Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: método de solución.

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Vamos a resolverlo ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución?

1) Expresar la incógnita de la primera o segunda ecuación del sistema. X o en(lo que nos resulte más conveniente);

2) Sustituir en otra ecuación (en aquella en la que no se expresó la incógnita) en lugar de la incógnita X o en(si se expresa X, sustituir en su lugar X; si se expresa en, sustituir en su lugar en) la expresión resultante;

3) Resuelve la ecuación que recibimos. Encontramos X o y;

4) Sustituye el valor resultante de la incógnita y encuentra la segunda incógnita.

La regla esta escrita. Ahora intentemos aplicarlo para resolver un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1.

Echemos un vistazo de cerca al sistema de ecuaciones. Observamos que a partir de la primera ecuación es más fácil expresar en.

expresamos en:

–2у = 11 – 3х

y = (11 – 3x)/(–2)

y = –5,5 + 1,5x

Ahora sustituyamos cuidadosamente en la segunda ecuación en expresión –5,5 + 1,5x.

Obtenemos: 4x – 5(–5,5 + 1,5x) = 3

Resolvamos esta ecuación:

4x + 27,5 – 7,5x = 3

–3,5x = 3 – 27,5

–3,5x = –24,5

x = –24,5/(–3,5)

En su lugar, sustituimos y = – 5,5 + 1,5x en la expresión X el valor que encontramos. Obtenemos:

y = – 5,5+ 1,5 7 = –5,5 + 10,5 = 5.

Respuesta: (7; 5)

Es interesante, pero si expresamos a partir de la primera ecuación no en, A X, ¿cambiará la respuesta?

Intentemos expresar X de la primera ecuación.

x = (11 + 2y)/3

Sustituyamos en su lugar X en la segunda ecuación la expresión (11 +2у)/3, obtenemos una ecuación con una incógnita y la resolvemos.

4(11 + 2у)/3 – 5у = ​​​​3, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3, obtenemos

4(11 + 2 años) – 15 años=9

44 + 8у – 15у = 9

–7у = 9 – 44

y = –35/(–7)

Encontramos la variable x sustituyendo 5 en la expresión x = (11 +2y)/3.

x = (11 +2 5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7

Respuesta: (7; 5)

Como se puede ver, la respuesta fue la misma. Si es cuidadoso y cuidadoso, no importa qué variable exprese: X o en, obtendrás la respuesta correcta.

Muy a menudo los estudiantes preguntan: “ ¿Existen otras formas de resolver sistemas además de la suma y la sustitución?»

Hay alguna modificación del método de sustitución. forma de comparar incógnitas .

1) Es necesario expresar la misma incógnita de cada ecuación del sistema hasta la segunda.

2) Se comparan las incógnitas resultantes y se obtiene una ecuación con una incógnita.

3) Encuentra el valor de una incógnita.

4) Sustituye el valor resultante de la incógnita y encuentra la segunda incógnita.

Ejemplo 2. Resolver sistema de ecuaciones.

A partir de dos ecuaciones expresamos la variable. X a través de en.

De la primera ecuación obtenemos x = (13 – 6y) / 5, y de la segunda ecuación x = (–1 – 18y) / 7.

Comparando estas expresiones obtenemos una ecuación con una incógnita y la resolvemos:

(13 – 6 años) / 5 = (–1 – 18 años) / 7

7 (13 – 6 años) = 5 (–1 – 18 años)

91 – 42ú = –5 – 90ú

–42у + 90у = –5 – 91

y = – 96 / 48

Desconocido X encontremos sustituyendo el valor en en una de las expresiones para X.

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Respuesta: (5; –2).

Creo que tú también lo lograrás. Si tienes alguna duda, ven a mis lecciones.

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Por lo general, las ecuaciones del sistema se escriben en una columna, una debajo de la otra, y se combinan con una llave.

Un sistema de ecuaciones de este tipo, donde a B C- números, y x,y- las variables se llaman sistema ecuaciones lineales .

Al resolver un sistema de ecuaciones se utilizan propiedades que son válidas para resolver ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.

Veamos un ejemplo

1) Expresar la variable en una de las ecuaciones. Por ejemplo, expresemos y en la primera ecuación obtenemos el sistema:

2) Sustituir en la segunda ecuación del sistema en lugar de y expresión 3x-7:

3) Resuelve la segunda ecuación resultante:

4) Sustituimos la solución resultante en la primera ecuación del sistema:

Un sistema de ecuaciones tiene una solución única: un par de números. x=1, y=-4. Respuesta: (1; -4) , escrito entre paréntesis, en la primera posición el valor X, En el segundo - y.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por suma

Resolvamos el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. método de suma.

1) Transformar el sistema para que los coeficientes de una de las variables sean opuestos. Multipliquemos la primera ecuación del sistema por "3".

2) Sumar las ecuaciones del sistema término por término. Reescribimos la segunda ecuación del sistema (cualquiera) sin cambios.

3) Sustituimos la solución resultante en la primera ecuación del sistema:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente.

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones con dos variables se reduce a encontrar las coordenadas de los puntos comunes de las gráficas de las ecuaciones.

La gráfica de una función lineal es una línea recta. Dos rectas en un plano pueden cortarse en un punto, ser paralelas o coincidir. En consecuencia, un sistema de ecuaciones puede: a) tener una solución única; b) no tienen soluciones; c) tener un número infinito de soluciones.

2) La solución del sistema de ecuaciones es el punto (si las ecuaciones son lineales) de la intersección de las gráficas.

Solución gráfica del sistema.

Método para introducir nuevas variables.

Cambiar variables puede llevar a resolver un sistema de ecuaciones más simple que el original.

Considere la solución del sistema.

Introduzcamos el reemplazo, luego

Pasemos a las variables iniciales.

Casos especiales

Sin resolver un sistema de ecuaciones lineales, puedes determinar el número de sus soluciones a partir de los coeficientes de las variables correspondientes.

Analicemos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:

1. Resolver el sistema mediante el método de sustitución.
2. Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.

Para resolver el sistema de ecuaciones. por método de sustitución debes seguir un algoritmo simple:
1. Expresar. De cualquier ecuación expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos el valor resultante en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.

Resolver sistema por método de suma (resta) término por término Necesitar:
1. Seleccione una variable para la cual haremos coeficientes idénticos.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, lo que da como resultado una ecuación con una variable.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.

La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.

Ejemplo 1:

Resolvamos por el método de sustitución.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.

2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)

1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, lo que significa que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y

2.Después de haberlo expresado, sustituimos 3+10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Resuelve la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (abre los corchetes)
6+20y+5y=1
25 años=1-6
25 años=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consta de x e y, encontremos x, en el primer punto donde lo expresamos sustituimos y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se acostumbra escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)

Ejemplo #2:

Resolvamos usando el método de suma (resta) término por término.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.

3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)

1. Elegimos una variable, digamos que elegimos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos coeficiente global 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Resta la segunda de la primera ecuación para eliminar la variable x y resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2

5 años=32 | :5
y=6.4

3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4.6

El punto de intersección será x=4,6; y=6.4
Respuesta: (4.6; 6.4)

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1 . NOMBRE COMPLETO. profesores: ____Tkachuk Natalya Petrovna _________________________________________________________________________________________________

2. Clase: _8 Fecha: .11.03________Asignatura_-matemáticas, lección No. 71 según cronograma:

3. Tema de la lección Resolver sistemas por sustitución. 4 . El lugar y papel de la lección en el tema que se está estudiando. :. Lección para consolidar conocimientos.. El propósito de la lección. :

Educativo: desarrollar conocimientos en la resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de sustitución. Saber/comprender: si las gráficas tienen puntos comunes, entonces el sistema tiene soluciones; si las gráficas no tienen puntos comunes, entonces el sistema no tiene soluciones; Algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones.Ser capaz de resolver sistemas por sustitución Promover el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones no estándar (estándar).De desarrollo: Promover el desarrollo de las habilidades de los estudiantes para generalizar los conocimientos adquiridos, realizar análisis, síntesis, comparaciones y extraer las conclusiones necesarias. Promover el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones estándar y no estándar.Educativo: Promover el desarrollo de una actitud creativa hacia actividades educacionales

Características de las etapas de la lección.

Actividad

estudiantes

Autodeterminación.

Activar la actividad cognitiva.

resolver el sistema

verbal

Frontal

Saludo a los estudiantes. llevando a cabo. Creando una situación de preparación para la lección, éxito en la próxima lección.

Verifique la preparación para la lección.

2. Actualización de conocimientos.

Identificar la calidad y el nivel de dominio de los conocimientos y habilidades adquiridos en lecciones anteriores sobre el tema.

Descubre si un par de números es una solución del sistema. x=5 y=9

¿Qué operaciones se pueden realizar con ecuaciones?

(multiplica ambos lados de la ecuación por el mismo número, divide por un número distinto de cero....)

Trabajo en equipo

Frontal. Guppovaya: análisis de algoritmos para resolver problemas;

Hace preguntas capciosas cuando es necesario.

Responden a las preguntas formuladas.

3. Puesta en escena tarea educativa, Objetivos de la lección.

Formación

y desarrollo de habilidades

definir y formular

problema, objetivo y tema

estudiar líneas

Cómo resolver un sistema de ecuaciones por suma, por sustitución.

Qué método es apropiado utilizar al resolver. ¿este sistema?

Trabajo en equipo.

Individual.

Frontal.

¿Qué pasos tomamos para conocer el precio de compra?

¿Qué tema estudiaremos?

Ellos hablan.

4. Etapa de actualización de conocimientos sobre el tema.

Promover el desarrollo de habilidades para distinguir y comparar líneas. Proporcionar las condiciones para el desarrollo de habilidades para expresar los pensamientos de manera competente, clara y precisa.

№ 621

Descubra las posiciones relativas de las líneas.

2x+0.5y= 1.2 y x- 4y=0

¿Es posible determinar si las rectas se cruzan o no por sus coeficientes?

2. Crea ecuaciones de rectas paralelas entre sí.

Trabajando con un estudiante

Trabajar en parejas con autoevaluación.

Frontales, individuales. taller de resolución de problemas

Hace preguntas capciosas cuando es necesario. Establece paralelos con material previamente estudiado.

Proporciona motivación para completar las tareas propuestas.

Lleva a los estudiantes a la conclusión sobre la existencia de fórmulas.

Resolver problemas, responder preguntas del profesor si es necesario Realizar el ejercicio en un cuaderno.

Túrnense para comentar, analizar, identificar razones y soluciones.

5.Trabajar de forma independiente

aplicación de los conocimientos adquiridos. Actualización de conocimientos y habilidades en la resolución de problemas.

Formación y desarrollo de la capacidad de lectura de números, planificación de sus actividades para resolver un problema determinado, seguimiento del resultado obtenido, corrección del resultado obtenido, autorregulación.

1 var –

2var

Trabajo independiente. Revisando a tu vecino.

"idea genial",

Supervisa la ejecución de la obra.

Proporciona: control individual; control selectivo.

Le anima a expresar su opinión.

Resolver problemas. Realizar: autoevaluación, verificación mutua; proporcionar una evaluación preliminar.

6. Evaluación de lecciones, autoevaluación.

Formación y desarrollo de la capacidad de analizar y comprender los propios logros.

Capacidad para determinar el nivel de dominio del material educativo.

Evaluación de resultados intermedios y autorregulación para aumentar la motivación por las actividades educativas.

Evaluación en cada etapa

1. ¿Puedes graficar ecuaciones lineales?

2. ¿Puedes determinar si se cruzan o no?

3. ¿Conoces un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones?

4. ¿Qué métodos conoces para resolver sistemas de ecuaciones?

Trabajo en equipo.

Grupal e individual...

Le anima a expresar su opinión.

Realizar: autoevaluación y valoración de un amigo.

7. Resumen de la lección. Tarea.

La capacidad de correlacionar metas y resultados de las propias actividades. Mantener un sano espíritu de competencia para mantener la motivación para las actividades educativas; participación en la discusión colectiva de problemas.

Pág. 4.4 No. 623

Trabajo en equipo.

Frontal: identificación y formulación de una meta cognitiva, reflexión sobre métodos y condiciones de acción.

Análisis y síntesis de objetos.

Le anima a expresar su opinión.

Da un comentario sobre tarea; tarea de buscar características en el texto...

Los niños participan en la discusión, analizan, hablan. Reflexiona y registra sus logros.

Hoy en clase aprendí...

Hoy en clase aprendí...