Πώς να βρείτε την κατεύθυνση της κλίσης σε ένα σημείο. Διαβάθμιση μιας δεδομένης συνάρτησης

1 0 Η κλίση κατευθύνεται κάθετα προς την επίπεδη επιφάνεια (ή προς τη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο).

2 0 Η κλίση κατευθύνεται προς την αύξηση της συνάρτησης πεδίου.

3 0 Ο συντελεστής κλίσης είναι ίσος με τη μεγαλύτερη παράγωγο σε κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου:

Αυτές οι ιδιότητες παρέχουν ένα αμετάβλητο χαρακτηριστικό της κλίσης. Λένε ότι το διάνυσμα gradU δείχνει την κατεύθυνση και το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο σε ένα δεδομένο σημείο.

Παρατήρηση 2.1.Αν η συνάρτηση U(x,y) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, τότε το διάνυσμα

βρίσκεται στο oxy plane.

Έστω U=U(x,y,z) και V=V(x,y,z) διαφοροποιήσιμα στο σημείο M 0 (x,y,z) συναρτήσεις. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) grad()= ; β) grad(UV)=VgradU+UgradV;

γ) grad(U V)=gradU gradV; δ) δ) grad = , V ;

ε) gradU( = gradU, όπου , U=U() έχει παράγωγο σε σχέση με .

Παράδειγμα 2.1.Δίνεται η συνάρτηση U=x 2 +y 2 +z 2. Να προσδιορίσετε τη διαβάθμιση της συνάρτησης στο σημείο Μ(-2;3;4).

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2) έχουμε

Οι επίπεδες επιφάνειες αυτού του βαθμωτού πεδίου είναι η οικογένεια των σφαιρών x 2 +y 2 +z 2, το διάνυσμα gradU=(-4;6;8) είναι το κανονικό διάνυσμα των επιπέδων.

Παράδειγμα 2.2.Βρείτε τη διαβάθμιση του βαθμωτού πεδίου U=x-2y+3z.

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2) έχουμε

Οι επίπεδες επιφάνειες ενός δεδομένου βαθμωτού πεδίου είναι επίπεδα

x-2y+3z=C; το διάνυσμα gradU=(1;-2;3) είναι το κανονικό διάνυσμα των επιπέδων αυτής της οικογένειας.

Παράδειγμα 2.3.Βρείτε τη μεγαλύτερη κλίση της ανόδου της επιφάνειας U=x y στο σημείο M(2;2;4).

Λύση.Εχουμε:

Παράδειγμα 2.4.Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια του βαθμωτού πεδίου U=x 2 +y 2 +z 2 .

Λύση.Οι επίπεδες επιφάνειες ενός δεδομένου βαθμωτό Πεδίο-σφαίρα x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Η κλίση κατευθύνεται κάθετα προς την επίπεδη επιφάνεια, έτσι

Ορίζει το κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια στο σημείο M(x,y,z). Για ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα λαμβάνουμε την έκφραση

Παράδειγμα 2.5.Βρείτε τη διαβάθμιση πεδίου U=, όπου και είναι σταθερά διανύσματα, r είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου.

Λύση.Αφήνω

Επειτα: . Με τον κανόνα της διαφοροποίησης της ορίζουσας παίρνουμε

Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 2.6.Βρείτε την κλίση απόστασης, όπου P(x,y,z) είναι το σημείο πεδίου που μελετάται, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) είναι κάποιο σταθερό σημείο.

Λύση.Έχουμε - διάνυσμα κατεύθυνσης μονάδας.

Παράδειγμα 2.7.Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των κλίσεων των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1).

Λύση.Βρίσκουμε τις διαβαθμίσεις αυτών των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1), έχουμε

; Η γωνία μεταξύ gradU και gradV στο σημείο M 0 προσδιορίζεται από την ισότητα

Επομένως =0.

Παράδειγμα 2.8.Βρείτε την κατευθυντική παράγωγο, το διάνυσμα ακτίνας είναι ίσο με

Λύση.Βρείτε την κλίση αυτής της συνάρτησης:

Αντικαθιστώντας το (2.5) στο (2.4), παίρνουμε

Παράδειγμα 2.9.Βρείτε στο σημείο M 0 (1;1;1) την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο U=xy+yz+xz και το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης μεταβολής σε αυτό το σημείο.

Λύση.Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο υποδεικνύεται από το διανυσματικό βαθμό U(M). Το βρίσκουμε:

Και αυτό σημαίνει... Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης σε αυτό το πεδίο στο σημείο M 0 (1;1;1). Το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής πεδίου σε αυτό το σημείο είναι ίσο με

Παράδειγμα 3.1.Βρείτε τις διανυσματικές γραμμές του διανυσματικού πεδίου όπου είναι ένα σταθερό διάνυσμα.

Λύση.Έχουμε έτσι

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με x, του δεύτερου με y, του τρίτου με το z και προσθέστε όρο με όρο. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των αναλογιών, παίρνουμε

Εξ ου και xdx+ydy+zdz=0, που σημαίνει

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Τώρα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος (3.3) με c 1, το δεύτερο με c 2, το τρίτο με c 3 και προσθέτοντας όρο με όρο, παίρνουμε

Όπου από 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Και, επομένως, με 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Ένα 2-const.

Οι απαιτούμενες εξισώσεις διανυσματικών γραμμών

Αυτές οι εξισώσεις δείχνουν ότι οι διανυσματικές γραμμές λαμβάνονται από την τομή σφαιρών που έχουν κοινό κέντρο στην αρχή με επίπεδα κάθετα στο διάνυσμα. Από αυτό προκύπτει ότι οι διανυσματικές γραμμές είναι κύκλοι των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή προς την κατεύθυνση του διανύσματος c. Τα επίπεδα των κύκλων είναι κάθετα στην καθορισμένη ευθεία.

Παράδειγμα 3.2.Βρείτε τη γραμμή του διανυσματικού πεδίου που διέρχεται από το σημείο (1,0,0).

Λύση. Διαφορικές εξισώσειςδιανυσματικές γραμμές

Ως εκ τούτου έχουμε. Επίλυση της πρώτης εξίσωσης. Ή αν εισάγουμε την παράμετρο t, τότε θα έχουμε Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ή dz=bdt, από όπου z=bt+c 2.

Βαθμίδα λειτουργίες– ένα διανυσματικό μέγεθος, ο προσδιορισμός του οποίου συνδέεται με τον προσδιορισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης. Η κατεύθυνση της κλίσης υποδεικνύει τη διαδρομή της ταχύτερης ανάπτυξης της συνάρτησης από το ένα σημείο του βαθμωτού πεδίου στο άλλο.

Οδηγίες

1. Για την επίλυση του προβλήματος της διαβάθμισης μιας συνάρτησης, χρησιμοποιούνται μέθοδοι διαφορικού λογισμού, δηλαδή η εύρεση μερικών παραγώγων πρώτης τάξης σε σχέση με τρεις μεταβλητές. Θεωρείται ότι η ίδια η συνάρτηση και όλες οι μερικές παράγωγοί της έχουν την ιδιότητα της συνέχειας στον τομέα ορισμού της συνάρτησης.

2. Η κλίση είναι ένα διάνυσμα, η κατεύθυνση του οποίου δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στη συνάρτηση F. Για να γίνει αυτό, επιλέγονται δύο σημεία M0 και M1 στο γράφημα, τα οποία είναι τα άκρα του διανύσματος. Το μέγεθος της βαθμίδας είναι ίσο με το ρυθμό αύξησης της συνάρτησης από το σημείο M0 στο σημείο M1.

3. Η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε όλα τα σημεία αυτού του διανύσματος, επομένως, οι προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων είναι όλες οι μερικές παράγωγοί του. Τότε ο τύπος κλίσης μοιάζει με αυτό: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, όπου i, j, k είναι οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος . Με άλλα λόγια, η διαβάθμιση μιας συνάρτησης είναι ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι μερικές παράγωγοί του βαθμού F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Παράδειγμα 1. Έστω η συνάρτηση F = sin(x z?)/y. Απαιτείται να ανιχνεύσει την κλίση του στο σημείο (?/6, 1/4, 1).

5. Λύση Προσδιορίστε τις μερικές παραγώγους σε σχέση με κάθε μεταβλητή: F'_х = 1/y сos(х z?) F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Αντικαταστήστε τις περίφημες τιμές συντεταγμένων του σημείου: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = αμαρτία(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Εφαρμόστε τον τύπο κλίσης συνάρτησης: βαθμίδα F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Παράδειγμα 2. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαβάθμισης της συνάρτησης F = y arсtg (z/x) στο σημείο (1, 2, 1).

9. Λύση.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Η βαθμωτή κλίση πεδίου είναι μια διανυσματική ποσότητα. Έτσι, για να το βρούμε, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε όλες τις συνιστώσες του αντίστοιχου διανύσματος, με βάση τη γνώση της διαίρεσης του βαθμωτού πεδίου.

Οδηγίες

1. Διαβάστε σε ένα εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών ποια είναι η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου. Όπως γνωρίζετε, αυτή η διανυσματική ποσότητα έχει μια κατεύθυνση που χαρακτηρίζεται από τον μέγιστο ρυθμό αποσύνθεσης της βαθμωτής συνάρτησης. Αυτή η ερμηνεία αυτής της διανυσματικής ποσότητας δικαιολογείται από την έκφραση για τον προσδιορισμό των συστατικών της.

2. Θυμηθείτε ότι κάθε διάνυσμα καθορίζεται από τα μεγέθη των συστατικών του. Τα συστατικά ενός διανύσματος είναι στην πραγματικότητα προβολές αυτού του διανύσματος σε έναν ή άλλο άξονα συντεταγμένων. Έτσι, εάν ληφθεί υπόψη ο τρισδιάστατος χώρος, τότε το διάνυσμα πρέπει να έχει τρεις συνιστώσες.

3. Γράψτε πώς καθορίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσματος που είναι η διαβάθμιση ενός συγκεκριμένου πεδίου. Όλες οι συντεταγμένες ενός τέτοιου διανύσματος είναι ίσες με την παράγωγο του βαθμωτού δυναμικού σε σχέση με τη μεταβλητή της οποίας η συντεταγμένη υπολογίζεται. Δηλαδή, εάν πρέπει να υπολογίσετε τη συνιστώσα «x» του διανύσματος βαθμίδας πεδίου, τότε πρέπει να διαφοροποιήσετε τη βαθμωτή συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή «x». Λάβετε υπόψη ότι το παράγωγο πρέπει να είναι μερικό. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη διαφοροποίηση, οι υπόλοιπες μεταβλητές που δεν εμπλέκονται σε αυτήν πρέπει να θεωρούνται σταθερές.

4. Γράψτε μια έκφραση για το βαθμωτό πεδίο. Όπως είναι γνωστό, αυτός ο όρος υποδηλώνει μόνο μια κλιμακωτή συνάρτηση πολλών μεταβλητών, οι οποίες είναι επίσης βαθμωτές ποσότητες. Ο αριθμός των μεταβλητών μιας βαθμωτής συνάρτησης περιορίζεται από τη διάσταση του χώρου.

5. Διαφοροποιήστε τη βαθμωτή συνάρτηση ξεχωριστά σε σχέση με κάθε μεταβλητή. Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε τρεις νέες λειτουργίες. Γράψτε οποιαδήποτε συνάρτηση στην έκφραση για το διάνυσμα βαθμωτών πεδίων. Κάθε μία από τις ληφθείσες συναρτήσεις είναι στην πραγματικότητα ένας δείκτης για ένα μοναδιαίο διάνυσμα μιας δεδομένης συντεταγμένης. Έτσι, το τελικό διάνυσμα κλίσης θα πρέπει να μοιάζει με πολυώνυμο με εκθέτες με τη μορφή παραγώγων της συνάρτησης.

Όταν εξετάζουμε ζητήματα που αφορούν την αναπαράσταση κλίσης, είναι σύνηθες να σκεφτόμαστε τις συναρτήσεις ως βαθμωτά πεδία. Επομένως, είναι απαραίτητο να εισαχθεί η κατάλληλη σημείωση.

Θα χρειαστείτε

• – μπουμ?
• - στυλό.

Οδηγίες

1. Έστω η συνάρτηση να καθορίζεται με τρία ορίσματα u=f(x, y, z). Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης, για παράδειγμα, σε σχέση με το x, ορίζεται ως η παράγωγος σε σχέση με αυτό το όρισμα, που προκύπτει με τον καθορισμό των υπόλοιπων ορισμάτων. Το ίδιο και για άλλα επιχειρήματα. Ο συμβολισμός για τη μερική παράγωγο γράφεται με τη μορφή: df/dx = u'x ...

2. Το συνολικό διαφορικό θα είναι ίσο με du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz άξονες συντεταγμένων. Κατά συνέπεια, τίθεται το ερώτημα της εύρεσης της παραγώγου ως προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου διανύσματος s στο σημείο M(x, y, z) (μην ξεχνάτε ότι η κατεύθυνση s καθορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα s^o). Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα-διαφορικό των ορισμάτων (dx, dy, dz) = (дscos(άλφα), dscos(beta), dscos(γάμα)).

3. Κοιτάζοντας τη θέα πλήρες διαφορικό du, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος στην κατεύθυνση s στο σημείο M είναι ίση με: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(άλφα)+ ((дf/дy)|M) сos (βήτα) +((df/dz)|M) cos(γάμα). Αν s= s(sx,sy,sz), τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης (cos(άλφα), cos(beta), cos(γάμα)) υπολογίζονται (βλ. Εικ. 1α).

4. Ο ορισμός της κατευθυντικής παραγώγου, θεωρώντας το σημείο M μεταβλητή, μπορεί να ξαναγραφτεί με τη μορφή προϊόν με κουκκίδες: (дu/дs)=((дf/dh, df/дy,дf/дz), (cos(άλφα), cos(beta), cos(γάμα)))=(βαθμίδα u, s^o). Αυτή η έκφραση θα είναι αντικειμενική για ένα βαθμωτό πεδίο. Εάν μια συνάρτηση θεωρείται εύκολα, τότε το gradf είναι ένα διάνυσμα που έχει συντεταγμένες που συμπίπτουν με τις μερικές παραγώγους f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Εδώ (i, j, k) είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

5. Εάν χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή διαφορικού διανύσματος Hamiltonian, τότε το gradf μπορεί να γραφτεί ως ο πολλαπλασιασμός αυτού του τελεστή διανύσματος με τον βαθμωτό f (βλ. Εικ. 1β). Από την άποψη της σύνδεσης μεταξύ gradf και της κατευθυντικής παραγώγου, η ισότητα (gradf, s^o)=0 είναι αποδεκτή εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια. Κατά συνέπεια, το gradf συχνά ορίζεται ως η κατεύθυνση της ταχύτερης μεταμόρφωσης του βαθμωτού πεδίου. Και από την άποψη των διαφορικών πράξεων (το gradf είναι μία από αυτές), οι ιδιότητες του gradf επαναλαμβάνουν ακριβώς τις ιδιότητες των συναρτήσεων διαφοροποίησης. Συγκεκριμένα, αν f=uv, τότε gradf=(vgradu+u gradv).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

ΒαθμίδαΑυτό είναι ένα εργαλείο που, στους επεξεργαστές γραφικών, γεμίζει μια σιλουέτα με ομαλή μετάβαση από το ένα χρώμα στο άλλο. Βαθμίδαμπορεί να δώσει σε μια σιλουέτα το αποτέλεσμα του όγκου, να μιμηθεί τον φωτισμό, τη λάμψη του φωτός στην επιφάνεια ενός αντικειμένου ή το αποτέλεσμα ενός ηλιοβασιλέματος στο φόντο μιας φωτογραφίας. Αυτό το εργαλείο χρησιμοποιείται ευρέως, επομένως για την επεξεργασία φωτογραφιών ή τη δημιουργία εικονογραφήσεων, είναι πολύ σημαντικό να μάθετε πώς να το χρησιμοποιείτε.

Θα χρειαστείτε

• Υπολογιστής, πρόγραμμα επεξεργασίας γραφικών Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ή άλλο.

Οδηγίες

1. Ανοίξτε μια εικόνα στο πρόγραμμα ή τραβήξτε μια νέα. Κάντε μια σιλουέτα ή επιλέξτε την επιθυμητή περιοχή στην εικόνα.

2. Ενεργοποιήστε το εργαλείο gradient στη γραμμή εργαλείων του προγράμματος επεξεργασίας γραφικών. Τοποθετήστε τον κέρσορα του ποντικιού στο σημείο μέσα στην επιλεγμένη περιοχή ή σιλουέτα όπου θα ξεκινήσει το 1ο χρώμα της διαβάθμισης. Κάντε κλικ και κρατήστε πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Μετακινήστε τον κέρσορα στο σημείο όπου θέλετε η διαβάθμιση να αλλάξει στο τελικό χρώμα. Αφήστε το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Η επιλεγμένη σιλουέτα θα γεμίσει με ένα ντεγκραντέ γέμισμα.

3. ΒαθμίδαΜπορείτε να ορίσετε τη διαφάνεια, τα χρώματα και την αναλογία τους σε ένα συγκεκριμένο σημείο του γεμίσματος. Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε το παράθυρο επεξεργασίας ντεγκραντέ. Για να ανοίξετε το παράθυρο επεξεργασίας στο Photoshop, κάντε κλικ στο παράδειγμα διαβάθμισης στον πίνακα Επιλογές.

4. Το παράθυρο που ανοίγει εμφανίζει τις διαθέσιμες επιλογές πλήρωσης κλίσης με τη μορφή παραδειγμάτων. Για να επεξεργαστείτε μία από τις επιλογές, επιλέξτε την με ένα κλικ του ποντικιού.

5. Στο κάτω μέρος του παραθύρου εμφανίζεται ένα παράδειγμα διαβάθμισης με τη μορφή μιας ευρείας κλίμακας στην οποία βρίσκονται τα ρυθμιστικά. Τα ρυθμιστικά υποδεικνύουν τα σημεία στα οποία η διαβάθμιση θα έπρεπε να έχει καθορισμένες συστοιχίες και στο διάστημα μεταξύ των ρυθμιστικών το χρώμα μεταβαίνει ομοιόμορφα από το χρώμα που καθορίζεται στο πρώτο σημείο στο χρώμα του 2ου σημείου.

6. Τα ρυθμιστικά που βρίσκονται στην κορυφή της κλίμακας ορίζουν τη διαφάνεια της κλίσης. Για να αλλάξετε τη διαφάνεια, κάντε κλικ στο απαιτούμενο ρυθμιστικό. Κάτω από την κλίμακα θα εμφανιστεί ένα πεδίο στο οποίο εισάγετε τον απαιτούμενο βαθμό διαφάνειας ως ποσοστό.

7. Τα ρυθμιστικά στο κάτω μέρος της κλίμακας ορίζουν τα χρώματα της διαβάθμισης. Κάνοντας κλικ σε ένα από αυτά, θα μπορείτε να επιλέξετε το επιθυμητό χρώμα.

8. Βαθμίδαμπορεί να έχει πολλά μεταβατικά χρώματα. Για να ορίσετε άλλο χρώμα, κάντε κλικ στον ελεύθερο χώρο στο κάτω μέρος της κλίμακας. Ένα άλλο ρυθμιστικό θα εμφανιστεί σε αυτό. Δώστε του το επιθυμητό χρώμα. Η κλίμακα θα εμφανίσει ένα παράδειγμα της κλίσης με ένα ακόμη σημείο. Μπορείτε να μετακινήσετε τα ρυθμιστικά κρατώντας τα με το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού για να πετύχετε τον επιθυμητό συνδυασμό.

9. ΒαθμίδαΚυκλοφορούν σε διάφορους τύπους που μπορούν να δώσουν σχήμα σε επίπεδες σιλουέτες. Για παράδειγμα, για να δοθεί σε έναν κύκλο το σχήμα μπάλας, χρησιμοποιείται μια ακτινωτή κλίση και για να δοθεί το σχήμα ενός κώνου, χρησιμοποιείται μια κλίση σε σχήμα κώνου. Για να δώσετε στην επιφάνεια την ψευδαίσθηση της κυρτότητας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια κλίση καθρέφτη και μια κλίση σε σχήμα ρόμβου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσετε τονισμένα σημεία.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σύντομη θεωρία

Κλίση είναι ένα διάνυσμα του οποίου η κατεύθυνση δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στη συνάρτηση f(x). Η εύρεση αυτής της διανυσματικής ποσότητας σχετίζεται με τον προσδιορισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης. Η κατευθυντική παράγωγος είναι ένα βαθμωτό μέγεθος και δείχνει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης όταν κινείται κατά την κατεύθυνση που καθορίζεται από κάποιο διάνυσμα.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το έργο

Δίνεται συνάρτηση, σημείο και διάνυσμα. Εύρημα:

Η λύση του προβλήματος

Εύρεση της διαβάθμισης μιας συνάρτησης

1) Βρείτε τη διαβάθμιση της συνάρτησης στο σημείο:

Η επιθυμητή κλίση:

Εύρεση της παραγώγου ως προς την κατεύθυνση ενός διανύσματος

2) Βρείτε την παράγωγο προς την κατεύθυνση του διανύσματος:

όπου είναι η γωνία που σχηματίζεται από το διάνυσμα και τον άξονα

Η απαιτούμενη παράγωγος στο σημείο:

Η τιμή επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από τον επείγοντα χαρακτήρα της απόφασης (από μια ημέρα έως αρκετές ώρες). Διατίθεται διαδικτυακή βοήθεια με εξετάσεις/τεστ κατόπιν ραντεβού.

Μπορείτε να αφήσετε ένα αίτημα απευθείας στο chat, έχοντας προηγουμένως στείλει τους όρους των εργασιών και σας ενημερώσει για τις προθεσμίες για τη λύση που χρειάζεστε. Ο χρόνος απόκρισης είναι λίγα λεπτά.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΛΙΣΗ u = f(x, y, z), δίνεται σε κάποια περιοχή. χώρος (X Y Z),Υπάρχει διάνυσμαμε προβολές που συμβολίζονται με τα σύμβολα: grad Οπου i, j, k- διανύσματα μονάδων συντεταγμένων. G. f. - υπάρχει μια λειτουργία σημείου (x, y, z), δηλαδή σχηματίζει ένα διανυσματικό πεδίο. Παράγωγο προς την κατεύθυνση του G. f. σε αυτό το σημείο φτάνει υψηλότερη τιμήκαι ισούται με: Η κατεύθυνση της κλίσης είναι η κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης της συνάρτησης. G. f. σε ένα δεδομένο σημείο είναι κάθετη στην επίπεδη επιφάνεια που διέρχεται από αυτό το σημείο. Αποτελεσματικότητα χρήσης G. f. κατά τη διάρκεια λιθολογικών μελετών φάνηκε στη μελέτη του αιολικού εξ. Κεντρικό Καρακούμ.

Γεωλογικό Λεξικό: σε 2 τόμους. - Μ.: Νέδρα. Επιμέλεια Κ. Ν. Paffengoltz et al.. 1978 .

Δείτε τι είναι το "GRADIENT FUNCTION" σε άλλα λεξικά:

Αυτό το άρθρο αφορά τα μαθηματικά χαρακτηριστικά. για τη μέθοδο πλήρωσης, βλέπε: Gradient (γραφικά υπολογιστών) ... Wikipedia

- (λατ.). Διαφορές στις βαρομετρικές και θερμομετρικές ενδείξεις σε διαφορετικές περιοχές. Λεξικό ξένες λέξεις, περιλαμβάνεται στη ρωσική γλώσσα. Chudinov A.N., 1910. GRADIENT είναι η διαφορά στις ενδείξεις ενός βαρόμετρου και του θερμομέτρου την ίδια στιγμή... ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

βαθμίδα- Αλλαγή της τιμής μιας συγκεκριμένης ποσότητας ανά μονάδα απόστασης δοθείσα κατεύθυνση. Τοπογραφική κλίση είναι η αλλαγή στο υψόμετρο του εδάφους σε μια οριζόντια μετρούμενη απόσταση. Θέματα: προστασία ρελέ EN κλίση του χαρακτηριστικού ενεργοποίησης διαφορικής προστασίας… Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

Βαθμίδα- ένα διάνυσμα που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης της συνάρτησης και ίσο σε μέγεθος με την παράγωγό της προς αυτή την κατεύθυνση: όπου τα σύμβολα ei δηλώνουν τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων (orts) ... Οικονομικό-μαθηματικό λεξικό

Μία από τις βασικές έννοιες της διανυσματικής ανάλυσης και της θεωρίας των μη γραμμικών αντιστοιχίσεων. Καλείται η κλίση της βαθμωτής συνάρτησης του διανυσματικού ορίσματος από τον Ευκλείδειο χώρο E n. παράγωγο της συνάρτησης f(t) ως προς το διανυσματικό όρισμα t, δηλαδή ένα διάνυσμα n με... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Φυσιολογική κλίση- – μια τιμή που αντικατοπτρίζει μια αλλαγή σε μια ένδειξη λειτουργίας ανάλογα με μια άλλη τιμή. π.χ., κλίση μερικής πίεσης - η διαφορά στις μερικές πιέσεις που καθορίζει τη διάχυση των αερίων από τις κυψελίδες (ακίνιοι) στο αίμα και από το αίμα στο ... ... Γλωσσάρι όρων για τη φυσιολογία των ζώων εκτροφής

I Gradient (από το λατινικό gradiens, gender gradientis walking) Διάνυσμα που δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αλλαγής κάποιας ποσότητας, η τιμή της οποίας αλλάζει από το ένα σημείο του χώρου στο άλλο (βλ. Θεωρία πεδίου). Αν η τιμή... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Βαθμίδα- (από το λατινικό gradiens walking, walking) (στα μαθηματικά) ένα διάνυσμα που δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης μιας συγκεκριμένης συνάρτησης. (στη φυσική) ένα μέτρο αύξησης ή μείωσης στο διάστημα ή σε ένα επίπεδο οποιουδήποτε είδους φυσική ποσότηταανά μονάδα... ... Οι απαρχές της σύγχρονης φυσικής επιστήμης

Βιβλία

• Μέθοδοι επίλυσης ορισμένων προβλημάτων σε επιλεγμένες ενότητες ανώτερων μαθηματικών. Εργαστήριο, Konstantin Grigorievich Klimenko, Galina Vasilievna Levitskaya, Evgeniy Alexandrovich Kozlovsky. Αυτό το εργαστήριο συζητά μεθόδους για την επίλυση ορισμένων τύπων προβλημάτων από τέτοιες ενότητες του γενικά αποδεκτού μαθήματος. μαθηματική ανάλυση, ως το όριο και το άκρο μιας συνάρτησης, κλίσης και παραγώγου...