Expandir módulo de expresión:

Sección 2. Propiedades básicas.

Otro dato importante: El módulo nunca es negativo.. Cualquiera que sea el número que tomemos, ya sea positivo o negativo, su módulo siempre resulta positivo (o, en casos extremos, cero). Es por eso que al módulo a menudo se le llama valor absoluto de un número.

Además, si combinamos la definición del módulo para un número positivo y negativo, obtenemos una definición global del módulo para todos los números. A saber: el módulo de un número es igual al número mismo si el número es positivo (o cero), o igual al número opuesto si el número es negativo. Puedes escribir esto como una fórmula:

También existe un módulo cero, pero siempre es igual a cero. Además, el cero es el único número que no tiene opuesto.

Así, si consideramos la función $y=\left| x \right|$ e intenta dibujar su gráfica, obtendrás algo como esto:

Gráfico de módulo y ejemplo de resolución de la ecuación.

De esta imagen queda inmediatamente claro que $\left| -m \derecha|=\izquierda| m \right|$, y la gráfica del módulo nunca cae por debajo del eje x. Pero eso no es todo: la línea roja marca la recta $y=a$, que, para $a$ positivo, nos da dos raíces a la vez: $((x)_(1))$ y $((x) _(2)) $, pero hablaremos de eso más tarde. :)

Además de la definición puramente algebraica, existe una geométrica. Digamos que hay dos puntos en la recta numérica: $((x)_(1))$ y $((x)_(2))$. En este caso, la expresión $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ es simplemente la distancia entre los puntos especificados. O, si lo prefieres, la longitud del segmento que conecta estos puntos:

Esta definición también implica que el módulo siempre es no negativo. Pero basta de definiciones y teorías: pasemos a las ecuaciones reales. :)

Fórmula básica

Bien, hemos resuelto la definición. Pero eso no lo hizo más fácil. ¿Cómo resolver ecuaciones que contienen este mismo módulo?

Calma, solo calma. Empecemos por las cosas más sencillas. Considere algo como esto:

\[\izquierda| x\derecha|=3\]

Entonces, el módulo de $x$ es 3. ¿A qué podría ser igual $x$? Bueno, a juzgar por la definición, estamos bastante contentos con $x=3$. En realidad:

\[\izquierda| 3\derecha|=3\]

¿Hay otros números? Cap parece estar insinuando que sí. Por ejemplo, $x=-3$ también es $\left| -3 \right|=3$, es decir se cumple la igualdad requerida.

Entonces, ¿tal vez si buscamos y pensamos, encontraremos más números? Pero seamos realistas: no hay más números. Ecuación $\izquierda| x \right|=3$ tiene solo dos raíces: $x=3$ y $x=-3$.

Ahora compliquemos un poco la tarea. Deje que la función $f\left(x \right)$ cuelgue debajo del signo del módulo en lugar de la variable $x$, y coloque un número arbitrario $a$ en lugar del triple de la derecha. Obtenemos la ecuación:

\[\izquierda| f\izquierda(x \derecha) \derecha|=a\]

Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? Déjame recordarte: $f\left(x \right)$ es una función arbitraria, $a$ es cualquier número. Aquellos. ¡Nada en absoluto! Por ejemplo:

\[\izquierda| 2x+1 \derecha|=5\]

\[\izquierda| 10x-5 \derecha|=-65\]

Prestemos atención a la segunda ecuación. Se puede decir inmediatamente de él: no tiene raíces. ¿Por qué? Todo es correcto: porque requiere que el módulo sea igual a un número negativo, lo que nunca ocurre, pues ya sabemos que el módulo es siempre un número positivo o, en casos extremos, cero.

Pero con la primera ecuación todo es más divertido. Hay dos opciones: o hay una expresión positiva bajo el signo del módulo y luego $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o esta expresión sigue siendo negativa, y luego $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. En el primer caso, nuestra ecuación se reescribirá de la siguiente manera:

\[\izquierda| 2x+1 \right|=5\Flecha derecha 2x+1=5\]

Y de repente resulta que la expresión submodular $2x+1$ es realmente positiva: es igual al número 5. Es decir Podemos resolver esta ecuación con seguridad: la raíz resultante será una parte de la respuesta:

Aquellos que sean particularmente desconfiados pueden intentar sustituir la raíz encontrada en la ecuación original y asegurarse de que realmente haya un número positivo debajo del módulo.

Ahora veamos el caso de una expresión submodular negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Flecha derecha 2x+1=-5\]

¡Ups! Nuevamente, todo está claro: asumimos que $2x+1 \lt 0$, y como resultado obtuvimos que $2x+1=-5$; de hecho, esta expresión es menor que cero. Resolvemos la ecuación resultante, sabiendo con certeza que la raíz encontrada nos conviene:

En total, nuevamente recibimos dos respuestas: $x=2$ y $x=3$. Sí, la cantidad de cálculos resultó ser un poco mayor que en la ecuación muy simple $\left| x \right|=3$, pero nada ha cambiado fundamentalmente. Entonces, ¿tal vez exista algún tipo de algoritmo universal?

Sí, existe tal algoritmo. Y ahora lo analizaremos.

Deshacerse del signo del módulo

Tengamos la ecuación $\left| f\left(x \right) \right|=a$, y $a\ge 0$ (de lo contrario, como ya sabemos, no hay raíces). Luego puedes deshacerte del signo del módulo usando la siguiente regla:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Por lo tanto, nuestra ecuación con módulo se divide en dos, pero sin módulo. ¡Eso es toda la tecnología! Intentemos resolver un par de ecuaciones. Empecemos con esto

\[\izquierda| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Consideremos por separado cuando hay un diez más a la derecha y por separado cuando hay un menos. Tenemos:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Flecha derecha 5x=-14\Flecha derecha x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Tenemos dos raíces: $x=1.2$ y $x=-2.8$. La solución completa tomó literalmente dos líneas.

Ok, no hay duda, veamos algo un poco más serio:

\[\izquierda| 7-5x\derecha|=13\]

Nuevamente abrimos el módulo con más y menos:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Flecha derecha -5x=-20\Flecha derecha x=4. \\\end(alinear)\]

Un par de líneas más y ¡la respuesta está lista! Como dije, los módulos no tienen nada de complicado. Sólo necesitas recordar algunas reglas. Por tanto, seguimos adelante y comenzamos con tareas verdaderamente más complejas.

El caso de una variable del lado derecho

Ahora considere esta ecuación:

\[\izquierda| 3x-2 \derecha|=2x\]

Esta ecuación es fundamentalmente diferente de todas las anteriores. ¿Cómo? Y el hecho de que a la derecha del signo igual está la expresión $2x$, y no podemos saber de antemano si es positiva o negativa.

¿Qué hacer en este caso? Primero, debemos entender de una vez por todas que Si el lado derecho de la ecuación resulta ser negativo, entonces la ecuación no tendrá raíces.- ya sabemos que el módulo no puede ser igual a un número negativo.

Y en segundo lugar, si la parte derecha sigue siendo positiva (o igual a cero), entonces puedes actuar exactamente de la misma manera que antes: simplemente abre el módulo por separado con un signo más y por separado con un signo menos.

Por lo tanto, formulamos una regla para funciones arbitrarias $f\left(x \right)$ y $g\left(x \right)$ :

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

En relación a nuestra ecuación obtenemos:

\[\izquierda| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bueno, de alguna manera podremos hacer frente al requisito $2x\ge 0$. Al final, podemos sustituir estúpidamente las raíces que obtenemos de la primera ecuación y comprobar si la desigualdad se cumple o no.

Entonces resolvamos la ecuación en sí:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Flecha derecha 3x=0\Flecha derecha x=0. \\\end(alinear)\]

Bueno, ¿cuál de estas dos raíces satisface el requisito $2x\ge 0$? ¡Si ambos! Por lo tanto, la respuesta serán dos números: $x=(4)/(3)\;$ y $x=0$. Esa es la solución. :)

Sospecho que algunos de los estudiantes ya están empezando a aburrirse. Bueno, veamos una ecuación aún más compleja:

\[\izquierda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Aunque parezca malo, en realidad sigue siendo la misma ecuación de la forma “módulo es igual a función”:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Y se soluciona exactamente de la misma forma:

\[\izquierda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nos ocuparemos de la desigualdad más adelante; de ​​alguna manera es demasiado mala (de hecho, es simple, pero no la resolveremos). Por ahora, es mejor ocuparnos de las ecuaciones resultantes. Consideremos el primer caso: es cuando el módulo se expande con un signo más:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bueno, es obvio que necesitas recolectar todo lo de la izquierda, traer otros similares y ver qué pasa. Y esto es lo que pasa:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(alinear)\]

Sacamos el factor común $((x)^(2))$ de paréntesis y obtenemos una ecuación muy simple:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Aquí aprovechamos una propiedad importante del producto, por la cual factorizamos el polinomio original: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ahora tratemos exactamente de la misma manera la segunda ecuación, que se obtiene expandiendo el módulo con un signo menos:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\izquierda(-3x+2 \derecha)=0. \\\end(alinear)\]

De nuevo lo mismo: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. Tenemos:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bueno, tenemos tres raíces: $x=0$, $x=1.5$ y $x=(2)/(3)\;$. Bueno, ¿cuál de este conjunto entrará en la respuesta final? Para ello recordemos que tenemos una restricción adicional en forma de desigualdad:

¿Cómo tener en cuenta este requisito? Simplemente sustituyamos las raíces encontradas y comprobemos si la desigualdad se cumple para estos $x$ o no. Tenemos:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(alinear)\]

Por tanto, la raíz $x=1.5$ no nos conviene. Y en respuesta solo habrá dos raíces:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Como puede ver, incluso en este caso no hubo nada complicado: las ecuaciones con módulos siempre se resuelven mediante un algoritmo. Sólo necesitas tener un buen conocimiento de los polinomios y las desigualdades. Por lo tanto, pasamos a tareas más complejas: ya no habrá uno, sino dos módulos.

Ecuaciones con dos módulos

Hasta ahora, hemos estudiado sólo las ecuaciones más simples: había un módulo y algo más. Enviamos este “algo más” a otra parte de la desigualdad, lejos del módulo, para que al final todo se redujera a una ecuación de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o incluso más simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Pero el jardín de infancia terminó: es hora de pensar en algo más serio. Comencemos con ecuaciones como esta:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=\left| g\izquierda(x \derecha) \derecha|\]

Esta es una ecuación de la forma “módulo es igual a módulo”. Un punto de fundamental importancia es la ausencia de otros términos y factores: sólo un módulo a la izquierda, otro módulo a la derecha y nada más.

Alguien pensará ahora que este tipo de ecuaciones son más difíciles de resolver que las que hemos estudiado hasta ahora. Pero no: estas ecuaciones son aún más fáciles de resolver. Aquí está la fórmula:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

¡Todo! Simplemente equiparamos expresiones submodulares poniendo un signo más o menos delante de una de ellas. Y luego resolvemos las dos ecuaciones resultantes, ¡y las raíces están listas! Sin restricciones adicionales, sin desigualdades, etc. Todo es muy sencillo.

Intentemos resolver este problema:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha|=\izquierda| 2x-7 \derecha|\]

¡Watson elemental! Ampliando los módulos:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha|=\izquierda| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Consideremos cada caso por separado:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(alinear)\]

La primera ecuación no tiene raíces. Porque ¿cuándo es $3=-7$? ¿A qué valores de $x$? “¿Qué diablos es $x$? ¿Estas drogado? No hay ningún $x$ allí en absoluto”, dices. Y tendrás razón. Hemos obtenido una igualdad que no depende de la variable $x$, y al mismo tiempo la igualdad en sí es incorrecta. Por eso no hay raíces. :)

Con la segunda ecuación todo es un poco más interesante, pero también muy, muy sencillo:

Como puedes ver, todo se resolvió literalmente en un par de líneas; no esperábamos nada más de una ecuación lineal. :)

Como resultado, la respuesta final es: $x=1$.

¿Así que cómo? ¿Difícil? Por supuesto que no. Probemos algo más:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \derecha|\]

Nuevamente tenemos una ecuación de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Por lo tanto, lo reescribimos inmediatamente, revelando el signo del módulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Quizás ahora alguien pregunte: “Oye, ¿qué tontería? ¿Por qué aparece “más-menos” en la expresión de la derecha y no en la izquierda? Cálmate, ahora te lo explicaré todo. De hecho, en el buen sentido deberíamos haber reescrito nuestra ecuación de la siguiente manera:

Luego debes abrir los corchetes, mover todos los términos a un lado del signo igual (ya que la ecuación, obviamente, será cuadrada en ambos casos) y luego encontrar las raíces. Pero hay que admitirlo: cuando "más-menos" aparece antes de tres términos (especialmente cuando uno de estos términos es una expresión cuadrática), de alguna manera parece más complicado que la situación cuando "más-menos" aparece antes de sólo dos términos.

Pero nada nos impide reescribir la ecuación original de la siguiente manera:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \derecha|\]

¿Qué pasó? Nada especial: simplemente intercambiaron los lados izquierdo y derecho. Una cosita que al final nos hará la vida un poco más fácil. :)

En general, resolvemos esta ecuación considerando opciones con más y menos:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(alinear)\]

La primera ecuación tiene raíces $x=3$ y $x=1$. El segundo es generalmente un cuadrado exacto:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Por lo tanto, tiene una sola raíz: $x=1$. Pero esta raíz ya la hemos obtenido anteriormente. Por lo tanto, sólo dos números entrarán en la respuesta final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

¡Misión cumplida! Puedes coger un pastel del estante y comértelo. Hay 2, el tuyo es el del medio. :)

Nota IMPORTANTE. La presencia de raíces idénticas para diferentes variantes de expansión del módulo significa que los polinomios originales están factorizados, y entre estos factores seguramente habrá uno común. En realidad:

\[\begin(align)& \left| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \derecha|; \\& \izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(alinear)\]

Una de las propiedades del módulo: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (es decir, el módulo del producto es igual al producto de los módulos), por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| x-1 \right|\cdot \izquierda| x-2 \derecha|\]

Como puedes ver, realmente tenemos un factor común. Ahora, si recoges todos los módulos en un lado, puedes sacar este factor del soporte:

\[\begin(align)& \left| x-1 \derecha|=\izquierda| x-1 \right|\cdot \izquierda| x-2 \derecha|; \\& \izquierda| x-1 \derecha|-\izquierda| x-1 \right|\cdot \izquierda| x-2 \derecha|=0; \\& \izquierda| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(alinear)\]

Bueno, ahora recuerda que el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2\derecha|=1. \\\end(align) \right.\]

Así, la ecuación original con dos módulos se ha reducido a las dos ecuaciones más simples de las que hablamos al principio de la lección. Estas ecuaciones se pueden resolver literalmente en un par de líneas. :)

Esta observación puede parecer innecesariamente compleja e inaplicable en la práctica. Sin embargo, en realidad, es posible que se encuentre con problemas mucho más complejos que los que analizamos hoy. En ellos se pueden combinar módulos con polinomios, raíces aritméticas, logaritmos, etc. Y en tales situaciones, la capacidad de reducir el grado general de la ecuación quitando algo de los corchetes puede ser muy, muy útil. :)

Ahora me gustaría ver otra ecuación, que a primera vista puede parecer una locura. Muchos estudiantes se quedan estancados, incluso aquellos que creen que comprenden bien los módulos.

Sin embargo, esta ecuación es incluso más fácil de resolver que la que vimos anteriormente. Y si entiendes por qué, obtendrás otro truco para resolver rápidamente ecuaciones con módulos.

Entonces la ecuación es:

\[\izquierda| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

No, esto no es un error tipográfico: es un plus entre los módulos. Y necesitamos encontrar en qué $x$ la suma de dos módulos es igual a cero. :)

¿Cuál es el problema de todos modos? Pero el problema es que cada módulo es un número positivo o, en casos extremos, cero. ¿Qué pasa si sumas dos números positivos? Obviamente un número positivo nuevamente:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

La última línea puede darte una idea: la única vez que la suma de los módulos es cero es si cada módulo es cero:

\[\izquierda| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

¿Y cuándo el módulo es igual a cero? Sólo en un caso, cuando la expresión submodular es igual a cero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Así, tenemos tres puntos en los que el primer módulo se pone a cero: 0, 1 y −1; así como dos puntos en los que el segundo módulo se pone a cero: −2 y 1. Sin embargo, necesitamos que ambos módulos se pongan a cero al mismo tiempo, por lo que entre los números encontrados debemos elegir aquellos que están incluidos en ambos conjuntos. Obviamente, sólo existe uno de esos números: $x=1$; esta será la respuesta final.

método de escisión

Bueno, ya cubrimos muchos problemas y aprendimos muchas técnicas. ¿Crees que eso es todo? ¡Pero no! Ahora veremos la técnica final y, al mismo tiempo, la más importante. Hablaremos de dividir ecuaciones con módulo. ¿De qué hablaremos siquiera? Retrocedamos un poco y veamos una ecuación simple. Por ejemplo este:

\[\izquierda| 3x-5 \derecha|=5-3x\]

En principio, ya sabemos cómo resolver dicha ecuación, porque es una construcción estándar de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Pero intentemos ver esta ecuación desde un ángulo ligeramente diferente. Más precisamente, considere la expresión bajo el signo del módulo. Permítanme recordarles que el módulo de cualquier número puede ser igual al número mismo o puede ser opuesto a este número:

\[\izquierda| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En realidad, esta ambigüedad es todo el problema: dado que el número bajo el módulo cambia (depende de la variable), no tenemos claro si es positivo o negativo.

Pero ¿qué pasa si inicialmente requieres que este número sea positivo? Por ejemplo, requerimos que $3x-5 \gt 0$; en este caso, tenemos la garantía de obtener un número positivo bajo el signo del módulo, y podemos deshacernos por completo de este mismo módulo:

Así, nuestra ecuación se volverá lineal, lo que se puede resolver fácilmente:

Es cierto que todos estos pensamientos tienen sentido solo bajo la condición $3x-5 \gt 0$; nosotros mismos introdujimos este requisito para revelar el módulo sin ambigüedades. Por lo tanto, sustituyamos el $x=\frac(5)(3)$ encontrado en esta condición y verifiquemos:

Resulta que para el valor especificado de $x$ nuestro requisito no se cumple, porque la expresión resultó ser igual a cero y necesitamos que sea estrictamente mayor que cero. Triste. :(

¡Pero esta bien! Después de todo, existe otra opción $3x-5 \lt 0$. Además, también existe el caso $3x-5=0$; esto también debe tenerse en cuenta, de lo contrario la solución estará incompleta. Entonces, considere el caso $3x-5 \lt 0$:

Evidentemente el módulo se abrirá con un signo menos. Pero entonces surge una situación extraña: tanto a la izquierda como a la derecha de la ecuación original sobresaldrá la misma expresión:

Me pregunto en qué $x$ la expresión $5-3x$ será igual a la expresión $5-3x$. Incluso el Capitán Obviedad se atragantaría con la saliva con tales ecuaciones, pero lo sabemos: esta ecuación es una identidad, es decir. ¡Es cierto para cualquier valor de la variable!

Esto significa que cualquier $x$ nos conviene. Sin embargo, tenemos una limitación:

En otras palabras, la respuesta no será un solo número, sino un intervalo completo:

Finalmente, queda un caso más por considerar: $3x-5=0$. Aquí todo es simple: debajo del módulo habrá cero, y el módulo cero también es igual a cero (esto se desprende directamente de la definición):

Pero entonces la ecuación original $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ se reescribirá de la siguiente manera:

Ya obtuvimos esta raíz arriba cuando consideramos el caso de $3x-5 \gt 0$. Además, esta raíz es una solución a la ecuación $3x-5=0$; esta es la limitación que nosotros mismos introdujimos para restablecer el módulo. :)

Así, además del intervalo, también estaremos satisfechos con el número que se encuentra al final de este intervalo:

Respuesta final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ No es muy común ver semejante basura en la respuesta a una ecuación bastante simple (esencialmente lineal) con módulo , Bueno, acostúmbrate: la dificultad del módulo es que las respuestas en este tipo de ecuaciones pueden resultar completamente impredecibles.

Algo más es mucho más importante: ¡acabamos de analizar un algoritmo universal para resolver una ecuación con módulo! Y este algoritmo consta de los siguientes pasos:

1. Iguala cada módulo de la ecuación a cero. Obtenemos varias ecuaciones;
2. Resuelve todas estas ecuaciones y marca las raíces en la recta numérica. Como resultado, la línea recta se dividirá en varios intervalos, en cada uno de los cuales todos los módulos se revelan de forma única;
3. Resuelve la ecuación original para cada intervalo y combina tus respuestas.

¡Eso es todo! Sólo queda una pregunta: ¿qué hacer con las raíces obtenidas en el paso 1? Digamos que tenemos dos raíces: $x=1$ y $x=5$. Dividirán la recta numérica en 3 partes:

¿Cuáles son entonces los intervalos? Está claro que hay tres de ellos:

1. El más a la izquierda: $x \lt 1$ — la unidad en sí no está incluida en el intervalo;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aquí se incluye uno en el intervalo, pero cinco no;
3. Extremo derecho: $x\ge 5$ - ¡cinco solo se incluyen aquí!

Creo que ya entiendes el patrón. Cada intervalo incluye el extremo izquierdo y no incluye el derecho.

A primera vista, una entrada así puede parecer inconveniente, ilógica y, en general, una especie de locura. Pero créame: después de un poco de práctica, descubrirá que este enfoque es el más confiable y no interfiere con la apertura inequívoca de los módulos. Es mejor utilizar este esquema que pensar cada vez: dar el extremo izquierdo/derecho al intervalo actual o "tirarlo" al siguiente.

Esto concluye la lección. Descarga problemas para resolverlos tú mismo, practica, compara con las respuestas y nos vemos en la próxima lección, que estará dedicada a las desigualdades con módulos. :)