Ejemplos de resolución de ecuaciones usando el teorema de Vieta. Teorema de Viet, fórmula de Viet inversa y ejemplos con solución para dummies

François Vieta (1540-1603) - matemático, creador de las famosas fórmulas de Vieta

teorema de Vieta necesarios para resolver rápidamente ecuaciones cuadráticas (en términos simples).

Con más detalle, t El teorema de Vieta - esta es la suma de las raíces de esta ecuación cuadrática es igual al segundo coeficiente, que se toma con el signo opuesto, y el producto es igual al término libre. Esta propiedad tiene cualquier ecuación cuadrática dada que tenga raíces.

Usando el teorema de Vieta, puedes resolver fácilmente ecuaciones cuadráticas por selección, así que digamos “gracias” a este matemático con una espada en sus manos por nuestro feliz séptimo grado.

Demostración del teorema de Vieta

Para probar el teorema, puedes usar las conocidas fórmulas de raíz, gracias a las cuales compondremos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática. Solo después de eso podemos asegurarnos de que son iguales y, en consecuencia, .

Digamos que tenemos una ecuación: . Esta ecuación tiene las siguientes raíces: y . Probemos que , .

Según las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática:

1. Encuentra la suma de las raíces:

Analicemos esta ecuación, ya que la obtuvimos exactamente así:

= .

Paso 1. Reducimos las fracciones a un denominador común, resulta:

= = .

Paso 2. Tenemos una fracción donde necesitas abrir los corchetes:

Reducimos la fracción por 2 y obtenemos:

Hemos probado la relación para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática usando el teorema de Vieta.

2. Encuentra el producto de las raíces:

= = = = = .

Demostremos esta ecuación:

Paso 1. Hay una regla para multiplicar fracciones, según la cual multiplicamos esta ecuación:

Ahora recordamos la definición de la raíz cuadrada y consideramos:

= .

Paso 3. Recordamos el discriminante de la ecuación cuadrática: . Por lo tanto, en lugar de D (discriminante), sustituimos en la última fracción, luego obtenemos:

= .

Etapa 4. Abra los paréntesis y agregue términos similares a las fracciones:

Paso 5. Reducimos "4a" y obtenemos.

Así que hemos probado la relación para el producto de raíces según el teorema de Vieta.

¡IMPORTANTE!Si el discriminante es cero, entonces la ecuación cuadrática tiene una sola raíz.

Teorema inverso al teorema de Vieta

Según el teorema, el inverso del teorema de Vieta, podemos comprobar si nuestra ecuación se resuelve correctamente. Para comprender el teorema en sí, debemos considerarlo con más detalle.

Si los números son:

Y luego son las raíces de la ecuación cuadrática.

Prueba del teorema inverso de Vieta

Paso 1.Sustituyamos sus coeficientes por expresiones en la ecuación:

Paso 2Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:

Paso 3. Busquemos las raíces de la ecuación, y para ello usamos la propiedad de que el producto es igual a cero:

O . De dónde viene: o.

Ejemplos con soluciones por el teorema de Vieta

Ejemplo 1

La tarea

Encuentra la suma, el producto y la suma de cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática sin encontrar las raíces de la ecuación.

Solución

Paso 1. Recuerda la fórmula discriminante. Sustituimos nuestros números debajo de las letras. Es decir, , es un sustituto de , y . Esto implica:

Resulta:

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Expresamos la suma de los cuadrados de las raíces a través de su suma y producto:

Responder

7; 12; 25.

Ejemplo 2

La tarea

Resuelve la ecuación. En este caso, no use las fórmulas de la ecuación cuadrática.

Solución

Esta ecuación tiene raíces mayores que cero en términos del discriminante (D). En consecuencia, según el teorema de Vieta, la suma de las raíces de esta ecuación es 4 y el producto es 5. Primero, determinamos los divisores del número, cuya suma es 4. Estos son los números "5" y "-1". Su producto es igual a - 5, y la suma - 4. Por lo tanto, según el teorema, el inverso del teorema de Vieta, son las raíces de esta ecuación.

Responder

Y Ejemplo 4

La tarea

Escribe una ecuación donde cada raíz sea el doble de la raíz correspondiente de la ecuación:

Solución

Por el teorema de Vieta, la suma de las raíces de esta ecuación es 12 y el producto = 7. Por lo tanto, las dos raíces son positivas.

La suma de las raíces de la nueva ecuación será igual a:

Y el trabajo

Por un teorema inverso al teorema de Vieta, la nueva ecuación tiene la forma:

Responder

El resultado fue una ecuación, cada raíz de la cual es el doble de grande:

Entonces, vimos cómo resolver una ecuación usando el teorema de Vieta. Es muy conveniente usar este teorema si se resuelven tareas que están asociadas con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. Es decir, si el término libre en la fórmula es un número positivo y si hay raíces reales en la ecuación cuadrática, entonces ambos pueden ser negativos o positivos.

Y si el término libre es un número negativo, y si hay raíces reales en la ecuación cuadrática, entonces ambos signos serán diferentes. Es decir, si una raíz es positiva, la otra raíz solo será negativa.

Fuentes útiles:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. Álgebra Grado 8: “Ilustración” de Moscú, 2016 – 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - libro de texto Álgebra Grado 8: Moscú "Balass", 2015 - 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Álgebra Grado 8: “Ilustración” de Moscú, 2014 – 300

Teorema de Vieta, fórmula inversa de Vieta y ejemplos con solución para dummies actualizado: 22 de noviembre de 2019 por: Artículos científicos.Ru

Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema de Vieta inversa. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.

Contenido

Ver también: Las raíces de una ecuación cuadrática

Ecuaciones cuadráticas

teorema de Vieta

Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática reducida
(1) .
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente en tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.

Una nota sobre raíces múltiples

Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso, la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.

Prueba uno

Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para hacer esto, aplique la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
;
;
.

Encontrar la suma de las raíces:
.

Para encontrar el producto, aplicamos la fórmula:
.
Luego

.

El teorema ha sido probado.

prueba dos

Si los números y son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Abrimos los paréntesis.

.
Así, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.

El teorema ha sido probado.

Teorema de Vieta inversa

Que haya números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática
,
donde
(2) ;
(3) .

Prueba del teorema inverso de Vieta

Considere la ecuación cuadrática
(1) .
Necesitamos demostrar que si y , entonces y son las raíces de la ecuación (1).

Sustituye (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos del lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4) .

Sustituir en (4) :
;
.

Sustituir en (4) :
;
.
La ecuación se cumple. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).

El teorema ha sido probado.

Teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa

Ahora considere la ecuación cuadrática completa
(5) ,
donde , y son algunos números. Y .

Dividimos la ecuación (5) por:
.
Es decir, hemos obtenido la ecuación anterior
,
donde ; .

Entonces el teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.

Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática completa
.
Entonces la suma y el producto de las raíces están determinados por las fórmulas:
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación cúbica

De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6) ,
donde , , , son algunos números. Y .
Dividamos esta ecuación por:
(7) ,
donde , , .
Sean , , las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Luego

.

Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación de grado n

De la misma manera, puedes encontrar conexiones entre las raíces , , ... , , para la ecuación de grado n
.

El teorema de Vieta para una ecuación de grado n tiene la siguiente forma:
;
;
;

.

Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente forma:
.
Luego igualamos los coeficientes en , , , ... , y comparamos el término libre.

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, MK Potapov et al., Álgebra: un libro de texto para el octavo grado de instituciones educativas, Moscú, Educación, 2006.

Ver también:

En octavo grado, los estudiantes aprenden ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas. Al mismo tiempo, como muestra la experiencia, la mayoría de los estudiantes usan solo un método cuando resuelven ecuaciones cuadráticas completas: la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática. Para estudiantes con buenas habilidades de conteo oral, este método es claramente irracional. Los estudiantes a menudo tienen que resolver ecuaciones cuadráticas en la escuela secundaria, y allí es simplemente una lástima perder el tiempo calculando el discriminante. En mi opinión, al estudiar ecuaciones cuadráticas, se debe dedicar más tiempo y atención a la aplicación del teorema de Vieta (según el programa de AG Mordkovich Algebra-8, solo se planean dos horas para estudiar el tema "Teorema de Vieta. Descomposición de un trinomio cuadrado en factores lineales”).

En la mayoría de los libros de texto de álgebra, este teorema se formula para una ecuación cuadrática reducida y dice que si la ecuación tiene raíces y , entonces satisfacen las igualdades , . Luego se formula un enunciado inverso al teorema de Vieta y se ofrecen una serie de ejemplos para trabajar este tema.

Tomemos ejemplos específicos y tracemos la lógica de la solución en ellos usando el teorema de Vieta.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación.

Supongamos que esta ecuación tiene raíces, a saber, y . Entonces, por el teorema de Vieta, las igualdades

Tenga en cuenta que el producto de las raíces es un número positivo. Entonces, las raíces de la ecuación tienen el mismo signo. Y como la suma de las raíces también es un número positivo, concluimos que ambas raíces de la ecuación son positivas. Volvamos al producto de raíces. Suponga que las raíces de la ecuación son números enteros positivos. Entonces la primera igualdad correcta se puede obtener sólo de dos maneras (hasta el orden de los factores): o . Comprobemos para los pares de números propuestos la viabilidad de la segunda afirmación del teorema de Vieta: . Por lo tanto, los números 2 y 3 satisfacen ambas igualdades y, por lo tanto, son las raíces de la ecuación dada.

Respuesta: 2; 3.

Destacamos las principales etapas del razonamiento al resolver la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta:

Escribe la afirmación del teorema de Vieta.

(*)

• determinar los signos de las raíces de la ecuación (si el producto y la suma de las raíces son positivos, entonces ambas raíces son números positivos. Si el producto de las raíces es un número positivo y la suma de las raíces es negativa, entonces ambas raices son numeros negativos.Si el producto de las raices es un numero negativo, entonces las raices tienen signos diferentes.Ademas, si la suma de las raices es positiva, entonces la raiz con mayor modulo es un numero positivo, y si el suma de las raíces es menor que cero, entonces la raíz con un módulo mayor es un número negativo);
• seleccione pares de enteros cuyo producto dé la primera igualdad correcta en la notación (*);
• de los pares de números encontrados, elija el par que, al ser sustituido en la segunda igualdad en la notación (*), dará la igualdad correcta;
• indicar en la respuesta las raíces encontradas de la ecuación.

Pongamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 2: resuelve la ecuación .

Solución.

Sean y las raíces de la ecuación dada. Entonces por el teorema de Vieta Note que el producto es positivo y la suma es negativa. Entonces ambas raíces son números negativos. Seleccionamos pares de factores que den el producto de 10 (-1 y -10; -2 y -5). El segundo par de números suma -7. Entonces los números -2 y -5 son las raíces de esta ecuación.

Responder: -2; -5.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación .

Solución.

Sean y las raíces de la ecuación dada. Entonces por el teorema de Vieta Note que el producto es negativo. Entonces las raíces son de diferentes signos. La suma de las raíces también es un número negativo. Por lo tanto, la raíz con el mayor módulo es negativa. Seleccionamos pares de factores que dan el producto -10 (1 y -10; 2 y -5). El segundo par de números suma -3. Entonces los números 2 y -5 son las raíces de esta ecuación.

Responder: 2; -5.

Tenga en cuenta que, en principio, el teorema de Vieta se puede formular para la ecuación cuadrática completa: si la ecuación cuadrática tiene raíces y , entonces satisfacen las igualdades , . Sin embargo, la aplicación de este teorema es bastante problemática, ya que en la ecuación cuadrática completa al menos una de las raíces (si las hay, por supuesto) es un número fraccionario. Y trabajar con la selección de fracciones es largo y difícil. Pero todavía hay una salida.

Considere la ecuación cuadrática completa . Multiplica ambos lados de la ecuación por el primer coeficiente pero y escribe la ecuación en la forma . Introducimos una nueva variable y obtenemos una ecuación cuadrática reducida, cuyas raíces y (si las hay) se pueden encontrar usando el teorema de Vieta. Entonces las raíces de la ecuación original serán . Tenga en cuenta que es muy fácil escribir la ecuación reducida auxiliar: el segundo coeficiente se conserva y el tercer coeficiente es igual al producto as. Con cierta habilidad, los estudiantes componen inmediatamente una ecuación auxiliar, encuentran sus raíces usando el teorema de Vieta e indican las raíces de la ecuación completa dada. Demos ejemplos.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación .

Hagamos una ecuación auxiliar y por el teorema de Vieta encontramos sus raíces. Entonces las raíces de la ecuación original .

Responder: .

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación .

La ecuación auxiliar tiene la forma . Por el teorema de Vieta, sus raíces son . Encontramos las raíces de la ecuación original. .

Responder: .

Y un caso más en el que la aplicación del teorema de Vieta te permite hallar verbalmente las raíces de una ecuación cuadrática completa. Es fácil probar que el numero 1 es la raiz de la ecuacion , si y solo si. La segunda raíz de la ecuación se encuentra por el teorema de Vieta y es igual a . Una declaración más: de modo que el número -1 es la raíz de la ecuación necesario y suficiente para. Entonces la segunda raíz de la ecuación según el teorema de Vieta es igual a . Se pueden formular afirmaciones similares para la ecuación cuadrática reducida.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación.

Tenga en cuenta que la suma de los coeficientes de la ecuación es cero. Entonces las raíces de la ecuación .

Responder: .

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación.

Los coeficientes de esta ecuación satisfacen la propiedad (de hecho, 1-(-999)+(-1000)=0). Entonces las raíces de la ecuación .

Responder: ..

Ejemplos de aplicación del teorema de Vieta

Tarea 1. Resuelve la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarea 2. Resolver la ecuación cuadrática completa usando la transición a la ecuación cuadrática reducida auxiliar.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarea 3. Resuelve una ecuación cuadrática usando la propiedad.

Entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática, además de las fórmulas de las raíces, existen otras relaciones útiles que vienen dadas por teorema de Vieta. En este artículo, daremos una formulación y prueba del teorema de Vieta para una ecuación cuadrática. A continuación, consideramos un teorema inverso al teorema de Vieta. A continuación, analizaremos las soluciones de los ejemplos más característicos. Finalmente, anotamos las fórmulas de Vieta que definen la conexión entre las raíces reales ecuación algebraica grado n y sus coeficientes.

Navegación de página.

Teorema de Vieta, formulación, prueba

De las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 de la forma , donde D=b 2 −4 a c , las relaciones x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Estos resultados se confirman teorema de Vieta:

Teorema.

Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 +b x+c=0, entonces la suma de las raíces es igual a la razón de los coeficientes b y a, tomados con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual a la razón de los coeficientes c y a, es decir, .

Prueba.

Demostraremos el teorema de Vieta de acuerdo con el siguiente esquema: componemos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática utilizando las fórmulas de raíces conocidas, luego transformamos las expresiones resultantes y nos aseguramos de que sean iguales a −b /a y c/a, respectivamente.

Comencemos con la suma de las raíces, componiéndola. Ahora llevamos las fracciones a un denominador común, tenemos. En el numerador de la fracción resultante , después de lo cual : . Finalmente, después de 2, obtenemos . Esto prueba la primera relación del teorema de Vieta para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática. Pasemos al segundo.

Componemos el producto de las raíces de la ecuación cuadrática:. De acuerdo con la regla de la multiplicación de fracciones, el último producto se puede escribir como. Ahora multiplicamos el paréntesis por el paréntesis en el numerador, pero es más rápido colapsar este producto por fórmula de diferencia de cuadrados, Entonces . Luego, recordando, realizamos la siguiente transición. Y dado que la fórmula D=b 2 −4 a·c corresponde al discriminante de la ecuación cuadrática, entonces b 2 −4·a·c se puede sustituir en la última fracción en lugar de D, obtenemos . Después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, llegamos a la fracción , y su reducción por 4·a da . Esto prueba la segunda relación del teorema de Vieta para el producto de raíces.

Si omitimos las explicaciones, entonces la prueba del teorema de Vieta tomará una forma concisa:
,
.

Solo queda notar que cuando el discriminante es igual a cero, la ecuación cuadrática tiene una raíz. Sin embargo, si asumimos que la ecuación en este caso tiene dos raíces idénticas, entonces también se cumplen las igualdades del teorema de Vieta. En efecto, para D=0 la raíz de la ecuación cuadrática es , entonces y , y dado que D=0 , es decir, b 2 −4·a·c=0 , de donde b 2 =4·a·c , entonces .

En la práctica, el teorema de Vieta se usa con mayor frecuencia en relación con la ecuación cuadrática reducida (con el coeficiente más alto a igual a 1) de la forma x 2 +p·x+q=0. A veces se formula para ecuaciones cuadráticas de este tipo, lo que no limita la generalidad, ya que cualquier ecuación cuadrática puede reemplazarse por una ecuación equivalente dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Aquí está la formulación correspondiente del teorema de Vieta:

Teorema.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 es igual al coeficiente en x, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es el término libre, es decir, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema inverso al teorema de Vieta

La segunda formulación del teorema de Vieta, dada en el párrafo anterior, indica que si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0, entonces las relaciones x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Por otro lado, de las relaciones escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, se sigue que x 1 yx 2 son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 +p x+q=0. En otras palabras, la afirmación contraria al teorema de Vieta es verdadera. Lo formulamos en forma de teorema y lo demostramos.

Teorema.

Si los números x 1 y x 2 son tales que x 1 +x 2 =−p y x 1 x 2 =q, entonces x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 .

Prueba.

Después de reemplazar los coeficientes p y q en la ecuación x 2 +p x+q=0 de su expresión a través de x 1 y x 2, se convierte en una ecuación equivalente.

Sustituimos el número x 1 en lugar de x en la ecuación resultante, tenemos la igualdad X 1 2 − (X 1 + X 2) X 1 + X 1 X 2 = 0, que para cualquier x 1 y x 2 es la igualdad numérica correcta 0=0, ya que X 1 2 − (X 1 + X 2) X 1 + X 1 X 2 = X 1 2 − X 1 2 − X 2 X 1 + X 1 X 2 = 0. Por lo tanto, x 1 es la raíz de la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, lo que significa que x 1 es la raíz de la ecuación equivalente x 2 +p x+q=0 .

Si en la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 sustituimos el número x 2 en lugar de x, entonces obtenemos la igualdad X 2 2 − (X 1 + X 2) X 2 + X 1 X 2 = 0. Esta es la ecuación correcta porque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = X 2 2 − X 1 X 2 − X 2 2 + X 1 X 2 = 0. Por lo tanto, x 2 es también la raíz de la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, y por lo tanto las ecuaciones x 2 +p x+q=0 .

Esto completa la demostración del teorema inverso al teorema de Vieta.

Ejemplos de uso del teorema de Vieta

Es hora de hablar de la aplicación práctica del teorema de Vieta y su teorema inverso. En esta subsección, analizaremos las soluciones de varios de los ejemplos más típicos.

Empezamos aplicando un teorema inverso al teorema de Vieta. Es conveniente usarlo para verificar si los dos números dados son las raíces de una ecuación cuadrática dada. En este caso, se calculan su suma y diferencia, después de lo cual se verifica la validez de las relaciones. Si ambas relaciones se cumplen, entonces, en virtud del teorema inverso al teorema de Vieta, se concluye que estos números son las raíces de la ecuación. Si al menos una de las relaciones no se cumple, entonces estos números no son las raíces de la ecuación cuadrática. Este enfoque se puede utilizar al resolver ecuaciones cuadráticas para verificar las raíces encontradas.

Ejemplo.

¿Cuál de los pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2), o 3) es un par de raíces de la ecuación cuadrática 4 x 2 −16 x+9=0?

Solución.

Los coeficientes de la ecuación cuadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 son a=4 , b=−16 , c=9 . Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática debe ser igual a −b/a, es decir, 16/4=4, y el producto de las raíces debe ser igual a c/a, es decir, 9 /4.

Ahora calculemos la suma y el producto de los números en cada uno de los tres pares dados y comparémoslos con los valores que acabamos de obtener.

En el primer caso, tenemos x 1 +x 2 =−5+3=−2 . El valor resultante es diferente de 4, por lo tanto, no se puede realizar una verificación adicional, pero por el teorema, el inverso del teorema de Vieta, podemos concluir de inmediato que el primer par de números no es un par de raíces de una ecuación cuadrática dada. .

Pasemos al segundo caso. Aquí, es decir, se cumple la primera condición. Verificamos la segunda condición: , el valor resultante es diferente de 9/4 . Por lo tanto, el segundo par de números no es un par de raíces de una ecuación cuadrática.

Queda el último caso. Aquí y . Se cumplen ambas condiciones, por lo que estos números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada.

Responder:

El teorema, el reverso del teorema de Vieta, se puede utilizar en la práctica para seleccionar las raíces de una ecuación cuadrática. Por lo general, se seleccionan raíces enteras de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros, ya que en otros casos esto es bastante difícil de hacer. Al mismo tiempo, utilizan el hecho de que si la suma de dos números es igual al segundo coeficiente de la ecuación cuadrática, tomada con signo menos, y el producto de estos números es igual al término libre, entonces estos números son las raíces de esta ecuación cuadrática. Tratemos esto con un ejemplo.

Tomemos la ecuación cuadrática x 2 −5 x+6=0 . Para que los números x 1 y x 2 sean las raíces de esta ecuación, se deben cumplir dos igualdades x 1 +x 2 \u003d 5 y x 1 x 2 \u003d 6. Queda por elegir tales números. En este caso, esto es bastante simple de hacer: dichos números son 2 y 3, ya que 2+3=5 y 2 3=6. Por lo tanto, 2 y 3 son las raíces de esta ecuación cuadrática.

El teorema inverso al teorema de Vieta es especialmente conveniente para encontrar la segunda raíz de la ecuación cuadrática reducida cuando una de las raíces ya se conoce o es obvia. En este caso, la segunda raíz se encuentra a partir de cualquiera de las relaciones.

Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 512 x 2 −509 x−3=0 . Aquí es fácil ver que la unidad es la raíz de la ecuación, ya que la suma de los coeficientes de esta ecuación cuadrática es cero. Entonces x 1 = 1 . La segunda raíz x 2 se puede encontrar, por ejemplo, a partir de la relación x 1 x 2 =c/a. Tenemos 1 x 2 =−3/512, de donde x 2 =−3/512. Así que hemos definido ambas raíces de la ecuación cuadrática: 1 y −3/512.

Está claro que la selección de raíces es conveniente solo en los casos más simples. En otros casos, para encontrar las raíces, puedes aplicar las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a través del discriminante.

Otra aplicación práctica del teorema, el inverso del teorema de Vieta, es la compilación de ecuaciones cuadráticas para raíces dadas x 1 y x 2. Para ello, basta con calcular la suma de las raíces, que da el coeficiente de x con el signo opuesto de la ecuación cuadrática dada, y el producto de las raíces, que da el término libre.

Ejemplo.

Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los números −11 y 23.

Solución.

Denote x 1 =−11 y x 2 =23 . Calculamos la suma y el producto de estos números: x 1 + x 2 \u003d 12 y x 1 x 2 \u003d −253. Por lo tanto, estos números son las raíces de la ecuación cuadrática dada con el segundo coeficiente -12 y el término libre -253. Es decir, x 2 −12·x−253=0 es la ecuación deseada.

Responder:

X2 −12 X−253=0 .

El teorema de Vieta se usa muy a menudo para resolver tareas relacionadas con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. ¿Cómo se relaciona el teorema de Vieta con los signos de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 ? Aquí hay dos declaraciones relevantes:

• Si el intercepto q es un número positivo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces ambos son positivos o ambos son negativos.
• Si el término libre q es un número negativo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces sus signos son diferentes, es decir, una raíz es positiva y la otra negativa.

Estas declaraciones se derivan de la fórmula x 1 x 2 =q, así como de las reglas para multiplicar números positivos, negativos y números con diferentes signos. Considere ejemplos de su aplicación.

Ejemplo.

R es positivo. De acuerdo con la fórmula discriminante, encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , el valor de la expresión r 2 +8 es positivo para cualquier r real, por lo tanto, D>0 para cualquier r real. Por lo tanto, la ecuación cuadrática original tiene dos raíces para cualquier valor real del parámetro r.

Ahora averigüemos cuándo las raíces tienen signos diferentes. Si los signos de las raíces son diferentes, entonces su producto es negativo y, por el teorema de Vieta, el producto de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al término libre. Por tanto, nos interesan aquellos valores de r para los que el término libre r−1 es negativo. Así, para encontrar los valores de r que nos interesan, necesitamos resolver una desigualdad lineal r−1<0 , откуда находим r<1 .

Responder:

en r<1 .

fórmulas vieta

Anteriormente, hablamos sobre el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática y analizamos las relaciones que afirma. Pero hay fórmulas que conectan las raíces reales y los coeficientes no solo de ecuaciones cuadráticas, sino también de ecuaciones cúbicas, ecuaciones cuádruples y, en general, ecuaciones algebraicas grado nm. Se les llama fórmulas vieta.

Escribimos las fórmulas de Vieta para una ecuación algebraica de grado n de la forma, mientras suponemos que tiene n raíces reales x 1, x 2, ..., x n (entre ellas puede haber las mismas):

Obtener fórmulas Vieta permite teorema de factorización de polinomios, así como la definición de polinomios iguales mediante la igualdad de todos sus coeficientes correspondientes. Entonces el polinomio y su expansión en factores lineales de la forma son iguales. Abriendo los paréntesis en el último producto e igualando los coeficientes correspondientes, obtenemos las fórmulas de Vieta.

En particular, para n=2 ya tenemos fórmulas familiares de Vieta para la ecuación cuadrática.

Para una ecuación cúbica, las fórmulas de Vieta tienen la forma

Solo resta señalar que en el lado izquierdo de las fórmulas de Vieta se encuentran las llamadas fórmulas elementales polinomios simétricos.

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8 celdas. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edición S. A. Teliakovski. - 16ª edición. - M. : Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Álgebra. Octavo grado. A las 2 pm Parte 1. Un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrado. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra y el comienzo del análisis matemático. Grado 10: libro de texto. para educación general instituciones: básico y perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edición A. B. Zhizhchenko. - 3ra ed. - M.: Ilustración, 2010.- 368 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-022771-1.

El teorema de Vieta se usa a menudo para probar raíces ya encontradas. Si ha encontrado las raíces, puede usar las fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular los valores \(p\ ) y \(q\ ). Y si resultan ser las mismas que en la ecuación original, entonces las raíces se encuentran correctamente.

Por ejemplo, usemos , resolvamos la ecuación \(x^2+x-56=0\) y obtengamos las raíces: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Comprobemos si cometimos un error en el proceso de resolución. En nuestro caso, \(p=1\), y \(q=-56\). Por el teorema de Vieta tenemos:

\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)-1=-1\\-56=-56\end(casos)\ )

Ambas declaraciones convergieron, lo que significa que resolvimos la ecuación correctamente.

Esta prueba se puede hacer por vía oral. Tomará 5 segundos y te salvará de errores estúpidos.

Teorema de Vieta inversa

Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), entonces \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de la ecuación cuadrática \ (x^2+px+q=0\).

O de forma sencilla: si tienes una ecuación de la forma \(x^2+px+q=0\), entonces resolviendo el sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1\ cdot x_2=q\ end(cases)\) encontrará sus raíces.

Gracias a este teorema, puedes encontrar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática, especialmente si estas raíces son . Esta habilidad es importante ya que ahorra mucho tiempo.

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(x^2-5x+6=0\).

Solución : Usando el teorema inverso de Vieta, obtenemos que las raíces satisfacen las condiciones: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Mira la segunda ecuación del sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). ¿En qué dos se puede descomponer el número \(6\)? En \(2\) y \(3\), \(6\) y \(1\) o \(-2\) y \(-3\), y \(-6\) y \(- una\). Y qué par elegir, la primera ecuación del sistema lo dirá: \(x_1+x_2=5\). \(2\) y \(3\) son similares, porque \(2+3=5\).
Responder : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Ejemplos . Usando el inverso del teorema de Vieta, encuentre las raíces de la ecuación cuadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solución :
a) \(x^2-15x+14=0\) - ¿En qué factores se descompone \(14\)? \(2\) y \(7\), \(-2\) y \(-7\), \(-1\) y \(-14\), \(1\) y \(14\ ). ¿Qué pares de números suman \(15\)? Respuesta: \(1\) y \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - ¿En qué factores se descompone \(-4\)? \(-2\) y \(2\), \(4\) y \(-1\), \(1\) y \(-4\). ¿Qué pares de números suman \(-3\)? Respuesta: \(1\) y \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – ¿en qué factores se descompone \(20\)? \(4\) y \(5\), \(-4\) y \(-5\), \(2\) y \(10\), \(-2\) y \(-10\ ), \(-20\) y \(-1\), \(20\) y \(1\). ¿Qué pares de números suman \(-9\)? Respuesta: \(-4\) y \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - ¿En qué factores se descompone \(780\)? \(390\) y \(2\). ¿Suman \(88\)? No. ¿Qué otros multiplicadores tiene \(780\)? \(78\) y \(10\). ¿Suman \(88\)? Si. Respuesta: \(78\) y \(10\).

No es necesario descomponer el último término en todos los factores posibles (como en el último ejemplo). Puede verificar inmediatamente si su suma da \(-p\).

¡Importante! El teorema de Vieta y el teorema inverso solo funcionan con , es decir, aquel cuyo coeficiente delante de \(x^2\) es igual a uno. Si inicialmente tenemos una ecuación no reducida, entonces podemos reducirla simplemente dividiendo por el coeficiente delante de \ (x ^ 2 \).

Por ejemplo, sea dada la ecuación \(2x^2-4x-6=0\) y queremos usar uno de los teoremas de Vieta. Pero no podemos, porque el coeficiente antes de \(x^2\) es igual a \(2\). Eliminémoslo dividiendo toda la ecuación por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Listo. Ahora podemos usar ambos teoremas.

Respuestas a preguntas frecuentes

Pregunta: Por el teorema de Vieta, ¿puedes resolver cualquier ?
Responder: Lamentablemente no. Si no hay números enteros en la ecuación o la ecuación no tiene raíces, entonces el teorema de Vieta no ayudará. En este caso, debe utilizar discriminante . Afortunadamente, el 80% de las ecuaciones en el curso de matemáticas de la escuela tienen soluciones enteras.