¿Qué es el teorema de vieta? teorema de Vieta

En matemáticas existen trucos especiales con los que se resuelven muchas ecuaciones cuadráticas muy rápidamente y sin discriminantes. Además, con el entrenamiento adecuado, muchos comienzan a resolver ecuaciones cuadráticas verbalmente, literalmente "de un vistazo".

Desafortunadamente, en el curso moderno de matemáticas escolares, tales tecnologías casi no se estudian. ¡Y usted necesita saber! Y hoy consideraremos una de estas técnicas: el teorema de Vieta. Primero, introduzcamos una nueva definición.

Una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c = 0 se llama reducida. Tenga en cuenta que el coeficiente en x 2 es igual a 1. No hay otras restricciones sobre los coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 es la ecuación cuadrática reducida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 también se reduce;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - pero esto no se da en absoluto, ya que el coeficiente en x 2 es 2.

Por supuesto, cualquier ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 puede reducirse; basta con dividir todos los coeficientes por el número a . Siempre podemos hacer esto, ya que de la definición de una ecuación cuadrática se sigue que a ≠ 0.

Es cierto que estas transformaciones no siempre serán útiles para encontrar raíces. Un poco más abajo, nos aseguraremos de que esto se haga solo cuando en la ecuación final al cuadrado todos los coeficientes sean enteros. Por ahora, veamos algunos ejemplos simples:

Una tarea. Convertir ecuación cuadrática a reducida:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Dividamos cada ecuación por el coeficiente de la variable x 2 . Obtenemos:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - dividió todo por 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dividido por 1.5, todos los coeficientes se convirtieron en enteros;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - dividido por 2. En este caso, surgieron coeficientes fraccionarios.

Como puedes ver, las ecuaciones cuadráticas dadas pueden tener coeficientes enteros incluso si la ecuación original contenía fracciones.

Ahora formulamos el teorema principal, por el cual, de hecho, se introdujo el concepto de ecuación cuadrática reducida:

El teorema de Vieta. Considere la ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + bx + c \u003d 0. Suponga que esta ecuación tiene raíces reales x 1 y x 2. En este caso, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. x1 + x2 = −b. En otras palabras, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente de la variable x, tomada con signo opuesto;
2. x 1 x 2 = do. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente libre.

Ejemplos. Para simplificar, consideraremos solo las ecuaciones cuadráticas dadas que no requieren transformaciones adicionales:

1. x2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; raíces: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; raíces: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x 1 x 2 = 4; raíces: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

El teorema de Vieta nos da información adicional sobre las raíces de una ecuación cuadrática. A primera vista, esto puede parecer complicado, pero incluso con un entrenamiento mínimo, aprenderá a "ver" las raíces y, literalmente, a adivinarlas en cuestión de segundos.

Una tarea. Resuelve la ecuación cuadrática:

1. x2 - 9x + 14 = 0;
2. x2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Intentemos escribir los coeficientes según el teorema de Vieta y "adivinar" las raíces:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 es una ecuación cuadrática reducida.
   Por el teorema de Vieta, tenemos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Es fácil ver que las raíces son los números 2 y 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 también se reduce.
   Por el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De ahí las raíces: 3 y 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - Esta ecuación no se reduce. Pero arreglaremos esto ahora dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente a \u003d 3. Obtenemos: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Resolvemos según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raíces: −10 y −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - nuevamente el coeficiente en x 2 no es igual a 1, es decir ecuación no dada. Dividimos todo por el número a = −7. Obtenemos: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Por el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; a partir de estas ecuaciones es fácil adivinar las raíces: 5 y 6.

Del razonamiento anterior, se puede ver cómo el teorema de Vieta simplifica la solución de ecuaciones cuadráticas. Sin cálculos complicados, sin raíces aritméticas y fracciones. E incluso el discriminante (ver la lección " Resolviendo ecuaciones cuadráticas") No necesitamos.

Por supuesto, en todas nuestras reflexiones partimos de dos supuestos importantes, que, por lo general, no siempre se cumplen en los problemas reales:

1. La ecuación cuadrática se reduce, es decir, el coeficiente en x 2 es 1;
2. La ecuación tiene dos raíces diferentes. Desde el punto de vista del álgebra, en este caso el discriminante D > 0 - de hecho, inicialmente asumimos que esta desigualdad es cierta.

Sin embargo, en problemas matemáticos típicos se cumplen estas condiciones. Si el resultado de los cálculos es una ecuación cuadrática "mala" (el coeficiente en x 2 es diferente de 1), esto es fácil de arreglar: eche un vistazo a los ejemplos al comienzo de la lección. Generalmente guardo silencio sobre las raíces: ¿qué tipo de tarea es esta en la que no hay respuesta? Por supuesto que habrá raíces.

Así, el esquema general para la resolución de ecuaciones cuadráticas según el teorema de Vieta es el siguiente:

1. Reducir la ecuación cuadrática a la dada, si esto no se ha hecho ya en la condición del problema;
2. Si los coeficientes en la ecuación cuadrática anterior resultaron ser fraccionarios, resolvemos a través del discriminante. Incluso puede volver a la ecuación original para trabajar con números más "convenientes";
3. En el caso de coeficientes enteros, resolvemos la ecuación usando el teorema de Vieta;
4. Si en unos segundos no fue posible adivinar las raíces, anotamos en el teorema de Vieta y resolvemos a través del discriminante.

Una tarea. Resuelve la ecuación: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Entonces, tenemos una ecuación que no se reduce, porque coeficiente a \u003d 5. Divida todo por 5, obtenemos: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son enteros; intentemos resolverlo usando el teorema de Vieta. Tenemos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. En este caso, las raíces son fáciles de adivinar: son 2 y 5. No necesita contar hasta el discriminante.

Una tarea. Resuelve la ecuación: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Miramos: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - esta ecuación no se reduce, dividimos ambos lados por el coeficiente a = −5. Obtenemos: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - una ecuación con coeficientes fraccionarios.

Es mejor volver a la ecuación original y contar hasta el discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0.4.

Una tarea. Resuelve la ecuación: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Para empezar, dividimos todo por el coeficiente a \u003d 2. Obtenemos la ecuación x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Esta es la ecuación reducida, según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Es difícil adivinar las raíces de la ecuación cuadrática en este caso; personalmente, me "congelé" seriamente cuando resolví este problema.

Tendremos que buscar raíces a través del discriminante: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Si no recuerdas la raíz del discriminante, simplemente anotaré que 1225: 25 = 49. Por lo tanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Ahora que se conoce la raíz del discriminante, resolver la ecuación no es difícil. Obtenemos: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

2.5 Fórmula de Vieta para polinomios (ecuaciones) de grados superiores

Las fórmulas derivadas por Vieta para ecuaciones cuadráticas también son válidas para polinomios de grados superiores.

Sea el polinomio

P(x) = un 0 x norte + un 1 x norte -1 + … +un norte

Tiene n raíces distintas x 1 , x 2 …, x n .

En este caso, tiene una factorización de la forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Dividamos ambas partes de esta igualdad por 0 ≠ 0 y expandamos los paréntesis en la primera parte. Obtenemos la igualdad:

x norte + () x norte -1 + ... + () = x norte - (x 1 + x 2 + ... + x norte) x norte -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x norte -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Pero dos polinomios son idénticamente iguales si y sólo si los coeficientes a las mismas potencias son iguales. De aquí se sigue que la igualdad

x 1 + x 2 + … + x norte = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x norte -1 x norte =

x 1 x 2 … x norte = (-1) norte

Por ejemplo, para polinomios de tercer grado

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

tenemos identidades

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

En cuanto a las ecuaciones cuadráticas, esta fórmula se llama fórmulas de Vieta. Las partes de la izquierda de estas fórmulas son polinomios simétricos de las raíces x 1 , x 2 ..., x n de la ecuación dada, y las partes de la derecha se expresan en términos del coeficiente del polinomio.

2.6 Ecuaciones reducibles a cuadrados (bicuadráticas)

Las ecuaciones de cuarto grado se reducen a ecuaciones cuadráticas:

hacha 4 + bx 2 + c = 0,

llamado bicuadrático, además, a ≠ 0.

Basta con poner x 2 \u003d y en esta ecuación, por lo tanto,

ay² + por + c = 0

encontrar las raíces de la ecuación cuadrática resultante

y 1,2 =

Para encontrar inmediatamente las raíces x 1, x 2, x 3, x 4, reemplace y con x y obtenga

x2 =

x1,2,3,4 = .

Si la ecuación de cuarto grado tiene x 1, entonces también tiene una raíz x 2 \u003d -x 1,

Si tiene x 3, entonces x 4 \u003d - x 3. La suma de las raíces de tal ecuación es cero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Sustituimos la ecuación en la fórmula de las raíces de las ecuaciones bicuadráticas:

x1,2,3,4 = ,

sabiendo que x 1 \u003d -x 2, y x 3 \u003d -x 4, entonces:

×3,4 =

Respuesta: x 1.2 \u003d ± 2; ×1,2 =

2.7 Estudio de ecuaciones bicuadráticas

Tomemos la ecuación bicuadrática

hacha 4 + bx 2 + c = 0,

donde a, b, c son números reales y a > 0. Al introducir una incógnita auxiliar y = x², examinamos las raíces de esta ecuación e ingresamos los resultados en una tabla (ver Apéndice No. 1)

2.8 Fórmula de Cardano

Si usamos el simbolismo moderno, entonces la derivación de la fórmula de Cardano puede verse así:

x =

Esta fórmula determina las raíces de la ecuación general de tercer grado:

hacha 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Esta fórmula es muy engorrosa y compleja (contiene varios radicales complejos). No siempre se aplica, porque. muy difícil de completar.

F ¢(x®) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

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En esta lección, nos familiarizaremos con las curiosas relaciones entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes. Estas relaciones fueron descubiertas por primera vez por el matemático francés Francois Viet (1540-1603).

Por ejemplo, para la ecuación Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, sin encontrar sus raíces, puede, usando el teorema de Vieta, decir inmediatamente que la suma de las raíces es , y el producto de las raíces es
es decir - 2. Y para la ecuación x 2 - 6x + 8 \u003d 0 concluimos: la suma de las raíces es 6, el producto de las raíces es 8; por cierto, no es difícil adivinar a qué equivalen las raíces: 4 y 2.
Demostración del teorema de Vieta. Las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 se encuentran mediante las fórmulas

Donde D \u003d b 2 - 4ac es el discriminante de la ecuación. Estableciendo estas raíces
obtenemos

Ahora calculamos el producto de las raíces x 1 y x 2 Tenemos

Se demuestra la segunda relación:
Comentario. El teorema de Vieta también es válido en el caso en que la ecuación cuadrática tiene una raíz (es decir, cuando D \u003d 0), solo que en este caso se considera que la ecuación tiene dos raíces idénticas, a las que se aplican las relaciones anteriores.
Las relaciones probadas para la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 toman una forma particularmente simple. En este caso, obtenemos:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
aquellos. la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Usando el teorema de Vieta, también se pueden obtener otras relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Sean, por ejemplo, x 1 y x 2 las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q = 0. Entonces

Sin embargo, el propósito principal del teorema de Vieta no es que exprese ciertas relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Mucho más importante es el hecho de que con la ayuda del teorema de Vieta se obtiene una fórmula para factorizar un trinomio cuadrado, sin la cual no lo haremos en el futuro.

Prueba. Tenemos

Ejemplo 1. Factoriza el trinomio cuadrado 3x 2 - 10x + 3.
Solución. Habiendo resuelto la ecuación Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, encontramos las raíces del trinomio cuadrado Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Usando el Teorema 2, obtenemos

En su lugar, tiene sentido escribir Zx - 1. Entonces finalmente obtenemos Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Tenga en cuenta que el trinomio cuadrado dado se puede factorizar sin usar el Teorema 2, usando el método de agrupación:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Pero, como puedes ver, con este método el éxito depende de si podemos encontrar una agrupación exitosa o no, mientras que con el primer método el éxito está garantizado.
Ejemplo 1. Reducir fracción

Solución. De la ecuación 2x ​​2 + 5x + 2 = 0 encontramos x 1 = - 2,

De la ecuación x2 - 4x - 12 = 0 encontramos x 1 = 6, x 2 = -2. Es por eso
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Ahora reduzcamos la fracción dada:

Ejemplo 3. Factorizar expresiones:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Solución a) Introducimos una nueva variable y = x 2 . Esto nos permitirá reescribir la expresión dada en forma de trinomio cuadrado con respecto a la variable y, es decir, en la forma y 2 + bу + 6.
Habiendo resuelto la ecuación y 2 + bу + 6 \u003d 0, encontramos las raíces del trinomio cuadrado y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Ahora usamos el Teorema 2; obtenemos

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Queda por recordar que y \u003d x 2, es decir, volver a la expresión dada. Asi que,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Introduzcamos una nueva variable y = . Esto le permitirá reescribir la expresión dada en forma de trinomio cuadrado con respecto a la variable y, es decir, en la forma 2y 2 + y - 3. Habiendo resuelto la ecuación
2y 2 + y - 3 = 0, encuentra las raíces del trinomio cuadrado 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Además, usando el Teorema 2, obtenemos:

Queda por recordar que y \u003d, es decir, volver a la expresión dada. Asi que,

La sección concluye con algunas consideraciones, nuevamente conectadas con el teorema de Vieta, o más bien, con la afirmación inversa:
si los números x 1, x 2 son tales que x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, entonces estos números son las raíces de la ecuación
Usando esta declaración, puede resolver muchas ecuaciones cuadráticas oralmente, sin usar fórmulas de raíz engorrosas, y también componer ecuaciones cuadráticas con raíces dadas. Demos ejemplos.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aquí x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Es fácil adivinar que x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aquí x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Es fácil adivinar que x 1 = -5, x 2 = -6.
Tenga en cuenta: si el término libre de la ecuación es un número positivo, entonces ambas raíces son positivas o negativas; esto es importante tenerlo en cuenta al seleccionar las raíces.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aquí x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Es fácil adivinar que x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Tenga en cuenta: si el término libre de la ecuación es un número negativo, entonces las raíces tienen un signo diferente; esto es importante tenerlo en cuenta al seleccionar las raíces.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Es fácil ver que x = 1 satisface la ecuación, es decir x 1 \u003d 1 - la raíz de la ecuación. Dado que x 1 x 2 \u003d - y x 1 \u003d 1, obtenemos que x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aquí x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Si presta atención al hecho de que 2830 = 283. 10 y 293 \u003d 283 + 10, entonces queda claro que x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ahora imagine qué cálculos deberían realizarse para resolver esta ecuación cuadrática usando fórmulas estándar).

6) Compongamos una ecuación cuadrática para que los números x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 sirvan como sus raíces. Por lo general, en tales casos forman la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0.
Tenemos x 1 + x 2 \u003d -p, por lo tanto, 8 - 4 \u003d -p, es decir, p \u003d -4. Además, x 1 x 2 = q, es decir 8"(-4) = q, de donde obtenemos q = -32. Entonces, p \u003d -4, q \u003d -32, lo que significa que la ecuación cuadrática deseada tiene la forma x 2 -4x-32 \u003d 0.

Cuando estudie formas de resolver ecuaciones de segundo orden en un curso de álgebra escolar, considere las propiedades de las raíces obtenidas. Ahora se conocen como los teoremas de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.

Ecuación cuadrática

La ecuación de segundo orden es una igualdad, que se muestra en la foto de abajo.

Aquí los símbolos a, b, c son algunos números que se llaman los coeficientes de la ecuación bajo consideración. Para resolver una igualdad, necesitas encontrar valores de x que la hagan verdadera.

Tenga en cuenta que dado que el valor máximo de la potencia a la que se eleva x es dos, entonces el número de raíces en el caso general también es dos.

Hay varias formas de resolver este tipo de igualdad. En este artículo, consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.

Declaración del teorema de Vieta

A finales del siglo XVI, el célebre matemático Francois Viet (francés) observó, analizando las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y su suma.

El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, cuando se suman, dan la razón de los coeficientes lineales a los cuadráticos tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático. .

Si la forma general de la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir como dos igualdades:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Donde r 1 , r 2 es el valor de las raíces de la ecuación considerada.

Estas dos igualdades se pueden utilizar para resolver una serie de problemas matemáticos muy diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con solución se da en las siguientes secciones del artículo.

El teorema de Vieta (más precisamente, el teorema inverso al teorema de Vieta) nos permite reducir el tiempo de resolución de ecuaciones cuadráticas. Solo necesitas saber cómo usarlo. ¿Cómo aprender a resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta? Es fácil si piensas un poco.

Ahora solo hablaremos de la solución de la ecuación cuadrática reducida usando el teorema de Vieta.La ecuación cuadrática reducida es una ecuación en la que a, es decir, el coeficiente delante de x², es igual a uno. Las ecuaciones cuadráticas no dadas también se pueden resolver usando el teorema de Vieta, pero ya hay al menos una de las raíces que no es un número entero. Son más difíciles de adivinar.

El teorema inverso al teorema de Vieta dice: si los números x1 y x2 son tales que

entonces x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática

Al resolver una ecuación cuadrática usando el teorema de Vieta, solo son posibles 4 opciones. Si recuerda el curso del razonamiento, puede aprender a encontrar raíces enteras muy rápidamente.

I. Si q es un número positivo,

esto significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo (porque solo al multiplicar números con el mismo signo se obtiene un número positivo).

I a. Si -p es un número positivo, (respectivamente, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

Ib Si -p es un número negativo, (respectivamente, p>0), entonces ambas raíces son números negativos (sumaron números del mismo signo, obtuvieron un número negativo).

II. Si q es un número negativo,

esto significa que las raíces x1 y x2 tienen signos diferentes (al multiplicar números, se obtiene un número negativo solo cuando los signos de los factores son diferentes). En este caso, x1 + x2 ya no es una suma, sino una diferencia (después de todo, al sumar números con diferentes signos, restamos el módulo más pequeño del módulo más grande). Por lo tanto, x1 + x2 muestra cuánto difieren las raíces x1 y x2, es decir, cuánto es más una raíz que la otra (módulo).

II.a. Si -p es un número positivo, (es decir, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Si -p es un número negativo, (p>0), entonces la raíz más grande (módulo) es un número negativo.

Considere la solución de ecuaciones cuadráticas según el teorema de Vieta usando ejemplos.

Resuelve la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta:

Aquí q=12>0, entonces las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma es -p=7>0, por lo que ambas raíces son números positivos. Seleccionamos números enteros cuyo producto sea 12. Estos son 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. La suma es 7 para el par 3 y 4. Por lo tanto, 3 y 4 son las raíces de la ecuación.

En este ejemplo, q=16>0, lo que significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aquí q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, entonces el número mayor es positivo. Entonces las raíces son 5 y -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.