Με απλά λόγια, πρόκειται για λαχανικά μαγειρεμένα σε νερό σύμφωνα με ειδική συνταγή. Θα εξετάσω δύο αρχικά συστατικά (σαλάτα λαχανικών και νερό) και το τελικό αποτέλεσμα - μπορς. Γεωμετρικά, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορθογώνιο, με τη μία πλευρά να αντιπροσωπεύει το μαρούλι και την άλλη πλευρά να αντιπροσωπεύει το νερό. Το άθροισμα αυτών των δύο πλευρών θα δείχνει μπορς. Η διαγώνιος και το εμβαδόν ενός τέτοιου ορθογωνίου "μπορς" είναι καθαρά μαθηματικές έννοιες και δεν χρησιμοποιούνται ποτέ σε συνταγές με μπορς.
Πώς το μαρούλι και το νερό μετατρέπονται σε μπορς από μαθηματική άποψη; Πώς μπορεί το άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων να γίνει τριγωνομετρία; Για να το καταλάβουμε αυτό, χρειαζόμαστε γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις.
Δεν θα βρείτε τίποτα για τις γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις στα σχολικά βιβλία μαθηματικών. Αλλά χωρίς αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά. Οι νόμοι των μαθηματικών, όπως και οι νόμοι της φύσης, λειτουργούν ανεξάρτητα από το αν γνωρίζουμε την ύπαρξή τους ή όχι.
Οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις είναι νόμοι πρόσθεσης.Δείτε πώς η άλγεβρα μετατρέπεται σε γεωμετρία και η γεωμετρία σε τριγωνομετρία.
Είναι δυνατόν να γίνει χωρίς γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις; Είναι δυνατό, γιατί οι μαθηματικοί εξακολουθούν να τα καταφέρνουν χωρίς αυτούς. Το κόλπο των μαθηματικών είναι ότι πάντα μας λένε μόνο για εκείνα τα προβλήματα που οι ίδιοι ξέρουν να λύνουν και ποτέ δεν μας λένε για εκείνα τα προβλήματα που δεν μπορούν να λύσουν. Κοίτα. Αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και ενός όρου, χρησιμοποιούμε την αφαίρεση για να βρούμε τον άλλο όρο. Ολα. Δεν γνωρίζουμε άλλα προβλήματα και δεν ξέρουμε πώς να τα λύσουμε. Τι πρέπει να κάνουμε αν γνωρίζουμε μόνο το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και δεν γνωρίζουμε και τους δύο όρους; Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης πρέπει να αποσυντεθεί σε δύο όρους χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Στη συνέχεια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε ποιος μπορεί να είναι ένας όρος και οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις δείχνουν ποιος πρέπει να είναι ο δεύτερος όρος, ώστε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης να είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε. Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων ζευγών όρων. ΣΕ Καθημερινή ζωήΜπορούμε να κάνουμε μια χαρά χωρίς να αποσυνθέσουμε το άθροισμα είναι αρκετή για εμάς. Αλλά όταν επιστημονική έρευνανόμους της φύσης, η αποσύνθεση ενός αθροίσματος στα συστατικά του μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη.
Ένας άλλος νόμος της πρόσθεσης για τον οποίο οι μαθηματικοί δεν αρέσει να μιλούν (άλλο ένα από τα κόλπα τους) απαιτεί οι όροι να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης. Για σαλάτα, νερό και μπορς, αυτά μπορεί να είναι μονάδες βάρους, όγκου, αξίας ή μονάδας μέτρησης.
Το σχήμα δείχνει δύο επίπεδα διαφοράς για τα μαθηματικά. Το πρώτο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των αριθμών, οι οποίες υποδεικνύονται ένα, σι, ντο. Αυτό κάνουν οι μαθηματικοί. Το δεύτερο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των μονάδων μέτρησης, οι οποίες εμφανίζονται σε αγκύλες και υποδεικνύονται με το γράμμα U. Αυτό κάνουν οι φυσικοί. Μπορούμε να κατανοήσουμε το τρίτο επίπεδο - διαφορές στην περιοχή των αντικειμένων που περιγράφονται. Διαφορετικά αντικείμενα μπορεί να έχουν τον ίδιο αριθμό πανομοιότυπων μονάδων μέτρησης. Το πόσο σημαντικό είναι αυτό, μπορούμε να το δούμε στο παράδειγμα της τριγωνομετρίας μπορς. Εάν προσθέσουμε δείκτες στον ίδιο προσδιορισμό μονάδων για διαφορετικά αντικείμενα, μπορούμε να πούμε ακριβώς ποια μαθηματική ποσότητα περιγράφει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο και πώς αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ή λόγω των ενεργειών μας. Γράμμα WΘα ορίσω το νερό με ένα γράμμα μικρόΘα ορίσω τη σαλάτα με ένα γράμμα σι- μπορς. Έτσι θα μοιάζουν οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις για το μπορς.
Αν πάρουμε λίγο από το νερό και λίγο από τη σαλάτα, μαζί θα γίνουν μια μερίδα μπορς. Εδώ σας προτείνω να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το μπορς και να θυμηθείτε τα μακρινά παιδικά σας χρόνια. Θυμάστε πώς μας έμαθαν να βάζουμε κουνελάκια και πάπιες μαζί; Ήταν απαραίτητο να βρούμε πόσα ζώα θα υπήρχαν. Τι μας έμαθαν να κάνουμε τότε; Μας έμαθαν να διαχωρίζουμε τις μονάδες μέτρησης από τους αριθμούς και να προσθέτουμε αριθμούς. Ναι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να προστεθεί σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Αυτός είναι ένας άμεσος δρόμος προς τον αυτισμό των σύγχρονων μαθηματικών - το κάνουμε ακατανόητα τι, ακατανόητα γιατί, και πολύ κακώς καταλαβαίνουμε πώς αυτό σχετίζεται με την πραγματικότητα, λόγω των τριών επιπέδων διαφοράς, οι μαθηματικοί λειτουργούν μόνο με ένα. Θα ήταν πιο σωστό να μάθουμε πώς να μετακινούμαστε από τη μια μονάδα μέτρησης στην άλλη.
Τα κουνελάκια, οι πάπιες και τα ζωάκια μπορούν να μετρηθούν σε κομμάτια. Μια κοινή μονάδα μέτρησης για διαφορετικά αντικείμενα μας επιτρέπει να τα προσθέσουμε μαζί. Αυτή είναι μια παιδική εκδοχή του προβλήματος. Ας δούμε ένα παρόμοιο πρόβλημα για ενήλικες. Τι κερδίζετε όταν προσθέτετε κουνελάκια και χρήματα; Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις εδώ.
Πρώτη επιλογή. Καθορίζουμε την αγοραία αξία των κουνελιών και την προσθέτουμε στο διαθέσιμο χρηματικό ποσό. Έχουμε λάβει τη συνολική αξία του πλούτου μας σε χρηματικούς όρους.
Δεύτερη επιλογή. Μπορείτε να προσθέσετε τον αριθμό των κουνελιών στον αριθμό των τραπεζογραμματίων που έχουμε. Θα λάβουμε την ποσότητα κινητή περιουσίασε κομμάτια.
Όπως μπορείτε να δείτε, ο ίδιος νόμος πρόσθεσης σας επιτρέπει να έχετε διαφορετικά αποτελέσματα. Όλα εξαρτώνται από το τι ακριβώς θέλουμε να μάθουμε.
Ας επιστρέψουμε όμως στο μπορς μας. Τώρα μπορούμε να δούμε τι θα συμβεί για διαφορετικές τιμές γωνίας γραμμικών γωνιακών συναρτήσεων.
Η γωνία είναι μηδέν. Έχουμε σαλάτα, αλλά όχι νερό. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι επίσης μηδενική. Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι το μηδέν μπορς είναι ίσο με μηδέν νερό. Μπορεί να υπάρχει μηδέν μπορς με μηδενική σαλάτα (ορθή γωνία).
Για μένα προσωπικά, αυτή είναι η κύρια μαθηματική απόδειξη του γεγονότος ότι . Το μηδέν δεν αλλάζει τον αριθμό όταν προστίθεται. Αυτό συμβαίνει επειδή η ίδια η προσθήκη είναι αδύνατη εάν υπάρχει μόνο ένας όρος και ο δεύτερος όρος λείπει. Μπορείτε να το αισθανθείτε όπως θέλετε, αλλά να θυμάστε - όλες οι μαθηματικές πράξεις με το μηδέν εφευρέθηκαν από τους ίδιους τους μαθηματικούς, γι' αυτό πετάξτε τη λογική σας και στριμώξτε ανόητα τους ορισμούς που επινοούν οι μαθηματικοί: "η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη", "οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται επί το μηδέν ισούται με μηδέν», «πέρα από το σημείο διάτρησης μηδέν» και άλλες ανοησίες. Αρκεί να θυμάστε μια φορά ότι το μηδέν δεν είναι αριθμός και δεν θα έχετε ποτέ ξανά ερώτηση εάν το μηδέν είναι φυσικός αριθμός ή όχι, γιατί μια τέτοια ερώτηση χάνει κάθε νόημα: πώς μπορεί κάτι που δεν είναι αριθμός να θεωρείται αριθμός ? Είναι σαν να ρωτάς σε ποιο χρώμα πρέπει να ταξινομηθεί ένα αόρατο χρώμα. Το να προσθέσετε ένα μηδέν σε έναν αριθμό είναι το ίδιο με το να ζωγραφίζετε με μπογιά που δεν υπάρχει. Κουνήσαμε ένα στεγνό πινέλο και είπαμε σε όλους ότι «ζωγραφίσαμε». Αλλά ξεφεύγω λίγο.
Η γωνία είναι μεγαλύτερη από το μηδέν αλλά μικρότερη από σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε πολλά μαρούλια, αλλά όχι αρκετό νερό. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε χοντρό μπορς.
Η γωνία είναι σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε ίσες ποσότητες νερού και σαλάτας. Αυτό είναι το τέλειο μπορς (συγχωρέστε με, σεφ, είναι απλά μαθηματικά).
Η γωνία είναι μεγαλύτερη από σαράντα πέντε μοίρες, αλλά μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Έχουμε πολύ νερό και λίγη σαλάτα. Θα πάρετε υγρό μπορς.
Ορθή γωνία. Έχουμε νερό. Το μόνο που μένει από τη σαλάτα είναι αναμνήσεις, καθώς συνεχίζουμε να μετράμε τη γωνία από τη γραμμή που κάποτε χαρακτήριζε τη σαλάτα. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, κρατηθείτε και πίνετε νερό όσο το έχετε)))
Εδώ. Κάτι σαν αυτό. Μπορώ να πω άλλες ιστορίες εδώ που θα ήταν περισσότερο από κατάλληλες εδώ.
Δύο φίλοι είχαν τις μετοχές τους σε μια κοινή επιχείρηση. Αφού σκότωσε τον έναν, όλα πήγαν στον άλλον.
Η εμφάνιση των μαθηματικών στον πλανήτη μας.
Όλες αυτές οι ιστορίες λέγονται στη γλώσσα των μαθηματικών χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Κάποια άλλη φορά θα σας δείξω την πραγματική θέση αυτών των συναρτήσεων στη δομή των μαθηματικών. Στο μεταξύ, ας επιστρέψουμε στην τριγωνομετρία του μπορς και ας εξετάσουμε τις προβολές.
Σάββατο 26 Οκτωβρίου 2019
Τετάρτη 7 Αυγούστου 2019
Ολοκληρώνοντας τη συζήτηση, πρέπει να εξετάσουμε ένα άπειρο σύνολο. Το θέμα είναι ότι η έννοια του «άπειρου» επηρεάζει τους μαθηματικούς όπως ο βόας συσφιγκτήρας επηρεάζει ένα κουνέλι. Η τρέμουσα φρίκη του απείρου στερεί τους μαθηματικούς ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:
Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το Alpha σημαίνει πραγματικός αριθμός. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα το άπειρο σύνολο φυσικούς αριθμούς, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να παρουσιαστούν ως εξής:
Για να αποδείξουν ξεκάθαρα ότι είχαν δίκιο, οι μαθηματικοί βρήκαν πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους ως σαμάνους που χορεύουν με ντέφια. Ουσιαστικά, όλα συνοψίζονται στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια είναι ακατοίκητα και νέοι επισκέπτες μετακομίζουν μέσα, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους επισκέπτες (πολύ ανθρώπινα). Έχω εκφράσει τις απόψεις μου για τέτοιες αποφάσεις στο έντυπο φανταστική ιστορίαγια την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετεγκατάσταση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο για έναν επισκέπτη, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί ανόητα, αλλά αυτό θα είναι στην κατηγορία του «κανένας νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.
Τι είναι ένα «ατελείωτο ξενοδοχείο»; Ένα άπειρο ξενοδοχείο είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών κρεβατιών, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «επισκέπτη» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια «ξενώνες». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Επιπλέον, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει έναν άπειρο αριθμό ορόφων σε έναν άπειρο αριθμό κτιρίων σε έναν άπειρο αριθμό πλανητών σε έναν άπειρο αριθμό συμπάντων που δημιουργήθηκαν από έναν άπειρο αριθμό Θεών. Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αποστασιοποιηθούν από το κοινότοπο καθημερινά προβλήματα: Ο Θεός-Αλλάχ-Βούδας είναι πάντα μόνο ένας, υπάρχει μόνο ένα ξενοδοχείο, υπάρχει μόνο ένας διάδρομος. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να ταχυδακτυλουργήσουν τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «χτυπήσουμε το αδύνατο».
Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού οι αριθμοί δεν υπάρχουν στη Φύση. Ναι, η Φύση είναι εξαιρετική στο να μετράει, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Θα σας πω τι σκέφτεται η Φύση μια άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Ας εξετάσουμε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε πραγματικούς επιστήμονες.
Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια στο ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και πουθενά να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε ένα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να το επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα από το ράφι και να το προσθέσουμε σε ότι μας περισσεύει. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε ξανά ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:
Έγραψα τις ενέργειες σε αλγεβρική σημειογραφία και σε σημειογραφία θεωρίας συνόλων, με μια λεπτομερή λίστα των στοιχείων του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί η ίδια μονάδα.
Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι μας. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Ας πάρουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Αυτό είναι αυτό που παίρνουμε:
Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν προσθέσετε ένα άλλο άπειρο σύνολο σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιείται ένας χάρακας για τη μέτρηση. Τώρα φανταστείτε ότι προσθέσατε ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.
Μπορείτε να δεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - είναι δική σας υπόθεση. Αλλά αν συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν ακολουθείτε το μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής που πατήθηκε από γενιές μαθηματικών. Εξάλλου, η μελέτη των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζει ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε προσθέτει στις νοητικές μας ικανότητες (ή, αντίθετα, μας στερεί την ελεύθερη σκέψη).
pozg.ru
Κυριακή 4 Αυγούστου 2019
Τελειώνω ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο σχετικά και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:
Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσηΤα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημα και βάση αποδεικτικών στοιχείων».
Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι δύσκολο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα τα εξής:
Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων.
Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει μια γλώσσα και συμβάσεις που διαφέρουν από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω μια ολόκληρη σειρά δημοσιεύσεων στα πιο προφανή λάθη των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.
Σάββατο 3 Αυγούστου 2019
Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης που υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Μακάρι να έχουμε πολλά ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση το "άνθρωποι". ΕΝΑ, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον σειριακό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σετ. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «φύλο» και ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑμε βάση το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σύνολο των «ανθρώπων» μας έχει πλέον γίνει ένα σύνολο «ανθρώπων με χαρακτηριστικά φύλου». Μετά από αυτό μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwσεξουαλικά χαρακτηριστικά. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, ανεξάρτητα από το - αρσενικό ή θηλυκό. Αν κάποιος το έχει, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημάδι, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά χρησιμοποιούμε κανονικά σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.
Μετά τον πολλαπλασιασμό, τη μείωση και την αναδιάταξη, καταλήξαμε σε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των ανδρών Bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών Bw. Οι μαθηματικοί συλλογίζονται περίπου με τον ίδιο τρόπο όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας λένε τις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση: πόσο σωστά έχουν εφαρμοστεί τα μαθηματικά στους μετασχηματισμούς που περιγράφονται παραπάνω; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι ουσιαστικά όλα έγιναν σωστά, αρκεί να γνωρίζετε τη μαθηματική βάση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τι είναι; Κάποια άλλη φορά θα σας πω για αυτό.
Όσον αφορά τα υπερσύνολα, μπορείτε να συνδυάσετε δύο σετ σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας τη μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα συνηθισμένα μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων λείψανο του παρελθόντος. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί ενήργησαν όπως κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν πώς να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Μας διδάσκουν αυτή τη «γνώση».
Εν κατακλείδι, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.
Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019
Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η Χελώνα». Να πώς ακούγεται:
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ...οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων...συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος. μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.
Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση δεν πρέπει να αναζητείται ατελείωτα μεγάλοι αριθμοί, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό στο οποίο θέλω να επιστήσω ιδιαίτερη προσοχή είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Θα σας δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε το "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε μέρος του "όλου" και σχηματίζουμε ένα σύνολο "με φιόγκο". Έτσι παίρνουν την τροφή τους οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.
Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε το «συμπαγές με ένα σπυράκι με φιόγκο» και ας συνδυάσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανάλογα με το χρώμα, επιλέγοντας τα κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα το τελευταίο ερώτημα: τα σετ που προκύπτουν "με φιόγκο" και "κόκκινο" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, έτσι θα είναι.
Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ από "κόκκινο συμπαγές με σπυράκι και φιόγκο". Ο σχηματισμός έγινε σε τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σπυράκι), διακόσμηση (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης μας επιτρέπει να περιγράψουμε επαρκώς πραγματικά αντικείμενα στη γλώσσα των μαθηματικών. Έτσι φαίνεται.
Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες μέτρησης με τις οποίες διακρίνεται το «σύνολο» στο προκαταρκτικό στάδιο επισημαίνονται σε αγκύλες. Η μονάδα μέτρησης με την οποία σχηματίζεται το σετ βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι ο χορός των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντας ότι είναι «προφανές», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν αποτελούν μέρος του «επιστημονικού» τους οπλοστασίου.
Χρησιμοποιώντας μονάδες μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να χωρίσετε ένα σετ ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Πίνακας αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσειςμεταγλωττισμένο για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 και 360 μοιρών και τις αντίστοιχες τιμές γωνίας τους σε βραδιανούς. Από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ο πίνακας δείχνει ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συνημίτονο. Για ευκολία λύσης σχολικά παραδείγματαοι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στον πίνακα γράφονται με τη μορφή κλάσματος, διατηρώντας τα σημάδια για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών, κάτι που πολύ συχνά βοηθά στη μείωση σύνθετων μαθηματικών παραστάσεων. Για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη, οι τιμές ορισμένων γωνιών δεν μπορούν να προσδιοριστούν. Για τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης τέτοιων γωνιών, υπάρχει μια παύλα στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Είναι γενικά αποδεκτό ότι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη τέτοιων γωνιών είναι ίση με το άπειρο. Σε ξεχωριστή σελίδα υπάρχουν τύποι για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ο πίνακας τιμών για τη συνάρτηση τριγωνομετρικού ημιτόνου δείχνει τις τιμές για τις ακόλουθες γωνίες: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 σε μοίρες, που αντιστοιχεί σε sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Σχολικός πίνακας ημιτόνων.
Για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνημιτόνου, ο πίνακας δείχνει τις τιμές για τις ακόλουθες γωνίες: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 σε μοίρες, που αντιστοιχεί σε cos 0 pi , cos pi κατά 6, cos pi κατά 4, cos pi κατά 3, cos pi κατά 2, cos pi, cos 3 pi επί 2, cos 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Σχολικός πίνακας συνημίτονων.
Ο τριγωνομετρικός πίνακας για τη συνάρτηση τριγωνομετρικής εφαπτομένης δίνει τιμές για τις ακόλουθες γωνίες: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 σε μοίρες, που αντιστοιχεί σε tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Οι ακόλουθες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων εφαπτομένης δεν ορίζονται tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 και θεωρούνται ίσες με το άπειρο.
Για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνεφαπτομένη στον τριγωνομετρικό πίνακα δίνονται οι τιμές των ακόλουθων γωνιών: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 σε μέτρο μοιρών, που αντιστοιχεί σε ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Οι ακόλουθες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων συνεφαπτομένης δεν ορίζονται ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi και θεωρούνται ίσες με το άπειρο.
Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων τέμνουσα και συνεφαπτομένη δίνονται για τις ίδιες γωνίες σε μοίρες και ακτίνια με το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.
Ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μη τυπικών γωνιών δείχνει τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για γωνίες σε μοίρες 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 μοίρες και σε ακτίνια pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 ακτίνια. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκφράζονται σε κλάσματα και τετραγωνικές ρίζες για να διευκολύνεται η μείωση των κλασμάτων στα σχολικά παραδείγματα.
Τρία ακόμη τέρατα τριγωνομετρίας. Το πρώτο είναι η εφαπτομένη του 1,5 μιάμιση μοίρα ή π διαιρούμενο με το 120. Το δεύτερο είναι το συνημίτονο του π διαιρούμενο με το 240, pi/240. Το μεγαλύτερο είναι το συνημίτονο του pi διαιρούμενο με το 17, pi/17.
Ο τριγωνομετρικός κύκλος των τιμών των συναρτήσεων ημιτονοειδές και συνημίτονο αναπαριστά οπτικά τα σημάδια του ημιτονοειδούς και του συνημιτόνου ανάλογα με το μέγεθος της γωνίας. Ειδικά για τις ξανθιές, οι τιμές συνημιτόνου υπογραμμίζονται με μια πράσινη παύλα για να μειωθεί η σύγχυση. Η μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια παρουσιάζεται επίσης πολύ καθαρά όταν τα ακτίνια εκφράζονται σε pi.
Αυτό τριγωνομετρικός πίνακαςαντιπροσωπεύει τιμές ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης για γωνίες από 0 μηδέν έως 90 ενενήντα μοίρες σε διαστήματα μιας μοίρας. Για τις πρώτες σαράντα πέντε μοίρες, τα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων θα πρέπει να εξετάζονται στην κορυφή του πίνακα. Η πρώτη στήλη περιέχει μοίρες, οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αναγράφονται στις επόμενες τέσσερις στήλες.
Για γωνίες από σαράντα πέντε μοίρες έως ενενήντα μοίρες, τα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αναγράφονται στο κάτω μέρος του πίνακα. Η τελευταία στήλη περιέχει μοίρες οι τιμές των συνημιτόνων, των συνεφαπτομένων και των εφαπτομένων είναι γραμμένες στις προηγούμενες τέσσερις στήλες. Θα πρέπει να είστε προσεκτικοί γιατί τα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο κάτω μέρος του τριγωνομετρικού πίνακα είναι διαφορετικά από τα ονόματα στην κορυφή του πίνακα. Τα ημιτόνια και τα συνημίτονα ανταλλάσσονται, όπως η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Αυτό οφείλεται στη συμμετρία των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων φαίνονται στο παραπάνω σχήμα. Το ημίτονο έχει θετικές τιμές από 0 έως 180 μοίρες ή από 0 έως pi. Το ημίτονο έχει αρνητικές τιμές από 180 έως 360 μοίρες ή από pi έως 2 pi. Οι τιμές συνημιτόνου είναι θετικές από 0 έως 90 και 270 έως 360 μοίρες ή 0 έως 1/2 pi και 3/2 έως 2 pi. Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν θετικές τιμές από 0 έως 90 μοίρες και από 180 έως 270 μοίρες, που αντιστοιχούν σε τιμές από 0 έως 1/2 pi και pi έως 3/2 pi. Οι αρνητικές τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι από 90 έως 180 μοίρες και από 270 έως 360 μοίρες ή από 1/2 pi έως pi και από 3/2 pi έως 2 pi. Όταν προσδιορίζετε τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες μεγαλύτερες από 360 μοίρες ή 2 pi, θα πρέπει να χρησιμοποιείτε τις ιδιότητες περιοδικότητας αυτών των συναρτήσεων.
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις. Οι τιμές αυτών των συναρτήσεων για αρνητικές γωνίες θα είναι αρνητικές. Το συνημίτονο είναι μια άρτια τριγωνομετρική συνάρτηση - η τιμή συνημιτόνου για αρνητική γωνίαθα είναι θετικό. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τριγωνομετρικών συναρτήσεων πρέπει να τηρούνται οι κανόνες πρόσημου.
Ο πίνακας τιμών για τη συνάρτηση τριγωνομετρικού ημιτόνου δείχνει τις τιμές για τις ακόλουθες γωνίες
ΕγγραφοΥπάρχουν τύποι μείωσης σε ξεχωριστή σελίδα τριγωνομετρικήλειτουργίες. ΣΕ τραπέζιαξίεςΓιατριγωνομετρικήλειτουργίεςκόλποςδεδομένοςαξίεςΓιατο ακόλουθογωνίες: αμαρτία 0, αμαρτία 30, αμαρτία 45 ...
Η προτεινόμενη μαθηματική συσκευή είναι ένα πλήρες ανάλογο μιγαδικού λογισμού για ν-διάστατους υπερσύνθετους αριθμούς με οποιονδήποτε αριθμό βαθμών ελευθερίας n και προορίζεται για μαθηματική μοντελοποίηση μη γραμμικών
Εγγραφο... λειτουργίεςισοδυναμεί λειτουργίεςεικόνες. Από αυτό το θεώρημα πρέπει, Τι Γιαβρίσκοντας τις συντεταγμένες U, V, αρκεί να υπολογίσουμε λειτουργία... γεωμετρία? πολυνερ λειτουργίες(πολυδιάστατα ανάλογα δισδιάστατων τριγωνομετρικήλειτουργίες), τις ιδιότητες τους, τραπέζιακαι εφαρμογή? ...
-
Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να υποδείξει τετραγωνική ρίζα. Για να υποδείξετε ένα κλάσμα, χρησιμοποιήστε το σύμβολο "/".
δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:
Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ημίτονο 30 μοίρες - αναζητούμε τη στήλη με την επικεφαλίδα αμαρτία (ημιτονοειδές) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης πίνακα με τη σειρά "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα μισό. Παρόμοια βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin και της γραμμής 60 μοιρών βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών βρίσκονται με τον ίδιο τρόπο.
Ημιτόνου π, συνημίτονο π, εφαπτομένης π και άλλες γωνίες σε ακτίνια
Ο παρακάτω πίνακας συνημιτόνων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.
Ο αριθμός pi εκφράζει ξεκάθαρα την εξάρτηση της περιφέρειας από το μέτρο της μοίρας της γωνίας. Έτσι, τα ακτίνια pi είναι ίσα με 180 μοίρες.
Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνια) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας το pi (π) με 180.
Παραδείγματα:
1. Sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και είναι ίσο με μηδέν.2. Συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του π είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και είναι ίσο με μείον ένα.3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη π είναι ίδια με την εφαπτομένη 180 μοιρών και είναι ίση με το μηδέν.Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (κοινές τιμές)
τιμή γωνίας α
(βαθμοί)τιμή γωνίας α
σε ακτίνια(μέσω pi)
αμαρτία
(κόλπος)συν
(συνημίτονο)tg
(εφαπτομένη γραμμή)ctg
(συνεφαπτομένη)δευτ
(διατέμνων)cosec
(συντεμνούσα)0 0 0 1 0 - 1 - 15 π/12 2 - √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 - √3 90 π/2 1 0 - 0 - 1 105 7π/12 - - 2 - √3 √3 - 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 - -1 - 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 - 0 - -1 360 2π 0 1 0 - 1 - Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων υποδεικνύεται μια παύλα αντί για την τιμή της συνάρτησης (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε για μια δεδομένη τιμή του βαθμού μέτρο της γωνίας η συνάρτηση δεν έχει συγκεκριμένη αξία. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την απαιτούμενη τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια ερωτήματα έρχονται σε εμάς οι χρήστες και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά επαρκή για την επίλυση των περισσότερων προβλήματα.
Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")τιμή γωνίας α (μοίρες) τιμή γωνίας α σε ακτίνια αμαρτία (sine) cos (συνημίτονο) tg (εφαπτομένη) ctg (συνεφαπτομένη) 0 0 15 0,2588
0,9659
0,2679
30 0,5000
0,5774
45 0,7071
0,7660
60 0,8660
0,5000
1,7321
7π/18
Πίνακας βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ... μοιρών
Από τους τριγωνομετρικούς ορισμούς των συναρτήσεων $\sin$, $\cos$, $\tan$ και $\cot$, μπορείτε να μάθετε τις τιμές τους για τις γωνίες $0$ και $90$ μοίρες:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ δεν έχει οριστεί.
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ δεν έχει προσδιοριστεί.
Σε μάθημα σχολικής γεωμετρίας κατά τη μελέτη ορθογώνια τρίγωναβρείτε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των γωνιών $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ και $90°$.
Βρέθηκαν τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων για τις υποδεικνυόμενες γωνίες σε μοίρες και ακτίνια, αντίστοιχα ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης εισάγονται σε έναν πίνακα που ονομάζεται τριγωνομετρικός πίνακας, πίνακας βασικών τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεωνκαι ούτω καθεξής.
Όταν χρησιμοποιείτε τύπους μείωσης, ο τριγωνομετρικός πίνακας μπορεί να επεκταθεί σε γωνία $360°$ και, κατά συνέπεια, $2\pi$ ακτίνια:
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, κάθε γωνία, η οποία θα διαφέρει από την ήδη γνωστή κατά $360°$, μπορεί να υπολογιστεί και να καταγραφεί σε έναν πίνακα. Για παράδειγμα, η τριγωνομετρική συνάρτηση για τη γωνία $0°$ θα έχει την ίδια τιμή για τη γωνία $0°+360°$ και για τη γωνία $0°+2 \cdot 360°$ και για τη γωνία $0°+3 \cdot 360°$ και τα λοιπά.
Χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό πίνακα, μπορείτε να προσδιορίσετε τις τιμές όλων των γωνιών ενός κύκλου μονάδας.
Σε ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας, υποτίθεται ότι απομνημονεύετε τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που συλλέγονται σε έναν τριγωνομετρικό πίνακα για την ευκολία επίλυσης τριγωνομετρικών προβλημάτων.
Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα
Στον πίνακα, αρκεί να βρούμε την απαιτούμενη τριγωνομετρική συνάρτηση και την τιμή της γωνίας ή των ακτίνων για την οποία πρέπει να υπολογιστεί αυτή η συνάρτηση. Στην τομή της γραμμής με τη συνάρτηση και της στήλης με την τιμή, λαμβάνουμε την επιθυμητή τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης του δεδομένου ορίσματος.
Στο σχήμα μπορείτε να δείτε πώς να βρείτε την τιμή του $\cos60°$, που ισούται με $\frac(1)(2)$.
Ο εκτεταμένος τριγωνομετρικός πίνακας χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο. Το πλεονέκτημα της χρήσης του είναι, όπως ήδη αναφέρθηκε, ο υπολογισμός της τριγωνομετρικής συνάρτησης σχεδόν κάθε γωνίας. Για παράδειγμα, μπορείτε εύκολα να βρείτε την τιμή $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Πίνακες Bradis βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Η δυνατότητα υπολογισμού της τριγωνομετρικής συνάρτησης απολύτως οποιασδήποτε τιμής γωνίας για ακέραια τιμή μοιρών και ακέραια τιμή λεπτών παρέχεται με τη χρήση πινάκων Bradis. Για παράδειγμα, βρείτε την τιμή του $\cos34°7"$. Οι πίνακες χωρίζονται σε 2 μέρη: έναν πίνακα τιμών των $\sin$ και $\cos$ και έναν πίνακα τιμών των $ \tan$ και $\cot$.
Οι πίνακες Bradis καθιστούν δυνατή τη λήψη κατά προσέγγιση τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων με ακρίβεια έως και 4 δεκαδικά ψηφία.
Χρήση πινάκων Bradis
Χρησιμοποιώντας τους πίνακες Bradis για ημίτονο, βρίσκουμε $\sin17°42"$. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή στήλη του πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων βρίσκουμε την τιμή των μοιρών - $17°$ και στην επάνω γραμμή βρίσκουμε την τιμή των λεπτών - $42"$. Στη διασταύρωση τους παίρνουμε την επιθυμητή τιμή:
$\sin17°42"=0,304$.
Για να βρείτε την τιμή $\sin17°44"$ πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη διόρθωση στη δεξιά πλευρά του πίνακα. Σε αυτήν την περίπτωση, στην τιμή $42"$, που βρίσκεται στον πίνακα, πρέπει να προσθέσετε μια διόρθωση για $2 "$, που ισούται με 0,0006$. Παίρνουμε:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Για να βρούμε την τιμή $\sin17°47"$ χρησιμοποιούμε επίσης τη διόρθωση στη δεξιά πλευρά του πίνακα, μόνο σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε ως βάση την τιμή $\sin17°48"$ και αφαιρούμε τη διόρθωση για $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Κατά τον υπολογισμό των συνημίτονων, εκτελούμε παρόμοιες ενέργειες, αλλά κοιτάμε τις μοίρες στη δεξιά στήλη και τα λεπτά στην κάτω στήλη του πίνακα. Για παράδειγμα, $\cos20°=0,9397$.
Δεν υπάρχουν διορθώσεις για τιμές εφαπτομένης έως $90°$ και μικρής γωνίας συνεφαπτομένης. Για παράδειγμα, ας βρούμε $\tan 78°37"$, που σύμφωνα με τον πίνακα ισούται με $4,967 $.
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
