Cómo multiplicar números decimales. como multiplicar decimales

multiplicación de decimales tiene lugar en tres etapas.

Los decimales se escriben en una columna y se multiplican como números ordinarios.

Contamos el número de lugares decimales para el primer decimal y el segundo. Agregamos su número.

En el resultado obtenido, contamos de derecha a izquierda tantos dígitos como resultaron en el párrafo anterior y ponemos una coma.

como multiplicar decimales

Escribimos fracciones decimales en una columna y las multiplicamos como números naturales, ignorando las comas. Es decir, consideramos 3,11 como 311 y 0,01 como 1.

Recibido 311 . Ahora contamos el número de signos (dígitos) después del punto decimal para ambas fracciones. El primer decimal tiene dos dígitos y el segundo tiene dos. Número total de dígitos después de las comas:

Contamos de derecha a izquierda 4 caracteres (números) del número resultante. Hay menos dígitos en el resultado de los que necesita separar con una coma. En ese caso, necesita izquierda asignar el número faltante de ceros.

Nos falta un dígito, así que atribuimos un cero a la izquierda.

Al multiplicar cualquier fracción decimal el 10; cien; 1000 etc el punto decimal se mueve hacia la derecha tantos dígitos como ceros hay después del uno.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5.6 1000 = 5600

Para multiplicar un decimal por 0,1; 0,01; 0.001, etc., es necesario mover la coma hacia la izquierda en esta fracción tantos dígitos como ceros hay delante de la unidad.

¡Contamos cero enteros!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1,256 0,01 = 0,012 56

Para entender cómo multiplicar decimales, veamos ejemplos específicos.

Regla de multiplicación decimal

1) Multiplicamos ignorando la coma.

2) Como resultado, separamos tantos dígitos después de la coma como hay después de las comas en ambos factores juntos.

Encuentra el producto de decimales:

Para multiplicar decimales, multiplicamos sin prestar atención a las comas. Es decir, no multiplicamos 6,8 y 3,4, sino 68 y 34. Como resultado, separamos tantos dígitos después del punto decimal como hay después de las comas en ambos factores juntos. En el primer multiplicador hay un dígito después del punto decimal, en el segundo también hay uno. En total, separamos dos dígitos después del punto decimal, por lo que obtuvimos la respuesta final: 6.8∙3.4=23.12.

Multiplicar decimales sin tener en cuenta la coma. Es decir, de hecho, en lugar de multiplicar 36.85 por 1.14, multiplicamos 3685 por 14. Obtenemos 51590. Ahora, en este resultado, necesitamos separar tantos dígitos con una coma como haya en ambos factores juntos. El primer número tiene dos dígitos después del punto decimal, el segundo tiene uno. En total, separamos tres dígitos con una coma. Como hay un cero al final de la entrada después del punto decimal, no lo escribimos como respuesta: 36,85∙1,4=51,59.

Para multiplicar estos decimales, multiplicamos los números sin prestar atención a las comas. Es decir, multiplicamos los números naturales 2315 y 7. Obtenemos 16205. En este número se deben separar cuatro dígitos después del punto decimal, tantos como haya en ambos factores juntos (dos en cada uno). Respuesta final: 23,15∙0,07=1,6205.

La multiplicación de una fracción decimal por un número natural se hace de la misma manera. Multiplicamos los números sin prestar atención a la coma, es decir, multiplicamos 75 por 16. En el resultado obtenido, después de la coma debe haber tantos signos como en ambos factores juntos: uno. Por lo tanto, 75∙1.6=120.0=120.

Comenzamos la multiplicación de fracciones decimales multiplicando números naturales, ya que no prestamos atención a las comas. Después de eso, separamos tantos dígitos después de la coma como haya en ambos factores juntos. El primer número tiene dos lugares decimales, y el segundo tiene dos lugares decimales. En total, como resultado, debe haber cuatro dígitos después del punto decimal: 4,72∙5,04=23,7888.

Y un par de ejemplos más para multiplicar fracciones decimales:

www.for6cl.uznateshe.ru

Multiplicación de fracciones decimales, reglas, ejemplos, soluciones.

Pasamos al estudio de la siguiente acción con fracciones decimales, ahora consideraremos de manera integral multiplicando decimales. Primero, analicemos los principios generales de la multiplicación de fracciones decimales. Después de eso, pasemos a multiplicar una fracción decimal por una fracción decimal, muestre cómo se realiza la multiplicación de fracciones decimales por una columna, considere las soluciones de los ejemplos. A continuación, analizaremos la multiplicación de fracciones decimales por números naturales, en concreto por 10, 100, etc. En conclusión, hablemos de multiplicar fracciones decimales por fracciones ordinarias y números mixtos.

Digamos de inmediato que en este artículo solo hablaremos de multiplicar fracciones decimales positivas (ver números positivos y negativos). Los casos restantes se analizan en los artículos multiplicación de números racionales y multiplicacion de numeros reales.

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Principios generales para multiplicar decimales

Analicemos los principios generales que deben seguirse al realizar la multiplicación con fracciones decimales.

Dado que los decimales finales y las fracciones periódicas infinitas son la forma decimal de las fracciones comunes, multiplicar dichos decimales es esencialmente multiplicar fracciones comunes. En otras palabras, multiplicacion de decimales finales, multiplicación de fracciones decimales finales y periódicas, así como también multiplicar decimales periodicos se reduce a multiplicar fracciones ordinarias después de convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias.

Considere ejemplos de la aplicación del principio expresado de multiplicar fracciones decimales.

Realiza la multiplicación de decimales 1,5 y 0,75.

Sustituyamos las fracciones decimales multiplicadas por las correspondientes fracciones ordinarias. Como 1,5=15/10 y 0,75=75/100, entonces. Puede reducir la fracción y luego seleccionar la parte entera de la fracción impropia, y es más conveniente escribir la fracción ordinaria resultante 1 125/1 000 como una fracción decimal 1.125.

Cabe señalar que es conveniente multiplicar las fracciones decimales finales en una columna, hablaremos de este método de multiplicación de fracciones decimales en el siguiente párrafo.

Considere un ejemplo de multiplicación de fracciones decimales periódicas.

Calcule el producto de los decimales periódicos 0,(3) y 2,(36) .

Convirtamos fracciones decimales periódicas a fracciones ordinarias:

Luego. Puede convertir la fracción ordinaria resultante en una fracción decimal:

Si hay infinitas fracciones no periódicas entre las fracciones decimales multiplicadas, entonces todas las fracciones multiplicadas, incluidas las finitas y periódicas, deben redondearse a un cierto dígito (ver números de redondeo), y luego realizar la multiplicación de las fracciones decimales finales obtenidas después del redondeo.

Multiplica los decimales 5.382… y 0.2.

Primero, redondeamos una fracción decimal infinita no periódica, el redondeo se puede hacer a las centésimas, tenemos 5.382 ... ≈5.38. La fracción decimal final 0.2 no necesita ser redondeada a centésimas. Así, 5.382… 0.2≈5.38 0.2. Queda por calcular el producto de fracciones decimales finales: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1.076.

Multiplicación de fracciones decimales por una columna

La multiplicación de fracciones decimales finitas se puede realizar por una columna, similar a la multiplicación por una columna de números naturales.

vamos a formular regla de multiplicación para fracciones decimales. Para multiplicar fracciones decimales por una columna, necesitas:

ignorando las comas, realice la multiplicación de acuerdo con todas las reglas de multiplicación por una columna de números naturales;
en el número resultante, separe tantos dígitos a la derecha con un punto decimal como decimales haya en ambos factores juntos, y si no hay suficientes dígitos en el producto, entonces se debe agregar a la izquierda el número requerido de ceros.

Considere ejemplos de multiplicación de fracciones decimales por una columna.

Multiplica los decimales 63,37 y 0,12.

Realicemos la multiplicación de fracciones decimales por una columna. Primero, multiplicamos los números, ignorando las comas:

Queda por poner una coma en el producto resultante. Necesita separar 4 dígitos a la derecha, ya que hay cuatro lugares decimales en los factores (dos en la fracción 3.37 y dos en la fracción 0.12). Hay suficientes números allí, así que no tienes que agregar ceros a la izquierda. Terminemos el registro:

Como resultado, tenemos 3,37 0,12 = 7,6044.

Calcula el producto de los decimales 3,2601 y 0,0254.

Habiendo realizado la multiplicación por una columna sin tener en cuenta las comas, obtenemos la siguiente imagen:

Ahora, en el producto, debe separar 8 dígitos a la derecha con una coma, ya que el número total de decimales de las fracciones multiplicadas es ocho. Pero solo hay 7 dígitos en el producto, por lo tanto, debe asignar tantos ceros a la izquierda para que 8 dígitos puedan separarse con una coma. En nuestro caso, necesitamos asignar dos ceros:

Esto completa la multiplicación de fracciones decimales por una columna.

Multiplicar decimales por 0,1, 0,01, etc.

Muy a menudo tienes que multiplicar decimales por 0,1, 0,01, etc. Por lo tanto, es recomendable formular una regla para multiplicar una fracción decimal por estos números, que se deriva de los principios de la multiplicación de fracciones decimales discutidos anteriormente.

Entonces, multiplicar un decimal dado por 0,1, 0,01, 0,001, etc. da una fracción que se obtiene de la original, si en su entrada la coma se mueve hacia la izquierda 1, 2, 3 y así sucesivamente dígitos, respectivamente, y si no hay suficientes dígitos para mover la coma, entonces necesitas para agregar el número requerido de ceros a la izquierda.

Por ejemplo, para multiplicar la fracción decimal 54,34 por 0,1, debe mover el punto decimal 1 dígito hacia la izquierda en la fracción 54,34 y obtendrá la fracción 5,434, es decir, 54,34 0,1 \u003d 5,434. Tomemos otro ejemplo. Multiplica la fracción decimal 9,3 por 0,0001. Para hacer esto, necesitamos mover la coma 4 dígitos hacia la izquierda en la fracción decimal multiplicada 9.3, pero el registro de la fracción 9.3 no contiene tal número de caracteres. Por lo tanto, debemos agregar tantos ceros en el registro de la fracción 9.3 a la izquierda para que podamos transferir fácilmente la coma a 4 dígitos, tenemos 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Tenga en cuenta que la regla anunciada para multiplicar una fracción decimal por 0,1, 0,01, ... también es válida para fracciones decimales infinitas. Por ejemplo, 0,(18) 0,01=0,00(18) o 93,938… 0,1=9,3938… .

Multiplicar un decimal por un número natural

En su centro multiplicar decimales por numeros naturales no es diferente de multiplicar un decimal por un decimal.

Es más conveniente multiplicar una fracción decimal finita por un número natural por una columna, mientras que debes seguir las reglas para multiplicar por una columna de fracciones decimales discutidas en uno de los párrafos anteriores.

Calcular el producto 15 2.27 .

Realicemos la multiplicación de un número natural por una fracción decimal en una columna:

Al multiplicar una fracción decimal periódica por un número natural, la fracción periódica debe reemplazarse con una fracción ordinaria.

Multiplica la fracción decimal 0,(42) por el número natural 22.

Primero, vamos a convertir el decimal periódico a una fracción común:

Ahora hagamos la multiplicación: . Este resultado decimal es 9,(3) .

Y al multiplicar una fracción decimal no periódica infinita por un número natural, primero debes redondear.

Haz la multiplicación 4 2.145….

Redondeando a centésimas la fracción decimal infinita original, llegaremos a la multiplicación de un número natural y una fracción decimal final. Tenemos 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Multiplicar un decimal por 10, 100,...

Muy a menudo hay que multiplicar fracciones decimales por 10, 100, ... Por lo tanto, es recomendable detenerse en estos casos en detalle.

vamos a voz Regla para multiplicar un decimal por 10, 100, 1000, etc. Al multiplicar una fracción decimal por 10, 100, ... en su entrada, debe mover la coma a la derecha en 1, 2, 3, ... dígitos, respectivamente, y descartar los ceros adicionales a la izquierda; si no hay suficientes dígitos en el registro de la fracción multiplicada para transferir la coma, debe agregar la cantidad requerida de ceros a la derecha.

Multiplica el decimal 0.0783 por 100.

Transfiramos la fracción 0.0783 dos dígitos a la derecha al registro y obtenemos 007.83. Dejando caer dos ceros a la izquierda, obtenemos la fracción decimal 7.38. Por lo tanto, 0,0783 100 = 7,83.

Multiplica la fracción decimal 0,02 por 10.000.

Para multiplicar 0.02 por 10,000 necesitamos mover la coma 4 dígitos a la derecha. Evidentemente, en el registro de la fracción 0,02 no hay suficientes dígitos para pasar la coma a 4 dígitos, por lo que añadiremos unos ceros a la derecha para que se pueda pasar la coma. En nuestro ejemplo basta con sumar tres ceros, tenemos 0,02000. Después de mover la coma, obtenemos la entrada 00200.0. Quitando los ceros de la izquierda, tenemos el número 200,0, que es igual al número natural 200, es el resultado de multiplicar la fracción decimal 0,02 por 10.000.

La regla indicada también es válida para multiplicar fracciones decimales infinitas por 10, 100, ... Al multiplicar fracciones decimales periódicas, debe tener cuidado con el período de la fracción que es el resultado de la multiplicación.

Multiplica el decimal periódico 5.32(672) por 1000 .

Antes de la multiplicación, escribimos la fracción decimal periódica como 5.32672672672..., esto nos permitirá evitar errores. Ahora vamos a mover la coma a la derecha 3 dígitos, tenemos 5 326.726726... . Así, después de la multiplicación, se obtiene una fracción decimal periódica 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Al multiplicar infinitas fracciones no periódicas por 10, 100, ..., primero debe redondear la fracción infinita a un dígito determinado y luego realizar la multiplicación.

Multiplicar un decimal por una fracción común o un número mixto

Para multiplicar una fracción decimal finita o una fracción decimal periódica infinita por una fracción ordinaria o un número mixto, debe representar la fracción decimal como una fracción ordinaria y luego realizar la multiplicación.

Multiplica la fracción decimal 0,4 por el número mixto.

Desde 0.4=4/10=2/5 y luego. El número resultante se puede escribir como una fracción decimal periódica 1.5(3) .

Al multiplicar una fracción decimal no periódica infinita por una fracción común o un número mixto, la fracción común o número mixto debe reemplazarse por una fracción decimal, luego redondear las fracciones multiplicadas y finalizar el cálculo.

Desde 2/3 \u003d 0.6666 ..., entonces. Después de redondear las fracciones multiplicadas a milésimas, llegamos al producto de dos fracciones decimales finales 3,568 y 0,667. Hagamos la multiplicación en una columna:

El resultado obtenido debe redondearse a las milésimas, ya que las fracciones multiplicadas fueron tomadas con una precisión de milésimas, tenemos 2.379856≈2.380.

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29. Multiplicación de fracciones decimales. normas

Hallar el area de un rectangulo de lados iguales
1,4 dm y 0,3 dm. Convertir decímetros a centímetros:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Ahora calculemos el área en centímetros.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Convertir centímetros cuadrados en cuadrados
decímetros:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Por lo tanto, S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

La multiplicación de dos decimales se hace así:
1) los números se multiplican sin tener en cuenta las comas.
2) la coma en el producto se coloca para separar a la derecha
tantos signos como separados en ambos factores
tomados en conjunto. Por ejemplo:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Ejemplos de multiplicación de fracciones decimales en una columna:

En lugar de multiplicar cualquier número por 0,1; 0,01; 0.001
puedes dividir este número por 10; cien ; o 1000 respectivamente.
Por ejemplo:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Al multiplicar una fracción decimal por un número natural, debemos:

1) multiplicar los números, ignorando la coma;

2) en el producto resultante, ponga una coma para que a la derecha
de ella había tantos dígitos como en una fracción decimal.

Encontremos el producto 3.12 10 . De acuerdo con la regla anterior
primero multiplica 312 por 10 . Obtenemos: 312 10 \u003d 3120.
Y ahora separamos los dos dígitos de la derecha con una coma y obtenemos:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Entonces, al multiplicar 3.12 por 10, movimos la coma en uno
número a la derecha. Si multiplicamos 3,12 por 100, obtenemos 312, es decir
la coma se movió dos dígitos a la derecha.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Al multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, etc., necesitas
en esta fracción, mueva la coma a la derecha tantos caracteres como ceros haya
está en el multiplicador. Por ejemplo:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Tareas sobre el tema "Multiplicación de fracciones decimales"

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Suma, resta, multiplicación y división de decimales

Sumar y restar decimales es similar a sumar y restar números naturales, pero con ciertas condiciones.

Regla. se compone de los dígitos de las partes enteras y fraccionarias como números naturales.

cuando se escribe suma y resta de decimales la coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria debe estar en los términos y la suma o en el minuendo, sustraendo y diferencia en una columna (una coma debajo de una coma desde la condición hasta el final del cálculo).

Suma y resta de decimales a la línea:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Suma y resta de decimales en una columna:

Sumar fracciones decimales requiere una línea adicional superior para escribir números cuando la suma del dígito pasa por una decena. Restar decimales requiere que la línea extra superior marque el dígito en el que se toma prestado el 1.

Si no hay suficientes dígitos de la parte fraccionaria a la derecha del término o reducido, entonces se pueden agregar tantos ceros a la derecha en la parte fraccionaria (aumentar la profundidad de bits de la parte fraccionaria) como dígitos haya en otro término o reducido.

multiplicación de decimales se realiza de la misma forma que la multiplicación de números naturales, según las mismas reglas, pero en el producto se coloca una coma según la suma de las cifras de los factores en la parte fraccionaria, contando de derecha a izquierda (la suma de los dígitos de los factores es el número de dígitos después del punto decimal para los factores tomados en conjunto).

En multiplicando decimales en una columna, el primer dígito significativo de la derecha se firma debajo del primer dígito significativo de la derecha, como en los números naturales:

Grabación multiplicando decimales en una columna:

Grabación división decimal en una columna:

Los caracteres subrayados son caracteres que envuelven comas porque el divisor debe ser un número entero.

Regla. En división de fracciones el divisor de una fracción decimal aumenta tantos dígitos como dígitos tiene su parte fraccionaria. Para que la fracción no cambie, el dividendo aumenta en la misma cantidad de dígitos (en el dividendo y divisor, la coma se traslada a la misma cantidad de caracteres). Se coloca una coma en el cociente en la etapa de división cuando se divide la parte entera de la fracción.

Para fracciones decimales, así como para números naturales, se conserva la regla: ¡No puedes dividir un decimal por cero!

En la última lección, aprendimos a sumar y restar fracciones decimales (ver la lección "Sumar y restar fracciones decimales"). Al mismo tiempo, estimaron cuánto se simplifican los cálculos en comparación con las fracciones habituales de "dos pisos".

Desafortunadamente, con la multiplicación y división de fracciones decimales, este efecto no ocurre. En algunos casos, la notación decimal incluso complica estas operaciones.

Primero, introduzcamos una nueva definición. Lo encontraremos con bastante frecuencia, y no solo en esta lección.

La parte significativa de un número es todo lo que se encuentra entre el primer y el último dígito distinto de cero, incluidos los tráileres. Solo estamos hablando de números, no se tiene en cuenta el punto decimal.

Los dígitos incluidos en la parte significativa del número se denominan dígitos significativos. Pueden repetirse e incluso ser iguales a cero.

Por ejemplo, considere varias fracciones decimales y escriba sus partes significativas correspondientes:

91,25 → 9125 (cifras significativas: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (cifras significativas: 8; 2; 4; 1);
15,0075 → 150075 (cifras significativas: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (cifras significativas: 3; 0; 4);
3000 → 3 (solo hay una cifra significativa: 3).

Tenga en cuenta: los ceros dentro de la parte significativa del número no van a ninguna parte. Ya nos hemos encontrado con algo similar cuando aprendimos a convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias (ver la lección “Fracciones decimales”).

Este punto es tan importante y los errores se cometen aquí con tanta frecuencia que publicaré una prueba sobre este tema en un futuro próximo. ¡Asegúrate de practicar! Y nosotros, armados con el concepto de una parte significativa, procederemos, de hecho, al tema de la lección.

multiplicación de decimales

La operación de multiplicación consta de tres pasos consecutivos:

Para cada fracción, escribe la parte significativa. Obtendrá dos números enteros ordinarios, sin denominadores ni puntos decimales;
Multiplique estos números de cualquier manera conveniente. Directamente, si los números son pequeños, o en columna. Obtenemos la parte significativa de la fracción deseada;
Averigüe dónde y cuántos dígitos se desplaza el punto decimal en las fracciones originales para obtener la parte significativa correspondiente. Realizar desplazamientos inversos sobre la parte significativa obtenida en el paso anterior.

Permítanme recordarles una vez más que los ceros a los lados de la parte significativa nunca se toman en cuenta. Ignorar esta regla conduce a errores.

0,28 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10.000.

Trabajamos con la primera expresión: 0.28 12.5.

Escribamos las partes significativas de los números de esta expresión: 28 y 125;
Su producto: 28 125 = 3500;
En el primer multiplicador, el punto decimal se desplaza 2 dígitos a la derecha (0,28 → 28), y en el segundo, otro 1 dígito. En total, se necesita un desplazamiento a la izquierda de tres dígitos: 3500 → 3,500 = 3,5.

Ahora tratemos con la expresión 6.3 1.08.

Escribamos las partes significativas: 63 y 108;
Su producto: 63 108 = 6804;
De nuevo, dos desplazamientos a la derecha: de 2 y 1 dígitos, respectivamente. En total, nuevamente 3 dígitos a la derecha, por lo que el cambio inverso será de 3 dígitos a la izquierda: 6804 → 6.804. Esta vez no hay ceros al final.

Llegamos a la tercera expresión: 132.5 0.0034.

Partes significativas: 1325 y 34;
Su producto: 1325 34 = 45,050;
En la primera fracción, el punto decimal va 1 dígito a la derecha, y en el segundo, hasta 4. Total: 5 a la derecha. Realizamos un desplazamiento de 5 a la izquierda: 45050 → .45050 = 0.4505. El cero se eliminó al final y se agregó al frente para no dejar un punto decimal "desnudo".

La siguiente expresión: 0.0108 1600.5.

Escribimos partes significativas: 108 y 16 005;
Los multiplicamos: 108 16 005 = 1 728 540;
Contamos los números después del punto decimal: en el primer número hay 4, en el segundo - 1. En total - nuevamente 5. Tenemos: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. Al final, se eliminó el cero "extra".

Finalmente, la última expresión: 5.25 10,000.

Partes significativas: 525 y 1;
Los multiplicamos: 525 1 = 525;
La primera fracción se desplaza 2 dígitos a la derecha y la segunda fracción se desplaza 4 dígitos a la izquierda (10.000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 dígitos a la izquierda. Realizamos un desplazamiento inverso de 2 dígitos a la derecha: 525, → 52 500 (tuvimos que sumar ceros).

Preste atención al último ejemplo: dado que el punto decimal se mueve en diferentes direcciones, el cambio total es a través de la diferencia. ¡Este es un punto muy importante! Aquí hay otro ejemplo:

Considere los números 1.5 y 12 500. Tenemos: 1.5 → 15 (desplazamiento de 1 a la derecha); 12 500 → 125 (desplazamiento 2 a la izquierda). Damos un “paso” de 1 dígito a la derecha y luego de 2 dígitos a la izquierda. Como resultado, avanzamos 2 − 1 = 1 dígito a la izquierda.

División decimal

La división es quizás la operación más difícil. Por supuesto, aquí puede actuar por analogía con la multiplicación: dividir las partes significativas y luego "mover" el punto decimal. Pero en este caso, hay muchas sutilezas que anulan los ahorros potenciales.

Entonces, veamos un algoritmo genérico que es un poco más largo, pero mucho más confiable:

Convierte todos los decimales a fracciones comunes. Con un poco de práctica, este paso te llevará unos segundos;
Divide las fracciones resultantes de la manera clásica. En otras palabras, multiplique la primera fracción por el segundo "invertido" (vea la lección " Multiplicación y división de fracciones numéricas");
Si es posible, devuelva el resultado como un decimal. Este paso también es rápido, porque a menudo el denominador ya tiene una potencia de diez.

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Consideremos la primera expresión. Primero, vamos a convertir fracciones obi a decimales:

Hacemos lo mismo con la segunda expresión. El numerador de la primera fracción se descompone nuevamente en factores:

Hay un punto importante en los ejemplos tercero y cuarto: después de deshacerse de la notación decimal, aparecen las fracciones cancelables. Sin embargo, no realizaremos esta reducción.

El último ejemplo es interesante porque el numerador de la segunda fracción es un número primo. Simplemente no hay nada que factorizar aquí, por lo que lo consideramos "en blanco":

A veces, la división da como resultado un número entero (me refiero al último ejemplo). En este caso, el tercer paso no se realiza en absoluto.

Además, al dividir suelen aparecer fracciones “feas” que no se pueden convertir a decimales. Aquí es donde la división difiere de la multiplicación, donde los resultados siempre se expresan en forma decimal. Por supuesto, en este caso, el último paso nuevamente no se realiza.

Preste atención también a los ejemplos 3 y 4. En ellos, deliberadamente no reducimos fracciones ordinarias obtenidas de decimales. De lo contrario, complicará el problema inverso: representar la respuesta final nuevamente en forma decimal.

Recuerde: la propiedad básica de una fracción (como cualquier otra regla matemática) en sí misma no significa que deba aplicarse en todas partes y siempre, en cada oportunidad.

En el curso de secundaria y preparatoria, los estudiantes estudiaron el tema "Fracciones". Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que el dado en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia, y no todos pueden calcular cualquier expresión, por ejemplo, multiplicando fracciones.

¿Qué es una fracción?

Sucedió históricamente que los números fraccionarios aparecieron por la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos para determinar la longitud de un segmento, el volumen de un rectángulo rectangular.

Inicialmente, a los estudiantes se les presenta un concepto como una acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada una obtendrá una octava parte de una sandía. Esta parte de ocho se llama acción.

La parte igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Las entradas como 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones comunes. Una fracción ordinaria se divide en un numerador y un denominador. Entre ellos hay una línea fraccionaria, o línea fraccionaria. Una barra fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal o inclinada. En este caso, representa el signo de división.

El denominador representa en cuántas partes iguales se divide un valor, un objeto; y el numerador es cuántas partes iguales se toman. El numerador se escribe encima de la barra fraccionaria, el denominador debajo.

Es más conveniente mostrar fracciones ordinarias en un rayo de coordenadas. Si un solo segmento se divide en 4 partes iguales, cada parte se designa con una letra latina, como resultado puede obtener una excelente ayuda visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de este segmento.

Variedades de fracciones.

Las fracciones son números comunes, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.

Una fracción propia es un número cuyo numerador es menor que el denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que el denominador. El segundo tipo generalmente se escribe como un número mixto. Tal expresión consta de una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 - parte entera, ½ - fraccionario. Sin embargo, si necesita realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte en una fracción impropia.

Una expresión fraccionaria correcta siempre es menor que uno, y una incorrecta siempre es mayor o igual a 1.

En cuanto a esta expresión, entienden un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de la expresión fraccionaria puede expresarse mediante uno con varios ceros. Si la fracción es correcta, entonces la parte entera en la notación decimal será cero.

Para escribir un decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fraccionaria con una coma y luego escribir la expresión fraccionaria. Hay que recordar que después de la coma el numerador debe contener tantos caracteres numéricos como ceros haya en el denominador.

Ejemplo. Representa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.

Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa

Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta del problema, por lo que debe convertirse a un número mixto:

dividir el numerador por el denominador existente;
en un ejemplo específico, un cociente incompleto es un número entero;
y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.

Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47 / 5 .

Solución. 47: 5. El cociente incompleto es 9, el resto = 2. Por lo tanto, 47/5 = 9 2/5.

A veces necesitas representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:

la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
el producto resultante se suma al numerador;
el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.

Ejemplo. Expresar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10 .

Solución. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.

Responder: 98 / 10.

Multiplicación de fracciones ordinarias

Puede realizar varias operaciones algebraicas en fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, necesitas multiplicar el numerador con el numerador y el denominador con el denominador. Además, la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores no difiere del producto de números fraccionarios con los mismos denominadores.

Sucede que después de encontrar el resultado, necesitas reducir la fracción. Es imperativo simplificar la expresión resultante tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en la respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla la respuesta correcta.

Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.

Como se puede ver en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtiene una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso son divisibles por 4, y el resultado es la respuesta 5/9.

Multiplicar fracciones decimales

El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, la multiplicación de fracciones es la siguiente:

dos fracciones decimales deben escribirse una debajo de la otra para que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
necesita multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
cuente el número de dígitos después de la coma en cada uno de los números;
en el resultado obtenido después de la multiplicación, debe contar tantos caracteres digitales a la derecha como están contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y colocar un signo de separación;
si hay menos dígitos en el producto, entonces se deben escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y asignar una parte entera igual a cero.

Ejemplo. Calcula el producto de dos decimales: 2,25 y 3,6.

Solución.

Multiplicación de fracciones mixtas

Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debe usar la regla para multiplicar fracciones:

convertir números mixtos a fracciones impropias;
encontrar el producto de los numeradores;
encontrar el producto de los denominadores;
anote el resultado;
Simplifique la expresión tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2 / 5.

Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)

Además de encontrar el producto de dos fracciones, números mixtos, hay tareas en las que necesitas multiplicar por una fracción.

Entonces, para encontrar el producto de una fracción decimal y un número natural, necesitas:

escriba el número debajo de la fracción para que los dígitos más a la derecha estén uno encima del otro;
encontrar el trabajo, a pesar de la coma;
en el resultado obtenido, separe la parte entera de la parte fraccionaria mediante una coma, contando a la derecha el número de caracteres que hay después del punto decimal en la fracción.

Para multiplicar una fracción ordinaria por un número, debes encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta es una fracción reducible, debe convertirse.

Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.

Solución. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Responder: 7 1 / 2.

Como puede ver en el ejemplo anterior, era necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.

Además, la multiplicación de fracciones también se aplica para encontrar el producto de un número en forma mixta y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar la parte entera del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, debe simplificar el resultado tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5 / 6 y 9.

Solución. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Responder: 88 1 / 2.

Multiplicación por factores 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001

La siguiente regla se deriva del párrafo anterior. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debe mover la coma a la derecha tantos dígitos como ceros haya en el multiplicador después de uno.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 0.065 y 1000.

Solución. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Responder: 65.

Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3.9 y 1000.

Solución. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Responder: 3900.

Si necesitas multiplicar un número natural y 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, etc., debe mover la coma a la izquierda en el producto resultante tantos dígitos como ceros hay antes del uno. Si es necesario, se escribe un número suficiente de ceros delante de un número natural.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0.01.

Solución. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Responder: 0,56.

Ejemplo 2. Encuentra el producto de 4 y 0.001.

Solución. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Responder: 0,004.

Entonces, encontrar el producto de varias fracciones no debería causar dificultades, excepto quizás el cálculo del resultado; En este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.

Pasemos a estudiar la siguiente acción con fracciones decimales, ahora consideraremos de manera integral multiplicando decimales. Primero, analicemos los principios generales de la multiplicación de fracciones decimales. Después de eso, pasemos a multiplicar una fracción decimal por una fracción decimal, muestre cómo se realiza la multiplicación de fracciones decimales por una columna, considere las soluciones de los ejemplos. A continuación, analizaremos la multiplicación de fracciones decimales por números naturales, en concreto por 10, 100, etc. En conclusión, hablemos de multiplicar fracciones decimales por fracciones ordinarias y números mixtos.

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Principios generales para multiplicar decimales

Analicemos los principios generales que deben seguirse al realizar la multiplicación con fracciones decimales.

Dado que los decimales finitos y las fracciones periódicas infinitas son la forma decimal de las fracciones ordinarias, la multiplicación de tales fracciones decimales es esencialmente la multiplicación de fracciones ordinarias. En otras palabras, multiplicacion de decimales finales, multiplicación de fracciones decimales finales y periódicas, así como también multiplicar decimales periodicos se reduce a multiplicar fracciones ordinarias después de convertir fracciones decimales a ordinarias.

Considere ejemplos de la aplicación del principio expresado de multiplicar fracciones decimales.

Ejemplo.

Realiza la multiplicación de decimales 1,5 y 0,75.

Solución.

Sustituyamos las fracciones decimales multiplicadas por las correspondientes fracciones ordinarias. Como 1,5=15/10 y 0,75=75/100, entonces . Puede reducir la fracción y luego seleccionar la parte entera de la fracción impropia, y es más conveniente escribir la fracción ordinaria resultante 1 125/1 000 como una fracción decimal 1.125.

Responder:

1,5 0,75=1,125.

Cabe señalar que es conveniente multiplicar las fracciones decimales finales en una columna, hablaremos sobre este método de multiplicar fracciones decimales en.

Considere un ejemplo de multiplicación de fracciones decimales periódicas.

Ejemplo.

Calcule el producto de los decimales periódicos 0,(3) y 2,(36) .

Solución.

Convirtamos fracciones decimales periódicas a fracciones ordinarias:

Luego . Puede convertir la fracción ordinaria resultante en una fracción decimal:

Responder:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Ejemplo.

Multiplica los decimales 5.382… y 0.2.

Solución.

Responder:

5.382… 0.2≈1.076.

Multiplicación de fracciones decimales por una columna

La multiplicación de decimales finales se puede hacer por una columna, similar a la multiplicación de columnas de números naturales.

vamos a formular regla de multiplicación para fracciones decimales. Para multiplicar fracciones decimales por una columna, necesitas:

ignorando las comas, realice la multiplicación de acuerdo con todas las reglas de multiplicación por una columna de números naturales;
en el número resultante, separe tantos dígitos a la derecha con un punto decimal como decimales haya en ambos factores juntos, y si no hay suficientes dígitos en el producto, entonces se debe agregar a la izquierda el número requerido de ceros.

Considere ejemplos de multiplicación de fracciones decimales por una columna.

Ejemplo.

Multiplica los decimales 63,37 y 0,12.

Solución.

Realicemos la multiplicación de fracciones decimales por una columna. Primero, multiplicamos los números, ignorando las comas:

Como resultado, tenemos 3,37 0,12 = 7,6044.

Responder:

3,37 0,12=7,6044.

Ejemplo.

Calcula el producto de los decimales 3,2601 y 0,0254.

Solución.

Habiendo realizado la multiplicación por una columna sin tener en cuenta las comas, obtenemos la siguiente imagen:

Esto completa la multiplicación de fracciones decimales por una columna.

Responder:

3.2601 0.0254=0.08280654 .

Multiplicar decimales por 0,1, 0,01, etc.

Entonces, multiplicar un decimal dado por 0,1, 0,01, 0,001, etc. da una fracción, que se obtiene a partir de la original, si en su entrada la coma se mueve hacia la izquierda 1, 2, 3 y así sucesivamente dígitos, respectivamente, y si no hay suficientes dígitos para mover la coma, entonces necesita agregar el número requerido de ceros a la izquierda.

Por ejemplo, para multiplicar la fracción decimal 54,34 por 0,1, debe mover el punto decimal 1 dígito hacia la izquierda en la fracción 54,34 y obtendrá la fracción 5,434, es decir, 54,34 0,1 \u003d 5,434. Tomemos otro ejemplo. Multiplica la fracción decimal 9,3 por 0,0001. Para hacer esto, necesitamos mover la coma 4 dígitos hacia la izquierda en la fracción decimal multiplicada 9.3, pero el registro de la fracción 9.3 no contiene tal número de caracteres. Por lo tanto, debemos asignar tantos ceros en el registro de la fracción 9.3 a la izquierda para que podamos transferir fácilmente la coma a 4 dígitos, tenemos 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Multiplicar un decimal por un número natural

En su centro multiplicar decimales por numeros naturales no es diferente de multiplicar un decimal por un decimal.

Ejemplo.

Calcular el producto 15 2.27 .

Solución.

Realicemos la multiplicación de un número natural por una fracción decimal en una columna:

Responder:

15 2,27=34,05.

Al multiplicar una fracción decimal periódica por un número natural, la fracción periódica debe reemplazarse con una fracción ordinaria.

Ejemplo.

Multiplica la fracción decimal 0,(42) por el número natural 22.

Solución.

Primero, vamos a convertir el decimal periódico a una fracción común:

Ahora hagamos la multiplicación: . Este resultado decimal es 9,(3) .

Responder:

0,(42) 22=9,(3) .

Y al multiplicar una fracción decimal no periódica infinita por un número natural, primero debes redondear.

Ejemplo.

Haz la multiplicación 4 2.145….

Solución.

Redondeando a centésimas la fracción decimal infinita original, llegaremos a la multiplicación de un número natural y una fracción decimal final. Tenemos 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Responder:

4 2.145…≈8.60.

Multiplicar un decimal por 10, 100,...

Muy a menudo hay que multiplicar fracciones decimales por 10, 100, ... Por lo tanto, es recomendable detenerse en estos casos en detalle.

Ejemplo.

Multiplica el decimal 0.0783 por 100.

Solución.

Transfiramos la fracción 0.0783 dos dígitos a la derecha al registro y obtenemos 007.83. Dejando caer dos ceros a la izquierda, obtenemos la fracción decimal 7.38. Por lo tanto, 0,0783 100 = 7,83.

Responder:

0,0783 100=7,83.

Ejemplo.

Multiplica la fracción decimal 0,02 por 10.000.

Solución.

Ya sabes que un * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Por ejemplo, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Es fácil adivinar que esta suma es igual a 2, es decir 0,2 * 10 = 2.

Del mismo modo, se puede verificar que:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Probablemente hayas adivinado que al multiplicar una fracción decimal por 10, debes mover el punto decimal un dígito hacia la derecha en esta fracción.

¿Cómo se multiplica un decimal por 100?

Tenemos: a * 100 = a * 10 * 10 . Luego:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Argumentando de manera similar, obtenemos que:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Multiplica la fracción 7.1212 por el número 1000.

Tenemos: 7,1212 * 1000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.

Estos ejemplos ilustran la siguiente regla.

Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, etc., debe mover el punto decimal hacia la derecha en esta fracción, respectivamente, por 1, 2, 3, etc. números.

Entonces, si mueves la coma a la derecha 1, 2, 3, etc. números, entonces la fracción aumentará en 10, 100, 1,000, etc., respectivamente. una vez.

Como consecuencia, si mueve la coma a la izquierda por 1, 2, 3, etc. números, entonces la fracción disminuirá en 10, 100, 1,000, etc., respectivamente. una vez .

Demostremos que la forma decimal de notación de las fracciones permite multiplicarlas, guiado por la regla de la multiplicación de los números naturales.

Encontremos, por ejemplo, el producto 3.4 * 1.23. Aumentemos el primer multiplicador 10 veces y el segundo 100 veces. Esto significa que hemos aumentado el producto en 1.000 veces.

Por lo tanto, el producto de los números naturales 34 y 123 es 1000 veces mayor que el producto buscado.

Tenemos: 34 * 123 = 4182. Luego, para obtener una respuesta, el número 4182 debe reducirse 1000 veces. Escribamos: 4 182 \u003d 4 182.0. Moviendo la coma en 4182.0 tres dígitos a la izquierda, obtenemos el número 4.182, que es 1000 veces menor que el número 4182. Entonces 3.4 * 1.23 = 4.182.

El mismo resultado se puede obtener aplicando la siguiente regla.

Para multiplicar dos decimales:

1) multiplicarlos como números naturales, ignorando las comas;

2) en el producto resultante, separar con una coma a la derecha tantos dígitos como haya después de las comas en ambos factores juntos.

En los casos en que el producto contiene menos dígitos de los que se requieren para estar separados por una coma, se agrega el número requerido de ceros a la izquierda antes de este producto, y luego la coma se mueve a la izquierda por el número requerido de dígitos.

Por ejemplo, 2 * 3 = 6, luego 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, luego 0,025 * 0,33 = 0,00825.

En los casos en que uno de los factores sea igual a 0,1; 0,01; 0.001, etc., es conveniente utilizar la siguiente regla.

Para multiplicar un decimal por 0,1; 0,01; 0.001, etc., es necesario mover la coma a la izquierda en esta fracción, respectivamente, en 1, 2, 3, etc. números.

Por ejemplo, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Las propiedades de la multiplicación de números naturales también son válidas para números fraccionarios:

ab = ba − propiedad conmutativa de la multiplicación,

(ab) c = a(b c) − la propiedad asociativa de la multiplicación,

a(b + c) = ab + ac es la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

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