Dado que la masa de un punto es constante y su aceleración, la ecuación que expresa la ley básica de la dinámica se puede representar en la forma

La ecuación expresa simultáneamente el teorema sobre el cambio en el momento de un punto en forma diferencial: derivada del tiempo del impulso del punto es igual a suma geométrica Fuerzas que actúan sobre un punto.

Integramos esta ecuación. Deja que la masa apunte metro, moviéndose bajo la influencia de la fuerza (Fig. 15), tiene en este momento t=0 velocidad, y en este momento t 1 velocidad.

Fig.15

Luego multiplicamos ambos lados de la igualdad por y les tomamos integrales definidas. En este caso, a la derecha, donde la integración ocurre en el tiempo, los límites de las integrales serán 0 y t 1, y a la izquierda, donde se integra la velocidad, los límites de la integral serán los valores correspondientes de velocidad y . Como la integral de es igual a , entonces como resultado obtenemos:

.

Las integrales de la derecha representan los impulsos de las fuerzas actuantes. Por tanto, finalmente tendremos:

.

La ecuación expresa el teorema sobre el cambio en el momento de un punto en su forma final: el cambio en el impulso de un punto durante un cierto período de tiempo es igual a la suma geométrica de los impulsos de todas las fuerzas que actúan sobre el punto durante el mismo período de tiempo ( arroz. 15).

Al resolver problemas, a menudo se utilizan ecuaciones en proyecciones en lugar de ecuaciones vectoriales.

En el caso de un movimiento rectilíneo que se produce a lo largo del eje Oh el teorema se expresa mediante la primera de estas ecuaciones.

Preguntas de autoevaluación

Formular las leyes básicas de la mecánica.

¿Qué ecuación se llama ecuación fundamental de la dinámica?

¿Cuál es la medida de la inercia de los cuerpos sólidos durante el movimiento de traslación?

¿El peso de un cuerpo depende de su ubicación en la Tierra?

¿Qué sistema de referencia se llama inercial?

¿A qué cuerpo se aplica la fuerza de inercia de un punto material y cuáles son su módulo y dirección?

¿Explica la diferencia entre los conceptos de “inercia” y “fuerza de inercia”?

¿A qué cuerpos se aplica la fuerza de inercia, cómo se dirige y mediante qué fórmula se puede calcular?

¿Cuál es el principio de la cinetostática?

¿Cuáles son los módulos y direcciones de las fuerzas de inercia tangenciales y normales de un punto material?

¿Cómo se llama el peso corporal? ¿Cuál es la unidad de masa del SI?

¿Cuál es la medida de la inercia de un cuerpo?

¿Escribir la ley básica de la dinámica en forma vectorial y diferencial?

En punto material hay una fuerza constante actuando. ¿Cómo se mueve el punto?

¿Qué aceleración recibirá un punto si sobre él actúa una fuerza igual al doble de la fuerza de gravedad?

Después de la colisión de dos puntos materiales con masas. metro 1 = 6 kg y metro 2 = 24 kg el primer punto recibió una aceleración de 1,6 m/s. ¿Cuál es la aceleración que recibe el segundo punto?

¿En qué movimiento de un punto material su fuerza de inercia tangencial es igual a cero y en qué movimiento es normal?

¿Qué fórmulas se utilizan para calcular los módulos de las fuerzas de inercia rotacional y centrífuga de un punto perteneciente a cuerpo solido, girando alrededor eje fijo?

¿Cómo se formula la ley básica de la dinámica puntual?

Dar la formulación de la ley de independencia de la acción de las fuerzas.

Escríbelo ecuaciones diferenciales movimiento de un punto material en forma vectorial y de coordenadas.

Formule la esencia del primer y segundo problema principal de la dinámica puntual.

Indique las condiciones a partir de las cuales se determinan las constantes de integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material.

¿Qué ecuaciones de dinámica se llaman ecuaciones naturales de movimiento de un punto material?

¿Cuáles son los dos problemas principales de la dinámica puntual que se resuelven utilizando movimientos diferenciales de un punto material?

Ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material libre.

¿Cómo se determinan las constantes al integrar ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material?

Determinación de los valores de constantes arbitrarias que aparecen al integrar ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material.

cuales son las leyes caida libre¿cuerpos?

¿Según qué leyes se producen los movimientos horizontales y verticales de un cuerpo lanzado en ángulo con el horizonte en el espacio? ¿Cuál es la trayectoria de su movimiento y en qué ángulo tiene el cuerpo el mayor alcance de vuelo?

¿Cómo calcular el impulso de una fuerza variable durante un período de tiempo finito?

¿Cómo se llama el impulso de un punto material?

como expresar trabajo basico fuerza a través de la trayectoria elemental del punto de aplicación de la fuerza y ​​cómo, ¿a través del incremento de la coordenada del arco de este punto?

¿A qué desplazamientos el trabajo de la gravedad es: a) positivo, b) negativo, c) cero?

¿Cómo calcular la potencia de una fuerza aplicada a un punto material que gira alrededor de un eje fijo con velocidad angular?

Formule un teorema sobre el cambio de impulso de un punto material.

¿En qué condiciones no cambia el impulso de un punto material? ¿En qué condiciones no cambia su proyección sobre un determinado eje?

Dar la formulación del teorema del cambio. energía cinética punto material en forma diferencial y finita.

¿Cómo se llama el momento angular de un punto material con respecto a: a) el centro, b) el eje?

¿Cómo se formula el teorema sobre el cambio en el momento angular de un punto con respecto al centro y con respecto al eje?

¿En qué condiciones el momento angular de un punto con respecto al eje permanece sin cambios?

¿Cómo se determina el momento angular de un punto material con respecto al centro y con respecto al eje? Cual es la relacion entre ellos?

¿En qué ubicación del vector momento de un punto material su momento relativo al eje es igual a cero?

¿Por qué la trayectoria de un punto material que se mueve bajo la influencia de una fuerza central se encuentra en el mismo plano?

¿Qué movimiento de un punto se llama rectilíneo? Escriba la ecuación diferencial para el movimiento rectilíneo de un punto material.

Escriba las ecuaciones diferenciales del movimiento plano de un punto material.

¿Qué movimiento de un punto material se describe mediante las ecuaciones diferenciales de Lagrange del primer tipo?

¿En qué casos un punto material se llama no libre y cuáles son las ecuaciones diferenciales de movimiento de este punto?

Dar definiciones de conexiones estacionarias y no estacionarias, holonómicas y no holonómicas.

¿Qué tipo de conexiones se llaman bilaterales? ¿Unilateral?

¿Cuál es la esencia del principio de liberación de ataduras?

¿Qué forma tienen las ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material no libre en forma de Lagrange? ¿Cómo se llama multiplicador de Lagrange?

Dé la formulación del teorema dinámico de Coriolis.

¿Cuál es la esencia del principio de relatividad de Galileo-Newton?

Nombra los movimientos en los que la fuerza de inercia de Coriolis es cero.

¿Qué módulo y en qué dirección tienen las fuerzas de transferencia y de inercia de Coriolis?

¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones diferenciales de movimiento relativo y absoluto de un punto material?

¿Cómo se determinan las fuerzas de transferencia y de inercia de Coriolis en diversos casos de movimiento de transferencia?

¿Cuál es la esencia del principio de relatividad de la mecánica clásica?

¿Qué sistemas de referencia se llaman inerciales?

¿Cuál es la condición para el reposo relativo de un punto material?

¿En qué puntos superficie de la Tierra¿Tiene la gravedad los valores mayor y menor?

¿Qué explica la desviación de los cuerpos que caen hacia el este?

¿En qué dirección se desvía un cuerpo lanzado verticalmente?

Se baja un cucharón al eje con aceleración. A=4m/s2. Gravedad del cucharón GRAMO=2kN. ¿Determine la fuerza de tensión de la cuerda que sostiene la tina?

Dos puntos materiales se mueven en línea recta con rapidez constante de 10 y 100 m/s. ¿Podemos decir que se aplican sistemas de fuerzas equivalentes a estos puntos?

1) es imposible;

Se aplican fuerzas iguales a dos puntos materiales de masa 5 y 15 kg. ¿Comparar los valores numéricos de la aceleración de estos puntos?

1) las aceleraciones son las mismas;

2) la aceleración de un punto con una masa de 15 kg es tres veces menor que la aceleración de un punto con una masa de 5 kg.

¿Se pueden resolver los problemas de dinámica utilizando ecuaciones de equilibrio?

La cantidad de movimiento de un punto material. llamada cantidad vectorial mV, igual al producto de la masa de un punto por su vector velocidad. Vector mV aplicado a un punto en movimiento.

La cantidad de movimiento del sistema. llamada cantidad vectorial q, igual a la suma geométrica (vector principal) de las cantidades de movimiento de todos los puntos del sistema:

Vector q es un vector libre. En el sistema de unidades SI, el módulo de momento se mide en kg m/s o N s.

Como regla general, las velocidades de todos los puntos del sistema son diferentes (ver, por ejemplo, la distribución de velocidades de los puntos de una rueda en movimiento, que se muestra en la figura 6.21) y, por lo tanto, la suma directa de vectores en el lado derecho de la igualdad (17.2) es difícil. Encontremos una fórmula con la ayuda de la cual la cantidad q mucho más fácil de calcular. De la igualdad (16.4) se deduce que

Tomando la derivada temporal de ambos lados, obtenemos Por tanto, teniendo en cuenta la igualdad (17.2), encontramos que

es decir, el momento del sistema es igual al producto de la masa de todo el sistema por la velocidad de su centro de masa.

Tenga en cuenta que el vector P, como el principal vector de fuerzas en estática, es algún vector generalizado característico del movimiento de todo el sistema mecánico. En el caso general del movimiento de un sistema, su momento es q Puede considerarse como una característica de la parte traslacional del movimiento del sistema junto con su centro de masa. Si, cuando el sistema (cuerpo) se mueve, el centro de masa está estacionario, entonces la cantidad de movimiento del sistema será igual a cero. Éste es, por ejemplo, el impulso de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa.

Ejemplo. Determine la cantidad de movimiento del sistema mecánico (Fig. 17.1, A), compuesto por carga A masa t un - 2 kg, bloque homogéneo EN peso 1 kg y ruedas D masa metro re - 4 kg. Carga A se mueve a velocidad VA- 2 m/s, rueda D Rueda sin deslizarse, el hilo es inextensible y ingrávido. Solución. Cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos.

Cuerpo A avanza y Q A = m A V A(numéricamente Preguntas y respuestas= 4 kg m/s, dirección del vector Preguntas y respuestas coincide con la dirección V A). Bloquear EN realiza un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa; por eso, QB- 0. Rueda D hace un plano paralelo

movimiento; su centro de velocidad instantánea está en el punto A, por lo tanto la velocidad de su centro de masa (punto MI) igual a V E = V A /2= 1m/s. Cantidad de movimiento de la rueda Q D - m D V E - 4 kg m/s; vector QD dirigido horizontalmente hacia la izquierda.

Representando los vectores Preguntas y respuestas Y QD en la Fig. 17.1, b, encuentra la cantidad de movimiento q sistemas según la fórmula (a). Teniendo en cuenta las direcciones y valores numéricos de las cantidades, obtenemos Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, dirección del vector q mostrado en la Fig. 17.1, b.

Teniendo en cuenta que -dV/dt, La ecuación (13.4) de la ley básica de la dinámica se puede representar como

La ecuación (17.4) expresa el teorema sobre el cambio en el momento de un punto en forma diferencial: en cada instante de tiempo, la derivada temporal del momento de un punto es igual a la fuerza que actúa sobre el punto. (Esencialmente, esta es otra formulación de la ley fundamental de la dinámica, cercana a la dada por Newton). Si varias fuerzas actúan sobre un punto, entonces en el lado derecho de la igualdad (17.4) habrá una resultante de las fuerzas aplicadas. al punto material.

Si ambos lados de la igualdad se multiplican por dt, entonces obtenemos

La cantidad vectorial del lado derecho de esta igualdad caracteriza la acción ejercida sobre el cuerpo por una fuerza en un período de tiempo elemental. dt este valor se denota dS y llama elemental impulso de fuerza, es decir.

Legumbres S fortaleza F durante un período de tiempo finito /, - / 0 se define como el límite de la suma integral de los impulsos elementales correspondientes, es decir,

En el caso especial, si la fuerza F es constante en magnitud y dirección, entonces S = F(t| -/ 0) y S-F(tl-/ 0). En general, la magnitud del impulso de fuerza se puede calcular a partir de sus proyecciones sobre ejes de coordenadas:

Ahora, integrando ambos lados de la igualdad (17.5) con t= constante, obtenemos

La ecuación (17.9) expresa el teorema sobre el cambio de momento de un punto en forma finita (integral): el cambio en el impulso de un punto durante un cierto período de tiempo es igual al impulso de la fuerza que actúa sobre el punto (o el impulso de la resultante de todas las fuerzas que se le aplican) durante el mismo período de tiempo.

Al resolver problemas, utilice las ecuaciones de este teorema en proyecciones sobre los ejes de coordenadas.

Consideremos ahora un sistema mecánico que consta de PAG puntos materiales. Luego, para cada punto podemos aplicar el teorema sobre el cambio de momento en la forma (17.4), teniendo en cuenta las fuerzas externas e internas aplicadas a los puntos:

Sumando estas igualdades y teniendo en cuenta que la suma de las derivadas es igual a la derivada de la suma, obtenemos

Dado que por la naturaleza de las fuerzas internas. HFk=0 y por definición de impulso ^fn kV/ c = q, entonces finalmente encontramos

La ecuación (17.11) expresa el teorema sobre el cambio de momento del sistema en forma diferencial: en cada momento, la derivada temporal del impulso del sistema es igual a la suma geométrica de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Proyectando la igualdad (17.11) sobre los ejes de coordenadas, obtenemos

Multiplicando ambos lados (17.11) por dt e integrando obtenemos

donde 0, P 0 - la cantidad de movimiento del sistema en momentos de tiempo respectivamente y / 0.

La ecuación (17.13) expresa el teorema sobre el cambio de momento del sistema en forma integral: el cambio en el impulso del sistema en cualquier tiempo es igual a la suma de los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema durante el mismo tiempo.

En proyecciones sobre los ejes de coordenadas obtenemos

Del teorema sobre el cambio en el momento de un sistema se pueden obtener las siguientes consecuencias importantes, que expresan Ley de conservación del momento de un sistema.

• 1. Si la suma geométrica de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es cero (LF k=0), entonces de la ecuación (17.11) se deduce que en este caso q= constante, es decir, el vector de impulso del sistema será constante en magnitud y dirección.
• 2. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son tales que la suma de sus proyecciones sobre cualquier eje es cero (por ejemplo, yo e kx = 0), entonces de las ecuaciones (17.12) se deduce que en este caso Q x = constante, es decir, la proyección del impulso del sistema sobre este eje permanece sin cambios.

Tenga en cuenta que las fuerzas internas del sistema no participan en la ecuación del teorema sobre el cambio en el momento del sistema. Estas fuerzas, aunque influyen en el impulso de puntos individuales del sistema, no pueden cambiar el impulso del sistema en su conjunto. Teniendo en cuenta esta circunstancia, a la hora de resolver problemas, es recomendable elegir el sistema considerado de tal forma que las fuerzas desconocidas (todas o parte de ellas) se hagan internas.

Es conveniente aplicar la ley de conservación del impulso en los casos en que, al cambiar la velocidad de una parte del sistema, es necesario determinar la velocidad de su otra parte.

Problema 17.1. A pesaje de carro tx- 12 kg moviéndose a lo largo de un plano horizontal liso en un punto A se fija una varilla ingrávida mediante una bisagra cilíndrica ANUNCIO longitud /= 0,6 m con carga D masa t2- 6 kg al final (Fig. 17.2). En el momento / 0 = 0, cuando la velocidad del carro Y () - 0,5 m/s, varilla ANUNCIO comienza a girar alrededor de un eje A, perpendicular al plano de dibujo, según la ley f = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-en segundos). Definir: u=f.

§ 17.3. Teorema sobre el movimiento del centro de masa.

El teorema sobre el cambio en el momento de un sistema mecánico se puede expresar de otra forma, llamada teorema sobre el movimiento del centro de masa.

Sustituyendo en la ecuación (17.11) la igualdad Q = VM C, obtenemos

si la masa METRO el sistema es constante, obtenemos

Dónde y con - aceleración del centro de masa del sistema.

La ecuación (17.15) expresa el teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema: el producto de la masa de un sistema por la aceleración de su centro de masa es igual a la suma geométrica de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Proyectando la igualdad (17.15) sobre los ejes de coordenadas, obtenemos

Dónde xc, yc, zc- coordenadas del centro de masa del sistema.

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales de movimiento del centro de masa en proyecciones sobre los ejes del sistema de coordenadas cartesiano.

Analicemos los resultados obtenidos. Primero recordemos que el centro de masa de un sistema es un punto geométrico, a veces ubicado fuera de los límites geométricos del cuerpo. Las fuerzas que actúan sobre el sistema mecánico (externas e internas) se aplican a todos los puntos materiales del sistema. Las ecuaciones (17.15) permiten determinar el movimiento del centro de masa del sistema sin determinar el movimiento de sus puntos individuales. Comparando las ecuaciones (17.15) del teorema sobre el movimiento del centro de masa y las ecuaciones (13.5) de la segunda ley de Newton para un punto material, llegamos a la conclusión: El centro de masa de un sistema mecánico se mueve como un punto material, cuya masa es igual a la masa de todo el sistema, y ​​como si todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se aplicaran a este punto. Así, las soluciones que obtenemos al considerar cuerpo dado como punto material, determinan la ley de movimiento del centro de masa de este cuerpo.

En particular, si un cuerpo se mueve traslacionalmente, entonces las características cinemáticas de todos los puntos del cuerpo y su centro de masa son las mismas. Es por eso un cuerpo en movimiento traslacional siempre puede considerarse como un punto material con una masa igual a la masa de todo el cuerpo.

Como puede verse en (17.15), las fuerzas internas que actúan sobre los puntos del sistema no afectan el movimiento del centro de masa del sistema. Las fuerzas internas pueden influir en el movimiento del centro de masa en los casos en que las fuerzas externas cambian bajo su influencia. A continuación se darán ejemplos de esto.

Del teorema sobre el movimiento del centro de masa se pueden obtener las siguientes consecuencias importantes, que expresan la ley de conservación del movimiento del centro de masa del sistema.

1. Si la suma geométrica de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es cero (LF k=0), entonces de la ecuación (17.15) se deduce,

¿Qué pasa con esto? a c = 0 o V c = constante, es decir, el centro de masa de este sistema

se mueve con una velocidad constante en magnitud y dirección (en otras palabras, de manera uniforme y rectilínea). En un caso particular, si al principio el centro de masa estaba en reposo ( vc=0), entonces permanecerá en reposo; dónde

pista Sabes que su posición en el espacio no cambiará, es decir. rc = constante

2. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son tales que la suma de sus proyecciones sobre algún eje (por ejemplo, el eje X) igual a cero (?F y kx= 0), entonces de la ecuación (17.16) se deduce que en este caso xs=0 o V Cx =x c = const, es decir la proyección de la velocidad del centro de masa del sistema sobre este eje es un valor constante. En el caso especial, si en el momento inicial Vejar= 0, entonces en cualquier momento posterior este valor seguirá siendo el mismo, y se deduce que la coordenada xs el centro de masa del sistema no cambiará, es decir xc- constante

Consideremos ejemplos que ilustran la ley del movimiento del centro de masa.

Ejemplos. 1. Como se señaló, el movimiento del centro de masa depende únicamente de fuerzas externas; las fuerzas internas no pueden cambiar la posición del centro de masa. Pero las fuerzas internas del sistema pueden provocar influencias externas. Así, el movimiento de una persona sobre una superficie horizontal se produce bajo la influencia de fuerzas de fricción entre las suelas de sus zapatos y la superficie de la carretera. Con la fuerza de sus músculos (fuerzas internas), una persona empuja la superficie de la carretera con los pies, por lo que surge una fuerza de fricción (externa a la persona) en los puntos de contacto con la carretera, dirigida en la dirección de su movimiento.

• 2. El coche se mueve de forma similar. Las fuerzas de presión interna en su motor obligan a las ruedas a girar, pero como estas últimas tienen tracción con la carretera, las fuerzas de fricción resultantes "empujan" el automóvil hacia adelante (como resultado, las ruedas no giran, sino que se mueven en un plano paralelo). . Si la carretera es absolutamente plana, entonces el centro de masa del automóvil estará estacionario (con velocidad inicial cero) y las ruedas, en ausencia de fricción, patinarán, es decir, realizarán un movimiento de rotación.
• 3. El movimiento con ayuda de hélice, hélice o remos se produce debido al rechazo de una determinada masa de aire (o agua). Si consideramos la masa lanzada y el cuerpo en movimiento como un solo sistema, entonces las fuerzas de interacción entre ellos, como internas, no pueden cambiar la cantidad total de movimiento de este sistema. Sin embargo, cada parte de este sistema moverá, por ejemplo, la embarcación hacia adelante y el agua que los remos arrojan hacia atrás.
• 4. En el espacio sin aire, cuando un cohete se mueve, la "masa arrojada" debe "llevarse consigo": el motor a reacción imparte movimiento al cohete arrojando hacia atrás los productos de combustión del combustible con el que está lleno el cohete.
• 5. Al descender en paracaídas, puedes controlar el movimiento del centro de masa del sistema hombre-paracaídas. Si, mediante esfuerzos musculares, una persona aprieta las líneas del paracaídas de modo que cambie la forma de su cúpula o el ángulo de ataque del flujo de aire, esto provocará un cambio en la influencia externa del flujo de aire y, por lo tanto, influirá en el movimiento. de todo el sistema.

Problema 17.2. EN El problema 17.1 (ver Fig. 17.2) determina: 1) ley del movimiento del carro X (= /)(/), si se sabe que en el momento inicial del tiempo t 0 = O el sistema estaba en reposo y la coordenada x 10 = 0; 2) la ley del cambio en el tiempo del valor total de la reacción normal norte(norte = norte" + norte") plano horizontal, es decir N=f2(t).

Solución. Aquí, como en el problema 17.1, consideramos un sistema que consta de un carro y una carga. D, en una posición arbitraria bajo la influencia de fuerzas externas que se le aplican (ver Fig. 17.2). Ejes de coordenadas Ohhh dibújelo de modo que el eje x sea horizontal y el eje en pasó por el punto Un 0, es decir, la ubicación del punto A en un momento dado tt 0 - 0.

1. Determinación de la ley de movimiento del carro. Para determinar x, = /,(0, usamos el teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema. Creemos una ecuación diferencial de su movimiento en proyección sobre el eje x:

Como todas las fuerzas externas son verticales, entonces T,F y kx = 0, y por lo tanto

Integrando esta ecuación encontramos que Mx s = B, es decir, la proyección de la velocidad del centro de masa del sistema sobre el eje x es un valor constante. Desde el momento inicial del tiempo

Integrando la ecuación. mx= 0, obtenemos

es decir coordinar xs el centro de masa del sistema es constante.

Escribamos la expresión. mx para una posición arbitraria del sistema (ver Fig. 17.2), teniendo en cuenta que xA-x { , x D - x 2 Y x 2 - x ( - I pecado f. De acuerdo con la fórmula (16.5), que determina la coordenada del centro de masa del sistema, en este caso Mx s - t ( x ( + 2 x 2".

por un momento arbitrario en el tiempo

por el momento de tiempo / () = 0, X (= 0 y

De acuerdo con la igualdad (b), la coordenada xs el centro de masa de todo el sistema permanece sin cambios, es decir xD^,) = xc(t). En consecuencia, igualando las expresiones (c) y (d), obtenemos la dependencia de la coordenada x con el tiempo.

Respuesta: X - 0,2 m, donde t- en segundos.

2. Definición de reacción NORTE. Para determinar norte=f 2 (t) compongamos una ecuación diferencial de movimiento del centro de masa del sistema en proyección sobre el eje vertical en(ver figura 17.2):

Por lo tanto, denotando N=N+N", obtenemos

Según la fórmula que determina la ordenada. y s centro de masa del sistema, mus = t ( yx + t 2 y 2, donde y, = en C1,a las 2= yD = Ud.A ~ 1 porque Ф" obtenemos

Diferenciando esta igualdad dos veces en el tiempo (teniendo en cuenta que en C1 Y en A cantidades son constantes y, por tanto, sus derivadas son iguales a cero), encontramos

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (e), determinamos la dependencia deseada norte de t.

Respuesta: NORTE- 176,4 + 1,13,

donde f = (i/6)(3/ -1), t- en segundos, NORTE- en newtons.

Problema 17.3. Peso del motor eléctrico tx unido a la superficie horizontal de la base con pernos (Fig. 17.3). Una varilla ingrávida de longitud l se fija en un extremo al eje del motor en ángulo recto con respecto al eje de rotación, y se monta un peso puntual en el otro extremo de la varilla. A masa t2. El eje gira uniformemente con una velocidad angular c. Encuentre la presión horizontal del motor sobre los pernos. Solución. Considere un sistema mecánico que consta de un motor y un peso puntual. A, en cualquier posición. Representemos las fuerzas externas que actúan sobre el sistema: la gravedad. R x, R 2, Reacción de la base en forma de fuerza vertical. norte y fuerza horizontal r. Dibujemos el eje x horizontalmente.

Para determinar la presión horizontal del motor sobre los pernos (y será numéricamente igual a la reacción R y dirigido opuesto al vector R ), componeremos la ecuación del teorema sobre el cambio en el momento del sistema en proyección sobre el eje x horizontal:

Para el sistema considerado en su posición arbitraria, teniendo en cuenta que la cantidad de movimiento del cuerpo motor es cero, obtenemos Qx = - t 2 UA soc. Teniendo en cuenta que VA = a z/, f = co/ (la rotación del motor es uniforme), obtenemos Qx - - m 2 co/cos co/. diferenciando Qx en el tiempo y sustituyendo en la igualdad (a), encontramos R- m 2 co 2 /sin co/.

Tenga en cuenta que son precisamente estas fuerzas las que fuerzan (ver § 14.3); cuando actúan, surgen vibraciones forzadas de las estructuras.

Ejercicios para Trabajo independiente

• 1. ¿Cómo se llama impulso de un punto y de un sistema mecánico?
• 2. ¿Cómo cambia el impulso de un punto que se mueve uniformemente alrededor de un círculo?
• 3. ¿Qué caracteriza a un impulso de fuerza?
• 4. ¿Las fuerzas internas de un sistema afectan su momento? ¿Sobre el movimiento de su centro de masa?
• 5. ¿Cómo afectan los pares de fuerzas que se le aplican al movimiento del centro de masa del sistema?
• 6. ¿En qué condiciones está en reposo el centro de masa del sistema? ¿Se mueve uniformemente y en línea recta?

7. En un barco parado sin flujo de agua, un adulto se sienta en la popa y un niño en la proa del barco. ¿En qué dirección se moverá el barco si cambian de lugar?

¿En qué caso el módulo de movimiento del barco será grande: 1) si el niño se mueve hacia la popa del adulto; 2) ¿si un adulto se acerca al niño en la proa del barco? ¿Cuál será el desplazamiento del centro de masa del sistema “barco y dos personas” durante estos movimientos?

De la misma manera que para un punto material, derivaremos un teorema sobre el cambio de impulso del sistema en varias formas.

Transformemos la ecuación (teorema sobre el movimiento del centro de masa de un sistema mecánico)

de la siguiente manera:

;

La ecuación resultante expresa el teorema sobre el cambio en el momento de un sistema mecánico en forma diferencial: la derivada del momento de un sistema mecánico con respecto al tiempo es igual al vector principal de fuerzas externas que actúan sobre el sistema. .

En proyecciones sobre ejes de coordenadas cartesianos:

; ; .

Tomando las integrales de ambos lados de las últimas ecuaciones en el tiempo, obtenemos un teorema sobre el cambio en el momento de un sistema mecánico en forma integral: el cambio en el momento de un sistema mecánico es igual al momento del vector principal de Fuerzas externas que actúan sobre el sistema. .

.

O en proyecciones sobre ejes de coordenadas cartesianos:

; ; .

Corolarios del teorema (leyes de conservación del impulso)

La ley de conservación del momento se obtiene como casos especiales del teorema sobre el cambio del momento de un sistema en función de las características del sistema de fuerzas externas. Las fuerzas internas pueden ser cualquiera, ya que no afectan los cambios de impulso.

Hay dos casos posibles:

1. Si la suma vectorial de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema es igual a cero, entonces la cantidad de movimiento del sistema es constante en magnitud y dirección.

2. Si la proyección del vector principal de fuerzas externas sobre cualquier eje de coordenadas y/o y/o es igual a cero, entonces la proyección del impulso sobre estos mismos ejes es un valor constante, es decir y/o y/o respectivamente.

Se pueden realizar entradas similares para un punto material y para un punto material.

La tarea. De un arma cuya masa METRO, un proyectil de masa sale volando en dirección horizontal metro con velocidad v. encontrar velocidad V armas después de disparar.

Solución. Todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema mecánico de arma-proyectil son verticales. Esto significa que, según el corolario del teorema del cambio en el impulso del sistema, tenemos: .

La cantidad de movimiento del sistema mecánico antes del disparo:

La cantidad de movimiento del sistema mecánico después del disparo:

.

Igualando los lados derechos de las expresiones, obtenemos que

.

El signo "-" en la fórmula resultante indica que después de disparar el arma retrocederá en la dirección opuesta al eje. Buey.

EJEMPLO 2. Una corriente de líquido con densidad fluye a una velocidad V desde una tubería con área de sección transversal F y golpea una pared vertical en ángulo. Determine la presión del fluido sobre la pared.

SOLUCIÓN. Apliquemos el teorema del cambio de momento en forma integral a un volumen de líquido con masa metro Golpear una pared durante un período de tiempo. t.

ECUACIÓN DE MESCHHERSKY

(ecuación básica de la dinámica de un cuerpo de masa variable)

En la tecnología moderna, surgen casos en los que la masa de un punto y de un sistema no permanece constante durante el movimiento, sino que cambia. Así, por ejemplo, durante el vuelo de cohetes espaciales, debido a la expulsión de productos de combustión y partes individuales innecesarias de los cohetes, el cambio de masa alcanza el 90-95% del valor inicial total. Pero no sólo la tecnología espacial puede ser un ejemplo de la dinámica del movimiento de masas variable. En la industria textil, se producen cambios significativos en la masa de varios husos, bobinas y rollos a las velocidades de funcionamiento modernas de máquinas y máquinas.

Consideremos las principales características asociadas con los cambios de masa, usando el ejemplo del movimiento de traslación de un cuerpo de masa variable. La ley básica de la dinámica no se puede aplicar directamente a un cuerpo de masa variable. Por tanto, obtenemos ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto de masa variable, aplicando el teorema sobre el cambio en el momento del sistema.

Deja que el punto tenga masa. m+dm se mueve a gran velocidad. Entonces una determinada partícula con masa se separa del punto DM moviéndose a gran velocidad.

La cantidad de movimiento del cuerpo antes de que se desprenda la partícula:

La cantidad de movimiento de un sistema formado por un cuerpo y una partícula separada después de su separación:

Entonces el cambio de impulso:

Basado en el teorema sobre el cambio de impulso del sistema:

Denotemos la cantidad - velocidad relativa partículas:

denotemos

Tamaño R llamada fuerza reactiva. La fuerza reactiva es el empuje del motor causado por la expulsión de gas de la boquilla.

Finalmente conseguimos

-

Esta fórmula expresa la ecuación básica de la dinámica de un cuerpo de masa variable (fórmula de Meshchersky). De la última fórmula se deduce que las ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto de masa variable tienen la misma forma que para un punto de masa constante, excepto por la fuerza reactiva adicional aplicada al punto debido al cambio de masa.

La ecuación básica de la dinámica de un cuerpo de masa variable indica que la aceleración de este cuerpo se forma no solo por fuerzas externas, sino también por la fuerza reactiva.

La fuerza reactiva es una fuerza similar a la que siente la persona que dispara: cuando se dispara con una pistola, se siente con la mano; Al disparar con un rifle, se percibe por el hombro.

La primera fórmula de Tsiolkovsky (para un cohete de una sola etapa)

Dejemos que un punto de masa variable o un cohete se mueva en línea recta bajo la influencia de una sola fuerza reactiva. Dado que para muchos motores a reacción modernos , donde es la fuerza reactiva máxima permitida por el diseño del motor (empuje del motor); - la fuerza de gravedad que actúa sobre el motor ubicado en la superficie terrestre. Aquellos. lo anterior nos permite descuidar el componente en la ecuación de Meshchersky y aceptar esta ecuación en la forma para un análisis posterior:

Denotemos:

Reserva de combustible (para motores a reacción líquidos: la masa seca del cohete (la masa restante después de quemar todo el combustible);

La masa de partículas separadas del cohete; visto como cantidad variable, variando de a .

Escribamos la ecuación del movimiento rectilíneo de un punto de masa variable de la siguiente forma:

.

Dado que la fórmula para determinar la masa variable de un cohete es

Por tanto, las ecuaciones de movimiento de un punto. Tomando las integrales de ambos lados obtenemos

Dónde - velocidad característica- esta es la velocidad que adquiere un cohete bajo la influencia del empuje después de que todas las partículas han sido expulsadas del cohete (para motores a reacción de líquido, después de que se haya quemado todo el combustible).

Tomado fuera del signo integral (que se puede hacer sobre la base del teorema del valor medio conocido en matemáticas superiores) es velocidad media Partículas expulsadas de un cohete.

Ecuación diferencial de movimiento de un punto material bajo la influencia de una fuerza. F se puede representar en la siguiente forma vectorial:

Dado que la masa de un punto metro se acepta como constante, entonces se puede ingresar bajo el signo de derivada. Entonces

La fórmula (1) expresa el teorema sobre el cambio en el momento de un punto en forma diferencial: la primera derivada con respecto al tiempo del momento de un punto es igual a la fuerza que actúa sobre el punto.

En proyecciones sobre ejes de coordenadas (1) se puede representar como

Si ambos lados (1) se multiplican por dt, luego obtenemos otra forma del mismo teorema: el teorema del momento en forma diferencial:

aquellos. el diferencial del momento de un punto es igual al impulso elemental de la fuerza que actúa sobre el punto.

Proyectando ambas partes de (2) sobre los ejes de coordenadas, obtenemos

Integrando ambas partes de (2) desde cero hasta t (Fig. 1), tenemos

¿Dónde está la velocidad del punto en este momento? t; - velocidad a t = 0;

S- impulso de fuerza en el tiempo t.

Una expresión en la forma (3) a menudo se denomina teorema del momento en forma finita (o integral): el cambio en el impulso de un punto durante cualquier período de tiempo es igual al impulso de la fuerza durante el mismo período de tiempo.

En proyecciones sobre ejes de coordenadas, este teorema se puede representar de la siguiente forma:

Para un punto material, el teorema sobre el cambio de impulso en cualquiera de sus formas no difiere esencialmente de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto.

Teorema sobre el cambio de impulso de un sistema

La cantidad de movimiento del sistema se llamará cantidad vectorial. q, igual a la suma geométrica (vector principal) de las cantidades de movimiento de todos los puntos del sistema.

Considere un sistema que consta de norte puntos materiales. Compongamos ecuaciones diferenciales de movimiento para este sistema y sumémoslas término por término. Entonces obtenemos:

La última suma, debido a la propiedad de las fuerzas internas, es igual a cero. Además,

Finalmente encontramos:

La ecuación (4) expresa el teorema sobre el cambio de momento del sistema en forma diferencial: la derivada temporal del impulso del sistema es igual a la suma geométrica de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Encontremos otra expresión para el teorema. Deja entrar el momento t= 0 la cantidad de movimiento del sistema es P 0, y en el momento del tiempo t 1 se vuelve igual Pregunta 1. Luego, multiplicando ambos lados de la igualdad (4) por dt e integrando obtenemos:

O donde:

(S-impulso de fuerza)

dado que las integrales de la derecha dan impulsos de fuerzas externas,

La ecuación (5) expresa el teorema sobre el cambio en el momento del sistema en forma integral: el cambio en el impulso del sistema durante un cierto período de tiempo es igual a la suma de los impulsos de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema durante el mismo período de tiempo.

En proyecciones sobre los ejes de coordenadas tendremos:

Ley de conservación del impulso.

Del teorema sobre el cambio de momento de un sistema, se pueden obtener los siguientes corolarios importantes:

1. Sea la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema igual a cero:

Entonces de la ecuación (4) se deduce que en este caso Q = constante.

De este modo, Si la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero, entonces el vector del momento del sistema será constante en magnitud y dirección.

2.01Sean las fuerzas externas que actúan sobre el sistema tales que la suma de sus proyecciones sobre algún eje (por ejemplo Ox) sea igual a cero:

Entonces de las ecuaciones (4`) se deduce que en este caso Q = constante.

De este modo, Si la suma de las proyecciones de todas las fuerzas externas que actúan sobre cualquier eje es igual a cero, entonces la proyección de la cantidad de movimiento del sistema sobre este eje es un valor constante.

Estos resultados expresan Ley de conservación del momento de un sistema. De ellos se deduce que las fuerzas internas no pueden cambiar la cantidad total de movimiento del sistema.

Veamos algunos ejemplos:

· Fenómeno de devolución del rollo. Si consideramos el rifle y la bala como un solo sistema, entonces la presión de los gases de la pólvora durante el disparo será una fuerza interna. Esta fuerza no puede cambiar el impulso total del sistema. Pero dado que los gases de pólvora, al actuar sobre la bala, le imparten una cierta cantidad de movimiento hacia adelante, al mismo tiempo deben impartir al rifle la misma cantidad de movimiento en dirección hacia adelante. direccion contraria. Esto hará que el rifle se mueva hacia atrás, es decir. el llamado retorno. Un fenómeno similar ocurre al disparar un arma (retroceso).

· Funcionamiento de la hélice (hélice). La hélice imparte movimiento a una determinada masa de aire (o agua) a lo largo del eje de la hélice, devolviendo esta masa hacia atrás. Si consideramos la masa lanzada y el avión (o barco) como un solo sistema, entonces las fuerzas de interacción entre la hélice y el medio ambiente, como internas, no pueden cambiar la cantidad total de movimiento de este sistema. Por lo tanto, cuando se devuelve una masa de aire (agua), el avión (o el barco) recibe una velocidad de avance correspondiente tal que la cantidad total de movimiento del sistema considerado sigue siendo igual a cero, ya que era cero antes de que comenzara el movimiento. .

Un efecto similar se consigue mediante la acción de remos o ruedas de paletas.

· Propulsión R e c t i v e. En un cohete (cohete), los productos gaseosos de la combustión del combustible son expulsados ​​a gran velocidad por el orificio situado en la cola del cohete (desde la tobera del motor a reacción). Las fuerzas de presión que actúan en este caso serán fuerzas internas y no pueden cambiar el momento total del sistema de gases de pólvora del cohete. Pero como los gases que se escapan tienen un cierto movimiento dirigido hacia atrás, el cohete recibe una velocidad de avance correspondiente.

Teorema de los momentos respecto de un eje.

Considere el punto de masa material. metro, moviéndose bajo la influencia de la fuerza. F. Encontremos para ello la relación entre el momento de los vectores. mV Y F en relación con algún eje Z fijo.

m z (F) = xF - yF (7)

Lo mismo ocurre con el valor metro(mV), si se saca metro Estará fuera de paréntesis

metro z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Tomando las derivadas con respecto al tiempo de ambos lados de esta igualdad, encontramos

En el lado derecho de la expresión resultante, el primer paréntesis es igual a 0, ya que dx/dt=V y dу/dt = V, el segundo paréntesis según la fórmula (7) es igual a

mz(F), ya que según la ley básica de la dinámica:

Finalmente tendremos (8)

La ecuación resultante expresa el teorema de los momentos con respecto al eje: la derivada temporal del momento de impulso de un punto con respecto a cualquier eje es igual al momento fuerza actuante sobre el mismo eje. Un teorema similar se cumple para momentos con respecto a cualquier centro O.

Dejar que un punto material se mueva bajo la influencia de una fuerza. F. Se requiere determinar el movimiento de este punto en relación con el sistema en movimiento. Oxyz(ver movimiento complejo de un punto material), que se mueve de forma conocida en relación con un sistema estacionario oh 1 X 1 y 1 z 1 .

Ecuación básica de dinámica en un sistema estacionario.

Escribamos la aceleración absoluta de un punto usando el teorema de Coriolis.

Dónde a abdominales– aceleración absoluta;

a rel– aceleración relativa;

a carril– aceleración portátil;

a centro– Aceleración de Coriolis.

Reescribamos (25) teniendo en cuenta (26)

Introduzcamos la notación
- fuerza de inercia portátil,
- Fuerza de inercia de Coriolis. Entonces la ecuación (27) toma la forma

Ecuación básica de dinámica a estudiar. movimiento relativo(28) está escrito de la misma manera que para el movimiento absoluto, sólo las fuerzas de transferencia y de inercia de Coriolis deben sumarse a las fuerzas que actúan sobre el punto.

Teoremas generales sobre la dinámica de un punto material.

Al resolver muchos problemas, puede utilizar espacios en blanco prefabricados obtenidos según la segunda ley de Newton. Estos métodos de resolución de problemas se combinan en esta sección.

Teorema sobre el cambio de impulso de un punto material

Introduzcamos las siguientes características dinámicas:

1. Momento de un punto material– cantidad vectorial igual al producto de la masa de un punto por su vector velocidad

. (29)

2. Impulso de fuerza

Impulso elemental de fuerza.– cantidad vectorial igual al producto del vector de fuerza por un intervalo de tiempo elemental

(30).

Entonces impulso completo

. (31)

En F=constante obtenemos S=Pie.

El impulso total durante un período de tiempo finito se puede calcular sólo en dos casos, cuando la fuerza que actúa sobre un punto es constante o depende del tiempo. En otros casos, es necesario expresar la fuerza en función del tiempo.

La igualdad de las dimensiones de impulso (29) y momento (30) nos permite establecer una relación cuantitativa entre ellos.

Consideremos el movimiento de un punto material M bajo la acción fuerza arbitraria F siguiendo una trayectoria arbitraria.

ACERCA DE UD:
. (32)

Separamos las variables en (32) e integramos

. (33)

Como resultado, teniendo en cuenta (31), obtenemos

. (34)

La ecuación (34) expresa el siguiente teorema.

Teorema: El cambio en el impulso de un punto material durante un cierto período de tiempo es igual al impulso de la fuerza que actúa sobre el punto durante el mismo intervalo de tiempo.

Al resolver problemas, la ecuación (34) debe proyectarse sobre los ejes de coordenadas.

Este teorema es conveniente de utilizar cuando entre las cantidades dadas y desconocidas se encuentran la masa de un punto, su velocidad inicial y final, fuerzas y tiempo de movimiento.

Teorema sobre el cambio de momento angular de un punto material

METRO
momento de impulso de un punto material con respecto al centro es igual al producto del módulo del momento del punto y el hombro, es decir la distancia más corta (perpendicular) desde el centro a la línea que coincide con el vector velocidad

, (36)

. (37)

La relación entre el momento de fuerza (causa) y el momento de impulso (efecto) se establece mediante el siguiente teorema.

Sea el punto M de una masa dada metro se mueve bajo la influencia de la fuerza F.

,
,

, (38)

. (39)

Calculemos la derivada de (39)

. (40)

Combinando (40) y (38), finalmente obtenemos

. (41)

La ecuación (41) expresa el siguiente teorema.

Teorema: La derivada temporal del vector del momento angular de un punto material con respecto a algún centro es igual al momento de la fuerza que actúa sobre el punto con respecto al mismo centro.

Al resolver problemas, la ecuación (41) debe proyectarse sobre los ejes de coordenadas.

En las ecuaciones (42), los momentos de impulso y fuerza se calculan en relación con los ejes de coordenadas.

De (41) se sigue Ley de conservación del momento angular (ley de Kepler).

Si el momento de fuerza que actúa sobre un punto material con respecto a cualquier centro es cero, entonces el momento angular del punto con respecto a este centro conserva su magnitud y dirección.

Si
, Eso
.

El teorema y la ley de conservación se utilizan en problemas que involucran movimiento curvilíneo, especialmente bajo la acción de fuerzas centrales.