Εξερευνήστε τη γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων, παραδείγματα. Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων

Με άλλα λόγια, η γραμμική εξάρτηση μιας ομάδας διανυσμάτων σημαίνει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα μεταξύ τους που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν γραμμικό συνδυασμό άλλων διανυσμάτων αυτής της ομάδας.

Ας πούμε. Επειτα

Επομένως το διάνυσμα Χγραμμικά εξαρτώμενο από τα διανύσματα αυτής της ομάδας.

Διανύσματα Χ, y, ..., zονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, αν από την ισότητα (0) προκύπτει ότι

α=β= ...= γ=0.

Δηλαδή, ομάδες διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητες εάν κανένα διάνυσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν γραμμικό συνδυασμό άλλων διανυσμάτων αυτής της ομάδας.

Προσδιορισμός γραμμικής εξάρτησης διανυσμάτων

Έστω m διανύσματα συμβολοσειράς τάξης n:

Έχοντας κάνει μια εξαίρεση Gauss, ανάγουμε τον πίνακα (2) σε ανώτερη τριγωνική μορφή. Τα στοιχεία της τελευταίας στήλης αλλάζουν μόνο όταν οι σειρές αναδιατάσσονται. Μετά από m βήματα εξάλειψης παίρνουμε:

Οπου Εγώ 1 , Εγώ 2 , ..., Εγώ m - δείκτες σειρών που λαμβάνονται με πιθανή μετάθεση σειρών. Λαμβάνοντας υπόψη τις σειρές που προκύπτουν από τους δείκτες σειρών, εξαιρούμε αυτές που αντιστοιχούν στο διάνυσμα μηδενικής γραμμής. Οι υπόλοιπες γραμμές σχηματίζουν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Σημειώστε ότι κατά τη σύνθεση του πίνακα (2), αλλάζοντας την ακολουθία των διανυσμάτων σειρών, μπορείτε να αποκτήσετε μια άλλη ομάδα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Όμως ο υποχώρος που σχηματίζουν και οι δύο αυτές ομάδες διανυσμάτων συμπίπτει.

Σε αυτό το άρθρο θα καλύψουμε:

• τι είναι τα συγγραμμικά διανύσματα;
• ποιες είναι οι συνθήκες για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων;
• ποιες ιδιότητες των συγγραμμικών διανυσμάτων υπάρχουν;
• ποια είναι η γραμμική εξάρτηση των συγγραμμικών διανυσμάτων.

Ορισμός 1

Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι διανύσματα που είναι παράλληλα σε μία ευθεία ή βρίσκονται σε μία ευθεία.

Παράδειγμα 1

Προϋποθέσεις για συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά εάν ισχύει κάποια από τις ακόλουθες συνθήκες:

• συνθήκη 1 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε a = λ b;
• συνθήκη 2 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά με ίσους λόγους συντεταγμένων:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• συνθήκη 3 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά με την προϋπόθεση ότι το διασταυρούμενο γινόμενο και το μηδενικό διάνυσμα είναι ίσα:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Σημείωση 1

Συνθήκη 2 δεν ισχύει εάν μία από τις διανυσματικές συντεταγμένες είναι μηδέν.

Σημείωση 2

Συνθήκη 3 ισχύει μόνο για εκείνα τα διανύσματα που καθορίζονται στο διάστημα.

Παραδείγματα προβλημάτων για τη μελέτη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων

Παράδειγμα 1

Εξετάζουμε τα διανύσματα a = (1; 3) και b = (2; 1) για συγγραμμικότητα.

Πώς να λύσετε;

Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τη 2η συνθήκη συγγραμμικότητας. Για δεδομένα διανύσματα μοιάζει με αυτό:

Η ισότητα είναι ψευδής. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα διανύσματα a και b είναι μη συγγραμμικά.

Απάντηση : α | | σι

Παράδειγμα 2

Ποια τιμή m του διανύσματος a = (1; 2) και b = (- 1; m) είναι απαραίτητη για να είναι τα διανύσματα συγγραμμικά;

Πώς να λύσετε;

Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη συνθήκη συγγραμμικότητας, τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά εάν οι συντεταγμένες τους είναι ανάλογες:

Αυτό δείχνει ότι m = - 2.

Απάντηση: m = - 2 .

Κριτήρια γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσματικών συστημάτων

Θεώρημα

Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο εξαρτάται γραμμικά μόνο εάν ένα από τα διανύσματα του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως προς τα υπόλοιπα διανύσματα αυτού του συστήματος.

Απόδειξη

Έστω το σύστημα e 1 , e 2 , . . . , το e n εξαρτάται γραμμικά. Ας γράψουμε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτού του συστήματος ίσο με το μηδενικό διάνυσμα:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

στην οποία τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές συνδυασμού δεν είναι ίσος με μηδέν.

Έστω k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με έναν μη μηδενικό συντελεστή:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Ας υποδηλώσουμε:

A k - 1 a m , όπου m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Σε αυτήν την περίπτωση:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ή e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Από αυτό προκύπτει ότι ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται μέσω όλων των άλλων διανυσμάτων του συστήματος. Πράγμα που έπρεπε να αποδειχθεί (κ.λπ.).

Επάρκεια

Αφήστε ένα από τα διανύσματα να εκφραστεί γραμμικά μέσω όλων των άλλων διανυσμάτων του συστήματος:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Μετακινούμε το διάνυσμα e k στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Εφόσον ο συντελεστής του διανύσματος e k είναι ίσος με - 1 ≠ 0, παίρνουμε μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενός από ένα σύστημα διανυσμάτων e 1, e 2, . . . , e n , και αυτό, με τη σειρά του, σημαίνει ότι αυτό το σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά. Πράγμα που έπρεπε να αποδειχθεί (κ.λπ.).

Συνέπεια:

• Ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο όταν κανένα από τα διανύσματά του δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς όλα τα άλλα διανύσματα του συστήματος.
• Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα ή δύο ίσα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων

1. Για 2- και τρισδιάστατα διανύσματα, πληρούται η ακόλουθη συνθήκη: δύο γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Δύο συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2. Για τρισδιάστατα διανύσματα, ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: τρία γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συνεπίπεδα. (3 συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά).
3. Για διανύσματα n-διαστάσεων, ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: n + 1 διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτώμενα.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που περιλαμβάνουν γραμμική εξάρτηση ή γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων

Παράδειγμα 3

Ας ελέγξουμε τα διανύσματα a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 για γραμμική ανεξαρτησία.

Λύση. Τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά επειδή η διάσταση των διανυσμάτων είναι μικρότερη από τον αριθμό των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Ας ελέγξουμε τα διανύσματα a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 για γραμμική ανεξαρτησία.

Λύση. Βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών στους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός θα ισούται με το μηδέν διάνυσμα:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Γράφουμε τη διανυσματική εξίσωση σε γραμμική μορφή:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Επιλύουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Από τη 2η γραμμή αφαιρούμε την 1η, από την 3η - την 1η:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Από την 1η γραμμή αφαιρούμε τη 2η, στην 3η προσθέτουμε τη 2η:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Από τη λύση προκύπτει ότι το σύστημα έχει πολλές λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μη μηδενικός συνδυασμός τιμών τέτοιων αριθμών x 1, x 2, x 3 για τους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός των a, b, c ισούται με το μηδενικό διάνυσμα. Επομένως, τα διανύσματα a, b, c είναι γραμμικά εξαρτώμενη. ​​​​​​​

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Έκφραση της φόρμας που ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων A 1 , A 2 ,...,A nμε πιθανότητες λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Προσδιορισμός γραμμικής εξάρτησης συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, αν υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n, στην οποία ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: έχει μη μηδενική λύση.
Σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n είναι μη μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς λ 1, λ 2 ,...,λ n διαφορετικό από το μηδέν.

Προσδιορισμός γραμμικής ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα μόνο για ένα μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n , δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θέχει μια μοναδική λύση μηδέν.

Παράδειγμα 29.1

Ελέγξτε εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά

Λύση:

1. Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

2. Το λύνουμε με τη μέθοδο Gauss. Οι μετασχηματισμοί Jordanano του συστήματος δίνονται στον Πίνακα 29.1. Κατά τον υπολογισμό, οι δεξιές πλευρές του συστήματος δεν καταγράφονται αφού είναι ίσες με το μηδέν και δεν αλλάζουν κατά τους μετασχηματισμούς Jordan.

3. Από τις τρεις τελευταίες σειρές του πίνακα καταγράψτε ένα επιλυμένο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικόΣύστημα:

4. Λαμβάνουμε τη γενική λύση του συστήματος:

5. Έχοντας ορίσει την τιμή της δωρεάν μεταβλητής x 3 =1 κατά την κρίση σας, παίρνουμε μια συγκεκριμένη μη μηδενική λύσηΧ=(-3,2,1).

Απάντηση: Έτσι, για ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών (-3,2,1), ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ισούται με το μηδενικό διάνυσμα -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Ως εκ τούτου, διανυσματικό σύστημα γραμμικά εξαρτώμενο.

Ιδιότητες διανυσματικών συστημάτων

Ακίνητα (1)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο, τότε τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα επεκτείνεται ως προς τα άλλα και, αντιστρόφως, εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα του συστήματος επεκτείνεται ως προς τα άλλα, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (2)
Εάν οποιοδήποτε υποσύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (3)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε από τα υποσύστημά του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ακίνητα (4)
Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (5)
Ένα σύστημα διανυσμάτων m-διαστάσεων εξαρτάται πάντα γραμμικά αν ο αριθμός των διανυσμάτων n είναι μεγαλύτερος από τη διάστασή τους (n>m)

Βάση του διανυσματικού συστήματος

Η βάση του διανυσματικού συστήματος A 1 , A 2 ,..., A n ένα τέτοιο υποσύστημα B 1 , B 2 ,...,B r λέγεται(καθένα από τα διανύσματα B 1, B 2,..., B r είναι ένα από τα διανύσματα A 1, A 2,..., A n), το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rγραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων.
2. οποιοδήποτε διάνυσμα A j σύστημα A 1 , A 2 ,..., A n εκφράζεται γραμμικά μέσω των διανυσμάτων B 1 , B 2 ,..., B r

r— τον αριθμό των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.

Θεώρημα 29.1 Με βάση τη μονάδα ενός συστήματος διανυσμάτων.

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων m διαστάσεων περιέχει m διαφορετικά μοναδιαία διανύσματα E 1 E 2 ,..., E m , τότε αποτελούν τη βάση του συστήματος.

Αλγόριθμος για την εύρεση της βάσης ενός συστήματος διανυσμάτων

Για να βρεθεί η βάση του συστήματος των διανυσμάτων A 1 ,A 2 ,...,A n είναι απαραίτητο:

• Δημιουργήστε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στο σύστημα των διανυσμάτων A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Φέρτε αυτό το σύστημα

ένα 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ένα 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ένα 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Λύση.Αναζητούμε μια γενική λύση στο σύστημα των εξισώσεων

ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

Μέθοδος Gauss. Για να γίνει αυτό, γράφουμε αυτό το ομοιογενές σύστημα σε συντεταγμένες:

Σύστημα Matrix

Το επιτρεπόμενο σύστημα έχει τη μορφή: (r Α = 2, n= 3). Το σύστημα είναι συνεργάσιμο και αβέβαιο. Η γενική του λύση ( Χ 2 – ελεύθερη μεταβλητή): Χ 3 = 13Χ 2 ; 3Χ 1 – 2Χ 2 – 13Χ 2 = 0 => Χ 1 = 5Χ 2 => Χ o = . Η παρουσία μιας μη μηδενικής συγκεκριμένης λύσης, για παράδειγμα, δείχνει ότι τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 γραμμικά εξαρτώμενη.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε εάν ένα δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο:

1. ένα 1 = { -20, -15, - 4 }, ένα 2 = { –7, -2, -4 }, ένα 3 = { 3, –1, –2 }.

Λύση.Θεωρήστε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

ή σε διευρυμένη μορφή (κατά συντεταγμένες)

Το σύστημα είναι ομοιογενές. Αν δεν είναι εκφυλισμένο, τότε έχει μοναδική λύση. Στην περίπτωση ενός ομοιογενούς συστήματος, υπάρχει μηδενική (τετριμμένη) λύση. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το σύστημα των διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο. Εάν το σύστημα είναι εκφυλισμένο, τότε έχει μη μηδενικές λύσεις και, επομένως, είναι εξαρτημένο.

Ελέγχουμε το σύστημα για εκφυλισμό:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Το σύστημα είναι μη εκφυλισμένο και, επομένως, τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 γραμμικά ανεξάρτητη.

Καθήκοντα.Βρείτε εάν ένα δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο:

1. ένα 1 = { -4, 2, 8 }, ένα 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ένα 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ένα 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ένα 1 = { -7, 5, 19 }, ένα 2 = { -5, 7 , -7 }, ένα 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ένα 1 = { 1, 2, -2 }, ένα 2 = { 0, -1, 4 }, ένα 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ένα 1 = { 1, 8 , -1 }, ένα 2 = { -2, 3, 3 }, ένα 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ένα 1 = { 1, 2 , 3 }, ένα 2 = { 2, -1 , 1 }, ένα 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ένα 1 = {0, 1, 1 , 0}, ένα 2 = {1, 1 , 3, 1}, ένα 3 = {1, 3, 5, 1}, ένα 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ένα 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ένα 2 = {2, 3 , 2, 1}, ένα 3 = {4, 4, 4, -3}, ένα 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Να αποδείξετε ότι ένα σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά αν περιέχει:

α) δύο ίσα διανύσματα.

β) δύο αναλογικά διανύσματα.

Διανύσματα, οι ιδιότητές τους και οι δράσεις τους με αυτά

Διανύσματα, ενέργειες με διανύσματα, γραμμικός διανυσματικός χώρος.

Τα διανύσματα είναι μια διατεταγμένη συλλογή ενός πεπερασμένου αριθμού πραγματικών αριθμών.

Ενέργειες: 1.Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό: λάμδα*διάνυσμα x=(λάμδα*x 1, λάμδα*x 2 ... λάμδα*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Προσθήκη διανυσμάτων (ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο) διάνυσμα x + διάνυσμα y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Διάνυσμα 0=(0,0…0)---n E n – n-διάστατο (γραμμικός χώρος) διάνυσμα x + διάνυσμα 0 = διάνυσμα x

Θεώρημα. Για να είναι γραμμικά εξαρτώμενο ένα σύστημα n διανυσμάτων, ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος, είναι απαραίτητο και αρκετό ένα από τα διανύσματα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Θεώρημα. Οποιοδήποτε σύνολο n+ 1ου διανυσμάτων n-διάστατου γραμμικού χώρου φαινομένων. γραμμικά εξαρτώμενος.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός διανυσμάτων με αριθμούς. Αφαίρεση διανυσμάτων.

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έως το τέλος του διανύσματος, με την προϋπόθεση ότι η αρχή συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος. Εάν τα διανύσματα δίνονται από τις επεκτάσεις τους σε διανύσματα μονάδων βάσης, τότε κατά την προσθήκη διανυσμάτων, προστίθενται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους.

Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αφήνω

Ας το δείξουμε

Από το σχήμα 3 είναι σαφές ότι

Το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολυγώνου (Εικ. 4): για να κατασκευαστεί το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων, αρκεί να συνδυάσετε την αρχή κάθε επόμενου διανύσματος με το τέλος του προηγούμενου και κατασκευάστε ένα διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες της πράξης πρόσθεσης διανύσματος:

Σε αυτές τις παραστάσεις τα m, n είναι αριθμοί.

Η διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων ονομάζεται διάνυσμα Ο δεύτερος όρος είναι ένα διάνυσμα αντίθετο προς το διάνυσμα ως προς την κατεύθυνση, αλλά ίσο με αυτό σε μήκος.

Έτσι, η λειτουργία της αφαίρεσης διανυσμάτων αντικαθίσταται από μια πράξη πρόσθεσης

Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή είναι στην αρχή και το τέλος στο σημείο Α (x1, y1, z1) ονομάζεται διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α και συμβολίζεται απλά. Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου Α, η επέκτασή του σε μοναδιαία διανύσματα έχει τη μορφή

Ένα διάνυσμα που ξεκινά από το σημείο A(x1, y1, z1) και τελειώνει στο σημείο B(x2, y2, z2) μπορεί να γραφτεί ως

όπου r 2 είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Β. r 1 - διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α.

Επομένως, η επέκταση του διανύσματος σε μοναδιαία διανύσματα έχει τη μορφή

Το μήκος του είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Έτσι στην περίπτωση ενός επιπέδου προβλήματος, το γινόμενο ενός διανύσματος κατά a = (ax; ay) με τον αριθμό b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2) επί 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Άρα, στην περίπτωση ενός χωρικού προβλήματος, το γινόμενο του διανύσματος a = (ax; ay; az) με τον αριθμό b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b; az b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2; -5) επί 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Τελική γινόμενο διανυσμάτων και πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και ? αν το ένα, τότε

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου προκύπτει ότι

όπου, για παράδειγμα, είναι το μέγεθος της προβολής του διανύσματος στην κατεύθυνση του διανύσματος.

Κλιμακωτό τετράγωνο διάνυσμα:

Ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες:

Το προϊόν με τελείες σε συντεταγμένες

Αν Οτι

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων - η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων αυτών των διανυσμάτων (μικρότερη γωνία).

Διασταυρούμενο γινόμενο (Διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων.) -Αυτό είναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο σε ένα επίπεδο κατασκευασμένο από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «πολλαπλασιασμός διανυσμάτων» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το γινόμενο δεν είναι ούτε αντιμεταθετικό ούτε συνειρμικό (είναι αντιμεταθετικό) και διαφέρει από το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων. Σε πολλά προβλήματα μηχανικής και φυσικής, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάσετε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο ήδη υπάρχοντα - το διανυσματικό γινόμενο παρέχει αυτήν την ευκαιρία. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - το μήκος του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών τους εάν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Το διαγώνιο γινόμενο ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα ενός διανυσματικού γινόμενου, όπως ένα βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό διανυσμάτων βαθμωτών γινομένων από συντεταγμένες σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διαγώνιο γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, τη «χειρομορφία» του.

Συγγραμμικότητα διανυσμάτων.

Δύο μη μηδενικά (όχι ίσα με 0) διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ή στην ίδια ευθεία. Ένα αποδεκτό, αλλά όχι συνιστώμενο, συνώνυμο είναι τα «παράλληλα» διανύσματα. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορεί να είναι πανομοιότυπα κατευθυνόμενα ("συμκατευθυντικά") ή αντίθετα (στην τελευταία περίπτωση ονομάζονται μερικές φορές "αντικολλγραμμικά" ή "αντιπαράλληλα").

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων( α, β, γ)- κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος a και του διανυσματικού γινόμενου των διανυσμάτων b και c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

Μερικές φορές ονομάζεται γινόμενο τριπλής κουκκίδας των διανυσμάτων, προφανώς επειδή το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή).

Γεωμετρική έννοια: Το μέτρο του μικτού γινόμενου είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα (αλφάβητο) .

Ιδιότητες

Ένα μικτό γινόμενο είναι λοξό-συμμετρικό ως προς όλα τα επιχειρήματά του: δηλ. ε. Η αναδιάταξη δύο παραγόντων αλλάζει το πρόσημο του προϊόντος. Από αυτό προκύπτει ότι το μικτό γινόμενο στο σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από διανύσματα και:

Το μικτό γινόμενο στο αριστερό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από διανύσματα και λαμβάνεται με το πρόσημο μείον:

Συγκεκριμένα,

Εάν οποιαδήποτε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τότε με οποιοδήποτε τρίτο διάνυσμα σχηματίζουν ένα μικτό γινόμενο ίσο με μηδέν.

Αν τρία διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα (δηλαδή, ομοεπίπεδα, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο), τότε το μικτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν.

Γεωμετρική σημασία - Το μικτό γινόμενο είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου (βλέπε σχήμα) που σχηματίζεται από τα διανύσματα και? το πρόσημο εξαρτάται από το αν αυτή η τριάδα των διανυσμάτων είναι δεξιόχειρας ή αριστερόχειρας.

Συνεπίπεδη διανυσμάτων.

Τρία (ή περισσότερα) διανύσματα ονομάζονται συνεπίπεδα εάν, αν αναχθούν σε κοινή αρχή, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

Ιδιότητες συνεπίπεδης

Εάν τουλάχιστον ένα από τα τρία διανύσματα είναι μηδέν, τότε τα τρία διανύσματα θεωρούνται επίσης συνεπίπεδα.

Ένα τριπλό διανυσμάτων που περιέχει ένα ζεύγος συγγραμμικών διανυσμάτων είναι συνεπίπεδο.

Μικτό γινόμενο συνεπίπεδων διανυσμάτων. Αυτό είναι ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη τριών διανυσμάτων.

Τα συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Αυτό είναι επίσης ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη.

Στον τρισδιάστατο χώρο, 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα διανυσματικά συστήματα.Ορισμός. Το διανυσματικό σύστημα ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Διαφορετικά, δηλ. αν μόνο ένας τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός δεδομένων διανυσμάτων ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης). Για να είναι γραμμικά εξαρτώμενο ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα γραμμικό χώρο, είναι απαραίτητο και αρκετό τουλάχιστον ένα από αυτά τα διανύσματα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

1) Εάν μεταξύ των διανυσμάτων υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα, τότε ολόκληρο το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Στην πραγματικότητα, αν, για παράδειγμα, , τότε, υποθέτοντας , έχουμε έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό .▲

2) Εάν μεταξύ των διανυσμάτων κάποια σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα, τότε ολόκληρο το σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Πράγματι, αφήστε τα διανύσματα , , να είναι γραμμικά εξαρτημένα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Στη συνέχεια όμως, υποθέτοντας , λαμβάνουμε επίσης έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

2. Βάση και διάσταση. Ορισμός. Σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων καλείται διανυσματικός χώρος βάσηαυτού του χώρου εάν οποιοδήποτε διάνυσμα από μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του συστήματος, δηλ. για κάθε διάνυσμα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοια που ισχύει η ισότητα Αυτή η ισότητα ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςανάλογα με τη βάση και τους αριθμούς λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος σε σχέση με τη βάση(ή στη βάση) .

Θεώρημα (σχετικά με τη μοναδικότητα της επέκτασης σε σχέση με τη βάση). Κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να επεκταθεί σε μια βάση με τον μόνο τρόπο, δηλ. συντεταγμένες κάθε διανύσματος στη βάση καθορίζονται αναμφίβολα.