Λύνουμε προβλήματα στη γεωμετρία: αναλογικά τμήματα. Trapeze στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους

Τραπεζοειδές στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Ένα βασικό επίπεδο του.

Προβλήματα από την ανοιχτή τράπεζα εργασιών FIPI.

Εργασία 1.Στο τραπέζιο ABCD είναι γνωστό ότι AB=CD,∠ BDA=54° και ∠ BDC=23°. Βρείτε τη γωνία ABD. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Λύση.Σε ένα δεδομένο τραπέζιο, γωνία Α DC στην κάτω βάση ισούται με το άθροισμα των γωνιών Α D V και V DC , ισούται με 54 + 23 = 77 μοίρες. Εφόσον το τραπέζιο είναι ισοσκελές, οι γωνίες στην κάτω βάση είναι ίσες και η γωνία ΒΑρε ισούται επίσης με 77 μοίρες. Άθροισμα γωνιών ΒΑΔ και ΑΒ Δ ίσο με 180 μοίρες (μονόπλευρη με παράλληλες ευθείες Αρε και BC και τομή ΑΒ). Αυτό σημαίνει ότι η γωνία ABC είναι 180 – 77 = 103 μοίρες.

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την ισότητα των γωνιών ΑΔ Β και Δ π.Χ. (σταυρωτά με παράλληλες ευθείες Α D και BC και τομή B D). Άρα γωνία AB D ίσο με 103 – 54 = 49 μοίρες.

Απάντηση 49.

Εργασία 2.Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 10 και 24, η πλευρά είναι 25. Βρείτε το ύψος του τραπεζοειδούς.

Λύση.Σε αυτό το τραπεζοειδές, η άνω βάση BC είναι 10, η κάτω είναι Αρε =24. Από τις κορυφές Β και Γ κατεβάζουμε τα ύψη στην κάτω βάση. Στο παραλληλόγραμμο που προκύπτει НВСК НК=ВС=10. Τρίγωνα ABN και K DC DC ), σημαίνει AH=K D =(24-10):2=7. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο ΑΒΝ, το τετράγωνο του σκέλους ΒΝ είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του τετραγώνου της υποτείνουσας ΑΒ και του τετραγώνου του σκέλους ΑΝ. Δηλαδή, VN 2 = 625 – 49 = 576. VN = 24.

Απάντηση 24.

Εργασία 3.Σε ισοσκελές τραπεζοειδές, μία από τις βάσεις
είναι 3 και το άλλο είναι 7. Το ύψος του τραπεζοειδούς είναι 4. Να βρείτε την εφαπτομένη της οξείας γωνίας του τραπεζοειδούς.

Λύση.Σε αυτό το τραπεζοειδές, η άνω βάση BC είναι 3, η κάτω είναι Αρε =7. Από τις κορυφές Β και Γ κατεβάζουμε τα ύψη στην κάτω βάση. Στο παραλληλόγραμμο που προκύπτει НВСК НК=ВС=3. Τρίγωνα ABN και K DC ίσα (είναι ορθογώνια, VN = SK, AB = DC), σημαίνει AN=K D =(7-3):2=2. Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας BAN στο ορθογώνιο τρίγωνο ABN είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς BH προς τη διπλανή πλευρά AN, δηλαδή 4:2 = 2.

Απάντηση 2.

Εργασία 4.Οι βάσεις του τραπεζοειδούς είναι ίσες με 8 και 16, η πλάγια πλευρά, ίση με 6, σχηματίζει γωνία 150° με μία από τις βάσεις του τραπεζοειδούς. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.

Λύση.Έστω στο τραπέζι του σχήματος τη βάση BC = 8,ΕΝΑ Δ =16, πλευρική πλευρά ΑΒ=6, και η γωνία ΑΒΓ είναι 150 μοίρες. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους. Οι λόγοι είναι γνωστοί. Ας βρούμε το ύψος του VN. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ, η γωνία ΑΒΗ είναι 150 – 90 = 60 μοίρες. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία VAN είναι 90 – 60 = 30 μοίρες. Και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το σκέλος απέναντι από τη γωνία των 30 μοιρών είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας. Άρα VN=3.

Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε την περιοχή του τραπεζοειδούς. Το μισό άθροισμα των βάσεων είναι (8+16):2=12. Το εμβαδόν είναι 12*3=36.

Απάντηση 36.

Εργασία 5.Σε ορθογώνιο τραπεζοειδέςαλφάβητορεμε λόγους ΉλιοςΚαι ΕΝΑρεγωνία ΣΕΕΝΑ Δευθεία, ΑΒ=3, Ήλιος=CD=5. Βρείτε τη μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.

Λύση.Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων Σε αυτό το τραπέζι, η άνω βάση BC είναι ίση με 5, η κάτω είναι Αρε άγνωστος. Από την κορυφή Γ κατεβάζουμε το ύψος στην κάτω βάση. Στο παραλληλόγραμμο που προκύπτει NVSK AN=BC=5, CH=AB=3. Τρίγωνο Η DC ορθογώνιος. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο του σκέλους Hρε ίση με τη διαφορά του τετραγώνου της υποτείνουσας DC και το τετράγωνο του ποδιού CH. Δηλαδή ο Ν D 2 = 65 –9 = 16. N D = 4. Άρα η κάτω βάση είναι Α D =AH+H D =5+4=9. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι (5+9):2=7.

Απάντηση 7.

Εργασία 6.Σε ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, οι βάσεις είναι 4 και 7, και μία από τις γωνίες είναι 135°. Βρείτε τη μικρότερη πλευρά.

Λύση.Ας χρησιμοποιήσουμε το σχέδιο για το προηγούμενο πρόβλημα D = 7. Γωνία BC D ίσο με 135 μοίρες. Από την κορυφή Γ κατεβάζουμε το ύψος στην κάτω βάση. Στη συνέχεια ο Νρε =7-4=3. Στο προκύπτον ορθογώνιο τρίγωνο ΗΓωνία DC HC D ίσο με 135-90=45 μοίρες. Αυτό σημαίνει τη γωνία H DC επίσης 45 μοίρες. Πόδια CH= N D = 3.

Απάντηση 3.

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

1. ∠ BDA=40° και ∠ BDC=30°. Βρείτε τη γωνία ABD. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
2. Στο τραπέζι Α Β Γ Δείναι γνωστό ότι ΑΒ=CD, ∠ BDA=45° και ∠ BDC=23°. Βρείτε τη γωνία ABD. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
3. Στο τραπέζιο ABCD είναι γνωστό ότι AB=CD,∠ BDA=49° και ∠ BDC=31°. Βρείτε τη γωνία ABD. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
4. Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 7 και 13, η πλευρά είναι 5. Βρείτε το ύψος του τραπεζοειδούς.
5. Οι βάσεις ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 11 και 21, η πλευρά είναι 13. Βρείτε το ύψος του τραπεζοειδούς.
6. Οι βάσεις του τραπεζοειδούς είναι ίσες με 10 και 20, η πλάγια πλευρά, ίση με 8, σχηματίζει γωνία 150° με μία από τις βάσεις του τραπεζοειδούς. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.
7. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο η μία από τις βάσεις είναι 5 και η άλλη 9. Το ύψος του τραπεζοειδούς είναι 6. Βρείτε την εφαπτομένη της οξείας γωνίας του τραπεζοειδούς.
8. Σε ορθογώνιο τραπεζοειδέςαλφάβητορεμε λόγους ΉλιοςΚαι ΕΝΑρεγωνία ΣΕΕΝΑ Δευθεία, ΑΒ=8, Ήλιος=CD=10. Βρείτε τη μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.
9. Σε ορθογώνιο τραπεζοειδέςαλφάβητο ρε με λόγους Ήλιος Και ΕΝΑ ρε γωνία ΣΕ ΕΝΑ Δ ευθεία, ΑΒ = 15 , Ήλιος = CD = 17 . Βρείτε τη μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.
10. Σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο, οι βάσεις είναι 3 και 5, και μία από τις γωνίες είναι 135°. Βρείτε τη μικρότερη πλευρά.

Θεώρημα 1 (Το θεώρημα του Θαλή). Οι παράλληλες γραμμές κόβουν αναλογικά τμήματα στις ευθείες που τις τέμνουν (Εικ. 1).

Ορισμός 1 . Δύο τρίγωνα (Εικ. 2) ονομάζονται όμοια αν οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες.

Θεώρημα 2 (πρώτο σημάδι ομοιότητας). Εάν η γωνία του πρώτου τριγώνου είναι ίση με τη γωνία του δεύτερου τριγώνου και οι πλευρές των τριγώνων που γειτνιάζουν με αυτές τις γωνίες είναι ανάλογες, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια (βλ. Εικ. 2).

Θεώρημα 3 (δεύτερο σημάδι ομοιότητας). Εάν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια (Εικ. 3).

Θεώρημα 4 (Θεώρημα Μενελάου). Εάν μια συγκεκριμένη ευθεία τέμνει τις πλευρές AB και BC του τριγώνου ABC στα σημεία X και Y, αντίστοιχα, και τη συνέχεια της πλευράς AC στο σημείο Z (Εικ. 4), τότε

Θεώρημα 5. Αφήστε τα υψόμετρα AA1 και CC1 να σχεδιαστούν σε ένα οξύ τρίγωνο ABC (Εικ. 5). Τότε τα τρίγωνα A1 BC1 και ABC είναι παρόμοια και ο συντελεστής ομοιότητας είναι ίσος με cos ∠B.

Λήμμα 1. Εάν οι πλευρές AC και DF των τριγώνων ABC και DEF βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες (Εικ. 6), τότε

Λήμμα 2. Αν δύο τρίγωνα έχουν κοινή πλευρά AC (Εικ. 7), τότε

Λήμμα 3. Αν τα τρίγωνα ABC και AB1 C1 έχουν κοινή γωνία Α, τότε

Λήμμα 4. Τα εμβαδά όμοιων τριγώνων συσχετίζονται ως το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας.

Αποδείξεις ορισμένων θεωρημάτων

Απόδειξη του Θεωρήματος 4 . Ας τραβήξουμε μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ έως το σημείο C μέχρι να τέμνει την ευθεία XZ στο σημείο Κ (Εικ. 9). Πρέπει να το αποδείξουμε

Θεωρήστε δύο ζεύγη όμοιων τριγώνων:

Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις ισότητες ανά όρο, παίρνουμε:

Q.E.D.

Απόδειξη του Θεωρήματος 5. Ας αποδείξουμε την ομοιότητα των τριγώνων A1 BC1 και ABC χρησιμοποιώντας το πρώτο κριτήριο ομοιότητας. Εφόσον αυτά τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή γωνία Β, αρκεί να το αποδείξουμε

Αλλά αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι από ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABA1, και από ένα ορθογώνιο τρίγωνο CBC1. Ταυτόχρονα, αποδείχθηκε και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος.

Λύσεις προβλημάτων

Πρόβλημα 1. Δεδομένου τραπεζοειδούς ABCD, είναι γνωστό ότι BC = ένακαι ΑΔ = β. Σχεδιάζεται μια ευθεία γραμμή παράλληλα με τις βάσεις της BC και AD, που τέμνει την πλευρά AB στο σημείο P, τη διαγώνιο AC στο σημείο L, τη διαγώνιο BD στο σημείο R και την πλευρά CD στο σημείο Q (Εικ. 10). Είναι γνωστό ότι PL = LR. Βρείτε το PQ.

Λύση. Ας αποδείξουμε πρώτα ότι PL = RQ. Θεωρήστε δύο ζεύγη όμοιων τριγώνων:

Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή έχουμε:

Ας συμβολίσουμε τώρα PL = LR = RQ = x και ας εξετάσουμε ξανά δύο ζεύγη όμοιων τριγώνων:

Επιπλέον έχουμε:

Που σημαίνει,
Απάντηση:

Πρόβλημα 2. Στο τρίγωνο ABC, η γωνία Α είναι 45° και η γωνία Γ είναι οξεία. Από το μέσο Β της πλευράς BC, μια κάθετη NM χαμηλώνει στην πλευρά AC (Εικ. 11). Τα εμβαδά των τριγώνων NMC και ABC είναι στην αναλογία 1:8 αντίστοιχα.

Λύση.Έστω BH το ύψος που έπεσε από την κορυφή Β στην πλευρά AC.
Εφόσον το NM είναι η μέση του τριγώνου BHC, τότε S∆BHC = 4S∆NMC.
Όμως, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, S∆ABC = 8S∆NMC.
Επομένως, S∆ABC = 2S∆BHC, άρα S∆ABH = S∆BHC. Άρα AH = HC,
από όπου ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Απάντηση: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.

Πρόβλημα 3. Δίνεται ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο η γωνία Β είναι 30°, AB = 4 και BC = 6. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την πλευρά AC στο σημείο D (Εικ. 12). Προσδιορίστε το εμβαδόν του τριγώνου ABD.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα στη διχοτόμο μιας εσωτερικής γωνίας στο τρίγωνο ABC:

Που σημαίνει,

Απάντηση:

Το άρθρο δημοσιεύτηκε με την υποστήριξη της εταιρείας World of Flowers. Χονδρική και λιανική αποθήκη ειδών γάμου και τελετουργίας, τεχνητών λουλουδιών στο Κρασνοντάρ. Αξεσουάρ γάμου - κεριά, πανό, ποτήρια, κορδέλες, προσκλητήρια και πολλά άλλα. Είδη τελετουργίας - υφάσματα, ρούχα, αξεσουάρ. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για την εταιρεία, να δείτε τον κατάλογο προϊόντων, τις τιμές και τις επαφές στον ιστότοπο, ο οποίος βρίσκεται στη διεύθυνση: flowersworld.su.

Πρόβλημα 4. Μέσω του μέσου M της πλευράς BC του παραλληλογράμμου ABCD, του οποίου το εμβαδόν είναι 1, και της κορυφής A, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή που τέμνει τη διαγώνιο BD στο σημείο O (Εικ. 13). Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου OMCD.
Λύση. Θα αναζητήσουμε το εμβαδόν του τετράπλευρου OMCD ως τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων BCD και BOM. Το εμβαδόν του τριγώνου BCD είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου ABCD και ισούται με την Εύρεση του εμβαδού του τριγώνου BOM. Εχουμε:

∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒
Περαιτέρω:

Που σημαίνει,

Απάντηση:

Πρόβλημα 5. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο MNC εγγράφεται σε ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ABC με ορθή γωνία στην κορυφή Β έτσι ώστε η γωνία MNC να είναι ορθή, το σημείο N να βρίσκεται στο AC και το σημείο M στην πλευρά AB (Εικ. 14). Σε ποια αναλογία το σημείο N πρέπει να διαιρεί την υποτείνουσα AC έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου MNC να είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ABC;

Λύση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ΑΒ = 1. Ας συμβολίσουμε ΑΜ = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,

Εχουμε:

Απάντηση:

Πρόβλημα 6. Στο τραπεζοειδές ABCD, η διαγώνιος AC είναι κάθετη στην πλευρά CD και η διαγώνιος DB είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ. Οι προεκτάσεις των πλευρικών πλευρών AB και DC τέμνονται στο σημείο Κ, σχηματίζοντας ένα τρίγωνο AKD με γωνία 45° στην κορυφή Κ (Εικ. 15). Το εμβαδόν του τραπεζοειδούς ABCD είναι ίσο με το S. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AKD.

Λύση. Σύμφωνα με το Θεώρημα 5, το τρίγωνο BKC είναι παρόμοιο με το τρίγωνο AKD με συντελεστή ομοιότητας Επομένως, οι περιοχές αυτών των τριγώνων είναι σε αναλογία 1:2, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του τραπεζοειδούς ABCD είναι ίση με την περιοχή του τριγώνου BKC. Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου AKD είναι 2S.
Απάντηση: 2S.

Πρόβλημα 7. Στο τρίγωνο ABC, το σημείο K λαμβάνεται στην πλευρά AB έτσι ώστε AK: KB = 1: 2, και το σημείο L λαμβάνεται στην πλευρά BC έτσι ώστε CL: LB = 2: 1. Έστω Q το σημείο τομής των ευθειών AL και CK (Εικ. 16). Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC, γνωρίζοντας ότι το εμβαδόν του τριγώνου BQC είναι 1.

Λύση. Έστω AK = x, BL = y. Τότε KB = 2x,
LC = 2y, άρα AB = 3x και BC = 3y. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο ABL και στην τέμνουσα KQ:

Πρόβλημα 8. Από το σημείο Μ, το οποίο βρίσκεται μέσα στο οξύ τρίγωνο ΑΒΓ, σύρονται κάθετοι στις πλευρές (Εικ. 17). Τα μήκη των πλευρών και των καθέτων που πέφτουν πάνω τους είναι αντίστοιχα ίσα ένακαι k, b και m, c και n. Υπολογίστε τον λόγο του εμβαδού του τριγώνου ABC προς το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι κορυφές είναι οι βάσεις των καθέτων.

Λύση. Ας εισαγάγουμε την τυπική σημειογραφία, δηλαδή συμβολίζουμε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC: BC = ένα, CA = b, AB = c; τιμές γωνίας: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Οι βάσεις των καθέτων που έπεσαν από το σημείο M στις πλευρές BC, CA και AB θα συμβολίζονται με D, E και F, αντίστοιχα, Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, MD = k, ME = m, MF = n. Είναι προφανές ότι η γωνία EMF είναι ίση με π – α, η γωνία DMF είναι ίση με π – β, η γωνία DME είναι ίση με π – γ και το σημείο Μ βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο DEF. Το εμβαδόν του τριγώνου DEF είναι:

Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι:

Ας βρούμε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων DEF και ABC:

Ως εκ τούτου,

Απάντηση:

Πρόβλημα 9. Τα σημεία P και Q βρίσκονται στην πλευρά BC του τριγώνου ABC έτσι ώστε BP: PQ: QC = 1: 2: 3.
Το σημείο R διαιρεί την πλευρά AC αυτού του τριγώνου με τέτοιο τρόπο ώστε AR: RC = 1: 2 (Εικ. 18). Ποια είναι η αναλογία του εμβαδού του τετράπλευρου PQST προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC, όπου S και T είναι τα σημεία τομής της ευθείας BR με τις ευθείες AQ και AP, αντίστοιχα;

Λύση. Ας συμβολίσουμε BP = x, AR = y; Επειτα
PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Ας υπολογίσουμε ποιο μέρος είναι το εμβαδόν του τετράπλευρου PQST από την περιοχή του τριγώνου APQ και επομένως από την περιοχή του τριγώνου ABC. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε σχέσεις στις οποίες τα σημεία S και T διαιρούν τις ευθείες AQ και AP, αντίστοιχα. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο ACQ και στη διατομή SR:

Ομοίως, εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο ACP και στη διατομή TR, λαμβάνουμε:

Περαιτέρω:

Από την άλλη, εφαρμόζοντας το λήμμα εμβαδού στα τρίγωνα APQ και ABC, διαπιστώνουμε ότι

Απάντηση:

Πρόβλημα 10. Στο τρίγωνο ABC, το μήκος του υψομέτρου BD είναι 6, το μήκος της μέσης CE είναι 5, η απόσταση από το σημείο τομής του BD με το CE στην πλευρά AC είναι 1 (Εικ. 19). Βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΒ.

Λύση. Έστω το σημείο Ο το σημείο τομής των ευθειών BD και CE. Η απόσταση από το σημείο O στην πλευρά AC (ίση με ένα) είναι το μήκος του τμήματος OD. Άρα, ΟΔ = 1 και ΟΒ = 5. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο ΑΒΔ και στην τέμνουσα ΟΕ:

Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο ACE και στην τέμνουσα ΟΔ, παίρνουμε ότι

από όπου OE = 2CO, και λαμβάνοντας υπόψη OE + CO = CE = 5
βρίσκουμε ότι εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο CDO:

Που σημαίνει, Τέλος, θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο ABD, θα χρησιμοποιήσουμε επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό:

Απάντηση:

Πρόβλημα 11. Στο τμήμα AB υπάρχουν σημεία C και D, και το σημείο C βρίσκεται μεταξύ των σημείων A και D. Το σημείο M λαμβάνεται έτσι ώστε οι ευθείες AM και MD να είναι κάθετες και οι ευθείες CM και MB να είναι επίσης κάθετες (Εικ. 20) . Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AMB αν είναι γνωστό ότι η γωνία CMD είναι ίση με α και τα εμβαδά των τριγώνων AMD και CMB είναι ίσα με S1 και S2, αντίστοιχα.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε τα εμβαδά των τριγώνων AMB και CMD, αντίστοιχα, με
x και y (x > y). Σημειώστε ότι x + y = S1 + S2. Ας δείξουμε τώρα ότι xy = S 1 S 2 sin 2 α. Πραγματικά,

Επίσης,

Αφού ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, και αμαρτία ∠AMB =
= αμαρτία α. Που σημαίνει:

Άρα οι αριθμοί x και y είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Η μεγαλύτερη ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι:

Απάντηση:

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

S-1.Σε ένα τρίγωνο ABC, το εμβαδόν του οποίου είναι S, σχεδιάζονται η διχοτόμος CE και η διάμεσος BD, που τέμνονται στο σημείο O. Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ADOE, γνωρίζοντας ότι BC = ένα, AC = β.
S-2. Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC έτσι ώστε δύο από τις κορυφές του να βρίσκονται στη βάση BC και οι άλλες δύο στις πλευρικές πλευρές του τριγώνου. Η πλευρά ενός τετραγώνου σχετίζεται με την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο, όπως
8: 5. Βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.
S-3. Στο παραλληλόγραμμο ABCD με πλευρές AD = 5 και AB = 4, σχεδιάζεται ένα τμήμα EF που συνδέει το σημείο Ε της πλευράς BC με το σημείο F της πλευράς CD. Τα σημεία Ε και ΣΤ επιλέγονται έτσι ώστε
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Είναι γνωστό ότι το σημείο M τομής της διαγώνιας AC με το τμήμα FE ικανοποιεί τη συνθήκη MF: ME = 1: 4. Να βρείτε τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου .
S-4.Το εμβαδόν του τραπεζοειδούς ABCD είναι 6. Έστω Ε το σημείο τομής των επεκτάσεων των πλευρικών πλευρών αυτού του τραπεζοειδούς. Τραβιέται μια ευθεία γραμμή μέσω του σημείου Ε και του σημείου τομής των διαγωνίων του τραπεζοειδούς, που τέμνει τη μικρότερη βάση BC στο σημείο P, τη μεγαλύτερη βάση AD στο σημείο Q. Το σημείο F βρίσκεται στο τμήμα EC και EF: FC = EP: EQ = 1: 3.
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου EPF.
S-5.Σε ένα οξύ τρίγωνο ABC (όπου AB > BC) σχεδιάζονται τα ύψη AM και CN, το σημείο O είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ABC. Είναι γνωστό ότι η γωνία ABC είναι β και το εμβαδόν του τετράπλευρου NOMB είναι S. Βρείτε το μήκος της πλευράς AC.
S-6. Στο τρίγωνο ABC, το σημείο K στην πλευρά AB και το σημείο M στην πλευρά AC βρίσκονται έτσι ώστε οι σχέσεις AK: KB = 3: 2 και AM: MC = 4: 5 να ικανοποιούνται με ποιο λόγο το σημείο τομής των ευθειών KC και BM διαιρέστε το τμήμα BM;
S-7. Μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC (η γωνία Β είναι ορθή γωνία), λαμβάνεται το σημείο D έτσι ώστε τα εμβαδά των τριγώνων ABD και BDC να είναι αντίστοιχα τρεις και τέσσερις φορές μικρότερα από το εμβαδόν του τριγώνου ABC. Τα μήκη των τμημάτων AD και DC είναι ίσα με a και c, αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του τμήματος BD.
S-8. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD, ένα σημείο Ε λαμβάνεται στην πλευρά CD έτσι ώστε το τμήμα ΑΕ να διαιρεί το τετράπλευρο ABCD σε ρόμβο και ισοσκελές τρίγωνο, ο λόγος των εμβαδών τους είναι Βρείτε την τιμή της γωνίας BAD.
S-9. Το ύψος του τραπεζοειδούς ABCD είναι 7, και τα μήκη των βάσεων AD και BC είναι 8 και 6, αντίστοιχα. Μια ευθεία γραμμή BE σύρεται μέσω του σημείου E στην πλευρά CD, η οποία διαιρεί τη διαγώνιο AC στο σημείο O. ο λόγος AO: OC = 3: 2. Βρείτε το εμβαδόν τρίγωνο OEC.
S-10. Τα σημεία K, L, M διαιρούν τις πλευρές ενός κυρτού τετράπλευρου ABCD με το λόγο AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Είναι γνωστό ότι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο KLM είναι ίση με KL = 4, LM = 3 και KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Οι προεκτάσεις των πλευρών AD και BC ενός κυρτού τετράπλευρου ABCD τέμνονται στο σημείο M και οι προεκτάσεις των πλευρών AB και CD τέμνονται στο σημείο O. Το τμήμα MO είναι κάθετο στη διχοτόμο της γωνίας AOD. Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων AOD και BOC αν OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. Στο τρίγωνο ABC, η γωνία στην κορυφή Α είναι 30° και τα ύψη BD και CE τέμνονται στο σημείο O. Βρείτε τον λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων DEO και ABC.
S-13. Τα τμήματα που συνδέουν τις βάσεις των υψομέτρων ενός οξέος τριγώνου είναι ίσα με 5, 12 και 13. Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
S-14. Σε ένα οξύ τρίγωνο ABC, το σημείο M λαμβάνεται στο υψόμετρο AD και το σημείο N λαμβάνεται στο υψόμετρο BP έτσι ώστε οι γωνίες BMC και ANC να είναι ορθές. Η απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Ν είναι ίση με και ∠MCN = 30°.
Βρείτε τη διχοτόμο CL του τριγώνου CMN.
S-15. Τα σημεία D, E και F λαμβάνονται στις πλευρές AB, BC και AC του τριγώνου ABC, αντίστοιχα. Τα τμήματα AE και DF διέρχονται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ABC και οι ευθείες DF και BC είναι παράλληλες. Να βρείτε το μήκος του τμήματος BE και την περίμετρο του τριγώνου ABC αν BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. Στο τρίγωνο ABC, η διχοτόμος ΒΒ" τέμνει τη διάμεσο ΑΑ" στο σημείο Ο.
Βρείτε τον λόγο του εμβαδού του τριγώνου BOA" προς το εμβαδόν του τριγώνου AOB" εάν AB: AC = 1: 4.
S-17. Στο τρίγωνο ABC, το σημείο D βρίσκεται στο AC, με AD = 2DC. Το σημείο Ε βρίσκεται στο π.Χ. Το εμβαδόν του τριγώνου ABD είναι 3, το εμβαδόν του τριγώνου AED είναι 1. Τα τμήματα AE και BD τέμνονται στο σημείο O. Βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων ABO και OED.
S-18. Στο παραλληλόγραμμο ABCD, τα σημεία E και F βρίσκονται στις πλευρές AB και BC, αντίστοιχα, το M είναι το σημείο τομής των ευθειών AF και DE, με AE = 2BE και BF = 3CF. Βρείτε την αναλογία AM:MF.
S-19. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στα πλάγια
Τα σημεία AB και AD E και F επιλέγονται αντίστοιχα έτσι ώστε AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Βρείτε EO: OD, όπου O είναι το σημείο τομής των τμημάτων DE και CF.
S-20. Το σημείο N λαμβάνεται στην πλευρά PQ του τριγώνου PQR και το σημείο L λαμβάνεται στην πλευρά PR, και
NQ = LR. Το σημείο τομής των τμημάτων QL και NR διαιρεί το τμήμα QL με την αναλογία m: n, μετρώντας από το σημείο Q. Βρείτε την αναλογία PN: PR.
S-21. Στις πλευρές μιας οξείας γωνίας με κορυφή Ο, λαμβάνονται τα σημεία Α και Β Στην ακτίνα ΟΒ, το σημείο Μ λαμβάνεται σε απόσταση 3ΟΑ από την ευθεία γραμμή ΟΑ και στην ακτίνα ΟΑ, το σημείο Ν λαμβάνεται σε απόσταση 3ΟΒ. από την ευθεία ΟΒ. Η ακτίνα του περικυκλίου του τριγώνου ΑΟΒ είναι 3. Βρείτε MN.
S-22. Σε ένα κυρτό πεντάγωνο ABCDE, οι διαγώνιοι BE και CE είναι οι διχοτόμοι των γωνιών στις κορυφές B και C αντίστοιχα, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου ABCDE.
S-23. Στις βάσεις AD και BC του τραπεζοειδούς ABCD κατασκευάζονται τετράγωνα ADEF και BCGH που βρίσκονται έξω από το τραπέζι. Οι διαγώνιοι του τραπεζοειδούς τέμνονται στο σημείο Ο. Βρείτε το μήκος του τμήματος AD εάν BC = 2, GO = 7 και GF = 18.
S-24. Στο τρίγωνο ABC γνωρίζουμε ότι AB = BC και η γωνία BAC είναι 45°. Η ευθεία MN τέμνει την πλευρά AC στο σημείο M και την πλευρά BC στο σημείο N, με AM = 2MC και ∠NMC = 60°. Βρείτε τον λόγο του εμβαδού του τριγώνου MNC προς το εμβαδόν του τετράπλευρου ABNM.
S-25. Στο τρίγωνο ABC, το σημείο N λαμβάνεται στην πλευρά AB και το σημείο M είναι στην πλευρά AC. Τα τμήματα CN και BM τέμνονται στο σημείο O, AN: NB = 2: 3,
BO:OM = 5:2 Βρείτε CO:ON.

Πηγή εργασίας: Απόφαση 5346.-13. OGE 2016 Μαθηματικά, I.V. Γιασχένκο. 36 επιλογές.

Εργασία 11.Στο τραπεζοειδές ABCD γνωρίζουμε ότι AB = CD, γωνία BDA = 54° και γωνία BDC = 33°. Βρείτε τη γωνία ABD. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Λύση.

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με πλευρές ΑΒ=ΓΔ. Εφόσον οι γωνίες στις βάσεις ενός τέτοιου τραπεζοειδούς είναι ίσες, έχουμε ότι και . Ας βρούμε το μέγεθος των γωνιών Α και Δ. Από το σχήμα φαίνεται ότι η γωνία Δ (και επομένως η γωνία Α) ισούται με:

Ας εξετάσουμε τώρα το τρίγωνο ABD, στο οποίο είναι γνωστές οι γωνίες A και BDA, και δεδομένου ότι το άθροισμα όλων των γωνιών στο τρίγωνο είναι 180 μοίρες, βρίσκουμε την τρίτη γωνία ABD:

Απάντηση: 39.

Εργασία 12.Σε καρό χαρτί με τετράγωνο μέγεθος 1x1 σημειώνονται τρία σημεία: Α, Β και Γ. Βρείτε την απόσταση από το σημείο Α έως την ευθεία BC.

Λύση.

Η απόσταση από το σημείο Α στη γραμμή BC είναι η κανονική πτώση από το σημείο Α στην πλευρά BC (κόκκινη γραμμή στο σχήμα). Το μήκος αυτού του κανονικού είναι 3 κύτταρα, δηλαδή 3 μονάδες.

Απάντηση: 3.

Εργασία 13.Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

1) Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το γινόμενο των δύο πλευρών του.

2) Μια γωνία εγγεγραμμένη σε κύκλο είναι ίση με την αντίστοιχη κεντρική γωνία που βασίζεται στο ίδιο τόξο.

3) Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε αυτήν την ευθεία.

Λύση.

1) Σωστό. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους και του μισού της βάσης του τριγώνου και όλες αυτές οι ποσότητες είναι μικρότερες από τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών του.