Considere dos funciones lineales $ f(x) = k_1 x+m_1 $ y $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Estas funciones se llaman directas. Es bastante fácil construirlos, necesitas tomar dos valores cualesquiera $ x_1 $ y $ x_2 $ y encontrar $ f(x_1) $ y $ (x_2) $. Luego repite lo mismo con la función $g(x)$. A continuación, encuentre visualmente la coordenada del punto de intersección de las gráficas de funciones.
Debes saber que las funciones lineales tienen solo un punto de intersección y solo cuando $ k_1 \neq k_2 $. De lo contrario, en el caso de $ k_1=k_2 $ las funciones son paralelas entre sí, ya que $ k $ es el coeficiente de pendiente. Si $ k_1 \neq k_2 $ pero $ m_1=m_2 $, entonces el punto de intersección será $ M(0;m) $. Es recomendable recordar esta regla para solucionar problemas rápidamente.
| Ejemplo 1 |
| Sean $ f(x) = 2x-5 $ y $ g(x)=x+3 $. Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de funciones. |
| Solución |
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¿Cómo hacerlo? Dado que se presentan dos funciones lineales, lo primero que observamos es el coeficiente de pendiente de ambas funciones $k_1 = 2$ y $k_2 = 1$. Observamos que $ k_1 \neq k_2 $, por lo que hay un punto de intersección. Encontrémoslo usando la ecuación $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Movemos los términos con $ x $ hacia el lado izquierdo, y el resto hacia la derecha: $$ 2x - x = 3+5 $$ Hemos obtenido $ x=8 $ la abscisa del punto de intersección de las gráficas, y ahora encontremos la ordenada. Para hacer esto, sustituyamos $ x = 8 $ en cualquiera de las ecuaciones, ya sea en $ f(x) $ o en $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Entonces, $ M (8;11) $ es el punto de intersección de las gráficas de dos funciones lineales. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ M (8;11) $$ |
| Ejemplo 3 |
| Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de funciones: $ f(x)=x^2-2x+1 $ y $ g(x)=x^2+1 $ |
| Solución |
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¿Qué pasa con dos funciones no lineales? El algoritmo es simple: igualamos las ecuaciones entre sí y encontramos las raíces: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Distribuimos términos con y sin $ x $ en diferentes lados de la ecuación: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Se ha encontrado la abscisa del punto deseado, pero no es suficiente. Aún falta la ordenada $y$. Sustituimos $ x = 0 $ en cualquiera de las dos ecuaciones de la condición del problema. Por ejemplo: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - punto de intersección de gráficos de funciones |
| Respuesta |
| $$ M (0;1) $$ |
En la práctica y en los libros de texto, los métodos más comunes que se enumeran a continuación son para encontrar el punto de intersección de varias gráficas de funciones.
primera maneraLa primera y más sencilla es aprovechar que en este punto las coordenadas serán iguales e igualar las gráficas, y de lo que obtienes puedes encontrar $x$. Luego sustituye el $x$ encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones y encuentra la coordenada del juego.
Ejemplo 1
Encontremos el punto de intersección de dos rectas $y=5x + 3$ y $y=x-2$, equiparando las funciones:
$x=-\frac(1)(2)$
Ahora sustituyamos la x que recibimos en cualquier gráfico, por ejemplo, elijamos el que sea más simple: $y=x-2$:
$y=-\frac(1)(2) – 2 = - 2\frac12$.
El punto de intersección será $(-\frac(1)(2);- 2\frac12)$.
Segunda maneraEl segundo método consiste en que se compila un sistema a partir de ecuaciones existentes, mediante transformaciones se hace explícita una de las coordenadas, es decir, se expresa a través de la otra. Después de esta expresión en la forma dada se sustituye por otra.
Ejemplo 2
Descubre en qué puntos se cruzan las gráficas de la parábola $y=2x^2-2x-1$ y la recta $y=x+1$.
Solución:
Creemos un sistema:
$\begin(casos) y=2x^2-2x-1 \\ y= x + 1 \\ \end(casos)$
La segunda ecuación es más simple que la primera, así que sustituyémosla por $y$:
$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;
$2x^2 – 3x – 2 = 0$.
Calculemos a qué es igual x, para ello encontraremos las raíces que hacen verdadera la igualdad y escribiremos las respuestas que obtengamos:
$x_1=2; x_2 = -\frac(1)(2)$
Sustituyamos nuestros resultados a lo largo del eje x uno por uno en la segunda ecuación del sistema:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 - \frac(1)(2) = \frac(1)(2)$.
Los puntos de intersección serán $(2;3)$ y $(-\frac(1)(2); \frac(1)(2))$.
Tercera víaPasemos al tercer método: gráfico, pero tenga en cuenta que el resultado que da no es del todo preciso.
Para aplicar el método, ambos gráficos de funciones se trazan en la misma escala en el mismo dibujo y luego se realiza una búsqueda visual del punto de intersección.
Este método sólo es bueno si un resultado aproximado es suficiente y también si no hay datos sobre los patrones de las dependencias consideradas.
En julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un medio electrónico con los nombres de todos los participantes registrados en la expedición.
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Otra Nochevieja... clima helado y copos de nieve en el cristal de la ventana... Todo esto me impulsó a escribir nuevamente sobre... fractales y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. Hay un artículo interesante sobre este tema, que contiene ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí veremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.
Un fractal se puede representar (describir) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la propia figura original. Es decir, se trata de una estructura autosimilar, cuyos detalles, al ampliarla, veremos la misma forma que sin ampliación. Mientras que en el caso de una figura geométrica ordinaria (no un fractal), al ampliarla veremos detalles que tienen una forma más simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que se repetirá una y otra vez con cada aumento.
Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, escribió en su artículo Fractales y arte en nombre de la ciencia: "Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte del fractal "Se ampliará al tamaño del conjunto, aparecerá como un todo, ya sea exactamente o quizás con una ligera deformación".
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