La función exponencial de una variable real (con base positiva) se determina en varios pasos. Primero, para los valores naturales, como producto de factores iguales. La definición luego se extiende a números enteros negativos y valores distintos de cero según las reglas. A continuación, consideramos exponentes fraccionarios en los que el valor de la función exponencial se determina mediante raíces: . En el caso de los valores irracionales, la definición ya está relacionada con el concepto básico del análisis matemático: con el paso al límite, por razones de continuidad. Todas estas consideraciones no son de ninguna manera aplicables a los intentos de extender la función exponencial a valores complejos del indicador, y qué es, por ejemplo, no está del todo claro.

Por primera vez, Euler introdujo una potencia con un exponente complejo con base natural basándose en un análisis de una serie de construcciones de cálculo integral. A veces, expresiones algebraicas muy similares, cuando se integran, dan respuestas completamente diferentes:

Al mismo tiempo, aquí la segunda integral se obtiene formalmente de la primera cuando se reemplaza por

De esto podemos concluir que con la definición adecuada de una función exponencial con un exponente complejo, las funciones trigonométricas inversas están relacionadas con los logaritmos y, por lo tanto, la función exponencial está relacionada con las trigonométricas.

Euler tuvo el coraje y la imaginación para dar una definición razonable de una función exponencial con base, a saber,

Esta es una definición y, por lo tanto, esta fórmula no se puede probar; solo se pueden buscar argumentos a favor de la razonabilidad y conveniencia de tal definición. El análisis matemático proporciona muchos argumentos de este tipo. Nos limitaremos a uno solo.

Se sabe que de verdad existe una relación limitante: . En el lado derecho hay un polinomio que también tiene sentido para valores complejos de . El límite de una secuencia de números complejos se determina de forma natural. Una secuencia se considera convergente si las secuencias de partes reales e imaginarias convergen y se acepta.

Encontrémoslo. Para hacer esto, pasemos a la forma trigonométrica y, como argumento, seleccionaremos valores del intervalo. Con esta elección queda claro que para . Más,

Para llegar al límite, es necesario verificar la existencia de límites para y encontrar estos límites. Está claro que

Así, en la expresión

la parte real tiende a , la parte imaginaria tiende a así

Este simple argumento proporciona uno de los argumentos a favor de la definición de Euler de la función exponencial.

Establezcamos ahora que al multiplicar los valores de una función exponencial los exponentes suman. En realidad:

2. Fórmulas de Euler.

Pongamos la definición de función exponencial. Obtenemos:

Reemplazando b con -b, obtenemos

Sumando y restando estas igualdades término por término, encontramos las fórmulas

llamadas fórmulas de Euler. Establecen una conexión entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales con exponentes imaginarios.

3. Logaritmo natural de un número complejo.

Un número complejo dado en forma trigonométrica se puede escribir en la forma Esta forma de escribir un número complejo se llama exponencial. Conserva todas las buenas propiedades de la forma trigonométrica, pero es aún más concisa. Además, por tanto, es natural suponer que la parte real del logaritmo de un número complejo es el logaritmo de su módulo y la parte imaginaria es su argumento. Esto explica hasta cierto punto la propiedad "logarítmica" del argumento: el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.

Plan:

Introducción

• 1 logaritmo real
  • 1.1 Propiedades
  • 1.2 función logarítmica
  • 1.3 Logaritmos naturales
  • 1.4 Logaritmos decimales
• 2 logaritmo complejo
  • 2.1 Definición y propiedades
  • 2.2 Ejemplos
  • 2.3 Continuación analítica
  • 2.4 superficie de riemann
• 3 Bosquejo histórico
  • 3.1 logaritmo real
  • 3.2 logaritmo complejo
• 4 Tablas logarítmicas
• 5 aplicaciones
Literatura
Notas

Introducción

Arroz. 1. Gráficas de funciones logarítmicas

Logaritmo de un número b Residencia en a (del griego λόγος - “palabra”, “actitud” y ἀριθμός - “número”) se define como un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base a para obtener el numero b. Designación: . De la definición se deduce que los registros y son equivalentes.

Por ejemplo, porque.

1. Logaritmo real

Logaritmo de un registro de números reales a b tiene sentido cuando. Como se sabe, la función exponencial y = a X es monótono y cada valor toma solo una vez, y el rango de sus valores contiene todos los números reales positivos. De ello se deduce que el valor del logaritmo real de un número positivo siempre existe y está determinado de forma única.

Los tipos de logaritmos más utilizados son:

1.1. Propiedades

Prueba

Demostrémoslo.

(ya que por condición bc > 0). ■

Prueba

Probemos que

(ya que por condición ■

Prueba

Usamos la identidad para probarlo. Logaritmemos ambos lados de la identidad en base c. Obtenemos:

Prueba

Demostrémoslo.

(porque b pag> 0 por condición). ■

Prueba

Probemos que

Prueba

Logaritmo de los lados izquierdo y derecho de la base. C :

Lado izquierdo: Lado derecho:

La igualdad de expresiones es obvia. Dado que los logaritmos son iguales, debido a la monotonía de la función logarítmica, las expresiones mismas son iguales. ■

1.2. función logarítmica

Si consideramos el número logarítmico como una variable, obtenemos función logarítmica y= iniciar sesión a X (ver figura 1). Se define en . Rango de valores: .

La función es estrictamente creciente en a> 1 y estrictamente decreciente en 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Derecho X= 0 es una asíntota vertical izquierda, ya que en a> 1 y en 0< a < 1 .

La derivada de la función logarítmica es igual a:

Prueba

I. Demostremos que

Anotemos la identidad. mi en X = X y diferenciar sus lados izquierdo y derecho

Obtenemos eso, de lo cual se deduce que

II. Probemos que

La función logarítmica realiza un isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales.

1.3. Logaritmos naturales

Relación con el logaritmo decimal: .

Como se indicó anteriormente, la derivada del logaritmo natural tiene una fórmula simple:

Por este motivo, en la investigación matemática se utilizan predominantemente logaritmos naturales. A menudo aparecen al resolver ecuaciones diferenciales, estudiar dependencias estadísticas (por ejemplo, la distribución de números primos), etc.

La integral indefinida del logaritmo natural se puede encontrar fácilmente integrando por partes:

La expansión de la serie de Taylor se puede representar de la siguiente manera:
cuando la igualdad es verdadera

(1)

En particular,

Esta serie converge más rápido y, además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo.

1.4. Logaritmos decimales

Arroz. 2a. Escala logarítmica

Arroz. 2b. Escala logarítmica con símbolos.

Logaritmos en base 10 (símbolo: lg a) antes de la invención de las calculadoras, se utilizaban ampliamente para los cálculos. La escala desigual de logaritmos decimales suele aplicarse a las reglas de cálculo. Se utiliza una escala similar en muchos campos de la ciencia, por ejemplo:

• Física: intensidad del sonido (decibelios).
• Astronomía: escala de brillo de las estrellas.
• Química: actividad de los iones de hidrógeno (pH).
• Sismología - Escala de Richter.
• Teoría musical: una escala de notas, en relación con las frecuencias de las notas musicales.
• La historia es una escala de tiempo logarítmica.

La escala logarítmica también se usa ampliamente para identificar el exponente en relaciones de poder y el coeficiente en el exponente. En este caso, un gráfico construido en escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

2. Logaritmo complejo

2.1. Definición y propiedades

Para números complejos, el logaritmo se define de la misma forma que uno real. En la práctica se utiliza casi exclusivamente el logaritmo natural complejo, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos. z tal que mi z = w . El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. si te imaginas w en forma demostrativa:

,

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí está el logaritmo real, r = | w | , k- número entero arbitrario. El valor obtenido cuando k= 0, llamado importancia principal logaritmo natural complejo; se acostumbra tomar el valor del argumento en el intervalo (− π,π]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal logaritmo y se denota por . A veces también indican un valor de logaritmo que no está en la rama principal.

De la fórmula se sigue:

• La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

• El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula:

Dado que las funciones trigonométricas complejas están relacionadas con el exponente (fórmula de Euler), el logaritmo complejo, como función inversa de la exponencial, está relacionado con las funciones trigonométricas inversas. Un ejemplo de tal conexión:

2.2. Ejemplos

Demos el valor principal del logaritmo para algunos argumentos:

Debes tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que son multivaluados y, por lo tanto, la igualdad de los logaritmos de cualquier expresión no implica la igualdad de estas expresiones. Ejemplo de razonamiento defectuoso:

iπ = ln(- 1) = ln((- i) 2) = 2ln(- i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - puro absurdo.

Tenga en cuenta que a la izquierda está el valor principal del logaritmo y a la derecha está el valor de la rama subyacente ( k= − 1 ). La causa del error es el uso descuidado de la propiedad, que, en general, implica en el caso complejo todo el conjunto infinito de valores de logaritmos, y no sólo el valor principal.

2.3. Continuación analítica

Arroz. 3. Logaritmo complejo (parte imaginaria)

El logaritmo de un número complejo también se puede definir como la extensión analítica del logaritmo real a todo el plano complejo. Dejemos que la curva Γ comience en la unidad, no pase por cero y no corte la parte negativa del eje real. Entonces el valor principal del logaritmo en el punto final w La curva Γ se puede determinar mediante la fórmula:

Si Γ es una curva simple (sin autointersecciones), entonces, para los números que se encuentran en ella, se pueden aplicar identidades logarítmicas sin temor, por ejemplo

Si se permite que la curva Γ cruce la parte negativa del eje real, entonces la primera de esas intersecciones transfiere el resultado de la rama del valor principal a la rama adyacente, y cada intersección posterior provoca un desplazamiento similar a lo largo de las ramas de la función logarítmica ( ver figura).

De la fórmula de continuación analítica se deduce que en cualquier rama del logaritmo

Para cualquier círculo S, cubriendo el punto 0:

La integral se toma en dirección positiva (en sentido antihorario). Esta identidad subyace a la teoría de los residuos.

También se puede definir la continuación analítica del logaritmo complejo utilizando la serie anterior (1), generalizada al caso de un argumento complejo. Sin embargo, del tipo de expansión se deduce que en la unidad es igual a cero, es decir, la serie se refiere únicamente a la rama principal de la función multivaluada del logaritmo complejo.

2.4. superficie de riemann

Una función logarítmica compleja es un ejemplo de superficie de Riemann; su parte imaginaria (Fig. 3) consta de un número infinito de ramas retorcidas en forma de espiral. Esta superficie está simplemente conectada; su único cero (de primer orden) se obtiene en z= 1, puntos singulares: z= 0 y (puntos de ramificación de orden infinito).

La superficie de Riemann del logaritmo es la cobertura universal del plano complejo sin el punto 0.

3. Bosquejo histórico

3.1. logaritmo real

La necesidad de realizar cálculos complejos creció rápidamente en el siglo XVI, y gran parte de la dificultad consistía en multiplicar y dividir números de varios dígitos y echar raíces. A finales de siglo, a varios matemáticos, casi simultáneamente, se les ocurrió la idea: sustituir la laboriosa multiplicación por una simple suma, utilizando tablas especiales para comparar las progresiones geométricas y aritméticas, siendo la geométrica la original. Luego, la división se reemplaza automáticamente por la resta, infinitamente más simple y confiable, y al extraer la raíz del grado norte se reduce a dividir el logaritmo de la expresión radical por norte. Fue el primero en publicar esta idea en su libro “ Aritmética integra"Michael Stiefel, quien, sin embargo, no hizo ningún esfuerzo serio para implementar su idea.

En 1614, el matemático aficionado escocés John Napier publicó un ensayo en latín titulado " Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos."(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descripción ). Contenía una breve descripción de los logaritmos y sus propiedades, así como tablas de 8 dígitos de logaritmos de senos, cosenos y tangentes, con un paso de 1". Término logaritmo, propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia. Napier describió la teoría de los logaritmos en su otro libro “ Construyendo una asombrosa tabla de logaritmos"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicado póstumamente en 1619 por su hijo.

El concepto de función aún no existía y Napier definió el logaritmo cinemáticamente, comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento; por ejemplo, definió el logaritmo del seno de la siguiente manera:

El logaritmo de un seno dado es un número que siempre aumentó aritméticamente a la misma velocidad en que el seno total comenzó a disminuir geométricamente.

En notación moderna, el modelo cinemático de Napier se puede representar mediante la ecuación diferencial: dx/x = -dy/M, donde M es un factor de escala introducido para garantizar que el valor resulte ser un número entero con el número requerido de dígitos (las fracciones decimales aún no se usaban ampliamente). Napier tomó M = 10000000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función equivocada, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función LogNap(x), entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera:

Obviamente, LogNap(M) = 0, es decir, el logaritmo del "seno completo" es cero; esto es lo que Napier logró con su definición. .

La propiedad principal del logaritmo de Napier: si las cantidades forman una progresión geométrica, entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética. Sin embargo, las reglas del logaritmo para la función neper diferían de las reglas del logaritmo moderno.

Por ejemplo, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Desafortunadamente, todos los valores de la tabla de Napier contenían un error de cálculo después del sexto dígito. Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad y muchos matemáticos europeos, incluido Kepler, comenzaron a compilar tablas logarítmicas. Apenas cinco años después, en 1619, el profesor de matemáticas de Londres John Spidell ( John Speidell) reeditó las tablas de Napier, transformadas para que efectivamente se convirtieran en tablas de logaritmos naturales (aunque Spidell conservó la escala a números enteros). El término "logaritmo natural" fue propuesto por el matemático italiano Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) a mediados del siglo XVI.

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventaron la primera regla de cálculo, antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo, una herramienta indispensable para los ingenieros.

Una comprensión cercana a la moderna de la logaritmización, como la operación inversa de elevar a una potencia, apareció por primera vez con Wallis y Johann Bernoulli, y finalmente fue legitimada por Euler en el siglo XVIII. En el libro "Introducción al análisis de infinitos" (1748), Euler dio definiciones modernas de funciones exponenciales y logarítmicas, las amplió a series de potencias y destacó especialmente el papel del logaritmo natural.

A Euler también se le atribuye la extensión de la función logarítmica al dominio complejo.

3.2. logaritmo complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos los hicieron Leibniz y Johann Bernoulli a finales de los siglos XVII y XVIII, pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre este tema tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII, entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que debería determinarse registro(-x) = registro(x). La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna.

Aunque la disputa continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el punto de vista de Euler rápidamente ganó reconocimiento universal.

4. Tablas logarítmicas

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo se deduce que en lugar de una laboriosa multiplicación de números de varios dígitos, basta con encontrar (a partir de tablas) y sumar sus logaritmos, y luego usar las mismas tablas para realizar la potenciación, es decir, encontrar el valor del resultado a partir de su logaritmo. La única diferencia entre hacer división es que se restan logaritmos. Laplace dijo que la invención de los logaritmos "alargó la vida de los astrónomos" al acelerar enormemente el proceso de cálculo.

Al mover el punto decimal en un número a norte dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a norte. Por ejemplo, log8314.63 = log8.31463 + 3. De ello se deduce que basta con compilar una tabla de logaritmos decimales para números en el rango del 1 al 10.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier (1614), y contenían sólo logaritmos de funciones trigonométricas y con errores. Independientemente de él, Joost Burgi, amigo de Kepler, publicó sus tablas (1620). En 1617, el profesor de matemáticas de Oxford, Henry Briggs, publicó tablas que ya incluían logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. La primera edición sin errores basada en las tablas Vega (1783) no apareció hasta 1857 en Berlín (tablas Bremiwer).

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky. En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos.

• Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. 44ª edición, M., 1973.

Las tablas de Bradis (1921) se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requerían gran precisión. Contenían mantisas de logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.

• VegaG. Tablas de logaritmos de siete dígitos, 4ª edición, M., 1971.

Colección profesional para cálculos precisos.

• Tablas de cinco dígitos de valores naturales de cantidades trigonométricas, sus logaritmos y logaritmos de números, 6ª ed., M.: Nauka, 1972.
• Tablas de logaritmos naturales, 2.ª edición, en 2 volúmenes, M.: Nauka, 1971.

Hoy en día, con la proliferación de las calculadoras, ha desaparecido la necesidad de utilizar tablas de logaritmos.

M, Característica (análisis complejo).

Se dan las propiedades básicas del logaritmo, gráfico de logaritmos, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, creciente y decreciente. Se considera encontrar la derivada de un logaritmo. Así como integrales, expansión y representación de series de potencias mediante números complejos.

Contenido

Dominio, conjunto de valores, creciente, decreciente.

El logaritmo es una función monótona, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo se presentan en la tabla.

Dominio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rango de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monótonamente	disminuye monótonamente
Ceros, y = 0	x = 1	x = 1
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0	No	No
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y se denota de la siguiente manera:

Logaritmo a base mi llamado logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos.

Propiedades del logaritmo que surgen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se convierten en sumas de términos.
La potenciación es la operación matemática inversa al logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en productos de factores.

Prueba de fórmulas básicas para logaritmos.

Las fórmulas relacionadas con los logaritmos se derivan de fórmulas para funciones exponenciales y de la definición de función inversa.

Considere la propiedad de la función exponencial.
.
Entonces
.
Apliquemos la propiedad de la función exponencial.
:
.

Probemos la fórmula de reemplazo de bases.
;
.
Suponiendo c = b, tenemos:

Función inversa

La inversa de un logaritmo en base a es una función exponencial con exponente a.

Si entonces

Si entonces

Derivada del logaritmo

Derivada del logaritmo del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >

Para encontrar la derivada de un logaritmo, se debe reducir a la base. mi.
;
.

Integral

La integral del logaritmo se calcula integrando por partes: .
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de números complejos z:
.
Expresemos un número complejo. z vía módulo r y argumento φ :
.
Luego, usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O

Sin embargo, el argumento φ no definido unívocamente. Si pones
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes norte.

Por tanto, el logaritmo, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

Ver también:

Logaritmos naturales

Para la derivada del logaritmo natural es válida una fórmula sencilla:

Por este motivo, en la investigación matemática se utilizan predominantemente logaritmos naturales. A menudo aparecen al resolver ecuaciones diferenciales. ecuaciones, estudio de dependencias estadísticas (por ejemplo, distribuciones de simples números), etc.

Cuando la igualdad es verdadera

Esta serie converge más rápido y, además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo.

Relación con el logaritmo decimal: .

Logaritmos decimales

Arroz. 2. Escala logarítmica

Logaritmos en base 10 (símbolo: lg a) antes de la invención calculadoras ampliamente utilizado para la informática. escala desigual Los logaritmos decimales generalmente se trazan en las reglas de cálculo. Una escala similar se usa ampliamente en varios campos de la ciencia, por ejemplo:

Física- intensidad del sonido ( decibeles).

Astronomía- escala brillo de las estrellas.

Química- actividad hidrógeno iones (pH).

Sismología - escala de Richter.

Teoría musical- escala de notas, en relación con las frecuencias de los sonidos de las notas.

Historia - escala de tiempo logarítmica.

La escala logarítmica también se usa ampliamente para identificar el exponente en relaciones de poder y el coeficiente en el exponente. En este caso, un gráfico construido en escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

función logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma F(X) = iniciar sesión a X, definido en

Explorando la función logarítmica

Dominio:

Alcance:

La gráfica de cualquier función logarítmica pasa por el punto (1;0)

La derivada de la función logarítmica es igual a:

Prueba [espectáculo]

I. Demostremos que

Anotemos la identidad. mi en X = X y diferenciar sus lados izquierdo y derecho

lo entendemos , de lo que se deduce que

II. Probemos que

La función es estrictamente creciente en a> 1 y estrictamente decreciente en 0 a

Derecho X= 0 queda asíntota vertical, porque en a> 1 y en 0 a

logaritmo complejo

Función multivalor

Para números complejos El logaritmo se define de la misma forma que uno real. Comencemos con el logaritmo natural, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos. z tal que mi z = w. El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. si te imaginas w en forma demostrativa:

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí está el logaritmo real, r = | w | , k- arbitrario entero. El valor obtenido cuando k= 0, llamado importancia principal logaritmo natural complejo; se acostumbra tomar el valor del argumento en el intervalo (− π,π]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal logaritmo y se denota por . A veces también indican un valor de logaritmo que no está en la rama principal.

De la fórmula se sigue:

La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula:

Ejemplos (se da el valor principal del logaritmo):

Los logaritmos complejos con diferente base se tratan de manera similar. Sin embargo, se debe tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que son multivaluados y, por lo tanto, la igualdad de los logaritmos de cualquier expresión no implica la igualdad de estas expresiones. Ejemplo de razonamiento defectuoso:

iπ = ln(- 1) = ln((- i) 2) = 2ln(- i) = 2(− iπ / 2) = − iπ es un absurdo obvio.

Tenga en cuenta que a la izquierda está el valor principal del logaritmo y a la derecha está el valor de la rama subyacente ( k=-1). La causa del error es el uso descuidado de la propiedad, que, en general, implica en el caso complejo todo el conjunto infinito de valores de logaritmos, y no sólo el valor principal.

superficie de riemann

Función logarítmica compleja: ejemplo superficie de riemann; su parte imaginaria (Fig. 3) consta de un número infinito de ramas retorcidas como una espiral. esta superficie simplemente conectado; su único cero (de primer orden) se obtiene en z= 1, puntos singulares: z= 0 y (puntos de ramificación de orden infinito).

La superficie de Riemann de un logaritmo es revestimiento universal para el plano complejo sin punto 0.

Bosquejo histórico

logaritmo real

La necesidad de realizar cálculos complejos en siglo XVI creció rápidamente y gran parte de la dificultad estaba asociada con la multiplicación y división de números de varios dígitos. A finales de siglo, a varios matemáticos, casi simultáneamente, se les ocurrió una idea: reemplazar la laboriosa multiplicación por una simple suma, comparando mediante tablas especiales. geométrico Y aritmética progresión, mientras que la geométrica será la original. Entonces la división es reemplazada automáticamente por la resta, infinitamente más simple y confiable. Fue el primero en publicar esta idea en su libro “ Aritmética integra» Michael Stiefel, quien, sin embargo, no hizo esfuerzos serios para implementar su idea.

EN 1614 Matemático aficionado escocés Juan Napier publicó un ensayo en latín titulado “ Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos." Contenía una breve descripción de los logaritmos y sus propiedades, así como tablas de logaritmos de 8 dígitos. senos paranasales, cosenos Y tangentes, en incrementos de 1". Término logaritmo, propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia.

El concepto de función aún no existía y Napier definió el logaritmo. cinemáticamente, comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento. En notación moderna, el modelo de Napier se puede representar mediante la ecuación diferencial: dx/x = -dy/M, donde M es un factor de escala introducido para garantizar que el valor resulte ser un número entero con el número requerido de dígitos (las fracciones decimales aún no se usaban ampliamente). Napier tomó M = 10000000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función equivocada, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función LogNap(x), entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera:

Obviamente, LogNap(M) = 0, es decir, el logaritmo del "seno completo" es cero; esto es lo que Napier logró con su definición. LogNap(0) = ∞.

La principal propiedad del logaritmo de Napier: si las cantidades se forman progresión geométrica, entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética. Sin embargo, las reglas del logaritmo para la función neper diferían de las reglas del logaritmo moderno.

Por ejemplo, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Desafortunadamente, todos los valores de la tabla de Napier contenían un error de cálculo después del sexto dígito. Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad y muchos matemáticos europeos, incluido Kepler.

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventó el primero regla de cálculo, antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo, una herramienta indispensable para los ingenieros.

Cerca de la comprensión moderna del logaritmo: como operación inversa exponenciación- apareció por primera vez en wallis Y Juan Bernoulli, y finalmente fue legalizado Euler V Siglo XVIII. En el libro "Introducción al análisis del infinito" ( 1748 ) Euler dio definiciones modernas como indicativo, y las funciones logarítmicas, llevaron su expansión a series de potencias y destacaron especialmente el papel del logaritmo natural.

A Euler también se le atribuye la extensión de la función logarítmica al dominio complejo.

logaritmo complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos se hicieron a finales de los siglos XVII y XVIII. Leibniz Y Juan Bernoulli Sin embargo, no lograron crear una teoría completa, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre este tema tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII, entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que debería determinarse registro(-x) = registro(x). La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna.

Aunque la disputa continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el punto de vista de Euler rápidamente ganó reconocimiento universal.

Tablas logarítmicas

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo se deduce que en lugar de la laboriosa multiplicación de números de varios dígitos, basta con encontrar (a partir de tablas) y sumar sus logaritmos, y luego usar las mismas tablas para realizar potenciación, es decir, encontrar el valor del resultado por su logaritmo. La única diferencia entre hacer división es que se restan logaritmos. Laplace dijo que la invención de los logaritmos “alargó la vida de los astrónomos”, acelerando muchas veces el proceso de cálculo.

Al mover el punto decimal en un número a norte dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a norte. Por ejemplo, log8314.63 = log8.31463 + 3. De ello se deduce que basta con crear una tabla de logaritmos decimales para números en el rango del 1 al 10.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier ( 1614 ), y contenían sólo logaritmos de funciones trigonométricas y con errores. Independientemente de él, Joost Bürgi, un amigo, publicó sus tablas Kepler (1620 ). EN 1617 Oxford profesor de matemáticas Henry Briggs publicó tablas que ya incluían logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. Primera edición sin errores basada en las tablas Vega ( 1783 ) apareció sólo en 1857 en Berlín (mesas Bremiwer).

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 protagonizada L. F. Magnitsky. En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos.

Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. 44ª edición, M., 1973.

mesas bradis ( 1921 ) se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requieren gran precisión. ellos contenían mantisa logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.

Literatura

Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos. Petrogrado, 1923. −78 p.

Vygodsky M. Ya. manual de matemáticas elementales. - Moscú: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Historia de las Matemáticas, editado por A. P. Yushkevich en tres volúmenes, M.: Nauka.

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función logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = logax, definida en

Dominio: . Rango de valores: . La función es estrictamente creciente para a > 1 y estrictamente decreciente para 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

La recta x = 0 es una asíntota vertical izquierda, ya que para a > 1 y para 0< a < 1.

La derivada de la función logarítmica es igual a:

La función logarítmica realiza un isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales.

logaritmo complejo

Definición y propiedades

Para números complejos, el logaritmo se define de la misma forma que uno real. En la práctica se utiliza casi exclusivamente el logaritmo natural complejo, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos z tales que ez = w. El logaritmo complejo existe para cualquiera, y su parte real está unívocamente determinada, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. Si representamos w en forma exponencial:

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí hay un logaritmo real, r = | w | , k es un número entero arbitrario. El valor obtenido cuando k = 0 se denomina valor principal del logaritmo natural complejo; Se acostumbra tomar el valor del argumento en el intervalo (? р,р]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal del logaritmo y se denota. A veces, el valor del logaritmo que no mentir en la rama principal también se indica con.

De la fórmula se sigue:

La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula.