Τύπος περιοχήςείναι απαραίτητο για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός σχήματος, το οποίο είναι μια συνάρτηση με πραγματική αξία που ορίζεται σε μια συγκεκριμένη κατηγορία ψηφίων του ευκλείδειου επιπέδου και ικανοποιεί 4 συνθήκες:

1. Θετικότητα - Η περιοχή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το μηδέν.
2. Κανονικοποίηση - ένα τετράγωνο με πλευρική μονάδα έχει εμβαδόν 1.
3. Συμφωνία - τα ομοιόμορφα σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν.
4. Προσθετικότητα - το εμβαδόν της ένωσης 2 ψηφίων χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Τύποι για το εμβαδόν των γεωμετρικών σχημάτων.

Γεωμετρικό σχήμα	Τύπος	Σχέδιο
Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των αποστάσεων μεταξύ των μέσων των απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου θα είναι ίσο με την ημιπερίμετρό του.
Κύκλος τομέας. Το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του τόξου του και το μισό της ακτίνας του.
Τμήμα κύκλου. Για να λάβετε την περιοχή του τμήματος ASB, αρκεί να αφαιρέσετε την περιοχή του τριγώνου AOB από την περιοχή του τομέα AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών του κύριου και του δευτερεύοντος ημιάξονα της έλλειψης και του αριθμού pi.
Ελλειψη. Μια άλλη επιλογή για τον υπολογισμό του εμβαδού μιας έλλειψης είναι μέσω δύο από τις ακτίνες της.
Τρίγωνο. Μέσα από τη βάση και το ύψος. Τύπος για το εμβαδόν ενός κύκλου χρησιμοποιώντας την ακτίνα και τη διάμετρό του.
Πλατεία . Μέσα από την πλευρά του. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του.
Πλατεία. Μέσα από τις διαγώνιες του. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγωνίου του.
Κανονικό πολύγωνο. Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου, είναι απαραίτητο να το διαιρέσετε σε ίσα τρίγωνα που θα είχαν μια κοινή κορυφή στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.	S= r p = 1/2 r n a

Το τρίγωνο είναι μια φιγούρα γνωστή σε όλους. Και αυτό παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό κατά κάποιο τρόπο. Αλλά για οποιονδήποτε πρέπει να μάθετε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n σε, n με.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, μιας πλευράς και του ύψους που αφαιρείται από αυτό. S = ½ * a * n a. Οι τύποι για τις άλλες δύο πλευρές πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνήθως συμβολίζεται με το μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος για την ημιπερίμετρο είναι: p = (a+b+c) / 2. Τότε η ισότητα για το εμβαδόν του ​​το σχήμα μοιάζει με αυτό: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε ένας τύπος που περιέχει μόνο τα μήκη των πλευρών θα είναι χρήσιμος: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν έχετε ξεχάσει πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι που αφορούν τις γωνίες ενός τριγώνου

Σημειώσεις που απαιτούνται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S = (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι αρκετά δύσκολο να τα θυμάστε.

Γενικοί τύποι για καταστάσεις όπου είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R - ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Ένας άλλος τρόπος για να το γράψετε είναι: S = ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με το τετραπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Στην κυριολεκτική έκφραση μοιάζει με αυτό: S = (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά θα χρειαστείτε τις τιμές και των τριών γωνιών. S = 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Ονομάζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι το πιο εύκολο να θυμάστε. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δείχνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι έχει δύο ίσες πλευρές, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Αν το μεταμορφώσεις, θα γίνει πιο κοντό. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S = ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως στα προβλήματα η πλευρά σχετικά με αυτό είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί με κάποιο τρόπο. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Προβλήματα εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Τότε το σχήμα που θα προκύψει θα έχει 3 τρίγωνα. Το ένα είναι αυτό που δίνεται στο πρόβλημα. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Καθορίζεται το εμβαδόν του τριγώνου.

Η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού αποδεικνύεται πολύ πιο περίπλοκη. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο, έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Παράδειγμα προβλήματος που χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει γνωστές πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 cm Πρέπει να μάθετε την περιοχή του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √(4 * 14) = 2 √(14).

Εάν δεν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι ίση με 3,74. Τότε η περιοχή θα είναι 7,48.

Απάντηση. S = 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 31 cm μεγαλύτερο από το δεύτερο Πρέπει να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Διάλυμα. Θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο σχετίζεται με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 = ½ a * b;

α = β + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 = ½ (σε + 31) * ίντσες. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, προκύπτει η τετραγωνική εξίσωση: 2 + 31 360 = 0. Αυτό δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση, καθώς το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητική τιμή.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε 31 στον αριθμό που προκύπτει Αποδεικνύεται 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Πρόβλημα εύρεσης πλευράς μέσω του εμβαδού, της πλευράς και της γωνίας ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου τριγώνου είναι 60 cm 2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Διάλυμα. Με βάση τον αποδεκτό συμβολισμό, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή πλευρά είναι "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 = ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η απαιτούμενη πλευρά είναι 16 cm.

Πρόβλημα σχετικά με ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο βρίσκονται στα πλάγια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός από τα πόδια είναι 42 cm Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

Διάλυμα. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο είναι αυτό που καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται στο γνωστό σκέλος του αρχικού τριγώνου. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι ίσα με 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένο πόδι 42 cm μείον την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη ενός μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 = 24/x, δηλαδή x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42 διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι 1176 cm 2.

Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουτα οποία είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τα μεγέθη του. Οι τύποι παρουσιάζονται σε μορφή εικόνας, με επεξηγήσεις για την εφαρμογή τους ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Επίσης, ένα ξεχωριστό σχήμα δείχνει την αντιστοιχία μεταξύ των συμβόλων γραμμάτων στους τύπους και των γραφικών συμβόλων στο σχέδιο.

Σημείωμα . Εάν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες (ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που δίνονται παρακάτω, καθώς και πρόσθετους ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο
η- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στο πλάι
σελ- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - γωνία απέναντι από την πλευρά β του τριγώνου
γ - γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στις πλευρές a, b, c

Λάβετε υπόψη ότι οι σημειώσεις που δίνονται αντιστοιχούν στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση ενός πραγματικού προβλήματος γεωμετρίας, θα είναι οπτικά ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε τις σωστές τιμές στις σωστές θέσεις στον τύπο.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ήμισυ του γινόμενου του ύψους του τριγώνου και του μήκους της πλευράς κατά την οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Εάν χτίσετε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε προφανώς το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρά το γεγονός ότι φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά β, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ, σύμφωνα με τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου που σχεδιάσαμε , που μας δίνει τον προηγούμενο τύπο
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου εργασίατο ήμισυ της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με απλά λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (αυτό είναι πιο εύκολο να το θυμάστε)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου στα μήκη των πλευρών του και στην ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας της ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω του μήκους των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων του κύκλου που οριοθετούνται γύρω του από τα ημίτονο κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν είναι γνωστά το μήκος μιας πλευράς και οι τιμές δύο γειτονικών γωνιών, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών (Τύπος 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη του τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως σύμφωνα με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες καθορίζονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωμα. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων γεωμετρίας για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι παρόμοιο εδώ, γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Στις λύσεις, αντί για το σύμβολο "τετραγωνική ρίζα", μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση sqrt(), στην οποία sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η έκφραση radicand υποδεικνύεται σε παρένθεση.Μερικές φορές για απλές ριζοσπαστικές εκφράσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο √

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 cm Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Διάλυμα.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Εφόσον έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από τις συνθήκες του προβλήματος στον τύπο:
S = 1/2 * 5 * 6 * αμαρτία 60

Στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα βρούμε και θα αντικαταστήσουμε την τιμή του ημιτόνου 60 μοιρών στην έκφραση. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρεις φορές δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, μπορείτε πιθανώς να αφήσετε 15 √3/2)

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Εφόσον a = b = c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου παίρνει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Εργο. Αλλαγή περιοχής όταν αλλάζετε το μήκος των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν του τριγώνου εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές;

Διάλυμα.

Εφόσον οι διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου είναι άγνωστες σε εμάς, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα με αυθαίρετους αριθμούς a, b, c. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, θα βρούμε το εμβαδόν του δεδομένου τριγώνου και μετά θα βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Παρακάτω παρέχουμε μια γραπτή εξήγηση της λύσης του προβλήματος βήμα προς βήμα. Ωστόσο, στο τέλος, αυτή η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια πιο βολική γραφική μορφή. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να κατεβούν άμεσα τις λύσεις.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron (δείτε παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου καθορίζονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες και από τις τέσσερις παραστάσεις σύμφωνα με τους γενικούς κανόνες των μαθηματικών.
Τότε

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 256 έχει εξαχθεί τέλεια, οπότε ας τη βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή της παρακάτω εικόνας)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε στο πρόβλημα, πρέπει απλώς να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Ας προσδιορίσουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Μερικές φορές στη ζωή υπάρχουν καταστάσεις που πρέπει να εμβαθύνεις στη μνήμη σου αναζητώντας ξεχασμένες σχολικές γνώσεις. Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή ενός οικοπέδου με τριγωνικό σχήμα ή ήρθε η ώρα για άλλη ανακαίνιση σε διαμέρισμα ή ιδιωτικό σπίτι και πρέπει να υπολογίσετε πόσο υλικό θα χρειαστεί για μια επιφάνεια με ένα τριγωνικό σχήμα. Υπήρξε μια εποχή που μπορούσατε να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα σε λίγα λεπτά, αλλά τώρα προσπαθείτε απεγνωσμένα να θυμηθείτε πώς να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου;

Μην ανησυχείτε για αυτό! Σε τελική ανάλυση, είναι πολύ φυσιολογικό όταν ο εγκέφαλος ενός ατόμου αποφασίζει να μεταφέρει τη γνώση που δεν έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό κάπου σε μια απομακρυσμένη γωνιά, από την οποία μερικές φορές δεν είναι τόσο εύκολο να την εξαγάγει κανείς. Για να μην χρειάζεται να παλεύετε με την αναζήτηση ξεχασμένων σχολικών γνώσεων για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, αυτό το άρθρο περιέχει διάφορες μεθόδους που διευκολύνουν την εύρεση της απαιτούμενης περιοχής ενός τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος πολυγώνου που περιορίζεται στον ελάχιστο δυνατό αριθμό πλευρών. Καταρχήν, κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα συνδέοντας τις κορυφές του με τμήματα που δεν τέμνουν τις πλευρές του. Επομένως, γνωρίζοντας το τρίγωνο, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή σχεδόν οποιουδήποτε αριθμού.

Μεταξύ όλων των πιθανών τριγώνων που εμφανίζονται στη ζωή, διακρίνονται οι ακόλουθοι συγκεκριμένοι τύποι: και ορθογώνια.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου είναι όταν μια από τις γωνίες του είναι ορθή, δηλαδή στην περίπτωση ενός ορθογώνιου τριγώνου. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι μισό ορθογώνιο. Επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των πλευρών που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους.

Αν γνωρίζουμε το ύψος ενός τριγώνου, που έχει χαμηλώσει από μια από τις κορυφές του στην απέναντι πλευρά, και το μήκος αυτής της πλευράς, που ονομάζεται βάση, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως το μισό του γινόμενου του ύψους και της βάσης. Αυτό γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

S = 1/2*b*h, στην οποία

S είναι η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου.

b, h - αντίστοιχα, το ύψος και η βάση του τριγώνου.

Είναι τόσο εύκολο να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου επειδή το ύψος θα διχοτομήσει την αντίθετη πλευρά και μπορεί να μετρηθεί εύκολα. Εάν η περιοχή έχει προσδιοριστεί, τότε είναι βολικό να λαμβάνεται το μήκος μιας από τις πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ως το ύψος.

Όλα αυτά είναι φυσικά καλά, αλλά πώς να προσδιορίσετε εάν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή ή όχι; Αν το μέγεθος της φιγούρας μας είναι μικρό, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γωνία κατασκευής, τρίγωνο σχεδίασης, καρτ ποστάλ ή άλλο αντικείμενο με ορθογώνιο σχήμα.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε ένα τριγωνικό οικόπεδο; Σε αυτήν την περίπτωση, προχωρήστε ως εξής: μετρήστε από την κορυφή της υποτιθέμενης ορθής γωνίας στη μία πλευρά πολλαπλάσιο της απόστασης του 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) και στην άλλη πλευρά μετρήστε πολλαπλάσιο της απόστασης του 4 στην ίδια αναλογία (40 cm, 160 cm, 4 m). Τώρα πρέπει να μετρήσετε την απόσταση μεταξύ των τελικών σημείων αυτών των δύο τμημάτων. Εάν το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), τότε μπορούμε να πούμε ότι η γωνία είναι ορθή.

Εάν το μήκος καθεμιάς από τις τρεις πλευρές του σχήματός μας είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Για να έχει απλούστερη μορφή, χρησιμοποιείται μια νέα τιμή, η οποία ονομάζεται ημιπερίμετρος. Αυτό είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου μας, χωρισμένες στο μισό. Αφού υπολογιστεί η ημιπερίμετρος, μπορείτε να αρχίσετε να προσδιορίζετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου

sqrt - τετραγωνική ρίζα;

p - ημιπεριμετρική τιμή (p = (a+b+c)/2);

α, β, γ - άκρες (πλευρές) του τριγώνου.

Τι γίνεται όμως αν το τρίγωνο έχει ακανόνιστο σχήμα; Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι εδώ. Το πρώτο από αυτά είναι να προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε ένα τέτοιο σχήμα σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων υπολογίζεται χωριστά και στη συνέχεια προστίθεται. Ή, εάν η γωνία μεταξύ δύο πλευρών και το μέγεθος αυτών των πλευρών είναι γνωστά, τότε εφαρμόστε τον τύπο:

S = 0,5 * ab * sinC, όπου

α, β - πλευρές του τριγώνου.

c είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η τελευταία περίπτωση είναι σπάνια στην πράξη, αλλά παρ 'όλα αυτά, όλα είναι πιθανά στη ζωή, οπότε η παραπάνω φόρμουλα δεν θα είναι περιττή. Καλή τύχη με τους υπολογισμούς σας!

Έννοια της περιοχής

Η έννοια της περιοχής οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, ιδιαίτερα ενός τριγώνου, θα συσχετιστεί με ένα σχήμα όπως ένα τετράγωνο. Για τη μονάδα εμβαδού οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος θα πάρουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι ίση με ένα. Για πληρότητα, ας υπενθυμίσουμε δύο βασικές ιδιότητες για την έννοια των περιοχών των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιδιοκτησία 1:Αν τα γεωμετρικά σχήματα είναι ίσα, τότε τα εμβαδά τους είναι επίσης ίσα.

Ιδιοκτησία 2:Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να χωριστεί σε πολλά σχήματα. Επιπλέον, το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όλων των σχημάτων που το αποτελούν.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Προφανώς, μια από τις πλευρές του τριγώνου είναι μια διαγώνιος ενός ορθογωνίου, η μία πλευρά του οποίου έχει μήκος $5$ (αφού υπάρχουν $5$ κελιά) και η άλλη είναι $6$ (αφού υπάρχουν $6$ κελιά). Επομένως, το εμβαδόν αυτού του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό ενός τέτοιου ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με

Απάντηση: $15 $.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε διάφορες μεθόδους εύρεσης των εμβαδών των τριγώνων, δηλαδή χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση του

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους σε αυτήν την πλευρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό

$S=\frac(1)(2)αh$

όπου $a$ είναι το μήκος της πλευράς, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Απόδειξη.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο $ABC$ στο οποίο $AC=α$. Το ύψος $BH$ τραβιέται σε αυτήν την πλευρά, το οποίο είναι ίσο με $h$. Ας το φτιάξουμε μέχρι το τετράγωνο $AXYC$ όπως στο Σχήμα 2.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου $AXBH$ είναι $h\cdot AH$ και το εμβαδόν του ορθογωνίου $HBYC$ είναι $h\cdot HC$. Τότε

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Επομένως, το απαιτούμενο εμβαδόν του τριγώνου, από την ιδιότητα 2, είναι ίσο με

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου στο παρακάτω σχήμα εάν το κελί έχει εμβαδόν ίσο με ένα

Η βάση αυτού του τριγώνου είναι ίση με $9$ (αφού $9$ είναι $9$ τετράγωνα). Το ύψος είναι επίσης $9 $. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Απάντηση: $40,5 $.

Η φόρμουλα του Heron

Θεώρημα 2

Αν μας δοθούν τρεις πλευρές τριγώνου $α$, $β$ και $γ$, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

εδώ το $ρ$ σημαίνει την ημιπερίμετρο αυτού του τριγώνου.

Απόδειξη.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο $ABH$ προκύπτει

Από το τρίγωνο $CBH$, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει η ισότητα

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Αφού $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, τότε $α+β+γ=2ρ$, που σημαίνει

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$