Shamshurina A.V. 1
Gagarina N.A. 1
1 Institución educativa presupuestaria municipal “Escuela secundaria núm. 31”
El texto de la obra se publica sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de Trabajo" en formato PDF
Introducción
Comencé mirando muchos temas de matemáticas en Internet y elegí este tema porque creo que la importancia de encontrar DL juega un papel muy importante en la resolución de ecuaciones y problemas. En mi trabajo de investigación, examiné ecuaciones en las que basta con encontrar la ODZ, el peligro, la opcionalidad, la ODZ limitada y algunas prohibiciones en matemáticas. Lo más importante para mí es aprobar bien el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, y para ello necesito saber: cuándo, por qué y cómo encontrar DL. Esto me impulsó a investigar el tema, cuyo propósito era mostrar que dominar este tema ayudará a los estudiantes a completar correctamente las tareas del Examen Estatal Unificado. Para lograr este objetivo, investigué literatura adicional y otras fuentes. Me preguntaba si los estudiantes de nuestra escuela saben cuándo, por qué y cómo encontrar ODZ. Por lo tanto, realicé una prueba sobre el tema "¿Cuándo, por qué y cómo encontrar ODZ?" (Se dieron 10 ecuaciones). Número de estudiantes - 28. Lo afrontaron - 14%, peligro de DD (teniendo en cuenta) - 68%, opcionalidad (tomada en cuenta) - 36%.
Objetivo: identificación: cuándo, por qué y cómo encontrar ODZ.
Problema: Las ecuaciones y desigualdades en las que es necesario encontrar ODZ no han encontrado un lugar en el curso de álgebra para una presentación sistemática, por lo que probablemente mis compañeros y yo a menudo cometemos errores al resolver este tipo de ejemplos, dedicamos mucho tiempo a resolverlos y nos olvidamos. sobre ODZ.
Tareas:
- Muestre la importancia de ODZ al resolver ecuaciones y desigualdades.
- Realizar trabajos prácticos sobre este tema y resumir sus resultados.
Creo que los conocimientos y habilidades adquiridos me ayudarán a resolver la pregunta: ¿es necesario buscar DZ o no? Dejaré de cometer errores aprendiendo a hacer ODZ correctamente. Si puedo hacer esto, lo dirá el tiempo o, más bien, el Examen Estatal Unificado.
Capítulo 1
¿Qué es ODZ?
ODZ es rango de valores aceptables, es decir, todos estos son valores de la variable para la cual la expresión tiene sentido.
Importante.¡Para encontrar ODZ no resolvemos un ejemplo! Resolvemos piezas del ejemplo para encontrar lugares prohibidos.
Algunas prohibiciones en matemáticas. Hay muy pocas acciones prohibidas de este tipo en matemáticas. Pero no todos los recuerdan...
- Expresiones que constan de un signo de multiplicidad par o deben ser >0 o igual a cero, ODZ:f(x)
- La expresión en el denominador de la fracción no puede ser igual a cero, ODZ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
¿Cómo grabar ODZ? Muy simple. Escriba siempre ODZ al lado del ejemplo. Debajo de estas letras conocidas, mirando la ecuación original, anotamos los valores de x que están permitidos para el ejemplo original. Transformar el ejemplo puede cambiar el OD y, en consecuencia, la respuesta.
Algoritmo para encontrar ODZ:
- Determinar el tipo de prohibición.
- Encuentre valores para los cuales la expresión no tenga sentido.
- Elimina estos valores del conjunto de los números reales R.
Resuelve la ecuación: =
|
Sin DZ |
Con ODZ |
|
Respuesta:x=5 |
ODZ: => => Respuesta: sin raíces |
El rango de valores aceptables nos protege de errores tan graves. Para ser honesto, es precisamente gracias a ODZ que muchos "estudiantes de shock" se convierten en estudiantes "C". Al considerar que buscar y tener en cuenta la DL es un paso insignificante en la decisión, se lo saltan y luego se preguntan: “¿por qué el profesor le puso un 2?”. ¡Sí, por eso lo pongo porque la respuesta es incorrecta! Esto no es una "puntuación quisquillosa" de un maestro, sino un error muy específico, como un cálculo incorrecto o un signo perdido.
Ecuaciones adicionales:
a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2
Capitulo 2
ODZ. ¿Para qué? ¿Cuando? ¿Cómo?
Rango de valores aceptables: hay una solución
- La ODZ es un conjunto vacío, lo que significa que el ejemplo original no tiene soluciones.
- = ODZ:
Respuesta: sin raíces.
- = ODZ:
Respuesta: sin raíces.
0, la ecuación no tiene raíces
Respuesta: sin raíces.
Ejemplos adicionales:
a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.
- La ODZ contiene uno o más números y una simple sustitución determina rápidamente las raíces.
ODZ: x=2, x=3
Comprueba: x=2, +, 0<1, верно
Comprueba: x=3, +, 0<1, верно.
Respuesta: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1,x=0
Comprueba: x=0, > , 0>0, incorrecto
Comprueba: x=1, > , 1>0, verdadero
Respuesta:x=1.
- + =x ODZ: x=3
Comprueba: + =3, 0=3, incorrecto.
Respuesta: sin raíces.
Ejemplos adicionales:
a) = ; segundo) + =0; c) + =x -1
Peligro de DD
Tenga en cuenta que las transformaciones de identidad pueden:
- no influyen en la DL;
- conducir a una educación de aprendizaje ampliada;
- conducir a un estrechamiento de ODZ.
También se sabe que como resultado de algunas transformaciones que cambian la ODZ original, esto puede llevar a decisiones incorrectas.
Ilustremos cada caso con un ejemplo.
1) Considere la expresión x + 4x + 7x, la ODZ de la variable x para esto es el conjunto R. Presentemos términos similares. Como resultado, tomará la forma x 2 +11x. Evidentemente, la ODZ de la variable x de esta expresión también es un conjunto R. Por tanto, la transformación realizada no cambió la ODZ.
2) Tome la ecuación x+ - =0. En este caso, ODZ: x≠0. Esta expresión también contiene términos similares, después de reducir llegamos a la expresión x, para la cual la ODZ es R. Lo que vemos: como resultado de la transformación, la ODZ se expandió (el número cero se agregó a la ODZ del variable x para la expresión original).
3) Tomemos la expresión. La ODZ de la variable x está determinada por la desigualdad (x−5)·(x−2)≥0, ODZ: (−∞, 2]∪∪/Modo de acceso: Materiales de los sitios www.fipi.ru, www.eg
Anexo 1
Trabajo práctico "ODZ: ¿cuándo, por qué y cómo?"
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Opción 1 |
opcion 2 |
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│x+14│= 2 - 2x |
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│3x│=1 - 3x |
Apéndice 2
Respuestas a las tareas del trabajo práctico "ODZ: ¿cuándo, por qué y cómo?"
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Opción 1 |
opcion 2 |
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Respuesta: sin raíces |
Respuesta: x-cualquier número excepto x=5 |
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9x+ = +27 ODZ: x≠3 Respuesta: sin raíces |
ODZ: x=-3, x=5. Respuesta: -3;5. |
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y= -disminuye, y= -aumenta Esto significa que la ecuación tiene como máximo una raíz. Respuesta:x=6. |
ODZ: → →х≥5 Respuesta: x≥5, x≤-6. |
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│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 no pertenece a ODZ |
Disminuye, aumenta La ecuación tiene como máximo una raíz. Respuesta: sin raíces. |
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0, ODZ: x≥3, x≤2 Respuesta: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Respuesta: sin raíces. |
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x=7,x=1. Respuesta: no hay soluciones |
Creciente - decreciente Respuesta:x=2. |
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0 ODZ: x≠15 Respuesta: x es cualquier número excepto x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 no pertenece a la ODZ. Respuesta: x=-1. |
Ecuaciones fraccionarias. ODZ.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.
Ecuaciones fraccionarias.
Como su nombre lo indica, estas ecuaciones contienen necesariamente fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:
Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.
como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.
¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.
Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Necesitamos resolver la ecuación:
¿Cómo te enseñaron en la escuela primaria? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer al sumar o restar fracciones. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?
En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:
Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:
Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:
En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:
¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.
Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:
Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:
Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.
Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:
Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un solo número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.
Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!
Ahora abramos los corchetes:
Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:
Pero antes de eso aprenderemos a resolver otros problemas. Sobre intereses. ¡Eso es un rastrillo, por cierto!
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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Tipo de trabajo: 13
Condición
A) Resuelve la ecuación 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
b) \izquierda[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \derecha].
Mostrar soluciónSolución
A) Abriendo los corchetes y moviendo todos los términos hacia el lado izquierdo, obtenemos la ecuación 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Considerando que \cos x \neq 0, el término 2 \sin x se puede sustituir por 2 tan x \cos x, obtenemos la ecuación 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, que mediante agrupación se puede reducir a la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tgx=0, bronceado x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cosx=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
b) Usando el círculo numérico, seleccione las raíces que pertenecen al intervalo. \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Respuesta
A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.
Tipo de trabajo: 13
Tema: Rango de valores permitidos (APV)
Condición
A) Resuelve la ecuación (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
b) Indique las raíces de esta ecuación que pertenecen al intervalo \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;
Mostrar soluciónSolución
A) ODZ: \begin(casos) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(casos)
La ecuación original en la ODZ es equivalente a un conjunto de ecuaciones
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matriz)\right.
Resolvamos la primera ecuación. Para ello haremos un reemplazo. \cos 4x=t, t \en [-1; 1]. Entonces \sin^24x=1-t^2. Obtenemos:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Resolvamos la segunda ecuación.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Usando el círculo unitario, encontramos soluciones que satisfacen la ODZ.
El signo “+” marca el primer y tercer trimestre, en los que tg x>0.
Obtenemos: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) Encontremos las raíces pertenecientes al intervalo. \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].
.png)
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).
Respuesta
A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) \Pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipo de trabajo: 13
Tema: Rango de valores permitidos (APV)
Condición
A) Resuelve la ecuación: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
b) Enumere todas las raíces que pertenecen al intervalo. \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Mostrar soluciónSolución
A) Porque \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Eso \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Esto significa que la ecuación dada es equivalente a la ecuación \cos^2x=\cos ^22x, que, a su vez, es equivalente a la ecuación \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Pero \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Y
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, por lo que la ecuación queda
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Entonces 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, o 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Resolviendo la primera ecuación como una ecuación cuadrática para \cos x, obtenemos:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Por lo tanto, \cos x=1 o \cos x=-\frac12. Si \cos x=1, entonces x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Si \cos x=-\frac12, Eso x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
De manera similar, al resolver la segunda ecuación, obtenemos \cos x=-1 o \cosx=\frac12. Si \cos x=-1, entonces las raíces x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Si \cos x=\frac12, Eso x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Combinemos las soluciones obtenidas:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
b) Seleccionemos las raíces que caen dentro de un intervalo dado usando un círculo numérico.
Obtenemos: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
Respuesta
A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipo de trabajo: 13
Tema: Rango de valores permitidos (APV)
Condición
A) Resuelve la ecuación 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
b) Indique las raíces de esta ecuación que pertenecen al intervalo \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).
Mostrar soluciónSolución
A) 1. Según la fórmula de reducción, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. El dominio de definición de la ecuación serán valores de x tales que \cos x \neq 0 y tan x \neq -1. Transformemos la ecuación usando la fórmula del coseno de doble ángulo. 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obtenemos la ecuación: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
Darse cuenta de \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), entonces la ecuación queda: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aquí \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.
2. Transforma \sin x+\cos x usando la fórmula de reducción y la fórmula de suma de cosenos: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
De aquí \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Medio, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
o x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Es por eso x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
o x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Los valores encontrados de x pertenecen al dominio de definición.
b) Primero averigüemos dónde caen las raíces de la ecuación en k=0 y t=0. Estos serán los números correspondientes. a=\frac\pi 4+arcos \frac(3\sqrt 2)5 Y b=\frac\pi 4-arcos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Demostremos la desigualdad auxiliar:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
En realidad, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Tenga en cuenta también que \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Medio \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. De las desigualdades (1) Por la propiedad del arco coseno obtenemos:
arccos 1 0 De aquí \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 Asimismo, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 Para k=-1 y t=-1 obtenemos las raíces de la ecuación a-2\pi y b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Donde -2\pi 2\pi Para otros valores de k y t, las raíces de la ecuación no pertenecen al intervalo dado. De hecho, si k\geqslant 1 y t\geqslant 1, entonces las raíces son mayores que 2\pi. Si k\leqslant -2 y t\leqslant -2, entonces las raíces son más pequeñas -\frac(7\pi )2. A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipo de trabajo: 13 A) Resuelve la ecuación \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al intervalo; A) Transformemos la ecuación: \cos x =-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cosx=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \sin x=0, \sin x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. b) Encontramos las raíces pertenecientes al segmento usando el círculo unitario. El intervalo indicado contiene un solo número. \frac\pi 2. A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; b) \frac\pi 2. Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipo de trabajo: 13 A) Resuelve la ecuación \frac(\sin x-1)(1+\cos 2x)=\frac(\sin x-1)(1+\cos (\pi +x)). b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento. \left[ -\frac(3\pi )(2); -\frac(\pi )2 \derecha]. A) Encontremos la ecuación ODZ: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Desde aquí la ODZ: x \neq \frac \pi 2+\pi k, k \in \mathbb Z, El conjunto resultante de valores de x no está incluido en la ODZ. Medio, \sin x \neq 1. Divide ambos lados de la ecuación por un factor. (\pecado x-1), diferente de cero. Obtenemos la ecuación \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), o ecuación 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicando la fórmula de reducción del lado izquierdo y la fórmula de reducción del derecho, obtenemos la ecuación 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Esta ecuación es por sustitución. \cosx=t, Dónde -1 \leqslant t \leqslant 1 reducirlo al cuadrado: 2t^2+t-1=0, cuyas raíces t_1=-1 Y t_2=\frac12. Volviendo a la variable x, obtenemos \cos x = \frac12 o \cosx=-1, dónde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \en \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. b) Resolvamos desigualdades 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , metro, norte, k \in \mathbb Z. 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). No hay números enteros en el rango. \izquierda[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\derecha]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Esta desigualdad se satisface con k=-1, luego x=-\pi. A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pik, metro, norte, k \in \mathbb Z; b) -\Pi . Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2017. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. (\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x) y \cos 2x=1-2 \sin ^2 x, por lo que la ecuación tomará la forma (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0, (2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot (2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0. Entonces 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0, o 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0. Resolvamos la primera ecuación como una ecuación cuadrática con respecto a \sen x, (\sin x)_(1,2)=\frac(-1 \pm \sqrt 9)4=\frac(-1 \pm 3)4. Por lo tanto, \sin x=-1 o \sin x=\frac12. Si \sin x=-1, entonces x=\frac(3\pi )2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z. Si \sin x=\frac12, cualquiera x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z, o x=\frac(5\pi )6+2t\pi , t \in \mathbb Z. De manera similar, resolviendo la segunda ecuación, obtenemos \sin x=1 o \sin x=-\frac12. Entonces x =\frac\pi 2+2m\pi , m\in \mathbb Z, o x=\frac(-\pi )6 +2n\pi , n \in \mathbb Z, o x=\frac(-5\pi )6+2p\pi , p \in \mathbb Z. Combinemos las soluciones obtenidas: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z. b) Seleccionemos las raíces que caen dentro de un intervalo dado usando un círculo numérico. Obtenemos: x_1 =\frac(7\pi )2, x_2 =\frac(23\pi )6, x_3 =\frac(25\pi )6. A) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z; b) \frac(7\pi )2;\,\,\frac(23\pi )6;\,\,\frac(25\pi )6. Cualquier expresión con una variable tiene su propio rango de valores válidos, cuando exista. Siempre hay que tener en cuenta ODZ a la hora de tomar decisiones. Si está ausente, es posible que obtenga un resultado incorrecto. Este artículo mostrará cómo encontrar ODZ correctamente y utilizar ejemplos. También se comentará la importancia de indicar la DZ a la hora de tomar una decisión. Esta definición está relacionada con los valores permitidos de la variable. Cuando introduzcamos la definición, veamos a qué resultado conducirá. A partir de 7º grado comenzamos a trabajar con números y expresiones numéricas. Las definiciones iniciales con variables pasan al significado de expresiones con variables seleccionadas. Cuando hay expresiones con variables seleccionadas, algunas de ellas pueden no satisfacer. Por ejemplo, una expresión de la forma 1: a, si a = 0, entonces no tiene sentido, ya que es imposible dividir por cero. Es decir, la expresión debe tener valores que sean adecuados en cualquier caso y darán una respuesta. Es decir, tienen sentido con las variables existentes. Definición 1 Si hay una expresión con variables, entonces tiene sentido sólo si el valor se puede calcular sustituyéndolas. Definición 2 Si hay una expresión con variables, entonces no tiene sentido cuando, al sustituirlas, no se puede calcular el valor. Es decir, esto implica una definición completa. Definición 3 Las variables admisibles existentes son aquellos valores para los cuales la expresión tiene sentido. Y si no tienen sentido, se consideran inaceptables. Para aclarar lo anterior: si hay más de una variable, entonces puede haber un par de valores adecuados. Ejemplo 1 Por ejemplo, considere una expresión de la forma 1 x - y + z, donde hay tres variables. De lo contrario, puedes escribirlo como x = 0, y = 1, z = 2, mientras que otra entrada tiene la forma (0, 1, 2). Estos valores se denominan válidos, lo que significa que se puede encontrar el valor de la expresión. Obtenemos que 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. De esto vemos que (1, 1, 2) son inaceptables. La sustitución da como resultado la división por cero, es decir, 1 1 - 2 + 1 = 1 0. El rango de valores aceptables es un elemento importante a la hora de evaluar expresiones algebraicas. Por lo tanto, vale la pena prestar atención a esto al realizar cálculos. Definición 4 zona ODZ es el conjunto de valores permitidos para una expresión determinada. Veamos una expresión de ejemplo. Ejemplo 2 Si tenemos una expresión de la forma 5 z - 3, entonces la ODZ tiene la forma (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Este es el rango de valores válidos que satisface la variable z para una expresión determinada. Si hay expresiones de la forma z x - y, entonces está claro que x ≠ y, z toma cualquier valor. Esto se llama expresiones ODZ. Hay que tenerlo en cuenta para no obtener división por cero al sustituir. El rango de valores permitidos y el rango de definición tienen el mismo significado. Solo el segundo de ellos se usa para expresiones y el primero para ecuaciones o desigualdades. Con la ayuda de DL, la expresión o desigualdad tiene sentido. El dominio de definición de la función coincide con el rango de valores permitidos de la variable x para la expresión f (x). Encontrar la ODZ significa encontrar todos los valores válidos que se ajusten a una función o desigualdad determinada. El incumplimiento de estas condiciones puede dar lugar a resultados incorrectos. Para encontrar la ODZ, a menudo es necesario realizar transformaciones en una expresión determinada. Hay expresiones donde su cálculo es imposible: Todo esto demuestra lo importante que es tener ODZ. Ejemplo 3 Encuentre la expresión ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
Solución
Cualquier número se puede elevar al cubo. Esta expresión no tiene fracción, por lo que los valores de x e y pueden ser cualquiera. Es decir, ODZ es cualquier número. Respuesta: x e y: cualquier valor. Ejemplo 4 Encuentra la ODZ de la expresión 1 3 - x + 1 0. Solución
Se puede observar que hay una fracción cuyo denominador es cero. Esto significa que para cualquier valor de x obtendremos división por cero. Esto significa que podemos concluir que esta expresión se considera indefinida, es decir, no tiene ninguna responsabilidad adicional. Respuesta: ∅ . Ejemplo 5 Encuentra la ODZ de la expresión dada x + 2 · y + 3 - 5 · x. Solución
La presencia de una raíz cuadrada significa que esta expresión debe ser mayor o igual a cero. Si es negativo, no tiene significado. Esto significa que es necesario escribir una desigualdad de la forma x + 2 · y + 3 ≥ 0. Es decir, este es el rango deseado de valores aceptables. Respuesta: conjunto de x e y, donde x + 2 y + 3 ≥ 0. Ejemplo 6 Determine la expresión ODZ de la forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3). Solución
Por condición, tenemos una fracción, por lo que su denominador no debe ser igual a cero. Obtenemos que x + 1 - 1 ≠ 0. La expresión radical siempre tiene sentido cuando es mayor o igual a cero, es decir, x + 1 ≥ 0. Como tiene logaritmo, su expresión debe ser estrictamente positiva, es decir, x 2 + 3 > 0. La base del logaritmo también debe tener un valor positivo y diferente de 1, luego sumamos las condiciones x + 8 > 0 y x + 8 ≠ 1. De ello se deduce que la ODZ deseada tomará la forma: x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1 En otras palabras, se llama sistema de desigualdades con una variable. La solución conducirá a la siguiente notación ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) . Respuesta: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) Durante las transformaciones de identidad, es importante encontrar la ODZ. Hay casos en los que no se produce la existencia de ODZ. Para comprender si una expresión dada tiene solución, es necesario comparar el VA de las variables de la expresión original y el VA de la expresión resultante. Transformaciones de identidad: Veamos un ejemplo. Ejemplo 7 Si tenemos una expresión de la forma x 2 + x + 3 · x, entonces su ODZ está definida en todo el dominio de definición. Incluso trayendo términos similares y simplificando la expresión, la ODZ no cambia. Ejemplo 8 Si tomamos el ejemplo de la expresión x + 3 x − 3 x, entonces las cosas son diferentes. Tenemos una expresión fraccionaria. Y sabemos que la división por cero es inaceptable. Entonces la ODZ tiene la forma (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Se puede ver que cero no es solución, por lo que lo sumamos entre paréntesis. Consideremos un ejemplo con la presencia de una expresión radical. Ejemplo 9 Si existe x - 1 · x - 3, entonces debes prestar atención a la ODZ, ya que debe escribirse como la desigualdad (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Es posible resolver por el método del intervalo, luego encontramos que la ODZ tomará la forma (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Después de transformar x - 1 · x - 3 y aplicar la propiedad de las raíces, tenemos que la ODZ se puede complementar y todo se puede escribir en forma de un sistema de desigualdades de la forma x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Al resolverlo encontramos que [ 3 , + ∞) . Esto significa que la ODZ se escribe completamente de la siguiente manera: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Deben evitarse transformaciones que estrechen la ZD. Ejemplo 10 Consideremos un ejemplo de la expresión x - 1 · x - 3, cuando x = - 1. Al sustituir, obtenemos que - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Si transformamos esta expresión y la llevamos a la forma x - 1 · x - 3, entonces al calcular encontramos que 2 - 1 · 2 - 3 la expresión no tiene sentido, ya que la expresión radical no debe ser negativa. Es necesario adherirse a transformaciones idénticas que la ODZ no cambiará. Si hay ejemplos que lo amplían, entonces debería agregarse a la DL. Ejemplo 11 Veamos el ejemplo de una fracción de la forma x x 3 + x. Si cancelamos por x, obtenemos 1 x 2 + 1. Entonces la ODZ se expande y se convierte en (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Además, a la hora de calcular ya trabajamos con la segunda fracción simplificada. En presencia de logaritmos, la situación es ligeramente diferente. Ejemplo 12 Si existe una expresión de la forma ln x + ln (x + 3), se reemplaza por ln (x · (x + 3)), basándose en la propiedad del logaritmo. De esto podemos ver que ODZ de (0, + ∞) a (− ∞, − 3) ∪ (0, + ∞) . Por tanto, para determinar la ODZ ln (x · (x + 3)) es necesario realizar cálculos sobre la ODZ, es decir, el conjunto (0, + ∞). Al resolver, siempre es necesario prestar atención a la estructura y forma de la expresión dada. Si el área de definición se encuentra correctamente, el resultado será positivo. Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter Al resolver varios problemas, muy a menudo tenemos que realizar transformaciones idénticas de expresiones. Pero sucede que algún tipo de transformación es aceptable en algunos casos, pero no en otros. ODZ proporciona una importante ayuda en materia de seguimiento de la admisibilidad de las transformaciones en curso. Veamos esto con más detalle. La esencia del enfoque es la siguiente: la ODZ de las variables para la expresión original se compara con la ODZ de las variables para la expresión obtenida como resultado de transformaciones idénticas y, en base a los resultados de la comparación, se extraen las conclusiones apropiadas. En general, las transformaciones de identidad pueden Ilustremos cada caso con un ejemplo. Considere la expresión x 2 +x+3·x, la ODZ de la variable x para esta expresión es el conjunto R. Ahora hagamos la siguiente transformación idéntica con esta expresión: presentamos términos similares, como resultado tomará la forma x 2 +4·x. Obviamente, la variable x de esta expresión también es un conjunto R. Por tanto, la transformación realizada no modificó la DZ. Vamonos. Tomemos la expresión x+3/x−3/x. En este caso, la ODZ está determinada por la condición x≠0, que corresponde al conjunto (−∞, 0)∪(0, +∞) . Esta expresión también contiene términos similares, después de reducirlos llegamos a la expresión x, para la cual la ODZ es R. Lo que vemos: como resultado de la transformación, la ODZ se expandió (el número cero se agregó a la ODZ de la variable x para la expresión original). Queda por considerar un ejemplo de reducción del rango de valores aceptables después de transformaciones. Tomemos la expresión Respuesta
Tema: Rango de valores permitidos (APV)Condición
Solución
Respuesta
Tema: Rango de valores permitidos (APV)Condición
Solución
Respuesta
Respuesta
Valores de variables válidos e inválidos
¿Qué es ODZ?
¿Cómo encontrar ODZ? Ejemplos, soluciones
¿Por qué es importante considerar la DPD al impulsar el cambio?
. La ODZ de la variable x está determinada por la desigualdad (x−1)·(x−3)≥0, para su solución es adecuada, por ejemplo, como resultado tenemos (−∞, 1]∪∪; editado por S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: Educación, 2008. - 240 p.: ill - ISBN 978-5-09-019315-3.
