Εάν το σύνολο των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων

Έτσι, το πρόβλημα της μελέτης ενός συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση μειώνεται στο πρόβλημα της εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα που αποτελείται από διανύσματα αυτού του συστήματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι για p>n το σύστημα των διανυσμάτων θα είναι γραμμικά εξαρτώμενο.

Σχόλιο: κατά τη μεταγλώττιση του πίνακα A, τα διανύσματα του συστήματος μπορούν να ληφθούν όχι ως γραμμές, αλλά ως στήλες.

Αλγόριθμος για τη μελέτη συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Ας δούμε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παραδείγματα μελέτης συστήματος διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Παράδειγμα.

Δίνεται ένα σύστημα διανυσμάτων. Εξετάστε το για γραμμική εξάρτηση.

Λύση.

Εφόσον το διάνυσμα c είναι μηδέν, το αρχικό σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά λόγω της τρίτης ιδιότητας.

Απάντηση:

Το διανυσματικό σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Παράδειγμα.

Εξετάστε ένα σύστημα διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση.

Λύση.

Δεν είναι δύσκολο να παρατηρήσουμε ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος c είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος πολλαπλασιαζόμενες επί 3, δηλαδή . Επομένως, το αρχικό σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Έκφραση της φόρμας που ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων A 1 , A 2 ,...,A nμε πιθανότητες λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Προσδιορισμός γραμμικής εξάρτησης συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, εάν υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n, στην οποία ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: έχει μη μηδενική λύση.
Σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n είναι μη μηδενικό εάν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς λ 1, λ 2 ,...,λ n διαφορετικό από το μηδέν.

Προσδιορισμός γραμμικής ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα μόνο για ένα μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n , δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θέχει μια μοναδική λύση μηδέν.

Ελέγξτε εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά

Λύση:

1. Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

2. Το λύνουμε με τη μέθοδο Gauss. Οι μετασχηματισμοί Jordanano του συστήματος δίνονται στον Πίνακα 29.1. Κατά τον υπολογισμό, οι δεξιές πλευρές του συστήματος δεν καταγράφονται αφού είναι ίσες με μηδέν και δεν αλλάζουν κατά τους μετασχηματισμούς Jordan.

3. Από τις τρεις τελευταίες σειρές του πίνακα καταγράψτε ένα επιλυμένο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικόΣύστημα:

4. Λαμβάνουμε τη γενική λύση του συστήματος:

5. Έχοντας ορίσει την τιμή της δωρεάν μεταβλητής x 3 =1 κατά την κρίση σας, παίρνουμε μια συγκεκριμένη μη μηδενική λύσηΧ=(-3,2,1).

Απάντηση: Έτσι, για ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών (-3,2,1), ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ισούται με το μηδενικό διάνυσμα -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Ως εκ τούτου, διανυσματικό σύστημα γραμμικά εξαρτώμενο.

Ιδιότητες διανυσματικών συστημάτων

Ακίνητα (1)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο, τότε τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα επεκτείνεται ως προς τα άλλα και, αντιστρόφως, εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα του συστήματος επεκτείνεται ως προς τα άλλα, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (2)
Εάν οποιοδήποτε υποσύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (3)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε από τα υποσύστημά του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ακίνητα (4)
Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (5)
Ένα σύστημα διανυσμάτων m-διαστάσεων εξαρτάται πάντα γραμμικά αν ο αριθμός των διανυσμάτων n είναι μεγαλύτερος από τη διάστασή τους (n>m)

Βάση του διανυσματικού συστήματος

Η βάση του διανυσματικού συστήματος A 1 , A 2 ,..., A n ένα τέτοιο υποσύστημα B 1 , B 2 ,...,B r λέγεται(καθένα από τα διανύσματα B 1, B 2,..., B r είναι ένα από τα διανύσματα A 1, A 2,..., A n), το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rγραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων.
2. οποιοδήποτε διάνυσμα A j σύστημα A 1 , A 2 ,..., A n εκφράζεται γραμμικά μέσω των διανυσμάτων B 1 , B 2 ,..., B r

r— τον αριθμό των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.

Θεώρημα 29.1 Με βάση τη μονάδα ενός συστήματος διανυσμάτων.

Αν ένα σύστημα διανυσμάτων m διαστάσεων περιέχει m διαφορετικά μοναδιαία διανύσματα E 1 E 2 ,..., E m , τότε αποτελούν τη βάση του συστήματος.

Αλγόριθμος για την εύρεση της βάσης ενός συστήματος διανυσμάτων

Για να βρεθεί η βάση του συστήματος των διανυσμάτων A 1 ,A 2 ,...,A n είναι απαραίτητο:

• Δημιουργήστε ένα αντίστοιχο διανυσματικό σύστημα ομοιογενές σύστημαεξισώσεις A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Φέρτε αυτό το σύστημα

Γραμμική εξάρτηση και διανυσματική ανεξαρτησία

Ορισμοί γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων διανυσματικών συστημάτων

Ορισμός 22

Ας έχουμε ένα σύστημα n-διανυσμάτων και ένα σύνολο αριθμών
, Επειτα

(11)

ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων με ένα δεδομένο σύνολο συντελεστών.

Ορισμός 23

Διανυσματικό σύστημα
ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο συντελεστών
, εκ των οποίων τουλάχιστον ένα δεν είναι ίσο με μηδέν, ότι ο γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων με αυτό το σύνολο συντελεστών είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα:

Αφήνω
, Επειτα

Ορισμός 24 (μέσω της αναπαράστασης ενός διανύσματος του συστήματος ως γραμμικού συνδυασμού των άλλων)

Διανυσματικό σύστημα
ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα αυτού του συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων αυτού του συστήματος.

Δήλωση 3

Οι ορισμοί 23 και 24 είναι ισοδύναμοι.

Ορισμός 25(μέσω μηδενικού γραμμικού συνδυασμού)

Διανυσματικό σύστημα
ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο εάν ένας μηδενικός γραμμικός συνδυασμός αυτού του συστήματος είναι δυνατός μόνο για όλους
ίσο με μηδέν.

Ορισμός 26(λόγω της αδυναμίας αναπαράστασης ενός διανύσματος του συστήματος ως γραμμικού συνδυασμού των άλλων)

Διανυσματικό σύστημα
ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο εάν όχι ένα από τα διανύσματα αυτού του συστήματος δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων διανυσματικών συστημάτων

Θεώρημα 2 (μηδενικό διάνυσμα στο σύστημα των διανυσμάτων)

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων έχει μηδενικό διάνυσμα, τότε το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

 Αφήστε
, Επειτα .

Παίρνουμε
, επομένως, εξ ορισμού ενός γραμμικά εξαρτημένου συστήματος διανυσμάτων μέσω ενός μηδενικού γραμμικού συνδυασμού (12) το σύστημα εξαρτάται γραμμικά. 

Θεώρημα 3 (εξαρτώμενο υποσύστημα σε διανυσματικό σύστημα)

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων έχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

 Αφήστε
- γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα
, μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένα δεν ισούται με μηδέν:

Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού 23, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά. 

Θεώρημα 4

Οποιοδήποτε υποσύστημα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

 Από το αντίθετο. Έστω το σύστημα να είναι γραμμικά ανεξάρτητο και να έχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα. Αλλά τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 3, ολόκληρο το σύστημα θα είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο. Αντίφαση. Κατά συνέπεια, ένα υποσύστημα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος δεν μπορεί να εξαρτάται γραμμικά. 

Γεωμετρική σημασίαγραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ενός συστήματος διανυσμάτων

Θεώρημα 5

Δύο φορείς Και εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν
.

 Ανάγκη.

Και - γραμμικά εξαρτώμενο
ότι η προϋπόθεση ικανοποιείται
. Επειτα
, δηλ.
.

Επάρκεια.

Γραμμικά εξαρτώμενο. 

Συμπέρασμα 5.1

Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα

Συμπέρασμα 5.2

Για να είναι δύο διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα, είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό δεν ήταν συγγραμμική .

Θεώρημα 6

Προκειμένου ένα σύστημα τριών διανυσμάτων να είναι γραμμικά εξαρτώμενο, είναι απαραίτητο και αρκετό αυτά τα διανύσματα να είναι συνεπίπεδα .

 Ανάγκη.

- εξαρτώνται γραμμικά, επομένως, ένα διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο.

, (13)

Οπου
Και
. Σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου υπάρχει διαγώνιος παραλληλογράμμου με πλευρές
, αλλά το παραλληλόγραμμο είναι επίπεδη φιγούρα
ομοεπίπεδη
- είναι επίσης ομοεπίπεδες.

Επάρκεια.

- ομοεπίπεδη. Ας εφαρμόσουμε τρία διανύσματα στο σημείο Ο:

ντο

Β`

– γραμμικά εξαρτώμενη 

Συμπέρασμα 6.1

Το μηδενικό διάνυσμα είναι συνεπίπεδο με οποιοδήποτε ζεύγος διανυσμάτων.

Συμπέρασμα 6.2

Προκειμένου για διανύσματα
ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, είναι απαραίτητο και επαρκές να μην είναι ομοεπίπεδες.

Συμπέρασμα 6.3

Οποιοδήποτε διάνυσμα ενός επιπέδου μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων του ίδιου επιπέδου.

Θεώρημα 7

Οποιαδήποτε τέσσερα διανύσματα στο χώρο εξαρτώνται γραμμικά .

 Ας εξετάσουμε 4 περιπτώσεις:

Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο διανυσμάτων, μετά ένα επίπεδο διανυσμάτων και ένα επίπεδο διανυσμάτων. Στη συνέχεια σχεδιάζουμε επίπεδα που διέρχονται από το σημείο D, παράλληλα με τα ζεύγη των διανυσμάτων. ; αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε παραλληλεπίπεδο κατά μήκος των γραμμών τομής των επιπέδων Ο.Β. 1 ρε 1 ντο 1 ABDC.

Ας σκεφτούμε Ο.Β. 1 ρε 1 ντο 1 – παραλληλόγραμμο κατά κατασκευή σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου
.

Θεωρήστε το OADD 1 – ένα παραλληλόγραμμο (από την ιδιότητα ενός παραλληλεπίπεδου)
, Επειτα

EMBED Equation.3 .

Με το Θεώρημα 1
τέτοια που . Επειτα
, και εξ ορισμού 24 το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά. 

Συμπέρασμα 7.1

Το άθροισμα τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων στο χώρο είναι ένα διάνυσμα που συμπίπτει με τη διαγώνιο ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου σε αυτά τα τρία διανύσματα που εφαρμόζονται σε μια κοινή αρχή, και η αρχή του διανύσματος αθροίσματος συμπίπτει με την κοινή αρχή αυτών των τριών διανυσμάτων.

Συμπέρασμα 7.2

Αν πάρουμε 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα στο χώρο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα αυτού του χώρου μπορεί να αποσυντεθεί σε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των τριών διανυσμάτων.

Γραμμική εξάρτησηφορείς

Όταν αποφασίζει διάφορα καθήκοντα, κατά κανόνα, δεν πρέπει να ασχοληθεί κανείς με ένα διάνυσμα, αλλά με ένα ορισμένο σύνολο διανυσμάτων της ίδιας διάστασης. Τέτοια αδρανή ονομάζονται σύστημα διανυσμάτωνκαι δηλώνουν

Ορισμός.Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτωνονομάζεται διάνυσμα της μορφής

όπου υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί. Ένα διάνυσμα λέγεται επίσης ότι εκφράζεται γραμμικά ως διανύσματα ή αποσυντίθεται σε αυτά τα διανύσματα.

Για παράδειγμα, ας δοθούν τρία διανύσματα: , , . Ο γραμμικός συνδυασμός τους με τους συντελεστές 2, 3 και 4, αντίστοιχα, είναι το διάνυσμα

Ορισμός.Το σύνολο όλων των δυνατών γραμμικών συνδυασμών ενός συστήματος διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικό εύρος αυτού του συστήματος.

Ορισμός.Ένα σύστημα μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, εάν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος με τους υποδεικνυόμενους αριθμούς να είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα:

Εάν η τελευταία ισότητα για ένα δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι δυνατή μόνο για , τότε αυτό το σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη.

Για παράδειγμα, ένα σύστημα δύο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. σύστημα δύο διανυσμάτων και είναι γραμμικά εξαρτώμενο, αφού .

Έστω το σύστημα των διανυσμάτων (19) γραμμικά εξαρτώμενο. Ας επιλέξουμε τον όρο στο άθροισμα (20) στον οποίο είναι ο συντελεστής και ας τον εκφράσουμε με τους υπόλοιπους όρους:

Όπως φαίνεται από αυτή την ισότητα, ένα από τα διανύσματα του γραμμικά εξαρτημένου συστήματος (19) αποδείχθηκε ότι εκφράζεται ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος (ή επεκτείνεται ως προς τα υπόλοιπα διανύσματά του).

Ιδιότητες ενός γραμμικά εξαρτώμενου διανυσματικού συστήματος

1. Ένα σύστημα που αποτελείται από ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

2. Ένα σύστημα που περιέχει μηδενικό διάνυσμα είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένο.

3. Ένα σύστημα που περιέχει περισσότερα από ένα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν μεταξύ των διανυσμάτων του υπάρχει, σύμφωνα με τουλάχιστον, ένα διάνυσμα που εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα.

Η γεωμετρική έννοια μιας γραμμικής σχέσης στην περίπτωση των δισδιάστατων διανυσμάτων σε ένα επίπεδο: όταν ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, έχουμε, δηλ. Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ή το ίδιο, που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.

Στη χωρική περίπτωση γραμμικής εξάρτησης τριών διανυσμάτων, είναι παράλληλα σε ένα επίπεδο, δηλ. ομοεπίπεδη. Αρκεί να «διορθωθούν» τα μήκη αυτών των διανυσμάτων με τους αντίστοιχους παράγοντες, ώστε ο ένας από αυτούς να γίνει το άθροισμα των άλλων δύο ή να εκφραστεί μέσω αυτών.

Θεώρημα.Στο διάστημα, οποιοδήποτε σύστημα περιέχει διανύσματα εξαρτάται γραμμικά από το .

Παράδειγμα.Μάθετε εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Λύση. Ας φτιάξουμε μια διανυσματική ισότητα. Γράφοντας σε διανυσματική μορφή στήλης, παίρνουμε

Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην επίλυση του συστήματος

Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

που έχει άπειρο αριθμό λύσεων, μεταξύ των οποίων είναι βέβαιο ότι υπάρχει μία μη μηδενική, επομένως, τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Αφήνω μεγάλο – γραμμικός χώρος πάνω από το γήπεδο R . Αφήνω Α1, α2, …, αν (*) πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων από μεγάλο . Διάνυσμα ΣΕ = a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα (16) ονομάζεται Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ( *), ή λένε ότι είναι διάνυσμα ΣΕ εκφράζεται γραμμικά μέσω ενός συστήματος διανυσμάτων (*).

Ορισμός 14. Το σύστημα των διανυσμάτων (*) ονομάζεται Γραμμικά εξαρτώμενο , εάν και μόνο εάν υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο συντελεστών a1, a2, … , τέτοιο ώστε a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0. Αν a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, τότε καλείται το σύστημα (*). Γραμμικά ανεξάρτητο.

Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας.

10. Αν ένα σύστημα διανυσμάτων περιέχει μηδενικό διάνυσμα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Πράγματι, αν στο σύστημα (*) το διάνυσμα A1 = 0, Αυτό είναι 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Αν ένα σύστημα διανυσμάτων περιέχει δύο αναλογικά διανύσματα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Αφήνω Α'1 = μεγάλο×a2. Στη συνέχεια 1× Α'1 –l× Α2 + 0× Α3 + … + 0× ΕΝΑ Ν= 0.

30. Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων (*) για n ³ 2 εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων αυτού του συστήματος.

Þ Έστω το (*) γραμμικά εξαρτημένο. Τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο συντελεστών a1, a2, …, an, για τους οποίους a1× Α'1 + a2× Α2 + … + an× Ενα = 0 . Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι a1 ¹ 0. Τότε υπάρχει Α1 = ×a2× Α2 + … + ×an× ΕΝΑ Ν. Άρα, διάνυσμα Α'1 είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων.

Ü Έστω ένα από τα διανύσματα (*) γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτό είναι το πρώτο διάνυσμα, δηλ. Α1 = Β2 Α2+ … + δις ΕΝΑ N, Επομένως (–1)× Α'1 + β2 Α2+ … + δις ΕΝΑ Ν= 0 , δηλαδή το (*) εξαρτάται γραμμικά.

Σχόλιο. Χρησιμοποιώντας την τελευταία ιδιότητα, μπορούμε να ορίσουμε τη γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ενός άπειρου συστήματος διανυσμάτων.

Ορισμός 15. Διανυσματικό σύστημα Α1, α2, …, αν , … (**) λέγεται Γραμμικά εξαρτώμενο, Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι ένας γραμμικός συνδυασμός κάποιου πεπερασμένου αριθμού άλλων διανυσμάτων. Διαφορετικά, καλείται το σύστημα (**). Γραμμικά ανεξάρτητο.

40. Ένα πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνο εάν κανένα από τα διανύσματά του δεν μπορεί να εκφραστεί γραμμικά ως προς τα εναπομείναντα διανύσματά του.

50. Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

60. Εάν κάποιο υποσύστημα ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται επίσης γραμμικά.

Έστω δύο συστήματα διανυσμάτων Α1, α2, …, αν , … (16) και В1, В2, …, Вs,… (17). Εάν κάθε διάνυσμα του συστήματος (16) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ενός πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων του συστήματος (17), τότε το σύστημα (17) λέγεται ότι εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (16).

Ορισμός 16. Τα δύο διανυσματικά συστήματα ονομάζονται Ισοδύναμος , αν το καθένα από αυτά εκφράζεται γραμμικά μέσω του άλλου.

Θεώρημα 9 (βασικό θεώρημα γραμμικής εξάρτησης).

Ας είναι – δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων από μεγάλο . Αν το πρώτο σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γραμμικά εκφράζεται μέσω του δεύτερου, τότε Ν£ s.

Απόδειξη.Ας το προσποιηθούμε Ν> ΜΙΚΡΟ.Σύμφωνα με τις προϋποθέσεις του θεωρήματος

άρθρωση Δεδομένου ότι ο αριθμός των εξισώσεων περισσότερος αριθμόςάγνωστα, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Επομένως, έχει μη μηδενικό X10, x20, …, xN0. Για αυτές τις τιμές, η ισότητα (18) θα είναι αληθής, η οποία έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Άρα η υπόθεσή μας είναι λάθος. Ως εκ τούτου, Ν£ s.

Συνέπεια.Αν δύο ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων είναι πεπερασμένα και γραμμικά ανεξάρτητα, τότε περιέχουν τον ίδιο αριθμόφορείς.

Ορισμός 17. Το διανυσματικό σύστημα ονομάζεται Μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων Γραμμικός χώρος μεγάλο , εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά όταν προσθέτουμε σε αυτό οποιοδήποτε διάνυσμα από μεγάλο , που δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύστημα, γίνεται γραμμικά εξαρτώμενο.

Θεώρημα 10. Οποιαδήποτε δύο πεπερασμένα μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων από μεγάλο Περιέχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Απόδειξηπροκύπτει από το γεγονός ότι οποιαδήποτε δύο μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων είναι ισοδύναμα .

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων χώρου μεγάλο μπορεί να επεκταθεί σε ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων σε αυτόν τον χώρο.

Παραδείγματα:

1. Στο σύνολο όλων των συγγραμμικών γεωμετρικών διανυσμάτων, κάθε σύστημα που αποτελείται από ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο στο μέγιστο.

2. Στο σύνολο όλων των ομοεπίπεδων γεωμετρικών διανυσμάτων, οποιαδήποτε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα αποτελούν ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα.

3. Στο σύνολο όλων των πιθανών γεωμετρικών διανυσμάτων του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, οποιοδήποτε σύστημα τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων είναι κατά μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο.

4. Στο σύνολο όλων των πολυωνύμων, οι μοίρες δεν είναι μεγαλύτερες από ΝΜε πραγματικούς (σύνθετους) συντελεστές, σύστημα πολυωνύμων 1, x, x2, … , xnΕίναι γραμμικά ανεξάρτητο στο μέγιστο.

5. Στο σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς (σύνθετους) συντελεστές, παραδείγματα ενός μέγιστου γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος είναι

ΕΝΑ) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

σι) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)Ν,...

6. Σύνολο πινάκων διαστάσεων Μ´ Νείναι ένας γραμμικός χώρος (ελέγξτε αυτό). Ένα παράδειγμα ενός μέγιστου γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος σε αυτόν τον χώρο είναι το σύστημα μήτρας Ε11= , E12 =, …, EMn = .

Ας δοθεί ένα σύστημα διανυσμάτων C1, c2, …, βλ (*). Το υποσύστημα των διανυσμάτων από το (*) ονομάζεται Μέγιστη γραμμικά ανεξάρτητη ΥποσύστημαΣυστήματα ( *) , εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά όταν προσθέτουμε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα αυτού του συστήματος σε αυτό, γίνεται γραμμικά εξαρτημένο. Εάν το σύστημα (*) είναι πεπερασμένο, τότε οποιοδήποτε από τα μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα υποσυστήματα του περιέχει τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων. (Αποδείξτε το μόνοι σας). Ο αριθμός των διανυσμάτων στο μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος (*) ονομάζεται Τάξη Αυτό το σύστημα. Προφανώς, ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων έχουν τις ίδιες τάξεις.