Trigonometría. Circulo unitario

Si ya estás familiarizado con círculo trigonométrico , y simplemente quieres refrescar tu memoria de ciertos elementos, o estás completamente impaciente, aquí lo tienes:

Aquí analizaremos todo detalladamente paso a paso.

El círculo trigonométrico no es un lujo, sino una necesidad.

Trigonometría Mucha gente lo asocia con un matorral impenetrable. De repente, se acumulan tantos valores de funciones trigonométricas, tantas fórmulas... Pero es que al principio no funcionó, y... vamos... completo malentendido...

Es muy importante no darse por vencido valores de funciones trigonométricas, - dicen, siempre puedes mirar el espolón con una tabla de valores.

Si estás constantemente mirando una tabla con los valores de fórmulas trigonométricas, ¡deshagámonos de este hábito!

¡Él nos ayudará! Trabajarás con él varias veces y luego aparecerá en tu cabeza. ¿Cómo es mejor que una mesa? Sí, en la tabla encontrará un número limitado de valores, pero en el círculo: ¡TODO!

Por ejemplo, diga mientras mira tabla estándar de valores de fórmulas trigonométricas , ¿cuál es el seno igual a, digamos, 300 grados o -45?

¿De ninguna manera?... puedes, por supuesto, conectarte. fórmulas de reducción... Y mirando el círculo trigonométrico, puedes responder fácilmente a esas preguntas. ¡Y pronto sabrás cómo!

Y cuando se resuelven ecuaciones y desigualdades trigonométricas sin un círculo trigonométrico, no hay absolutamente ninguna solución.

Introducción al círculo trigonométrico.

Vayamos en orden.

Primero, escribamos esta serie de números:

Y ahora esto:

Y finalmente este:

Eso sí, está claro que, de hecho, en primer lugar está , en segundo lugar está , y en último lugar está . Es decir, nos interesará más la cadena.

¡Pero qué bonito quedó! Si algo sucede, restauraremos esta “escalera milagrosa”.

¿Y por qué lo necesitamos?

Esta cadena son los principales valores del seno y el coseno en el primer trimestre.

Dibujemos un círculo de radio unitario en un sistema de coordenadas rectangular (es decir, tomamos cualquier radio de longitud y declaramos que su longitud es unitaria).

Desde la viga “0-Start” colocamos las esquinas en la dirección de la flecha (ver figura).

Obtenemos los puntos correspondientes en el círculo. Entonces, si proyectamos los puntos en cada uno de los ejes, obtendremos exactamente los valores de la cadena anterior.

¿Por qué es esto?, preguntas.

No analicemos todo. Consideremos principio, lo que te permitirá afrontar otras situaciones similares.

El triángulo AOB es rectangular y contiene . Y sabemos que frente al ángulo b se encuentra un cateto de la mitad del tamaño de la hipotenusa (tenemos la hipotenusa = el radio del círculo, es decir, 1).

Esto significa AB= (y por tanto OM=). Y según el teorema de Pitágoras

Espero que algo ya esté quedando claro.

Entonces el punto B corresponderá al valor y el punto M corresponderá al valor.

Lo mismo con los demás valores del primer trimestre.

Como comprenderá, el eje familiar (buey) será eje coseno, y el eje (oy) – eje de senos . Más tarde.

A la izquierda del cero a lo largo del eje del coseno (por debajo de cero a lo largo del eje del seno) habrá, por supuesto, valores negativos.

Entonces, aquí está el TODOPODEROSO, sin quien no hay ninguna parte en trigonometría.

Pero hablaremos sobre cómo usar el círculo trigonométrico.

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En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

firmar en la puerta Abre la puerta y dice:

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivo: Enseñe cómo utilizar el círculo unitario al resolver varios problemas trigonométricos.

En un curso de matemáticas escolar, son posibles varias opciones para introducir funciones trigonométricas. El más conveniente y utilizado con frecuencia es el "círculo unitario numérico". Su aplicación en el tema “Trigonometría” es muy extensa.

El círculo unitario se utiliza para:

– definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo;
– encontrar los valores de funciones trigonométricas para algunos valores del argumento numérico y angular;
– derivación de fórmulas trigonométricas básicas;
– derivación de fórmulas de reducción;
– encontrar el dominio de definición y rango de valores de funciones trigonométricas;
– determinar la periodicidad de funciones trigonométricas;
– determinación de la paridad y la imparidad de funciones trigonométricas;
– determinación de intervalos de funciones trigonométricas crecientes y decrecientes;
– determinación de intervalos de signo constante de funciones trigonométricas;
– medición de ángulos en radianes;
– encontrar los valores de funciones trigonométricas inversas;
– solución de las ecuaciones trigonométricas más simples;
– resolver desigualdades simples, etc.

Por lo tanto, el dominio activo y consciente de este tipo de visualización por parte de los estudiantes proporciona ventajas innegables para dominar la sección "Trigonometría" de las matemáticas.

El uso de las TIC en las clases de enseñanza de matemáticas facilita el dominio del círculo unitario numérico. Por supuesto, la pizarra interactiva tiene una amplia gama de aplicaciones, pero no todas las aulas la tienen. Si hablamos del uso de presentaciones, en Internet hay una amplia variedad de opciones y cada profesor puede encontrar la opción más adecuada para sus lecciones.

¿Qué tiene de especial la presentación que estoy presentando?

Esta presentación sugiere varios casos de uso y no pretende ser una demostración de una lección específica del tema "Trigonometría". Cada diapositiva de esta presentación se puede utilizar por separado, tanto en la etapa de explicación del material, desarrollo de habilidades como para la reflexión. Al crear esta presentación se prestó especial atención a su “legibilidad” desde larga distancia, ya que el número de estudiantes con baja visión crece constantemente. La combinación de colores ha sido pensada, los objetos lógicamente relacionados están unidos por un solo color. La presentación está animada de tal forma que el profesor puede comentar un fragmento de la diapositiva y el alumno puede hacer una pregunta. Por tanto, esta presentación es una especie de mesas “en movimiento”. Las últimas diapositivas no están animadas y se utilizan para comprobar el dominio del material mientras se resuelven tareas trigonométricas. El círculo en las diapositivas tiene una apariencia lo más simplificada posible y se acerca lo más posible al que los estudiantes representan en la hoja del cuaderno. Considero que esta condición es fundamental. Es importante que los estudiantes se formen una opinión sobre el círculo unitario como una forma accesible y móvil (aunque no la única) de claridad a la hora de resolver problemas trigonométricos.

Esta presentación ayudará a los maestros a presentar a los estudiantes el círculo unitario en las lecciones de geometría de noveno grado cuando estudien el tema "Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo". Y, por supuesto, ayudará a ampliar y profundizar la habilidad de trabajar con el círculo unitario al resolver problemas trigonométricos para estudiantes de último año en lecciones de álgebra.

Diapositivas 3, 4 explicar la construcción de un círculo unitario; el principio de determinar la ubicación de un punto en un círculo unitario en el primer y segundo cuarto de coordenadas; transición de definiciones geométricas de las funciones seno y coseno (en un triángulo rectángulo) a definiciones algebraicas en el círculo unitario.

Diapositivas 5-8 Explica cómo encontrar los valores de funciones trigonométricas para los ángulos principales del primer cuadrante de coordenadas.

Diapositivas 9-11 explica los signos de funciones en cuartos coordinados; determinación de intervalos de signo constante de funciones trigonométricas.

Diapositiva 12 utilizado para formar ideas sobre valores de ángulos positivos y negativos; familiarización con el concepto de periodicidad de funciones trigonométricas.

Diapositivas 13, 14 se utilizan al cambiar a una medida de ángulo en radianes.

Diapositivas 15-18 no están animados y se utilizan para resolver diversas tareas trigonométricas, consolidando y comprobando los resultados del dominio del material.

1. Pagina del titulo.
2. El establecimiento de metas.
3. Construcción de un círculo unitario. Valores básicos de ángulos en grados.
4. Determinación del seno y coseno de un ángulo en un círculo unitario.
5. Valores de tabla para seno en orden ascendente.
6. Valores de tabla para coseno en orden ascendente.
7. Valores de la tabla para tangente en orden ascendente.
8. Valores de la tabla para cotangente en orden ascendente.
9. Signos de función pecado α.
10. Signos de función porque α.
11. Signos de función bronceado α Y ctg α.
12. Valores positivos y negativos de los ángulos en el círculo unitario.
13. Medida de ángulo en radianes.
14. Valores positivos y negativos de ángulos en radianes en el círculo unitario.
15. Varias opciones para un círculo unitario para consolidar y comprobar los resultados del dominio del material.