Εγχειρίδιο First-Order Partial Differential Equations - Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations

Ains E.L. Συνήθης διαφορικές εξισώσεις. Kharkov: ONTI, 1939

Andronov A.A., Leontovich E.V., Gordon I.I., Mayer A.G. Ποιοτική θεωρία δυναμικών συστημάτων δεύτερης τάξης. Μόσχα: Nauka, 1966

Anosov D.V. (επιμ.) Ομαλή δυναμικά συστήματα(Συλλογή μεταφράσεων, Μαθηματικά στην ξένη επιστήμη Ν4). Μ.: Μιρ, 1977

Arnold V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. Μαθηματικές όψεις της κλασικής και της ουράνιας μηχανικής. Μ.: ΒΙΝΙΤΗ, 1985

Barbashin E.A. Λειτουργεί ο Lyapunov. Μόσχα: Nauka, 1970

Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations (2η έκδ.). Μόσχα: Nauka, 1974

Vazov V. Ασυμπτωτικές επεκτάσεις λύσεων συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Μ.: Μιρ, 1968

Weinberg M.M., Trenogin V.A. Η θεωρία της διακλάδωσης απόφασης δεν είναι γραμμικές εξισώσεις. Μόσχα: Nauka, 1969

Golubev V.V. Διαλέξεις για την αναλυτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. M.-L.: Gostekhteorizdat, 1950

Γκούρσα Ε. Πορεία μαθηματική ανάλυση, τόμος 2, μέρος 2. Διαφορικές εξισώσεις. M.-L.: GTTI, 1933

Demidovich B.P. Διαλέξεις για τη μαθηματική θεωρία της σταθερότητας. Μόσχα: Nauka, 1967

Dobrovolsky V.A. Δοκίμια για την ανάπτυξη της αναλυτικής θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Κίεβο: Σχολείο Vishcha, 1974

Egorov D. Ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων (3η έκδ.). Μ.: Εκτύπωση Yakovlev, 1913

Erugin N.P. Βιβλίο για ανάγνωση γενική συναλλαγματική ισοτιμίαδιαφορικές εξισώσεις (3η έκδ.). Μινσκ: Επιστήμη και τεχνολογία, 1979

Erugin N.P. Γραμμικά συστήματασυνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις με περιοδικούς και οιονεί περιοδικούς συντελεστές. Μινσκ: AN BSSR, 1963

Erugin N.P. Μέθοδος Lappo-Danilevsky στη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Λ.: Κρατικό Πανεπιστήμιο του Λένινγκραντ, 1956

Zaitsev V.F. Εισαγωγή στη σύγχρονη ομαδική ανάλυση. Μέρος 1: Ομάδες μετασχηματισμών στο επίπεδο ( φροντιστήριοστο μάθημα). Αγία Πετρούπολη: Ρωσικό Κρατικό Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο im. A.I. Herzen, 1996

Zaitsev V.F. Εισαγωγή στη σύγχρονη ομαδική ανάλυση. Μέρος 2ο: Εξισώσεις πρώτης τάξης και οι επιτρεπόμενες από αυτές ομάδες βαθμών (σχολικό βιβλίο για το ειδικό μάθημα). Αγία Πετρούπολη: Ρωσικό Κρατικό Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο im. A.I. Herzen, 1996

Ibragimov N.Kh. ABC ομαδικής ανάλυσης. Μόσχα: Γνώση, 1989

Ibragimov N.Kh. Εμπειρία ομαδικής ανάλυσης συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Μόσχα: Γνώση, 1991

Kamenkov G.V. Επιλεγμένα γραπτά. Τ.1. Σταθερότητα κίνησης. διακυμάνσεις. Αεροδυναμική. Μόσχα: Nauka, 1971

Kamenkov G.V. Επιλεγμένα έργα. Τ.2. Σταθερότητα και διακυμάνσεις μη γραμμικά συστήματα. Μόσχα: Nauka, 1972

Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations (4η έκδοση). Μόσχα: Nauka, 1971

Kaplansky I. Εισαγωγή στη διαφορική άλγεβρα. Μ.: IL, 1959

Kartashev A.P., Rozhdestvensky B.L. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και θεμελιώδεις αρχές του λογισμού των μεταβολών (2η έκδ.). Μόσχα: Nauka, 1979

Coddington EA, Levinson N. Θεωρία συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Μ.: IL, 1958

Kozlov V.V. Συμμετρίες, τοπολογία και συντονισμοί στη μηχανική του Χαμιλτονίου. Izhevsk: Εκδοτικός Οίκος του Κράτους Udmurt. Πανεπιστήμιο, 1995

Collatz L. Προβλήματα ιδιοτιμής (με τεχνικές εφαρμογές). Μόσχα: Nauka, 1968

Cole J. Μέθοδοι διαταραχής σε εφαρμοσμένα μαθηματικά. Μ.: Μιρ, 1972

Κογιάλοβιτς Β.Μ. Έρευνα για τη διαφορική εξίσωση ydy-ydx=Rdx. Αγία Πετρούπολη: Ακαδημία Επιστημών, 1894

Krasovsky N.N. Μερικά προβλήματα της θεωρίας της ευστάθειας κίνησης. Μόσχα: Fizmatlit, 1959

Kruskal M. Adiabatic invariants. Ασυμπτωτική θεωρία των εξισώσεων Hamilton και άλλων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων, όλες οι λύσεις των οποίων είναι περίπου περιοδικές. Μ.: IL, 1962

Kurensky M.K. Διαφορικές εξισώσεις. Βιβλίο 1. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. L .: Ακαδημία Πυροβολικού, 1933

Lappo-Danilevsky I.A. Εφαρμογή συναρτήσεων από πίνακες στη θεωρία γραμμικών συστημάτων συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Μ.: GITTL, 1957

Lappo-Danilevsky I.A. Θεωρία συναρτήσεων από πίνακες και συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. L.-M., GITTL, 1934

LaSalle J., Lefschetz S. Μελέτη σταθερότητας με την άμεση μέθοδο Lyapunov. Μ.: Μιρ, 1964

Levitan B.M., Zhikov V.V. Σχεδόν περιοδικές συναρτήσεις και διαφορικές εξισώσεις. Μόσχα: Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, 1978

Lefshetz S. Γεωμετρική θεωρία διαφορικών εξισώσεων. Μ.: IL, 1961

Lyapunov A.M. Το γενικό πρόβλημα της ευστάθειας κίνησης. M.-L.: GITTL, 1950

Malkin I.G. Θεωρία ευστάθειας κίνησης. Μόσχα: Nauka, 1966

Marchenko V.A. Οι χειριστές Sturm-Liouville και οι εφαρμογές τους. Κίεβο: Ναούκ. σκέψη, 1977

Marchenko V.A. Φασματική θεωρία τελεστών Sturm-Liouville. Κίεβο: Ναούκ. σκέψη, 1972

Matveev N.M. Methods for Integrating Ordinary Differential Equations (3η έκδ.). Μ.: μεταπτυχιακό σχολείο, 1967

Mishchenko E.F., Rozov N.X. Διαφορικές εξισώσεις με μικρή παράμετρο και ταλαντώσεις χαλάρωσης. Μόσχα: Nauka, 1975

Moiseev N.N. Ασυμπτωτικές μέθοδοι μη γραμμικής μηχανικής. Μόσχα: Nauka, 1969

Mordukhai-Boltovskoy D. Περί ολοκλήρωσης σε πεπερασμένη μορφή γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Βαρσοβία, 1910

Naimark M.A. Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές (2η έκδ.). Μόσχα: Nauka, 1969

Nemytsky V.V., Stepanov V.V. Ποιοτική θεωρία διαφορικών εξισώσεων. Μ.-Λ.: OGIZ, 1947

Pliss V.A. Μη τοπικά προβλήματα της θεωρίας των ταλαντώσεων. Μ.-Λ.: Nauka, 1964

Ponomarev K.K. Σύνταξη διαφορικών εξισώσεων. Μν.: Vysh. σχολείο, 1973

Pontryagin L.S. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (4η έκδ.). Μόσχα: Nauka, 1974

Poincaré A. Στις καμπύλες που ορίζονται από διαφορικές εξισώσεις. M.-L., GITTL, 1947

Rasulov M.L. Η μέθοδος του ολοκληρωτικού περιγράμματος και η εφαρμογή της στη μελέτη προβλημάτων για διαφορικές εξισώσεις. Μόσχα: Nauka, 1964

Rumyantsev V.V., Oziraner A.S. Σταθερότητα και σταθεροποίηση της κίνησης σε σχέση με κάποιες από τις μεταβλητές. Μόσχα: Nauka, 1987

Sansone J. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, τόμος 1. Μόσχα: IL, 1953

Ονομα: Εγχειρίδιο συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων.

Το «Handbook of Ordinary Differential Equations» του διάσημου Γερμανού μαθηματικού Erich Kamke (1890 - 1961) είναι μια μοναδική έκδοση ως προς την υλική κάλυψη και κατέχει επάξια θέση στην παγκόσμια βιβλιογραφία μαθηματικών αναφοράς.
Η πρώτη έκδοση της ρωσικής μετάφρασης αυτού του βιβλίου εμφανίστηκε το 1951. Οι δύο τελευταίες δεκαετίες ήταν μια περίοδος ταχείας ανάπτυξης των υπολογιστικών μαθηματικών και της τεχνολογίας υπολογιστών. Τα σύγχρονα υπολογιστικά εργαλεία επιτρέπουν γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια την επίλυση διαφόρων προβλημάτων που προηγουμένως φαίνονταν πολύ δυσκίνητα. Συγκεκριμένα, αριθμητικές μεθόδουςχρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα που σχετίζονται με συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Ωστόσο, η δυνατότητα καταγραφής της γενικής λύσης μιας ή άλλης διαφορικής εξίσωσης ή συστήματος σε κλειστή μορφή έχει σε πολλές περιπτώσεις σημαντικά πλεονεκτήματα. Επομένως, το εκτενές υλικό αναφοράς, που συγκεντρώνει στο τρίτο μέρος του βιβλίου ο Ε. Κάμκε, -περίπου 1650 εξισώσεις με λύσεις- παραμένει μεγάλης σημασίας ακόμη και τώρα.

Εκτός από τα παραπάνω υλικό αναφοράς, το βιβλίο του Ε. Κάμκε περιέχει μια παρουσίαση (αν και χωρίς απόδειξη) των βασικών εννοιών και βασικά αποτελέσματαπου σχετίζονται με συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Καλύπτει επίσης μια σειρά τέτοιων θεμάτων που συνήθως δεν περιλαμβάνονται σε σχολικά βιβλία για διαφορικές εξισώσεις (για παράδειγμα, τη θεωρία των προβλημάτων συνοριακής τιμής και τα προβλήματα ιδιοτιμών).
Το βιβλίο του E. Kamke περιέχει πολλά στοιχεία και αποτελέσματα που είναι χρήσιμα στην καθημερινή εργασία· αποδείχθηκε πολύτιμο και απαραίτητο για ένα ευρύ φάσμα επιστημόνων και ειδικών σε εφαρμοσμένους τομείς, για μηχανικούς και φοιτητές. Τρεις προηγούμενες εκδόσεις της μετάφρασης αυτού του εγχειριδίου στα ρωσικά έγιναν δεκτές από τους αναγνώστες και εξαντλήθηκαν εδώ και πολύ καιρό.
Η ρωσική μετάφραση επανελέγχθηκε σε σχέση με την έκτη γερμανική έκδοση (1959). Διορθώθηκαν ανακρίβειες, λάθη και τυπογραφικά λάθη. Όλες οι παρεμβολές, τα σχόλια και οι προσθήκες στο κείμενο από τον επιμελητή και τον μεταφραστή περικλείονται σε αγκύλες. Στο τέλος του βιβλίου, κάτω από τον τίτλο "Προσθήκες", υπάρχουν συνοπτικές μεταφράσεις (που εκτελούνται από τον N. Kh. Rozov) αυτών των πολλών άρθρων περιοδικών που συμπληρώνουν το μέρος αναφοράς που ανέφερε ο συγγραφέας στην έκτη γερμανική έκδοση.

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ
Κεφάλαιο Ι
§ 1. Διαφορικές εξισώσεις που επιλύθηκαν σε σχέση με
παράγωγο: y" \u003d f (x, y)· βασικές έννοιες
1.1. Σημειογραφία και γεωμετρική σημασίαδιαφορικός
εξισώσεις
1.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης
§ 2. Διαφορικές εξισώσεις που επιλύθηκαν σε σχέση με
παράγωγο: y" \u003d f (x, y)· μέθοδοι επίλυσης
2.1. Μέθοδος Polyline
2.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf
2.3. Εφαρμογή σειράς ισχύος
2.4. Μια γενικότερη περίπτωση επέκτασης σειρών25
2.5. Επέκταση σε σειρά στην παράμετρο 27
2.6. Σύνδεση με μερικές διαφορικές εξισώσεις27
2.7. Θεωρήματα αξιολόγησης 28
2.8. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες αξίες x 30
§ 3. Διαφορικές εξισώσεις που δεν επιλύθηκαν σε σχέση με το 32
παράγωγο: F(y", y, x)=0
3.1. Σχετικά με τις λύσεις και τις μεθόδους λύσης 32
3.2. Κανονικά και μοναδικά γραμμικά στοιχεία33
§ 4. Λύση ειδικών μορφών διαφορικών εξισώσεων των πρώτων 34
Σειρά
4.1. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 35.
4.4. Ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
4.5. Εξίσωση Bernoulli y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις και αναγωγές τους38
4.7. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις 40
4.8. Ειδική εξίσωση Riccati: y "+ y2 \u003d bxa 40
4.9. Γενική εξίσωση Riccati: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Abel εξίσωση πρώτου είδους44
4.11. Abel εξίσωση δεύτερου είδους47
4.12. Εξίσωση σε Συνολικά Διαφορικά 49
4.13. Συντελεστής ολοκλήρωσης 49
4.14. F(y",y,x)=0, "ολοκλήρωση με διαφοροποίηση" 50
4.15. (α) y=G(x, y")· (β) x=G(y, y") 50
4.16. (α) G(y ",x)=0· (β) G(y\y)=Q 51
4.17. (α) y"=g(y)· (6) x=g(y") 51
4.18. Εξισώσεις Clairaut 52
4.19. Εξίσωση Lagrange-D'Alembert 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Μεταμόρφωση Legendre53
Κεφάλαιο II. Αυθαίρετα συστήματαδιαφορικές εξισώσεις που επιλύονται ως προς τις παραγώγους
§ 5. Βασικές έννοιες54
5.1. Σημείωση και γεωμετρική σημασία του συστήματος διαφορικών εξισώσεων
5.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης 54
5.3. Θεώρημα ύπαρξης Carathéodory 5 5
5.4. Εξάρτηση της λύσης από τις αρχικές συνθήκες και παραμέτρους56
5.5. Θέματα Αειφορίας57
§ 6. Μέθοδοι λύσης 59
6.1. Μέθοδος Polyline59
6.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf59
6.3. Εφαρμογή της σειράς ισχύος 60
6.4. Σύνδεση με μερικές διαφορικές εξισώσεις 61
6.5. Αναγωγή συστήματος με χρήση γνωστής σχέσης μεταξύ λύσεων
6.6. Μείωση συστήματος με διαφοροποίηση και εξάλειψη 62
6.7. Θεωρήματα αξιολόγησης 62
§ 7. Αυτόνομα συστήματα 63
7.1. Ορισμός και γεωμετρική σημασία ενός αυτόνομου συστήματος 64
7.2. Σχετικά με τη συμπεριφορά των ολοκληρωτικών καμπυλών σε μια γειτονιά ενός μοναδικού σημείου στην περίπτωση n = 2
7.3. Κριτήρια για τον προσδιορισμό του τύπου του ενικού σημείου 66
Κεφάλαιο III.
§ 8. Αυθαίρετα γραμμικά συστήματα70
8.1. Γενικές παρατηρήσεις70
8.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι λύσης70
8.3. Μίξη ετερογενές σύστημαπρος ομοιογενή71
8.4. Θεωρήματα αξιολόγησης 71
§ 9. Ομογενή γραμμικά συστήματα72
9.1. Ιδιότητες διαλύματος. Θεμελιώδη συστήματα αποφάσεων 72
9.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μέθοδοι επίλυσης 74
9.3. Αναγωγή συστήματος σε σύστημα με λιγότερες εξισώσεις75
9.4. Συζυγές σύστημα διαφορικών εξισώσεων76
9.5. Αυτοσυνημμένα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, 76
9.6. Συζυγή συστήματα διαφορικών μορφών. Ταυτότητα Lagrange, η φόρμουλα του Green
9.7. Θεμελιώδεις λύσεις78
§10. Ομογενή γραμμικά συστήματα με μοναδικά σημεία 79
10.1. Ταξινόμηση ενικών σημείων 79
10.2. Αδύναμα σημεία ενικού80
10.3. Έντονα μοναδικά σημεία 82
§έντεκα. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές x 83
§12. Γραμμικά συστήματα ανάλογα με μια παράμετρο84
§13. Γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές 86
13.1. Ομοιογενή συστήματα 83
13.2. Γενικότερα συστήματα 87
Κεφάλαιο IV. Αυθαίρετες διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
§ 14. Εξισώσεις που επιλύθηκαν ως προς την υψηλότερη παράγωγο: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. Εξισώσεις που δεν επιλύθηκαν ως προς την υψηλότερη παράγωγο:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Εξισώσεις σε Συνολικά Διαφορικά90
15.2. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις 90
15.3. Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά x ή y 91
Κεφάλαιο V Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης,
§16. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης92
16.1. Γενικές παρατηρήσεις92
16.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι λύσης92
16.3. Εξάλειψη της παραγώγου (n-1) ης τάξης94
16.4. Αναγωγή μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης σε ομοιογενή
16.5. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες αξίες του x94
§17. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης 95
17.1. Ιδιότητες λύσεων και θεωρήματα ύπαρξης 95
17.2. Μείωση της τάξης μιας διαφορικής εξίσωσης96
17.3. 0 μηδενικές λύσεις 97
17.4. Βασικές λύσεις 97
17.5. Διαφορικές μορφές συζυγούς, αυτοσυνημμένου και αντι-αυτοπροσαρτημένου
17.6. Ταυτότητα Lagrange; Τύποι Dirichlet και Green 99
17.7. Επί λύσεων συναφών εξισώσεων και εξισώσεων σε ολικά διαφορικά
§18. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με ενικό101
αποσιωπητικά
18.1. Ταξινόμηση ενικών σημείων 101
18.2. Η περίπτωση που το σημείο x=E είναι κανονικό ή ασθενώς ενικό104
18.3. Η περίπτωση που το σημείο x=inf είναι κανονικό ή ασθενώς ενικό108
18.4. Η περίπτωση που το σημείο x = % είναι έντονα ενικό 107
18.5. Η περίπτωση που το σημείο x=inf είναι έντονα ενικό 108
18.6. Διαφορικές Εξισώσεις με Πολυωνυμικούς Συντελεστές
18.7. Διαφορικές Εξισώσεις με Περιοδικούς Συντελεστές
18.8. Διαφορικές Εξισώσεις με Διπλούς Περιοδικούς Συντελεστές
18.9. Η περίπτωση μιας πραγματικής μεταβλητής112
§19. Επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το 113
οριστικά ολοκληρώματα
19.1. Γενική αρχή 113
19.2. Μετασχηματισμός Laplace 116
19.3 Ειδικός μετασχηματισμός Laplace 119
19.4. Mellin Transform 120
19.5. Μετασχηματισμός Euler 121
19.6. Λύση με διπλά ολοκληρώματα 123
§ 20. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές x 124
20.1. Πολυωνυμικοί Συντελεστές124
20.2. Γενικότεροι συντελεστές 125
20.3. Συνεχείς πιθανότητες 125
20.4. Θεωρήματα ταλαντώσεων126
§21. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης ανάλογα με127
παράμετρος
§ 22. Μερικοί ειδικοί τύποι γραμμικών διαφορικών129
εξισώσεις νης τάξης
22.1. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
22.2. Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερές130
22.3. Εξισώσεις Euler 132
22.4. Εξίσωση Laplace132
22.5. Εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές133
22.6. Εξίσωση Pochhammer134
Κεφάλαιο VI. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
§ 23. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 139
23.1. Μέθοδοι επίλυσης συγκεκριμένων τύπων μη γραμμικών εξισώσεων 139
23.2. Μερικές επιπλέον παρατηρήσεις140
23.3. Θεωρήματα οριακής τιμής 141
23.4. Θεώρημα ταλάντωσης 142
§ 24. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του δεύτερου 142
Σειρά
24.1. Γενικές παρατηρήσεις142
24.2. Μερικές μέθοδοι επίλυσης 143
24.3. Θεωρήματα αξιολόγησης 144
§ 25. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 145
25.1. Αναγωγή γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.2. Περαιτέρω παρατηρήσεις σχετικά με τη μείωση των γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.3. Επέκταση της Λύσης σε Συνεχιζόμενο Κλάσμα 149
25.4. Γενικές παρατηρήσεις για τη λύση zeros150
25.5. Μηδενικά λύσεων σε πεπερασμένο διάστημα151
25.6. Συμπεριφορά λύσεων για x->inf 153
25.7. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με ενικά σημεία
25.8. Λύσεις κατά προσέγγιση. Ασυμπτωτικές λύσεις πραγματική μεταβλητή
25.9. Ασυμπτωτικές λύσεις; σύνθετη μεταβλητή161
25.10. Μέθοδος WBC 162
Κεφάλαιο VII. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης και τέταρτης
παραγγελίες
§ 26. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης163
§ 27. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης 164
Κεφάλαιο VIII. Κατά προσέγγιση μέθοδοι ολοκλήρωσης διαφορικού
εξισώσεις
§ 28. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων 165
πρώτη σειρά
28.1. Η μέθοδος των διακεκομμένων γραμμών165.
28.2. Μέθοδος πρόσθετου μισού βήματος 166
28.3. Μέθοδος Runge-Hein-Kutta 167
28.4. Συνδυάζοντας παρεμβολή και διαδοχικές προσεγγίσεις168
28.5. Μέθοδος Adams 170
28.6. Προσθήκες στη μέθοδο Adams 172
§ 29. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων 174
υψηλότερες παραγγελίες
29.1. Μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά προσέγγιση για συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
29.2. Η μέθοδος διακεκομμένης γραμμής για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 176
29.3. Μέθοδος Runge-Kutta για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
29.4. Μέθοδος Adams - Shtormer για την εξίσωση y "=f (x, y, y) 177
29.5. Μέθοδος Adams - Shtormer για την εξίσωση y "=f (x, y) 178
29.6. Η μέθοδος του Bless για την εξίσωση y"=f(x,y,y) 179

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ
Προβλήματα οριακής τιμής και ιδιοτιμής
Κεφάλαιο Ι Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών για γραμμικά
διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
§ 1. Γενική θεωρίαπροβλήματα οριακής τιμής182
1.1. Σημειογραφία και προκαταρκτικά 182
1.2. Προϋποθέσεις επιλύσεως προβλήματος οριακής τιμής184
1.3. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής 185
1.4. Προβλήματα αυτοσυνοριακής τιμής 187
1.5. Συνάρτηση Green 188
1.6. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του Green 190
1.7. Γενικευμένη συνάρτηση Green 190
§ 2. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμής για την εξίσωση 193
£SHU(Y)+YX)Y = 1(X)
2.1. Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις. χαρακτηριστική ορίζουσα A(X)
2.2. Πρόσθετο πρόβλημα ιδιοτιμής και επίλυση του Green. πλήρες διορθογώνιο σύστημα
2.3. Κανονικοποιημένες οριακές συνθήκες. κανονικά προβλήματα ιδιοτιμών
2.4. Ιδιοτιμές για κανονικά και ακανόνιστα προβλήματα ιδιοτιμών
2.5. Αποσύνθεση δεδομένη λειτουργίααπό ιδιοσυναρτήσεις κανονικών και ανώμαλων προβλημάτων ιδιοτιμής
2.6. Προβλήματα αυτοσυναρμολόγησης κανονικών ιδιοτιμών 200
2.7. Στις ολοκληρωτικές εξισώσεις του Fredholm Type 204
2.8. Σχέση μεταξύ προβλημάτων συνοριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.9. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.10. Περί Ολοκληρωμένων Εξισώσεων Volterra Type211
2.11. Σχέση προβλημάτων οριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.12. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.13. Σχέση μεταξύ προβλημάτων ιδιοτιμής και λογισμού μεταβολών
2.14. Εφαρμογή στην επέκταση ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις218
2.15. Συμπληρωματικές παρατηρήσεις219
§ 3. Κατά προσέγγιση μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων σε ιδιοτιμές u222-
προβλήματα οριακής τιμής
3.1. Κατά προσέγγιση μέθοδος Galerkin-Ritz222
3.2. Κατά προσέγγιση μέθοδος Grammel224
3.3. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής με τη μέθοδο Galerkin-Ritz
3.4. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων 226
3.5. Κατά προσέγγιση επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών και προβλημάτων ιδιοτιμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών
3.6. Μέθοδος διαταραχής 230
3.7. Εκτιμήσεις ιδιοτιμών 233
3.8. Επισκόπηση τρόπων υπολογισμού ιδιοτιμών και 236 ιδιοσυναρτήσεων
§ 4. Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών για μια εξίσωση238
F(y)=W(y)
4.1. Δήλωση προβλήματος 238
4.2. Γενικές προκαταρκτικές παρατηρήσεις 239
4.3. Κανονικά προβλήματα ιδιοτιμής 240
4.4. Προβλήματα θετικής οριστικής ιδιοτιμής 241
4.5. Επέκταση ιδιοσυνάρτησης 244
§ 5. Οριακές και πρόσθετες προϋποθέσεις γενικότερης μορφής 247
Κεφάλαιο II. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
§ 6. Προβλήματα συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα 249
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
6.1. Σημειώσεις και συνθήκες επιλυσιμότητας 249
6.2. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής 250
6.3. Green Matrix252
6.4. Προβλήματα ιδιοτιμών 252-
6.5. Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών 253
Κεφάλαιο III. Προβλήματα οριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για εξισώσεις
χαμηλότερες παραγγελίες
§ 7. Προβλήματα πρώτης τάξης256
7.1. Γραμμικά προβλήματα 256
7.2. Μη γραμμικά προβλήματα 257
§ 8. Προβλήματα γραμμικής οριακής τιμής δεύτερης τάξης257
8.1. Γενικές παρατηρήσεις 257
8.2. Συνάρτηση Green 258
8.3. Εκτιμήσεις για λύσεις προβλημάτων οριακής τιμής πρώτου είδους259
8.4. Οριακές συνθήκες για |х|->inf259
8.5. Εύρεση περιοδικών λύσεων 260
8.6. Ένα πρόβλημα οριακής τιμής που σχετίζεται με τη μελέτη της ροής ρευστού 260
§ 9. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής δεύτερης τάξης 261
9.1. Γενικές παρατηρήσεις 261
9.2 Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y και οι οριακές συνθήκες είναι αυτοπροσαρτημένες266
9.4. Προβλήματα ιδιοτιμών και η αρχή της μεταβλητότητας269
9.5. Σχετικά με τον πρακτικό υπολογισμό ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων
9.6. Προβλήματα ιδιοτιμής, όχι απαραίτητα αυτοπροσαρτημένα271
9.7. Πρόσθετοι όροιγενικότερη άποψη273
9.8. Προβλήματα ιδιοτιμών που περιέχουν πολλαπλές παραμέτρους
9.9. Διαφορικές εξισώσεις με ιδιομορφίες σε οριακά σημεία 276
9.10. Προβλήματα ιδιοτιμών σε άπειρο διάστημα 277
§10. Προβλήματα μη γραμμικής οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών 278
δεύτερη παραγγελία
10.1. Προβλήματα οριακής τιμής για πεπερασμένο διάστημα 278
10.2. Προβλήματα οριακής τιμής για ένα ημιπεριορισμένο διάστημα 281
10.3. Προβλήματα ιδιοτιμής282
§έντεκα. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών του Τρίτου
όγδοη τάξη
11.1. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τρίτης τάξης283
11.2. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τέταρτης τάξης 284
11.3. Γραμμικά προβλήματα για ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
11.4. Προβλήματα μη γραμμικής οριακής τιμής τέταρτης τάξης 287
11.5. Προβλήματα ιδιοτιμών περισσότερα υψηλή τάξη 288

ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ
ΧΩΡΙΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις 290
Κεφάλαιο Ι Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
1-367. Διαφορικό, εξισώσεις πρώτου βαθμού ως προς το U 294
368-517. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς το 334
518-544. Διαφορικές εξισώσεις τρίτου βαθμού ως προς το 354
545-576. Διαφορικές εξισώσεις μιας πιο γενικής μορφής358
Κεφάλαιο II. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης
1-90. ay" + ...363
91-145. (ax + yuy " + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2 ± a2) y "+ ... 410
251-303. (ax2 + bx + c) y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (αχ "+ ...) y" + ... 449
411-445. Άλλες διαφορικές εξισώσεις 454
Κεφάλαιο III. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης
Κεφάλαιο IV. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης
Κεφάλαιο V Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του πέμπτου και άνω
παραγγελίες
Κεφάλαιο VI. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Άλλες διαφορικές εξισώσεις 520
Κεφάλαιο VII. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του τρίτου και άνω
υψηλές παραγγελίες
Κεφάλαιο VIII. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις 530
1-18. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης с530
σταθεροί συντελεστές 19-25.
Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης с534
μεταβλητούς συντελεστές
26-43. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων τάξης παραπάνω535
πρώτα
44-57. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις538
Κεφάλαιο IX. Συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
1-17. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων541
18-29. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις 544
ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
Επί επίλυσης γραμμικής ομοιογενείς εξισώσειςδεύτερη τάξη (I. Zbornik) 547
Προσθήκες στο βιβλίο του E. Kamke (D. Mitrinovich) 556
Ένας νέος τρόπος ταξινόμησης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και 568
κατασκευάζοντας τη γενική τους λύση χρησιμοποιώντας αναδρομικούς τύπους
(Ι. Ζμπόρνικ)
Ευρετήριο 571

Πρόλογος στην τέταρτη έκδοση
Κάποιοι χαρακτηρισμοί
Αποδεκτές συντομογραφίες σε βιβλιογραφικές ενδείξεις
ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ
§ 1. Διαφορικές εξισώσεις που επιλύονται ως προς την παράγωγο: (τύπος) βασικές έννοιες
1.1. Σημείωση και γεωμετρική σημασία της διαφορικής εξίσωσης
1.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης
§ 2. Διαφορικές εξισώσεις που επιλύονται ως προς την παράγωγο: (τύπος); μεθόδους λύσης
2.1. Μέθοδος Polyline
2.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf
2.3. Εφαρμογή σειράς ισχύος
2.4. Μια γενικότερη περίπτωση επέκτασης σειράς
2.5. Επέκταση σειράς παραμέτρων
2.6. Σχέση με μερικές διαφορικές εξισώσεις
2.7. Εκτίμηση θεωρημάτων
2.8. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές (?)
§ 3. Διαφορικές εξισώσεις που δεν επιλύονται ως προς την παράγωγο: (τύπος)
3.1. Σχετικά με τις λύσεις και τις μεθόδους λύσης
3.2. Στοιχεία κανονικής και ειδικής γραμμής
§ 4. Επίλυση Ειδικών τύπων Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης
4.1. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές
4.2. (τύπος)
4.3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
4.4. Ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
4.5. Εξίσωση Bednulli (τύπος)
4.6. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις και αναγωγές τους
4.7. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις
4.8. Ειδική εξίσωση Riccati: (τύπος)
4.9. Γενική εξίσωση Riccati: (τύπος)
4.10. Abel εξίσωση πρώτου είδους
4.11. Abel εξίσωση δεύτερου είδους
4.12. Εξίσωση σε ολικά διαφορικά
4.13. Συντελεστής ολοκλήρωσης
4.14. (τύπος), "ολοκλήρωση μέσω διαφοροποίησης"
4.15. (τύπος)
4.16. (τύπος)
4.17. (τύπος)
4.18. Οι εξισώσεις του Clairaut
4.19. Εξίσωση Lagrange - d'Alembert
4.20. (τύπος). Μεταμόρφωση Legendre
Κεφάλαιο II. Αυθαίρετα συστήματα διαφορικών εξισώσεων λυμένα ως προς τις παραγώγους
§ 5. Βασικές έννοιες
5.1. Σημείωση και γεωμετρική σημασία του συστήματος διαφορικών εξισώσεων
5.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης
5.3. Θεώρημα ύπαρξης Carathéodory
5.4. Εξάρτηση της λύσης από τις αρχικές συνθήκες και από τις παραμέτρους
5.5. Θέματα Βιωσιμότητας
§ 6. Μέθοδοι λύσης
6.1. Μέθοδος Polyline
6.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf
6.3. Εφαρμογή σειράς ισχύος
6.4. Σχέση με μερικές διαφορικές εξισώσεις
6.5. Αναγωγή συστήματος με χρήση γνωστής σχέσης μεταξύ λύσεων
6.6. Μείωση συστήματος με διαφοροποίηση και εξάλειψη
6.7. Εκτίμηση θεωρημάτων
§ 7. Αυτόνομα συστήματα
7.1. Ορισμός και γεωμετρική σημασία ενός αυτόνομου συστήματος
7.2. Σχετικά με τη συμπεριφορά των ολοκληρωτικών καμπυλών σε μια γειτονιά ενός μοναδικού σημείου στην περίπτωση n = 2
7.3. Κριτήρια για τον προσδιορισμό του τύπου του ενικού σημείου
Κεφάλαιο III. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
§ 8. Αυθαίρετα γραμμικά συστήματα
8.1. Γενικές παρατηρήσεις
8.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι Λύσης
8.3. Αναγωγή ενός ανομοιογενούς συστήματος σε ομοιογενές
8.4. Εκτίμηση θεωρημάτων
§ 9. Ομογενή γραμμικά συστήματα
9.1. Ιδιότητες διαλύματος. Συστήματα Θεμελιωδών Λύσεων
9.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μέθοδοι επίλυσης
9.3. Αναγωγή συστήματος σε σύστημα με λιγότερες εξισώσεις
9.4. Συζυγές σύστημα διαφορικών εξισώσεων
9.5. Αυτοσυνημμένα συστήματα διαφορικών εξισώσεων
9.6. Συζυγή συστήματα διαφορικών μορφών. Ταυτότητα Lagrange, η φόρμουλα του Green
9.7. Θεμελιώδεις Λύσεις
§ 10. Ομογενή γραμμικά συστήματα με μοναδικά σημεία
10.1. Ταξινομήσεις Singular Point
10.2. Αδύναμα μοναδικά σημεία
10.3. Ισχυρά μοναδικά σημεία
§ 11. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές του x
§ 12. Γραμμικά συστήματα ανάλογα με μια παράμετρο
§ 13. Γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές
13.1. Ομοιογενή συστήματα
13.2. Γενικότερα συστήματα
Κεφάλαιο IV. Αυθαίρετες διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
§ 14. Εξισώσεις που επιλύθηκαν ως προς την υψηλότερη παράγωγο: (τύπος)
§ 15. Εξισώσεις που δεν επιλύθηκαν ως προς την υψηλότερη παράγωγο: (τύπος)
15.1. Εξισώσεις σε Συνολικά Διαφορικά
15.2. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις
15.3. Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά x ή y
Κεφάλαιο V. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
§ 16. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
16.1. Γενικές παρατηρήσεις
16.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι Λύσης
16.3. (n-1)-th Order Εξάλειψη παραγώγου
16.4. Αναγωγή μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης σε ομοιογενή
16.5. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές του x
§ 17. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
17.1. Ιδιότητες Λύσεων και Θεωρήματα Ύπαρξης
17.2. Μείωση της σειράς μιας διαφορικής εξίσωσης
17.3. Στα μηδενικά των λύσεων
17.4. Θεμελιώδεις Λύσεις
17.5. Διαφορικές μορφές συζυγούς, αυτοσυνημμένου και αντι-αυτοπροσαρτημένου
17.6. Ταυτότητα Lagrange; Οι τύποι του Dirichlet και του Green
17.7. Επί λύσεων συζυγών εξισώσεων και εξισώσεων σε ολικά διαφορικά
§ 18. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με ενικά σημεία
18.1. Ταξινόμηση μοναδικών σημείων
18.2. Η περίπτωση που το σημείο (;) είναι κανονικό ή ασθενώς ενικό
18.3. Η περίπτωση που το σημείο (;) είναι κανονικό ή ασθενώς ενικό
18.4. Η περίπτωση που το σημείο (;) είναι έντονα ενικό
18.5. Η περίπτωση που το σημείο (;) είναι έντονα ενικό
18.6. Διαφορικές Εξισώσεις με Πολυωνυμικούς Συντελεστές
18.7. Διαφορικές Εξισώσεις με Περιοδικούς Συντελεστές
18.8. Διαφορικές Εξισώσεις με Διπλούς Περιοδικούς Συντελεστές
18.9. Πραγματική περίπτωση μεταβλητής
§ 19. Επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με χρήση ορισμένων ολοκληρωμάτων
19.1. Γενική αρχή
19.2. Μετασχηματισμός Laplace
19.3. Ειδικός μετασχηματισμός Laplace
19.4. Μεταμόρφωση Mellin
19.5. Μετασχηματισμός Euler
19.6. Λύση με διπλά ολοκληρώματα
§ 20. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές του x
20.1. Πολυωνυμικοί Συντελεστές
20.2. Γενικότεροι συντελεστές
20.3. Συνεχείς αποδόσεις
20.4. Θεωρήματα ταλαντώσεων
§ 21. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης, ανάλογα με την παράμετρο
§ 22. Μερικοί ειδικοί τύποι γραμμικών διαφορικών εξισώσεων νης τάξης
22.1. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
22.2. Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
22.3. Εξισώσεις Euler
22.4. Εξίσωση Laplace
22.5. Εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές
22.6. Εξίσωση Pochhammer
Κεφάλαιο VI. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
§ 23. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
23.1. Μέθοδοι επίλυσης συγκεκριμένων τύπων μη γραμμικών εξισώσεων
23.2. Μερικές επιπλέον σημειώσεις
23.3. Θεωρήματα οριακών τιμών
23.4. Θεώρημα ταλάντωσης
§ 24. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
24.1. Γενικές παρατηρήσεις
24.2. Ορισμένες μέθοδοι λύσης
24.3. Εκτίμηση θεωρημάτων
§ 25. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
25.1. Αναγωγή γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.2. Περαιτέρω παρατηρήσεις σχετικά με τη μείωση των γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.3. Επέκταση της λύσης σε συνεχόμενο κλάσμα
25.4. Γενικές παρατηρήσεις για τη λύση μηδενικά
25.5. Μηδενικά λύσεων σε πεπερασμένο διάστημα
25.6. Συμπεριφορά λύσεων για (?)
25.7. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με ενικά σημεία
25.8. Λύσεις κατά προσέγγιση. Ασυμπτωτικές λύσεις; πραγματική μεταβλητή
25.9. Ασυμπτωτικές λύσεις; σύνθετη μεταβλητή
25.10. Μέθοδος WBC
Κεφάλαιο VII. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης και τέταρτης τάξης
§ 26. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης
§ 27. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης
Κεφάλαιο VIII. Κατά προσέγγιση μέθοδοι ολοκλήρωσης διαφορικών εξισώσεων
§ 28. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
28.1. Μέθοδος Polyline
28.2. Μέθοδος πρόσθετου μισού βήματος
28.3. Μέθοδος Runge-Hein-Kutta
28.4. Συνδυασμός παρεμβολής και διαδοχικών προσεγγίσεων
28.5. Μέθοδος Adams
28.6. Προσθήκες στη μέθοδο Adams
§ 29. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης
29.1. Μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά προσέγγιση για συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
29.2. Η μέθοδος διακεκομμένης γραμμής για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
29.3. Μέθοδος Runge*-Kutta για διαφορικές εξισώσεις αυτής της τάξης
29.4. Μέθοδος Adams - Stoermer για εξίσωση (τύπος)
29.5. Μέθοδος Adams - Stoermer για εξίσωση (τύπος)
29.6. Η μέθοδος του Bless για την εξίσωση (τύπος)
ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ
Προβλήματα οριακής τιμής και ιδιοτιμής
Κεφάλαιο Ι. Προβλήματα οριακής τιμής και ιδιοτιμής για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις νης τάξης
§ 1. Γενική θεωρία προβλημάτων οριακής τιμής
1.1. Σημειώσεις και προκαταρκτικά
1.2. Προϋποθέσεις για την επιλυσιμότητα ενός προβλήματος οριακής τιμής
1.3. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής
1.4. Προβλήματα αυτοσυνοριακής τιμής
1.5. Λειτουργία του Γκριν
1.6. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του Green
1.7. Γενικευμένη συνάρτηση Green
§ 2. Προβλήματα συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για μια εξίσωση (τύπος)
2.1. Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις. χαρακτηριστική ορίζουσα (?)
2.2. Συνημμένο πρόβλημα στις ιδιοτιμές και στον διαλύτη Greya. πλήρες διορθογώνιο σύστημα
2.3. Κανονικοποιημένες οριακές συνθήκες. κανονικά προβλήματα ιδιοτιμών
2.4. Ιδιοτιμές για κανονικά και ακανόνιστα προβλήματα ιδιοτιμών
2.5. Επέκταση μιας δεδομένης συνάρτησης σε ιδιοσυναρτήσεις κανονικών και ακανόνιστων προβλημάτων ιδιοτιμών
2.6. Προβλήματα κανονικής ιδιοτιμής αυτοπροσαρμογής
2.7. Περί Ολοκληρωμένων Εξισώσεων Τύπου Fredholm
2.8. Σύνδεση μεταξύ προβλημάτων οριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.9. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.10. Επί ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.11. Σχέση προβλημάτων οριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.12. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.13. Σχέση μεταξύ προβλημάτων ιδιοτιμής και λογισμού μεταβολών
2.14. Εφαρμογή στην επέκταση ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις
2.15. επιπρόσθετες σημειώσεις
§ 3. Προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ιδιοτιμών και προβλημάτων συνοριακής τιμής
3.1. Κατά προσέγγιση μέθοδος Galerkin-Ritz
3.2. Κατά προσέγγιση μέθοδος Grammel
3.3. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής με τη μέθοδο Galerkin-Ritz
3.4. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων
3.5. Κατά προσέγγιση επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών και προβλημάτων ιδιοτιμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών
3.6. Μέθοδος διαταραχής
3.7. Εκτιμήσεις ιδιοτιμών
3.8. Επισκόπηση τρόπων υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων
§ 4. Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών για μια εξίσωση (τύπος)
4.1. Διατύπωση του προβλήματος
4.2. Γενικά Προκαταρκτικά
4.3. Κανονικά προβλήματα ιδιοτιμής
4.4. Προβλήματα θετικής οριστικής ιδιοτιμής
4.5. Αποσύνθεση ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις
§ 5. Οριακές και πρόσθετες προϋποθέσεις γενικότερης μορφής
Κεφάλαιο II. Προβλήματα οριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
§ 6. Προβλήματα συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
6.1. Σημειώσεις και συνθήκες επιλυσιμότητας
6.2. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής
6.3. Η μήτρα του Γκριν
6.4. Προβλήματα ιδιοτιμών
6.5. Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών
Κεφάλαιο III. Προβλήματα οριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για εξισώσεις χαμηλής τάξης
§ 7. Προβλήματα πρώτης τάξης
7.1. Γραμμικά προβλήματα
7.2. Μη γραμμικά προβλήματα
§ 8. Προβλήματα γραμμικής οριακής τιμής δεύτερης τάξης
8.1. Γενικές παρατηρήσεις
8.2. Λειτουργία του Γκριν
8.3. Εκτιμήσεις για λύσεις προβλημάτων οριακής τιμής πρώτου είδους
8.4. Οριακές συνθήκες στο (?)
8.5. Εύρεση περιοδικών λύσεων
8.6. Ένα πρόβλημα οριακής τιμής που σχετίζεται με τη μελέτη της ροής ρευστού
§ 9. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής δεύτερης τάξης
9.1. Γενικές παρατηρήσεις
9.2 Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών
9.3. (τύπος) και οι οριακές συνθήκες είναι αυτοσυνδεόμενες
9.4. Προβλήματα ιδιοτιμών και η αρχή της μεταβλητότητας
9.5. Σχετικά με τον πρακτικό υπολογισμό ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων
9.6. Προβλήματα ιδιοτιμών, όχι απαραίτητα αυτοσυνθετικά
9.7. Πρόσθετες προϋποθέσεις γενικότερης μορφής
9.8. Προβλήματα ιδιοτιμών που περιέχουν πολλαπλές παραμέτρους
9.9. Διαφορικές εξισώσεις με ιδιομορφίες σε οριακά σημεία
9.10. Προβλήματα ιδιοτιμών σε άπειρο διάστημα
§ 10. Προβλήματα μη γραμμικών συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμής δεύτερης τάξης
10.1. Προβλήματα οριακής τιμής για πεπερασμένο διάστημα
10.2. Προβλήματα οριακής τιμής για ένα ημιπεριορισμένο διάστημα
10.3. Προβλήματα ιδιοτιμών
§ 11. Προβλήματα συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών τρίτης - όγδοης τάξης
11.1. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τρίτης τάξης
11.2. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τέταρτης τάξης
11.3. Γραμμικά προβλήματα για ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
11.4. Προβλήματα μη γραμμικών οριακών τιμών τέταρτης τάξης
11.5. Προβλήματα ιδιοτιμής υψηλότερης τάξης
ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις
Κεφάλαιο Ι. Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
1-367. Διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού ως προς το (?)
368-517. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς το (?)
518-544. Διαφορικές εξισώσεις τρίτου βαθμού ως προς το (?)
545-576. Διαφορικές εξισώσεις γενικότερης μορφής
Κεφάλαιο II. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης
1-90. (τύπος)
91-145. (τύπος)
146-221. (τύπος)
222-250. (τύπος)
251-303. (τύπος)
304-341. (τύπος)
342-396. (τύπος)
397-410. (τύπος)
411-445. Άλλες διαφορικές εξισώσεις
Κεφάλαιο III. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης
Κεφάλαιο IV. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης
Κεφάλαιο V. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της πέμπτης και ανώτερης τάξης
Κεφάλαιο VI. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
1-72. (τύπος)
73-103. (τύπος)
104-187. (τύπος)
188-225. (τύπος)
226-249. Άλλες διαφορικές εξισώσεις
Κεφάλαιο VII. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης και ανώτερης τάξης
Κεφάλαιο VIII. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις
1-18. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές
19-25. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές
26-43. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων τάξης υψηλότερης από την πρώτη
44-57. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις
Κεφάλαιο IX. Συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
1-17. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων
18-29. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις
ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
Για τη λύση γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων δεύτερης τάξης (I. Zbornik)
Προσθήκες στο βιβλίο του E. Kamke (D. Mitrinovich)
Ένας νέος τρόπος ταξινόμησης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και κατασκευής της γενικής τους λύσης χρησιμοποιώντας αναδρομικούς τύπους (I. Zbornik)
Ευρετήριο θεμάτων

Kamke E. A Handbook of First-Order Partial Differential Equations: A Handbook. Επιμέλεια Ν.Χ. Ρόζοβα - Μ.: «Νάουκα», 1966. - 258 σελ.
Κατεβάστε(απευθείας σύνδεσμος) : kamke_es_srav_po_du.djvu Προηγούμενο 1 .. 4 > .. >> Επόμενο

Ωστόσο, στο πολύ ΠρόσφαταΤο ενδιαφέρον για διαφορικές εξισώσεις σε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης αυξήθηκε και πάλι πολύ. Σε αυτό συνέβαλαν δύο παράγοντες. Πρώτα απ 'όλα, αποδείχθηκε ότι οι λεγόμενες γενικευμένες λύσεις οιονεί γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης έχουν εξαιρετικό ενδιαφέρον για εφαρμογές (για παράδειγμα, στη θεωρία των κυμάτων κρούσης στη δυναμική των αερίων κ.λπ.). Επιπλέον, η θεωρία των συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων έχει προχωρήσει πολύ μπροστά. Ωστόσο, μέχρι σήμερα, δεν υπάρχει μονογραφία στα ρωσικά που να συλλέγει και να παρουσιάζει όλα τα δεδομένα που έχουν συσσωρευτεί στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, εκτός από το γνωστό βιβλίο του N. M. Gyun-

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΡΩΣΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

tera, που έχει γίνει εδώ και πολύ καιρό βιβλιογραφική σπανιότητα. Το βιβλίο αυτό καλύπτει ως ένα βαθμό αυτό το κενό.

Το όνομα του καθηγητή E. Kamke του Πανεπιστημίου του Tübingen είναι γνωστό στους Σοβιετικούς μαθηματικούς. Του ανήκει μεγάλος αριθμόςεργασίες για διαφορικές εξισώσεις και ορισμένους άλλους κλάδους των μαθηματικών, καθώς και αρκετά εκπαιδευτικά βιβλία. Συγκεκριμένα, η μονογραφία του «The Lebesgue-Stieltjes Integral» μεταφράστηκε στα ρωσικά και εκδόθηκε το 1959. Τρεις εκδόσεις στα ρωσικά το 1951, 1961, 1965 εκδόθηκαν από το "Handbook of Ordinary Differential Equations", που αποτελεί μετάφραση του πρώτου τόμου του "Gewohnliche Differenlialglelchungen" του βιβλίου του E. Kamke "Differentialgleichungen (Losungsungs6".

Το "Handbook of First-Order Partial Differential Equations" είναι μετάφραση του δεύτερου τόμου του ίδιου βιβλίου. Συλλέγονται περίπου 500 εξισώσεις με λύσεις. Εκτός από αυτό το υλικό, αυτό το εγχειρίδιο περιέχει μια συνοπτική (χωρίς απόδειξη) παρουσίαση μιας σειράς θεωρητικών θεμάτων, συμπεριλαμβανομένων αυτών που δεν περιλαμβάνονται στα συνήθη μαθήματα διαφορικών εξισώσεων, όπως θεωρήματα ύπαρξης, μοναδικότητα κ.λπ.

Κατά την προετοιμασία της ρωσικής έκδοσης, αναθεωρήθηκε η εκτενής βιβλιογραφία που υπάρχει στο βιβλίο. Οι αναφορές σε παλιά και δυσπρόσιτα ξένα εγχειρίδια αντικαταστάθηκαν, ει δυνατόν, με αναφορές σε εγχώρια και μεταφρασμένη λογοτεχνία. Όλες οι σημειωμένες ανακρίβειες, λάθη και τυπογραφικά λάθη έχουν διορθωθεί. Όλα τα ένθετα, τα σχόλια και οι προσθήκες που έγιναν στο βιβλίο κατά την επιμέλεια περικλείονται σε αγκύλες.

Αυτό το βιβλίο αναφοράς, που δημιουργήθηκε στις αρχές της δεκαετίας του σαράντα (και έκτοτε ανατυπώθηκε επανειλημμένα στη ΛΔΓ χωρίς καμία αλλαγή), αναμφίβολα δεν αντικατοπτρίζει πλέον πλήρως τα επιτεύγματα που είναι τώρα διαθέσιμα στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Έτσι, το βιβλίο αναφοράς δεν βρήκε καμία αντανάκλαση της θεωρίας των γενικευμένων λύσεων quasilinear εξισώσεων, που αναπτύχθηκε στο διάσημα έργα I. M. Gel'fanda, O. A. Oleinik και άλλοι. Μπορούν να αναφερθούν παραδείγματα πρόσφατων αποτελεσμάτων που δεν περιλαμβάνονται στο βιβλίο, σχετικά με ερωτήσεις που θίγονται άμεσα στο εγχειρίδιο. Δεν καλύπτεται στο εγχειρίδιο και η θεωρία των εξισώσεων Pfaff. Ωστόσο, πιστεύουμε ότι ακόμη και σε αυτή τη μορφή το βιβλίο θα αποδειχθεί αναμφίβολα χρήσιμος οδηγός για την κλασική θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Η περίληψη των εξισώσεων που δίνονται στο βιβλίο, οι λύσεις των οποίων μπορούν να γραφτούν στην τελική μορφή, είναι πολύ ενδιαφέρουσα και χρήσιμη, αλλά, φυσικά, δεν είναι εξαντλητική. Συντάχθηκε από τον συγγραφέα με βάση έργα που εμφανίστηκαν πριν από τις αρχές της δεκαετίας του σαράντα.

ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

x, y; hee xp? yi .... yn - ανεξάρτητες μεταβλητές, r- (x (, xn) a, b, c; A, B, C - σταθερές, σταθεροί συντελεστές, @, @ (x, y), @ (r) - ανοιχτό περιοχή, περιοχή στο επίπεδο (x, y), στο διάστημα των μεταβλητών xt,...,xn [συνήθως η περιοχή συνέχειας συντελεστών και λύσεων. - Σημείωση εκδ.], g - υποτομέας @, F, f - γενική λειτουργία,

fi - αυθαίρετη συνάρτηση, r· r(x, y); z - ty(x....., xn) - επιθυμητή συνάρτηση, λύση,

Dg _ dg _ dg _ dg

p~~dx "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |A, k, n - δείκτες άθροισης,

\n)~n! (n - t)! "

/g„...zln\

det | zkv\ - ορίζουσα του πίνακα I.....I.

\gsh - gpp I

ΑΠΟΔΕΚΤΕΣ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ ΣΤΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ

Günther - N. M. Günter, Ολοκλήρωση μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, GTTI, 1934.

Kamke - E. Kamke, Handbook of Ordinary Differential Equations, Nauka, 1964.

Courant - R. Courant, Partial Differential Equations, Mir, 1964.

Petrovsky - I. G. Petrovsky, Διαλέξεις για τη θεωρία των συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων, "Nauka", 1964.

Stepanov - V. V. Stepanov, Course of differential equations, Fizmat-giz, 1959.

Kamke, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Λειψία, 1944.

Οι συντομογραφίες των ονομάτων των περιοδικών αντιστοιχούν στις γενικά αποδεκτές και ως εκ τούτου παραλείπονται στη μετάφραση. βλέπε όμως Κ α μ έως ε. - Περίπου. εκδ.]

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ

[Η ακόλουθη βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη στα ζητήματα που εξετάστηκαν στο πρώτο μέρος:

Ανά. με αυτόν. - 4η έκδ., Rev. - Μ.: Επιστήμη: Χρ. εκδ. φυσική και μαθηματικά λιτ., 1971. - 576s.

ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΡΟΛΟΓΟ ΣΤΗΝ ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΚΔΟΣΗ

Η πρώτη έκδοση της ρωσικής μετάφρασης αυτού του βιβλίου εμφανίστηκε το 1951. Οι δύο τελευταίες δεκαετίες ήταν μια περίοδος ταχείας ανάπτυξης των υπολογιστικών μαθηματικών και της τεχνολογίας υπολογιστών. Τα σύγχρονα υπολογιστικά εργαλεία επιτρέπουν γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια την επίλυση διαφόρων προβλημάτων που προηγουμένως φαίνονταν πολύ δυσκίνητα. Συγκεκριμένα, οι αριθμητικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα που σχετίζονται με συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Ωστόσο, η δυνατότητα καταγραφής της γενικής λύσης μιας ή άλλης διαφορικής εξίσωσης ή συστήματος σε κλειστή μορφή έχει σε πολλές περιπτώσεις σημαντικά πλεονεκτήματα. Επομένως, το εκτενές υλικό αναφοράς, που συγκεντρώνει στο τρίτο μέρος του βιβλίου ο Ε. Κάμκε, -περίπου 1650 εξισώσεις με λύσεις- παραμένει μεγάλης σημασίας ακόμη και τώρα.

Εκτός από το υποδεικνυόμενο υλικό αναφοράς, το βιβλίο του E. Kamke περιέχει μια παρουσίαση (αν και χωρίς αποδείξεις) των βασικών εννοιών και των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που σχετίζονται με τις συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Καλύπτει επίσης μια σειρά τέτοιων θεμάτων που συνήθως δεν περιλαμβάνονται σε σχολικά βιβλία για διαφορικές εξισώσεις (για παράδειγμα, τη θεωρία των προβλημάτων συνοριακής τιμής και τα προβλήματα ιδιοτιμών).

Το βιβλίο του E. Kamke περιέχει πολλά στοιχεία και αποτελέσματα που είναι χρήσιμα στην καθημερινή εργασία· αποδείχθηκε πολύτιμο και απαραίτητο για ένα ευρύ φάσμα επιστημόνων και ειδικών σε εφαρμοσμένους τομείς, για μηχανικούς και φοιτητές. Τρεις προηγούμενες εκδόσεις της μετάφρασης αυτού του εγχειριδίου στα ρωσικά έγιναν δεκτές από τους αναγνώστες και εξαντλήθηκαν εδώ και πολύ καιρό.

Πίνακας περιεχομένων
Πρόλογος στην τέταρτη έκδοση 11
Ορισμένοι χαρακτηρισμοί 13
Αποδεκτές συντομογραφίες σε βιβλιογραφικές ενδείξεις 13
ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ Κεφάλαιο Ι. Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
§ 1. Διαφορικές εξισώσεις λυμένες ως προς το 19
παράγωγο: στο" =f(x,y); ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
1.1. Σημείωση και γεωμετρική σημασία του διαφορικού 19
εξισώσεις
1.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης 20
§ 2. Διαφορικές εξισώσεις λυμένες ως προς το 21
παράγωγο: στο" =f(x,y); μεθόδους λύσης
2.1. Μέθοδος Polyline 21
2.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf 23
2.3. Εφαρμογή της σειράς ισχύος 24
2.4. Μια γενικότερη περίπτωση επέκτασης σειράς 25
2.5. Επέκταση σε σειρά στην παράμετρο 27
2.6. Σύνδεση με μερικές διαφορικές εξισώσεις 27
2.7. Θεωρήματα αξιολόγησης 28
2.8. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες αξίες Χ 30
§ 3. Διαφορικές εξισώσεις που δεν λύθηκαν ως προς το 32
παράγωγο: F(y", y, x)=0
3.1. Σχετικά με τις λύσεις και τις μεθόδους λύσης 32
3.2. Κανονικά και μοναδικά γραμμικά στοιχεία 33
§ 4. Λύση ειδικών μορφών διαφορικών εξισώσεων των πρώτων 34
Σειρά
4.1. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 35.
4.4. Ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων
4.5. Εξίσωση Bernoulli y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
4.6. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις και μειώσεις τους 38
4.7. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις 40
4.8. Ειδική εξίσωση Riccati: y "+ ay 2 \u003d bx a 40
4.9. Γενική εξίσωση Riccati: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
4.10. Εξίσωση Abel πρώτου είδους 44
4.11. Εξίσωση Abel του δεύτερου είδους 47
4.12. Εξίσωση σε Συνολικά Διαφορικά 49
4.13. Συντελεστής ολοκλήρωσης 49
4.14. F(y",y,x)=0, "ολοκλήρωση με διαφοροποίηση" 50
4.15. (ένα) y=G(x, y"); (β) x=G(y, y") 50 4.16. (α) G(y ",x)=0; (β) G(y y)=Q 51
4L7. (α) y"=g(y)· (6) x=g(y") 51
4.18. Εξισώσεις Clairaut 52
4.19. Εξίσωση Lagrange-D'Alembert 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Μεταμόρφωση Legendre 53 Κεφάλαιο II. Αυθαίρετα συστήματα διαφορικών εξισώσεων,
επιτρέπεται σε σχέση με τα παράγωγα
§ 5. Βασικές έννοιες 54
5.1. Σημείωση και γεωμετρική σημασία του συστήματος διαφορικών εξισώσεων
5.2. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης 54
5.3. Θεώρημα ύπαρξης Carathéodory 5 5
5.4. Εξάρτηση της λύσης από τις αρχικές συνθήκες και από τις παραμέτρους 56
5.5. Θέματα αειφορίας 57
§ 6. Μέθοδοι λύσης 59
6.1. Μέθοδος Polyline 59
6.2. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων Picard-Lindelöf 59
6.3. Εφαρμογή της σειράς ισχύος 60
6.4. Σύνδεση με μερικές διαφορικές εξισώσεις 61
6.5. Αναγωγή συστήματος με χρήση γνωστής σχέσης μεταξύ λύσεων
6.6. Μείωση συστήματος με διαφοροποίηση και εξάλειψη 62
6.7. Θεωρήματα αξιολόγησης 62
§ 7. Αυτόνομα συστήματα 63
7.1. Ορισμός και γεωμετρική σημασία ενός αυτόνομου συστήματος 64
7.2. Σχετικά με τη συμπεριφορά των ολοκληρωτικών καμπυλών σε μια γειτονιά ενός μοναδικού σημείου στην περίπτωση n = 2
7.3. Κριτήρια για τον προσδιορισμό του τύπου του ενικού σημείου 66
Κεφάλαιο III. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
§ 8. Αυθαίρετα γραμμικά συστήματα 70
8.1. Γενικές παρατηρήσεις 70
8.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι λύσης 70
8.3. Αναγωγή ενός ανομοιογενούς συστήματος σε ομοιογενές 71
8.4. Θεωρήματα αξιολόγησης 71
§ 9. Ομοιογενή γραμμικά συστήματα 72
9.1. Ιδιότητες διαλύματος. Θεμελιώδη συστήματα αποφάσεων 72
9.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μέθοδοι επίλυσης 74
9.3. Αναγωγή του συστήματος σε σύστημα Με μικρότερο αριθμό εξισώσεων 75
9.4. Συζυγές σύστημα διαφορικών εξισώσεων 76
9.5. Αυτοσυνημμένα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, 76
9.6. Συζυγή συστήματα διαφορικών μορφών. Ταυτότητα Lagrange, η φόρμουλα του Green
9.7. Βασικές λύσεις 78
§10. Ομογενή γραμμικά συστήματα με μοναδικά σημεία 79
10.1. Ταξινόμηση ενικών σημείων 79
10.2. Αδύναμα ενικά σημεία 80
10.3. Σημεία έντονα ενικού 82 §11. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες αξίες Χ 83
§12. Γραμμικά συστήματα που εξαρτώνται από την παράμετρο 84
§13. Γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές 86
13.1. Ομοιογενή συστήματα 83
13.2. Γενικότερα συστήματα 87 Κεφάλαιο IV. Αυθαίρετες διαφορικές εξισώσεις ντη τάξη
§ 14. Εξισώσεις που επιλύθηκαν ως προς την υψηλότερη παράγωγο: 89
yin)=f(x,y,y...,y(n-) )
§15. Εξισώσεις που δεν επιλύθηκαν σε σχέση με την υψηλότερη παράγωγο: 90
F(x,y,y...,y(n))=0
15.1. Εξισώσεις σε Συνολικά Διαφορικά 90
15.2. Γενικευμένες ομοιογενείς εξισώσεις 90
15.3. Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά x ή στο 91 Κεφάλαιο V. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ντη σειρά,
§16. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ντη τάξη 92
16.1. Γενικές παρατηρήσεις 92
16.2. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Μέθοδοι λύσης 92
16.3. Κατάργηση του παραγώγου (ν-1)η σειρά 94
16.4. Αναγωγή μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης σε ομοιογενή
16.5. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες αξίες Χ 94
§17. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ντη τάξη 95
17.1. Ιδιότητες λύσεων και θεωρήματα ύπαρξης 95
17.2. Μείωση της σειράς μιας διαφορικής εξίσωσης 96
17.3. 0 μηδενικές λύσεις 97
17.4. Βασικές λύσεις 97
17.5. Διαφορικές μορφές συζυγούς, αυτοσυνημμένου και αντι-αυτοπροσαρτημένου
17.6. Ταυτότητα Lagrange; Τύποι Dirichlet και Green 99
17.7. Επί λύσεων συναφών εξισώσεων και εξισώσεων σε ολικά διαφορικά
§18. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με ενικό 101
αποσιωπητικά
18.1. Ταξινόμηση ενικών σημείων 101
18.2. Η περίπτωση όταν το σημείο x=E, κανονικό ή ασθενώς ενικό 104
18.3. Η περίπτωση που το σημείο x=inf είναι κανονικό ή ασθενώς ενικό 108
18.4. Η περίπτωση όταν το σημείο x=% έντονα ιδιαίτερο 107
18.5. Η περίπτωση που το σημείο x=inf είναι έντονα ενικό 108
18.6. Διαφορικές Εξισώσεις με Πολυωνυμικούς Συντελεστές
18.7. Διαφορικές Εξισώσεις με Περιοδικούς Συντελεστές
18.8. Διαφορικές Εξισώσεις με Διπλούς Περιοδικούς Συντελεστές
18.9. Η περίπτωση μιας πραγματικής μεταβλητής 112
§19. Επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το 113
οριστικά ολοκληρώματα 19.1. Γενική αρχή 113
19.2. Μετασχηματισμός Laplace 116
19.3 Ειδικός μετασχηματισμός Laplace 119
19.4. Mellin Transform 120
19.5. Μετασχηματισμός Euler 121
19.6. Λύση με διπλά ολοκληρώματα 123
§ 20. Συμπεριφορά λύσεων για μεγάλες τιμές Χ 124
20.1. Πολυωνυμικοί συντελεστές 124
20.2. Γενικότεροι συντελεστές 125
20.3. Συνεχείς πιθανότητες 125
20.4. Θεωρήματα ταλαντώσεων 126
§21. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ν-η σειρά ανάλογα με το 127
παράμετρος
§ 22. Μερικοί ειδικοί τύποι γραμμικών διαφορικών 129
εξισώσεις ν-η σειρά
22.1. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
22.2. Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερές 130
22.3. Εξισώσεις Euler 132
22.4. Εξίσωση Laplace 132
22.5. Εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές 133
22.6. Εξίσωση Pochhammer 134
Κεφάλαιο VI. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
§ 23. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 139
23.1. Μέθοδοι επίλυσης συγκεκριμένων τύπων μη γραμμικών εξισώσεων 139
23.2. Μερικές επιπλέον παρατηρήσεις 140
23.3. Θεωρήματα οριακής τιμής 141
23.4. Θεώρημα ταλάντωσης 142
§ 24. Αυθαίρετες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του δεύτερου 142
Σειρά
24.1. Γενικές παρατηρήσεις 142
24.2. Μερικές μέθοδοι επίλυσης 143
24.3. Θεωρήματα αξιολόγησης 144
§ 25. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 145
25.1. Αναγωγή γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.2. Περαιτέρω παρατηρήσεις σχετικά με τη μείωση των γραμμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
25.3. Επέκταση της Λύσης σε Συνεχιζόμενο Κλάσμα 149
25.4. Γενικές παρατηρήσεις για τη λύση μηδενικά 150
25.5. Μηδενικά λύσεων σε πεπερασμένο διάστημα 151
25.6. Η συμπεριφορά των λύσεων για x->inf 153
25.7. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με ενικά σημεία
25.8. Λύσεις κατά προσέγγιση. Ασυμπτωτικές λύσεις πραγματική μεταβλητή
25.9. Ασυμπτωτικές λύσεις; σύνθετη μεταβλητή 161 25.10. Μέθοδος WBC 162 Κεφάλαιο VII. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης και τέταρτης
παραγγελίες
§ 26. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης 163
§ 27. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τέταρτης τάξης 164 Κεφάλαιο VIII. Κατά προσέγγιση μέθοδοι ολοκλήρωσης διαφορικού
εξισώσεις
§ 28. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων 165
πρώτη σειρά
28.1. Η μέθοδος των διακεκομμένων γραμμών 165.
28.2. Μέθοδος πρόσθετου μισού βήματος 166
28.3. Μέθοδος Runge-Hein-Kutta 167
28.4. Συνδυασμός παρεμβολής και διαδοχικών προσεγγίσεων 168
28.5. Μέθοδος Adams 170
28.6. Προσθήκες στη μέθοδο Adams 172
§ 29. Κατά προσέγγιση ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων 174
υψηλότερες παραγγελίες
29.1. Μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά προσέγγιση για συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
29.2. Η μέθοδος διακεκομμένης γραμμής για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 176
29.3. Μέθοδος Runge-Kutta για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
29.4. Μέθοδος Adams - Shtormer για την εξίσωση y"=f(x,y,y) 177
29.5. Μέθοδος Adams - Shtormer για την εξίσωση y"=f(x,y) 178
29.6. Η μέθοδος του Bless για την εξίσωση y"=f(x,y,y) 179
ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ
Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών Κεφάλαιο I. Προβλήματα οριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για γραμμικά
διαφορικές εξισώσεις ν-η σειρά
§ 1. Γενική θεωρία προβλημάτων οριακής τιμής 182
1.1. Σημειογραφία και προκαταρκτικά 182
1.2. Προϋποθέσεις για τη δυνατότητα επίλυσης ενός προβλήματος οριακής τιμής 184
1.3. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής 185
1.4. Προβλήματα αυτοσυνοριακής τιμής 187
1.5. Συνάρτηση Green 188
1.6. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του Green 190
1.7. Γενικευμένη συνάρτηση Green 190
§ 2. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμής για την εξίσωση 193
£w(y) + xx)y = 1(x)
2.1. Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις. χαρακτηριστική ορίζουσα Ω)
2.2. Πρόσθετο πρόβλημα ιδιοτιμής και επίλυση του Green. πλήρες διορθογώνιο σύστημα
2.3. Κανονικοποιημένες οριακές συνθήκες. κανονικά προβλήματα ιδιοτιμής 2.4. Ιδιοτιμές για κανονικά και ακανόνιστα προβλήματα ιδιοτιμών
2.5. Επέκταση μιας δεδομένης συνάρτησης σε ιδιοσυναρτήσεις κανονικών και ακανόνιστων προβλημάτων ιδιοτιμών
2.6. Προβλήματα αυτοσυναρμολόγησης κανονικών ιδιοτιμών 200
2.7. Στις ολοκληρωτικές εξισώσεις του Fredholm Type 204
2.8. Σχέση μεταξύ προβλημάτων συνοριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.9. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Fredholm
2.10. Στις ολοκληρωτικές εξισώσεις Volterra τύπου 211
2.11. Σχέση προβλημάτων οριακής τιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.12. Σχέση προβλημάτων ιδιοτιμής και ολοκληρωτικών εξισώσεων τύπου Volterra
2.13. Σχέση μεταξύ προβλημάτων ιδιοτιμής και λογισμού μεταβολών
2.14. Εφαρμογή στην επέκταση ιδιοσυνάρτησης 218
2.15. Πρόσθετες παρατηρήσεις 219
§ 3. Κατά προσέγγιση μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με ιδιοτιμές και 222-
προβλήματα οριακής τιμής
3.1. Κατά προσέγγιση μέθοδος Galerkin-Ritz 222
3.2. Κατά προσέγγιση μέθοδος Grammel 224
3.3. Επίλυση ενός προβλήματος ανομοιογενούς οριακής τιμής με τη μέθοδο Galerkin-Ritz
3.4. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων 226
3.5. Κατά προσέγγιση επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών και προβλημάτων ιδιοτιμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών
3.6. Μέθοδος διαταραχής 230
3.7. Εκτιμήσεις ιδιοτιμών 233
3.8. Επισκόπηση τρόπων υπολογισμού ιδιοτιμών και 236 ιδιοσυναρτήσεων
§ 4. Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών για την εξίσωση 238
F(y)=W(y)
4.1. Δήλωση προβλήματος 238
4.2. Γενικές προκαταρκτικές παρατηρήσεις 239
4.3. Κανονικά προβλήματα ιδιοτιμής 240
4.4. Προβλήματα θετικής οριστικής ιδιοτιμής 241
4.5. Επέκταση ιδιοσυνάρτησης 244
§ 5. Οριακές και πρόσθετες προϋποθέσεις γενικότερης μορφής 247 Κεφάλαιο II. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
§ 6. Προβλήματα συνοριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για συστήματα 249
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
6.1. Σημειώσεις και συνθήκες επιλυσιμότητας 249
6.2. Πρόβλημα συζευγμένης οριακής τιμής 250
6.3. Green's matrix 252 6.4. Προβλήματα ιδιοτιμών 252-
6.5. Προβλήματα ιδιοτιμής αυτοπροσαρμογής 253 Κεφάλαιο III. Προβλήματα οριακών τιμών και προβλήματα ιδιοτιμών για εξισώσεις
χαμηλότερες παραγγελίες
§ 7. Προβλήματα πρώτης τάξης 256
7.1. Γραμμικά προβλήματα 256
7.2. Μη γραμμικά προβλήματα 257
§ 8. Προβλήματα γραμμικής οριακής τιμής δεύτερης τάξης 257
8.1. Γενικές παρατηρήσεις 257
8.2. Συνάρτηση Green 258
8.3. Εκτιμήσεις για λύσεις προβλημάτων οριακής τιμής πρώτου είδους 259
8.4. Οριακές συνθήκες για |х|->inf 259
8.5. Εύρεση περιοδικών λύσεων 260
8.6. Ένα πρόβλημα οριακής τιμής που σχετίζεται με τη μελέτη της ροής ρευστού 260
§ 9. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής δεύτερης τάξης 261
9.1. Γενικές παρατηρήσεις 261
9.2 Προβλήματα αυτοσυνημμένων ιδιοτιμών 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y και οι οριακές συνθήκες είναι αυτοσυνημμένες 266
9.4. Προβλήματα ιδιοτιμών και η αρχή της μεταβλητής 269
9.5. Σχετικά με τον πρακτικό υπολογισμό ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων
9.6. Προβλήματα ιδιοτιμής, όχι απαραίτητα αυτοσυνημμένα 271
9.7. Πρόσθετες προϋποθέσεις μιας γενικότερης μορφής 273
9.8. Προβλήματα ιδιοτιμών που περιέχουν πολλαπλές παραμέτρους
9.9. Διαφορικές εξισώσεις με ιδιομορφίες σε οριακά σημεία 276
9.10. Προβλήματα ιδιοτιμών σε άπειρο διάστημα 277
§10. Προβλήματα μη γραμμικής οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών 278
δεύτερη παραγγελία
10.1. Προβλήματα οριακής τιμής για πεπερασμένο διάστημα 278
10.2. Προβλήματα οριακής τιμής για ένα ημιπεριορισμένο διάστημα 281
10.3. Προβλήματα ιδιοτιμής 282
§έντεκα. Προβλήματα οριακής τιμής και προβλήματα ιδιοτιμών του Τρίτου
όγδοη τάξη
11.1. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τρίτης τάξης 283
11.2. Γραμμικά προβλήματα ιδιοτιμής τέταρτης τάξης 284
11.3. Γραμμικά προβλήματα για ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
11.4. Προβλήματα μη γραμμικής οριακής τιμής τέταρτης τάξης 287
11.5. Προβλήματα ιδιοτιμής υψηλότερης τάξης 288
ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ
ΧΩΡΙΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις 290 Κεφάλαιο Ι. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
1-367. Διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού ως προς U 294
368-517. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού σε σχέση με 334 518-544. Διαφορικές εξισώσεις τρίτου βαθμού ως προς το 354
545-576. Διαφορικές εξισώσεις γενικότερης μορφής 358Κεφάλαιο II. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης
1-90. ay" + ... 363
91-145. (ax + yuy " + ... 385
146-221.χ2 y" +... 396
222-250. (x 2 ± a 2) y "+ ... 410
251-303. (α 2 + bx + c) y " + ... 419
304-341. (α 3 +...)y" + ... 435
342-396. (α 4 +...)y" + ... 442
397-410. (Ω" +...)y" + ... 449
411-445. Άλλες διαφορικές εξισώσεις 454
σολ λάβα III. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Τρίτης Τάξης Κεφάλαιο IV. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Τέταρτης Τάξης Κεφάλαιο V. Πέμπτη και Ανώτερη Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις
Παραγγελίες Κεφάλαιο VI. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
1-72. ay"=F(x,y,y) 485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Άλλες διαφορικές εξισώσεις 520Κεφάλαιο VII. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του τρίτου και άνω
Υψηλές Παραγγελίες Κεφάλαιο VIII. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Προκαταρκτικές παρατηρήσεις 530
1-18. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με 530
σταθεροί συντελεστές 19-25.
Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με 534
μεταβλητούς συντελεστές
26-43. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων τάξης άνω του 535
πρώτα
44-57. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις 538Κεφάλαιο IX. Συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
1-17. Συστήματα δύο διαφορικών εξισώσεων 541
18-29. Συστήματα με περισσότερες από δύο διαφορικές εξισώσεις 544
ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
Σχετικά με τη λύση γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων δεύτερης τάξης (I. Zbornik) 547
Προσθήκες στο βιβλίο του E. Kamke (D. Mitrinovich) 556
Ένας νέος τρόπος ταξινόμησης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και 568
κατασκευάζοντας τη γενική τους λύση χρησιμοποιώντας αναδρομικούς τύπους
(Ι. Ζμπόρνικ)
Ευρετήριο 571

σύνολο:0
Σε επαφή με 0
Google+ 0
Εντάξει 0
Facebook 0