x, y 0)θα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής Χ, για το οποίο x = x 0είναι το ακραίο σημείο. Επομένως, από το θεώρημα του Fermat, ή δεν υπάρχει. Η ίδια δήλωση αποδεικνύεται ομοίως για .

Ορισμός 5.3.Τα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών στις οποίες οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης είναι ίσες με μηδέν ή δεν υπάρχουν ονομάζονται ακίνητα σημείααυτή τη λειτουργία.

Σχόλιο. Έτσι, το άκρο μπορεί να επιτευχθεί μόνο σε ακίνητα σημεία, αλλά δεν παρατηρείται απαραίτητα σε καθένα από αυτά.

Θεώρημα 5.2(επαρκείς προϋποθέσεις για εξτρέμ). Αφήστε σε κάποια γειτονιά του σημείου M 0 (x 0, y 0), που είναι ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης z = f (x, y),αυτή η συνάρτηση έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι και 3ης τάξης. Ας υποδηλώσουμε Τότε:

1) f(x,y)έχει στο σημείο Μ 0μέγιστο αν AC–B² > 0, ΕΝΑ < 0;

2) f(x,y)έχει στο σημείο Μ 0ελάχιστο εάν AC–B² > 0, ΕΝΑ > 0;

3) δεν υπάρχει ακρότατο στο κρίσιμο σημείο αν AC–B² < 0;

4) αν AC–B² = 0, απαιτείται περαιτέρω έρευνα.

Απόδειξη.

Ας γράψουμε τον τύπο Taylor δεύτερης τάξης για τη συνάρτηση f(x,y),θυμόμαστε ότι σε ένα ακίνητο σημείο οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν:

Οπου Αν η γωνία μεταξύ του τμήματος Μ 0 Μ, Πού M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ στο), και τον άξονα Ο Χσυμβολίζουμε το φ και μετά το Δ x =Δ ρ συν φ, Δ y=Δρsinφ. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος του Taylor θα έχει τη μορφή: . Αφήστε Τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε την έκφραση σε αγκύλες με ΕΝΑ. Παίρνουμε:

Ας εξετάσουμε τώρα τέσσερις πιθανές περιπτώσεις:

1) AC-B² > 0, ΕΝΑ < 0. Тогда , и σε αρκετά μικρό Δρ. Επομένως, σε κάποια γειτονιά M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), δηλαδή Μ 0– μέγιστο σημείο.

2) Αφήστε AC–B² > 0, Α > 0.Τότε , Και Μ 0– ελάχιστος βαθμός.

3) Αφήστε AC-B² < 0, ΕΝΑ> 0. Θεωρήστε την αύξηση των ορισμάτων κατά μήκος της ακτίνας φ = 0. Τότε από την (5.1) προκύπτει ότι , δηλαδή όταν κινείται κατά μήκος αυτής της ακτίνας, η συνάρτηση αυξάνεται. Αν κινηθούμε κατά μήκος μιας ακτίνας έτσι ώστε tg φ 0 = -A/B,Οτι , επομένως, όταν κινείται κατά μήκος αυτής της ακτίνας, η συνάρτηση μειώνεται. Άρα, περίοδος Μ 0δεν είναι ακραίο σημείο.

3`) Πότε AC–B² < 0, ΕΝΑ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

παρόμοια με την προηγούμενη.

3``) Αν AC–B² < 0, ΕΝΑ= 0, τότε . Συγχρόνως. Τότε για αρκετά μικρό φ η έκφραση 2 σι cosφ + ντοΤο sinφ είναι κοντά στο 2 ΣΕ, δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο, αλλά το sinφ αλλάζει πρόσημο στην περιοχή του σημείου Μ 0.Αυτό σημαίνει ότι η αύξηση της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο κοντά σε ένα ακίνητο σημείο, το οποίο επομένως δεν είναι ακραίο σημείο.

4) Αν AC–B² = 0, και , , δηλαδή το πρόσημο της προσαύξησης καθορίζεται από το πρόσημο του 2α 0. Παράλληλα, απαιτείται περαιτέρω έρευνα για να διευκρινιστεί το ζήτημα της ύπαρξης ακραίου.

Παράδειγμα. Ας βρούμε τα ακραία σημεία της συνάρτησης z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Για να βρούμε σταθερά σημεία, λύνουμε το σύστημα . Άρα, το ακίνητο σημείο είναι (-2,-1). Συγχρόνως Α = 2, ΣΕ = -2, ΜΕ= 4. Τότε AC–B² = 4 > 0, επομένως, σε ένα ακίνητο σημείο επιτυγχάνεται ένα άκρο, δηλαδή ένα ελάχιστο (αφού ΕΝΑ > 0).

Ορισμός 5.4.Αν τα ορίσματα συνάρτησης f (x 1 , x 2 ,…, x n)δεσμεύονται από πρόσθετους όρους στο έντυπο mεξισώσεις ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

όπου οι συναρτήσεις φ i έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, τότε καλούνται οι εξισώσεις (5.2). εξισώσεις σύνδεσης.

Ορισμός 5.5.Ακραίο της συνάρτησης f (x 1 , x 2 ,…, x n)όταν πληρούνται οι προϋποθέσεις (5.2), καλείται υπό όρους ακραίο.

Σχόλιο. Μπορούμε να προσφέρουμε την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία του άκρου υπό όρους μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών: αφήστε τα ορίσματα της συνάρτησης f(x,y)που σχετίζεται με την εξίσωση φ (x,y)= 0, ορίζοντας κάποια καμπύλη στο επίπεδο O xy. Ανακατασκευή των καθέτων στο επίπεδο Ο από κάθε σημείο αυτής της καμπύλης xyμέχρι να διασταυρωθεί με την επιφάνεια z = f (x,y),παίρνουμε μια χωρική καμπύλη που βρίσκεται στην επιφάνεια πάνω από την καμπύλη φ (x,y)= 0. Ο στόχος είναι να βρεθούν τα ακραία σημεία της καμπύλης που προκύπτει, τα οποία, φυσικά, στη γενική περίπτωση δεν συμπίπτουν με τα ακραία σημεία της συνάρτησης χωρίς όρους f(x,y).

Ας προσδιορίσουμε τις απαραίτητες συνθήκες για ένα ακρότατο υπό όρους για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών εισάγοντας πρώτα τον ακόλουθο ορισμό:

Ορισμός 5.6.Λειτουργία L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Οπου λi –μερικά είναι σταθερά, ονομάζονται Λειτουργία Lagrange, και τους αριθμούς λi– αόριστους πολλαπλασιαστές Lagrange.

Θεώρημα 5.3(απαραίτητες προϋποθέσεις για ακραίο υπό όρους). Υπό όρους ακρότατο μιας συνάρτησης z = f (x, y)παρουσία της εξίσωσης σύζευξης φ ( x, y)= 0 μπορεί να επιτευχθεί μόνο σε ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Απόδειξη. Η εξίσωση σύζευξης καθορίζει μια άρρητη σχέση στοαπό Χ, επομένως θα υποθέσουμε ότι στουπάρχει μια λειτουργία από Χ: y = y(x).Τότε zυπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση από Χ, και τα κρίσιμα σημεία του καθορίζονται από την συνθήκη: . (5.4) Από την εξίσωση σύζευξης προκύπτει ότι . (5.5)

Ας πολλαπλασιάσουμε την ισότητα (5,5) με κάποιον αριθμό λ και ας τον προσθέσουμε στο (5,4). Παίρνουμε:

, ή .

Η τελευταία ισότητα πρέπει να ικανοποιείται σε ακίνητα σημεία, από τα οποία προκύπτει:

(5.6)

Λαμβάνεται ένα σύστημα τριών εξισώσεων για τρεις αγνώστους: x, yκαι λ, και οι δύο πρώτες εξισώσεις είναι οι συνθήκες για το ακίνητο σημείο της συνάρτησης Lagrange. Εξαιρώντας το βοηθητικό άγνωστο λ από το σύστημα (5.6), βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία η αρχική συνάρτηση μπορεί να έχει ακρότατο υπό όρους.

Παρατήρηση 1. Η παρουσία ενός ακραίου υπό όρους στο σημείο που βρέθηκε μπορεί να ελεγχθεί μελετώντας τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης της συνάρτησης Lagrange κατ' αναλογία με το Θεώρημα 5.2.

Παρατήρηση 2. Σημεία στα οποία μπορεί να επιτευχθεί το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης f (x 1 , x 2 ,…, x n)όταν πληρούνται οι προϋποθέσεις (5.2), μπορεί να οριστεί ως λύσεις του συστήματος (5.7)

Παράδειγμα. Ας βρούμε το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης z = xyδοθέντος ότι x + y= 1. Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Το σύστημα (5.6) μοιάζει με αυτό:

Όπου -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Συγχρόνως L(x,y)μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, επομένως στο ευρεθέν ακίνητο σημείο L(x,y)έχει μέγιστο, και z = xy –υπό όρους μέγιστο.

Αρχικά, ας εξετάσουμε την περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Το άκρο υπό όρους μιας συνάρτησης $z=f(x,y)$ στο σημείο $M_0(x_0;y_0)$ είναι το άκρο αυτής της συνάρτησης, που επιτυγχάνεται υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές $x$ και $y$ στο κοντά σε αυτό το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση σύνδεσης $\ varphi (x,y)=0$.

Το όνομα «υπό όρους» ακραίο οφείλεται στο γεγονός ότι επιβάλλεται μια πρόσθετη συνθήκη $\varphi(x,y)=0$ στις μεταβλητές. Εάν μια μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί από την εξίσωση σύνδεσης μέσω μιας άλλης, τότε το πρόβλημα του προσδιορισμού του ακραίου υπό όρους ανάγεται στο πρόβλημα του προσδιορισμού του συνηθισμένου άκρου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν η εξίσωση σύνδεσης υποδηλώνει $y=\psi(x)$, τότε αντικαθιστώντας το $y=\psi(x)$ σε $z=f(x,y)$, λαμβάνουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής $z =f\αριστερά (x,\psi(x)\right)$. Στη γενική περίπτωση, ωστόσο, αυτή η μέθοδος είναι ελάχιστα χρήσιμη, επομένως απαιτείται η εισαγωγή ενός νέου αλγορίθμου.

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Η μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange αποτελείται από την κατασκευή μιας συνάρτησης Lagrange για την εύρεση ενός ακραίου υπό όρους: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (η παράμετρος $\lambda$ ονομάζεται ο πολλαπλασιαστής Lagrange). Οι απαραίτητες συνθήκες για ένα άκρο καθορίζονται από ένα σύστημα εξισώσεων από το οποίο προσδιορίζονται τα ακίνητα σημεία:

$$ \αριστερά \( \begin(στοιχισμένη) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(στοίχιση) \δεξιά.

Μια επαρκής συνθήκη από την οποία μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη φύση του άκρου είναι το πρόσημο $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Εάν σε ένα σταθερό σημείο $d^2F > 0$, τότε η συνάρτηση $z=f(x,y)$ έχει ένα ελάχιστο υπό όρους σε αυτό το σημείο, αλλά αν $d^2F< 0$, то условный максимум.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να προσδιοριστεί η φύση του άκρου. Από την εξίσωση σύζευξης λαμβάνουμε: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, επομένως σε οποιοδήποτε ακίνητο σημείο έχουμε:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \δεξιά)$$

Ο δεύτερος παράγοντας (που βρίσκεται σε αγκύλες) μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή:

Τα στοιχεία της ορίζουσας $\left| επισημαίνονται με κόκκινο χρώμα. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (πίνακας)\right|$, που είναι το Hessian της συνάρτησης Lagrange. Αν $H > 0$, τότε $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, δηλ. έχουμε ένα ελάχιστο υπό όρους της συνάρτησης $z=f(x,y)$.

Μια σημείωση σχετικά με τον συμβολισμό της ορίζουσας $H$. εμφάνιση\απόκρυψη

$$ H=-\left|\begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας που διατυπώθηκε παραπάνω θα αλλάξει ως εξής: εάν $H > 0$, τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους και εάν $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών για ένα ακρότατο υπό όρους

1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Λύστε το σύστημα $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(ευθυγραμμισμένο) \right.$
3. Προσδιορίστε τη φύση του άκρου σε καθένα από τα ακίνητα σημεία που βρέθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε οποιαδήποτε από τις ακόλουθες μεθόδους:
   • Συνθέστε την ορίζουσα του $H$ και μάθετε το πρόσημό της
   • Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση σύζευξης, υπολογίστε το πρόσημο $d^2F$

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange για συναρτήσεις n μεταβλητών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση $n$ μεταβλητών $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ και $m$ εξισώσεις σύζευξης ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Δηλώνοντας τους πολλαπλασιαστές Lagrange ως $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για την παρουσία ενός ακραίου υπό όρους δίνονται από ένα σύστημα εξισώσεων από το οποίο βρίσκονται οι συντεταγμένες των ακίνητων σημείων και οι τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange:

$$\αριστερά\(\begin(στοιχισμένη) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(στοίχιση) \right.$$

Μπορείτε να μάθετε εάν μια συνάρτηση έχει ελάχιστο υπό όρους ή μέγιστο υπό όρους στο σημείο που βρέθηκε, όπως πριν, χρησιμοποιώντας το σύμβολο $d^2F$. Εάν στο σημείο που βρέθηκε $d^2F > 0$, τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, αλλά αν $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Ορίζουσα του πίνακα $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(1)\μερική x_(3)) &\ldots & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(1)\μερική x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\μερική x_(2)\μερική x_(3)) &\ldots & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(2)\μερική x_(n))\\ \frac(\μερική^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( πίνακας) \right|$, που επισημαίνεται με κόκκινο στον πίνακα $L$, είναι το Hessian της συνάρτησης Lagrange. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο κανόνα:

• Αν τα σημάδια των γωνιακών ανηλίκων $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ πίνακες $L$ συμπίπτουν με το πρόσημο του $(-1)^m$, τότε το ακίνητο σημείο υπό μελέτη είναι το υπό όρους ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Αν τα σημάδια των γωνιακών ανηλίκων $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ εναλλάξ και το πρόσημο του δευτερεύοντος $H_(2m+1)$ συμπίπτει με το πρόσημο του αριθμού $(-1)^(m+1 )$, τότε το ακίνητο σημείο είναι το υπό συνθήκη μέγιστο σημείο της συνάρτησης $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε το υπό συνθήκη άκρο της συνάρτησης $z(x,y)=x+3y$ υπό την συνθήκη $x^2+y^2=10$.

Η γεωμετρική ερμηνεία αυτού του προβλήματος είναι η εξής: απαιτείται να βρεθεί η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της εφαρμογής του επιπέδου $z=x+3y$ για τα σημεία τομής του με τον κύλινδρο $x^2+y ^2=10$.

Είναι κάπως δύσκολο να εκφράσουμε μια μεταβλητή μέσω μιας άλλης από την εξίσωση σύζευξης και να την αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση $z(x,y)=x+3y$, επομένως θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Lagrange.

Δηλώνοντας $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\μερικό x)=1+2\λάμδα x; \frac(\μερική F)(\μερική y)=3+2\λάμδα y. $$

Ας γράψουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των ακίνητων σημείων της συνάρτησης Lagrange:

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & 1+2\λάμδα x=0;\\ & 3+2\λάμδα y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \τέλος (ευθυγραμμισμένο)\δεξιά.$$

Αν υποθέσουμε $\lambda=0$, τότε η πρώτη εξίσωση γίνεται: $1=0$. Η αντίφαση που προκύπτει δείχνει ότι $\lambda\neq 0$. Υπό την συνθήκη $\lambda\neq 0$, από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση έχουμε: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στην τρίτη εξίσωση, παίρνουμε:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \αριστερά[ \begin(στοίχιση) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(ευθυγραμμισμένο) $$

Άρα, το σύστημα έχει δύο λύσεις: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ και $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Ας μάθουμε τη φύση του άκρου σε κάθε ακίνητο σημείο: $M_1(1;3)$ και $M_2(-1;-3)$. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την ορίζουσα του $H$ σε κάθε σημείο.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\λάμδα;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\λάμδα.\\ H=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Στο σημείο $M_1(1;3)$ παίρνουμε: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, οπότε στο σημείο Η συνάρτηση $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ έχει μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Ομοίως, στο σημείο $M_2(-1,-3)$ βρίσκουμε: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Από $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Σημειώνω ότι αντί να υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας $H$ σε κάθε σημείο, είναι πολύ πιο βολικό να την επεκτείνουμε σε γενική μορφή. Για να μην γεμίσει το κείμενο με λεπτομέρειες, θα κρύψω αυτή τη μέθοδο κάτω από μια σημείωση.

Γράψιμο της ορίζουσας $H$ σε γενική μορφή. εμφάνιση\απόκρυψη

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Κατ' αρχήν, είναι ήδη προφανές τι πρόσημο έχει το $H$. Εφόσον κανένα από τα σημεία $M_1$ ή $M_2$ δεν συμπίπτει με την προέλευση, τότε $y^2+x^2>0$. Επομένως, το πρόσημο του $H$ είναι αντίθετο με το πρόσημο του $\λάμδα$. Μπορείτε να ολοκληρώσετε τους υπολογισμούς:

$$ \begin(στοίχιση) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\δεξιά)=-40. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Η ερώτηση σχετικά με τη φύση του άκρου στα ακίνητα σημεία $M_1(1;3)$ και $M_2(-1;-3)$ μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση της ορίζουσας $H$. Ας βρούμε το πρόσημο $d^2F$ σε κάθε ακίνητο σημείο:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\δεξιά) $$

Επιτρέψτε μου να σημειώσω ότι ο συμβολισμός $dx^2$ σημαίνει ακριβώς το $dx$ ανυψώθηκε στη δεύτερη δύναμη, δηλ. $\αριστερά(dx \δεξιά)^2$. Επομένως, έχουμε: $dx^2+dy^2>0$, επομένως, με $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ παίρνουμε $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Απάντηση: στο σημείο $(-1;-3)$ η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, $z_(\min)=-10$. Στο σημείο $(1;3)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=10$

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ υπό την συνθήκη $x+y=0$.

Πρώτη μέθοδος (μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange)

Δηλώνοντας $\varphi(x,y)=x+y$, συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\μερικό F)(\μερικό x)=8x-y+\λάμδα; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Έχοντας λύσει το σύστημα, λαμβάνουμε: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ και $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Έχουμε δύο σταθερά σημεία: $M_1(0;0)$ και $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Ας μάθουμε τη φύση του άκρου σε κάθε ακίνητο σημείο χρησιμοποιώντας την ορίζουσα $H$.

$$H=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Στο σημείο $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, επομένως σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Διερευνούμε τη φύση του άκρου σε κάθε σημείο χρησιμοποιώντας διαφορετική μέθοδο, με βάση το πρόσημο $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Από την εξίσωση σύνδεσης $x+y=0$ έχουμε: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Εφόσον $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, τότε το $M_1(0;0)$ είναι το ελάχιστο υπό όρους σημείο της συνάρτησης $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Ομοίως, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Δεύτερος τρόπος

Από την εξίσωση σύνδεσης $x+y=0$ παίρνουμε: $y=-x$. Αντικαθιστώντας το $y=-x$ στη συνάρτηση $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, λαμβάνουμε κάποια συνάρτηση της μεταβλητής $x$. Ας συμβολίσουμε αυτή τη συνάρτηση ως $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Έτσι, μειώσαμε το πρόβλημα της εύρεσης του ακραίου άκρου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πρόβλημα του προσδιορισμού του άκρου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Λάβαμε πόντους $M_1(0;0)$ και $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Περαιτέρω έρευνα είναι γνωστή από την πορεία του διαφορικού λογισμού των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Εξετάζοντας το πρόσημο του $u_(xx)^("")$ σε κάθε ακίνητο σημείο ή ελέγχοντας την αλλαγή στο πρόσημο του $u_(x)^(")$ στα σημεία που βρέθηκαν, βγάζουμε τα ίδια συμπεράσματα όπως όταν επίλυση της πρώτης μεθόδου Για παράδειγμα, θα ελέγξουμε το σύμβολο $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10,$$

Εφόσον $u_(xx)^("")(M_1)>0$, τότε το $M_1$ είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $u(x)$ και $u_(\min)=u(0)=0 $ . Από $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Οι τιμές της συνάρτησης $u(x)$ για μια δεδομένη συνθήκη σύνδεσης συμπίπτουν με τις τιμές της συνάρτησης $z(x,y)$, δηλ. τα άκρα που βρέθηκαν της συνάρτησης $u(x)$ είναι τα αναζητούμενα ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης $z(x,y)$.

Απάντηση: στο σημείο $(0;0)$ η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, $z_(\min)=0$. Στο σημείο $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο θα διευκρινίσουμε τη φύση του άκρου προσδιορίζοντας το πρόσημο του $d^2F$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης $z=5xy-4$ εάν οι μεταβλητές $x$ και $y$ είναι θετικές και ικανοποιούν την εξίσωση σύνδεσης $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Ας βρούμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\λάμδα x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\λάμδα y.\\ \αριστερά \( \begin(στοίχιση) & 5y+\frac(\λάμδα x)(4)=0;\\ & 5x+\λάμδα y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \ y > 0. \end(στοίχιση) \δεξιά;

Όλοι οι περαιτέρω μετασχηματισμοί πραγματοποιούνται λαμβάνοντας υπόψη $x > 0. \; y > 0$ (αυτό καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος). Από τη δεύτερη εξίσωση εκφράζουμε $\lambda=-\frac(5x)(y)$ και αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Αντικαθιστώντας $x=2y$ στην τρίτη εξίσωση, παίρνουμε: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Αφού $y=1$, τότε $x=2$, $\lambda=-10$. Καθορίζουμε τη φύση του άκρου στο σημείο $(2;1)$ με βάση το πρόσημο $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\λάμδα. $$

Εφόσον $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, τότε:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Κατ' αρχήν, εδώ μπορείτε να αντικαταστήσετε αμέσως τις συντεταγμένες του ακίνητου σημείου $x=2$, $y=1$ και την παράμετρο $\lambda=-10$, λαμβάνοντας:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \δεξιά)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Ωστόσο, σε άλλα προβλήματα σε ένα ακραίο υπό όρους μπορεί να υπάρχουν πολλά ακίνητα σημεία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι καλύτερο να αναπαραστήσουμε το $d^2F$ σε γενική μορφή και, στη συνέχεια, να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες καθενός από τα στάσιμα σημεία που βρέθηκαν στην έκφραση που προκύπτει:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\λάμδα) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\λάμδα \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Αντικαθιστώντας τα $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, παίρνουμε:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Αφού $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Απάντηση: στο σημείο $(2;1)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=6$.

Στο επόμενο μέρος θα εξετάσουμε την εφαρμογή της μεθόδου Lagrange για συναρτήσεις μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Έστω η συνάρτηση z - /(x, y) να οριστεί σε κάποιο τομέα D και έστω το Mo(xo, Vo) ένα εσωτερικό σημείο αυτού του τομέα. Ορισμός. Εάν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε για όλα όσα πληρούν τις συνθήκες η ανίσωση να είναι αληθής, τότε το σημείο Mo(xo, y) ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x, y). εάν για όλα τα Dx, Du, πληρούν τις προϋποθέσεις | τότε το σημείο Mo(xo,yo) ονομάζεται λεπτό τοπικό ελάχιστο. Με άλλα λόγια, το σημείο M0(x0, y0) είναι ένα σημείο μέγιστου ή ελάχιστου της συνάρτησης /(x, y) εάν υπάρχει 6-γειτονιά του σημείου A/o(x0, y0) τέτοια ώστε καθόλου σημεία M(x, y) αυτού στη γειτονιά, η αύξηση της συνάρτησης διατηρεί το πρόσημό της. Παραδείγματα. 1. Για το σημείο λειτουργίας - ελάχιστο σημείο (Εικ. 17). 2. Για τη συνάρτηση, το σημείο 0(0,0) είναι το μέγιστο σημείο (Εικ. 18). 3. Για μια συνάρτηση, το σημείο 0(0,0) είναι ένα τοπικό μέγιστο σημείο. 4 Πράγματι, υπάρχει μια γειτονιά του σημείου 0(0, 0), για παράδειγμα, ένας κύκλος ακτίνας j (βλ. Εικ. 19), σε οποιοδήποτε σημείο του οποίου, διαφορετικό από το σημείο 0(0,0), το τιμή της συνάρτησης /(x,y) μικρότερη από 1 = Θα εξετάσουμε μόνο σημεία αυστηρού μέγιστου και ελάχιστου συναρτήσεων όταν η αυστηρή ανισότητα ή η αυστηρή ανισότητα ικανοποιείται για όλα τα σημεία M(x) y) από κάποια διάτρητη γειτονιά των 6 το σημείο Mq. Η τιμή μιας συνάρτησης στο μέγιστο σημείο ονομάζεται μέγιστη και η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο ονομάζεται ελάχιστη αυτής της συνάρτησης. Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και τα μέγιστα και ελάχιστα της ίδιας της συνάρτησης ονομάζονται άκρα της. 18 Εικ. 20 immt παράγωγοι που γίνονται μηδέν στο. Αλλά αυτή η λειτουργία είναι λεπτή στο imvat του κορμού.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Το άκρο της συνάρτησης f(x, y) μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Σε αυτή την περίπτωση απαιτείται περαιτέρω έρευνα. m Ας περιοριστούμε στην απόδειξη των δηλώσεων 1) και 2) του θεωρήματος. Ας γράψουμε τον τύπο Taylor δεύτερης τάξης για τη συνάρτηση /(i, y): όπου. Σύμφωνα με την συνθήκη, φαίνεται ότι το πρόσημο της αύξησης D/ καθορίζεται από το πρόσημο του τριωνύμου στη δεξιά πλευρά του (1), δηλαδή το πρόσημο του δεύτερου διαφορικού d2f. Ας το χαρακτηρίσουμε για συντομία. Τότε η ισότητα (l) μπορεί να γραφτεί ως εξής: Έστω στο σημείο MQ(so, V0) έχουμε... Εφόσον, κατά συνθήκη, οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(s, y) είναι συνεχείς, τότε Η ανισότητα (3) θα ισχύει επίσης σε κάποια γειτονιά του σημείου M0(s0,yo). Εάν η συνθήκη ικανοποιείται (στο σημείο Α/0, και λόγω της συνέχειας, η παράγωγος /,z(s,y) θα διατηρήσει το πρόσημό της σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου Af0. Στην περιοχή όπου Α Ф 0, Από αυτό είναι σαφές ότι αν ЛС - В2 > 0 σε κάποια γειτονιά του σημείου M0(x0) y0), τότε το πρόσημο του τριωνύμου AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 συμπίπτει με το πρόσημο του Α στο σημείο. (άρα, V0) (όπως και με το πρόσημο του C, αφού για AC - B2 > 0 τα A και C δεν μπορούν να έχουν διαφορετικά πρόσημα). Εφόσον το πρόσημο του αθροίσματος AAs2 + 2BAxAy + CAy2 στο σημείο (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) καθορίζει το πρόσημο της διαφοράς, καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: εάν για τη συνάρτηση /(s,y) στο η συνθήκη ακίνητου σημείου (s0, V0), τότε για αρκετά μικρό || η ανισότητα θα ικανοποιηθεί. Έτσι, στο σημείο (sq, V0) η συνάρτηση /(s, y) έχει μέγιστο. Εάν η συνθήκη ικανοποιείται στο ακίνητο σημείο (s0, y0), τότε για όλα τα αρκετά μικρά |Dr| και |Du| η ανισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι στο σημείο (so,yo) η συνάρτηση /(s, y) έχει ελάχιστο. Παραδείγματα. 1. Διερευνήστε τη συνάρτηση για ένα άκρο 4 Χρησιμοποιώντας τις απαραίτητες συνθήκες για ένα άκρο, αναζητούμε ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους u και τις εξισώνουμε με μηδέν. Λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων από όπου - ένα ακίνητο σημείο. Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θεώρημα 12. Έχουμε Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα άκρο στο σημείο Ml. Γιατί αυτό είναι το ελάχιστο. Αν μετατρέψουμε τη συνάρτηση r σε μορφή, είναι εύκολο να δούμε ότι η δεξιά πλευρά (“) θα είναι ελάχιστη όταν είναι το απόλυτο ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. 2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για ακρότατο Βρίσκουμε ακίνητα σημεία της συνάρτησης, για τα οποία συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων, έτσι ώστε το σημείο να είναι ακίνητο. Εφόσον, δυνάμει του Θεωρήματος 12, δεν υπάρχει άκρο στο σημείο Μ. * 3. Διερευνήστε το άκρο της συνάρτησης Βρείτε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Από το σύστημα των εξισώσεων προκύπτει ότι, άρα το σημείο είναι ακίνητο. Επιπλέον, έχουμε ότι το Θεώρημα 12 δεν απαντά στην ερώτηση σχετικά με την παρουσία ή την απουσία ενός άκρου. Ας το κάνουμε με αυτόν τον τρόπο. Για μια συνάρτηση για όλα τα σημεία διαφορετικά από το σημείο, εξ ορισμού, και το σημείο A/o(0,0) η συνάρτηση r έχει απόλυτο ελάχιστο. Με παρόμοιους υπολογισμούς διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν έχει άκρο στο σημείο. Έστω μια συνάρτηση n ανεξάρτητων μεταβλητών διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο. Έστω ότι η συνάρτηση ορίζεται και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης σε κάποια γειτονιά της λεπτής Mt(xi..., η οποία είναι μια σταθερή λεπτή συνάρτηση αν η τετραγωνική μορφή (το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης f στο λεπτό είναι θετικό οριστική (αρνητική οριστική), το ελάχιστο σημείο (αντίστοιχα, λεπτό μέγιστο) της συνάρτησης f είναι μια χαρά Η τετραγωνική μορφή (4) είναι θετική ή αρνητική οριστική, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για παράδειγμα, το κριτήριο Sylvester για θετική (αρνητική ) τη βεβαιότητα της τετραγωνικής μορφής Συνάρτηση σε ολόκληρο τον ορισμό της, όταν τα επιχειρήματα της συνάρτησης δεν δεσμεύονται από καμία πρόσθετη συνθήκη. x, y) ορίζονται στον τομέα D. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται μια καμπύλη L σε αυτόν τον τομέα και πρέπει να βρούμε τα άκρα της συνάρτησης f(x> y) μόνο μεταξύ εκείνων των τιμών της που αντιστοιχούν στα σημεία της καμπύλης L. Τα ίδια άκρα ονομάζονται ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης z = f(x) y) στην καμπύλη L. Ορισμός Λένε ότι σε ένα σημείο που βρίσκεται στην καμπύλη L, η συνάρτηση /(x, y) έχει ένα υπό όρους μέγιστο (ελάχιστο) εάν η ανισότητα ικανοποιείται σε όλα τα σημεία M (s, y) y) της καμπύλης L, που ανήκουν σε κάποια γειτονιά του σημείου M0(x0, V0) και διαφέρουν από το σημείο M0 (Εάν το Η καμπύλη L δίνεται από μια εξίσωση, τότε το πρόβλημα είναι να βρεθεί το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης r - f(x,y) στην καμπύλη! μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης x = /(z, y) στην περιοχή D, με την προϋπόθεση ότι έτσι, όταν βρίσκουμε τα ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης z = y), τα ορίσματα του gnu δεν μπορούν πλέον θεωρούνται ως ανεξάρτητες μεταβλητές: σχετίζονται μεταξύ τους με τη σχέση y ) = 0, η οποία ονομάζεται εξίσωση σύζευξης. Για να διευκρινιστεί η διάκριση μεταξύ ακραίου άνευ όρων και υπό όρους, ας δούμε ένα παράδειγμα, το άνευ όρων μέγιστο μιας συνάρτησης (Εικ. 23) ισούται με ένα και επιτυγχάνεται στο σημείο (0,0). Αντιστοιχεί στο σημείο M - η κορυφή του pvvboloid Ας προσθέσουμε την εξίσωση σύνδεσης y = j. Τότε το υπό όρους μέγιστο θα είναι προφανώς ίσο με αυτό Φτάνεται στο σημείο (o,|), και αντιστοιχεί στην κορυφή Afj της μπάλας, που είναι η γραμμή τομής της μπάλας με το επίπεδο y = j. Στην περίπτωση ενός άνευ όρων mvximum, έχουμε μια εφαρμογή mvximum μεταξύ όλων των vpplicvt της επιφάνειας * = 1 - l;2 ~ y1; summvv του υπό όρους - μόνο μεταξύ των vllikvt σημείων του pvraboloidv, που αντιστοιχεί στο σημείο* της ευθείας y = j όχι του επιπέδου xOy. Μία από τις μεθόδους εύρεσης του ακραίου υπό όρους μιας συνάρτησης παρουσία και σύνδεση είναι η εξής. Το ζήτημα της ύπαρξης και της φύσης του ακραίου υπό όρους επιλύεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange για το εξεταζόμενο σύστημα τιμών x0, V0, A, που λαμβάνεται από το (8) υπό τον όρο ότι εάν , τότε στο σημείο (x0, V0) η συνάρτηση /(x, y ) έχει ένα υπό όρους μέγιστο. εάν d2F > 0 - τότε ένα ελάχιστο υπό όρους. Ειδικότερα, αν σε ακίνητο σημείο (xo, J/o) η ορίζουσα D για τη συνάρτηση F(x, y) είναι θετική, τότε στο σημείο (®o, Yo) υπάρχει ένα υπό όρους μέγιστο της συνάρτησης f( x, y), εάν και υπό όρους ελάχιστο της συνάρτησης /(x, y), εάν Παράδειγμα. Ας στραφούμε ξανά στις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος: βρείτε το άκρο της συνάρτησης υπό την προϋπόθεση ότι x + y = 1. Θα λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange. Η συνάρτηση Lagrange σε αυτή την περίπτωση έχει τη μορφή Για να βρούμε σταθερά σημεία, συνθέτουμε ένα σύστημα Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος, παίρνουμε ότι x = y. Τότε από την τρίτη εξίσωση του συστήματος (εξίσωση σύνδεσης) βρίσκουμε ότι x - y = j είναι οι συντεταγμένες του πιθανού ακραίου σημείου. Σε αυτήν την περίπτωση (υποδεικνύεται ότι A = -1. Έτσι, η συνάρτηση Lagrange. είναι το υπό συνθήκη ελάχιστο σημείο της συνάρτησης * = x2 + y2 υπό την προϋπόθεση Δεν υπάρχει άνευ όρων άκρο για τη συνάρτηση Lagrange. P(x, y ) δεν σημαίνει ακόμη την απουσία ακρότατου υπό όρους για τη συνάρτηση /(x, y) παρουσία σύνδεσης Παράδειγμα Βρείτε το άκρο μιας συνάρτησης υπό την συνθήκη y 4 Συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange και γράφουμε ένα σύστημα για. προσδιορίζοντας το Α και τις συντεταγμένες των πιθανών ακραίων σημείων: Από τις δύο πρώτες εξισώσεις παίρνουμε x + y = 0 και καταλήγουμε στο σύστημα από όπου x = y = A = 0. Έτσι, η αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή Στο σημείο (0,0), η συνάρτηση F(x, y; 0) δεν έχει ακρότατο άνευ όρων, αλλά υπάρχει ένα ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης r = xy όταν y = x2 εδώ είναι σαφές ότι στο σημείο (0,0) υπάρχει ένα ελάχιστο υπό όρους "Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange επεκτείνεται στην περίπτωση των συναρτήσεων οποιουδήποτε αριθμού ορισμάτων. Ας αναζητήσουμε το άκρο της συνάρτησης παρουσία Οι εξισώσεις σύνδεσης Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση Lagrange όπου A|, Az,..., είναι αόριστοι σταθεροί παράγοντες. Εξισώνοντας στο μηδέν όλες τις επιμέρους παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης F και προσθέτοντας τις εξισώσεις σύνδεσης (9) στις εξισώσεις που προκύπτουν, προκύπτει ένα σύστημα n + m εξισώσεων, από τις οποίες προσδιορίζουμε Ab A3|..., At και συντεταγμένες x \) x2). » xn πιθανών σημείων ακραίου υπό όρους. Το ερώτημα εάν τα σημεία που βρέθηκαν με τη μέθοδο Lagrange είναι πράγματι σημεία ενός ακραίου υπό όρους μπορεί συχνά να επιλυθεί με βάση εκτιμήσεις φυσικής ή γεωμετρικής φύσης. 15.3. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές συνεχών συναρτήσεων Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης z = /(x, y), συνεχής σε κάποιο κλειστό περιορισμένο πεδίο D. Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, σε αυτή την περιοχή υπάρχει ένα σημείο (xo, V0) στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή. Αν το σημείο (xo, y0) βρίσκεται μέσα στο πεδίο ορισμού D, τότε η συνάρτηση / έχει ένα μέγιστο (ελάχιστο) σε αυτήν, οπότε σε αυτήν την περίπτωση το σημείο που μας ενδιαφέρει περιέχεται μεταξύ των κρίσιμων σημείων της συνάρτησης /(x, y). Ωστόσο, η συνάρτηση /(x, y) μπορεί να φτάσει τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της στο όριο της περιοχής. Επομένως, για να βρείτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή που λαμβάνει η συνάρτηση z = /(x, y) σε μια περιορισμένη κλειστή περιοχή 2), πρέπει να βρείτε όλα τα μέγιστα (ελάχιστο) της συνάρτησης που επιτυγχάνεται μέσα σε αυτήν την περιοχή, καθώς και τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης στα όρια αυτής της περιοχής. Ο μεγαλύτερος (μικρότερος) από όλους αυτούς τους αριθμούς θα είναι η επιθυμητή μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης z = /(x,y) στην περιοχή 27. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό στην περίπτωση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Prmmr. Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης της περιοχής 4. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης μέσα στην περιοχή D. Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων Από εδώ λαμβάνουμε x = y « 0, έτσι ώστε Το σημείο 0 (0,0) είναι το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης x. Αφού Ας βρούμε τώρα τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης στο όριο Γ του τομέα D. Σε μέρος του ορίου έχουμε ότι το y = 0 είναι ένα κρίσιμο σημείο, και αφού = τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση z = Το 1 + y2 έχει ελάχιστο ίσο με ένα. Στα άκρα του τμήματος Г", στα σημεία (, έχουμε. Χρησιμοποιώντας θεωρήσεις συμμετρίας, λαμβάνουμε τα ίδια αποτελέσματα για άλλα μέρη του ορίου. Τελικά παίρνουμε: τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης z = x2+y2 στην περιοχή "Το B είναι ίσο με μηδέν και επιτυγχάνεται στην περιοχή του εσωτερικού σημείου 0( 0, 0) και η μέγιστη τιμή αυτής της συνάρτησης, ίση με δύο, επιτυγχάνεται σε τέσσερα σημεία του ορίου (Εικ. 25) Εικ. 25 Ασκήσεις Βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Κατασκευάστε τις γραμμές επιπέδων των συναρτήσεων: 9 Βρείτε τις επιφάνειες επιπέδου των συναρτήσεων τριών ανεξάρτητων μεταβλητών: Υπολογίστε τις συναρτήσεις ορίων: Βρείτε μερικές παραγώγους συναρτήσεων και τις ολικές τους διαφορικές: Βρείτε παραγώγους μιγαδικών συναρτήσεις: 3 Βρείτε J. Ακρότατο συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έννοια άκρου συνάρτησης πολλών μεταβλητών Απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για ακρότατο ακρότατο υπό όρους Οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνεχών συναρτήσεων 34. Χρήση του τύπου για την παράγωγο του μια μιγαδική συνάρτηση, βρείτε και συναρτήσεις: 35. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης δύο μεταβλητών, βρείτε το |J και τις συναρτήσεις: Βρείτε τις συναρτήσεις jj που δίνονται σιωπηρά: 40. Βρείτε την κλίση της εφαπτομενικής καμπύλης. σημείο τομής του με την ευθεία x = 3. 41. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη της καμπύλης x είναι παράλληλη στον άξονα Ox. . Στα παρακάτω προβλήματα βρείτε και Τ: Γράψτε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κανονικού της επιφάνειας: 49. Γράψτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων επιπέδων της επιφάνειας x2 + 2y2 + 3z2 = 21, παράλληλες στο επίπεδο x + 4y + 6z = 0. Βρείτε τους τρεις ή τέσσερις πρώτους όρους της επέκτασης χρησιμοποιώντας τον τύπο Taylor : 50. y κοντά στο σημείο (0, 0).

Επαρκής συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών

1. Έστω η συνάρτηση συνεχώς διαφορίσιμη σε κάποια γειτονιά του σημείου και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης (καθαρές και μικτές).

2. Ας υποδηλώσουμε με την ορίζουσα δεύτερης τάξης

ακραία μεταβλητή συνάρτηση διάλεξης

Θεώρημα

Εάν το σημείο με συντεταγμένες είναι ένα ακίνητο σημείο για τη συνάρτηση, τότε:

Α) Σε αυτό είναι ένα σημείο τοπικού άκρου και, σε ένα τοπικό μέγιστο, είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

Γ) στο σημείο δεν είναι τοπικό ακραίο σημείο.

Γ) αν, ίσως και τα δύο.

Απόδειξη

Ας γράψουμε τον τύπο Taylor για τη συνάρτηση, περιοριζόμενοι σε δύο όρους:

Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, το σημείο είναι ακίνητο, οι επιμέρους παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι ίσες με μηδέν, δηλ. Και. Τότε

Ας υποδηλώσουμε

Τότε η αύξηση της συνάρτησης θα πάρει τη μορφή:

Λόγω της συνέχειας μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης (καθαρές και μικτές), σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος σε ένα σημείο, μπορούμε να γράψουμε:

Πού ή? ,

1. Έστω και, δηλ. ή.

2. Πολλαπλασιάζουμε την αύξηση της συνάρτησης και διαιρούμε με, παίρνουμε:

3. Ας προσθέσουμε την έκφραση σε σγουρές αγκύλες στο πλήρες τετράγωνο του αθροίσματος:

4. Η έκφραση στα σγουρά σιδεράκια είναι μη αρνητική, αφού

5. Επομένως, εάν ένα μέσο και, τότε και, επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό, το σημείο είναι ένα σημείο τοπικού ελάχιστου.

6. Εάν ένα μέσο και, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, το σημείο με συντεταγμένες είναι ένα σημείο τοπικού μέγιστου.

2. Θεωρήστε το τετραγωνικό τριώνυμο, το διαχωριστικό του, .

3. Αν, τότε υπάρχουν σημεία τέτοια ώστε το πολυώνυμο

4. Γράφουμε τη συνολική αύξηση της συνάρτησης σε ένα σημείο σύμφωνα με την έκφραση που προκύπτει στο I ως:

5. Λόγω της συνέχειας μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος σε ένα σημείο, μπορούμε να γράψουμε ότι

Επομένως, υπάρχει μια γειτονιά ενός σημείου έτσι ώστε, για οποιοδήποτε σημείο, το τετραγωνικό τριώνυμο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν:

6. Θεωρήστε τη γειτονιά ενός σημείου.

Ας επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή, οπότε τελεία. Υποθέτοντας ότι στον τύπο για την αύξηση της συνάρτησης

Τι παίρνουμε:

7. Από τότε.

8. Υποστηρίζοντας παρόμοια για τη ρίζα, διαπιστώνουμε ότι σε οποιαδήποτε -γειτονιά ενός σημείου υπάρχει ένα σημείο για το οποίο, επομένως, στη γειτονιά του σημείου δεν διατηρεί πρόσημο, επομένως δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο.

Υποθετικό άκρο συνάρτησης δύο μεταβλητών

Όταν βρίσκουμε άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, συχνά προκύπτουν προβλήματα που σχετίζονται με το λεγόμενο ακρότατο υπό όρους. Αυτή η έννοια μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Έστω μια συνάρτηση και μια ευθεία L στο επίπεδο 0xy. Ο στόχος είναι να βρεθεί ένα σημείο P (x, y) στη γραμμή L στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη σε σύγκριση με τις τιμές αυτής της συνάρτησης σε σημεία στη γραμμή L που βρίσκονται κοντά στο σημείο P. Τέτοια σημεία P ονομάζονται συναρτήσεις ακραίων σημείων υπό όρους στη γραμμή L. Σε αντίθεση με το συνηθισμένο ακραίο σημείο, η τιμή της συνάρτησης στο ακραίο σημείο υπό όρους συγκρίνεται με τις τιμές της συνάρτησης όχι σε όλα τα σημεία της γειτονιάς της, αλλά μόνο σε εκείνα που βρίσκονται στη γραμμή L.

Είναι απολύτως σαφές ότι το σημείο του συνηθισμένου άκρου (λέγουν επίσης ακρότατο άνευ όρων) είναι επίσης το σημείο του ακραίου υπό όρους για κάθε γραμμή που διέρχεται από αυτό το σημείο. Το αντίστροφο, φυσικά, δεν ισχύει: το υπό όρους ακραίο σημείο μπορεί να μην είναι το συνηθισμένο ακραίο σημείο. Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα Νο. 1.Το γράφημα της συνάρτησης είναι το άνω ημισφαίριο (Εικ. 2).

Ρύζι. 2.

Αυτή η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο στην αρχή. αντιστοιχεί στην κορυφή Μ του ημισφαιρίου. Αν η ευθεία L είναι μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β (η εξίσωσή της), τότε είναι γεωμετρικά σαφές ότι για τα σημεία αυτής της ευθείας η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο που βρίσκεται στη μέση μεταξύ των σημείων Α και Β. Αυτό είναι το σημείο των ακραίων συναρτήσεων υπό όρους (μέγιστο) σε αυτή τη γραμμή. αντιστοιχεί στο σημείο M 1 στο ημισφαίριο, και από το σχήμα είναι σαφές ότι δεν μπορεί να γίνει λόγος για κανένα συνηθισμένο άκρο εδώ.

Σημειώστε ότι στο τελευταίο μέρος του προβλήματος της εύρεσης της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή, πρέπει να βρούμε τις ακραίες τιμές της συνάρτησης στο όριο αυτής της περιοχής, δηλ. σε κάποια γραμμή, και ως εκ τούτου να λύσει το πρόβλημα ενός ακραίου υπό όρους.

Ορισμός 1.Λένε ότι όπου έχει σε ένα σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση ένα υπό όρους ή σχετικό μέγιστο (ελάχιστο): εάν για οποιοδήποτε σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση η ανισότητα

Ορισμός 2.Μια εξίσωση της μορφής ονομάζεται εξίσωση περιορισμού.

Θεώρημα

Εάν οι συναρτήσεις και είναι συνεχώς διαφοροποιήσιμες στη γειτονιά ενός σημείου, και της μερικής παραγώγου, και το σημείο είναι ένα υπό όρους ακραίο σημείο της συνάρτησης ως προς την εξίσωση περιορισμού, τότε η ορίζουσα δεύτερης τάξης είναι ίση με μηδέν:

Απόδειξη

1. Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, τη μερική παράγωγο και την τιμή της συνάρτησης, τότε σε ορισμένο ορθογώνιο

ορίζεται άρρητη συνάρτηση

Μια σύνθετη συνάρτηση δύο μεταβλητών σε ένα σημείο θα έχει ένα τοπικό άκρο, επομένως, ή.

2. Πράγματι, σύμφωνα με την ιδιότητα αμετάβλητης του διαφορικού τύπου πρώτης τάξης

3. Η εξίσωση σύνδεσης μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή, που σημαίνει

4. Πολλαπλασιάστε την εξίσωση (2) με, και (3) με και προσθέστε τα

Επομένως, όταν

αυθαίρετος. και τα λοιπά.

Συνέπεια

Η αναζήτηση για ακραία σημεία υπό όρους συνάρτησης δύο μεταβλητών στην πράξη πραγματοποιείται με την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα Νο 1 από την εξίσωση σύνδεσης έχουμε. Από εδώ είναι εύκολο να ελέγξετε τι φτάνει στο μέγιστο. Στη συνέχεια όμως από την εξίσωση επικοινωνίας. Λαμβάνουμε το σημείο P, που βρίσκεται γεωμετρικά.

Παράδειγμα Νο. 2.Βρείτε τα υπό συνθήκη ακραία σημεία της συνάρτησης σε σχέση με την εξίσωση σύζευξης.

Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της δεδομένης συνάρτησης και την εξίσωση σύζευξης:

Ας δημιουργήσουμε μια ορίζουσα δεύτερης τάξης:

Ας γράψουμε ένα σύστημα εξισώσεων για να βρούμε ακραία σημεία υπό όρους:

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέσσερα σημεία του υπό όρους άκρου της συνάρτησης με συντεταγμένες: .

Παράδειγμα Νο. 3.Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης.

Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους στο μηδέν: , βρίσκουμε ένα ακίνητο σημείο - την αρχή. Εδώ,. Συνεπώς, το σημείο (0, 0) δεν είναι ακραίο σημείο. Η εξίσωση είναι η εξίσωση ενός υπερβολικού παραβολοειδούς (Εικ. 3) από το σχήμα φαίνεται ότι το σημείο (0, 0) δεν είναι ακραίο σημείο.

Ρύζι. 3.

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή

1. Αφήστε τη συνάρτηση να είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα περιορισμένο κλειστό πεδίο D.

2. Έστω ότι η συνάρτηση έχει πεπερασμένες μερικές παραγώγους σε αυτήν την περιοχή, εκτός από μεμονωμένα σημεία της περιοχής.

3. Σύμφωνα με το θεώρημα του Weierstrass, σε αυτή την περιοχή υπάρχει ένα σημείο στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

4. Αν τα σημεία αυτά είναι εσωτερικά σημεία της περιοχής Δ, τότε προφανώς θα έχουν μέγιστο ή ελάχιστο.

5. Σε αυτή την περίπτωση, τα σημεία που μας ενδιαφέρουν είναι από τα ύποπτα σημεία στο άκρο.

6. Ωστόσο, η συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή στο όριο της περιοχής D.

7. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης στην περιοχή D, πρέπει να βρείτε όλα τα εσωτερικά σημεία ύποπτα για ένα άκρο, να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης σε αυτά και, στη συνέχεια, να συγκρίνετε με την τιμή της συνάρτησης στο οριακά σημεία της περιοχής και η μεγαλύτερη από όλες τις τιμές που βρέθηκαν θα είναι η μεγαλύτερη στην κλειστή περιοχή D.

8. Η μέθοδος εύρεσης ενός τοπικού μέγιστου ή ελάχιστου συζητήθηκε νωρίτερα στην ενότητα 1.2. και 1.3.

9. Απομένει να εξετάσουμε τη μέθοδο εύρεσης των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών της συνάρτησης στο όριο της περιοχής.

10. Στην περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών, η περιοχή συνήθως περιορίζεται από μια καμπύλη ή πολλές καμπύλες.

11. Κατά μήκος μιας τέτοιας καμπύλης (ή πολλών καμπυλών), οι μεταβλητές είτε εξαρτώνται η μία από την άλλη είτε και οι δύο εξαρτώνται από μία παράμετρο.

12. Έτσι, στο όριο η συνάρτηση αποδεικνύεται ότι εξαρτάται από μία μεταβλητή.

13. Η μέθοδος εύρεσης της μεγαλύτερης τιμής μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής συζητήθηκε νωρίτερα.

14. Έστω το όριο της περιοχής Δ με παραμετρικές εξισώσεις:

Τότε σε αυτή την καμπύλη η συνάρτηση δύο μεταβλητών θα είναι μια σύνθετη συνάρτηση της παραμέτρου: . Για μια τέτοια συνάρτηση, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο για τον προσδιορισμό της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής.