Dependencia lineal e independencia lineal de vectores.
Base de vectores. Sistema de coordenadas afines

En el auditorio hay un carrito con bombones, y cada visitante de hoy recibirá un dulce par: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo abordará dos secciones de matemáticas superiores a la vez y veremos cómo coexisten en un solo envoltorio. ¡Tómate un descanso, come un Twix! ...joder, que montón de tonterías. Aunque está bien, no puntuaré, al final debes tener una actitud positiva hacia el estudio.

Dependencia lineal de vectores., independencia del vector lineal, base de vectores y otros términos no sólo tienen una interpretación geométrica, sino, sobre todo, un significado algebraico. El concepto mismo de "vector" desde el punto de vista del álgebra lineal no siempre es el vector "ordinario" que podemos representar en un plano o en el espacio. No necesitas buscar pruebas muy lejos, intenta dibujar un vector de espacio de cinco dimensiones. . O el vector meteorológico, por el que acabo de ir a Gismeteo: temperatura y presión atmosférica, respectivamente. El ejemplo, por supuesto, es incorrecto desde el punto de vista de las propiedades del espacio vectorial, pero, sin embargo, nadie prohíbe formalizar estos parámetros como un vector. Aliento de otoño...

No, no los voy a aburrir con la teoría, los espacios vectoriales lineales, la tarea es entender definiciones y teoremas. Los nuevos términos (dependencia lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) se aplican a todos los vectores desde un punto de vista algebraico, pero se darán ejemplos geométricos. Así, todo es sencillo, accesible y claro. Además de los problemas de geometría analítica, también consideraremos algunos problemas típicos de álgebra. Para dominar el material, es recomendable familiarizarse con las lecciones. Vectores para tontos Y ¿Cómo calcular el determinante?

Dependencia lineal e independencia de vectores planos.
Base plana y sistema de coordenadas afines.

Consideremos el plano del escritorio de su computadora (solo una mesa, mesita de noche, piso, techo, lo que quiera). La tarea constará de las siguientes acciones:

1) Seleccionar base de avión. En términos generales, una mesa tiene un largo y un ancho, por lo que es intuitivo que se necesitarán dos vectores para construir la base. Está claro que un vector no es suficiente, tres vectores son demasiado.

2) Basado en la base seleccionada establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los objetos en la mesa.

No te sorprendas, al principio las explicaciones estarán en los dedos. Además, en el tuyo. Por favor coloque dedo índice izquierdo en el borde de la mesa para que mire el monitor. Este será un vector. ahora coloque dedo meñique derecho en el borde de la mesa de la misma manera, de modo que apunte a la pantalla del monitor. Este será un vector. Sonríe, ¡te ves genial! ¿Qué podemos decir de los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa lineal expresados ​​entre sí:
, bueno, o viceversa: , donde es algún número distinto de cero.

Podéis ver una imagen de esta acción en clase. Vectores para tontos, donde expliqué la regla para multiplicar un vector por un número.

¿Tus dedos sentarán la base en el plano del escritorio de la computadora? Obviamente no. Los vectores colineales viajan hacia adelante y hacia atrás a través solo dirección, y un plano tiene largo y ancho.

Estos vectores se llaman linealmente dependiente.

Referencia: Las palabras "lineal", "lineal" denotan el hecho de que en las ecuaciones y expresiones matemáticas no hay cuadrados, cubos, otras potencias, logaritmos, senos, etc. Sólo hay expresiones y dependencias lineales (de primer grado).

Dos vectores planos linealmente dependiente si y solo si son colineales.

Cruza los dedos sobre la mesa para que entre ellos haya algún ángulo que no sea 0 o 180 grados. Dos vectores planoslineal No dependientes si y sólo si no son colineales. Entonces, se obtiene la base. No hay por qué avergonzarse de que la base esté "sesgada" con vectores no perpendiculares de diferentes longitudes. Muy pronto veremos que no sólo un ángulo de 90 grados es adecuado para su construcción, y no sólo vectores unitarios de igual longitud.

Cualquier vector de avion la única forma se amplía según la base:
, donde están los números reales. los numeros se llaman coordenadas vectoriales en esta base.

También se dice que vectorpresentado como combinación lineal Vectores de base. Es decir, la expresión se llama descomposición vectorialpor base o combinación lineal vectores de base.

Por ejemplo, podemos decir que el vector se descompone a lo largo de una base ortonormal del plano, o podemos decir que se representa como una combinación lineal de vectores.

formulemos definición de base formalmente: La base del avión. se llama un par de vectores linealmente independientes (no colineales), , donde cualquier un vector plano es una combinación lineal de vectores base.

Un punto esencial de la definición es el hecho de que los vectores se toman en un cierto orden. Bases – ¡Estas son dos bases completamente diferentes! Como dicen, no se puede reemplazar el dedo meñique de la mano izquierda por el dedo meñique de la mano derecha.

Hemos descubierto la base, pero no basta con establecer una cuadrícula de coordenadas y asignar coordenadas a cada elemento en el escritorio de su computadora. ¿Por qué no es suficiente? Los vectores son libres y deambulan por todo el plano. Entonces, ¿cómo se asignan coordenadas a esos pequeños puntos sucios de la mesa que quedaron de un fin de semana salvaje? Se necesita un punto de partida. Y ese punto de referencia es un punto familiar para todos: el origen de las coordenadas. Entendamos el sistema de coordenadas:

Comenzaré con el sistema "escolar". Ya en la lección introductoria. Vectores para tontos Destaqué algunas diferencias entre el sistema de coordenadas rectangular y la base ortonormal. Aquí está la imagen estándar:

cuando hablan de sistema de coordenadas rectangulares, la mayoría de las veces se refieren al origen, los ejes de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en un motor de búsqueda y verá que muchas fuentes le informarán sobre los ejes de coordenadas familiares de quinto a sexto grado y cómo trazar puntos en un plano.

Por otro lado, parece que un sistema de coordenadas rectangular puede definirse completamente en términos de una base ortonormal. Y eso es casi cierto. La redacción es la siguiente:

origen, Y ortonormal la base está establecida Sistema de coordenadas del plano rectangular cartesiano . Es decir, el sistema de coordenadas rectangular. definitivamente está definido por un solo punto y dos vectores ortogonales unitarios. Es por eso que ves el dibujo que di arriba: en los problemas geométricos, a menudo (pero no siempre) se dibujan tanto los vectores como los ejes de coordenadas.

Creo que todo el mundo entiende que usar un punto (origen) y una base ortonormal CUALQUIER PUNTO del avión y CUALQUIER VECTOR del avión Se pueden asignar coordenadas. En sentido figurado, “todo lo que hay en un avión se puede numerar”.

¿Se requiere que los vectores de coordenadas sean unitarios? No, pueden tener una longitud arbitraria distinta de cero. Considere un punto y dos vectores ortogonales de longitud arbitraria distinta de cero:

Tal base se llama ortogonal. El origen de las coordenadas con vectores está definido por una cuadrícula de coordenadas, y cualquier punto del plano, cualquier vector, tiene sus coordenadas en una base determinada. Por ejemplo, o. El inconveniente obvio es que los vectores de coordenadas en general tienen longitudes diferentes a la unidad. Si las longitudes son iguales a la unidad, entonces se obtiene la base ortonormal habitual.

! Nota : en la base ortogonal, así como debajo en las bases afines del plano y el espacio, se consideran unidades a lo largo de los ejes CONDICIONAL. Por ejemplo, una unidad en el eje x contiene 4 cm y una unidad en el eje de ordenadas contiene 2 cm. Esta información es suficiente para, si es necesario, convertir coordenadas "no estándar" en "nuestros centímetros habituales".

Y la segunda pregunta, que en realidad ya ha sido respondida, es si el ángulo entre los vectores base debe ser igual a 90 grados. ¡No! Como dice la definición, los vectores base deben ser solo no colineal. En consecuencia, el ángulo puede ser cualquiera excepto 0 y 180 grados.

Un punto en el avión llamado origen, Y no colineal vectores, , colocar sistema de coordenadas del plano afín :

A veces, este sistema de coordenadas se llama oblicuo sistema. Como ejemplos, el dibujo muestra puntos y vectores:

Como comprenderá, el sistema de coordenadas afines es aún menos conveniente, las fórmulas para las longitudes de vectores y segmentos, que discutimos en la segunda parte de la lección, no funcionan en él. Vectores para tontos, muchas fórmulas deliciosas relacionadas con producto escalar de vectores. Pero las reglas para sumar vectores y multiplicar un vector por un número, las fórmulas para dividir un segmento en esta relación, así como algunos otros tipos de problemas que consideraremos pronto, son válidas.

Y la conclusión es que el caso especial más conveniente de un sistema de coordenadas afín es el sistema rectangular cartesiano. Por eso tienes que verla con más frecuencia, querida. ...Sin embargo, todo en esta vida es relativo: hay muchas situaciones en las que un ángulo oblicuo (o algún otro, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Y a los humanoides les podrían gustar esos sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Todos los problemas de esta lección son válidos tanto para el sistema de coordenadas rectangulares como para el caso afín general. Aquí no hay nada complicado, todo el material es accesible incluso para un escolar.

¿Cómo determinar la colinealidad de vectores planos?

Cosa típica. Para que dos vectores planos fueran colineales, es necesario y suficiente que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales Esencialmente, se trata de un detalle coordenada por coordenada de la relación obvia.

Ejemplo 1

a) Comprueba si los vectores son colineales. .
b) ¿Los vectores forman una base? ?

Solución:
a) Averigüemos si existe para vectores. coeficiente de proporcionalidad, tal que se satisfacen las igualdades:

Definitivamente les hablaré sobre la versión "peculiar" de aplicar esta regla, que funciona bastante bien en la práctica. La idea es recuperar inmediatamente la proporción y ver si es correcta:

Hagamos una proporción a partir de las razones de las coordenadas correspondientes de los vectores:

Acortemos:
, por lo tanto las coordenadas correspondientes son proporcionales, por lo tanto,

La relación se podría hacer al revés, esta es una opción equivalente:

Para la autocomprobación, puede utilizar el hecho de que los vectores colineales se expresan linealmente entre sí. En este caso las igualdades se dan . Su validez se puede verificar fácilmente mediante operaciones elementales con vectores:

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Examinamos vectores en busca de colinealidad. . Creemos un sistema:

De la primera ecuación se deduce que, de la segunda ecuación se deduce que, lo que significa el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por tanto, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Conclusión: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Una versión simplificada de la solución se ve así:

Hagamos una proporción a partir de las coordenadas correspondientes de los vectores. :
, lo que significa que estos vectores son linealmente independientes y forman una base.

Por lo general, los revisores no rechazan esta opción, pero surge un problema en los casos en que algunas coordenadas son iguales a cero. Como esto: . O así: . O así: . ¿Cómo trabajar con la proporción aquí? (de hecho, no se puede dividir por cero). Es por esta razón que llamé a la solución simplificada “tonta”.

Respuesta: a), b) forma.

Un pequeño ejemplo creativo para su propia solución:

Ejemplo 2

¿A qué valor del parámetro están los vectores? ¿Serán colineales?

En la solución de muestra, el parámetro se encuentra mediante la proporción.

Existe una forma algebraica elegante de comprobar la colinealidad de los vectores. Sistematicemos nuestro conocimiento y agreguémoslo como quinto punto:

Para dos vectores planos las siguientes afirmaciones son equivalentes:

2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero.

Respectivamente, las siguientes afirmaciones opuestas son equivalentes:
1) los vectores son linealmente dependientes;
2) los vectores no forman una base;
3) los vectores son colineales;
4) los vectores se pueden expresar linealmente entre sí;
+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero.

Realmente espero que a estas alturas ya comprenda todos los términos y declaraciones que ha encontrado.

Echemos un vistazo más de cerca al nuevo quinto punto: dos vectores de avion son colineales si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero:. Para aplicar esta función, por supuesto, debe poder encontrar determinantes.

Vamos a decidir Ejemplo 1 en la segunda forma:

a) Calculemos el determinante formado por las coordenadas de los vectores. :
, lo que significa que estos vectores son colineales.

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales. :
, lo que significa que los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Respuesta: a), b) forma.

Parece mucho más compacto y bonito que una solución con proporciones.

Con la ayuda del material considerado, es posible establecer no solo la colinealidad de los vectores, sino también demostrar el paralelismo de segmentos y líneas rectas. Consideremos un par de problemas con formas geométricas específicas.

Ejemplo 3

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demuestra que un cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba: No es necesario crear un dibujo en el problema, ya que la solución será puramente analítica. Recordemos la definición de paralelogramo:
Paralelogramo Se llama un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.

Por tanto, es necesario acreditar:
1) paralelismo de lados opuestos y;
2) paralelismo de lados opuestos y.

Probamos:

1) Encuentra los vectores:

2) Encuentra los vectores:

El resultado es el mismo vector (“según la escuela” – vectores iguales). La colinealidad es bastante obvia, pero es mejor formalizar la decisión de forma clara y concertada. Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:
, lo que significa que estos vectores son colineales, y .

Conclusión: Los lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos en pares, lo que significa que es un paralelogramo por definición. QED.

Más figuras buenas y diferentes:

Ejemplo 4

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demuestra que un cuadrilátero es un trapezoide.

Para una formulación más rigurosa de la prueba, es mejor, por supuesto, obtener la definición de trapezoide, pero basta con recordar cómo se ve.

Esta es una tarea que debes resolver por tu cuenta. Solución completa al final de la lección.

Y ahora ha llegado el momento de pasar lentamente del avión al espacio:

¿Cómo determinar la colinealidad de los vectores espaciales?

La regla es muy similar. Para que dos vectores espaciales sean colineales es necesario y suficiente que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales.

Ejemplo 5

Descubra si los siguientes vectores espaciales son colineales:

A) ;
b)
V)

Solución:
a) Comprobemos si existe un coeficiente de proporcionalidad para las coordenadas correspondientes de los vectores:

El sistema no tiene solución, lo que significa que los vectores no son colineales.

“Simplificado” se formaliza comprobando la proporción. En este caso:
– las coordenadas correspondientes no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.

Respuesta: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son puntos para una decisión independiente. Pruébelo de dos maneras.

Existe un método para verificar la colinealidad de vectores espaciales a través de un determinante de tercer orden; este método se trata en el artículo. Producto vectorial de vectores.

Al igual que en el caso del plano, las herramientas consideradas se pueden utilizar para estudiar el paralelismo de segmentos espaciales y líneas rectas.

Bienvenidos a la segunda sección:

Dependencia lineal e independencia de vectores en el espacio tridimensional.
Base espacial y sistema de coordenadas afines.

Muchos de los patrones que examinamos en el avión serán válidos para el espacio. Intenté minimizar las notas teóricas, ya que la mayor parte de la información ya ha sido masticada. Sin embargo, te recomiendo que leas atentamente la parte introductoria, ya que aparecerán nuevos términos y conceptos.

Ahora, en lugar del plano del escritorio de la computadora, exploramos el espacio tridimensional. Primero, creemos su base. Alguien está ahora dentro, alguien está fuera, pero en cualquier caso, no podemos escapar de las tres dimensiones: ancho, largo y alto. Por tanto, para construir una base, se necesitarán tres vectores espaciales. Uno o dos vectores no son suficientes, el cuarto es superfluo.

Y nuevamente calentamos con los dedos. Por favor levante la mano y extiéndala en diferentes direcciones. pulgar, índice y dedo medio. Estos serán vectores, miran en diferentes direcciones, tienen diferentes longitudes y diferentes ángulos entre ellos. ¡Felicitaciones, la base del espacio tridimensional está lista! Por cierto, no es necesario demostrárselo a los profesores, por mucho que tuerzas los dedos, pero no hay forma de escapar de las definiciones =)

A continuación, hagamos una pregunta importante: ¿Tres vectores cualesquiera forman una base del espacio tridimensional?? Presione firmemente con tres dedos sobre la parte superior del escritorio de la computadora. ¿Qué pasó? Tres vectores están ubicados en el mismo plano y, en términos generales, hemos perdido una de las dimensiones: la altura. Tales vectores son coplanar y es bastante obvio que no se crea la base del espacio tridimensional.

Cabe señalar que los vectores coplanares no tienen por qué estar en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (simplemente no hagas esto con los dedos, solo Salvador Dalí lo hizo =)).

Definición: los vectores se llaman coplanar, si hay un plano al que son paralelos. Es lógico añadir aquí que si dicho plano no existe, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares siempre son linealmente dependientes., es decir, se expresan linealmente entre sí. Para simplificar, imaginemos nuevamente que se encuentran en el mismo plano. En primer lugar, los vectores no sólo son coplanares, también pueden ser colineales, luego cualquier vector se puede expresar a través de cualquier vector. En el segundo caso, si, por ejemplo, los vectores no son colineales, entonces el tercer vector se expresa a través de ellos de forma única: (y por qué es fácil de adivinar a partir de los materiales de la sección anterior).

Lo contrario también es cierto: tres vectores no coplanares son siempre linealmente independientes, es decir, de ninguna manera se expresan uno a través del otro. Y, obviamente, sólo esos vectores pueden formar la base del espacio tridimensional.

Definición: La base del espacio tridimensional. se llama un triple de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado en un orden determinado, y cualquier vector del espacio la única forma se descompone sobre una base dada, ¿dónde están las coordenadas del vector en esta base?

Permítanme recordarles que también podemos decir que el vector se representa en la forma combinación lineal vectores de base.

El concepto de sistema de coordenadas se introduce exactamente de la misma manera que para el caso plano; un punto y tres vectores cualesquiera linealmente independientes son suficientes:

origen, Y no coplanar vectores, tomado en un orden determinado, colocar sistema de coordenadas afines del espacio tridimensional :

Por supuesto, la cuadrícula de coordenadas es "oblicua" e inconveniente, pero, sin embargo, el sistema de coordenadas construido nos permite definitivamente determinar las coordenadas de cualquier vector y las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar a un avión, algunas fórmulas que ya he mencionado no funcionarán en el sistema de coordenadas afines del espacio.

El caso especial más familiar y conveniente de un sistema de coordenadas afín, como todos suponen, es sistema de coordenadas del espacio rectangular:

Un punto en el espacio llamado origen, Y ortonormal la base está establecida Sistema de coordenadas del espacio rectangular cartesiano . Imagen conocida:

Antes de pasar a las tareas prácticas, sistematicemos nuevamente la información:

Para tres vectores espaciales las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden expresarse linealmente entre sí;
5) el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores, es distinto de cero.

Creo que las afirmaciones contrarias son comprensibles.

La dependencia/independencia lineal de los vectores espaciales se comprueba tradicionalmente mediante un determinante (punto 5). El resto de tareas prácticas serán de marcado carácter algebraico. Es hora de colgar el palo de geometría y empuñar el bate de béisbol del álgebra lineal:

Tres vectores del espacio son coplanares si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero: .

Me gustaría llamar su atención sobre un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden escribir no solo en columnas, sino también en filas (el valor del determinante no cambiará debido a esto; consulte las propiedades de los determinantes). Pero es mucho mejor en columnas, ya que es más beneficioso para resolver algunos problemas prácticos.

Para aquellos lectores que han olvidado un poco los métodos de cálculo de determinantes, o tal vez no los comprenden en absoluto, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Cómo calcular el determinante?

Ejemplo 6

Compruebe si los siguientes vectores forman la base del espacio tridimensional:

Solución: De hecho, toda la solución se reduce a calcular el determinante.

a) Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales (el determinante se revela en la primera línea):

, lo que significa que los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y forman la base del espacio tridimensional.

Respuesta: estos vectores forman una base

b) Este es un punto para una decisión independiente. Solución completa y respuesta al final de la lección.

También hay tareas creativas:

Ejemplo 7

¿A qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Solución: Los vectores son coplanares si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero:

Básicamente, necesitas resolver una ecuación con un determinante. Nos abalanzamos sobre los ceros como cometas sobre jerbos; es mejor abrir el determinante en la segunda línea y deshacernos inmediatamente de los inconvenientes:

Realizamos mayores simplificaciones y reducimos el asunto a la ecuación lineal más simple:

Respuesta: en

Es fácil comprobarlo aquí; para hacer esto, debe sustituir el valor resultante en el determinante original y asegurarse de que , abriéndolo de nuevo.

En conclusión, consideraremos otro problema típico, que es de naturaleza más algebraica y tradicionalmente se incluye en un curso de álgebra lineal. Es tan común que merece su propio tema:

Demuestre que 3 vectores forman la base del espacio tridimensional.
y encuentre las coordenadas del cuarto vector en esta base

Ejemplo 8

Se dan vectores. Demuestre que los vectores forman una base en el espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.

Solución: Primero, abordemos la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas en alguna base. Cuál es esta base no nos interesa. Y es interesante lo siguiente: tres vectores bien pueden formar una nueva base. Y la primera etapa coincide completamente con la solución del Ejemplo 6, es necesario comprobar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:

, lo que significa que los vectores son linealmente independientes y forman la base del espacio tridimensional.

! Importante : coordenadas vectoriales Necesariamente anote en columnas determinante, no en cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución posterior.

Definición de base. Un sistema de vectores forma una base si:

1) es linealmente independiente,

2) cualquier vector del espacio se puede expresar linealmente a través de él.

Ejemplo 1. Base espacial: .

2. en el sistema vectorial la base son los vectores: , porque expresado linealmente en términos de vectores.

Comentario. Para encontrar la base de un sistema de vectores dado es necesario:

1) escribe las coordenadas de los vectores en la matriz,

2) usando transformaciones elementales, lleve la matriz a una forma triangular,

3) las filas distintas de cero de la matriz serán la base del sistema,

4) el número de vectores en la base es igual al rango de la matriz.

Teorema de Kronecker-Capelli

El teorema de Kronecker-Capelli proporciona una respuesta completa a la cuestión de la compatibilidad de un sistema arbitrario de ecuaciones lineales con incógnitas.

Teorema de Kronecker-Capelli. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y sólo si el rango de la matriz extendida del sistema es igual al rango de la matriz principal.

El algoritmo para encontrar todas las soluciones de un sistema simultáneo de ecuaciones lineales se deriva del teorema de Kronecker-Capelli y los siguientes teoremas.

Teorema. Si el rango de un sistema conjunto es igual al número de incógnitas, entonces el sistema tiene una solución única.

Teorema. Si el rango de un sistema conjunto es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Algoritmo para resolver un sistema arbitrario de ecuaciones lineales:

1. Encuentre los rangos de las matrices principal y extendida del sistema. Si no son iguales (), entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones). Si los rangos son iguales ( , entonces el sistema es consistente.

2. Para un sistema conjunto, encontramos algún menor, cuyo orden determina el rango de la matriz (este menor se llama básico). Compongamos un nuevo sistema de ecuaciones en el que los coeficientes de las incógnitas se incluyan en la principal menor (estas incógnitas se denominan incógnitas principales) y descartemos las ecuaciones restantes. Dejaremos las incógnitas principales con coeficientes a la izquierda y moveremos las incógnitas restantes (se llaman incógnitas libres) al lado derecho de las ecuaciones.

3. Busquemos expresiones para las principales incógnitas en términos de libres. Obtenemos la solución general del sistema.

4. Al dar valores arbitrarios a las incógnitas libres, obtenemos los valores correspondientes de las principales incógnitas. De esta manera encontramos soluciones parciales al sistema de ecuaciones original.

Programación lineal. Conceptos básicos

Programación lineal Es una rama de la programación matemática que estudia métodos para resolver problemas extremos que se caracterizan por una relación lineal entre variables y un criterio lineal.

Una condición necesaria para plantear un problema de programación lineal son las restricciones a la disponibilidad de recursos, la cantidad de demanda, la capacidad de producción de la empresa y otros factores de producción.

La esencia de la programación lineal es encontrar los puntos del valor mayor o menor de una determinada función bajo un cierto conjunto de restricciones impuestas a los argumentos y generadores. sistema de restricciones , que, por regla general, tiene un número infinito de soluciones. Cada conjunto de valores de variables (argumentos de función F ) que satisfacen el sistema de restricciones se llama plan válido Problemas de programación lineal. Función F , cuyo máximo o mínimo se determina se llama función objetivo tareas. Un plan factible en el que se logra el máximo o el mínimo de una función. F , llamado plan optimo tareas.

El sistema de restricciones que determina muchos planes viene dictado por las condiciones de producción. Problema de programación lineal ( ZLP ) es la elección del más rentable (óptimo) de un conjunto de planes factibles.

En su formulación general, el problema de programación lineal se ve así:

¿Hay alguna variable? x = (x 1, x 2, ... x n) y la función de estas variables f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , Lo que es llamado objetivo funciones. La tarea está planteada: encontrar el extremo (máximo o mínimo) de la función objetivo f(x) siempre que las variables X pertenecer a alguna zona GRAMO :

Según el tipo de función f(x) y regiones GRAMO y distinguir entre secciones de programación matemática: programación cuadrática, programación convexa, programación entera, etc. La programación lineal se caracteriza por el hecho de que
Una función f(x) es una función lineal de las variables x 1, x 2, … x n
b) región GRAMO determinado por el sistema lineal igualdades o desigualdades.

Encuentre la base del sistema de vectores y vectores no incluidos en la base, expándalos según la base:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Solución. Considere un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

o en forma expandida.

Resolveremos este sistema mediante el método gaussiano, sin intercambiar filas y columnas y, además, eligiendo el elemento principal no en la esquina superior izquierda, sino a lo largo de toda la fila. El desafío es seleccione la parte diagonal del sistema transformado de vectores.

~ ~

~ ~ ~ .

El sistema de vectores permitido, equivalente al original, tiene la forma

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Dónde A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vectores A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 forman un sistema diagonal. Por lo tanto, los vectores A 1 , A 3 , A 4 forman la base del sistema vectorial. A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Expandamos ahora los vectores. A 2 Y A 5 en base A 1 , A 3 , A 4 . Para hacer esto, primero expandimos los vectores correspondientes. A 2 1 Y A 5 1 sistema diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, teniendo en cuenta que los coeficientes de expansión de un vector a lo largo del sistema diagonal son sus coordenadas xyo.

De (1) tenemos:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vectores A 2 Y A 5 se amplían en base A 1 , A 3 , A 4 con los mismos coeficientes que los vectores. A 2 1 Y A 5 1 sistema diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (esos coeficientes xyo). Por eso,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Tareas. 1.Encontrar la base del sistema de vectores y vectores no incluidos en la base, expandirlos según la base:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Encuentra todas las bases del sistema vectorial:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Una combinación lineal de vectores es un vector.
, donde λ 1, ..., λ m son coeficientes arbitrarios.

Sistema vectorial
se llama linealmente dependiente si hay una combinación lineal de ella igual a , que tiene al menos un coeficiente distinto de cero.

Sistema vectorial
se llama linealmente independiente si en cualquiera de sus combinaciones lineales es igual a , todos los coeficientes son cero.

La base del sistema vectorial.
se llama su subsistema linealmente independiente no vacío, a través del cual se puede expresar cualquier vector del sistema.

Ejemplo 2. Encuentra la base de un sistema de vectores. = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) y expresar los vectores restantes a través de la base.

Solución: Construimos una matriz en la que las coordenadas de estos vectores están ordenadas en columnas. Lo llevamos a una forma paso a paso.

~
~
~
.

La base de este sistema está formada por los vectores. ,,, que corresponden a los elementos principales de las líneas, resaltados en círculos. Para expresar un vector resuelve la ecuación x 1 +x2 +x4 =. Se reduce a un sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz se obtiene de la permutación original de la columna correspondiente a , en lugar de la columna de términos libres. Por tanto, para resolver el sistema utilizamos la matriz resultante de forma escalonada, realizando en ella los reordenamientos necesarios.

Constantemente encontramos:

x1 + 4 = 3, x1 = -1;

= -+2.

Observación 1. Si es necesario expresar varios vectores a través de la base, entonces para cada uno de ellos se construye un sistema correspondiente de ecuaciones lineales. Estos sistemas se diferenciarán sólo en las columnas de miembros gratuitos. Por tanto, para resolverlos, puedes crear una matriz, que tendrá varias columnas de términos libres. Además, cada sistema se resuelve independientemente de los demás.

Observación 2. Para expresar cualquier vector, basta con utilizar sólo los vectores base del sistema que lo precede. En este caso, no es necesario reformatear la matriz, basta con poner una línea vertical en el lugar correcto.

Ejercicio 2. Encuentra la base del sistema de vectores y expresa los vectores restantes a través de la base:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistema fundamental de soluciones.

Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo si todos sus términos libres son iguales a cero.

El sistema fundamental de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales es la base del conjunto de sus soluciones.

Se nos dará un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales. Un sistema homogéneo asociado a uno dado es un sistema obtenido a partir de uno dado reemplazando todos los términos libres por ceros.

Si el sistema no homogéneo es consistente e indefinido, entonces su solución arbitraria tiene la forma f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, donde f n es una solución particular del sistema no homogéneo y f o1, ... , fo k es las soluciones fundamentales del sistema del sistema homogéneo asociado.

Ejemplo 3. Encuentre una solución particular al sistema no homogéneo del Ejemplo 1 y el sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado.

Solución Escribamos la solución obtenida en el ejemplo 1 en forma vectorial y descompongamos el vector resultante en una suma de los parámetros libres presentes en él y los valores numéricos fijos:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Obtenemos f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Comentario. El problema de encontrar un sistema fundamental de soluciones para un sistema homogéneo se resuelve de manera similar.

Ejercicio 3.1 Encuentra el sistema fundamental de soluciones de un sistema homogéneo:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Ejercicio 3.2. Encuentre una solución particular al sistema no homogéneo y un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo asociado:

A)

b)

En el artículo sobre vectores de n dimensiones, llegamos al concepto de espacio lineal generado por un conjunto de vectores de n dimensiones. Ahora tenemos que considerar conceptos igualmente importantes, como la dimensión y la base de un espacio vectorial. Están directamente relacionados con el concepto de un sistema de vectores linealmente independiente, por lo que también se recomienda recordar los conceptos básicos de este tema.

Introduzcamos algunas definiciones.

Definición 1

Dimensión del espacio vectorial– un número correspondiente al número máximo de vectores linealmente independientes en este espacio.

Definición 2

Base del espacio vectorial– un conjunto de vectores linealmente independientes, ordenados e iguales en número a la dimensión del espacio.

Consideremos un cierto espacio de n -vectores. Su dimensión es correspondientemente igual a n. Tomemos un sistema de n vectores unitarios:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Usamos estos vectores como componentes de la matriz A: será una matriz unitaria de dimensión n por n. El rango de esta matriz es n. Por tanto, el sistema vectorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) es linealmente independiente. En este caso, es imposible agregar un solo vector al sistema sin violar su independencia lineal.

Dado que el número de vectores en el sistema es n, entonces la dimensión del espacio de los vectores n-dimensionales es n, y los vectores unitarios son e (1), e (2), . . . , e (n) son la base del espacio especificado.

De la definición resultante podemos concluir: cualquier sistema de vectores n-dimensionales en el que el número de vectores sea menor que n no es una base del espacio.

Si intercambiamos el primer y segundo vector, obtenemos un sistema de vectores e (2) , e (1) , . . . , mi (n) . También será la base de un espacio vectorial de n dimensiones. Creemos una matriz tomando los vectores del sistema resultante como sus filas. La matriz se puede obtener a partir de la matriz identidad intercambiando las dos primeras filas, su rango será n. Sistema mi (2) , mi (1) , . . . , e (n) es linealmente independiente y es la base de un espacio vectorial n-dimensional.

Al reorganizar otros vectores en el sistema original, obtenemos otra base.

Podemos tomar un sistema linealmente independiente de vectores no unitarios y también representará la base de un espacio vectorial de n dimensiones.

Definición 3

Un espacio vectorial con dimensión n tiene tantas bases como sistemas linealmente independientes de vectores n-dimensionales de número n.

El plano es un espacio bidimensional; su base serán dos vectores cualesquiera no colineales. La base del espacio tridimensional serán tres vectores cualesquiera no coplanares.

Consideremos la aplicación de esta teoría usando ejemplos específicos.

Ejemplo 1

Datos iniciales: vectores

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)

Es necesario determinar si los vectores especificados son la base de un espacio vectorial tridimensional.

Solución

Para resolver el problema, estudiamos el sistema de vectores dado para determinar su dependencia lineal. Creemos una matriz, donde las filas son las coordenadas de los vectores. Determinemos el rango de la matriz.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

En consecuencia, los vectores especificados por la condición del problema son linealmente independientes y su número es igual a la dimensión del espacio vectorial: son la base del espacio vectorial.

Respuesta: los vectores indicados son la base del espacio vectorial.

Ejemplo 2

Datos iniciales: vectores

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Es necesario determinar si el sistema de vectores especificado puede ser la base del espacio tridimensional.

Solución

El sistema de vectores especificado en el enunciado del problema es linealmente dependiente, porque el número máximo de vectores linealmente independientes es 3. Por tanto, el sistema de vectores indicado no puede servir como base para un espacio vectorial tridimensional. Pero vale la pena señalar que el subsistema del sistema original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) es una base.

Respuesta: el sistema de vectores indicado no es una base.

Ejemplo 3

Datos iniciales: vectores

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

¿Pueden ser la base del espacio de cuatro dimensiones?

Solución

Creemos una matriz usando las coordenadas de los vectores dados como filas.

Un = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Utilizando el método gaussiano, determinamos el rango de la matriz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

En consecuencia, el sistema de vectores dados es linealmente independiente y su número es igual a la dimensión del espacio vectorial; son la base de un espacio vectorial de cuatro dimensiones.

Respuesta: los vectores dados son la base del espacio de cuatro dimensiones.

Ejemplo 4

Datos iniciales: vectores

un (1) = (1, 2, - 1, - 2) un (2) = (0, 2, 1, - 3) un (3) = (1, 0, 0, 5)

¿Forman la base de un espacio de dimensión 4?

Solución

El sistema original de vectores es linealmente independiente, pero el número de vectores que contiene no es suficiente para convertirse en la base de un espacio de cuatro dimensiones.

Respuesta: no, no lo hacen.

Descomposición de un vector en una base.

Supongamos que los vectores arbitrarios e (1) , e (2) , . . . , e (n) son la base de un espacio vectorial n-dimensional. Agreguémosles un cierto vector n-dimensional x →: el sistema de vectores resultante se volverá linealmente dependiente. Las propiedades de la dependencia lineal establecen que al menos uno de los vectores de dicho sistema puede expresarse linealmente a través de los demás. Reformulando esta afirmación, podemos decir que al menos uno de los vectores de un sistema linealmente dependiente se puede expandir a los vectores restantes.

Así, llegamos a la formulación del teorema más importante:

Definición 4

Cualquier vector de un espacio vectorial de n dimensiones se puede descomponer de forma única en una base.

Evidencia 1

Demostremos este teorema:

establezcamos la base del espacio vectorial de n dimensiones: e (1), e (2),. . . , mi (n) . Hagamos que el sistema sea linealmente dependiente agregándole un vector n-dimensional x →. Este vector se puede expresar linealmente en términos de los vectores originales e:

x = x 1 · mi (1) + x 2 · mi (2) + . . . + x n · e (n) , donde x 1 , x 2 , . . . , x n - algunos números.

Ahora demostramos que tal descomposición es única. Supongamos que no es así y existe otra descomposición similar:

x = x ~ 1 mi (1) + x 2 ~ mi (2) + . . . + x ~ n e (n), donde x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n - algunos números.

Restemos de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la igualdad x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x norte · mi (norte) . Obtenemos:

0 = (x ~ 1 - x 1) · mi (1) + (x ~ 2 - x 2) · mi (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistema de vectores base e (1) , e (2) , . . . , e(n) es linealmente independiente; Por definición de independencia lineal de un sistema de vectores, la igualdad anterior sólo es posible cuando todos los coeficientes son (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), . . . , (x ~ n - x n) será igual a cero. De lo cual será justo: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x norte = x ~ norte . Y esta resulta ser la única opción para descomponer un vector en una base.

En este caso, los coeficientes x 1, x 2, . . . , x n se llaman coordenadas del vector x → en la base e (1) , e (2) , . . . , mi (n) .

La teoría probada deja clara la expresión “dado un vector n-dimensional x = (x 1, x 2, . . . , x n)”: se considera un vector x → espacio vectorial n-dimensional, y sus coordenadas se especifican en un cierta base. También está claro que el mismo vector en otra base del espacio n-dimensional tendrá coordenadas diferentes.

Considere el siguiente ejemplo: supongamos que en alguna base de espacio vectorial n-dimensional se da un sistema de n vectores linealmente independientes.

y también se da el vector x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ).

Vectores mi 1 (1) , mi 2 (2) , . . . , e n (n) en este caso también son la base de este espacio vectorial.

Supongamos que es necesario determinar las coordenadas del vector x → en la base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n), denotado como x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

El vector x → se representará de la siguiente manera:

x = x ~ 1 mi (1) + x ~ 2 mi (2) + . . . + x ~ norte mi (norte)

Escribamos esta expresión en forma de coordenadas:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , mi (2) 2 , . . . , mi (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

La igualdad resultante es equivalente a un sistema de n expresiones algebraicas lineales con n variables lineales desconocidas x ~ 1, x ~ 2, . . . , x~n:

x 1 = x ~ 1 mi 1 1 + x ~ 2 mi 1 2 + . . . + x ~ norte mi 1 norte x 2 = x ~ 1 mi 2 1 + x ~ 2 mi 2 2 + . . . + x ~ norte mi 2 norte ⋮ x norte = x ~ 1 mi norte 1 + x ~ 2 mi norte 2 + . . . + x ~ n e n n

La matriz de este sistema tendrá la siguiente forma:

mi 1 (1) mi 1 (2) ⋯ mi 1 (n) mi 2 (1) mi 2 (2) ⋯ mi 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi n (1) mi n (2) ⋯ mi n (n)

Sea esta una matriz A, y sus columnas son vectores de un sistema linealmente independiente de vectores e 1 (1), e 2 (2), . . . , en (n) . El rango de la matriz es n y su determinante es distinto de cero. Esto indica que el sistema de ecuaciones tiene una solución única, determinada por cualquier método conveniente: por ejemplo, el método de Cramer o el método matricial. De esta manera podemos determinar las coordenadas x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n vector x → en la base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , en (n) .

Apliquemos la teoría considerada a un ejemplo específico.

Ejemplo 6

Datos iniciales: los vectores se especifican en base al espacio tridimensional

mi (1) = (1, - 1, 1) mi (2) = (3, 2, - 5) mi (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)

Es necesario confirmar el hecho de que el sistema de vectores e (1), e (2), e (3) también sirve como base de un espacio dado, así como para determinar las coordenadas del vector x en una base dada.

Solución

El sistema de vectores e (1), e (2), e (3) será la base del espacio tridimensional si es linealmente independiente. Averigüemos esta posibilidad determinando el rango de la matriz A, cuyas filas son los vectores dados e (1), e (2), e (3).

Usamos el método gaussiano:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Por tanto, el sistema de vectores e (1), e (2), e (3) es linealmente independiente y es una base.

Sea el vector x → tener coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 en la base. La relación entre estas coordenadas está determinada por la ecuación:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 mi 2 (3) x 3 = x ~ 1 mi 3 (1) + x ~ 2 mi 3 (2) + x ~ 3 mi 3 (3)

Apliquemos los valores según las condiciones del problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Resolvamos el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Así, el vector x → en la base e (1), e (2), e (3) tiene coordenadas x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Respuesta: x = (1, 1, 1)

Relación entre bases

Supongamos que en alguna base de espacio vectorial n-dimensional se dan dos sistemas de vectores linealmente independientes:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

mi (1) = (mi 1 (1) , mi 2 (1) , . . . , mi n (1)) mi (2) = (mi 1 (2) , mi 2 (2) , . . . , mi n (2)) ⋮ mi (n) = (mi 1 (n) , mi 2 (n) , . . . , mi n (n))

Estos sistemas también son bases de un espacio determinado.

Sea c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), . . . , c ~ n (1) - coordenadas del vector c (1) en la base e (1) , e (2) , . . . , e (3) , entonces la relación de coordenadas vendrá dada por un sistema de ecuaciones lineales:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) mi 1 (1) + c ~ 2 (1) mi 1 (2) + . . . + c ~ n (1) mi 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) mi 2 (1) + c ~ 2 (1) mi 2 (2) + . . . + c ~ n (1) mi 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) mi n (1) + c ~ 2 (1) mi n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

El sistema se puede representar como una matriz de la siguiente manera:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) mi 2 (1) … mi n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … mi n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) … mi n (n)

Hagamos la misma entrada para el vector c (2) por analogía:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) mi 2 (1) … mi n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … mi n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) … mi n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) mi 2 (1) … mi n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) … mi n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) … mi n (n)

Combinemos las igualdades matriciales en una expresión:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) mi 2 (norte) ⋯ mi norte (norte)

Determinará la conexión entre los vectores de dos bases diferentes.

Utilizando el mismo principio, es posible expresar todos los vectores de base e(1), e(2), . . . , e (3) a través de la base c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

mi 1 (1) mi 2 (1) ⋯ mi n (1) mi 1 (2) mi 2 (2) ⋯ mi n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) ⋯ mi n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (norte) ⋯ c norte (norte)

Demos las siguientes definiciones:

Definición 5

Matriz c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) es la matriz de transición de la base e (1) , e (2) , . . . , mi (3)

a la base c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definición 6

Matriz e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) es la matriz de transición de la base c (1) , c (2) , . . . , c(n)

a la base e (1) , e (2) , . . . , mi (3) .

De estas igualdades es obvio que

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

aquellos. las matrices de transición son recíprocas.

Veamos la teoría usando un ejemplo específico.

Ejemplo 7

Datos iniciales: es necesario encontrar la matriz de transición a partir de la base

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) c (3) = (3, 7, 1)

mi (1) = (3, 1, 4) mi (2) = (5, 2, 1) mi (3) = (1, 1, - 6)

También es necesario indicar la relación entre las coordenadas de un vector arbitrario x → en las bases dadas.

Solución

1. Sea T la matriz de transición, entonces la igualdad será verdadera:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplica ambos lados de la igualdad por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

y obtenemos:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Defina la matriz de transición:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definamos la relación entre las coordenadas del vector x → :

Supongamos que en la base c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → tiene coordenadas x 1 , x 2 , x 3 , entonces:

x = (x 1 , x 2 , x 3 ) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

y en la base e (1) , e (2) , . . . , e (3) tiene coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, entonces:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Porque Si los lados izquierdos de estas igualdades son iguales, podemos igualar los lados derechos también:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Multiplica ambos lados de la derecha por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

y obtenemos:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Por otro lado

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Las últimas igualdades muestran la relación entre las coordenadas del vector x → en ambas bases.

Respuesta: matriz de transición

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Las coordenadas del vector x → en las bases dadas están relacionadas por la relación:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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