Cómo encontrar el denominador de una progresión geométrica. Progresión geométrica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos saber cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.

El número con el número se llama el enésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema hablaremos del segundo tipo: progresión geométrica.

¿Por qué es necesaria la progresión geométrica y su historia?

Ya en la antigüedad, el monje matemático italiano Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) se ocupaba de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra en sus obras que este sistema de pesos es óptimo: esta es una de las primeras situaciones en las que la gente tuvo que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente ya habrá oído hablar y de la que al menos tendrá una comprensión general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué un sistema de este tipo es óptimo.

Actualmente, en la práctica de la vida, la progresión geométrica se manifiesta al invertir dinero en un banco, cuando se acumulan intereses sobre el monto acumulado en la cuenta durante el período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, después de un año el depósito aumentará en la cantidad original, es decir, el nuevo monto será igual al aporte multiplicado por. En un año más, esta cantidad aumentará, es decir, la cantidad obtenida en ese momento se volverá a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto– el porcentaje se deduce cada vez del importe que está en la cuenta, teniendo en cuenta los intereses anteriores. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante.

Hay muchos más casos simples en los que se aplica la progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la gripe: una persona infectó a otra, ella, a su vez, infectó a otra persona y, por tanto, la segunda ola de infección es una persona, y ella, a su vez, infectó a otra... y así sucesivamente. .

Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco basado en las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Vamos a resolverlo.

Progresión geométrica.

Digamos que tenemos una secuencia numérica:

Inmediatamente responderás que esto es fácil y que el nombre de dicha secuencia es con la diferencia de sus miembros. Qué tal esto:

Si restas el número anterior del siguiente, verás que cada vez obtienes una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: ¡cada número posterior es veces mayor que el anterior!

Este tipo de secuencia numérica se llama progresión geométrica y es designado.

La progresión geométrica () es una secuencia numérica cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Supongamos que no hay ninguno, y el primer término sigue siendo igual, y q es igual a, hmm... déjalo así, entonces resulta:

Acepte que esto ya no es una progresión.

Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si hay cualquier número distinto de cero, a. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie numérica será todo ceros o un número y el resto serán ceros.

Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de la progresión geométrica, es decir, o.

Repitamos: - este es el número ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica.

¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba).

Supongamos que el nuestro es positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso:

Así es. En consecuencia, si todos los términos posteriores de la progresión tienen el mismo signo: son positivos.

¿Y si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el valor del segundo término y?

Esta es una historia completamente diferente.

Intenta contar los términos de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Por tanto, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos para sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarle a ponerse a prueba al resolver problemas sobre este tema.

Ahora practiquemos un poco: intentemos determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son una progresión aritmética:

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:

• Progresión geométrica – 3, 6.
• Progresión aritmética – 2, 4.
• No es una progresión aritmética ni geométrica: 1, 5, 7.

Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su miembro, como en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo.

Multiplicamos sucesivamente cada término por.

Entonces, el término de la progresión geométrica descrita es igual a.

Como ya habrás adivinado, ahora tú mismo obtendrás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de la progresión geométrica. ¿O ya lo ha desarrollado usted mismo y describe cómo encontrar el decimoésimo miembro paso a paso? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento.

Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el décimo término de esta progresión:

En otras palabras:

Encuentra tú mismo el valor del término de la progresión geométrica dada.

¿Sucedió? Comparemos nuestras respuestas:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos secuencialmente por cada término anterior de la progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula; pongámosla en forma general y obtengamos:

La fórmula derivada es válida para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébalo tú mismo calculando los términos de la progresión geométrica con las siguientes condiciones: , a.

¿Contaste? Comparemos los resultados:

Esté de acuerdo en que sería posible encontrar un término de progresión de la misma manera que un término, sin embargo, existe la posibilidad de calcular incorrectamente. Y si ya hemos encontrado el enésimo término de la progresión geométrica, entonces, ¿qué podría ser más sencillo que utilizar la parte “truncada” de la fórmula?

Progresión geométrica infinitamente decreciente.

Más recientemente hablamos de que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales para los que se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente.

¿Por qué crees que se le da este nombre?
Primero, escribamos una progresión geométrica que consta de términos.
Digamos entonces:

Vemos que cada término posterior es menor que el anterior por un factor, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente responderás “no”. Por eso es infinitamente decreciente: disminuye y disminuye, pero nunca llega a ser cero.

Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma:

En gráficos estamos acostumbrados a representar la dependencia, por lo tanto:

La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada mostramos la dependencia del valor de un miembro de una progresión geométrica de su número ordinal, y en la segunda entrada simplemente tomamos el valor de un miembro de una progresión geométrica como , y designó el número ordinal no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es construir un gráfico.
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

¿Lo ves? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo lo que significa la coordenada y:

Intente representar esquemáticamente la gráfica de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestra gráfica anterior?

¿Lograste? Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal.

Propiedad de la progresión geométrica.

¿Recuerdas la propiedad de los términos de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un determinado número de una progresión cuando existen valores anteriores y posteriores de los términos de esta progresión. ¿Te acuerdas? Este:

Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar dicha fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás que es muy fácil y si se te olvida lo puedes sacar tú mismo.

Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con la progresión aritmética es fácil y sencillo, pero ¿y aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en geometría: solo necesita anotar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula.

Quizás te preguntes, ¿qué debemos hacer al respecto ahora? Sí, muy sencillo. Primero, representemos estas fórmulas en una imagen e intentemos hacer varias manipulaciones con ellas para llegar al valor.

Hagamos abstracción de los números que se nos dan, centrémonos solo en su expresión a través de la fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes a él. Intentemos realizar varias acciones con ellos, como resultado de lo cual podemos obtenerlo.

Suma.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:

A partir de esta expresión, como puede ver, no podemos expresarla de ninguna manera, por lo tanto, probaremos con otra opción: la resta.

Sustracción.

Como puedes ver, esto tampoco lo podemos expresar, así que intentemos multiplicar estas expresiones entre sí.

Multiplicación.

Ahora mire detenidamente lo que tenemos al multiplicar los términos de la progresión geométrica que se nos da en comparación con lo que hay que encontrar:

¿Adivina de qué estoy hablando? Correctamente, para encontrarlo necesitamos tomar la raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al deseado multiplicados entre sí:

Aquí tienes. Usted mismo dedujo la propiedad de la progresión geométrica. Intente escribir esta fórmula en forma general. ¿Sucedió?

¿Olvidaste la condición? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo. ¿Qué pasará en este caso? Así es, una completa tontería porque la fórmula se ve así:

En consecuencia, no olvide esta limitación.

Ahora calculemos a qué equivale.

Respuesta correcta - ! Si no olvidó el segundo valor posible durante el cálculo, entonces está bien y puede pasar inmediatamente al entrenamiento, y si lo olvidó, lea lo que se analiza a continuación y preste atención a por qué ambas raíces deben escribirse en el respuesta.

Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y comprobemos si ambas tienen derecho a existir:

Para comprobar si tal progresión geométrica existe o no, es necesario ver si todos sus términos dados son iguales. Calcule q para el primer y segundo caso.

¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término que buscas depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, debemos escribir ambas respuestas con un más y un menos.

Ahora que domina los puntos principales y ha obtenido la fórmula de la propiedad de la progresión geométrica, encuentre, conozca y

Compara tus respuestas con las correctas:

¿Qué piensas, si no nos dieran los valores de los términos de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intente confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hizo cuando derivó originalmente la fórmula, en.
¿Qué obtuviste?

Ahora mira con atención de nuevo.
y correspondientemente:

De esto podemos concluir que la fórmula funciona. no sólo con los vecinos con los términos deseados de la progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que buscan los miembros.

Así, nuestra fórmula inicial toma la forma:

Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural que sea menor. Lo principal es que es igual para ambos números dados.

Practica con ejemplos específicos, ¡solo ten mucho cuidado!

1. , . Encontrar.
2. , . Encontrar.
3. , . Encontrar.

¿Decidido? Espero que hayas estado extremadamente atento y hayas notado un pequeño problema.

Comparemos los resultados.

En los dos primeros casos aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores:

En el tercer caso, tras examinar detenidamente los números de serie de los números que nos han proporcionado, entendemos que no son equidistantes del número que buscamos: es el número anterior, pero está eliminado en una posición, por lo que es No es posible aplicar la fórmula.

¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotamos en qué consiste cada número que nos dan y el número que buscamos.

Entonces tenemos y. ¿Veamos qué podemos hacer con ellos? Sugiero dividir por. Obtenemos:

Sustituimos nuestros datos en la fórmula:

El siguiente paso que podemos encontrar es: para ello necesitamos sacar la raíz cúbica del número resultante.

Ahora echemos un vistazo nuevamente a lo que tenemos. Lo tenemos, pero necesitamos encontrarlo y, a su vez, es igual a:

Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula:

Nuestra respuesta: .

Intente resolver usted mismo otro problema similar:
Dado: ,
Encontrar:

¿Cuanto conseguiste? Tengo - .

Como puedes ver, esencialmente necesitas recuerda solo una fórmula- . El resto lo podrás retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para ello, simplemente escribe en una hoja de papel la progresión geométrica más sencilla y anota a qué equivale cada uno de sus números, según la fórmula descrita anteriormente.

La suma de los términos de una progresión geométrica.

Ahora veamos fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado:

Para derivar la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita, multiplica todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos:

Mire con atención: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste?

Ahora expresa el término de la progresión geométrica mediante la fórmula y sustituye la expresión resultante en nuestra última fórmula:

Agrupa la expresión. Deberías obtener:

Todo lo que queda por hacer es expresar:

En consecuencia, en este caso.

¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagine una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Una serie de números idénticos es correcta, por lo que la fórmula se verá así:

Existen muchas leyendas sobre la progresión tanto aritmética como geométrica. Una de ellas es la leyenda de Set, el creador del ajedrez.

Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó que le pidiera todo lo que quisiera, prometiendo cumplir hasta el deseo más hábil.

Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta se presentó ante el rey, lo sorprendió con la modestia sin precedentes de su petición. Pidió que le dieran un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, un grano de trigo por la segunda, un grano de trigo por la tercera, una cuarta, etc.

El rey se enojó y echó a Set, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad del rey, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las casillas del tablero.

Y ahora la pregunta: usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica, ¿calcula cuántos granos debería recibir Seth?

Empecemos a razonar. Dado que, según la condición, Set pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero de ajedrez, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., entonces vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿A qué equivale en este caso?
Bien.

Casillas totales del tablero de ajedrez. Respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda introducirlos en la fórmula y calcular.

Para imaginar al menos aproximadamente la “escala” de un número dado, transformamos usando las propiedades de grado:

Por supuesto, si quieres, puedes coger una calculadora y calcular con qué número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será.
Eso es:

quintillones de billones de billones de millones de miles.

Uf) Si quieres imaginar la enormidad de este número, entonces estima el tamaño que se necesitaría para un granero para albergar toda la cantidad de grano.
Si el granero tiene m de alto y m de ancho, su longitud debería extenderse por km, es decir el doble de distancia que la que hay entre la Tierra y el Sol.

Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría haber invitado al propio científico a contar los granos, porque para contar un millón de granos necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar quintillones, los granos Habría que contarlo a lo largo de su vida.

Ahora resolvamos un problema simple que involucra la suma de términos de una progresión geométrica.
Vasya, estudiante de la clase 5A, enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Cada día Vasya infecta a dos personas, quienes, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Sólo hay personas en la clase. ¿En cuántos días toda la clase estará enferma de gripe?

Entonces, el primer término de la progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. El décimo término de la progresión geométrica son las dos personas que infectó el primer día de su llegada. La suma total de los términos de progresión es igual al número de estudiantes 5A. En consecuencia, hablamos de una progresión en la que:

Sustituyamos nuestros datos en la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica:

Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Intente retratar usted mismo la "infección" de los estudiantes. ¿Sucedió? Mira como me parece:

Calcula tú mismo cuántos días tardarían los alumnos en enfermarse de gripe si cada uno contagiara a una persona, y solo hubiera una persona en la clase.

¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos empezaron a enfermarse después de un día.

Como puede ver, esta tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada una de ellas "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en el que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Por lo tanto, si una persona estuviera involucrada en una pirámide financiera en la que se entregara dinero si trajera a otros dos participantes, entonces esa persona (o en general) no traería a nadie y, en consecuencia, perdería todo lo que invirtió en esta estafa financiera.

Todo lo dicho anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarás, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Resolvámoslo juntos.

Entonces, primero, veamos nuevamente este dibujo de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo:

Ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes:
o

¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, en, será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, este paréntesis se puede descuidar, ya que será igual.

- La fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma infinito número de miembros.

Si se especifica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o.

Ahora practiquemos.

1. Encuentra la suma de los primeros términos de la progresión geométrica con y.
2. Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente con y.

Espero que hayas sido extremadamente cuidadoso. Comparemos nuestras respuestas:

Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica y es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas de progresión geométrica más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de cálculo del interés compuesto. Estos son de los que hablaremos.

Problemas al calcular el interés compuesto.

Probablemente hayas oído hablar de la llamada fórmula del interés compuesto. ¿Entiendes lo que significa? Si no, averigüémoslo, porque una vez que comprendas el proceso en sí, comprenderás inmediatamente qué tiene que ver la progresión geométrica con él.

Todos vamos al banco y sabemos que existen diferentes condiciones para los depósitos: esto incluye plazo, servicios adicionales e intereses con dos formas diferentes de calcularlo: simple y compleja.

CON interés simple Todo está más o menos claro: los intereses se devengan una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si decimos que depositamos 100 rublos durante un año, se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito recibiremos rublos.

Interés compuesto- esta es una opción en la que sucede capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no del monto del depósito inicial, sino del acumulado. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta frecuencia. Como regla general, estos períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos utilizan un mes, trimestre o año.

Supongamos que depositamos los mismos rublos anualmente, pero con capitalización mensual del depósito. ¿Que estamos haciendo?

¿Entiendes todo aquí? Si no, averigüémoslo paso a paso.

Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener en nuestra cuenta una cantidad compuesta por nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir:

¿Aceptar?

Podemos quitarlo de paréntesis y luego obtenemos:

De acuerdo, esta fórmula ya se parece más a lo que escribimos al principio. Todo lo que queda es calcular los porcentajes.

En el planteamiento del problema se nos habla de tasas anuales. Como sabes, no multiplicamos, convertimos porcentajes a fracciones decimales, es decir:

¿Bien? Ahora te preguntarás, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple!
Repito: el enunciado del problema dice acerca de ANUAL interés que se acumula MENSUAL. Como sabes, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte del interés anual por mes:

¿Se dio cuenta? Ahora intenta escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente.
¿Lograste? Comparemos los resultados:

¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: escribir cuánto se acreditará en nuestra cuenta en el segundo mes, teniendo en cuenta que se devengan intereses sobre el monto del depósito acumulado.
Esto es lo que obtuve:

O, en otras palabras:

Creo que ya has notado un patrón y has visto una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué será igual su miembro, o, en otras palabras, qué cantidad de dinero recibiremos a final de mes.
¿Hizo? ¡Vamos a revisar!

Como puede ver, si deposita dinero en el banco durante un año a una tasa de interés simple, recibirá rublos, y si a una tasa de interés compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto ocurre solo durante el décimo año, pero durante un período más largo la capitalización es mucho más rentable:

Veamos otro tipo de problema que involucra interés compuesto. Después de lo que hayas descubierto, será elemental para ti. Entonces, la tarea:

La empresa Zvezda empezó a invertir en el sector en el año 2000, con capital en dólares. Cada año desde 2001 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. ¿Cuántos beneficios obtendrá la empresa "Zvezda" a finales de 2003 si no se retiran de la circulación?

Capital de la empresa Zvezda en 2000.
- capital de la empresa Zvezda en 2001.
- capital de la empresa Zvezda en 2002.
- capital de la empresa Zvezda en 2003.

O podemos escribir brevemente:

Para nuestro caso:

2000, 2001, 2002 y 2003.

Respectivamente:
rublos
Tenga en cuenta que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer un problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se calcula, y solo entonces proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.

Capacitación.

1. Encuentre el término de la progresión geométrica si se sabe que, y
2. Encuentre la suma de los primeros términos de la progresión geométrica si se sabe que, y
3. La empresa MDM Capital comenzó a invertir en la industria en 2003, con capital en dólares. Cada año desde 2004 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. La empresa MSK Cash Flows comenzó a invertir en la industria en 2005 por un monto de $10,000, comenzando a obtener ganancias en 2006 por un monto de. ¿En cuántos dólares es mayor el capital de una empresa que el de otra a finales de 2007, si los beneficios no se retiran de la circulación?

Respuestas:

1. Dado que el planteamiento del problema no dice que la progresión sea infinita y se requiere encontrar la suma de un número específico de sus términos, el cálculo se realiza de acuerdo con la fórmula:
2. 
   Compañía de capital MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
   Respectivamente:
   rublos
   Compañía de flujos de efectivo MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta en, es decir, en tiempos.
   Respectivamente:
   rublos
   rublos

Resumamos.

1) La progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

2) La ecuación de los términos de la progresión geométrica es.

3) puede tomar cualquier valor excepto y.

• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo: son positivos;
• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión signos alternativos;
• cuando – la progresión se llama infinitamente decreciente.

4) , en – propiedad de la progresión geométrica (términos adyacentes)

o
, en (términos equidistantes)

Cuando lo encuentres, no lo olvides. debe haber dos respuestas.

Por ejemplo,

5) La suma de los términos de la progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:
o

o

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma de un número infinito de términos.

6) Los problemas de interés compuesto también se calculan utilizando la fórmula del décimo término de una progresión geométrica, siempre que los fondos no hayan sido retirados de la circulación:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. este numero se llama denominador de una progresión geométrica.

Denominador de progresión geométrica puede tomar cualquier valor excepto y.

• Si entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo, son positivos;
• si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión alternan signos;
• cuando – la progresión se llama infinitamente decreciente.

Ecuación de términos de progresión geométrica. - .

Suma de términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula:
o

Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces:

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Lección sobre el tema. “Progresión geométrica infinitamente decreciente”

El propósito de la lección: presentar a los estudiantes un nuevo tipo de secuencia: una progresión geométrica infinitamente decreciente.

Tareas:

formular una idea inicial del límite de una secuencia numérica; conocimiento de otra forma de convertir infinitas fracciones periódicas en ordinarias utilizando la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente;

desarrollo de cualidades intelectuales de la personalidad de los escolares, como el pensamiento lógico, la capacidad de realizar acciones evaluativas y la generalización;

fomento de la actividad, la asistencia mutua, el colectivismo y el interés por el tema.

Equipo: clase de informática, proyector, pantalla.

Tipo de lección: lección: aprender un nuevo tema.

durante las clases

I . Org. momento. Indique el tema y el propósito de la lección.

II . Actualización de conocimientos de los estudiantes.1. Revisar la tarea.

1) Comprobación de fórmulas básicas relacionadas con progresiones aritméticas y geométricas. Dos estudiantes están preparando notas sobre fórmulas en la pizarra.

2) El resto de los estudiantes lo hacen. Dictado matemático sobre el tema “Fórmulas de suma”.

Tareas:

№1. Encuentre la suma de los primeros cinco términos de una progresión aritmética si su primer término es 6 (primera opción), -20 (segunda opción) y el quinto término es -6 (primera opción), 20 (segunda opción).

№2. Encuentre la suma de los primeros cinco términos de una progresión aritmética si su primer término es -20 (primera opción), 6 (segunda opción) y la diferencia es 10 (primera opción), -3 (segunda opción).

№3. Encuentre la suma de los primeros cinco términos de una progresión geométrica si su primer término es igual a 1 (primera opción), -1 (segunda opción) y el denominador es -2 (primera opción), 2 (segunda opción).

Al final del dictado, se comprueba selectivamente el trabajo de dos estudiantes para su evaluación, el resto realiza una autoevaluación utilizando soluciones preparadas escritas en las solapas de la pizarra.

Soluciones:

Tareas

1. La progresión aritmética viene dada por la fórmula a norte = 7 – 4 norte. Encontrar a 10 . (-33)

2. En progresión aritmética a 3 = 7 Y a 5 = 1 . Encontrar a 4 . (4)

3. En progresión aritmética a 3 = 7 Y a 5 = 1 . Encontrar a 17 . (-35)

4. En progresión aritmética a 3 = 7 Y a 5 = 1 . Encontrar S 17 . (-187)

5. Para progresión geométrica
Encuentre el quinto término.

6. Para progresión geométrica
encontrar norteº miembro.

7. Exponencialmente b 3 = 8 Y b 5 = 2 . Encontrar b 4 . (4)

8. Exponencialmente b 3 = 8 Y b 5 = 2 . Encontrar b 1 Y q .

9. Exponencialmente b 3 = 8 Y b 5 = 2 . Encontrar S 5 . (62)

III . Aprendiendo un nuevo tema(demostración de presentación).

Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Dibujemos otro cuadrado cuyo lado sea la mitad del tamaño del primer cuadrado, luego otro cuyo lado sea la mitad del segundo, luego el siguiente, etc. Cada vez el lado del nuevo cuadrado es igual a la mitad del anterior.

Como resultado, obtuvimos una secuencia de lados de cuadrados. formando una progresión geométrica con el denominador.

Y, lo que es muy importante, cuanto más construyamos estos cuadrados, más pequeño será el lado del cuadrado. Por ejemplo,

Aquellos. A medida que el número n aumenta, los términos de la progresión se acercan a cero.

Usando esta figura, puedes considerar otra secuencia.

Por ejemplo, la secuencia de áreas de cuadrados:

. Y, de nuevo, si norte aumenta indefinidamente, entonces el área se aproxima a cero tan cerca como desee.

Veamos otro ejemplo. Un triángulo equilátero con lados iguales a 1 cm. Construyamos el siguiente triángulo con los vértices en los puntos medios de los lados del primer triángulo, de acuerdo con el teorema sobre la línea media del triángulo: el lado del segundo es igual a la mitad del lado del primero, el lado del tercero es igual a la mitad del lado del 2do, etc. Nuevamente obtenemos una secuencia de longitudes de los lados de triángulos.

en
.

Si consideramos una progresión geométrica con denominador negativo.

Luego, de nuevo, con números cada vez mayores norte Los términos de la progresión tienden a cero.

Prestemos atención a los denominadores de estas secuencias. En todas partes los denominadores eran inferiores a 1 en valor absoluto.

Podemos concluir: una progresión geométrica será infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que 1.

Trabajo frontal.

Definición:

Se dice que una progresión geométrica es infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que uno.
.

Usando la definición, puedes decidir si una progresión geométrica es infinitamente decreciente o no.

Tarea

¿Es la secuencia una progresión geométrica infinitamente decreciente si viene dada por la fórmula:

;
.

Solución:

. Lo encontraremos q .

;
;
;
.

esta progresión geométrica es infinitamente decreciente.

b) esta secuencia no es una progresión geométrica infinitamente decreciente.

Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Divídalo por la mitad, una de las mitades por la mitad, etc. Las áreas de todos los rectángulos resultantes forman una progresión geométrica infinitamente decreciente:

La suma de las áreas de todos los rectángulos obtenidos de esta forma será igual al área del 1er cuadrado e igual a 1.

Pero en el lado izquierdo de esta igualdad está la suma de un número infinito de términos.

Consideremos la suma de los primeros n términos.

Según la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, es igual a .

Si norte aumenta sin límite, entonces

o
. Es por eso
, es decir.
.

Suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente hay un límite de secuencia S 1 , S 2 , S 3 , …, S norte , … .

Por ejemplo, para la progresión
,

Porque

La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. se puede encontrar usando la fórmula
.

III . Comprensión y consolidación.(completar tareas).

Tarea número 2. Encuentra la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente cuyo primer término es 3 y el segundo término es 0,3.

Solución:

Tarea número 3. libro de texto, página 160, núm. 433(1)

Encuentra la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:

Solución:

Tarea número 4. Escribe la fracción decimal periódica infinita 0,(5) como una fracción común.

1er método. Sea x=0,(5)= 0.555... / 10 2do método. 0,(5)=0,555…=

Tarea número 5. libro de texto, página 162, núm. 445(3) (solución independiente)

Escribe la fracción decimal periódica infinita 0,(12) como una fracción común.

Respuesta: 0,(12)= 4/33.

IV . Resumiendo.

¿Con qué secuencia te familiarizaste hoy?

Defina una progresión geométrica infinitamente decreciente.

¿Cómo demostrar que una progresión geométrica es infinitamente decreciente?

Da la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

V . Tarea.

Consideremos ahora la cuestión de sumar una progresión geométrica infinita. Llamemos a la suma parcial de una progresión infinita dada la suma de sus primeros términos. Denotemos la suma parcial con el símbolo

Por cada progresión infinita

se puede componer una secuencia (también infinita) de sus sumas parciales

Deje que una secuencia con aumento ilimitado tenga un límite

En este caso, el número S, es decir, el límite de las sumas parciales de una progresión, se llama suma de una progresión infinita. Probaremos que una progresión geométrica infinita decreciente siempre tiene una suma y derivaremos una fórmula para esta suma (también podemos demostrar que si una progresión infinita no tiene suma, no existe).

Escribamos la expresión para la suma parcial como la suma de los términos de la progresión usando la fórmula (91.1) y consideremos el límite de la suma parcial en

Del Teorema 89 se sabe que para una progresión decreciente; por lo tanto, aplicando el teorema del límite de diferencias, encontramos

(aquí también se utiliza la regla: el factor constante se lleva más allá del signo límite). Se prueba la existencia y al mismo tiempo se obtiene la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:

La igualdad (92.1) también se puede escribir en la forma

Aquí puede parecer paradójico que a la suma de un número infinito de términos se le asigne un valor finito muy definido.

Se puede dar un ejemplo claro para explicar esta situación. Considere un cuadrado con un lado igual a uno (Fig. 72). Divide este cuadrado con una línea horizontal en dos partes iguales y une la parte superior a la inferior para que se forme un rectángulo con lados 2 y . Después de eso, dividiremos nuevamente la mitad derecha de este rectángulo por la mitad con una línea horizontal y uniremos la parte superior a la inferior (como se muestra en la Fig. 72). Continuando con este proceso, transformamos continuamente el cuadrado original con un área igual a 1 en figuras del mismo tamaño (tomando la forma de una escalera con escalones cada vez más delgados).

Con la continuación infinita de este proceso, toda el área del cuadrado se descompone en un número infinito de términos: las áreas de los rectángulos con bases iguales a 1 y alturas. Las áreas de los rectángulos forman precisamente una progresión infinita decreciente, su suma

es decir, como era de esperar, igual al área del cuadrado.

Ejemplo. Encuentra las sumas de las siguientes progresiones infinitas:

Solución, a) Notamos que esta progresión. Por lo tanto, usando la fórmula (92.2) encontramos

b) Aquí significa que usando la misma fórmula (92.2) tenemos

c) Encontramos que esta progresión por tanto no tiene suma.

En el párrafo 5 se mostró la aplicación de la fórmula para la suma de términos de una progresión infinitamente decreciente a la conversión de una fracción decimal periódica en una fracción ordinaria.

Ejercicios

1. La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente es 3/5 y la suma de sus primeros cuatro términos es 13/27. Encuentra el primer término y denominador de la progresión.

2. Encuentra cuatro números que formen una progresión geométrica alterna, en la que el segundo término sea menor que el primero en 35 y el tercero sea mayor que el cuarto en 560.

3. Demuestre que si la secuencia

forma una progresión geométrica infinitamente decreciente, entonces la secuencia

para cualquiera, forma una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Será cierta esta afirmación cuando

Deducir una fórmula para el producto de los términos de una progresión geométrica.

La fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica es muy sencilla. Tanto en significado como en apariencia general. Pero hay todo tipo de problemas con la fórmula del enésimo término, desde muy primitivos hasta bastante serios. Y en el proceso de conocernos, definitivamente consideraremos ambos. Bueno, ¿vamos a conocernos?)

Entonces, para empezar, en realidad fórmulanorte

Aqui esta ella:

bn = b 1 · qn -1

La fórmula es sólo una fórmula, nada sobrenatural. Parece incluso más simple y compacto que una fórmula similar. El significado de la fórmula también es tan simple como las botas de fieltro.

Esta fórmula le permite encontrar CUALQUIER miembro de una progresión geométrica POR SU NÚMERO " norte".

Como puede ver, el significado es una completa analogía con una progresión aritmética. Conocemos el número n; también podemos contar el término bajo este número. El que queramos. Sin multiplicar repetidamente por "q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)

Entiendo que a este nivel de trabajo con progresiones ya deberías tener claras todas las cantidades incluidas en la fórmula, pero sigo considerando que es mi deber descifrar cada una. Por si acaso.

Así que, aquí vamos:

b 1 – primero término de progresión geométrica;

q – ;

norte- número de miembro;

bn – enésimo (norteth) término de una progresión geométrica.

Esta fórmula conecta los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica: bnorte, b 1 , q Y norte. Y todos los problemas de progresión giran en torno a estas cuatro figuras clave.

"¿Cómo se elimina?"– Escucho una pregunta curiosa… ¡Elemental! ¡Mirar!

¿Qué es igual a segundo miembro de la progresión? ¡Ningún problema! Escribimos directamente:

segundo 2 = segundo 1 ·q

¿Qué pasa con el tercer miembro? ¡Tampoco hay problema! Multiplicamos el segundo término. una vez más enq.

Como esto:

segundo 3 = segundo 2 q

Recordemos ahora que el segundo término, a su vez, es igual a b 1 ·q y sustituyamos esta expresión en nuestra igualdad:

segundo 3 = segundo 2 q = (segundo 1 q) q = segundo 1 q q = segundo 1 q 2

Obtenemos:

B 3 = b 1·q 2

Ahora leamos nuestra entrada en ruso: tercero término es igual al primer término multiplicado por q en segundo grados. ¿Lo entiendes? ¿Aún no? Bien, un paso más.

¿Cuál es el cuarto término? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior(es decir, el tercer término) en q:

segundo 4 = segundo 3 q = (segundo 1 q 2) q = segundo 1 q 2 q = segundo 1 q 3

Total:

B 4 = b 1·q 3

Y nuevamente traducimos al ruso: cuatro término es igual al primer término multiplicado por q en tercero grados.

Etcétera. ¿Entonces, cómo es eso? ¿Captaste el patrón? ¡Sí! Para cualquier término con cualquier número, el número de factores idénticos q (es decir, el grado del denominador) siempre será uno menos que el número del miembro deseadonorte.

Por tanto, nuestra fórmula será, sin variaciones:

segundo norte =b 1 · qn -1

Eso es todo.)

Bueno, resolvamos los problemas, ¿supongo?)

Resolver problemas de fórmulasnorteésimo término de una progresión geométrica.

Empecemos, como siempre, por la aplicación directa de la fórmula. Aquí hay un problema típico:

En progresión geométrica se sabe que b 1 = 512 y q = -1/2. Encuentra el décimo término de la progresión.

Por supuesto, este problema se puede resolver sin ninguna fórmula. Directamente en el sentido de progresión geométrica. Pero necesitamos calentarnos con la fórmula del enésimo término, ¿verdad? Aquí estamos calentando.

Nuestros datos para aplicar la fórmula son los siguientes.

Se conoce el primer miembro. Este es 512.

b 1 = 512.

También se conoce el denominador de la progresión: q = -1/2.

Todo lo que queda es averiguar cuál es el número del miembro n. ¡Ningún problema! ¿Estamos interesados ​​en el décimo mandato? Entonces sustituimos diez en lugar de n en la fórmula general.

Y calcula cuidadosamente la aritmética:

Respuesta 1

Como puede ver, el décimo término de la progresión resultó ser negativo. Nada sorprendente: nuestro denominador de progresión es -1/2, es decir negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión se alternan, sí).

Aquí todo es sencillo. Aquí hay un problema similar, pero un poco más complicado en términos de cálculos.

En progresión geométrica se sabe que:

b 1 = 3

Encuentra el decimotercer término de la progresión.

Todo es igual, sólo que esta vez el denominador de la progresión es irracional. Raíz de dos. Bueno, está bien. La fórmula es algo universal; puede manejar cualquier número.

Trabajamos directamente según la fórmula:

La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero... aquí es donde algunas personas se quedan estancadas. ¿Qué hacer a continuación con la raíz? ¿Cómo elevar una raíz a la duodécima potencia?

Cómo-cómo... Debes entender que cualquier fórmula, por supuesto, es algo bueno, ¡pero el conocimiento de todas las matemáticas previas no se cancela! ¿Cómo construir? ¡Sí, recuerda las propiedades de los grados! Convirtamos la raíz en grado fraccionario y – según la fórmula de elevación de grado a grado.

Como esto:

Respuesta: 192

Y eso es todo.)

¿Cuál es la principal dificultad para aplicar directamente la fórmula del enésimo término? ¡Sí! La principal dificultad es trabajando con grados! Es decir, elevar a potencias números negativos, fracciones, raíces y construcciones similares. Así que aquellos que tengan problemas con esto, ¡por favor repitan los grados y sus propiedades! De lo contrario, también ralentizarás este tema, sí...)

Ahora resolvamos los problemas típicos de búsqueda. uno de los elementos de la fórmula, si se dan todos los demás. Para resolver con éxito tales problemas, la receta es uniforme y terriblemente simple: escribe la formulanorte-ésimo miembro en general! Justo en el cuaderno al lado de la condición. Y luego, a partir de la condición, averiguamos qué se nos da y qué falta. Y expresamos el valor deseado de la fórmula. ¡Todo!

Por ejemplo, un problema tan inofensivo.

El quinto término de una progresión geométrica con denominador 3 es 567. Encuentra el primer término de esta progresión.

Nada complicado. Trabajamos directamente según el hechizo.

¡Escribamos la fórmula para el enésimo término!

bn = b 1 · qn -1

¿Qué nos han dado? Primero, se da el denominador de la progresión: q = 3.

Es más, se nos da quinto miembro: b 5 = 567 .

¿Todo? ¡No! ¡También nos han dado el número n! Esto es cinco: n = 5.

Espero que ya entiendas lo que hay en la grabación. b 5 = 567 Dos parámetros están ocultos a la vez: este es el quinto término (567) y su número (5). Ya hablé de esto en una lección similar, pero creo que vale la pena mencionarlo aquí también).

Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:

567 = b 1 ·3 5-1

Hacemos la aritmética, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:

81 b 1 = 567

Resolvemos y obtenemos:

b 1 = 7

Como puede ver, no hay problemas para encontrar el primer término. Pero al buscar el denominador q y numeros norte También puede haber sorpresas. Y también hay que estar preparado para ellas (sorpresas), sí.)

Por ejemplo, este problema:

El quinto término de una progresión geométrica con denominador positivo es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

Esta vez se nos dan los términos primero y quinto y se nos pide que encontremos el denominador de la progresión. Aquí vamos.

escribimos la fórmulanorteº miembro!

bn = b 1 · qn -1

Nuestros datos iniciales serán los siguientes:

b 5 = 162

b 1 = 2

norte = 5

Valor que falta q. ¡Ningún problema! Encontrémoslo ahora.) Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula.

Obtenemos:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Una ecuación simple de cuarto grado. Y ahora - ¡con cuidado! En esta etapa de la solución, muchos estudiantes inmediatamente extraen con alegría la raíz (del cuarto grado) y obtienen la respuesta. q=3 .

Como esto:

q4 = 81

q = 3

Pero, en realidad, ésta es una respuesta inacabada. Más precisamente, incompleto. ¿Por qué? El caso es que la respuesta q = -3 también adecuado: (-3) ¡4 también será 81!

Esto se debe a que la ecuación de potencia xn = a siempre ha dos raíces opuestas en inclusonorte . Con más y menos:

Ambos son adecuados.

Por ejemplo, al decidir (es decir, segundo grados)

x2 = 9

Por alguna razón no te sorprende la apariencia. dos raíces x=±3? Es lo mismo aqui. y con cualquier otro incluso grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) será el mismo. Los detalles están en el tema sobre

Por tanto la solución correcta sería:

q 4 = 81

q= ±3

Bien, hemos resuelto las señales. ¿Cuál es la correcta: más o menos? Bueno, leamos nuevamente el enunciado del problema en busca de información adicional. Por supuesto, puede que no exista, pero en este problema dicha información disponible. Nuestra condición establece en texto plano que se da una progresión con denominador positivo.

Por tanto la respuesta es obvia:

q = 3

Aquí todo es sencillo. ¿Qué crees que pasaría si el enunciado del problema fuera así?

El quinto término de una progresión geométrica es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

¿Cuál es la diferencia? ¡Sí! En condicion Nada no se hace mención del signo del denominador. Ni directa ni indirectamente. Y aquí el problema ya tendría ¡Dos soluciones!

q = 3 Y q = -3

¡Sí Sí! Tanto con un más como con un menos.) Matemáticamente, este hecho significaría que hay dos progresiones, que se ajustan a las condiciones del problema. Y cada uno tiene su propio denominador. Solo por diversión, practica y escribe los primeros cinco términos de cada uno).

Ahora practiquemos cómo encontrar el número del miembro. Este problema es el más difícil, sí. Pero también más creativo).

Dada una progresión geométrica:

3; 6; 12; 24; …

¿Qué número en esta progresión es el número 768?

El primer paso sigue siendo el mismo: escribe la formulanorteº miembro!

bn = b 1 · qn -1

Y ahora, como siempre, le sustituimos los datos que conocemos. Mmm... ¡no funciona! ¿Dónde está el primer término, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?

Dónde, dónde... ¿Por qué necesitamos ojos? ¿Agitando las pestañas? Esta vez la progresión se nos da directamente en la forma secuencias.¿Podemos ver al primer miembro? ¡Vemos! Este es un triple (b 1 = 3). ¿Qué pasa con el denominador? No lo vemos todavía, pero es muy fácil de contar. Si, por supuesto, lo entiendes...

Entonces contamos. Directamente según el significado de una progresión geométrica: tomamos cualquiera de sus términos (excepto el primero) y lo dividimos por el anterior.

Al menos así:

q = 24/12 = 2

¿Qué más sabemos? También conocemos algún término de esta progresión, igual a 768. Bajo algún número n:

bn = 768

No sabemos su número, pero nuestra tarea es precisamente encontrarlo.) Así que estamos buscando. Ya hemos descargado todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula. Sin que usted lo sepa.)

Aquí sustituimos:

768 = 3 2norte -1

Hagamos lo elemental: divida ambos lados entre tres y reescriba la ecuación en la forma habitual: lo desconocido está a la izquierda, lo conocido a la derecha.

Obtenemos:

2 norte -1 = 256

Esta es una ecuación interesante. Necesitamos encontrar "n". ¿Qué, inusual? Sí, no discuto. En realidad, esto es lo más sencillo. Se llama así porque la incógnita (en este caso es el número norte) costos en indicador grados.

En la etapa de aprender sobre progresión geométrica (esto es noveno grado), no te enseñan a resolver ecuaciones exponenciales, eso sí... Este es un tema para secundaria. Pero no hay nada que dé miedo. Incluso si no sabes cómo se resuelven estas ecuaciones, intentemos encontrar nuestra norte, guiados por la lógica simple y el sentido común.

Empecemos a hablar. A la izquierda tenemos un dos. hasta cierto punto. Todavía no sabemos qué es exactamente este título, pero eso no da miedo. ¡Pero sabemos con certeza que este grado es igual a 256! Entonces recordamos hasta qué punto un dos nos da 256. ¿Te acuerdas? ¡Sí! EN octavo grados!

256 = 2 8

Si no recuerdas o tienes problemas para reconocer los grados, también está bien: simplemente eleva el cuadrado dos, el cubo, el cuarto, el quinto, y así sucesivamente. La selección, de hecho, pero a este nivel funcionará bastante bien.

De una forma u otra obtenemos:

2 norte -1 = 2 8

norte-1 = 8

norte = 9

Entonces 768 es noveno miembro de nuestra progresión. Eso es todo, problema resuelto.)

Respuesta: 9

¿Qué? ¿Aburrido? ¿Estás cansado de las cosas elementales? Aceptar. Y yo también. Pasemos al siguiente nivel.)

Tareas más complejas.

Ahora resolvamos problemas más desafiantes. No son exactamente geniales, pero requieren un poco de trabajo para llegar a la respuesta.

Por ejemplo, éste.

Encuentra el segundo término de una progresión geométrica si su cuarto término es -24 y su séptimo término es 192.

Este es un clásico del género. Se conocen dos términos diferentes de la progresión, pero es necesario encontrar otro término. Además, todos los miembros NO son vecinos. Lo cual es confuso al principio, sí...

Para resolver este tipo de problemas consideraremos dos métodos. El primer método es universal. Algebraico. Funciona perfectamente con cualquier fuente de datos. Entonces ahí es donde comenzaremos.)

Describimos cada término según la fórmula. norteº miembro!

Todo es exactamente igual que con una progresión aritmética. Sólo que esta vez estamos trabajando con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomamos y uno a uno Sustituimos nuestros datos iniciales en la fórmula para el enésimo término. Para cada miembro, el suyo.

Para el cuarto término escribimos:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Comer. Una ecuación está lista.

Para el séptimo término escribimos:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

En total, tenemos dos ecuaciones para la misma progresión .

Montamos un sistema a partir de ellos:

A pesar de su apariencia amenazadora, el sistema es bastante sencillo. La solución más obvia es la sustitución simple. expresamos b 1 de la ecuación superior y sustitúyala en la inferior:

Después de jugar un poco con la ecuación inferior (reduciendo las potencias y dividiendo por -24), obtenemos:

q 3 = -8

Por cierto, ¡se puede llegar a esta misma ecuación de una manera más sencilla! ¿Cuál? Ahora les mostraré otra forma secreta, pero muy hermosa, poderosa y útil, de resolver este tipo de sistemas. Tales sistemas, cuyas ecuaciones incluyen solo funciona. Al menos en uno. Llamado método de división una ecuación a otra.

Entonces, tenemos un sistema ante nosotros:

En ambas ecuaciones de la izquierda - trabajar, y a la derecha hay solo un número. Esta es una muy buena señal.) Tomémoslo y... ¡dividamos, digamos, la ecuación inferior por la superior! Que significa, ¿Dividimos una ecuación por otra? Muy simple. Vamos a tomarlo lado izquierdo una ecuación (inferior) y dividir ella en lado izquierdo otra ecuación (superior). El lado derecho es similar: lado derecho una ecuación dividir en lado derecho otro.

Todo el proceso de división se ve así:

Ahora, reduciendo todo lo que se puede reducir, obtenemos:

q 3 = -8

¿Qué tiene de bueno este método? Sí, porque en el proceso de tal división todo lo malo e inconveniente se puede reducir de manera segura y ¡queda una ecuación completamente inofensiva! Por eso es tan importante tener solo multiplicación en al menos una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación - no hay nada que reducir, sí...

En general, este método (como muchos otros métodos no triviales para resolver sistemas) merece incluso una lección aparte. Definitivamente lo analizaré con más detalle. Algún día…

Sin embargo, no importa cómo resuelvas exactamente el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:

q 3 = -8

No hay problema: extrae la raíz cúbica y ¡listo!

Tenga en cuenta que no es necesario poner un más/menos aquí al extraer. Nuestra raíz es de grado impar (tercer). Y la respuesta también es la misma, sí.)

Entonces, se ha encontrado el denominador de la progresión. Menos dos. ¡Excelente! El proceso está en curso.)

Para el primer término (digamos, de la ecuación superior) obtenemos:

¡Excelente! Conocemos el primer término, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluyendo el segundo.)

Para el segundo trimestre todo es bastante sencillo:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Respuesta: -6

Entonces, hemos desglosado el método algebraico para resolver el problema. ¿Difícil? En realidad no, estoy de acuerdo. ¿Largo y tedioso? Sí definitivamente. Pero a veces es posible reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto hay método gráfico. Bueno, viejo y familiar para nosotros.)

¡Dibujemos un problema!

¡Sí! Exactamente. Nuevamente representamos nuestra progresión en el eje numérico. No es necesario seguir una regla, no es necesario mantener intervalos iguales entre los términos (que, por cierto, no serán iguales, ¡ya que la progresión es geométrica!), sino simplemente esquemáticamente Dibujemos nuestra secuencia.

Lo tengo así:

Ahora mira la imagen y descúbrelo. ¿Cuántos factores idénticos "q" separan? cuatro Y séptimo miembros? Así es, ¡tres!

Por tanto, tenemos todo el derecho a escribir:

-24·q 3 = 192

Desde aquí ahora es fácil encontrar q:

q 3 = -8

q = -2

Genial, ya tenemos el denominador en el bolsillo. Ahora volvamos a mirar el panorama: ¿cuántos denominadores de este tipo se encuentran entre segundo Y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la conexión entre estos términos, construiremos el denominador al cuadrado.

Entonces escribimos:

b 2 · q 2 = -24 , dónde b 2 = -24/ q 2

Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión de b 2, contamos y obtenemos:

Respuesta: -6

Como ves, todo es mucho más sencillo y rápido que a través del sistema. Además, ¡aquí ni siquiera necesitábamos contar el primer término! En absoluto.)

Aquí hay una forma tan simple y visual: la luz. Pero también tiene un serio inconveniente. ¿Lo adivinaste? ¡Sí! Sólo es bueno para tramos de progresión muy cortos. Aquellos donde las distancias entre los miembros que nos interesan no son muy grandes. Pero en todos los demás casos ya es difícil hacer un dibujo, sí... Entonces solucionamos el problema analíticamente, a través del sistema.) Y los sistemas son cosas universales. Pueden manejar cualquier número.

Otro desafío épico:

El segundo término de la progresión geométrica es 10 más que el primero y el tercer término es 30 más que el segundo. Encuentra el denominador de la progresión.

¿Que guay? ¡De nada! Todos iguales. Nuevamente traducimos el planteamiento del problema al álgebra pura.

1) Describimos cada término según la fórmula. norteº miembro!

Segundo término: b 2 = b 1 q

Tercer término: b 3 = b 1 q 2

2) Anotamos la conexión entre los miembros del planteamiento del problema.

Leemos la condición: "El segundo término de la progresión geométrica es 10 mayor que el primero."¡Para, esto es valioso!

Entonces escribimos:

b 2 = b 1 +10

Y traducimos esta frase a matemáticas puras:

b 3 = b 2 +30

Tenemos dos ecuaciones. Combinémoslos en un sistema:

El sistema parece simple. Pero hay demasiados índices diferentes para las letras. ¡Sustituyamos en lugar del segundo y tercer término sus expresiones por el primer término y el denominador! ¿Fue en vano que los pintamos?

Obtenemos:

Pero un sistema así ya no es un regalo, sí... ¿Cómo solucionar esto? Desafortunadamente, no existe un hechizo secreto universal para resolver problemas complejos. no lineal No hay sistemas en matemáticas y no puede haberlos. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debería venir a tu mente cuando intentas romper un hueso tan difícil es descubrir ¿Pero no se reduce una de las ecuaciones del sistema a una forma bella que permite, por ejemplo, expresar fácilmente una de las variables en términos de otra?

Vamos a resolverlo. La primera ecuación del sistema es claramente más simple que la segunda. Lo torturaremos). ¿No deberíamos intentar desde la primera ecuación? algo expresar a través de ¿algo? Como queremos encontrar el denominador. q, entonces sería más ventajoso para nosotros expresar b 1 a través de q.

Entonces, intentemos hacer este procedimiento con la primera ecuación, usando las antiguas:

segundo 1 q = segundo 1 +10

segundo 1 q – segundo 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

¡Todo! Entonces expresamos innecesario danos la variable (b 1) mediante necesario(q). Sí, no es la expresión más simple que tenemos. Algún tipo de fracción... Pero nuestro sistema tiene un nivel decente, sí.)

Típico. Sabemos qué hacer.

Escribimos ODZ (¡Necesariamente!) :

q ≠ 1

Multiplicamos todo por el denominador (q-1) y cancelamos todas las fracciones:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Dividimos todo entre diez, abrimos los paréntesis y recogemos todo por la izquierda:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Resolvemos el resultado y obtenemos dos raíces:

q 1 = 1

q 2 = 3

Sólo hay una respuesta final: q = 3 .

Respuesta: 3

Como puedes ver, el camino para resolver la mayoría de los problemas que involucran la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica es siempre el mismo: leer atentamente condición del problema y usando la fórmula del enésimo término traducimos toda la información útil a álgebra pura.

A saber:

1) Describimos por separado cada término dado en el problema según la fórmulanorteº miembro.

2) A partir de las condiciones del problema traducimos la conexión entre los miembros a forma matemática. Componemos una ecuación o sistema de ecuaciones.

3) Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones resultante, encontramos los parámetros desconocidos de la progresión.

4) En caso de respuesta ambigua, lea atentamente las condiciones de la tarea en busca de información adicional (si la hubiera). También verificamos la respuesta recibida con los términos del DL (si corresponde).

Ahora enumeremos los principales problemas que con mayor frecuencia conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.

1. Aritmética elemental. Operaciones con fracciones y números negativos.

2. Si hay problemas con al menos uno de estos tres puntos, inevitablemente cometerá errores en este tema. Desafortunadamente... Así que no seas perezoso y repite lo mencionado anteriormente. Y siga los enlaces, vaya. A veces ayuda.)

Fórmulas modificadas y recurrentes.

Ahora veamos un par de problemas típicos de exámenes con una presentación menos familiar de la afección. ¡Sí, sí, lo has adivinado! Este modificado Y recurrente Fórmulas de enésimo término. Ya hemos encontrado fórmulas de este tipo y hemos trabajado en la progresión aritmética. Aquí todo es parecido. La esencia es la misma.

Por ejemplo, este problema de la OGE:

La progresión geométrica viene dada por la fórmula bn = 3 2 norte . Encuentra la suma de sus términos primero y cuarto.

Esta vez la progresión no es la habitual para nosotros. En forma de algún tipo de fórmula. ¿Así que lo que? Esta fórmula es también una fórmulanorteº miembro! Tú y yo sabemos que la fórmula para el enésimo término se puede escribir tanto en forma general, usando letras, como para progresión específica. CON específico primer término y denominador.

En nuestro caso, de hecho, se nos da una fórmula de término general para una progresión geométrica con los siguientes parámetros:

b 1 = 6

q = 2

¿Comprobemos?) Escribamos la fórmula para el enésimo término en forma general y sustitúyala en b 1 Y q. Obtenemos:

bn = b 1 · qn -1

bn= 6 2norte -1

Simplificamos usando factorización y propiedades de potencias, y obtenemos:

bn= 6 2norte -1 = 3·2·2norte -1 = 3 2norte -1+1 = 3 2norte

Como puedes ver, todo es justo. Pero nuestro objetivo no es demostrar la derivación de una fórmula específica. Esto es así, una digresión lírica. Puramente para entender.) Nuestro objetivo es resolver el problema de acuerdo con la fórmula que se nos proporciona en la condición. ¿Lo entiendes?) Así que trabajamos directamente con la fórmula modificada.

Contamos el primer término. sustituyamos norte=1 en la fórmula general:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Como esto. Por cierto, no seré perezoso y una vez más llamaré su atención sobre un error típico en el cálculo del primer término. NO, mirando la fórmula bn= 3 2norte¡Inmediatamente apresúrate a escribir que el primer término es un tres! Esto es un grave error, sí...)

Continuemos. sustituyamos norte=4 y contar el cuarto término:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Y finalmente calculamos la cantidad requerida:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Respuesta: 54

Otro problema.

La progresión geométrica está especificada por las condiciones:

b 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Encuentra el cuarto término de la progresión.

Aquí la progresión viene dada por una fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con esta fórmula – Nosotros también lo sabemos.

Entonces actuamos. Paso a paso.

1) Cuenta dos consecutivo miembro de la progresión.

El primer término ya nos ha sido dado. Menos siete. Pero el siguiente segundo término se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula de recurrencia. Si comprende el principio de su funcionamiento, por supuesto).

Entonces contamos el segundo término. según el conocido primero:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Calcula el denominador de la progresión.

No hay problema tampoco. Directo, dividámonos segundo polla en primero.

Obtenemos:

q = -21/(-7) = 3

3) Escribe la fórmulanorteésimo miembro en la forma habitual y calcule el miembro requerido.

Entonces, conocemos el primer término y también el denominador. Entonces escribimos:

bn= -7·3norte -1

b 4 = -7 · 3 3 = -7·27 = -189

Respuesta: -189

Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para una progresión geométrica no es esencialmente diferente de trabajar con una progresión aritmética. Sólo es importante comprender la esencia general y el significado de estas fórmulas. Bueno, también necesitas entender el significado de la progresión geométrica, sí.) Y entonces no habrá errores estúpidos.

Bueno, ¿decidamos nosotros mismos?)

Tareas muy básicas para el calentamiento:

1. Dada una progresión geométrica en la que b 1 = 243, un q = -2/3. Encuentra el sexto término de la progresión.

2. El término general de la progresión geométrica viene dado por la fórmula bn = 5∙2 norte +1 . Encuentra el número del último término de tres dígitos de esta progresión.

3. La progresión geométrica viene dada por las condiciones:

b 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Encuentra el quinto término de la progresión.

Un poco más complicado:

4. Dada una progresión geométrica:

b 1 =2048; q =-0,5

¿A qué es igual el sexto término negativo?

¿Qué parece súper difícil? De nada. La lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica te salvarán. Bueno, la fórmula para el enésimo término, por supuesto.

5. El tercer término de la progresión geométrica es -14 y el octavo término es 112. Encuentra el denominador de la progresión.

6. La suma del primer y segundo términos de la progresión geométrica es 75 y la suma del segundo y tercer términos es 150. Encuentra el sexto término de la progresión.

Respuestas (en desorden): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Eso es casi todo. Todo lo que tenemos que hacer es aprender a contar. la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su cantidad. ¡Algo muy interesante e inusual, por cierto! Más sobre esto en las próximas lecciones.)

Las matemáticas son lo quela gente controla la naturaleza y a sí mismos.

El matemático y académico soviético A.N. Kolmogórov

Progresión geométrica.

Además de los problemas sobre progresiones aritméticas, los problemas relacionados con el concepto de progresión geométrica también son habituales en los exámenes de acceso a matemáticas. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario conocer las propiedades de las progresiones geométricas y tener buenas habilidades para utilizarlas.

Este artículo está dedicado a la presentación de las propiedades básicas de la progresión geométrica. Aquí también se proporcionan ejemplos de resolución de problemas típicos., tomado de las tareas de los exámenes de ingreso en matemáticas.

Primero observemos las propiedades básicas de la progresión geométrica y recordemos las fórmulas y declaraciones más importantes., relacionado con este concepto.

Definición. Una secuencia numérica se llama progresión geométrica si cada número, comenzando por el segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. El número se llama denominador de una progresión geométrica.

Para progresión geométricalas formulas son validas

, (1)

Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término general de una progresión geométrica, y la fórmula (2) representa la propiedad principal de una progresión geométrica: cada término de la progresión coincide con la media geométrica de sus términos vecinos y.

Nota, que es precisamente por esta propiedad que la progresión en cuestión se llama “geométrica”.

Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:

, (3)

Para calcular la cantidad primero miembros de una progresión geométricase aplica la fórmula

Si denotamos , entonces

Dónde . Dado que , la fórmula (6) es una generalización de la fórmula (5).

En el caso cuando y progresión geométricaes infinitamente decreciente. Para calcular la cantidadde todos los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente, se utiliza la fórmula

. (7)

Por ejemplo , usando la fórmula (7) podemos mostrar, Qué

Dónde . Estas igualdades se obtienen a partir de la fórmula (7) bajo la condición de que , (primera igualdad) y , (segunda igualdad).

Teorema. Si entonces

Prueba. Si entonces

El teorema ha sido demostrado.

Pasemos a considerar ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión geométrica".

Ejemplo 1. Dado: , y . Encontrar .

Solución. Si aplicamos la fórmula (5), entonces

Respuesta: .

Ejemplo 2. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Desde y , usamos las fórmulas (5), (6) y obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema (9) se divide por la primera, entonces o . De esto se desprende que . Consideremos dos casos.

1. Si, entonces de la primera ecuación del sistema (9) tenemos.

2. Si, entonces.

Ejemplo 3. Deja , y . Encontrar .

Solución. De la fórmula (2) se deduce que o . Desde entonces o .

Por condición. Sin embargo, por lo tanto. Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema se divide por la primera, entonces o .

Desde entonces, la ecuación tiene una única raíz adecuada. En este caso, se desprende de la primera ecuación del sistema.

Teniendo en cuenta la fórmula (7), obtenemos.

Respuesta: .

Ejemplo 4. Dado: y . Encontrar .

Solución. Desde entonces.

Desde entonces o

Según la fórmula (2) tenemos. En este sentido, de la igualdad (10) obtenemos o .

Sin embargo, por condición, por tanto.

Ejemplo 5. Se sabe que . Encontrar .

Solución. Según el teorema, tenemos dos igualdades.

Desde entonces o . Porque entonces .

Respuesta: .

Ejemplo 6. Dado: y . Encontrar .

Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos

Desde entonces. Desde, y, entonces.

Ejemplo 7. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Según la fórmula (1) podemos escribir

Por lo tanto, tenemos o . Se sabe que y , por lo tanto y .

Respuesta: .

Ejemplo 8. Encuentra el denominador de una progresión geométrica decreciente infinita si

Y .

Solución. De la fórmula (7) se deduce Y . De aquí y de las condiciones del problema obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la primera ecuación del sistema es al cuadrado, y luego dividir la ecuación resultante por la segunda ecuación, entonces obtenemos

O .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Encuentra todos los valores para los cuales la secuencia , , es una progresión geométrica.

Solución. Deja , y . Según la fórmula (2), que define la propiedad principal de una progresión geométrica, podemos escribir o .

De aquí obtenemos la ecuación cuadrática., cuyas raíces son Y .

Comprobemos: si, entonces y ; si , entonces y .

En el primer caso tenemos y , y en el segundo – y .

Respuesta: , .

Ejemplo 10.Resuelve la ecuación

, (11)

dónde y .

Solución. El lado izquierdo de la ecuación (11) es la suma de una progresión geométrica infinita decreciente, en la que y , sujeto a: y .

De la fórmula (7) se deduce, Qué . En este sentido, la ecuación (11) toma la forma o . raíz adecuada la ecuación cuadrática es

Respuesta: .

Ejemplo 11. PAG secuencia de numeros positivosforma una progresión aritmética, A - progresión geométrica, ¿qué tiene que ver con . Encontrar .

Solución. Porque secuencia aritmética, Eso (la propiedad principal de la progresión aritmética). Porque el, entonces o . Esto implica , que la progresión geométrica tiene la forma. Según la fórmula (2), luego lo anotamos .

Desde y entonces . En este caso, la expresión toma la forma o . Por condición, entonces de la ecuación.Obtenemos una solución única al problema bajo consideración., es decir. .

Respuesta: .

Ejemplo 12. Calcular suma

. (12)

Solución. Multiplica ambos lados de la igualdad (12) por 5 y obtienes

Si restamos (12) de la expresión resultante, Eso

o .

Para calcular, sustituimos los valores en la fórmula (7) y obtenemos. Desde entonces.

Respuesta: .

Los ejemplos de resolución de problemas que se ofrecen aquí serán útiles para los solicitantes cuando se preparen para los exámenes de ingreso. Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., relacionado con la progresión geométrica, Puede utilizar tutoriales de la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir y la Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del plan de estudios escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en problemas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresiones. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

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