nalidad (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Esto muestra que el coeficiente de inercia del objeto depende

tamiz a partir de la elección de coordenadas generalizadas y se puede recalcular.

La FE de un sistema holonómico no estacionario de un grado tiene una estructura

vuelta del polinomio cuadrático con respecto a la velocidad generalizada q & , coeficiente

cuyos valores generalmente dependen de q y t:

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , con a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

La dimensión de los coeficientes a , a 0 , a 1 se determina según el principio de L. Euler: todos los términos de las expresiones deben tener la misma dimensión.

5.3. poder poder

La región del espacio en la que se aplica una fuerza a un objeto material se llama campo de fuerza vectorial. Esta área puede ser tridimensional (por ejemplo, esférica) o bidimensional, o representar un segmento de una línea recta o curva. Generalmente se cree que la fuerza depende únicamente de las coordenadas (x, y, z) del punto de aplicación de la fuerza, o de una o dos coordenadas, o es constante en magnitud y dirección. También se permiten casos en los que las fuerzas dependen tanto de la velocidad del punto como del tiempo, es decir, la fuerza se especifica en el área del espacio de coordenadas, velocidades y tiempo. Hay casos en los que

donde la fuerza depende de la aceleración.

en el instante t en el sistema de referencia se llama Oxyz

Potencia de potencia F

escalar igual al producto escalar de la fuerza

aplicado a la velocidad del punto

fuerza v en este sistema:

m/s=W)

Fv cos(F ,v )

Zz, (norte

Según esta definición, la potencia de una fuerza es un escalar positivo si el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad es agudo (en este caso, la fuerza promueve el movimiento, un aumento de la energía cinética) y negativo si el ángulo es obtuso (cuando la fuerza ralentiza el movimiento). La potencia de la fuerza es cero si la fuerza es perpendicular a la velocidad del punto de aplicación de la fuerza, o si el punto de aplicación de la fuerza no tiene velocidad.

Las potencias en los dos sistemas de referencia son diferentes si los sistemas se mueven entre sí, por lo que se debe indicar el sistema de referencia en el que se calcula la potencia de las fuerzas.

El poder de las fuerzas de fricción, así como otras fuerzas disipativas dirigidas contra el movimiento, es negativo.

La potencia de la fuerza de adherencia entre la rueda y la carretera (si no hay deslizamiento de la rueda) es cero, ya que el punto de aplicación de la fuerza no tiene velocidad.

Consideremos el caso en el que las fuerzas dependen sólo de la posición del punto de

U (x, y, z) es función de la posición del punto de aplicación de la fuerza, es decir – función de coordenadas cartesianas (o generalizadas). En este caso, la fuerza F (x, y, z) se llama potencial y la “función de fuerza” U con signo opuesto se llama

energía potencial: P (x, y, z) = − U (x, y, z). La región del espacio en la que

que actúa una fuerza potencial sobre un cuerpo se llama campo de fuerza potencial. Bajo el signo de la derivada se puede sumar cualquier constante, por lo que la función de fuerza y ​​la energía potencial se determinan hasta una constante que determina el nivel de referencia. En general, la energía potencial se puede definir como una función P (q 1,..., q n) obtenida

transformando la potencia a la forma: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , donde q s es una generalizada

nuevas coordenadas.

Dejemos que el cuerpo se mueva arbitrariamente en el espacio, es decir se mueve junto con el polo O con velocidad v O y gira con velocidad angular ω.

La potencia de un par de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido no depende de la velocidad del polo. Es igual al producto escalar del momento de un par de fuerzas y la velocidad angular.

PAG = METRO			M ω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

donde M es el momento de un par de fuerzas, ω es la velocidad angular de un cuerpo rígido, que, como se sabe, no depende de la elección del polo. El poder de los pares de fuerzas disipativas es negativo. El poder de un par de fuerzas no depende del lugar donde se aplica al cuerpo. La potencia de un par de fuerzas de fricción en el rodamiento es negativa, ya que el par de fricción y la velocidad angular de rotación son direcciones opuestas.

La potencia de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido es igual al producto escalar del vector principal R del sistema y la velocidad de cualquier polo del cuerpo, sumado al producto escalar del momento principal M 0 de las fuerzas relativas a este polo y la velocidad angular del cuerpo:

vo+M

Oω

para R = ∑ F yo , METRO O = ∑ r yo × F yo .

5.4. Trabajo y energía potencial.

El trabajo elemental de una fuerza en el sistema de coordenadas seleccionado Oxyz (fijo o en movimiento) es una cantidad infinitesimal igual al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento elemental del punto de aplicación de la fuerza en este sistema:

d′A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | dr | cos(F,dr), (Nm=J)

Aquí d ΄A denota el trabajo infinitesimal realizado por una fuerza en un intervalo de tiempo infinitesimal, d r es el desplazamiento elemental codirigido con la velocidad del punto. La prima indica que d ΄A no siempre es un diferencial completo de alguna función.

Evidentemente, el producto Pdt es igual al trabajo elemental d ΄A:

La potencia multiplicada por un pequeño intervalo de tiempo ∆t es un valor aproximado del trabajo ∆A de la fuerza durante este intervalo, la potencia es aproximadamente igual al trabajo de la fuerza en 1 segundo. El trabajo realizado por una fuerza durante un intervalo de tiempo finito se llama integral definida de potencia en el tiempo:

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt para v = r & = dr / dt .

Para calcular el trabajo usando esta fórmula general, es necesario conocer la potencia en función del tiempo o la fuerza y ​​la velocidad como funciones únicamente del tiempo t. Pero en algunos casos especiales (el caso de la fuerza potencial, el caso de la fuerza de fricción constante con una dirección de movimiento constante), es posible calcular el trabajo sin utilizar las ecuaciones cinemáticas del movimiento del punto de aplicación de la fuerza; basta con conocer sólo la posición inicial y final del punto.

Consideremos el movimiento del punto de aplicación de la fuerza con respecto a dos sistemas de referencia que se mueven uno con respecto al otro. La velocidad del punto en los dos sistemas es diferente, por lo tanto la potencia de la fuerza será diferente. Así, los conceptos de potencia y trabajo se formulan en relación a un sistema de referencia específico, principalmente en relación a ISO o PSO (sistemas de referencia inercial o traslacional).

Definición La fuerza F se llama potencial y su campo de fuerza es

campo de fuerza potencial, si se cumplen dos condiciones:

1) La fuerza satisface una de las siguientes condiciones: la fuerza es constante en magnitud y dirección F = constante o depende únicamente de las coordenadas del punto (los tres o parte) de su aplicación, es decir F = F(x, y, z).

2) El trabajo elemental d ′ A de una fuerza es el diferencial total de alguna función de coordenadas, o la potencia de la fuerza en cualquier momento es igual a la derivada total del tiempo de alguna función Π (x, y, z)

La función P(x,y,z), obtenida transformando la expresión del trabajo elemental, o de la expresión de la potencia, se llama

energía potencial del campo de fuerza potencial en el punto M(x, y, z).

Por tanto, el campo de fuerza vectorial de la fuerza F (x, y, z) está asociado

un campo matemáticamente más simple de una función escalar de tres variables P(x, y, z), ya sea una función de dos variables P(x,y), o una función de una variable P(x)

La energía potencial se puede representar no solo en el sistema de coordenadas cartesiano, sino también en sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos; en general, es función de algunas coordenadas generalizadas.

nat P(q 1, q 2, q 3).

Las superficies definidas por la ecuación P(q 1, q 2, q 3) = C, donde C es un parámetro constante asignado arbitrariamente, se denominan superficies equipotenciales.

Tenga en cuenta que bajo el signo diferencial siempre puede sumar o restar cualquier constante, de modo que la función Π en la fórmula (5.18) se determina hasta una constante. La constante se asigna arbitrariamente, por ejemplo igual a cero, eligiendo así el nivel de referencia de la familia de superficies equipotenciales.

La potencia de la fuerza potencial es igual al producto tomado con un signo menos.

agua en el tiempo a partir de energía potencial P = −Π & . Sustituyamos esta expresión en la integral definida (5.17). Obtenemos una expresión para el trabajo de la fuerza potencial sobre el desplazamiento final del punto de aplicación de la fuerza, realizado durante un período de tiempo finito:

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2.

Por lo tanto, el trabajo de una fuerza potencial cuando se mueve detrás de una

el intervalo desde el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) hasta el punto M 2 (x 2, y 2, z 2) a lo largo de cualquier trayectoria es igual a la pérdida de energía potencial durante este movimiento, es decir, igual a diferente

vínculos de energías potenciales en el primer y segundo punto del campo potencial. El trabajo realizado por una fuerza potencial no depende de la forma de la trayectoria que conecta dos puntos. En particular, el trabajo de una fuerza potencial en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, y el trabajo cuando el punto de aplicación de la fuerza se mueve desde la superficie equipotencial P=C1 a la superficie P=C2 es igual a

constantes sti: A12 = C1 - C2.

Caso especial Como punto inicial M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) tomamos cualquier punto M (x , y , z ) del campo potencial, y como M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) tomamos tome un campo puntual M (x O , y O , z O ), en el que la energía potencial se toma igual a

Obtenemos la siguiente interpretación física. La energía potencial en cualquier punto M del campo potencial es igual al trabajo de la fuerza aplicada cuando se mueve su punto de aplicación desde la posición M a lo largo de cualquier trayectoria suave o no suave a una posición en la que la energía potencial se toma igual a cero, y también es igual al trabajo de fuerza tomado con un signo menos sobre el desplazamiento en la posición M (x,y,z) desde la posición “cero”, en la cual la energía potencial se toma igual a cero.

Ejemplo 1 Encontremos la energía potencial de la gravedad G = − Gk, pro-

dirigido en sentido opuesto al vector unitario k del eje vertical Oz del sistema Oxyz. Usando el método elemental obtenemos:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Usando el método de la potencia obtenemos

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Por tanto, la energía potencial de la gravedad es igual al producto del peso del punto material por la altura de la ubicación del punto M sobre el plano Oxy, satisfaciendo la condición z = 0. Aquí se asigna el plano Oxy.

plano equipotencial cero. La energía potencial de gravedad es negativa en los puntos ubicados debajo del plano Oxy, en z< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh en h = |z 1 –z 2 |.

Este trabajo es proporcional a la diferencia (pérdida) de niveles; es negativo si el primer nivel es inferior al segundo.

Nota. Si el eje Oz está dirigido hacia abajo, obtenemos una fórmula de signo opuesto: P = –Gz.

Ejemplo 2. Energía potencial de la fuerza elástica de un resorte. El campo de fuerza de un resorte horizontal tiene la forma de un eje horizontal Ox. El origen del eje es compatible con el extremo libre del resorte no deformado, x es la deformación por tracción del resorte en x > 0, o la deformación por compresión del resorte en x< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Imaginemos que el resorte se estira muy lentamente por una fuerza externa,

aumentando lentamente desde cero hasta el valor F in = cxi. Suponemos que en cada momento la fuerza elástica del resorte equilibra la fuerza externa.

El valor medio de la fuerza F text en el intervalo es igual a: F cр = cx / 2.

La fuerza elástica del resorte, aunque realiza trabajo negativo para resistir el estiramiento, almacena potencial positivo en el resorte.

energía igual a Π = F x = cx 2 / 2.
Trabajo de la fuerza elástica sobre la deformación.				X 2 − x 1 es igual a A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Obviamente un 12< 0 при x1 < x2 и A 12 >0 para x1 > x2
	3. la gravedad de la tierra			según la ley del cuadrado inverso:
F = γ m m / r2 ,			= − γ m m r / r 3 , donde r es el vector de radio del punto material en

sistema de referencia geocéntrico, γ = 6,672 10–11 (m3 /(kg s2) - gravedad constante

goteny, r / r = e - ort del radio vector del cuerpo (punto material) extraído del centro de la Tierra, m 1 = 6 1024 (kg) - masa de la Tierra, m - masa del cuerpo, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - constante gravitacional geocéntrica. Considerando

identidades r r = r 2 ,

γm1m

γm1m

γm1m

γm1m

re UN = −

r dr = −

dr = re (-

Π(r) = −

Tenga en cuenta que P(r)→0 cuando r →∞, por lo tanto, la energía potencial

en el infinito se toma igual a cero.

"

El trabajo elemental de una fuerza sobre el desplazamiento (figura 3.22) es el producto escalar de una fuerza por el desplazamiento elemental del punto de su aplicación:

donde a es el ángulo entre las direcciones de los vectores y

Porque entonces podemos escribir otra expresión para el trabajo elemental:

Para trabajos elementales, puedes escribir algunas expresiones más:

De las fórmulas del trabajo elemental se deduce que esta cantidad puede ser positiva (el ángulo a es agudo), negativa (el ángulo a es obtuso) o igual a cero (el ángulo a es recto).

Trabajo completo de fuerzas.. Determinar el trabajo total realizado por una fuerza al desplazarse desde un punto. METRO 0 a METRO Dividamos este movimiento en norte desplazamientos, cada uno de los cuales en el límite se vuelve elemental. Entonces el trabajo de la fuerza A:

Dónde dA k- trabajar para k-ésimo movimiento elemental.

La suma escrita es integral y puede ser reemplazada por una integral de línea tomada a lo largo de la curva en el desplazamiento METRO 0 METRO. Entonces

o

donde esta el momento en el tiempo t=0 corresponde a un punto METRO 0 y el momento en el tiempo t- punto METRO.

De la definición de trabajo elemental y completo se desprende:

1) el trabajo de la fuerza resultante sobre cualquier desplazamiento es igual a la suma algebraica del trabajo de las fuerzas componentes sobre este desplazamiento;

2) el trabajo realizado por las fuerzas en un desplazamiento completo es igual a la suma del trabajo realizado por la misma fuerza en los desplazamientos componentes en los que se divide el desplazamiento total de cualquier forma.

Poder de la fuerza. La potencia de una fuerza es el trabajo realizado por unidad de tiempo:

o considerando que

poder poder es una cantidad igual al producto escalar de la fuerza por la velocidad del punto de su aplicación.

Por tanto, a potencia constante, un aumento de la velocidad conduce a una disminución de la fuerza y ​​viceversa. La unidad de potencia es Vatio: 1W=1J/s.

Si se aplica una fuerza a un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo, entonces su potencia es igual a

La potencia de un par de fuerzas se determina de manera similar.

3.3.4.3. Ejemplos de cálculo del trabajo de fuerza.

Trabajo total de fuerza -

Dónde h– la altura a la que ha descendido el punto.

Así, el trabajo realizado por la gravedad es positivo cuando un punto desciende y negativo cuando un punto sube. El trabajo realizado por la gravedad no depende de la forma de la trayectoria entre puntos. METRO 0 y METRO 1 .

Trabajo de fuerza elástica lineal. La fuerza elástica lineal es la fuerza que actúa según la ley de Hooke (figura 3.24):

¿Dónde se traza el vector de radio desde el punto de equilibrio, donde la fuerza es cero, hasta el punto en cuestión? METRO; Con– coeficiente de rigidez constante.

Trabajo realizado por una fuerza al desplazarse desde un punto. METRO 0 al punto METRO 1 está determinado por la fórmula

Realizando la integración obtenemos

(3.27)

Arroz. 3.25

Usando la fórmula (3.27), el trabajo de la fuerza elástica lineal de los resortes se calcula cuando se mueve a lo largo de cualquier camino desde el punto METRO 0, en el que su deformación inicial es igual a exactamente METRO 1, donde la deformación es respectivamente igual a En la nueva notación, la fórmula (3.27) toma la forma

Trabajo realizado por una fuerza aplicada a un cuerpo rígido en rotación.. Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, la velocidad del punto METRO se puede calcular utilizando la fórmula de Euler, ver fig. 3.25:

Luego determinamos el trabajo elemental de fuerza mediante la fórmula

Usando la propiedad del producto cruzado mixto
obtenemos

Porque – momento de fuerza relativo a un punto ACERCA DE. Teniendo en cuenta que – momento de fuerza con respecto al eje de rotación Onz y ω dt=dφ, finalmente obtenemos:

da=M z dφ.

El trabajo elemental de una fuerza aplicada a cualquier punto de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto del momento de fuerza con respecto al eje de rotación y el diferencial del ángulo de rotación del cuerpo.

Trabajo completo:

En el caso especial cuando , el trabajo está determinado por la fórmula

donde j es el ángulo de rotación del cuerpo en el que se calcula el trabajo de fuerza.

Arroz. 3.26

Trabajo de fuerzas internas de un cuerpo rígido.. Demostremos que el trabajo realizado por las fuerzas internas de un cuerpo rígido es cero para cualquier movimiento. Basta demostrar que la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas internas es igual a cero. Considere dos puntos cualesquiera del cuerpo. METRO 1 y METRO 2 (figura 3.26). Dado que las fuerzas internas son fuerzas de interacción entre puntos del cuerpo, entonces:

Introduzcamos un vector unitario dirigido a lo largo de la fuerza. Entonces

La suma de los trabajos elementales de fuerzas y es igual a

Desarrollando los productos escalares de los vectores entre paréntesis, obtenemos

Dado que en cinemática se ha demostrado que las proyecciones de las velocidades de dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido en la dirección de la línea recta que conecta estos puntos son iguales entre sí para cualquier movimiento del cuerpo rígido, entonces, en la expresión resultante, La diferencia de valores idénticos está entre paréntesis, es decir. valor igual a cero.

3.3.4.4. Teorema sobre el cambio de energía cinética de un punto.

Para un punto material con masa metro, moviéndose bajo la influencia de una fuerza, la ley básica de la dinámica se puede representar como

Multiplicando ambos lados de esta relación escalarmente por el diferencial del vector radio del punto tenemos

o

Teniendo en cuenta que – trabajo de fuerza elemental,

(3.28)

La fórmula (3.28) expresa el teorema sobre el cambio de energía cinética de un punto en forma diferencial.

El diferencial de energía cinética de un punto es igual al trabajo elemental de la fuerza que actúa sobre el punto.

Si ambos lados de la igualdad (3.28) se integran desde el punto METRO 0 al punto METRO(ver Fig. 3.22), obtenemos un teorema sobre el cambio en la energía cinética de un punto en su forma final:

El cambio en la energía cinética de un punto en cualquier desplazamiento es igual al trabajo de la fuerza que actúa sobre el punto en el mismo desplazamiento.

3.4.4.5. Teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema.

Para cada punto del sistema, el teorema sobre el cambio de energía cinética se puede expresar en la forma:

Sumando las partes derecha e izquierda de estas relaciones sobre todos los puntos del sistema y moviendo el signo diferencial más allá del signo de la suma, obtenemos:

o

Dónde – energía cinética del sistema; – trabajo elemental de fuerzas externas e internas, respectivamente.

La fórmula (3.29) expresa el teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema en forma diferencial.

El diferencial de la energía cinética del sistema es igual a la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre el sistema.

Si ambos lados de (3.29) están integrados entre dos posiciones del sistema, inicial y final, en las que la energía cinética es igual a t 0 y t, entonces, cambiando el orden de suma e integración, tenemos:

o

Dónde – trabajo de fuerza externa para un punto del sistema mk cuando se mueve desde la posición inicial a la posición final mk; – trabajo de la fuerza interna que actúa sobre un punto mk.

La fórmula (3.30) expresa el teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema en forma finita o integral.

El cambio en la energía cinética de un sistema cuando se mueve de una posición a otra es igual a la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre el sistema en los movimientos correspondientes de los puntos del sistema durante el mismo movimiento de el sistema.

El trabajo de fuerzas se calcula mediante las fórmulas obtenidas en los artículos 87 y 88. Consideremos además los siguientes casos.

1. El trabajo de las fuerzas de gravedad que actúan sobre el sistema. El trabajo de la gravedad que actúa sobre una partícula con peso será igual a dónde están las coordenadas que determinan las posiciones inicial y final de la partícula (ver § 88). Luego, teniendo en cuenta que (ver § 32), encontramos para la suma del trabajo de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre el sistema, el valor

Este resultado también se puede representar en la forma

donde P es el peso del sistema, es el movimiento vertical del centro de masa (o centro de gravedad). En consecuencia, el trabajo de las fuerzas de gravedad que actúan sobre el sistema se calcula como el trabajo de su vector principal (en el caso de un cuerpo rígido, el resultante) P sobre el desplazamiento del centro de masa del sistema (o el centro de gravedad). del cuerpo).

2. Trabajo de fuerzas aplicadas a un cuerpo en rotación. El trabajo elemental de la fuerza F aplicada al cuerpo (Fig.307) será igual a (ver § 87)

ya que , donde es el ángulo elemental de rotación del cuerpo.

Pero, como es fácil de ver,

A esta cantidad la llamaremos par. Entonces obtenemos

En consecuencia, en el caso considerado, el trabajo elemental es igual al producto del par por el ángulo de rotación elemental. La fórmula (46) también es válida bajo la acción de varias fuerzas, si asumimos

Al girar hasta el ángulo final, trabaje

y en el caso de un momento constante

Si un par de fuerzas que se encuentran en un plano perpendicular al eje Oz actúan sobre un cuerpo, entonces en las fórmulas (46)-(47) obviamente significará el momento de este par.

Indiquemos también cómo se determina el poder en este caso (ver § 87). Usando la igualdad (46), encontramos

En consecuencia, cuando actúan fuerzas sobre un cuerpo en rotación, la potencia es igual al producto del par por la velocidad angular del cuerpo. A la misma potencia, cuanto mayor es el par, menor es la velocidad angular.

3. El trabajo de las fuerzas de fricción que actúan sobre un cuerpo rodante. Una rueda de radio R (Fig. 308), que rueda a lo largo de un determinado plano (superficie) sin deslizarse, recibe la acción de una fuerza de fricción aplicada en el punto B, que evita que el punto se deslice a lo largo del plano. El trabajo elemental de esta fuerza. Pero el punto B en este caso coincide con el centro instantáneo de velocidades (ver § 56) y

Desde entonces para cada movimiento elemental.

En consecuencia, al rodar sin deslizarse, el trabajo realizado por la fuerza de fricción que impide el deslizamiento durante cualquier movimiento del cuerpo es cero. Por la misma razón, en este caso el trabajo de la reacción normal N también es cero, si consideramos que los cuerpos no son deformables debido a la fuerza N aplicada en el punto B (como en la Fig. 308, a).

Consideremos fórmulas para determinar el trabajo y la potencia de una fuerza aplicada en cualquier punto de un cuerpo rígido que sufre un movimiento de traslación o rotación.

1. Trabajo y potencia de una fuerza aplicada a un cuerpo rígido sometido a movimiento de traslación.

Consideremos un cuerpo rígido que sufre un movimiento de traslación con respecto a un sistema de referencia inercial bajo la influencia de una fuerza aplicada en un punto arbitrario (Fig. 24).

En el caso del movimiento de traslación de un cuerpo rígido, todos sus puntos se mueven con velocidades iguales en magnitud y dirección. Denotemos la velocidad del cuerpo.

Usando la fórmula (4.31), obtenemos

donde es el diferencial del vector radio de un punto arbitrario de un cuerpo rígido.

Arroz. 24. Movimiento de traslación de un cuerpo rígido bajo la influencia de una fuerza.

Dividiendo (4.49) por dt, obtenemos una expresión para determinar la potencia de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento de traslación:

¿Dónde está el ángulo entre los vectores fuerza-velocidad?

Es decir, la potencia de una fuerza durante el movimiento de traslación de un cuerpo rígido se define como el producto escalar del vector fuerza y ​​el vector velocidad del cuerpo rígido.

Integrando (4.49) sobre cualquier desplazamiento finito del punto METRO desde la posición inicial METRO 0 a la posición METRO 1, obtenemos el trabajo total realizado por la fuerza que actúa sobre el cuerpo en este desplazamiento

2. Trabajo y potencia de una fuerza aplicada a un cuerpo rígido sometido a un movimiento de rotación.

Considere la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje vertical fijo. Onz bajo la influencia de una fuerza aplicada en un punto arbitrario de este cuerpo METRO(Figura 25).

Arroz. 25. Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Posición del punto METRO en ejes Oxyz determinado por el vector de radio. Velocidad puntual METRO dirigido tangencialmente a la trayectoria del movimiento (círculo con centro en el eje de rotación). El vector de esta velocidad se puede determinar utilizando la fórmula vectorial de Euler, conocida del curso de cinemática de cuerpos rígidos.

¿Dónde está el vector de la velocidad angular de rotación de un cuerpo rígido?

Usando la fórmula (4.32), obtenemos

Cambiando los factores en el producto vectorial mixto en orden circular, obtenemos

¿Dónde está el vector momento de fuerza con respecto al centro? oh.

El ángulo entre los vectores de par y velocidad angular.

Teniendo en cuenta que:

1.- momento de fuerza, relativo al eje de rotación Onz.

2. y por lo tanto

finalmente lo conseguiremos

De este modo, el trabajo elemental de una fuerza aplicada en cualquier punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto del momento de esta fuerza con respecto al eje de rotación y el diferencial del ángulo de rotación del cuerpo.

Para determinar el trabajo total realizado por una fuerza al girar un cuerpo en un ángulo φ, integrando la expresión (4.53), obtenemos

En el caso de que el trabajo total se pueda determinar mediante la fórmula

donde φ es el ángulo de rotación del cuerpo en el que se determina el trabajo de la fuerza.

Si la dirección del momento y la velocidad angular coinciden, entonces el trabajo realizado por la fuerza se considera positivo; en caso contrario, negativo.

Determinemos la potencia de la fuerza cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje. Usando la fórmula (4.40), obtenemos

Eso es la potencia de la fuerza aplicada a un cuerpo sólido en rotación se define como el producto del momento de la fuerza con respecto al eje de rotación y la velocidad angular del cuerpo . El signo del poder se determina de manera similar al signo del trabajo.

Teorema: el trabajo realizado por la gravedad no depende del tipo de trayectoria y es igual al producto del módulo de fuerza por el desplazamiento vertical del punto de su aplicación .

Deja que el material apunte METRO se mueve bajo la influencia de la gravedad GRAMO y durante un cierto período de tiempo se mueve desde la posición m 1 posicionar m2 haber recorrido el camino s (Figura 4).
En la trayectoria de un punto. METRO seleccione un área infinitesimal ds , que se puede considerar rectilíneo, y desde sus extremos trazamos líneas rectas paralelas a los ejes coordenados, una de las cuales es vertical y la otra horizontal.
Del triángulo sombreado obtenemos que

dy = ds cos α.

Trabajo elemental de fuerza. GRAMO en una forma ds es igual a:

dW = F ds cos α.

Trabajo total realizado por la gravedad. GRAMO en una forma s igual a

W = ∫ Gds porque α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Entonces, el trabajo realizado por la gravedad es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento vertical del punto de su aplicación:

El teorema ha sido demostrado.

Un ejemplo de resolución del problema de determinar el trabajo de la gravedad.

Tarea: Matriz rectangular homogénea A B C D masa metro = 4080 kilogramos tiene las dimensiones indicadas en arroz. 5.
Determine el trabajo requerido para inclinar la matriz alrededor de un borde. D .

Solución.
Obviamente, el trabajo requerido será igual al trabajo de resistencia realizado por la fuerza de gravedad del conjunto, mientras que el movimiento vertical del centro de gravedad del conjunto al volcar sobre un borde D es el camino que determina la cantidad de trabajo realizado por la gravedad.

Primero, determinemos la gravedad de la matriz: G = mg = 4080×9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Para determinar el movimiento vertical. h centro de gravedad de una matriz rectangular homogénea (está ubicada en el punto de intersección de las diagonales del rectángulo), utilizamos el teorema de Pitágoras, en base al cual:

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 m.

Basándonos en el teorema del trabajo de la gravedad, determinamos el trabajo necesario para volcar el macizo:

W = G × KO 1 = 40.000×1 = 40.000 J = 40 kJ.

El problema esta resuelto.

Trabajo realizado por una fuerza constante aplicada a un cuerpo en rotación.

Imaginemos un disco que gira alrededor de un eje fijo bajo la influencia de una fuerza constante. F (Figura 6), cuyo punto de aplicación se mueve con el disco. Rompamos el poder F en tres componentes mutuamente perpendiculares: F 1 – fuerza circunferencial, F 2 - fuerza axial, F 3 – fuerza radial.

Al girar el disco en un ángulo infinitesimal dφ fuerza F realizará un trabajo elemental que, según el teorema del trabajo resultante, será igual a la suma del trabajo de los componentes.

Es obvio que el trabajo de los componentes. F 2 Y F 3 será igual a cero, ya que los vectores de estas fuerzas son perpendiculares al desplazamiento infinitesimal ds puntos de aplicación METRO , por lo tanto el trabajo elemental de fuerza F igual al trabajo de su componente F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Al girar el disco hasta su ángulo final φ trabajo de fuerza F igual a

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

donde esta el angulo φ expresado en radianes.

Desde los momentos de los componentes. F 2 Y F 3 relativo al eje z son iguales a cero, entonces, según el teorema de Varignon, el momento de fuerza F relativo al eje z igual a:

M z (F) = F 1 R.

El momento de fuerza aplicado al disco con respecto al eje de rotación se llama par y, según la norma YO ASI, denotado por la letra t :

T = M z (F), por eso, W = Tφ .

El trabajo realizado por una fuerza constante aplicada a un cuerpo en rotación es igual al producto del par por el desplazamiento angular.

Ejemplo de solución de problema

Tarea: un trabajador gira la manija del cabrestante con fuerza F = 200 norte, perpendicular al radio de rotación.
Encuentra trabajo dedicado durante el tiempo. t = 25 segundos, si la longitud del mango r = 0,4 metros, y su velocidad angular ω = π/3 rad/s.

Solución.
Primero que nada, determinemos el desplazamiento angular. φ manijas del cabrestante para 25 segundos:

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Fuerza

El trabajo realizado por cualquier fuerza se puede realizar en diferentes períodos de tiempo, es decir, a diferentes velocidades. Para caracterizar la rapidez con la que se realiza el trabajo, en mecánica existe un concepto. fuerza , que generalmente se denota con la letra PAG .