Από την αρχαιότητα, η εργασία με τους αριθμούς χωρίστηκε σε δύο διαφορετικούς τομείς: ο ένας αφορούσε άμεσα τις ιδιότητες των αριθμών, ο άλλος σχετιζόταν με τις τεχνικές μέτρησης. Με τον όρο «αριθμητική» σε πολλές χώρες συνήθως εννοείται αυτό το τελευταίο πεδίο, που είναι αναμφίβολα ο παλαιότερος κλάδος των μαθηματικών.
Προφανώς, η μεγαλύτερη δυσκολία για τους αρχαίους αριθμομηχανές ήταν η εργασία με κλάσματα. Αυτό μπορεί να φανεί από τον Πάπυρο Ahmes (ονομάζεται επίσης και ο Rhind Papyrus), ένα αρχαίο αιγυπτιακό έργο για τα μαθηματικά που χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. Όλα τα κλάσματα που αναφέρονται στον πάπυρο, με εξαίρεση τα 2/3, έχουν αριθμητές ίσους με 1. Η δυσκολία χειρισμού των κλασμάτων είναι επίσης αισθητή κατά τη μελέτη των αρχαίων βαβυλωνιακών σφηνοειδών πινακίδων. Τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και οι Βαβυλώνιοι προφανώς έκαναν υπολογισμούς χρησιμοποιώντας κάποια μορφή άβακα. Η επιστήμη των αριθμών γνώρισε σημαντική ανάπτυξη μεταξύ των αρχαίων Ελλήνων ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα, γύρω στο 530 π.Χ. Όσο για την ίδια την τεχνολογία υπολογισμού, πολύ λιγότερα έγιναν σε αυτόν τον τομέα από τους Έλληνες.
Οι μεταγενέστεροι Ρωμαίοι, αντίθετα, ουσιαστικά δεν συνέβαλαν στην επιστήμη των αριθμών, αλλά με βάση τις ανάγκες της ταχέως αναπτυσσόμενης παραγωγής και εμπορίου, βελτίωσαν τον άβακα ως συσκευή μέτρησης. Πολύ λίγα είναι γνωστά για την προέλευση της ινδικής αριθμητικής. Μόνο μερικά μεταγενέστερα έργα σχετικά με τη θεωρία και την πρακτική των πράξεων αριθμών έχουν έρθει σε εμάς, που γράφτηκαν αφού βελτιώθηκε το ινδικό σύστημα θέσης συμπεριλαμβάνοντας το μηδέν σε αυτό. Το πότε ακριβώς συνέβη αυτό δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα, αλλά τότε ήταν που τέθηκαν οι βάσεις για τους πιο συνηθισμένους αριθμητικούς αλγόριθμους μας.
Το ινδικό σύστημα αριθμών και οι πρώτοι αριθμητικοί αλγόριθμοι δανείστηκαν από τους Άραβες. Το παλαιότερο σωζόμενο αραβικό εγχειρίδιο αριθμητικής γράφτηκε από τον al-Khwarizmi γύρω στο 825. Χρησιμοποιεί εκτενώς και εξηγεί ινδικούς αριθμούς. Αυτό το εγχειρίδιο μεταφράστηκε αργότερα στα λατινικά και είχε σημαντική επιρροή στη Δυτική Ευρώπη. Μια παραμορφωμένη εκδοχή του ονόματος al-Khwarizmi έχει φτάσει στη λέξη «αλγορισμός», η οποία, όταν αναμιγνύεται περαιτέρω με την ελληνική λέξη αρρυθμίαέγινε ο όρος «αλγόριθμος».
Η ινδοαραβική αριθμητική έγινε γνωστή στη Δυτική Ευρώπη κυρίως χάρη στο έργο του L. Fibonacci Βιβλίο του άβακα (Liber abaci, 1202). Η μέθοδος Abacist προσέφερε απλοποιήσεις παρόμοιες με τη χρήση του συστήματος θέσης μας, τουλάχιστον για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Οι Αβακιστές αντικαταστάθηκαν από αλγόριθμους που χρησιμοποιούσαν το μηδέν και την αραβική μέθοδο διαίρεσης και εξαγωγής τετραγωνικής ρίζας. Ένα από τα πρώτα εγχειρίδια αριθμητικής, του οποίου ο συγγραφέας είναι άγνωστος σε εμάς, εκδόθηκε στο Τρεβίζο (Ιταλία) το 1478. Ασχολήθηκε με τους υπολογισμούς κατά την πραγματοποίηση εμπορικών συναλλαγών. Αυτό το εγχειρίδιο έγινε ο προκάτοχος πολλών εγχειριδίων αριθμητικής που εμφανίστηκαν στη συνέχεια. Μέχρι τις αρχές του 17ου αι. Περισσότερα από τριακόσια τέτοια εγχειρίδια εκδόθηκαν στην Ευρώπη. Οι αριθμητικοί αλγόριθμοι έχουν βελτιωθεί σημαντικά κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Τον 16ο-17ο αιώνα. Εμφανίστηκαν σύμβολα για αριθμητικές πράξεις, όπως =, +, -, ґ, ё και .
Μηχανοποίηση αριθμητικών υπολογισμών.
Καθώς η κοινωνία αναπτύχθηκε, τόσο αυξανόταν η ανάγκη για ταχύτερους και ακριβέστερους υπολογισμούς. Αυτή η ανάγκη προκάλεσε τέσσερις αξιόλογες εφευρέσεις: Ινδοαραβικούς αριθμούς, δεκαδικούς, λογάριθμους και σύγχρονες υπολογιστικές μηχανές.
Στην πραγματικότητα, οι απλούστερες υπολογιστικές συσκευές υπήρχαν πριν από την εμφάνιση της σύγχρονης αριθμητικής, επειδή στην αρχαιότητα πραγματοποιούνταν στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις στον άβακα (στη Ρωσία, χρησιμοποιούσαν άβακες για το σκοπό αυτό). Η απλούστερη σύγχρονη υπολογιστική συσκευή μπορεί να θεωρηθεί ως κανόνας slide, ο οποίος αποτελείται από δύο λογαριθμικές κλίμακες που ολισθαίνουν η μία κατά μήκος της άλλης, που επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αθροίζοντας και αφαιρώντας τμήματα των κλιμάκων. Ο B. Pascal (1642) θεωρείται ο εφευρέτης της πρώτης μηχανής μηχανικής πρόσθεσης. Αργότερα τον ίδιο αιώνα, ο G. Leibniz (1671) στη Γερμανία και ο S. Moreland (1673) στην Αγγλία επινόησαν μηχανές για την εκτέλεση πολλαπλασιασμού. Αυτές οι μηχανές έγιναν οι προκάτοχοι των υπολογιστικών συσκευών επιτραπέζιου υπολογιστή (αριθμόμετρα) του 20ου αιώνα, οι οποίες κατέστησαν δυνατή τη γρήγορη και ακριβή εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης.
Το 1812, ο Άγγλος μαθηματικός C. Babbage άρχισε να δημιουργεί ένα σχέδιο για μια μηχανή υπολογισμού μαθηματικών πινάκων. Αν και οι εργασίες για το έργο συνεχίστηκαν για πολλά χρόνια, παρέμειναν ημιτελές. Ωστόσο, το έργο του Babbage χρησίμευσε ως κίνητρο για τη δημιουργία σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών, τα πρώτα παραδείγματα των οποίων εμφανίστηκαν γύρω στο 1944. Η ταχύτητα αυτών των μηχανών ήταν εκπληκτική: με τη βοήθειά τους, σε λεπτά ή ώρες ήταν δυνατό να λυθούν προβλήματα που απαιτούσαν προηγουμένως πολλά χρόνια συνεχών υπολογισμών, ακόμη και με τη χρήση μηχανών πρόσθεσης.
Θετικοί ακέραιοι αριθμοί.
Αφήνω ΕΝΑΚαι σιείναι δύο πεπερασμένα σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία, και ας ΕΝΑπεριέχει nστοιχεία, και σιπεριέχει Μστοιχεία. Μετά πολλά μικρό, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία των συνόλων ΕΝΑΚαι σι, μαζί, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει, ας πούμε, μικρόστοιχεία. Για παράδειγμα, εάν ΕΝΑαποτελείται από στοιχεία ( ένα, σι, ντο), ένα μάτσο ΣΕ– από στοιχεία ( Χ, y), μετά το σετ S=A+Bκαι αποτελείται από στοιχεία ( ένα, σι, ντο, Χ, y). Αριθμός μικρόπου ονομάζεται ποσόαριθμοί nΚαι Μ, και το γράφουμε ως εξής: s = n + m. Σε αυτή την καταχώρηση οι αριθμοί nΚαι Μλέγονται όροι, η πράξη εύρεσης του αθροίσματος – πρόσθεση. Το σύμβολο λειτουργίας "+" διαβάζεται ως "συν". Ενα μάτσο Π, που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στα οποία επιλέγεται το πρώτο στοιχείο από το σύνολο ΕΝΑ, και το δεύτερο είναι από το σετ σι, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει, ας πούμε, Πστοιχεία. Για παράδειγμα, εάν, όπως πριν, ΕΝΑ = {ένα, σι, ντο}, σι = {Χ, y), Οτι P=Aґσι = {(ένα,Χ), (ένα,y), (σι,Χ), (σι,y), (ντο,Χ), (ντο,y)). Αριθμός Ππου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σι, και το γράφουμε ως εξής: p = αґσιή p = a×b. Αριθμοί έναΚαι σιστο έργο λέγονται πολλαπλασιαστές, η λειτουργία εύρεσης του προϊόντος – πολλαπλασιασμός. Το σύμβολο λειτουργίας ґ διαβάζεται ως "πολλαπλασιάζεται με".
Μπορεί να φανεί ότι από αυτούς τους ορισμούς ακολουθούν οι ακόλουθοι θεμελιώδεις νόμοι της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των ακεραίων:
– ο νόμος της μεταθετικής πρόσθεσης: α + β = β + α;
– νόμος της συνειρμικής προσθήκης: ένα + (σι + ντο) = (ένα + σι) + ντο;
– ο νόμος του αντισταθμιστικού πολλαπλασιασμού: έναґβ = βґένα;
– νόμος του συσχετισμού του πολλαπλασιασμού: έναґ(σιґντο) = (έναґσι)ґντο;
– νόμος της κατανομής: έναґ(σι + ντο)= (έναґσι) + (έναґντο).
Αν έναΚαι σι– δύο θετικοί ακέραιοι και αν υπάρχει θετικός ακέραιος ντο, τέτοιο που α = β + γ, τότε το λέμε έναπερισσότερο σι(αυτό γράφεται ως εξής: α>β), ή τι σιπιο λιγο ένα(αυτό γράφεται ως εξής: σι). Για δύο οποιουσδήποτε αριθμούς έναΚαι σιισχύει μία από τις τρεις σχέσεις: είτε α = β, ή α>β, ή ένα.
Οι δύο πρώτοι θεμελιώδεις νόμοι λένε ότι το άθροισμα δύο ή περισσότερων όρων δεν εξαρτάται από το πώς ομαδοποιούνται ή με ποια σειρά είναι διατεταγμένα. Ομοίως, από τον τρίτο και τον τέταρτο νόμο προκύπτει ότι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων δεν εξαρτάται από το πώς ομαδοποιούνται οι παράγοντες ή ποια είναι η σειρά τους. Αυτά τα γεγονότα είναι γνωστά ως «γενικευμένοι νόμοι της ανταλλαγής και της συσχέτισης» της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Από αυτά προκύπτει ότι όταν γράφετε το άθροισμα πολλών όρων ή το γινόμενο πολλών παραγόντων, η σειρά των όρων και των παραγόντων δεν έχει σημασία και οι παρενθέσεις μπορούν να παραληφθούν.
Ειδικότερα, το επαναλαμβανόμενο ποσό α + α + ... + ααπό nόρους ισούται με nґένα. Επαναλαμβανόμενη εργασία έναґέναґ ... ґένααπό nΣυμφωνήσαμε να υποδείξουμε τους παράγοντες a n; αριθμός έναπου ονομάζεται βάσηκαι τον αριθμό n – επανάληψη ένδειξης προϊόντος, το ίδιο το επαναλαμβανόμενο έργο – η ισχύςαριθμοί ένα. Αυτοί οι ορισμοί μας επιτρέπουν να θεσπίσουμε τους ακόλουθους θεμελιώδεις νόμους για τους εκθέτες:
Μια άλλη σημαντική συνέπεια των ορισμών: έναґ1 = έναγια κάθε ακέραιο αριθμό ένα, και το 1 είναι ο μόνος ακέραιος που έχει αυτήν την ιδιότητα. Ο αριθμός 1 ονομάζεται μονάδα.
Διαιρέτες ακεραίων.
Αν ένα, σι, ντο– ακέραιοι και έναґβ = γ, Οτι έναΚαι σιείναι διαιρέτες ενός αριθμού ντο. Επειδή έναґ1 = έναγια κάθε ακέραιο αριθμό ένα, συμπεραίνουμε ότι το 1 είναι διαιρέτης οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού και ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του εαυτού του. Οποιοσδήποτε ακέραιος διαιρέτης ένα, διαφορετικό από 1 ή ένα, πήρε το όνομα δικός διαιρέτηςαριθμοί ένα.
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός εκτός του 1 και δεν έχει δικούς του διαιρέτες καλείται πρώτος αριθμός. (Παράδειγμα πρώτου αριθμού είναι ο αριθμός 7.) Ένας ακέραιος αριθμός που έχει τους δικούς του διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος αριθμός. (Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι σύνθετος, αφού το 2 διαιρεί το 6.) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σύνολο όλων των ακεραίων χωρίζεται σε τρεις κατηγορίες: μία, πρώτους αριθμούς και σύνθετους αριθμούς.
Υπάρχει ένα πολύ σημαντικό θεώρημα στη θεωρία αριθμών που δηλώνει ότι «οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών και μέχρι τη σειρά των παραγόντων, μια τέτοια αναπαράσταση είναι μοναδική». Αυτό το θεώρημα είναι γνωστό ως «θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής». Δείχνει ότι οι πρώτοι αριθμοί χρησιμεύουν ως «δομικά στοιχεία» από τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν όλοι οι ακέραιοι εκτός από έναν χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό.
Εάν δοθεί ένα ορισμένο σύνολο ακεραίων, τότε ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι διαιρέτης κάθε αριθμού που περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο ονομάζεται μέγιστο κοινό διαιρέτηδεδομένο σύνολο αριθμών. καλείται ο μικρότερος ακέραιος του οποίου ο διαιρέτης είναι κάθε αριθμός από ένα δεδομένο σύνολο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοδεδομένο σύνολο αριθμών. Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 12, 18 και 30 είναι το 6. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των ίδιων αριθμών είναι το 180. Αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων έναΚαι σιισούται με 1, τότε οι αριθμοί έναΚαι σιλέγονται αμοιβαία πρωταρχική. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 8 και 9 είναι σχετικά πρώτοι, αν και κανένας από τους δύο δεν είναι πρώτος.
Θετικοί ορθολογικοί αριθμοί.
Όπως είδαμε, οι ακέραιοι είναι αφαιρέσεις που προκύπτουν από τη διαδικασία μέτρησης πεπερασμένων συνόλων αντικειμένων. Ωστόσο, για τις ανάγκες της καθημερινότητας, οι ακέραιοι αριθμοί δεν αρκούν. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση του μήκους μιας επιφάνειας τραπεζιού, η εγκεκριμένη μονάδα μέτρησης μπορεί να είναι πολύ μεγάλη και να μην χωράει πολλές φορές στο μετρούμενο μήκος. Για να αντιμετωπίσετε μια τέτοια δυσκολία, χρησιμοποιώντας το λεγόμενο. κλασματικός(δηλαδή, κυριολεκτικά, «σπασμένα») αριθμοί, εισάγεται μια μικρότερη μονάδα μήκους. Αν ρε– κάποιος ακέραιος και μετά η κλασματική μονάδα 1/ ρεκαθορίζεται από το ακίνητο ρεґ1/ρε= 1 και αν nείναι ακέραιος λοιπόν nґ1/ρετο γράφουμε απλά ως n/ρε. Αυτοί οι νέοι αριθμοί ονομάζονται «συνήθη» ή «απλά» κλάσματα. Ακέραιος αριθμός nπου ονομάζεται αριθμητήςκλάσματα και αριθμούς ρε – παρονομαστής. Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μερίδια χωρίστηκε η μονάδα και ο αριθμητής δείχνει πόσες τέτοιες μετοχές καταλήφθηκαν. Αν nδ, το κλάσμα ονομάζεται σωστό. αν n = dή n>d, τότε είναι λάθος. Οι ακέραιοι αντιμετωπίζονται ως κλάσματα με παρονομαστή 1. για παράδειγμα, 2 = 2/1.
Αφού το κλάσμα n/ρεμπορεί να ερμηνευθεί ως αποτέλεσμα διαίρεσης nμονάδες ανά ρείσα μέρη και λαμβάνοντας ένα από αυτά τα μέρη, ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως το "πηλίκο" ή "αναλογία" δύο ακέραιων αριθμών nΚαι ρε, και κατανοήστε τη γραμμή του κλάσματος ως σύμβολο διαίρεσης. Επομένως, τα κλάσματα (συμπεριλαμβανομένων των ακεραίων ως ειδική περίπτωση κλασμάτων) συνήθως ονομάζονται λογικόςαριθμοί (από λατ. αναλογία - σχέση).
Δύο κλάσματα n/ρεΚαι ( κґn)/(κґρε), Οπου κ– ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να θεωρηθεί ίσος. για παράδειγμα, 4/6 = 2/3. (Εδώ n = 2, ρε= 3 και κ= 2.) Αυτό είναι γνωστό ως «θεμελιώδης ιδιότητα ενός κλάσματος»: η τιμή οποιουδήποτε κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό. Από αυτό προκύπτει ότι οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως ο λόγος δύο σχετικά πρώτων αριθμών.
Από την ερμηνεία του κλάσματος που προτείνεται παραπάνω προκύπτει επίσης ότι ως άθροισμα δύο κλασμάτων n/ρεΚαι Μ/ρεέχοντας τον ίδιο παρονομαστή, θα πρέπει να πάρετε το κλάσμα ( n + Μ)/ρε. Όταν προσθέτετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψετε, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, σε ισοδύναμα κλάσματα με τον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Για παράδειγμα, n 1 /ρε 1 = (n 1 Η ρε 2)/(ρε 1 Η ρε 2) και n 2 /ρε 2 = (n 2 Η ρε 1)/(ρε 1 Η ρε 2), από όπου
Θα μπορούσε κανείς να το κάνει διαφορετικά και πρώτα να βρει το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, ας πούμε Μ, παρονομαστές ρε 1 και ρε 2. Στη συνέχεια, υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί κ 1 και κ 2, έτσι ώστε m = k 1 Η ρε 1 = κ 2 Η ρε 2 και παίρνουμε:
Με αυτή τη μέθοδο ο αριθμός Μσυνήθως ονομάζεται χαμηλότερος κοινός παρονομαστήςδύο κλάσματα. Αυτά τα δύο αποτελέσματα είναι ισοδύναμα με τον ορισμό της ισότητας των κλασμάτων.
Προϊόν δύο κλασμάτων n 1 /ρε 1 και n 2 /ρεΤο 2 λαμβάνεται ίσο με το κλάσμα ( n 1 Η n 2)/(ρε 1 Η ρε 2).
Οι οκτώ θεμελιώδεις νόμοι που δίνονται παραπάνω για τους ακέραιους αριθμούς ισχύουν επίσης εάν, κάτω ένα, σι, ντοκατανοούν αυθαίρετους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Επίσης, αν δοθούν δύο θετικοί ρητοί αριθμοί n 1 /ρε 1 και n 2 /ρε 2, τότε το λέμε αυτό n 1 /ρε 1 > n 2 /ρε 2 αν και μόνο αν n 1 Η ρε 2 > n 2 Η ρε 1 .
Θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
Η χρήση αριθμών για τη μέτρηση των μηκών των ευθύγραμμων τμημάτων υποδηλώνει ότι για οποιαδήποτε δύο δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒΚαι CDπρέπει να υπάρχει κάποιο τμήμα UV, ίσως πολύ μικρό, το οποίο θα μπορούσε να αναβληθεί ακέραιο αριθμό φορές σε καθένα από τα τμήματα ΑΒΚαι CD. Αν μια τέτοια κοινή μονάδα μήκους UVυπάρχει, τότε τα τμήματα ΑΒΚαι CDονομάζονται αναλογικά. Ήδη από την αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν την ύπαρξη ασύγκριτων ευθύγραμμων τμημάτων. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η πλευρά ενός τετραγώνου και η διαγώνιος του. Αν πάρουμε την πλευρά ενός τετραγώνου ως μονάδα μήκους, τότε δεν υπάρχει ρητός αριθμός που θα μπορούσε να είναι μέτρο της διαγωνίου αυτού του τετραγώνου. Μπορείτε να το επαληθεύσετε αυτό επιχειρηματολογώντας με αντίφαση. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι ο ρητός αριθμός n/ρεείναι το μέτρο της διαγωνίου. Αλλά μετά τμήμα 1/ ρεθα μπορούσε να αναβληθεί nφορές διαγώνια και ρεφορές στην πλευρά του τετραγώνου, παρά το γεγονός ότι η διαγώνιος και η πλευρά του τετραγώνου είναι ασύγκριτα. Συνεπώς, ανεξάρτητα από την επιλογή της μονάδας μήκους, δεν έχουν όλα τα ευθύγραμμα τμήματα μήκη που μπορούν να εκφραστούν σε ρητούς αριθμούς. Προκειμένου όλα τα ευθύγραμμα τμήματα να μετρηθούν με κάποια μονάδα μήκους, το σύστημα αριθμών πρέπει να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσματα της μέτρησης των μηκών των ευθύγραμμων τμημάτων που δεν είναι ανάλογα με την επιλεγμένη μονάδα μήκους. Αυτοί οι νέοι αριθμοί ονομάζονται θετικοί παράλογοςαριθμοί. Οι τελευταίοι, μαζί με θετικούς ορθολογικούς αριθμούς, σχηματίζουν ένα ευρύτερο σύνολο αριθμών, τα στοιχεία του οποίου ονομάζονται θετικοί έγκυροςαριθμοί.
Αν Ή– οριζόντια μισή γραμμή που προέρχεται από ένα σημείο Ο, U– σημείο επάνω Ή, διαφορετική από την προέλευση Ο, Και OUεπιλέγεται ως τμήμα μονάδας και μετά κάθε σημείο Πσε μισή γραμμή Ήμπορεί να συσχετιστεί με έναν μόνο θετικό πραγματικό αριθμό Π, εκφράζοντας το μήκος του τμήματος ΕΠ. Με αυτόν τον τρόπο καθιερώνουμε μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ θετικών πραγματικών αριθμών και σημείων εκτός από Ο, σε μισή γραμμή Ή. Αν ΠΚαι q– δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί που αντιστοιχούν σε σημεία ΠΚαι Qεπί Ή, τότε γράφουμε p>q,p = qή p ανάλογα με τη θέση του σημείου Πστα δεξιά του σημείου Qεπί Ή, συμπίπτει με Qή βρίσκεται στα αριστερά του Q.
Η εισαγωγή θετικών παράλογων αριθμών διεύρυνε σημαντικά το πεδίο εφαρμογής της αριθμητικής. Για παράδειγμα, εάν ένα– κάθε θετικό πραγματικό αριθμό και nείναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε υπάρχει μόνο ένας θετικός πραγματικός αριθμός σι, τέτοιο που bn=a. Αυτός ο αριθμός σιπου ονομάζεται ρίζα nο βαθμός του ένακαι γράφεται ως, όπου το σύμβολο στο περίγραμμά του μοιάζει με λατινικό γράμμα r, με το οποίο αρχίζει η λατινική λέξη ρίζα(ρίζα) και λέγεται ριζικό. Μπορεί να αποδειχθεί ότι
Αυτές οι σχέσεις είναι γνωστές ως οι βασικές ιδιότητες των ριζών.
Από πρακτική άποψη, είναι πολύ σημαντικό οποιοσδήποτε θετικός άρρητος αριθμός να μπορεί να προσεγγιστεί όσο ακριβέστερα επιθυμείται από έναν θετικό ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι εάν rείναι θετικός άρρητος αριθμός και μιείναι ένας αυθαίρετα μικρός θετικός ρητός αριθμός, τότε μπορούμε να βρούμε θετικούς ρητούς αριθμούς έναΚαι σι, τέτοιο που α και σι. Για παράδειγμα, ένας αριθμός είναι παράλογος. Εάν επιλέξετε μι= 0,01, τότε ; αν επιλέξετε μι= 0,001, τότε .
Ινδο-Αραβικό σύστημα αριθμών.
Οι αλγόριθμοι ή τα σχήματα υπολογισμού της αριθμητικής εξαρτώνται από το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται. Είναι προφανές, για παράδειγμα, ότι οι μέθοδοι υπολογισμού που επινοήθηκαν για το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών μπορεί να διαφέρουν από τους αλγόριθμους που επινοήθηκαν για το τρέχον ινδοαραβικό σύστημα. Επιπλέον, ορισμένα συστήματα αριθμών μπορεί να είναι εντελώς ακατάλληλα για την κατασκευή αριθμητικών αλγορίθμων. Τα ιστορικά δεδομένα δείχνουν ότι πριν από την υιοθέτηση του ινδοαραβικού συστήματος σημειογραφίας αριθμών, δεν υπήρχαν καθόλου αλγόριθμοι που να καθιστούσαν αρκετά εύκολη την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αριθμών χρησιμοποιώντας «μολύβι και χαρτί». Κατά τη διάρκεια των μακρών ετών ύπαρξης του ινδοαραβικού συστήματος, αναπτύχθηκαν πολυάριθμες αλγοριθμικές διαδικασίες ειδικά προσαρμοσμένες σε αυτό, έτσι ώστε οι σύγχρονοι αλγόριθμοί μας να είναι προϊόν μιας ολόκληρης εποχής ανάπτυξης και βελτίωσης.
Στο ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών, κάθε εγγραφή που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό είναι ένα σύνολο δέκα βασικών συμβόλων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, που ονομάζονται αριθμοί. Για παράδειγμα, η ινδουο-αραβική σημειογραφία για τον αριθμό τετρακόσια είκοσι τρία παίρνει τη μορφή της ακολουθίας των ψηφίων 423. Η σημασία ενός ψηφίου στην ινδουο-αραβική σημειογραφία ενός αριθμού καθορίζεται από τη θέση ή τη θέση του, στην ακολουθία των ψηφίων που σχηματίζουν αυτόν τον συμβολισμό. Στο παράδειγμα που δώσαμε, ο αριθμός 4 σημαίνει τέσσερις εκατοντάδες, ο αριθμός 2 σημαίνει δύο δεκάδες και ο αριθμός 3 σημαίνει τρεις μονάδες. Ο αριθμός 0 (μηδέν), που χρησιμοποιείται για να γεμίσει κενές θέσεις, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο. για παράδειγμα, η καταχώρηση 403 σημαίνει τον αριθμό τετρακόσια τρία, δηλ. λείπουν δεκάδες. Αν ένα, σι, ντο, ρε, μισημαίνει μεμονωμένους αριθμούς, τότε στο ινδοαραβικό σύστημα abcdeσημαίνει συντομογραφία για έναν ακέραιο
Δεδομένου ότι κάθε ακέραιος δέχεται μια μοναδική αναπαράσταση στη μορφή
Οπου nείναι ακέραιος αριθμός και ένα 0 , ένα 1 ,..., a n- αριθμοί, συμπεραίνουμε ότι σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών, κάθε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί με μοναδικό τρόπο.
Το ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών σάς επιτρέπει να γράφετε συνοπτικά όχι μόνο ακέραιους αλλά και θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία 10 - nγια το 1/10 n, Οπου n– ένας αυθαίρετος θετικός ακέραιος αριθμός. Στη συνέχεια, όπως φαίνεται, οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί, και με μοναδικό τρόπο, στη μορφή
Αυτή η εγγραφή μπορεί να συμπιεστεί γράφοντάς την ως ακολουθία αριθμών
όπου είναι το πρόσημο, που ονομάζεται υποδιαστολή, μεταξύ ένα 0 και σιΤο 1 υποδεικνύει πού αρχίζουν οι αρνητικές δυνάμεις του 10 (σε ορισμένες χώρες χρησιμοποιείται μια κουκκίδα για αυτόν τον σκοπό). Αυτή η μέθοδος γραφής ενός θετικού πραγματικού αριθμού ονομάζεται δεκαδική επέκταση και ένα κλάσμα που παρουσιάζεται με τη μορφή της δεκαδικής του επέκτασης είναι δεκαδικός.
Μπορεί να φανεί ότι για έναν θετικό ρητό αριθμό, η δεκαδική επέκταση μετά την υποδιαστολή είτε διακόπτεται (για παράδειγμα, 7/4 = 1,75) είτε επαναλαμβάνεται (για παράδειγμα, 6577/1980 = 3,32171717...). Εάν ένας αριθμός είναι παράλογος, τότε η δεκαδική του επέκταση δεν διακόπτεται και δεν επαναλαμβάνεται. Εάν η δεκαδική επέκταση ενός άρρητου αριθμού διακόπτεται σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, λαμβάνουμε την ορθολογική προσέγγισή του. Όσο πιο δεξιά από την υποδιαστολή βρίσκεται το πρόσημο στο οποίο τερματίζουμε τη δεκαδική επέκταση, τόσο καλύτερη είναι η ορθολογική προσέγγιση (τόσο μικρότερο είναι το σφάλμα).
Στο ινδουο-αραβικό σύστημα, ένας αριθμός γράφεται χρησιμοποιώντας δέκα βασικά ψηφία, η σημασία των οποίων εξαρτάται από τη θέση τους ή τη θέση τους στη σημειογραφία του αριθμού (η τιμή ενός ψηφίου είναι ίση με το γινόμενο του ψηφίου και μερικά ισχύς 10). Επομένως, ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται δεκαδικό σύστημα θέσης. Τα συστήματα αριθμών θέσης είναι πολύ βολικά για την κατασκευή αριθμητικών αλγορίθμων, και αυτός είναι ο λόγος που το ινδοαραβικό σύστημα αριθμών είναι τόσο διαδεδομένο στον σύγχρονο κόσμο, αν και διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δηλώσουν μεμονωμένους αριθμούς σε διαφορετικές χώρες.
Ονόματα αριθμών.
Τα ονόματα των αριθμών στο ινδοαραβικό σύστημα ακολουθούν ορισμένους κανόνες. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος ονομασίας αριθμών είναι ότι ο αριθμός χωρίζεται πρώτα σε ομάδες τριών ψηφίων από τα δεξιά προς τα αριστερά. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται «περίοδοι». Η πρώτη περίοδος ονομάζεται περίοδος "μονάδων", η δεύτερη - η περίοδος "χιλιάδων", η τρίτη - η περίοδος "εκατομμυρίων" κ.λπ., όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα:
Κάθε τελεία διαβάζεται σαν να ήταν τριψήφιος αριθμός. Για παράδειγμα, η περίοδος 962 διαβάζεται ως "εννιακόσια εξήντα δύο". Για να διαβάσετε έναν αριθμό που αποτελείται από πολλές τελείες, διαβάζεται η ομάδα ψηφίων σε κάθε περίοδο, ξεκινώντας από την πιο αριστερή και στη συνέχεια προχωρώντας με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε ομάδα ακολουθείται από το όνομα της περιόδου. Για παράδειγμα, ο αριθμός παραπάνω λέει «εβδομήντα τρία τρισεκατομμύρια οκτακόσια σαράντα δύο δισεκατομμύρια εννιακόσια εξήντα δύο εκατομμύρια πεντακόσια τριάντα δύο χιλιάδες επτακόσια ενενήντα οκτώ». Σημειώστε ότι κατά την ανάγνωση και τη γραφή ακεραίων, ο σύνδεσμος «και» δεν χρησιμοποιείται συνήθως. Το όνομα της κατηγορίας μονάδας παραλείπεται. Τα τρισεκατομμύρια ακολουθούνται από τετράδισεκα, κουϊντσελιόντα, εξάξια, επτά δισεκατομμύρια, οκτίλιον, μη-αλλόνια και δεσιλιόν. Κάθε περίοδος έχει μια τιμή 1000 φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Στο ινδουο-αραβικό σύστημα, συνηθίζεται να ακολουθείται η ακόλουθη διαδικασία για την ανάγνωση των αριθμών στα δεξιά της υποδιαστολής. Εδώ οι θέσεις ονομάζονται (με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά): «δέκατα», «εκατοστά», «χιλιάδες», «δέκα χιλιάδες» κ.λπ. Ένα σωστό δεκαδικό διαβάζεται σαν τα ψηφία μετά την υποδιαστολή να σχηματίζουν έναν ακέραιο αριθμό, ακολουθούμενο από το όνομα της θέσης του τελευταίου ψηφίου στα δεξιά. Για παράδειγμα, το 0,752 διαβάζεται ως "επτακόσια πενήντα δύο χιλιοστά". Ένας μεικτός δεκαδικός διαβάζεται συνδυάζοντας τον κανόνα για την ονομασία ακέραιων αριθμών με τον κανόνα για την ονομασία σωστών δεκαδικών. Για παράδειγμα, το 632.752 λέει "εξακόσια τριάντα δύο σημεία επτακόσια πενήντα δύο χιλιοστά." Παρατηρήστε τη λέξη "ακέραιοι" πριν από την υποδιαστολή. Τα τελευταία χρόνια, οι δεκαδικοί αριθμοί διαβάζονται όλο και πιο απλά, για παράδειγμα 3.782 ως "τρία σημεία επτακόσια ογδόντα δύο".
Πρόσθεση.
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αναλύσουμε τους αριθμητικούς αλγόριθμους που διδάσκονται στο δημοτικό σχολείο. Αυτοί οι αλγόριθμοι ασχολούνται με πράξεις σε θετικούς πραγματικούς αριθμούς γραμμένους ως δεκαδικές επεκτάσεις. Υποθέτουμε ότι οι στοιχειώδεις πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού έχουν μαθευτεί απέξω.
Εξετάστε το πρόβλημα πρόσθεσης: υπολογίστε 279,8 + 5,632 + 27,54:
Αρχικά, αθροίζουμε τις ίδιες δυνάμεις του αριθμού 10. Ο αριθμός 19Χ10 –1 χωρίζεται σύμφωνα με τον κατανεμητικό νόμο σε 9Χ10 –1 και 10Χ10 –1 = 1. Μετακινούμε τη μονάδα προς τα αριστερά και την προσθέτουμε στο 21, το οποίο δίνει 22. Με τη σειρά μας, χωρίζουμε τον αριθμό 22 σε 2 και 20 = 2Η10. Μετακινούμε τον αριθμό 2Η10 προς τα αριστερά και τον προσθέτουμε στο 9Η10, που δίνει 11Η10. Τέλος, χωρίζουμε το 11Η10 σε 1Η10 και 10Η10 = 1Η10 2, μετακινούμε το 1Η10 2 προς τα αριστερά και το προσθέτουμε στο 2Η10 2, που δίνει 3Η10 2. Το τελικό σύνολο είναι 312.972.
Είναι σαφές ότι οι υπολογισμοί που πραγματοποιούνται μπορούν να παρουσιαστούν με πιο συνοπτική μορφή, χρησιμοποιώντας ταυτόχρονα ως παράδειγμα του αλγορίθμου πρόσθεσης που διδάσκεται στο σχολείο. Για να γίνει αυτό, γράφουμε και τους τρεις αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε τα δεκαδικά ψηφία να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο:
Ξεκινώντας από τα δεξιά, βρίσκουμε ότι το άθροισμα των συντελεστών στο 10 –3 είναι ίσο με 2, το οποίο γράφουμε στην αντίστοιχη στήλη κάτω από τη γραμμή. Το άθροισμα των συντελεστών στο 10 –2 είναι ίσο με 7, το οποίο γράφεται και στην αντίστοιχη στήλη κάτω από τη γραμμή. Το άθροισμα των συντελεστών για το 10 –1 είναι ίσο με 19. Γράφουμε τον αριθμό 9 κάτω από τη γραμμή και μετακινούμε το 1 στην προηγούμενη στήλη, όπου υπάρχουν. Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη μονάδα, το άθροισμα του συντελεστή σε αυτή τη στήλη αποδεικνύεται ίσο με 22. Γράφουμε το ένα δύο κάτω από τη γραμμή και μεταφέρουμε το άλλο στην προηγούμενη στήλη, όπου βρίσκονται οι δεκάδες. Λαμβάνοντας υπόψη τα δύο που μεταφέρθηκαν, το άθροισμα των συντελεστών σε αυτή τη στήλη είναι ίσο με 11. Γράφουμε τη μία μονάδα κάτω από τη γραμμή και την άλλη μεταφέρουμε στην προηγούμενη στήλη, όπου υπάρχουν εκατοντάδες. Το άθροισμα των συντελεστών σε αυτή τη στήλη αποδεικνύεται ίσο με 3, το οποίο γράφουμε κάτω από τη γραμμή. Το απαιτούμενο ποσό είναι 312.972.
Αφαίρεση.
Η αφαίρεση είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Αν τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί ένα, σι, ντοδιασυνδέονται έτσι ώστε α+β=γ, τότε γράφουμε α = γ – β, όπου το σύμβολο «-» διαβάζεται ως «μείον». Εύρεση αριθμού ένασύμφωνα με γνωστούς αριθμούς σιΚαι ντοονομάζεται «αφαίρεση». Αριθμός ντοονομάζεται minuend, αριθμός σι– «αφαιρούμενο» και ο αριθμός ένα– «διαφορά». Εφόσον έχουμε να κάνουμε με θετικούς πραγματικούς αριθμούς, η συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται γ > β.
Ας δούμε ένα παράδειγμα αφαίρεσης: υπολογίστε 453,87 – 82,94.
Πρώτα απ 'όλα, δανειζόμενος μια μονάδα από τα αριστερά αν χρειαστεί, μετασχηματίζουμε την επέκταση του minuend έτσι ώστε ο συντελεστής του για οποιαδήποτε δύναμη του 10 να είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή του subtrahend για την ίδια ισχύ. Από το 4Η10 2 δανειζόμαστε 1Η10 2 = 10Η10, προσθέτοντας τον τελευταίο αριθμό στον επόμενο όρο της επέκτασης, που δίνει 15Η10. Ομοίως, δανειζόμαστε 1Χ10 0, ή 10Χ10 –1, και προσθέτουμε αυτόν τον αριθμό στον προτελευταίο όρο της επέκτασης. Μετά από αυτό, έχουμε την ευκαιρία να αφαιρέσουμε τους συντελεστές για τις ίδιες δυνάμεις του αριθμού 10 και να βρούμε εύκολα τη διαφορά 370,93.
Η καταγραφή των πράξεων αφαίρεσης μπορεί να παρουσιαστεί σε πιο συμπιεσμένη μορφή και μπορείτε να πάρετε ένα παράδειγμα ενός αλγορίθμου αφαίρεσης που μελετήθηκε στο σχολείο. Γράφουμε το υπόστρωμα κάτω από το minuend έτσι ώστε τα δεκαδικά ψηφία τους να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Ξεκινώντας από τα δεξιά, βρίσκουμε ότι η διαφορά των συντελεστών στο 10 – 2 είναι ίση με 3 και γράφουμε αυτόν τον αριθμό στην ίδια στήλη κάτω από τη γραμμή. Δεδομένου ότι στην επόμενη στήλη στα αριστερά δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε το 9 από το 8, αλλάζουμε τα τρία στη θέση μονάδων του minuend σε δύο και αντιμετωπίζουμε τον αριθμό 8 στη θέση δέκατου ως 18. Αφού αφαιρέσουμε το 9 από το 18, παίρνουμε 9, κ.λπ. ., δηλ.
Πολλαπλασιασμός.
Ας εξετάσουμε πρώτα το λεγόμενο Ο «σύντομος» πολλαπλασιασμός είναι ο πολλαπλασιασμός ενός θετικού πραγματικού αριθμού με έναν από τους μονοψήφιους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, για παράδειγμα, 32,67ґ4. Χρησιμοποιώντας το νόμο της κατανομής, καθώς και τους νόμους της συσχέτισης και της ανταλλαξιμότητας του πολλαπλασιασμού, έχουμε την ευκαιρία να σπάσουμε τους παράγοντες σε μέρη και να τους τακτοποιήσουμε με πιο βολικό τρόπο. Για παράδειγμα,
Αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να γραφτούν πιο συμπαγής ως εξής:
Η διαδικασία συμπίεσης μπορεί να συνεχιστεί. Γράφουμε τον παράγοντα 4 κάτω από τον πολλαπλασιαστή 32,67, όπως υποδεικνύεται:
Επειδή 4ґ7 = 28, γράφουμε τον αριθμό 8 κάτω από τη γραμμή και τοποθετούμε το 2 πάνω από τον αριθμό 6 του πολλαπλασιαστή. Στη συνέχεια, 4ґ6 = 24, το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη αυτό που μεταφέρεται από τη στήλη στα δεξιά, δίνει 26. Γράφουμε τον αριθμό 6 κάτω από τη γραμμή και γράφουμε το 2 πάνω από τον αριθμό 2 του πολλαπλασιαστή. Τότε παίρνουμε 4ґ2 = 8, που σε συνδυασμό με τα δύο που μεταφέρθηκαν δίνει το 10. Υπογράφουμε τον αριθμό 0 κάτω από τη γραμμή, και αυτόν που βρίσκεται πάνω από τον αριθμό 3 του πολλαπλασιαστή. Τέλος, 4ґ3 = 12, το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη τη μεταφερόμενη μονάδα, δίνει 13. Ο αριθμός 13 είναι γραμμένος κάτω από τη γραμμή. Βάζοντας μια υποδιαστολή, παίρνουμε την απάντηση: το γινόμενο ισούται με 130,68.
Ένας "μακρός" πολλαπλασιασμός είναι απλώς ένας "σύντομος" πολλαπλασιασμός που επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό 32,67 με τον αριθμό 72,4. Ας τοποθετήσουμε τον πολλαπλασιαστή κάτω από τον πολλαπλασιαστή, όπως υποδεικνύεται:
Κάνοντας σύντομο πολλαπλασιασμό από τα δεξιά προς τα αριστερά, παίρνουμε το πρώτο πηλίκο του 13,068, το δεύτερο του 65,34 και το τρίτο του 2286,9. Σύμφωνα με το νόμο της διανομής, το γινόμενο που πρέπει να βρεθεί είναι το άθροισμα αυτών των μερικών προϊόντων, ή 2365.308. Στη γραπτή σημείωση, η υποδιαστολή στα επιμέρους γινόμενα παραλείπεται, αλλά πρέπει να είναι σωστά τακτοποιημένα σε «βήματα» προκειμένου στη συνέχεια να συνοψιστούν για να ληφθεί το πλήρες γινόμενο. Ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού των δεκαδικών ψηφίων στον πολλαπλασιαστή και στον πολλαπλασιαστή.
Διαίρεση.
Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. όπως ο πολλαπλασιασμός αντικαθιστά την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, η διαίρεση αντικαθιστά την επαναλαμβανόμενη αφαίρεση. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την ερώτηση: πόσες φορές το 3 περιέχεται στο 14; Επαναλαμβάνοντας την πράξη της αφαίρεσης 3 από το 14, βρίσκουμε ότι το 3 «μπαίνει» στο 14 τέσσερις φορές, και ο αριθμός 2 «μένει», δηλ.
Ο αριθμός 14 ονομάζεται διαιρετός, αριθμός 3 - διαιρών, αριθμός 4 - ιδιωτικόςκαι νούμερο 2 - το υπόλοιπο. Η σχέση που προκύπτει μπορεί να εκφραστεί με λέξεις ως εξής:
μέρισμα = (διαιρέτης ґ πηλίκο) + υπόλοιπο,
0 Ј υπόλοιπο
Η εύρεση του πηλίκου και του υπολοίπου του 1400 διαιρούμενο με το 3 αφαιρώντας το 3 ξανά και ξανά θα απαιτούσε πολύ χρόνο και προσπάθεια. Η διαδικασία θα μπορούσε να επιταχυνθεί σημαντικά εάν αφαιρέσουμε πρώτα το 300 από το 1400, μετά το 30 από το υπόλοιπο και τέλος το 3. Αφού αφαιρέσουμε το 300 τέσσερις φορές, θα έχουμε ένα υπόλοιπο 200. Αφού αφαιρέσουμε το 30 από το 200 έξι φορές, το υπόλοιπο θα είναι 20. Τελικά, αφού αφαιρέσουμε το 3 από το 20 έξι φορές, παίρνουμε το υπόλοιπο 2. Επομένως,
Το πηλίκο και το υπόλοιπο που πρέπει να βρεθεί είναι 466 και 2, αντίστοιχα. Οι υπολογισμοί μπορούν να οργανωθούν και στη συνέχεια να συμπιεστούν ως εξής:
Ο παραπάνω συλλογισμός ισχύει εάν το μέρισμα και ο διαιρέτης είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που εκφράζονται στο δεκαδικό σύστημα. Ας το δείξουμε αυτό με το παράδειγμα 817.65е23.7.
Αρχικά, ο διαιρέτης πρέπει να μετατραπεί σε ακέραιο χρησιμοποιώντας μετατόπιση δεκαδικού ψηφίου. Στην περίπτωση αυτή, η υποδιαστολή του μερίσματος μετατοπίζεται κατά τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Ο διαιρέτης και το μέρισμα ταξινομούνται όπως φαίνεται παρακάτω:
Ας προσδιορίσουμε πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχεται στον τριψήφιο αριθμό 817, το πρώτο μέρος του μερίσματος που διαιρούμε με τον διαιρέτη. Εφόσον υπολογίζεται ότι περιέχεται τρεις φορές, πολλαπλασιάζουμε το 237 επί 3 και αφαιρούμε το γινόμενο του 711 από το 817. Η διαφορά του 106 είναι μικρότερη από τον διαιρέτη. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 237 εμφανίζεται στο δοκιμαστικό μέρισμα όχι περισσότερο από τρεις φορές. Ο αριθμός 3, γραμμένος κάτω από τον διαιρέτη του αριθμού 2 κάτω από την οριζόντια γραμμή, είναι το πρώτο ψηφίο του πηλίκου που πρέπει να βρεθεί. Αφού μετακινήσουμε προς τα κάτω το επόμενο ψηφίο του μερίσματος, παίρνουμε το επόμενο δοκιμαστικό μέρισμα 1066 και πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες φορές ο διαιρέτης 237 ταιριάζει στον αριθμό 1066. Ας πούμε 4 φορές. Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το 4 και παίρνουμε το γινόμενο 948, το οποίο αφαιρούμε από το 1066. η διαφορά αποδεικνύεται 118, που σημαίνει ότι το επόμενο ψηφίο του πηλίκου είναι 4. Στη συνέχεια αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος και επαναλαμβάνουμε ολόκληρη τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω. Αυτή τη φορά αποδεικνύεται ότι το δοκιμαστικό μέρισμα 1185 είναι ακριβώς (χωρίς υπόλοιπο) διαιρούμενο με το 237 (το υπόλοιπο της διαίρεσης τελικά αποδεικνύεται 0). Διαχωρίζοντας με υποδιαστολή στο πηλίκο τον ίδιο αριθμό ψηφίων που χωρίζονται στο μέρισμα (θυμηθείτε ότι προηγουμένως μετακινήσαμε την υποδιαστολή), παίρνουμε την απάντηση: το πηλίκο είναι ίσο με 34,5.
Κλάσματα.
Οι υπολογισμοί με κλάσματα περιλαμβάνουν πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, καθώς και απλοποίηση μιγαδικών κλασμάτων.
Η προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή γίνεται προσθέτοντας τους αριθμητές, για παράδειγμα,
1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.
Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή, δηλ. μετατροπή σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή (το μικρότερο πολλαπλάσιο καθενός από τους δεδομένους παρονομαστές). Για παράδειγμα, όταν προσθέτουμε 2/3, 1/6 και 3/5, ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι 30:
Συνοψίζοντας, παίρνουμε
20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.
Η αφαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεσή τους. Εάν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, τότε η αφαίρεση καταλήγει στην αφαίρεση των αριθμητών: 10/13 – 2/13 = 8/13; Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή:
7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται χωριστά. Για παράδειγμα,
5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα (μέρισμα) με το αμοιβαίο κλάσμα του δεύτερου (διαιρέτης) (για να λάβετε το αμοιβαίο κλάσμα, πρέπει να αλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος), δηλ. ( n 1 /ρε 1)ε( n 2 /ρε 2) = (n 1 Η ρε 2)/(ρε 1 Η n 2). Για παράδειγμα,
3/4e7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.
Ένας μεικτός αριθμός είναι το άθροισμα (ή η διαφορά) ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος, όπως 4 + 2/3 ή 10 – 1/8. Εφόσον ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένας μεικτός αριθμός δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα (ή τη διαφορά) δύο κλασμάτων. Για παράδειγμα,
4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.
Μιγαδικό κλάσμα είναι αυτό που έχει κλάσμα είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή είτε στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Αυτό το κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε απλό:
Τετραγωνική ρίζα.
Αν n r, τέτοιο που r 2 = n. Αριθμός rπου ονομάζεται τετραγωνική ρίζααπό nκαι ορίζεται . Στο σχολείο σας μαθαίνουν να εξάγετε τετραγωνικές ρίζες με δύο τρόπους.
Η πρώτη μέθοδος είναι πιο δημοφιλής επειδή είναι απλούστερη και ευκολότερη στην εφαρμογή της. Οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν αυτή τη μέθοδο υλοποιούνται εύκολα σε μια αριθμομηχανή επιφάνειας εργασίας και γενικεύονται στην περίπτωση των ριζών κύβου και των υψηλότερων ριζών. Η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι εάν r 1 – πλησιάζοντας τη ρίζα, λοιπόν r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – ακριβέστερη προσέγγιση της ρίζας.
Ας επεξηγήσουμε τη διαδικασία υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα κάποιου αριθμού μεταξύ 1 και 100, ας πούμε τον αριθμό 40. Αφού 6 2 = 36 και 7 2 = 49, συμπεραίνουμε ότι το 6 είναι η καλύτερη προσέγγιση σε ακέραιους αριθμούς. Μια πιο ακριβής προσέγγιση στο λαμβάνεται από το 6 ως εξής. Διαιρώντας το 40 με το 6 προκύπτει το 6,6 (στρογγυλοποιημένο στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο) ακόμη καιαριθμοί των δέκατων). Για να λάβουμε μια δεύτερη προσέγγιση στο , υπολογίζουμε κατά μέσο όρο τους δύο αριθμούς 6 και 6,6 και παίρνουμε 6,3. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, επιτυγχάνουμε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση. Διαιρώντας το 40 με το 6,3, βρίσκουμε τον αριθμό 6,350 και η τρίτη προσέγγιση αποδεικνύεται ότι είναι (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Μια άλλη επανάληψη δίνει 40е6.325 = 6.3241106 και η τέταρτη προσέγγιση αποδεικνύεται ότι είναι (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όσο επιθυμείτε. Γενικά, κάθε επόμενη προσέγγιση μπορεί να περιέχει διπλάσια ψηφία από την προηγούμενη. Έτσι, στο παράδειγμά μας, εφόσον η πρώτη προσέγγιση, ο ακέραιος 6, περιέχει μόνο ένα ψηφίο, μπορούμε να κρατήσουμε δύο ψηφία στη δεύτερη προσέγγιση, τέσσερα στην τρίτη και οκτώ στην τέταρτη.
Εάν ο αριθμός nδεν βρίσκεται μεταξύ 1 και 100, τότε πρέπει πρώτα να διαιρέσετε (ή να πολλαπλασιάσετε) nσε κάποια δύναμη 100, ας πούμε, σε κ-ο έτσι ώστε το γινόμενο να είναι στο εύρος από 1 έως 100. Τότε η τετραγωνική ρίζα του γινόμενου θα είναι στην περιοχή από 1 έως 10 και αφού εξαχθεί, πολλαπλασιάζουμε (ή διαιρούμε) τον αριθμό που προκύπτει με το 10 κ, βρείτε την απαιτούμενη τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, εάν n= 400000, μετά εμείς πρώτα διαιρέστε 400000 επί 100 2 και παίρνουμε τον αριθμό 40, ο οποίος βρίσκεται στην περιοχή από 1 έως 100. Όπως φαίνεται παραπάνω, είναι περίπου ίσος με 6,3245553. ΠολλαπλασιάζονταςΑυτός ο αριθμός κατά 10 2, παίρνουμε 632,45553 ως κατά προσέγγιση τιμή για, και ο αριθμός 0,63245553 χρησιμεύει ως κατά προσέγγιση τιμή για.
Η δεύτερη από τις διαδικασίες που αναφέρονται παραπάνω βασίζεται στην αλγεβρική ταυτότητα ( ένα + σι) 2 = ένα 2 + (2ένα + σι)σι. Σε κάθε βήμα, το ήδη ληφθέν τμήμα της τετραγωνικής ρίζας λαμβάνεται ως ένα, και το μέρος που πρέπει ακόμη να καθοριστεί είναι για σι.
Κυβική ρίζα.
Για την εξαγωγή της κυβικής ρίζας ενός θετικού πραγματικού αριθμού, υπάρχουν αλγόριθμοι παρόμοιοι με αυτούς για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας. Για παράδειγμα, για να βρείτε την κυβική ρίζα ενός αριθμού n, πρώτα προσεγγίζουμε τη ρίζα με κάποιο αριθμό r 1 . Στη συνέχεια χτίζουμε μια πιο ακριβή προσέγγιση r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), το οποίο με τη σειρά του δίνει τη θέση του σε μια ακόμη πιο ακριβή προσέγγιση r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2), κ.λπ. Η διαδικασία για την κατασκευή ολοένα και πιο ακριβών προσεγγίσεων της ρίζας μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, να υπολογίσετε την κυβική ρίζα ενός αριθμού μεταξύ 1 και 1000, ας πούμε τον αριθμό 200. Επειδή 5 3 = 125 και 6 3 = 216, συμπεραίνουμε ότι το 6 είναι ο πλησιέστερος ακέραιος στην κυβική ρίζα του 200. Επομένως, επιλέγουμε r 1 = 6 και υπολογίστε διαδοχικά r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Σε κάθε προσέγγιση, ξεκινώντας από την τρίτη, επιτρέπεται η διατήρηση ενός αριθμού χαρακτήρων που είναι κατά ένα μικρότερο από το διπλάσιο του αριθμού των χαρακτήρων της προηγούμενης προσέγγισης. Εάν ο αριθμός από τον οποίο θέλετε να εξαγάγετε την κυβική ρίζα δεν είναι μεταξύ 1 και 1000, τότε πρέπει πρώτα να τον διαιρέσετε (ή να τον πολλαπλασιάσετε) με μερικά, ας πούμε, κου, δύναμη του αριθμού 1000 και έτσι φέρετέ τον στο επιθυμητό εύρος αριθμών. Η κυβική ρίζα του αριθμού που λήφθηκε πρόσφατα βρίσκεται στην περιοχή από 1 έως 10. Αφού υπολογιστεί, πρέπει να πολλαπλασιαστεί (ή να διαιρεθεί) με το 10 κγια να πάρετε την κυβική ρίζα του αρχικού αριθμού.
Ο δεύτερος, πιο σύνθετος, αλγόριθμος για την εύρεση της κυβικής ρίζας ενός θετικού πραγματικού αριθμού βασίζεται στη χρήση της αλγεβρικής ταυτότητας ( ένα + σι) 3 = ένα 3 + (3ένα 2 + 3αβ + σι 2)σι. Επί του παρόντος, οι αλγόριθμοι για την εξαγωγή ριζών κύβου, καθώς και οι ρίζες ανώτερων δυνάμεων, δεν διδάσκονται στο γυμνάσιο, καθώς είναι ευκολότερο να βρεθούν χρησιμοποιώντας λογαρίθμους ή αλγεβρικές μεθόδους.
Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη.
Αυτός ο αλγόριθμος παρουσιάστηκε στο ΑρχέςΕυκλείδης (περίπου 300 π.Χ.). Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων. Για την περίπτωση των θετικών αριθμών διατυπώνεται ως διαδικαστικός κανόνας: «Διαιρέστε τον μεγαλύτερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς με τον μικρότερο. Στη συνέχεια διαιρέστε τον διαιρέτη με το υπόλοιπο και συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο μέχρι ο τελευταίος διαιρέτης να διαιρεθεί ομοιόμορφα με το τελευταίο υπόλοιπο. Ο τελευταίος από τους διαιρέτες θα είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των δύο δεδομένων αριθμών.»
Ως αριθμητικό παράδειγμα, θεωρήστε δύο ακέραιους αριθμούς 3132 και 7200. Ο αλγόριθμος σε αυτήν την περίπτωση καταλήγει στα ακόλουθα βήματα:
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι ο ίδιος με τον τελευταίο διαιρέτη - ο αριθμός 36. Η εξήγηση είναι απλή. Στο παράδειγμά μας, βλέπουμε από την τελευταία γραμμή ότι ο αριθμός 36 διαιρεί τον αριθμό 288. Από την προτελευταία γραμμή προκύπτει ότι ο αριθμός 36 διαιρεί το 324. Έτσι, προχωρώντας από γραμμή σε γραμμή, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο αριθμός 36 διαιρεί το 936 , 3132 και 7200 Υποστηρίζουμε τώρα ότι ο αριθμός 36 είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200. σολείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200. Αφού σολδιαιρεί 3132 και 7200, από την πρώτη γραμμή προκύπτει ότι σολδιαιρεί το 936. Από τη δεύτερη γραμμή συμπεραίνουμε ότι σολδιαιρεί το 324. Έτσι, κατεβαίνοντας από γραμμή σε γραμμή, είμαστε πεπεισμένοι ότι σολδιαιρεί το 288 και το 36. Και επειδή το 36 είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 3132 και 7200 και διαιρείται με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους, συμπεραίνουμε ότι το 36 είναι αυτός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.
Εξέταση.
Οι αριθμητικοί υπολογισμοί απαιτούν συνεχή προσοχή και επομένως είναι επιρρεπείς σε λάθη. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να ελέγξετε τα αποτελέσματα υπολογισμού.
1. Η προσθήκη μιας στήλης αριθμών μπορεί να ελεγχθεί προσθέτοντας τους αριθμούς στη στήλη πρώτα από πάνω προς τα κάτω και μετά από κάτω προς τα πάνω. Η αιτιολόγηση αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο γενικευμένος νόμος της ανταλλαξιμότητας και η συσχέτιση της πρόσθεσης.
2. Η αφαίρεση ελέγχεται προσθέτοντας τη διαφορά με την υποκατηγορία - θα πρέπει να ληφθεί το minuend. Το σκεπτικό αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο ορισμός της πράξης αφαίρεσης.
3. Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να ελεγχθεί με αναδιάταξη του πολλαπλασιαστή και του πολλαπλασιαστή. Η αιτιολόγηση αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο νόμος του αντισταθμιστικού πολλαπλασιασμού. Μπορείτε να ελέγξετε τον πολλαπλασιασμό σπάζοντας τον παράγοντα (ή πολλαπλασιαστή) σε δύο όρους, εκτελώντας δύο ξεχωριστές πράξεις πολλαπλασιασμού και προσθέτοντας τα προκύπτοντα γινόμενα - θα πρέπει να λάβετε το αρχικό γινόμενο.
4. Για να ελέγξετε τη διαίρεση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο με τον διαιρέτη και να προσθέσετε το υπόλοιπο στο γινόμενο. Θα πρέπει να είναι το μέρισμα. Το σκεπτικό αυτής της μεθόδου επαλήθευσης είναι ο ορισμός της λειτουργίας διαίρεσης.
5. Ο έλεγχος της ορθότητας της εξαγωγής μιας τετραγωνικής (ή κυβικής) ρίζας συνίσταται στην αύξηση του αριθμού που προκύπτει με τετραγωνισμό (ή κύβο) - θα πρέπει να ληφθεί ο αρχικός αριθμός.
Ένας ιδιαίτερα απλός και πολύ αξιόπιστος τρόπος ελέγχου της πρόσθεσης ή του πολλαπλασιασμού των ακεραίων είναι μια τεχνική που αντιπροσωπεύει μια μετάβαση στο λεγόμενο. "comparisons modulo 9". Ας ονομάσουμε «υπέρβαση» το υπόλοιπο του αθροίσματος των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν για την εγγραφή του αριθμού όταν διαιρείται με το 9. Στη συνέχεια, σχετικά με τις «υπερβάσεις», μπορούν να διατυπωθούν δύο θεωρήματα: «η υπέρβαση του αθροίσματος των ακεραίων είναι ίση με την υπέρβαση του αθροίσματος των υπερβάσεων των όρων» και «η υπέρβαση του γινομένου δύο ακεραίων είναι ίση με το περίσσεια του προϊόντος των υπερβολών τους». Ακολουθούν παραδείγματα ελέγχων που βασίζονται σε αυτό το θεώρημα:
Η μέθοδος μετάβασης στο modulo συγκρίσεων 9 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά τη δοκιμή άλλων αριθμητικών αλγορίθμων. Φυσικά, ένας τέτοιος έλεγχος δεν είναι αλάνθαστος, καθώς η εργασία με "υπερβολές" υπόκειται επίσης σε σφάλματα, αλλά μια τέτοια κατάσταση είναι απίθανη.
Ενδιαφέρον.
Ποσοστό είναι ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι 100. Τα ποσοστά μπορούν να γραφτούν με τρεις τρόπους: ως κλάσμα, ως δεκαδικό ή χρησιμοποιώντας τον ειδικό συμβολισμό ποσοστού %. Για παράδειγμα, το 7 τοις εκατό μπορεί να γραφτεί ως 7/100, ως 0,07 ή ως 7%.
Ένα παράδειγμα του πιο συνηθισμένου τύπου ποσοστιαίου προβλήματος είναι το εξής: "Βρείτε το 17% του 82". Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο 0,17ґ82 = 13,94. Σε προϊόντα αυτού του είδους, το 0,17 ονομάζεται συντελεστής, το 82 είναι η βάση και το 13,94 είναι το μερίδιο, εκφρασμένο ως ποσοστό. Οι τρεις αναφερόμενες ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους από τη σχέση
Βαθμός ґ βάση = ποσοστό μεριδίου.
Εάν είναι γνωστές δύο ποσότητες, η τρίτη μπορεί να προσδιοριστεί από αυτή τη σχέση. Αντίστοιχα, έχουμε τρεις τύπους προβλημάτων «χρησιμοποιώντας ποσοστά».
Παράδειγμα 1. Ο αριθμός των μαθητών που εγγράφηκαν σε αυτό το σχολείο αυξήθηκε από 351 σε 396. Κατά πόσο αυξήθηκε αυτός ο αριθμός;
Η αύξηση ήταν 396 – 351 = 45 άτομα. Γράφοντας το κλάσμα 45/351 ως ποσοστό, παίρνουμε 45/351 = 0,128 = 12,8%.
Παράδειγμα 2. Μια διαφήμιση στο κατάστημα κατά τη διάρκεια μιας πώλησης λέει "25% έκπτωση σε όλα τα είδη". Ποια είναι η τιμή πώλησης για ένα αντικείμενο που πωλείται συνήθως για 3,60 $;
Μια μείωση 25% στην τιμή των 3,60 $ σημαίνει μείωση 0,25-3,60 = 0,90 $. Επομένως, η τιμή του αντικειμένου κατά την πώληση θα είναι 3,60 $ – 0,90 $ = 2,70 $.
Παράδειγμα 3. Τα χρήματα που κατατέθηκαν στην τράπεζα με 5% ετησίως απέφεραν κέρδος 40 $ ετησίως. Τι ποσό κατατέθηκε στην τράπεζα;
Δεδομένου ότι το 5% του ποσού είναι $40, δηλ. 5/100 ґ ποσό = 40 $, ή 1/100 ґ ποσό = 8 δολάρια, το συνολικό ποσό είναι 800 δολάρια.
Αριθμητική κατά προσέγγιση αριθμών.
Πολλοί αριθμοί που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς προκύπτουν είτε από μετρήσεις είτε από εκτιμήσεις και επομένως μπορούν να θεωρηθούν μόνο προσεγγίσεις. Είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα των υπολογισμών που γίνονται με κατά προσέγγιση αριθμούς μπορεί να είναι μόνο ένας κατά προσέγγιση αριθμός. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι οι μετρήσεις της επιφάνειας του μετρητή απέδωσαν τα ακόλουθα αποτελέσματα (στρογγυλοποιημένα στο πλησιέστερο δέκατο του μέτρου): πλάτος 1,2 m, μήκος 3,1 m. θα μπορούσε κανείς να πει ότι το εμβαδόν του μετρητή είναι 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. Ωστόσο, στην πραγματικότητα οι πληροφορίες δεν είναι τόσο σίγουρες. Δεδομένου ότι η τιμή 1,2 m δείχνει μόνο ότι η μέτρηση πλάτους είναι μεταξύ 1,15 και 1,25 m και η τιμή 3,1 υποδεικνύει ότι η μέτρηση του μήκους είναι μεταξύ 3,05 και 3,15 m, σχετικά με την περιοχή του μετρητή μπορούμε μόνο να πούμε ότι θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 1,15 ґ3,05 = 3,5075, αλλά λιγότερο από 1,25ґ3,15 = 3,9375. Επομένως, η μόνη λογική απάντηση στην ερώτηση σχετικά με την περιοχή του μετρητή είναι να πούμε ότι είναι περίπου 3,7 m 2 .
Ας εξετάσουμε στη συνέχεια το πρόβλημα της προσθήκης των κατά προσέγγιση μετρήσεων των 3,73 m, 52,1 m και 0,282 m Το απλό άθροισμα είναι 56,112 m πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m και μικρότερο από 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Έτσι, η μόνη λογική απάντηση στην ερώτηση είναι να πούμε ότι το άθροισμα είναι περίπου ίσο με 56.
Τα δύο παραπάνω παραδείγματα επεξηγούν ορισμένους κανόνες που είναι χρήσιμοι όταν εργάζεστε με κατά προσέγγιση αριθμούς. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι στρογγυλοποίησης αριθμών. Ένα από αυτά είναι να απορρίψετε τα κάτω ψηφία του αριθμού. Επιπλέον, εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι μεγαλύτερο από πέντε, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει πρέπει να αυξηθεί κατά ένα, εάν είναι μικρότερο, τότε το τελευταίο ψηφίο του υπόλοιπου μέρους παραμένει αμετάβλητο.
Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι ακριβώς πέντε, τότε το τελευταίο ψηφίο που πρέπει να διατηρηθεί αυξάνεται κατά ένα εάν είναι περιττό και παραμένει αμετάβλητο εάν είναι άρτιο. Για παράδειγμα, όταν στρογγυλοποιείτε στο πλησιέστερο εκατοστό τον αριθμό 3.14159;17.7682; 28,999; 0,00234; 7.235 και 7.325 γίνονται 3.14. 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 και 7.32.
Μια άλλη μέθοδος στρογγυλοποίησης συνδέεται με την έννοια των σημαντικών ψηφίων και χρησιμοποιείται κατά τη σύνταξη ενός αριθμού από μηχανή. Τα σημαντικά ψηφία ενός κατά προσέγγιση αριθμού είναι τα ψηφία του δεκαδικού συμβολισμού του κατά σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, ξεκινώντας από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο και τελειώνοντας με το ψηφίο που βρίσκεται στη θέση του δεκαδικού ψηφίου που αντιστοιχεί στο σφάλμα. Για παράδειγμα, τα σημαντικά ψηφία του κατά προσέγγιση αριθμού 12.1 είναι οι αριθμοί 1, 2, 1. κατά προσέγγιση αριθμός 0,072 – αριθμοί 7, 2. ο κατά προσέγγιση αριθμός 82000, γραμμένος με την πλησιέστερη εκατό, είναι 8, 2, 0.
Τώρα θα διατυπώσουμε τους δύο κανόνες λειτουργίας με κατά προσέγγιση αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω.
Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κατά προσέγγιση αριθμών, κάθε αριθμός πρέπει να στρογγυλοποιείται στο ψηφίο που ακολουθεί το τελευταίο ψηφίο του λιγότερο ακριβούς αριθμού και το άθροισμα και η διαφορά που προκύπτει θα πρέπει να στρογγυλοποιούνται στον ίδιο αριθμό ψηφίων με τον λιγότερο ακριβή αριθμό. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση προσεγγιστικών αριθμών, κάθε αριθμός πρέπει να στρογγυλοποιείται στο πρόσημο που ακολουθεί το τελευταίο σημαντικό ψηφίο του λιγότερο σημαντικού αριθμού και το γινόμενο και το πηλίκο πρέπει να στρογγυλοποιούνται με την ίδια ακρίβεια που είναι γνωστός ο λιγότερο ακριβής αριθμός.
Επιστρέφοντας στα προβλήματα που εξετάστηκαν προηγουμένως, παίρνουμε:
1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2
3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,
όπου το σύμβολο " σημαίνει "περίπου ίσο".
Ορισμένα εγχειρίδια αριθμητικής παρέχουν αλγόριθμους για εργασία με κατά προσέγγιση αριθμούς, επιτρέποντάς σας να αποφύγετε τα περιττά σημάδια κατά τον υπολογισμό. Επιπλέον, χρησιμοποιούν το λεγόμενο. καταγραφή κατά προσέγγιση αριθμών, δηλ. οποιοσδήποτε αριθμός αναπαρίσταται με τη μορφή (ένας αριθμός στην περιοχή από 1 έως 10) ґ (ισχύς 10), όπου ο πρώτος παράγοντας περιέχει μόνο τα σημαντικά ψηφία του αριθμού. Για παράδειγμα, 82000 km, στρογγυλεμένα στα πλησιέστερα εκατό km, θα γραφτούν ως 8,20ґ10 4 km και 0,00702 cm θα γραφτούν ως 7,02ґ10 –3 cm.
Οι αριθμοί σε μαθηματικούς πίνακες, τριγωνομετρικούς ή λογαριθμικούς πίνακες είναι κατά προσέγγιση, γραμμένοι με ορισμένο αριθμό σημείων. Όταν εργάζεστε με τέτοιους πίνακες, θα πρέπει να ακολουθείτε τους κανόνες για τους υπολογισμούς με κατά προσέγγιση αριθμούς.
Λογάριθμοι.
Στις αρχές του 17ου αιώνα. Η πολυπλοκότητα των προβλημάτων εφαρμοζόμενων υπολογιστών έχει αυξηθεί τόσο πολύ που δεν ήταν δυνατό να αντιμετωπιστούν "με το χέρι" λόγω υπερβολικής εργασίας και χρόνου. Ευτυχώς, εφευρέθηκε εγκαίρως από τον J. Napier στις αρχές του 17ου αιώνα. οι λογάριθμοι κατέστησαν δυνατή την αντιμετώπιση του προβλήματος που προέκυψε. Δεδομένου ότι η θεωρία και οι εφαρμογές των λογαρίθμων περιγράφονται λεπτομερώς σε ειδικό άρθρο ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ, θα περιοριστούμε μόνο στις πιο απαραίτητες πληροφορίες.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν nείναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ένας μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός Χ, έτσι ώστε 10 Χ = n. Αριθμός Χονομάζεται (κανονικό ή δεκαδικό) λογάριθμοςαριθμοί n; συμβατικά γράφεται ως εξής: Χ=log n. Έτσι, ο λογάριθμος είναι ένας εκθέτης και από τους νόμους των πράξεων με τους εκθέτες προκύπτει ότι
Αυτές οι ιδιότητες των λογαρίθμων είναι που εξηγούν την ευρεία χρήση τους στην αριθμητική. Η πρώτη και η δεύτερη ιδιότητα μας επιτρέπουν να ανάγουμε οποιοδήποτε πρόβλημα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης σε ένα απλούστερο πρόβλημα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Η τρίτη και η τέταρτη ιδιότητες καθιστούν δυνατή τη μείωση της εκθέσεως και της εξαγωγής ρίζας σε πολύ απλούστερες πράξεις: πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Για ευκολία στη χρήση των λογαρίθμων έχουν συνταχθεί οι πίνακες τους. Για να συντάξετε έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων, αρκεί να συμπεριλάβετε μόνο λογάριθμους αριθμών από το 1 έως το 10. Για παράδειγμα, εφόσον 247,6 = 10 2 ґ2,476, έχουμε: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2.476, και αφού 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, τότε log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Σημειώστε ότι ο δεκαδικός λογάριθμος ενός αριθμού μεταξύ 1 και 10 βρίσκεται μεταξύ 0 και 1 και μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικός. Από αυτό προκύπτει ότι ο δεκαδικός λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού είναι το άθροισμα ενός ακέραιου, που ονομάζεται χαρακτηριστικό του λογαρίθμου, και ενός δεκαδικού κλάσματος, που ονομάζεται μάντισσα του λογαρίθμου. Το χαρακτηριστικό του λογάριθμου οποιουδήποτε αριθμού μπορεί να βρεθεί "στο μυαλό". Η μάντισσα πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας πίνακες λογαρίθμων. Για παράδειγμα, από τους πίνακες βρίσκουμε ότι log2.476 = 0.39375, άρα log247.63 = 2.39375. Εάν το χαρακτηριστικό του λογαρίθμου είναι αρνητικό (όταν ο αριθμός είναι μικρότερος από ένα), τότε είναι βολικό να το αναπαραστήσουμε ως διαφορά δύο θετικών ακεραίων, για παράδειγμα, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. Τα ακόλουθα παραδείγματα εξηγούν αυτή την τεχνική.
Βιβλιογραφία:
Ιστορία των μαθηματικών από την αρχαιότητα έως τις αρχές του 19ου αιώνα., τόμ. 1–3. Μ., 1970–1972.
Σερρών J.-P. Αριθμητικό μάθημα. Μ., 1972
Nechaev V.I. Αριθμητικά συστήματα. Μ., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Μονοπάτια και λαβύρινθοι. Δοκίμια για την ιστορία των μαθηματικών. Μ., 1986
Engler E. Μαθηματικά Δημοτικού. Μ., 1987
Τα πάντα για τα πάντα. Τόμος 3 Likum Arkady
Πώς προέκυψε η αριθμητική;
Πώς προέκυψε η αριθμητική;
Αριθμητική μπορεί να ονομαστεί επιστήμη των αριθμών. Η ίδια η λέξη προέρχεται από το ελληνικό «arithmos», που σημαίνει «αριθμοί». Στην αρχή, οι άνθρωποι μετρούσαν τα πρόβατα και τις αγελάδες τους χρησιμοποιώντας τα δάχτυλά τους. Τότε ο άνθρωπος άρχισε να μετράει χρησιμοποιώντας εγκοπές σε μπαστούνια και το επόμενο βήμα ήταν η εφεύρεση ενός συστήματος αριθμών όπου κάθε αριθμός μπορούσε να γραφτεί χρησιμοποιώντας σημάδια ή σύμβολα. Οι αρχαίοι Έλληνες προσάρμοσαν τα γράμματα του αλφαβήτου για αυτούς τους σκοπούς και οι Ρωμαίοι προχώρησαν παραπέρα, παραλείποντας όλα τα επιπλέον γράμματα και χρησιμοποιούσαν μόνο επτά γράμματα του αλφαβήτου για να γράψουν αριθμούς. Αυτό το σύστημα χρησιμοποιήθηκε για εγγραφές, αλλά για την καταμέτρηση του άβακα (λογαριασμός).
Οι Άραβες ανέπτυξαν αριθμούς με βάση το ινδικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιούμε ακόμα και σήμερα. Χρησιμοποιούσαν το μηδέν για να υποδείξουν ψηφία, γεγονός που απλοποίησε απίστευτα το σύστημα μέτρησης. Οι Άραβες ονόμασαν το μηδέν "sifr", από όπου προέρχεται η λέξη "ψηφίο". Το πρώτο εγχειρίδιο αριθμητικής, το οποίο συνιστούσε τη χρήση του αραβικού συστήματος μέτρησης, γράφτηκε από έναν άγνωστο Ιταλό επιστήμονα το 1202.
Το πρώτο έντυπο εγχειρίδιο αριθμητικής γράφτηκε στα λατινικά και εκδόθηκε στην Ιταλία το 1478. Άλλα σχολικά βιβλία τυπώθηκαν μεταξύ 1484 και 1496. Μίλησαν για πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό. Σε ορισμένα λατινικά σχολεία, η αριθμητική μελετήθηκε μόνο στο πέμπτο και έκτο έτος σπουδών, διαθέτοντας μόνο ένα τσάι την εβδομάδα για αυτό.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτά τα αρχαία αριθμητικά έργα περιείχαν πολλές από τις σύγχρονες μεθόδους, και πρέπει να θυμόμαστε με ευγνωμοσύνη τους συγγραφείς τους και εκείνους τους Ινδούς μελετητές που τους ενέπνευσαν. Δεν χρειάζεται να μιλήσουμε για το πόσο απαραίτητο είναι να γνωρίζουμε τέλεια τα βασικά της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, της αφαίρεσης και της διαίρεσης για να κατανοήσουμε τις βασικές αρχές της αριθμητικής.
Από το βιβλίο Autolikbez συγγραφέας Γκέικο Γιούρι ΒασίλιεβιτςΑριθμητική του χειμώνα Όλοι οι οδηγοί χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: αυτοκινητιστές, ιδιώτες και «ανδρείκελα». Αυτοκινητιστής είναι κάποιος που οδηγεί καθημερινά, τόσο το χειμώνα όσο και το καλοκαίρι. Ιδιώτης είναι αυτός που ταξιδεύει όλες τις εποχές εκτός από το χειμώνα. Μια «τσαγιέρα» είναι κάποιος που μόλις μαθαίνει να οδηγεί, και
Από το βιβλίο 100 μεγάλα στρατιωτικά μυστικά συγγραφέας Κουρούσιν Μιχαήλ Γιούριεβιτς Από το βιβλίο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό (Α) συγγραφέας Brockhaus F.A.Αριθμητική Η Αριθμητική (από τις ελληνικές λέξεις ariJmoV - αριθμός και tecnh - τέχνη) είναι ένα μέρος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των ιδιοτήτων ορισμένων συγκεκριμένων μεγεθών. Με μια στενότερη έννοια, η αριθμητική είναι η επιστήμη των αριθμών που εκφράζονται σε αριθμούς και ασχολείται με πράξεις σε αριθμούς. Μπορώ
Από το βιβλίο How to Write Pesuasively [The Art of Argumentation in Scientific and Popular Science Works] από τον Graff GeraldΠώς προέκυψε αυτό το βιβλίο Η ιδέα για αυτό το βιβλίο προήλθε από το κοινό μας ενδιαφέρον για τον εκδημοκρατισμό της ακαδημαϊκής κουλτούρας. Βασιστήκαμε κυρίως στα επιχειρήματα του Gerald Graff, ο οποίος σε όλη την καριέρα του υποστήριξε ότι τα σχολεία και τα κολέγια πρέπει να ενθαρρύνουν τους μαθητές και
Από το βιβλίο Who's Who στον κόσμο της τέχνης συγγραφέας Σίτνικοφ Βιτάλι ΠάβλοβιτςΠώς προέκυψε η μουσική; Έχετε περπατήσει ποτέ μέσα στο δάσος και συναντήσατε ένα μικρό ρυάκι που φλυαρεί χαρούμενα κατά μήκος του μονοπατιού; Ακούγεται σαν μουσική, έτσι δεν είναι; Όταν τα τύμπανα της βροχής στη στέγη, ένα πουλί τραγουδά απαλά - δεν είναι μουσική όταν ένα άτομο άρχισε να παρατηρεί τι συνέβαινε τριγύρω;
Από το βιβλίο Χώρες και Λαοί. Ερωτήσεις και απαντήσεις συγγραφέας Kukanova Yu.Πώς προέκυψε ο στρατός από τερακότα; Το 1974, κοντά στην κινεζική πόλη Xi'an, βρέθηκε μια καταπληκτική ταφή: μαζί με τον τάφο του πρώτου αυτοκράτορα της δυναστείας Τσιν, ερευνητές ανακάλυψαν... έναν ολόκληρο στρατό! Περίπου 8 χιλιάδες γλυπτά που απεικονίζουν πεζούς, τοξότες,
Από το βιβλίο Who's Who στην Παγκόσμια Ιστορία συγγραφέας Σίτνικοφ Βιτάλι ΠάβλοβιτςΠότε εμφανίστηκε ο πολιτισμός; Έχει περάσει πολύς καιρός από τότε που ο άνθρωπος πέτυχε αυτό που ονομάζουμε πολιτισμένη κοινωνία Στην αρχή, ο άνθρωπος, όπως και τα ζώα, ήταν σε άγρια κατάσταση. Δεν μπορούσε να μιλήσει και έτρωγε μόνο ό,τι έβρισκε για φαγητό. Μεταγενέστεροι άνθρωποι
Από το βιβλίο Who's Who in the World of Discoveries and Inventions συγγραφέας Σίτνικοφ Βιτάλι ΠάβλοβιτςΠότε εμφανίστηκε το κρεβάτι; Κανείς δεν ξέρει ποιος έφτιαξε το πρώτο κρεβάτι. Με τη λέξη «κρεβάτι» εννοούμε ένα έπιπλο στο οποίο κοιμόμαστε. Ήδη οι αρχαίοι Ασσύριοι, Μήδοι και Πέρσες είχαν κρεβάτια που ήταν αρκετά περίπλοκες κατασκευές. Ήταν φτιαγμένα από πέτρα
Από το βιβλίο 100 Great Military Secrets [με εικονογράφηση] συγγραφέας Κουρούσιν Μιχαήλ Γιούριεβιτς συγγραφέας Likum ArkadyΠώς εμφανίστηκε η προτεσταντική θρησκεία; Στις αρχές του 16ου αιώνα ξεκίνησε μια θρησκευτική επανάσταση, που ονομάστηκε «Μεταρρύθμιση». Ως αποτέλεσμα, προέκυψαν πολλοί κλάδοι της προτεσταντικής θρησκείας. Και οι δύο λέξεις - Μεταρρύθμιση και Προτεσταντισμός - σημαίνουν ότι το κύριο πράγμα σε αυτές τις θρησκευτικές
Από το βιβλίο Τα πάντα για τα πάντα. Τόμος 2 συγγραφέας Likum ArkadyΠώς προέκυψε η μουσική; Έχετε περπατήσει ποτέ μέσα στο δάσος και συναντήσατε ένα μικρό ρυάκι που φλυαρεί χαρούμενα κατά μήκος του μονοπατιού; Ακούγεται σαν μουσική, έτσι δεν είναι; Όταν τα τύμπανα της βροχής στη στέγη, ένα πουλί σιγοτραγουδάει - είναι αυτή η λινό μουσική; Όταν ένα άτομο άρχισε να παρατηρεί τι συνέβαινε τριγύρω
Από το βιβλίο Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια (AR) του συγγραφέα TSB Από το βιβλίο Εξερευνώ τον κόσμο. Αεροπορία και αεροναυπηγική συγγραφέας Zigunenko Stanislav NikolaevichΘλιβερή αριθμητική Συνήθως σε ιστορίες για κριάρια είναι συνηθισμένο να τονίζεται η μοναδικότητα αυτής της τεχνικής, είναι επιτακτική ανάγκη να πούμε ότι μόνο οι Σοβιετικοί άσοι τόλμησαν να την εκτελέσουν. Ταυτόχρονα, το βασικό ερώτημα εξαφανίστηκε κάπως στη σκιά: «Γιατί το έκαναν αυτό; «Ναι, γιατί παλέψαμε
Από το βιβλίο Η πλήρης εγκυκλοπαίδεια των σύγχρονων εκπαιδευτικών παιχνιδιών για παιδιά. Από τη γέννηση έως τα 12 έτη συγγραφέας Voznyuk Natalia Grigorievna«Απλή Αριθμητική» Λύστε μερικά ασυνήθιστα μαθηματικά προβλήματα. 1) Πηγαίνω στην πισίνα μία φορά κάθε 3 ημέρες. Seryozha - μία φορά κάθε 4 ημέρες, και Kolya - μία φορά κάθε 5 ημέρες. Την περασμένη Δευτέρα βρεθήκαμε όλοι στην πισίνα Πόσο σύντομα θα βρεθούμε ξανά και ποια μέρα της εβδομάδας θα είναι; (Διά μέσου
Από το βιβλίο Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια (FO) του συγγραφέα TSB Από το βιβλίο Πώς οι εταιρείες έγιναν σπουδαίες - Ιστορίες για τις επιχειρήσεις και το εμπόριο από τον Μίνγκο ΤζακΠώς εμφανίστηκε ο σκύλος στα λεωφορεία: «Αφήστε μας να οδηγήσουμε». Η Greyhound Company, η παλαιότερη και πιο δημοφιλής εταιρεία λεωφορείων στη χώρα, ξεκίνησε την ύπαρξή της στο Hibbing της Μινεσότα. Σε αυτή την πόλη, πολλά χρόνια αργότερα, γεννήθηκε ο Μπομπ Ντίλαν, ο οποίος, σε αντίθεση
Σχολείο-Λύκειο Αρ. __
Εκθεση ΙΔΕΩΝ
σχετικά με το θέμα
«Η ιστορία των αριθμητικών πράξεων»
Ολοκληρώθηκαν: __ Ασκήσεις Ε'_ τάξης
______________
Karaganda, 2015
Οι Άραβες δεν διέγραψαν αριθμούς, αλλά τους διέσχισαν και έγραψαν έναν νέο αριθμό πάνω από τον σταυρωμένο. Ήταν πολύ άβολο. Στη συνέχεια, οι Άραβες μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο αφαίρεσης, άρχισαν να ξεκινούν τη δράση από τις χαμηλότερες βαθμίδες, δηλ. αφού δούλεψαν σε μια νέα μέθοδο αφαίρεσης, παρόμοια με τη σύγχρονη. Για να δηλώσετε την αφαίρεση στον 3ο αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. στην Ελλάδα χρησιμοποιούσαν το ανεστραμμένο ελληνικό γράμμα ψι (F). Οι Ιταλοί μαθηματικοί χρησιμοποίησαν το γράμμα Μ, το αρχικό γράμμα στη λέξη μείον, για να δηλώσουν την αφαίρεση. Τον 16ο αιώνα, το σημάδι - άρχισε να χρησιμοποιείται για να δείξει την αφαίρεση. Αυτό το ζώδιο μάλλον πέρασε στα μαθηματικά από το εμπόριο. Οι έμποροι, που έριχναν κρασί από βαρέλια προς πώληση, χρησιμοποιούσαν μια γραμμή κιμωλίας για να σημειώσουν τον αριθμό των μετρήσεων του κρασιού που πωλούνταν από το βαρέλι.
Πολλαπλασιασμός
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια ειδική περίπτωση πρόσθεσης πολλών όμοιων αριθμών. Στην αρχαιότητα, οι άνθρωποι μάθαιναν να πολλαπλασιάζονται όταν μετρούσαν αντικείμενα. Έτσι, μετρώντας τους αριθμούς 17, 18, 19, 20 με τη σειρά, υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύουν
Το 20 δεν είναι μόνο σαν 10+10, αλλά και σαν δύο δεκάδες, δηλαδή 2 10.
Το 30 είναι σαν τρεις δεκάδες, δηλαδή επαναλάβετε τον όρο δέκα τρεις φορές - 3 - 10 - και ούτω καθεξής
Οι άνθρωποι άρχισαν να πολλαπλασιάζονται πολύ αργότερα από την προσθήκη. Οι Αιγύπτιοι πραγματοποιούσαν πολλαπλασιασμό με επαναλαμβανόμενες πρόσθεση ή διαδοχικούς διπλασιασμούς. Στη Βαβυλώνα, κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών, χρησιμοποιούσαν ειδικούς πίνακες πολλαπλασιασμού - τους «πρόγονους» των σύγχρονων. Στην Αρχαία Ινδία χρησιμοποιούσαν μια μέθοδο πολλαπλασιασμού των αριθμών που ήταν επίσης αρκετά κοντά στη σύγχρονη. Οι Ινδοί πολλαπλασίασαν τους αριθμούς ξεκινώντας από τις υψηλότερες τάξεις. Ταυτόχρονα, διέγραψαν αυτούς τους αριθμούς που έπρεπε να αντικατασταθούν κατά τις επόμενες ενέργειες, αφού πρόσθεσαν σε αυτούς τον αριθμό που θυμόμαστε τώρα κατά τον πολλαπλασιασμό. Έτσι, οι Ινδοί μαθηματικοί έγραψαν αμέσως το προϊόν, κάνοντας ενδιάμεσους υπολογισμούς στην άμμο ή στο κεφάλι τους. Η ινδική μέθοδος πολλαπλασιασμού πέρασε στους Άραβες. Όμως οι Άραβες δεν έσβησαν τους αριθμούς, αλλά τους διέσχισαν και έγραψαν έναν νέο αριθμό πάνω από τον διαγραμμένο. Στην Ευρώπη, για μεγάλο χρονικό διάστημα, το γινόμενο ονομαζόταν άθροισμα πολλαπλασιασμού. Το όνομα «πολλαπλασιαστής» αναφέρεται σε έργα του 6ου αιώνα και «πολλαπλασιαστής» τον 13ο αιώνα.
Τον 17ο αιώνα, ορισμένοι μαθηματικοί άρχισαν να υποδηλώνουν τον πολλαπλασιασμό με λοξό σταυρό - x, ενώ άλλοι χρησιμοποιούσαν μια τελεία για αυτό. Τον 16ο και τον 17ο αιώνα χρησιμοποιήθηκαν διάφορα σύμβολα για να υποδείξουν ενέργειες. Μόνο στα τέλη του 18ου αιώνα οι περισσότεροι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν μια τελεία ως σύμβολο πολλαπλασιασμού, αλλά επέτρεψαν επίσης τη χρήση ενός λοξού σταυρού. Τα πρόσημα πολλαπλασιασμού ( , x) και το πρόσημο ίσου (=) έγιναν γενικά αποδεκτά χάρη στην εξουσία του διάσημου Γερμανού μαθηματικού Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Διαίρεση
Για χιλιάδες χρόνια, η δράση της διαίρεσης δεν υποδεικνυόταν με κανένα σημάδι - απλώς ονομαζόταν και γράφτηκε ως λέξη. Οι Ινδοί μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που σημείωσαν τη διαίρεση με το αρχικό γράμμα από το όνομα αυτής της ενέργειας. Οι Άραβες εισήγαγαν μια γραμμή για να δηλώσουν τη διαίρεση. Η γραμμή για τη σήμανση της διαίρεσης υιοθετήθηκε από τους Άραβες τον 13ο αιώνα από τον Ιταλό μαθηματικό Φιμπονάτσι. Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο ιδιωτικός. Το σύμβολο του παχέος εντέρου (:) για να υποδηλώνει τη διαίρεση άρχισε να χρησιμοποιείται στα τέλη του 17ου αιώνα.
Το σύμβολο ίσου (=) εισήχθη για πρώτη φορά από τον Άγγλο καθηγητή μαθηματικών R. Ricorrd τον 16ο αιώνα. Εξήγησε: «Κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να είναι πιο ίσο μεταξύ τους, όπως δύο παράλληλες γραμμές». Αλλά και στους αιγυπτιακούς παπύρους υπάρχει ένα σημάδι που δήλωνε την ισότητα δύο αριθμών, αν και αυτό το σημάδι είναι εντελώς διαφορετικό από το σύμβολο =.
Από τη μια πλευρά, αυτή είναι μια πολύ απλή ερώτηση. Από την άλλη πλευρά, οι μαθητές, και πολλοί ενήλικες, συχνά συγχέουν την αριθμητική και τα μαθηματικά και δεν ξέρουν πραγματικά ποια είναι η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο μαθημάτων. Τα μαθηματικά είναι η πιο εκτεταμένη έννοια που περιλαμβάνει οποιεσδήποτε πράξεις με αριθμούς. Η αριθμητική είναι μόνο ένας από τους κλάδους των μαθηματικών. Η αριθμητική περιλαμβάνει εισαγωγή στους αριθμούς, την απλή μέτρηση και τις πράξεις αριθμών. Προηγουμένως, τα μαθήματα στα σχολεία ονομάζονταν αριθμητικά και μόνο με την πάροδο του χρόνου άρχισαν να φέρουν το όνομα μαθηματικά, το οποίο ρέει ομαλά στην άλγεβρα. Ουσιαστικά, η άλγεβρα ξεκινά όταν εμφανίζονται άγνωστοι αριθμοί στα παραδείγματα και χρησιμοποιούνται γράμματα. Δηλαδή, με απλό τρόπο, πράξεις με ΧΚαι y.
Ορος "αριθμητική"προέρχεται από την ελληνική λέξη "αρίθμος", που σημαίνει «αριθμός». Τον 14ο-15ο αιώνα, αυτός ο όρος μεταφράστηκε στην Αγγλία όχι εντελώς σωστά - «η μετρική τέχνη», που ουσιαστικά σήμαινε «μετρική τέχνη», κατάλληλη περισσότερο για γεωμετρία παρά για απλή μέτρηση και απλές πράξεις με αριθμούς.
Ένας από τους λόγους που η έννοια της «αριθμητικής» δεν χρησιμοποιείται στα σχολεία είναι ότι ακόμη και στα μαθήματα του δημοτικού σχολείου, εκτός από αριθμούς, μελετούν και γεωμετρικά σχήματα και μονάδες μέτρησης (εκατοστό, μέτρο κ.λπ.) και αυτό ισχύει. πέρα από τον κανονικό λογαριασμό. Ωστόσο, η εκμάθηση της νοητικής αριθμητικής εμφανίζεται σε κάποιο βαθμό φυσικά στη ζωή ενός παιδιού, στη διαδικασία να γνωρίσει τον κόσμο γύρω του. Ορος "μαθηματικές πράξεις με το μυαλό"σημαίνει την ικανότητα να κάνεις νοητικά μαθηματικά. Συμφωνώ, ο καθένας μας το μαθαίνει αυτό κάποια στιγμή στη ζωή του και όχι μόνο μέσα από τα μαθήματα του σχολείου.
Σήμερα υπάρχουν ολόκληρες μέθοδοι για την ανάπτυξη των νοητικών αριθμητικών δεξιοτήτων ταχύτητας των παιδιών. Για παράδειγμα, ιδιαίτερα δημοφιλής είναι η αρχαία εκπαίδευση Abacus, η οποία βασίζεται στην ικανότητα να υπολογίζουμε σε ειδικούς άβακες (διαφορετικούς από τους συνηθισμένους με δεκάδες). Αβακαςμεταφράζεται από τα αγγλικά "άβακας", γι' αυτό και το όνομα της τεχνικής ακούγεται το ίδιο. Οι Ιάπωνες ονομάζουν αυτή τη μέθοδο εκπαίδευση Soroban, γιατί... στη γλώσσα τους, ο «άβακας» ονομάζεται «σορομπάν».
Η αριθμητική χρησιμοποιεί τέσσερις στοιχειώδεις πράξεις - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιούνται ακέραιοι στο παράδειγμα ή δεκαδικοί και κλάσματα. Μπορείτε να μυήσετε το παιδί σας στους αριθμούς από την πρώιμη παιδική ηλικία και να το κάνετε άνετα και μέσα από το παιχνίδι. Οι γονείς θα βοηθηθούν σε αυτό όχι μόνο από τη φαντασία τους, αλλά και από μια ποικιλία ειδικών εκπαιδευτικών υλικών που μπορούν να βρεθούν σε οποιοδήποτε κατάστημα.
Σύμφωνα με τις σύγχρονες απαιτήσεις για την πρώτη τάξη, ένα παιδί πρέπει ήδη να μετράει τουλάχιστον μέχρι δέκα (και κατά προτίμηση μέχρι 20) και επίσης να εκτελεί βασικές πράξεις με γνωστούς αριθμούς - προσθέτοντας και αφαιρώντας τους. Είναι επίσης σημαντικό το παιδί να μπορεί να συγκρίνει ποιοι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι, ποιοι μικρότεροι και ποιοι αριθμοί είναι ίσοι. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι είναι αριθμητική ότι ένα παιδί πρέπει να γνωρίζει ακόμη και πριν μπει στο σχολείο.
Τέτοιες απαιτήσεις παρουσιάζονται όχι μόνο στη Ρωσία, αλλά σε ολόκληρο τον κόσμο, επειδή Ο ρυθμός της ζωής επιταχύνεται και η ποσότητα της γνώσης αυξάνεται καθημερινά. Αυτό που ήταν αρκετό να γνωρίζουμε στο σχολικό πρόγραμμα 20-30 χρόνια πριν, σήμερα δεν καταλαμβάνει περισσότερο από το 50% των πληροφοριών που διδάσκονται από τους δασκάλους. Όπως και να έχει, η αριθμητική θα παραμένει πάντα η βάση για την εκμάθηση αριθμών και τη μέτρηση, καθώς και το αρχικό επίπεδο των μαθηματικών, χωρίς το οποίο είναι αδύνατο να μάθουμε πιο περίπλοκες εργασίες και δεξιότητες.
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
