Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάστηκε λεπτομερώς μια από τις πιο κοινές μεθόδους προσέγγισης συναρτήσεων, η παρεμβολή. Αλλά αυτός ο τρόπος δεν είναι ο μόνος. Κατά την επίλυση διαφόρων εφαρμοζόμενων προβλημάτων και την κατασκευή υπολογιστικών κυκλωμάτων, χρησιμοποιούνται συχνά άλλες μέθοδοι. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξετάσουμε τρόπους απόκτησης προσεγγίσεων ρίζας μέσου τετραγώνου. Το όνομα των προσεγγίσεων σχετίζεται με μετρικούς χώρους στους οποίους εξετάζεται το πρόβλημα της προσέγγισης μιας συνάρτησης. Στο Κεφάλαιο 1, εισαγάγαμε τις έννοιες του «μετρικού γραμμικού κανονικού χώρου» και του «μετρικού ευκλείδειου χώρου» και είδαμε ότι το σφάλμα προσέγγισης καθορίζεται από τη μετρική του χώρου στον οποίο εξετάζεται το πρόβλημα προσέγγισης. Σε διαφορετικούς χώρους, η έννοια του λάθους έχει διαφορετική σημασία. Λαμβάνοντας υπόψη το σφάλμα παρεμβολής, δεν επικεντρωθήκαμε σε αυτό. Και σε αυτό το κεφάλαιο θα πρέπει να ασχοληθούμε με αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες.

5.1. Προσεγγίσεις με τριγωνομετρικά πολυώνυμα και πολυώνυμα Legendre Space l2

Εξετάστε το σύνολο των συναρτήσεων που μπορούν να ολοκληρωθούν με τετράγωνο Lebesgue στο τμήμα
, δηλαδή τέτοια που πρέπει να υπάρχει το ολοκλήρωμα
.

Εφόσον ισχύει η προφανής ανισότητα, από το τετράγωνο ολοκλήρωση των συναρτήσεων
Και
πρέπει επίσης να ακολουθεί την τετραγωνική ολοκλήρωση οποιουδήποτε από τους γραμμικούς συνδυασμούς τους
, (Οπου
Και
 τυχόν πραγματικούς αριθμούς), καθώς και την ενσωμάτωση του προϊόντος
.

Ας εισαγάγουμε το σύνολο των συναρτήσεων που μπορούν να ενσωματωθούν στο τετράγωνο Lebesgue στο διάστημα
, τη λειτουργία του προϊόντος με τελείες

. (5.1.1)

Από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος προκύπτει ότι η εισαγόμενη πράξη βαθμωτών γινομένων έχει σχεδόν όλες τις ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος στον Ευκλείδειο χώρο (βλ. παράγραφο 1.10, σελ. 57):

Μόνο η πρώτη ιδιότητα δεν εκτελείται πλήρως, δηλαδή δεν θα εκπληρωθεί η προϋπόθεση.

Πράγματι, αν
, τότε δεν προκύπτει ότι
στο τμήμα
. Προκειμένου η εισαγόμενη πράξη να έχει αυτήν την ιδιότητα, στα ακόλουθα συμφωνούμε να μην διακρίνουμε (θεωρούμε ισοδύναμες) τις συναρτήσεις
Και
, για το οποίο

.

Λαμβάνοντας υπόψη την τελευταία παρατήρηση, είδαμε ότι το σύνολο των ολοκληρωμένων συναρτήσεων του τετραγώνου Lebesgue (ακριβέστερα, το σύνολο των κλάσεων ισοδύναμων συναρτήσεων) σχηματίζει έναν Ευκλείδειο χώρο στον οποίο η λειτουργία βαθμωτών γινομένων ορίζεται από τον τύπο (5.1.1). Ο χώρος αυτός ονομάζεται χώρος Lebesgue και συμβολίζεται
ή μικρότερη .

Δεδομένου ότι κάθε Ευκλείδειος χώρος είναι αυτόματα και κανονικός και μετρικός, ο χώρος
είναι επίσης ένας τυπικός και μετρικός χώρος. Ο κανόνας (μέγεθος στοιχείου) και η μετρική (απόσταση μεταξύ των στοιχείων) συνήθως εισάγονται σε αυτό με τυπικό τρόπο:

(5.1.2)

(5.1.3)

Οι ιδιότητες (αξιώματα) του κανόνα και της μετρικής δίνονται στην Ενότητα 1.10. Διαστημικά στοιχεία
δεν είναι συναρτήσεις, αλλά κατηγορίες ισοδύναμων συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις που ανήκουν στην ίδια κλάση μπορούν να έχουν διαφορετικές τιμές σε οποιοδήποτε πεπερασμένο ή ακόμα και μετρήσιμο υποσύνολο
. Επομένως, προσεγγίσεις στο χώρο
ορίζονται διφορούμενα. Αυτό το δυσάρεστο χαρακτηριστικό του χώρου
αποπληρωθεί από την ευκολία χρήσης του κλιμακωτού προϊόντος.

Ας πάρουμε ένα ημι-τετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων. Αυτό είναι ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο η κλίμακα είναι τετραγωνική κατά μήκος της τετμημένης, δηλαδή οι τιμές διαίρεσης σχεδιάζονται σύμφωνα με την έκφραση, εδώ Μ-κλίμακα σε κάποια μονάδα μήκους, για παράδειγμα, σε cm.

Μια γραμμική κλίμακα σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα y σύμφωνα με την έκφραση

Σχεδιάζουμε πειραματικά σημεία σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων. Εάν τα σημεία αυτού του γραφήματος βρίσκονται περίπου σε ευθεία γραμμή, τότε αυτό επιβεβαιώνει την υπόθεση μας ότι η εξάρτηση yαπό Χεκφράζεται καλά με μια συνάρτηση της μορφής (4.4). Για να βρείτε τους συντελεστές έναΚαι σιμπορείτε τώρα να εφαρμόσετε μία από τις μεθόδους που συζητήθηκαν παραπάνω: τη μέθοδο τεντωμένου νήματος, τη μέθοδο επιλεγμένων σημείων ή τη μέθοδο μέσου όρου.

Μέθοδος σφιχτού νήματοςισχύει με τον ίδιο τρόπο όπως για μια γραμμική συνάρτηση.

Μέθοδος επιλεγμένων σημείωνμπορούμε να κάνουμε αίτηση έτσι. Σε ένα ευθύγραμμο γράφημα, πάρτε δύο σημεία (μακριά το ένα από το άλλο). Δηλώνουμε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων και ( x, y). Τότε μπορούμε να γράψουμε

Από το ανηγμένο σύστημα δύο εξισώσεων, βρίσκουμε έναΚαι σικαι αντικαταστήστε τα με τον τύπο (4.4) και λάβετε την τελική μορφή του εμπειρικού τύπου.

Δεν μπορείτε να δημιουργήσετε ένα γράφημα ευθείας γραμμής, αλλά να πάρετε τους αριθμούς, ( x,y) απευθείας από το τραπέζι. Ωστόσο, ο τύπος που προκύπτει με αυτήν την επιλογή σημείων θα είναι λιγότερο ακριβής.

Η διαδικασία μετατροπής ενός καμπυλωμένου γραφήματος σε ευθεία ονομάζεται ισοπέδωση.

Μέση μέθοδος. Εφαρμόζεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση της γραμμικής εξάρτησης. Χωρίζουμε τα πειραματικά σημεία σε δύο ομάδες με τον ίδιο (ή σχεδόν ίδιο) αριθμό πόντων σε κάθε ομάδα. Η ισότητα (4.4) μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Βρίσκουμε το άθροισμα των υπολειμμάτων για τους βαθμούς της πρώτης ομάδας και ισοδυναμούμε με μηδέν. Το ίδιο κάνουμε και για τους βαθμούς του δεύτερου γκρουπ. Παίρνουμε δύο εξισώσεις με αγνώστους έναΚαι σι. Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων, βρίσκουμε έναΚαι σι.

Σημειώστε ότι κατά την εφαρμογή αυτής της μεθόδου, δεν απαιτείται να δημιουργηθεί μια κατά προσέγγιση ευθεία γραμμή. Ένα διάγραμμα διασποράς σε ένα ημι-τετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων χρειάζεται μόνο για να ελεγχθεί ότι μια συνάρτηση της μορφής (4.4) είναι κατάλληλη για έναν εμπειρικό τύπο.

Παράδειγμα. Κατά τη μελέτη της επίδρασης της θερμοκρασίας στην πορεία του χρονομέτρου, προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Σε αυτή την περίπτωση, δεν μας ενδιαφέρει η ίδια η θερμοκρασία, αλλά η απόκλισή της από το . Ως εκ τούτου, παίρνουμε ως επιχείρημα , όπου t- θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου της συνήθους κλίμακας.

Έχοντας σχεδιάσει τα αντίστοιχα σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, παρατηρούμε ότι μια παραβολή με άξονα παράλληλο προς τον άξονα y μπορεί να ληφθεί ως προσεγγιστική καμπύλη (Εικ. 4). Ας πάρουμε ένα ημι-τετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων και ας σχεδιάσουμε πειραματικά σημεία πάνω του. Βλέπουμε ότι αυτά τα σημεία ταιριάζουν αρκετά σε μια ευθεία γραμμή. Ο εμπειρικός τύπος λοιπόν

μπορεί να αναζητηθεί στη φόρμα (4.4).

Ας ορίσουμε τους συντελεστές έναΚαι σιμε τη μέση μέθοδο. Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε τα πειραματικά σημεία σε δύο ομάδες: στην πρώτη ομάδα - τα πρώτα τρία σημεία, στη δεύτερη - τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία. Χρησιμοποιώντας την ισότητα (4.5) βρίσκουμε το άθροισμα των υπολειμμάτων για κάθε ομάδα και εξισώνουμε κάθε άθροισμα με μηδέν.

Έστω ο πίνακας να περιέχει τις τιμές της συνάρτησης που λήφθηκε, για παράδειγμα, από το πείραμα, δηλ. μετρήθηκε με σφάλμα. Στη συνέχεια η προσέγγιση χρησιμοποιώντας συσκευή παρεμβολής , το οποίο βασίζεται στην εξίσωση των τιμών του πολυωνύμου στους κόμβους παρεμβολής με τις τιμές του πίνακα, μη πρακτικός.

Με αυτή τη διατύπωση του προβλήματος, θα πρέπει να γίνει μια προσέγγιση κατά μέσο όρο, δηλ. να περιγραφεί σε πίνακα δεδομένη λειτουργίακάποια αρκετά απλή αναλυτική εξάρτηση με μικρό αριθμό παραμέτρων. Η βέλτιστη επιλογή αυτών των παραμέτρων θα μας επιτρέψει να εκτελέσουμε την προσέγγιση ριζικού μέσου τετραγώνου της συνάρτησης που δίνεται από τον πίνακα.

Επιλογή του τύπου της αναλυτικής εξάρτησηςπρέπει να ξεκινήσει τοποθετώντας τα δεδομένα σε πίνακα επίπεδο συντεταγμένων- έτσι θα διαμορφωθεί το πεδίο των πειραματικών σημείων. Μια ομαλή καμπύλη σχεδιάζεται μέσα από το πεδίο αυτών των σημείων, έτσι ώστε μερικά από τα σημεία να βρίσκονται σε αυτήν την καμπύλη, μερικά από τα σημεία να είναι υψηλότερα και μερικά από τα σημεία να είναι χαμηλότερα από την σχεδιασμένη καμπύλη. Με τη μορφή αυτής της καμπύλης, θα πρέπει να προσδιοριστεί ο τύπος της αναλυτικής εξάρτησης - είτε είναι γραμμική, εκθετική, υπερβολική ή οποιαδήποτε άλλη.

Ωστόσο, σύμφωνα με το γράφημα, είναι πολύ δύσκολο να επιλέξετε το είδος της αναλυτικής εξάρτησης με το μάτι. Ως εκ τούτου προτάθηκε μέθοδος χονδρικής εκτίμησης και επιλογής του είδους της αναλυτικής εξάρτησης. Αυτή η μέθοδος είναι πραγματικά προσεγγιστική και ανακριβής, αφού η καμπύλη μπορεί να σχεδιαστεί με διαφορετικούς τρόπους μέσω του πεδίου των πειραματικών σημείων, και διαφορετικά σημεία αναφοράς μπορούν να ληφθούν στον πίνακα για υπολογισμό και η ακρίβεια της προτεινόμενης τεχνικής είναι άγνωστη. Ταυτόχρονα, μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κατά προσέγγιση τρόπος επιλογής του είδους της εξάρτησης.

Προτείνεται ο ακόλουθος αλγόριθμος ενεργειών.

1. Στον πίνακα πηγής, επιλέξτε δύο σημεία μακριά το ένα από το άλλο με συντεταγμένες (x 1, y 1) και (x n, y n) - σημεία αναφοράς και για κάθε ζεύγος συντεταγμένων υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο, ​​τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο.

2. Στην καμπύλη που χαράσσεται μέσα από το πεδίο των πειραματικών σημείων, βρείτε τρεις τεταγμένες που αντιστοιχούν στις τετμημένες που βρέθηκαν x ar, x geom, x harmm:

3. Πραγματοποιήστε μια σύγκριση που βρέθηκε στην καμπύλη με το υπολογισμένο υπολογίζοντας τις παρακάτω ενότητες διαφορών:

4. Από τις τιμές που βρέθηκαν επιλέγεται το ελάχιστο:

5. Συμπεράσματα:αν αποδεικνυόταν ελάχιστο

Γραμμική εξάρτηση

Η εξάρτηση είναι ενδεικτική

Εξάρτηση κλασματική-γραμμική

Η εξάρτηση είναι λογαριθμική

Εξάρτηση από την εξουσία

Η εξάρτηση είναι υπερβολική

Κλασματική-ορθολογική εξάρτηση

Οποιαδήποτε από αυτές τις εξαρτήσεις μπορεί να μειωθεί σε γραμμική εκτελώντας έναν μετασχηματισμό συντεταγμένων ή το λεγόμενο ευθυγράμμιση δεδομένων.
Έτσι, το πρώτο στάδιο τελειώνει με την επιλογή του τύπου αναλυτικής εξάρτησης, οι παράμετροι του οποίου δεν έχουν καθοριστεί.

Δεύτερη φάσησυνίσταται στον προσδιορισμό των καλύτερων τιμών των συντελεστών της επιλεγμένης αναλυτικής εξάρτησης. Για αυτό, μαθηματικά μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου.

Η μέθοδος βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων των δεδομένων πινακικών τιμών () από αυτές που υπολογίζονται σύμφωνα με τη θεωρητική εξάρτηση (): .

Ας είναι η επιλεγμένη εξάρτηση ευθεία: . Υποκατάστατο στο λειτουργικό: . Στη συνέχεια η λειτουργικότητα ελαχιστοποιείται:

Για να βρεθούν οι καλύτερες τιμές των συντελεστών και είναι απαραίτητο να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι σε σχέση με και και να εξισωθούν με το μηδέν:

Μετά τους μετασχηματισμούς, το σύστημα εξισώσεων παίρνει τη μορφή:

Λύση αυτού του συστήματος γραμμικές εξισώσειςσας επιτρέπει να βρείτε τις καλύτερες τιμές των συντελεστών και γραμμική εξάρτηση.

Εάν η επιλεγμένη εξάρτηση είναι τετραγωνική παραβολή:

τότε η λειτουργικότητα ελαχιστοποιείται: .

Η παραβολή έχει τρεις μεταβλητούς συντελεστές - , οι καλύτερες τιμές των οποίων πρέπει να βρεθούν εξισώνοντας με το μηδέν τις μερικές παραγώγους της ελαχιστοποιημένης συνάρτησης σε σχέση με τους επιθυμητούς συντελεστές. Αυτό μας επιτρέπει να αποκτήσουμε το ακόλουθο σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων για την εύρεση των συντελεστών:

Παράδειγμα 1Προσδιορίστε το είδος της εξάρτησης που δίνεται από τον παρακάτω πίνακα.

Χ
Υ	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Λύση.

Τα σημεία που καθορίζονται στον πίνακα πρέπει να εφαρμόζονται στο επίπεδο συντεταγμένων - α πεδίο πειραματικών δεδομένων. Μέσα από αυτό το πεδίο ομαλή καμπύλη.

Επιλέγονται σύμφωνα με τον πίνακα δύο σημεία αγκύρωσης με συντεταγμένες (3, 0,55) και (10, 1,11) και για κάθε ζεύγος τετμημένων και τεταγμένων υπολογίζεται ο αριθμητικός, ο γεωμετρικός και ο αρμονικός μέσος όρος:

Για τις τρεις υπολογιζόμενες τετμημένες κατά μήκος της καμπύλης που χαράσσεται μέσω του πεδίου των πειραματικών σημείων, προσδιορίζονται τρεις αντίστοιχες τεταγμένες:

Σημείωσησχετικά με τον προσανατολισμό των υπολογισμών. Στη συνέχεια, ορίζονται επτά ενότητες διαφοράς:

Λαμβάνονται τρεις ελάχιστες, κοντά η μία στην άλλη τιμές

Στο δεύτερο στάδιο, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι καλύτερες τιμές των συντελεστών για καθεμία από αυτές τις εξαρτήσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση από τις δεδομένες τιμές του πίνακα.

Η τελική επιλογή της αναλυτικής εξάρτησης πραγματοποιείται από την ελάχιστη τιμή της τυπικής απόκλισης.

Παράδειγμα 2Ο πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα πειραματικές μελέτες, το οποίο μπορεί να προσεγγιστεί με μια ευθεία γραμμή. Βρείτε τις καλύτερες τιμές των συντελεστών της ευθείας εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Λύση.

κ	Χ κ	Υ κ	X k Y k	X k 2	Υ κ θεωρ	Υ κ -Υ κ θεωρία	(Y k -Y k θεωρία) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
ποσά		811,3	24628,6				5,8496

Γενική εξίσωση ευθείας: .

Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, από το οποίο πρέπει να προσδιορίζονται οι καλύτερες τιμές των συντελεστών, καθοδηγούμενο από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, έχει τη μορφή:

Ας αντικαταστήσουμε τα υπολογιζόμενα αθροίσματα από τη 2η, 3η, 4η και 5η στήλη της τελευταίας σειράς του πίνακα στο σύστημα εξισώσεων:

Από πού καθορίζονται οι συντελεστές γραμμικής εξάρτησης; Άρα η εξίσωση της θεωρητικής γραμμής έχει τη μορφή:

. (*)

Η έκτη στήλη του πίνακα δείχνει τις τιμές συναρτήσεων που υπολογίζονται από τη θεωρητική εξίσωση για τις δεδομένες τιμές του ορίσματος. Η έβδομη στήλη του πίνακα δείχνει τις τιμές των διαφορών μεταξύ των δεδομένων τιμών της συνάρτησης (3η στήλη) και των θεωρητικών τιμών (6η στήλη) που υπολογίζονται από την εξίσωση (*).

Η όγδοη στήλη δείχνει τις τετραγωνικές αποκλίσεις των θεωρητικών τιμών από τις πειραματικές τιμές και προσδιορίζεται το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων. Τώρα μπορείτε να βρείτε

Παράδειγμα 3Έστω ότι τα πειραματικά δεδομένα που δίνονται στον πίνακα προσεγγίζονται με μια τετραγωνική παραβολή: Βρείτε τις καλύτερες τιμές για τους συντελεστές της παραβολής εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Λύση.

κ	Χ κ	Υ κ	X k 2	X k 3	Χ κ 4	X k Y k	X k 2 Y k	Υ κ θεωρ	Υ κ -Υ κ θεωρία
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Σούμι		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντελεστών μιας παραβολής έχει τη μορφή:

Από την τελευταία σειρά του πίνακα, τα αντίστοιχα αθροίσματα αντικαθίστανται στο σύστημα εξισώσεων:

Η λύση του συστήματος εξισώσεων σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις τιμές των συντελεστών:

Έτσι, η εξάρτηση που δίνεται από τον πίνακα στο τμήμα προσεγγίζεται με μια τετραγωνική παραβολή:

Ο υπολογισμός σύμφωνα με τον συγκεκριμένο τύπο για τις δεδομένες τιμές του ορίσματος καθιστά δυνατό τον σχηματισμό της ένατης στήλης του πίνακα που περιέχει τις θεωρητικές τιμές της συνάρτησης.

Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των θεωρητικών τιμών από τις πειραματικές δίνεται στην τελευταία γραμμή της 11ης στήλης του πίνακα. Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τυπική απόκλιση:

ΠΡΑΚΤΙΚΗ #3

Θέμα: Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Μέθοδος Gauss - μέθοδος διαδοχικού αποκλεισμού αγνώστων - ανήκει στην ομάδα ακριβείς μεθόδους και αν δεν υπήρχε σφάλμα υπολογισμού, θα μπορούσε να ληφθεί μια ακριβής λύση.

Για χειροκίνητους υπολογισμούς, συνιστάται η διεξαγωγή υπολογισμών σε έναν πίνακα που περιέχει μια στήλη ελέγχου. Παρακάτω είναι μια γενική έκδοση ενός τέτοιου πίνακα για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων 4ης τάξης.

				Δωρεάν μέλη	Στήλη ελέγχου

				Δωρεάν μέλη	Στήλη ελέγχου

Παράδειγμα 1Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, λύστε το σύστημα εξισώσεων 4ης τάξης:

Αυτές οι κατά προσέγγιση τιμές των ριζών μπορούν να αντικατασταθούν στο αρχικό σύστημα εξισώσεων και να υπολογιστούν υπολείμματα - , που είναι οι διαφορές μεταξύ του δεξιού και του αριστερού μέρους κάθε εξίσωσης του συστήματος κατά την αντικατάσταση των ριζών που βρέθηκαν στο αριστερό μέρος. Στη συνέχεια αντικαθίστανται ως ελεύθερα μέλη του υπολειπόμενου συστήματος και παίρνουν τροπολογίες

ρίζες - :

Ρίζα-μέσο-τετράγωνο προσέγγιση μιας συνάρτησης.

Εξετάστε το πρόβλημα της καλύτερης μέσης τετραγωνικής προσέγγισης μιας συνάρτησης από ένα πολυώνυμο
σύμφωνα με το σύστημα
.

Ορισμός 1.

Ένα γενικευμένο πολυώνυμο της τάξης m στο σύστημα ( k ) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός

όπου C k είναι αυθαίρετοι πραγματικοί συντελεστές.

Εργο.Βρείτε πολυώνυμο
, η οποία αποκλίνει λιγότερο από τη συνάρτηση f στη μέτρηση L 2, δηλ. ικανοποιεί την προϋπόθεση:

Θεώρημα 1.

Εάν το σύστημα
είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το πρόβλημα της καλύτερης προσέγγισης ρίζας-μέσος τετραγώνου σε σχέση με αυτό το σύστημα είναι μοναδικά επιλύσιμο.

Ας γράψουμε το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ της συνάρτησης και του πολυωνύμου:

(1)

Είναι προφανές ότι η αξία
είναι μια μη αρνητική οριστική τετραγωνική συνάρτηση μεταβλητών
, και μια τέτοια συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της. Επομένως, υπάρχει η λύση του προβλήματος προσέγγισης ρίζας-μέσος τετραγώνου.

Ας αποδείξουμε τη μοναδικότητα της λύσης.

Καταγράφουμε τις απαραίτητες προϋποθέσεις για το ελάχιστο:

, i=0,…,m.

Υπολογίζοντας τις μερικές παραγώγους ως προς το c i της έκφρασης (1), λαμβάνουμε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

(2)

Το σύστημα (2) ονομάζεται κανονικό σύστημα.

Καταγράφουμε την ορίζουσα αυτού του συστήματος

(3)

Ο προσδιοριστής του συστήματος (3) είναι το λεγόμενο Ορίζουσα του Gramσυστήματα
. Είναι γνωστό ότι αν το σύστημα
είναι γραμμικά ανεξάρτητη, τότε η ορίζουσα
0 (εύκολο να αποδειχθεί με αντίφαση). Σύμφωνα με την προϋπόθεση του θεωρήματος
0 και το σύστημα (2) έχει μια μοναδική λύση.

1.6. Κλασικά ορθογώνια πολυώνυμα και εφαρμογή τους σε προβλήματα προσέγγισης συναρτήσεων.

Έστω H ένας χώρος Hilbert με εσωτερικό γινόμενο και, κατά συνέπεια, ο κανόνας
. Σημαντικό παράδειγμα τέτοιου χώρου είναι ο λεγόμενος χώρος
είναι ο χώρος των συναρτήσεων f(x) για τις οποίες το ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο:

(1)

Εδώ το h(x) είναι το λεγόμενο λειτουργία βάρους, πληρώντας τις προϋποθέσεις:

Αν =(0,+ ), τότε πρέπει να πληρούται η ακόλουθη προϋπόθεση:

εκείνοι. οποιεσδήποτε στιγμές της συνάρτησης βάρους πρέπει να υπάρχουν.

Ορισμός 1.

Για
Το κλιμακωτό γινόμενο ορίζεται:

(2)

και, κατά συνέπεια, ο κανόνας:

σύμφωνα με την προϋπόθεση (1).

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, λαμβάνουμε

Επομένως, το βαθμωτό γινόμενο υπάρχει για

Ορισμός 2.

Η απόσταση μεταξύ των στοιχείων f και g καθορίζεται από την ισότητα:

.

Τίθεται το ερώτημα πώς να κατανοήσουμε το μηδενικό στοιχείο. Αν ο κανόνας
, ακολουθεί ότι f=g; Εισάγεται η ορολογία: f=g σχεδόν παντού, δηλαδή μπορεί να διαφέρουν σε πεπερασμένο αριθμό σημείων.

Ορισμός 3.

στ και ζ ορθογώνιοσε τμήμα με βάρος h(x), αν =0 (γραμμένο σύντομα
).

Αν σε ένα χώρο Hilbert πάρουμε οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα
, i=0,1,2,…, τότε μπορεί να είναι ορθογώνια.

Ας πάρουμε ένα σύστημα ως παράδειγμα:
Στο
πεπερασμένο σύνολο λειτουργίες ισχύοςείναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως μπορούν να κατασκευαστούν ορθογώνια πολυώνυμα με βάση αυτό το σύστημα. Η ακόλουθη διαδικασία επαναλαμβανόμενης ορθογωνοποίησης είναι γνωστή (διαδικασία Gram-Schmidt):

(3)

Οι συντελεστές b k+1,j προσδιορίζονται από τις συνθήκες ορθογωνικότητας:

Πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά το (3) επί
παίρνουμε

(4)

Παράδειγμα 1

Έστω h(x)1, =[-1,1].

Κατασκευάστε τα τρία πρώτα ορθογώνια πολυώνυμα σύμφωνα με τη διαδικασία (3) - (4).

Στη συνέχεια έχουμε:

ως εκ τούτου,

Για ένα σύστημα ορθογώνιων πολυωνύμων στο τμήμα [-1,1] με βάρος h(x)=1, ισχύει ο τύπος Rodrigues:

(5)

Από το (5) παίρνουμε διαδοχικά:

Τα πολυώνυμα που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται πολυώνυμα Legendre.

Σχόλιο.

Τα ορθογώνια πολυώνυμα που βρέθηκαν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία (3) - (4) μπορούν να διαφέρουν μόνο κατά παράγοντες από αυτά που δημιουργούνται χρησιμοποιώντας τον ρητή τύπο Rodrigues (5).

Το τετράγωνο του κανόνα για αυτά τα πολυώνυμα είναι:

Δηλαδή, αυτά τα πολυώνυμα δεν κανονικοποιούνται, αφού

Για όλα τα κλασικά πολυώνυμα υπάρχει ένας επαναλαμβανόμενος τύπος. Για τα πολυώνυμα Legendre, έχει την ακόλουθη μορφή:

Αφήνω
Ας εξετάσουμε την προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου:

Οπου
- ρίζα μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης,

- ένα τμήμα της σειράς Fourier για τη συνάρτηση f(x) στο σύστημα των ορθογώνιων πολυωνύμων (P k (x)).

Λόγω της ορθογωνικότητας των πολυωνύμων Legendre, το σύστημα των κανονικών εξισώσεων (2) από την §1.5 γίνεται διαγώνιο και η επίλυσή του οδηγεί στις ακόλουθες εκφράσεις για τους συντελεστές c k:

(7)

εξασφαλίζεται δηλαδή το ελάχιστο της νόρμας στο L 2.

Ας περιγράψουμε λεπτομερώς το σφάλμα προσέγγισης

Στην άλλη πλευρά

λόγω ορθογωνικότητας.

Αντικαθιστώντας στο (8), παίρνουμε

. (9)

Παράδειγμα 2

Έστω f(x)=|x|.

Κατά προσέγγιση f(x) στο [-1,1] στο πολυώνυμο rms του δεύτερου βαθμού. Υπολογίστε το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα.

Χρησιμοποιούμε το ορθογώνιο σύστημα Legendre:

Οι συντελεστές c k βρίσκονται με τον τύπο (7), λαμβάνοντας υπόψη τη μορφή των πολυωνύμων Legendre:

1.7. Μερικές γενικές ιδιότητες των ορθογώνιων πολυωνύμων.

Το πολυώνυμο P n (x) είναι ορθογώνιο σε οποιοδήποτε αλγεβρικό πολυώνυμο του mth βαθμού M m (x) για m

Το M m (x) μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων Legendre:

Η ισότητα (10) είναι πανομοιότυπη, επομένως οι συντελεστές a k υπολογίζονται μοναδικά εξισώνοντας τους συντελεστές σε υψηλότερες δυνάμεις. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του (10) με P n (x), έχουμε

λόγω της ορθογωνικότητας του συστήματος

Το πολυώνυμο P n (x) έχει ακριβώς n πραγματικές και διακριτές ρίζες στο τμήμα [-1,1].

Σημειώστε ότι, δυνάμει του θεωρήματος Gauss, το πολυώνυμο P n (x) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από n ρίζες (γενικά μιλώντας, σύνθετες). Έστω το P n (x) να έχει λιγότερες από n απλές πραγματικές ρίζες. Ας τις χαρακτηρίσουμε
Από αυτά τα σημεία κατασκευάζουμε το θεμελιώδες πολυώνυμο

Θεωρήστε ένα πολυώνυμο:
είναι ένα πολυώνυμο βαθμού (k+n) που έχει μηδενικά
ακόμη και πολλαπλότητα. Το νέο πολυώνυμο λοιπόν
διατηρεί το πρόσημο του όταν διέρχεται από αυτά τα μηδενικά, δηλ. διατηρεί το πρόσημο στο [-1,1]. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι

Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ιδιότητα 1, αφού το P n (x) πρέπει απαραίτητα να είναι ορθογώνιο στο M k (x).

Ανάμεσα σε δύο γειτονικά μηδενικά του πολυωνύμου P n (x) βρίσκεται ακριβώς ένα μηδέν του πολυωνύμου P n-1 (x).

Αποδεικνύεται με επαγωγή με τη βοήθεια της επαναλαμβανόμενης σχέσης (6).

Για n-άρτιο, το πολυώνυμο P n (x) είναι άρτια συνάρτηση του x, για n-άρτιο, το P n (x) είναι περιττή συνάρτηση του x.

Μαζί με τα πολυώνυμα Legendre, τα ακόλουθα συστήματα πολυωνύμων ονομάζονται κλασικά ορθογώνια πολυώνυμα (στο εξής, (a,b) είναι το διάστημα ορθογωνικότητας, r(x) είναι η συνάρτηση βάρους).

1) Πολυώνυμα Jacobi {R Π (μεγάλο,Μ) ( Χ)) - στο ΕΝΑ = -1, σι= 1 r( Χ) = (1-Χ) μεγάλο (1 + Χ) Μ , μεγάλο> -1, m > -1. Ειδικές ειδικές περιπτώσεις πολυωνύμων Jacobi αντιστοιχούν στις ακόλουθες τιμές l και m: μεγάλο= m- υπερσφαιρικά πολυώνυμα (αυτά ονομάζονται μερικές φορές πολυώνυμα Gegenbauer). μεγάλο\u003d m \u003d - 1 / 2, δηλ. -πολυώνυμα Chebyshev 1ο είδος Τ n (Χ); μεγάλο= m = 1 / 2, δηλ. - πολυώνυμα Chebyshev 2ο είδος U n (Χ);

2) Πολυώνυμα Laguerre μεγάλο n (Χ) - στο ΕΝΑ = 0, σι= + ∞ και r( Χ) = μι -Χ(ονομάζονται επίσης πολυώνυμα Chebyshev-Laguerre) και γενικευμένα πολυώνυμα Laguerre - στο . 3) Μπόδια Ερμίτης H n (Χ) - στο ΕΝΑ = -∞, σι= + ∞ και (λέγονται επίσης πολυώνυμα Chebyshev-Ermite).

Συχνά οι τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης u, u2 , ..., yn προσδιορίζονται από το πείραμα με ορισμένα σφάλματα, επομένως δεν είναι λογικό να χρησιμοποιείται η ακριβής προσέγγιση στους κόμβους παρεμβολής. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πιο φυσικό να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση όχι κατά σημεία, αλλά κατά μέση τιμή,δηλ. σε έναν από τους κανόνες L p.

Space 1 p - σύνολο συναρτήσεων d(x),ορίζεται στο τμήμα [α, β]και modulo ενσωματωμένο με p-ο βαθμός, εάν οριστεί ο κανόνας

Η σύγκλιση σε μια τέτοια νόρμα ονομάζεται σύγκλιση σε μέση τιμή.Ο χώρος 1,2 ονομάζεται χώρος Hilbert και η σύγκλιση σε αυτόν είναι rms.

Έστω η συνάρτηση Ax) και το σύνολο των συναρτήσεων φ(x) από κάποιο γραμμικό κανονικό χώρο. Στο πλαίσιο του προβλήματος της παρεμβολής, της προσέγγισης και της προσέγγισης, μπορούν να διατυπωθούν τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

Πρώτη εργασίαείναι μια προσέγγιση με δεδομένη ακρίβεια, δηλ. σύμφωνα με ένα δεδομένο μιβρείτε ένα φ(x) τέτοιο ώστε η ανίσωση |[Ax) - φ(x)|| ΣΟΛ..

Δεύτερη εργασίαείναι αναζήτηση η καλύτερη προσέγγισηδηλ. η αναζήτηση για μια συνάρτηση φ*(x) που ικανοποιεί τη σχέση:

Ορίστε χωρίς απόδειξη επαρκής κατάστασηύπαρξη της καλύτερης προσέγγισης. Για να γίνει αυτό, στον γραμμικό χώρο των συναρτήσεων, επιλέγουμε ένα σύνολο παραμετροποιημένο από την έκφραση

όπου το σύνολο των συναρτήσεων φ[(x), ..., φn(x) θα θεωρηθεί ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Μπορεί να φανεί ότι σε οποιονδήποτε κανονικό χώρο με γραμμική προσέγγιση (2.16) υπάρχει η καλύτερη προσέγγιση, αν και είναι μοναδική σε κάθε γραμμικό χώρο.

Ας εξετάσουμε τον χώρο Hilbert LzCp) των πραγματικών τετραγωνο-ολοκληρώσιμων συναρτήσεων με βάρος p(x) > 0 στο [ , όπου το κλιμακωτό γινόμενο ( ζ, η) αποφασισμένος από

τύπος:

Αντικαθιστώντας τον γραμμικό συνδυασμό (2.16) στην καλύτερη συνθήκη προσέγγισης, βρίσκουμε

Μηδενίζοντας τις παραγώγους ως προς τους συντελεστές (D, κ= 1, ..., П, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Η ορίζουσα του συστήματος των εξισώσεων (2.17) ονομάζεται ορίζουσα Gram. Η ορίζουσα του Gram είναι μη μηδενική, αφού υποτίθεται ότι το σύστημα των συναρτήσεων φ[(x), ..., φn(x) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Έτσι, η καλύτερη προσέγγιση υπάρχει και είναι μοναδική. Για να το αποκτήσετε, είναι απαραίτητο να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων (2.17). Αν το σύστημα των συναρτήσεων φ1(x), ..., φn(x) είναι ορθογώνιο, δηλ., (φ/, φ,) = sy, όπου SCH,ij = 1, ..., Π,τότε το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί με τη μορφή:

Οι συντελεστές που βρέθηκαν σύμφωνα με το (2.18) Q, ..., ου σελονομάζονται συντελεστές της γενικευμένης σειράς Fourier.

Αν ένα σύνολο συναρτήσεων φ t (X), ..., φ "(x), ... σχηματίζει ένα πλήρες σύστημα, τότε δυνάμει της ισότητας του Parseval για Π -» με τον κανόνα του σφάλματος μειώνεται επ' αόριστον. Αυτό σημαίνει ότι η καλύτερη προσέγγιση συγκλίνει rms σε Dx) με οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.

Σημειώνουμε ότι η αναζήτηση των συντελεστών της καλύτερης προσέγγισης με την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων (2.17) είναι πρακτικά απραγματοποίητη, αφού καθώς αυξάνεται η τάξη του πίνακα Gram, η ορίζοντή του τείνει γρήγορα στο μηδέν και ο πίνακας γίνεται κακή. Η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με έναν τέτοιο πίνακα θα οδηγήσει σε σημαντική απώλεια ακρίβειας. Ας το ελέγξουμε.

Έστω ως σύστημα συναρτήσεων φ„ i =1, ..., Π, επιλέγονται οι μοίρες, δηλ. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., Π,τότε, υποθέτοντας το τμήμα ως τμήμα προσέγγισης, βρίσκουμε τον πίνακα Gram

Ο πίνακας Gram της μορφής (2.19) ονομάζεται επίσης πίνακας Hilbert. Αυτό είναι ένα κλασικό παράδειγμα μιας λεγόμενης μήτρας με κακή ρύθμιση.

Χρησιμοποιώντας το MATLAB, υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Hilbert στη μορφή (2.19) για μερικές πρώτες τιμές Π.Η λίστα 2.5 δείχνει τον κωδικό για το αντίστοιχο πρόγραμμα.

Λίστα 23

% Υπολογίστε την ορίζουσα των πινάκων Hilbert % διαγραφή του χώρου εργασίαςτα καθαρίζω όλα;

%επιλέγω μέγιστη αξίασειρά του πίνακα Hilbert ptah =6;

Δημιουργήστε έναν βρόχο για να δημιουργήσετε πίνακες %Hilbert και να υπολογίσετε τους ορίζοντες τους

για n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); τέλος

%εμφανίζει τις τιμές των προσδιοριστικών %των πινάκων Hilbert

f o g ta t σύντομο τέλος

Μετά την επεξεργασία του κώδικα στην Λίστα 2.5, οι καθοριστικές τιμές του πίνακα Hilbert για τους πρώτους έξι πίνακες θα πρέπει να εμφανιστούν στο παράθυρο εντολών του MATLAB. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις αντίστοιχες αριθμητικές τιμές των τάξεων του πίνακα (n) και των ορίζοντών τους (d). Ο πίνακας δείχνει ξεκάθαρα πόσο γρήγορα η ορίζουσα του πίνακα Hilbert τείνει στο μηδέν καθώς η σειρά αυξάνεται και, ξεκινώντας από τις εντολές 5 και 6, γίνεται απαράδεκτα μικρή.

Πίνακας τιμών της ορίζουσας των πινάκων Hilbert

Η αριθμητική ορθογωνοποίηση του συστήματος των συναρτήσεων φ, i = 1, ..., Π οδηγεί επίσης σε αισθητή απώλεια ακρίβειας, επομένως, προκειμένου να ληφθούν υπόψη μεγάλος αριθμόςμε όρους επέκτασης (2.16), είναι απαραίτητο είτε να πραγματοποιηθεί η ορθογωνοποίηση αναλυτικά, δηλαδή ακριβώς, είτε να χρησιμοποιηθεί ένα έτοιμο σύστημα ορθογώνιων συναρτήσεων.

Εάν κατά την παρεμβολή, οι μοίρες χρησιμοποιούνται συνήθως ως σύστημα συναρτήσεων βάσης, τότε κατά την προσέγγιση, κατά μέσο όρο, επιλέγονται πολυώνυμα που είναι ορθογώνια με δεδομένο βάρος ως συναρτήσεις βάσης. Τα πιο κοινά από αυτά είναι τα πολυώνυμα Jacobi, ειδική περίπτωση των οποίων είναι τα πολυώνυμα Legendre και Chebyshev. Χρησιμοποιούνται επίσης πολυώνυμα Lagsrr και Hermite. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτά τα πολυώνυμα μπορείτε να βρείτε, για παράδειγμα, στο παράρτημα Ορθογώνια πολυώνυμαβιβλία.