Cómo encontrar la gráfica de una función usando la fórmula. Funciones y sus gráficas.

Conocimiento Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. no menos importante que conocer las tablas de multiplicar. Son como los cimientos, todo se basa en ellos, todo se construye a partir de ellos y todo se reduce a ellos.

En este artículo enumeraremos todas las funciones elementales principales, proporcionaremos sus gráficas y las daremos sin conclusión ni prueba. propiedades de funciones elementales básicas según el esquema:

• comportamiento de una función en los límites del dominio de definición, asíntotas verticales (si es necesario, consulte el artículo clasificación de puntos de discontinuidad de una función);
• par e impar;
• intervalos de convexidad (convexidad hacia arriba) y concavidad (convexidad hacia abajo), puntos de inflexión (si es necesario, consulte el artículo convexidad de una función, dirección de convexidad, puntos de inflexión, condiciones de convexidad e inflexión);
• asíntotas oblicuas y horizontales;
• puntos singulares de funciones;
• Propiedades especiales de algunas funciones (por ejemplo, el período positivo más pequeño de funciones trigonométricas).

Si estás interesado en o, puedes ir a estas secciones de la teoría.

Funciones elementales básicas son: función constante (constante), raíz enésima, función potencia, exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

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Función permanente.

Una función constante se define en el conjunto de todos los números reales mediante la fórmula , donde C es algún número real. Una función constante asocia cada valor real de la variable independiente x con el mismo valor de la variable dependiente y: el valor C. Una función constante también se llama constante.

La gráfica de una función constante es una línea recta paralela al eje x y que pasa por el punto de coordenadas (0,C). Como ejemplo, mostraremos gráficas de funciones constantes y=5, y=-2 y, que en la siguiente figura corresponden a las líneas negra, roja y azul, respectivamente.

Propiedades de una función constante.

• Dominio: el conjunto completo de números reales.
• La función constante es par.
• Rango de valores: conjunto formado por el número singular C.
• Una función constante no es creciente ni decreciente (por eso es constante).
• No tiene sentido hablar de convexidad y concavidad de una constante.
• No hay asíntotas.
• La función pasa por el punto (0,C) del plano coordenado.

Raíz de enésimo grado.

Consideremos la función elemental básica, que viene dada por la fórmula , donde n es un número natural mayor que uno.

Raíz de enésimo grado, n es un número par.

Comencemos con la función raíz enésima para valores pares del exponente raíz n.

Como ejemplo, aquí hay una imagen con imágenes de gráficas de funciones. y , corresponden a líneas negras, rojas y azules.

Las gráficas de funciones raíz de grado par tienen una apariencia similar para otros valores del exponente.

Propiedades de la función raíz enésima para n par.

La raíz enésima, n es un número impar.

La función raíz enésima con un exponente de raíz impar n se define en todo el conjunto de números reales. Por ejemplo, aquí están las gráficas de funciones. y , corresponden a curvas negras, rojas y azules.

Para otros valores impares del exponente raíz, las gráficas de funciones tendrán una apariencia similar.

Propiedades de la función raíz enésima para n impar.

Función de potencia.

La función de potencia viene dada por una fórmula de la forma .

Consideremos la forma de las gráficas de una función de potencia y las propiedades de una función de potencia dependiendo del valor del exponente.

Comencemos con una función potencia con un exponente entero a. En este caso, la apariencia de las gráficas de funciones de potencia y las propiedades de las funciones dependen de la uniformidad o imparidad del exponente, así como de su signo. Por lo tanto, primero consideramos funciones de potencia para valores positivos impares del exponente a, luego para exponentes positivos pares, luego para exponentes negativos impares y, finalmente, para a negativo par.

Las propiedades de las funciones de potencia con exponentes fraccionarios e irracionales (así como el tipo de gráficas de dichas funciones de potencia) dependen del valor del exponente a. Los consideraremos, en primer lugar, para a de cero a uno, en segundo lugar, para mayor que uno, en tercer lugar, para a de menos uno a cero, en cuarto lugar, para menor que menos uno.

Al final de esta sección, para completar, describiremos una función de potencia con exponente cero.

Función de potencia con exponente positivo impar.

Consideremos una función potencia con exponente positivo impar, es decir, con a = 1,3,5,....

La siguiente figura muestra gráficos de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja, línea verde. Para a=1 tenemos función lineal y=x.

Propiedades de una función potencia con exponente positivo impar.

Función de potencia con exponente par positivo.

Consideremos una función potencia con exponente positivo par, es decir, para a = 2,4,6,....

Como ejemplo, damos gráficas de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja. Para a=2 tenemos una función cuadrática, cuya gráfica es parábola cuadrática.

Propiedades de una función potencia con exponente par positivo.

Función de potencia con exponente negativo impar.

Mire las gráficas de la función de potencia para valores negativos impares del exponente, es decir, para a = -1, -3, -5,....

La figura muestra gráficas de funciones de potencia como ejemplos: línea negra, línea azul, línea roja, línea verde. Para a=-1 tenemos proporcionalidad inversa, cuya gráfica es hipérbola.

Propiedades de una función potencia con exponente negativo impar.

Función de potencia con exponente incluso negativo.

Pasemos a la función de potencia para a=-2,-4,-6,….

La figura muestra gráficas de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja.

Propiedades de una función potencia con exponente par negativo.

Una función de potencia con un exponente racional o irracional cuyo valor es mayor que cero y menor que uno.

¡Nota! Si a es una fracción positiva con un denominador impar, entonces algunos autores consideran que el dominio de definición de la función de potencia es el intervalo. Se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora, los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos precisamente a este punto de vista, es decir, consideraremos que el conjunto son los dominios de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios positivos. Recomendamos que los estudiantes conozcan la opinión de su profesor sobre este sutil punto para evitar desacuerdos.

Consideremos una función de potencia con exponente racional o irracional a, y .

Presentemos gráficas de funciones de potencia para a=11/12 (línea negra), a=5/7 (línea roja), (línea azul), a=2/5 (línea verde).

Una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero mayor que uno.

Consideremos una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero a, y .

Presentemos gráficas de funciones de potencia dadas por las fórmulas. (líneas negra, roja, azul y verde respectivamente).

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Para otros valores del exponente a, las gráficas de la función tendrán una apariencia similar.

Propiedades de la función de potencia en .

Una función potencia con un exponente real mayor que menos uno y menor que cero.

¡Nota! Si a es una fracción negativa con un denominador impar, entonces algunos autores consideran que el dominio de definición de una función de potencia es el intervalo . Se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora, los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos precisamente a este punto de vista, es decir, consideraremos los dominios de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios negativos como un conjunto, respectivamente. Recomendamos que los estudiantes conozcan la opinión de su profesor sobre este sutil punto para evitar desacuerdos.

Pasemos a la función de potencia, kgod.

Para tener una buena idea de la forma de las gráficas de funciones de potencia, damos ejemplos de gráficas de funciones. (curvas negra, roja, azul y verde, respectivamente).

Propiedades de una función potencia con exponente a, .

Una función potencia con un exponente real no entero menor que menos uno.

Demos ejemplos de gráficas de funciones de potencia para , están representados por líneas negras, rojas, azules y verdes, respectivamente.

Propiedades de una función potencia con exponente negativo no entero menor que menos uno.

Cuando a = 0, tenemos una función: es una línea recta de la que se excluye el punto (0;1) (se acordó no dar ningún significado a la expresión 0 0).

Funcion exponencial.

Una de las principales funciones elementales es la función exponencial.

La gráfica de la función exponencial, donde y toma diferentes formas dependiendo del valor de la base a. Resolvamos esto.

Primero, considere el caso en el que la base de la función exponencial toma un valor de cero a uno, es decir, .

Como ejemplo, presentamos gráficas de la función exponencial para a = 1/2 – línea azul, a = 5/6 – línea roja. Las gráficas de la función exponencial tienen una apariencia similar para otros valores de la base del intervalo.

Propiedades de una función exponencial con base menor que uno.

Pasemos al caso en el que la base de la función exponencial es mayor que uno, es decir, .

A modo de ilustración, presentamos gráficas de funciones exponenciales: línea azul y línea roja. Para otros valores de la base mayores que uno, las gráficas de la función exponencial tendrán una apariencia similar.

Propiedades de una función exponencial con base mayor que uno.

Función logarítmica.

La siguiente función elemental básica es la función logarítmica, donde , . La función logarítmica se define sólo para valores positivos del argumento, es decir, para .

La gráfica de una función logarítmica toma diferentes formas dependiendo del valor de la base a.

Comencemos con el caso cuando .

Como ejemplo, presentamos gráficas de la función logarítmica para a = 1/2 – línea azul, a = 5/6 – línea roja. Para otros valores de la base que no excedan uno, las gráficas de la función logarítmica tendrán una apariencia similar.

Propiedades de una función logarítmica de base menor que uno.

Pasemos al caso en el que la base de la función logarítmica es mayor que uno ().

Muestremos gráficas de funciones logarítmicas: línea azul, línea roja. Para otros valores de la base mayores que uno, las gráficas de la función logarítmica tendrán una apariencia similar.

Propiedades de una función logarítmica con base mayor que uno.

Funciones trigonométricas, sus propiedades y gráficas.

Todas las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente y cotangente) pertenecen a las funciones elementales básicas. Ahora veremos sus gráficas y enumeraremos sus propiedades.

Las funciones trigonométricas tienen el concepto. frecuencia(recurrencia de valores de función para diferentes valores de argumentos que difieren entre sí por el período , donde T es el período), por lo tanto, se ha agregado un elemento a la lista de propiedades de las funciones trigonométricas "período positivo más pequeño". Además, para cada función trigonométrica, indicaremos los valores del argumento en los que la función correspondiente se anula.

Ahora tratemos todas las funciones trigonométricas en orden.

Función seno y = sin(x) .

Dibujemos una gráfica de la función sinusoidal, se llama "onda sinusoidal".

Propiedades de la función seno y = sinx.

Función coseno y = cos(x) .

La gráfica de la función coseno (llamada "coseno") se ve así:

Propiedades de la función coseno y = cosx.

Función tangente y = tan(x) .

La gráfica de la función tangente (llamada “tangenteide”) se ve así:

Propiedades de la función tangente y = tanx.

Función cotangente y = ctg(x) .

Dibujemos una gráfica de la función cotangente (se llama "cotangentoide"):

Propiedades de la función cotangente y = ctgx.

Funciones trigonométricas inversas, sus propiedades y gráficas.

Las funciones trigonométricas inversas (arco seno, arco coseno, arco tangente y arco cotangente) son las funciones elementales básicas. A menudo, debido al prefijo "arco", las funciones trigonométricas inversas se denominan funciones de arco. Ahora veremos sus gráficas y enumeraremos sus propiedades.

Función arcoseno y = arcsin(x) .

Tracemos la función arcoseno:

Propiedades de la función arcocotangente y = arcctg(x) .

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Proc. para 10-11 grados. instituciones de educación general.
• Vygodsky M.Ya. Manual de Matemáticas Elementales.
• Novoselov S.I. Álgebra y funciones elementales.
• Tumanov S.I. Álgebra elemental. Un manual para la autoeducación.

Las funciones elementales básicas, sus propiedades inherentes y sus gráficas correspondientes son uno de los conceptos básicos del conocimiento matemático, similar en importancia a la tabla de multiplicar. Las funciones elementales son la base, el soporte para el estudio de todas las cuestiones teóricas.

El siguiente artículo proporciona material clave sobre el tema de las funciones elementales básicas. Introduciremos términos, les daremos definiciones; Estudiemos en detalle cada tipo de funciones elementales y analicemos sus propiedades.

Se distinguen los siguientes tipos de funciones elementales básicas:

Definición 1

• función constante (constante);
• enésima raíz;
• función de potencia;
• funcion exponencial;
• función logarítmica;
• funciones trigonométricas;
• funciones trigonométricas fraternas.

Una función constante se define mediante la fórmula: y = C (C es un número real determinado) y también tiene un nombre: constante. Esta función determina la correspondencia de cualquier valor real de la variable independiente x con el mismo valor de la variable y: el valor de C.

La gráfica de una constante es una línea recta paralela al eje de abscisas y pasa por un punto que tiene coordenadas (0, C). Para mayor claridad, presentamos gráficas de funciones constantes y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indicadas en negro, rojo y azul en el dibujo, respectivamente).

Definición 2

Esta función elemental está definida por la fórmula y = x n (n es un número natural mayor que uno).

Consideremos dos variaciones de la función.

1. raíz enésima, n – número par

Para mayor claridad, indicamos un dibujo que muestra gráficas de tales funciones: y = x, y = x 4 y y = x8. Estas características están codificadas por colores: negro, rojo y azul respectivamente.

Las gráficas de una función de grado par tienen una apariencia similar para otros valores del exponente.

Definición 3

Propiedades de la función raíz enésima, n es un número par

• dominio de definición – el conjunto de todos los números reales no negativos [ 0 , + ∞);
• cuando x = 0, función y = x n tiene un valor igual a cero;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• rango: [ 0 , + ∞);
• esta función y = x n con exponentes de raíz par aumenta en todo el dominio de definición;
• la función tiene una convexidad con dirección hacia arriba en todo el dominio de definición;
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;
• la gráfica de la función para n par pasa por los puntos (0; 0) y (1; 1).

1. raíz enésima, n – número impar

Esta función está definida para todo el conjunto de números reales. Para mayor claridad, considere las gráficas de las funciones. y = x 3 , y = x 5 y x9. En el dibujo están indicados por colores: negro, rojo y azul son los colores de las curvas, respectivamente.

Otros valores impares del exponente raíz de la función y = x n darán una gráfica de tipo similar.

Definición 4

Propiedades de la función raíz enésima, n es un número impar

• dominio de definición – el conjunto de todos los números reales;
• esta función es impar;
• rango de valores – el conjunto de todos los números reales;
• la función y = x n para exponentes de raíz impar aumenta en todo el dominio de definición;
• la función tiene concavidad en el intervalo (- ∞ ; 0 ] y convexidad en el intervalo [ 0 , + ∞);
• el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0);
• no hay asíntotas;
• La gráfica de la función para n impar pasa por los puntos (- 1 ; - 1), (0 ; 0) y (1 ; 1).

Función de potencia

Definición 5

La función de potencia está definida por la fórmula y = x a.

La apariencia de las gráficas y las propiedades de la función dependen del valor del exponente.

• cuando una función de potencia tiene un exponente entero a, entonces el tipo de gráfica de la función de potencia y sus propiedades dependen de si el exponente es par o impar, así como del signo que tiene el exponente. Consideremos todos estos casos especiales con más detalle a continuación;
• el exponente puede ser fraccionario o irracional; dependiendo de esto, el tipo de gráficas y las propiedades de la función también varían. Analizaremos casos especiales estableciendo varias condiciones: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• una función de potencia puede tener exponente cero; también analizaremos este caso con más detalle a continuación.

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando a es un número positivo impar, por ejemplo, a = 1, 3, 5...

Para mayor claridad, indicamos las gráficas de tales funciones de potencia: y = x (color gráfico negro), y = x 3 (color azul del gráfico), y = x 5 (color rojo del gráfico), y = x 7 (color gráfico verde). Cuando a = 1, obtenemos la función lineal y = x.

Definición 6

Propiedades de una función de potencia cuando el exponente es positivo impar

• la función es creciente para x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• la función tiene convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] y concavidad para x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluyendo la función lineal);
• el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0) (excluyendo la función lineal);
• no hay asíntotas;
• puntos de paso de la función: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando a es un número par positivo, por ejemplo, a = 2, 4, 6...

Para mayor claridad, indicamos las gráficas de tales funciones de potencia: y = x 2 (color gráfico negro), y = x 4 (color azul del gráfico), y = x 8 (color rojo del gráfico). Cuando a = 2, obtenemos una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola cuadrática.

Definición 7

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es par positivo:

• dominio de definición: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• decreciente para x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• la función tiene concavidad para x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;
• puntos de paso de la función: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La siguiente figura muestra ejemplos de gráficos de funciones de potencia. y = x a cuando a es un número negativo impar: y = x - 9 (color gráfico negro); y = x - 5 (color azul del gráfico); y = x - 3 (color rojo del gráfico); y = x - 1 (color gráfico verde). Cuando a = - 1, obtenemos una proporcionalidad inversa, cuya gráfica es una hipérbola.

Definición 8

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es negativo impar:

Cuando x = 0, obtenemos una discontinuidad del segundo tipo, ya que lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ para a = - 1, - 3, - 5,…. Así, la recta x = 0 es una asíntota vertical;

• rango: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• la función es impar porque y (- x) = - y (x);
• la función es decreciente para x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• la función tiene convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0) y concavidad para x ∈ (0 ; + ∞) ;
• no hay puntos de inflexión;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, cuando a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• puntos de paso de la función: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La siguiente figura muestra ejemplos de gráficas de la función de potencia y = x a cuando a es un número par negativo: y = x - 8 (color gráfico negro); y = x - 4 (color azul del gráfico); y = x - 2 (color rojo del gráfico).

Definición 9

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es par negativo:

• dominio de definición: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Cuando x = 0, obtenemos una discontinuidad del segundo tipo, ya que lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ para a = - 2, - 4, - 6,…. Así, la recta x = 0 es una asíntota vertical;

• la función es par porque y(-x) = y(x);
• la función es creciente para x ∈ (- ∞ ; 0) y decreciente para x ∈ 0; + ∞ ;
• la función tiene concavidad en x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• no hay puntos de inflexión;
• asíntota horizontal – recta y = 0, porque:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 cuando a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• puntos de paso de la función: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Desde el principio, preste atención al siguiente aspecto: en el caso de que a sea una fracción positiva con denominador impar, algunos autores toman el intervalo - ∞ como dominio de definición de esta función de potencia; + ∞ , estipulando que el exponente a es una fracción irreducible. Por el momento, los autores de muchas publicaciones educativas sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia, donde el exponente es una fracción con denominador impar para valores negativos del argumento. A continuación nos adheriremos exactamente a esta posición: tomaremos el conjunto [ 0 ; + ∞) . Recomendación para los estudiantes: conocer la opinión del profesor sobre este punto para evitar desacuerdos.

Entonces, veamos la función de potencia. y = x a , cuando el exponente es un número racional o irracional, siempre que 0< a < 1 .

Ilustremos las funciones de potencia con gráficas. y = x a cuando a = 11 12 (color gráfico negro); a = 5 7 (color rojo de la gráfica); a = 1 3 (color azul del gráfico); a = 2 5 (color verde del gráfico).

Otros valores del exponente a (siempre que 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definición 10

Propiedades de la función de potencia en 0< a < 1:

• rango: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• la función es creciente para x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• la función es convexa para x ∈ (0 ; + ∞);
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando el exponente es un número racional o irracional no entero, siempre que a > 1.

Ilustremos con gráficas la función de potencia. y = x a bajo condiciones dadas usando las siguientes funciones como ejemplo: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (color negro, rojo, azul, verde de los gráficos, respectivamente).

Otros valores del exponente a, siempre que a > 1, darán una gráfica similar.

Definición 11

Propiedades de la función de potencia para a > 1:

• dominio de definición: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• rango: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• la función es creciente para x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• la función tiene concavidad para x ∈ (0 ; + ∞) (cuando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;
• puntos de paso de la función: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Por favor nota Cuando a es una fracción negativa con un denominador impar, en los trabajos de algunos autores existe la opinión de que el dominio de definición en este caso es el intervalo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) con la salvedad de que el exponente a es una fracción irreducible. Por el momento, los autores de materiales educativos sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia con exponente en forma de fracción con denominador impar para valores negativos del argumento. Además, nos adherimos exactamente a este punto de vista: tomamos el conjunto (0 ; + ∞) como el dominio de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios negativos. Recomendación para los estudiantes: Aclare la visión de su maestro en este punto para evitar desacuerdos.

Sigamos con el tema y analicemos la función de potencia. y = x a proporcionado: - 1< a < 0 .

Presentemos un dibujo de gráficas de las siguientes funciones: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (color negro, rojo, azul, verde de las líneas, respectivamente).

Definición 12

Propiedades de la función de potencia en - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ cuando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rango: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• no hay puntos de inflexión;

El siguiente dibujo muestra gráficas de funciones de potencia y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (colores de las curvas negro, rojo, azul y verde, respectivamente).

Definición 13

Propiedades de la función de potencia para un< - 1:

• dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ cuando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• la función es decreciente para x ∈ 0; + ∞ ;
• la función tiene concavidad para x ∈ 0; + ∞ ;
• no hay puntos de inflexión;
• asíntota horizontal – línea recta y = 0;
• punto de paso de la función: (1; 1) .

Cuando a = 0 y x ≠ 0, obtenemos la función y = x 0 = 1, que define la recta de la que se excluye el punto (0; 1) (se acordó que no se le dará ningún significado a la expresión 0 0 ).

La función exponencial tiene la forma y = a x, donde a > 0 y a ≠ 1, y la gráfica de esta función se ve diferente según el valor de la base a. Consideremos casos especiales.

Primero, veamos la situación en la que la base de la función exponencial tiene un valor de cero a uno (0< a < 1) . Un buen ejemplo son las gráficas de funciones para a = 1 2 (color azul de la curva) y a = 5 6 (color rojo de la curva).

Las gráficas de la función exponencial tendrán una apariencia similar para otros valores de la base bajo la condición 0< a < 1 .

Definición 14

Propiedades de la función exponencial cuando la base es menor que uno:

• rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• una función exponencial cuya base es menor que uno es decreciente en todo el dominio de definición;
• no hay puntos de inflexión;
• asíntota horizontal – recta y = 0 con variable x tendiendo a + ∞;

Consideremos ahora el caso en el que la base de la función exponencial es mayor que uno (a > 1).

Ilustremos este caso especial con una gráfica de funciones exponenciales y = 3 2 x (color azul de la curva) e y = e x (color rojo de la gráfica).

Otros valores de la base, unidades mayores, darán una apariencia similar a la gráfica de la función exponencial.

Definición 15

Propiedades de la función exponencial cuando la base es mayor que uno:

• dominio de definición – el conjunto completo de números reales;
• rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• una función exponencial cuya base es mayor que uno es creciente cuando x ∈ - ∞; + ∞ ;
• la función tiene una concavidad en x ∈ - ∞; + ∞ ;
• no hay puntos de inflexión;
• asíntota horizontal – recta y = 0 con variable x tendiendo a - ∞;
• punto de paso de la función: (0; 1) .

La función logarítmica tiene la forma y = log a (x), donde a > 0, a ≠ 1.

Dicha función se define solo para valores positivos del argumento: para x ∈ 0; + ∞ .

La gráfica de una función logarítmica tiene una apariencia diferente, según el valor de la base a.

Consideremos primero la situación cuando 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Otros valores de la base, no unidades mayores, darán un tipo de gráfico similar.

Definición 16

Propiedades de una función logarítmica cuando la base es menor que uno:

• dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ . Como x tiende a cero desde la derecha, los valores de la función tienden a +∞;
• rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• logarítmico
• la función tiene concavidad para x ∈ 0; + ∞ ;
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;

Ahora veamos el caso especial cuando la base de la función logarítmica es mayor que uno: a > 1 . El siguiente dibujo muestra gráficas de funciones logarítmicas y = log 3 2 x e y = ln x (colores azul y rojo de las gráficas, respectivamente).

Otros valores de la base mayores que uno darán un tipo de gráfico similar.

Definición 17

Propiedades de una función logarítmica cuando la base es mayor que uno:

• dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ . Como x tiende a cero desde la derecha, los valores de la función tienden a - ∞;
• rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ (el conjunto completo de números reales);
• esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
• la función logarítmica es creciente para x ∈ 0; + ∞ ;
• la función es convexa para x ∈ 0; + ∞ ;
• no hay puntos de inflexión;
• no hay asíntotas;
• punto de paso de la función: (1; 0) .

Las funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente y cotangente. Veamos las propiedades de cada uno de ellos y los gráficos correspondientes.

En general, todas las funciones trigonométricas se caracterizan por la propiedad de periodicidad, es decir cuando los valores de las funciones se repiten para diferentes valores del argumento, diferenciándose entre sí por el período f (x + T) = f (x) (T es el período). Por lo tanto, el elemento "período positivo más pequeño" se agrega a la lista de propiedades de las funciones trigonométricas. Además, indicaremos los valores del argumento en el que la función correspondiente se vuelve cero.

1. Función seno: y = sin(x)

La gráfica de esta función se llama onda sinusoidal.

Definición 18

Propiedades de la función seno:

• dominio de definición: el conjunto completo de números reales x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• la función desaparece cuando x = π · k, donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
• la función es creciente para x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z y decreciente para x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• la función seno tiene máximos locales en los puntos π 2 + 2 π · k; 1 y mínimos locales en los puntos - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• la función seno es cóncava cuando x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z y convexo cuando x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• no hay asíntotas.

1. Función coseno: y = cos(x)

La gráfica de esta función se llama onda coseno.

Definición 19

Propiedades de la función coseno:

• dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• período positivo más pequeño: T = 2 π;
• rango de valores: y ∈ - 1 ; 1;
• esta función es par, ya que y (- x) = y (x);
• la función es creciente para x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z y decreciente para x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• la función coseno tiene máximos locales en los puntos 2 π · k ; 1, k ∈ Z y mínimos locales en los puntos π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• la función coseno es cóncava cuando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z y convexo cuando x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• los puntos de inflexión tienen coordenadas π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• no hay asíntotas.

1. Función tangente: y = t g (x)

La gráfica de esta función se llama tangente.

Definición 20

Propiedades de la función tangente:

• dominio de definición: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
• Comportamiento de la función tangente en la frontera del dominio de definición lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Así, las rectas x = π 2 + π · k k ∈ Z son asíntotas verticales;
• la función desaparece cuando x = π · k para k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
• rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
• la función aumenta como - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• la función tangente es cóncava para x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z y convexo para x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• los puntos de inflexión tienen coordenadas π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Función cotangente: y = c t g (x)

La gráfica de esta función se llama cotangentoide. .

Definición 21

Propiedades de la función cotangente:

• dominio de definición: x ∈ (π · k ; π + π · k), donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);

Comportamiento de la función cotangente en la frontera del dominio de definición lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Así, las rectas x = π · k k ∈ Z son asíntotas verticales;

• período positivo más pequeño: T = π;
• la función desaparece cuando x = π 2 + π · k para k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
• rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
• la función es decreciente para x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• la función cotangente es cóncava para x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z y convexa para x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• los puntos de inflexión tienen coordenadas π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• No hay asíntotas oblicuas ni horizontales.

Las funciones trigonométricas inversas son arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. A menudo, debido a la presencia del prefijo "arco" en el nombre, las funciones trigonométricas inversas se denominan funciones de arco. .

1. Función arco seno: y = a r c sin (x)

Definición 22

Propiedades de la función arcoseno:

• esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
• la función arcoseno tiene una concavidad para x ∈ 0; 1 y convexidad para x ∈ - 1 ; 0;
• los puntos de inflexión tienen coordenadas (0; 0), que también es el cero de la función;
• no hay asíntotas.

1. Función arcocoseno: y = a r c cos (x)

Definición 23

Propiedades de la función arcocoseno:

• dominio de definición: x ∈ - 1 ; 1;
• rango: y ∈ 0 ; π;
• esta función es de forma general (ni par ni impar);
• la función es decreciente en todo el dominio de definición;
• la función arcocoseno tiene una concavidad en x ∈ - 1; 0 y convexidad para x ∈ 0; 1;
• los puntos de inflexión tienen coordenadas 0; π2;
• no hay asíntotas.

1. Función arco tangente: y = a r c t g (x)

Definición 24

Propiedades de la función arcotangente:

• dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• rango de valores: y ∈ - π 2 ; π2;
• esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
• la función es creciente en todo el dominio de definición;
• la función arcotangente tiene concavidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] y convexidad para x ∈ [ 0 ; + ∞);
• el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0), que también es el cero de la función;
• las asíntotas horizontales son líneas rectas y = - π 2 como x → - ∞ e y = π 2 como x → + ∞ (en la figura, las asíntotas son líneas verdes).

1. Función arco tangente: y = a r c c t g (x)

Definición 25

Propiedades de la función arcocotangente:

• dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• rango: y ∈ (0; π);
• esta función es de forma general;
• la función es decreciente en todo el dominio de definición;
• la función arco cotangente tiene una concavidad para x ∈ [ 0 ; + ∞) y convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• el punto de inflexión tiene coordenadas 0; π2;
• Las asíntotas horizontales son rectas y = π en x → - ∞ (línea verde en el dibujo) e y = 0 en x → + ∞.

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Los escolares se enfrentan a la tarea de construir la gráfica de una función desde el comienzo del estudio de álgebra y continúan construyéndola año tras año. Desde la gráfica de una función lineal, para la cual solo necesitas conocer dos puntos, hasta una parábola, para la que ya necesitas 6 puntos, una hipérbola y una onda sinusoidal. Cada año las funciones se vuelven más complejas y ya no es posible construir sus gráficas usando una plantilla, es necesario realizar estudios más complejos usando derivadas y límites.

¿Averigüemos cómo encontrar la gráfica de una función? Para hacer esto, comencemos con las funciones más simples, cuyas gráficas se trazan punto por punto, y luego consideremos un plan para construir funciones más complejas.

Graficar una función lineal

Para construir las gráficas más simples, use una tabla de valores de funciones. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Intentemos encontrar los puntos en la gráfica de la función y=4x+5.

1. Para hacer esto, tomemos dos valores arbitrarios de la variable x, sustitúyalos uno por uno en la función, encontremos el valor de la variable y e ingresemos todo en la tabla.
2. Tome el valor x=0 y sustitúyalo en la función en lugar de x - 0. Obtenemos: y=4*0+5, es decir, y=5, escriba este valor en la tabla debajo de 0. De manera similar, tome x= 0, obtenemos y=4*1+5, y=9.
3. Ahora, para construir una gráfica de la función, debes trazar estos puntos en el plano de coordenadas. Entonces necesitas dibujar una línea recta.

Graficar una función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma y=ax 2 +bx +c, donde x es una variable, a,b,c son números (a no es igual a 0). Por ejemplo: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Para construir la función cuadrática más simple y=x 2, generalmente se toman de 5 a 7 puntos. Tomemos los valores de la variable x: -2, -1, 0, 1, 2 y encontremos los valores de y de la misma forma que cuando construimos la primera gráfica.

La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Después de construir gráficas de funciones, los estudiantes tienen nuevas tareas relacionadas con la gráfica.

Ejemplo 1: encontrar la abscisa del punto de la gráfica de la función y=x 2 si la ordenada es 9. Para resolver el problema, debes sustituir en la función su valor 9 en lugar de y. Obtenemos 9=x 2 y resolvemos esta ecuación. x=3 y x=-3. Esto también se puede ver en la gráfica de la función.

Investigar una función y trazarla.

Para trazar gráficas de funciones más complejas, es necesario realizar varios pasos destinados a estudiarlas. Para hacer esto necesitas:

1. Encuentra el dominio de definición de la función. El dominio de definición son todos los valores que puede tomar la variable x. Aquellos puntos en los que el denominador se vuelve 0 o la expresión radical se vuelve negativa deben excluirse del dominio de definición.
2. Establece si la función es par o impar. Recuerde que una función par es aquella que cumple la condición f(-x)=f(x). Su gráfica es simétrica con respecto a Oy. Una función será impar si cumple la condición f(-x)=-f(x). En este caso, la gráfica es simétrica con respecto al origen.
3. Encuentra los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Para encontrar la abscisa del punto de intersección con el eje Ox, es necesario resolver la ecuación f(x) = 0 (la ordenada es igual a 0). Para encontrar la ordenada del punto de intersección con el eje Oy, es necesario sustituir 0 en la función en lugar de la variable x (la abscisa es 0).
4. Encuentra las asíntotas de la función. Una asíptota es una línea recta a la que la gráfica se aproxima indefinidamente, pero nunca cruza. Averigüemos cómo encontrar las asíntotas de la gráfica de una función.
   • Asíntota vertical de la recta x=a
   • Asíntota horizontal - recta y=a
   • Asíntota oblicua - línea recta de la forma y=kx+b
5. Encuentra los puntos extremos de la función, los intervalos de aumento y disminución de la función. Encontremos los puntos extremos de la función. Para hacer esto, necesitas encontrar la primera derivada y equipararla a 0. Es en estos puntos donde la función puede cambiar de creciente a decreciente. Determinemos el signo de la derivada en cada intervalo. Si la derivada es positiva, entonces la gráfica de la función aumenta; si es negativa, disminuye.
6. Encuentre los puntos de inflexión de la gráfica de la función, los intervalos de convexidad hacia arriba y hacia abajo.

Encontrar puntos de inflexión ahora es más fácil que nunca. Sólo necesitas encontrar la segunda derivada y luego igualarla a cero. A continuación encontramos el signo de la segunda derivada en cada intervalo. Si es positivo, entonces la gráfica de la función es convexa hacia abajo, si es negativa, es convexa hacia arriba.

Primero, intenta encontrar el dominio de la función:

¿Lograste? Comparemos las respuestas:

¿Está todo bien? ¡Bien hecho!

Ahora intentemos encontrar el rango de valores de la función:

¿Encontró? Comparemos:

¿Entiendo? ¡Bien hecho!

Trabajemos con gráficas nuevamente, solo que ahora es un poco más complicado: encuentre tanto el dominio de definición de la función como el rango de valores de la función.

Cómo encontrar tanto el dominio como el rango de una función (avanzado)

Esto es lo que pasó:

Creo que has descubierto los gráficos. Ahora intentemos encontrar el dominio de definición de una función de acuerdo con las fórmulas (si no sabes cómo hacerlo, lee la sección sobre):

¿Lograste? Vamos a revisar respuestas:

1. , ya que la expresión radical debe ser mayor o igual a cero.
2. , ya que no se puede dividir por cero y la expresión radical no puede ser negativa.
3. , ya que, respectivamente, para todos.
4. , ya que no se puede dividir por cero.

Sin embargo, todavía nos queda un punto más sin respuesta...

Repetiré la definición una vez más y la enfatizaré:

¿Te diste cuenta? La palabra "único" es un elemento muy, muy importante de nuestra definición. Intentaré explicártelo con los dedos.

Digamos que tenemos una función definida por una línea recta. . En, sustituimos este valor en nuestra "regla" y lo obtenemos. Un valor corresponde a un valor. Incluso podemos hacer una tabla con los diferentes valores y graficar esta función para comprobarlo nosotros mismos.

"¡Mirar! - usted dice, "" ¡ocurre dos veces!" Entonces, ¿tal vez una parábola no es una función? ¡No lo es!

¡El hecho de que “ ” aparezca dos veces no es motivo para acusar a la parábola de ambigüedad!

El caso es que, al calcular, obtuvimos un juego. Y al calcular con, obtuvimos un juego. Así es, una parábola es una función. Mira el gráfico:

¿Entiendo? Si no, ¡aquí tienes un ejemplo de vida que está muy alejado de las matemáticas!

Digamos que tenemos un grupo de solicitantes que se conocieron mientras presentaban documentos, cada uno de los cuales dijo en una conversación dónde vive:

De acuerdo, es muy posible que varios chicos vivan en una ciudad, pero es imposible que una persona viva en varias ciudades al mismo tiempo. Esto es como una representación lógica de nuestra “parábola”: Varias X diferentes corresponden a un mismo juego.

Ahora veamos un ejemplo en el que la dependencia no es una función. Digamos que estos mismos chicos nos dijeron a qué especialidades postularon:

Aquí tenemos una situación completamente diferente: una persona puede presentar fácilmente documentos para una o varias direcciones. Eso es un elemento los conjuntos se ponen en correspondencia varios elementos multitudes. Respectivamente, esto no es una función.

Probemos sus conocimientos en la práctica.

Determina a partir de las imágenes qué es una función y qué no lo es:

¿Entiendo? Y aquí está respuestas:

• La función es - B, E.
• La función no es: A, B, D, D.

¿Usted pregunta por qué? Sí, he aquí por qué:

En todas las imágenes excepto EN) Y MI)¡Hay varios para uno!

Estoy seguro de que ahora podrá distinguir fácilmente una función de una que no es función, decir qué es un argumento y qué es una variable dependiente, y también determinar el rango de valores permitidos de un argumento y el rango de definición de una función. . Pasemos a la siguiente sección: ¿cómo configurar una función?

Métodos para especificar una función.

¿Qué crees que significan las palabras? "establecer función"? Así es, esto significa explicar a todos de qué función estamos hablando en este caso. Además, explícalo de tal manera que todos te entiendan correctamente y que las gráficas de funciones dibujadas por las personas según tu explicación sean las mismas.

¿Cómo puedo hacer eso? ¿Cómo configurar una función? El método más sencillo, que ya se ha utilizado más de una vez en este artículo, es usando la fórmula. Escribimos una fórmula y, al sustituirla por un valor, calculamos el valor. Y como recordarás, una fórmula es una ley, una regla por la cual queda claro para nosotros y para otra persona cómo una X se convierte en Y.

Por lo general, esto es exactamente lo que hacen: en las tareas vemos funciones listas para usar especificadas por fórmulas, sin embargo, hay otras formas de configurar una función que todos olvidan y, por lo tanto, surge la pregunta "¿de qué otra manera se puede configurar una función?" desconcertantes. Entendamos todo en orden y comencemos con el método analítico.

Método analítico para especificar una función.

El método analítico consiste en especificar una función mediante una fórmula. Este es el método más universal, completo e inequívoco. Si tiene una fórmula, entonces sabe absolutamente todo sobre una función: puede hacer una tabla de valores a partir de ella, puede construir un gráfico, determinar dónde aumenta la función y dónde disminuye, en general, estudiarla. en su totalidad.

Consideremos la función. ¿Cual es la diferencia?

"¿Qué significa?" - usted pregunta. Te lo explicaré ahora.

Permítanme recordarles que en la notación la expresión entre paréntesis se llama argumento. Y este argumento puede ser cualquier expresión, no necesariamente simple. En consecuencia, cualquiera que sea el argumento (la expresión entre paréntesis), lo escribiremos en la expresión.

En nuestro ejemplo se verá así:

Consideremos otra tarea relacionada con el método analítico de especificar una función, que tendrá en el examen.

Encuentra el valor de la expresión en.

Estoy seguro de que al principio te asustaste al ver esa expresión, ¡pero no tiene absolutamente nada de aterrador!

Todo es igual que en el ejemplo anterior: sea cual sea el argumento (la expresión entre paréntesis), lo escribiremos en la expresión. Por ejemplo, para una función.

¿Qué hay que hacer en nuestro ejemplo? En su lugar necesitas escribir, y en su lugar -:

acortar la expresión resultante:

¡Eso es todo!

Trabajo independiente

Ahora intenta encontrar tú mismo el significado de las siguientes expresiones:

1. , Si
2. , Si

¿Lograste? Comparemos nuestras respuestas: estamos acostumbrados a que la función tenga la forma

Incluso en nuestros ejemplos definimos la función exactamente de esta manera, pero analíticamente es posible especificar la función, por ejemplo, de forma implícita.

Intente crear esta función usted mismo.

¿Lograste?

Así lo construí.

¿Qué ecuación derivamos finalmente?

¡Bien! Lineal, lo que significa que la gráfica será una línea recta. Hagamos una tabla para determinar qué puntos pertenecen a nuestra recta:

Precisamente de esto estábamos hablando... Uno corresponde a varios.

Intentemos dibujar lo que pasó:

¿Lo que tenemos es una función?

¡Así es, no! ¿Por qué? Intenta responder a esta pregunta con la ayuda de un dibujo. ¿Qué obtuviste?

“¡Porque un valor corresponde a varios valores!”

¿Qué conclusión podemos sacar de esto?

Así es, una función no siempre se puede expresar explícitamente y lo que se “disfraza” de función no siempre es una función.

Método tabular para especificar una función.

Como sugiere el nombre, este método es una señal simple. Sí Sí. Como el que tú y yo ya hemos hecho. Por ejemplo:

Aquí inmediatamente notó un patrón: la Y es tres veces más grande que la X. Y ahora la tarea de “pensar con mucho cuidado”: ​​¿crees que una función dada en forma de tabla es equivalente a una función?

¡No hablemos por mucho tiempo, pero dibujemos!

Entonces. Dibujamos la función especificada por el fondo de pantalla de las siguientes maneras:

¿Ves la diferencia? ¡No se trata solo de los puntos marcados! Mira más de cerca:

¿Lo has visto ahora? Cuando definimos una función en forma tabular, mostramos en el gráfico solo aquellos puntos que tenemos en la tabla y la línea (como en nuestro caso) pasa solo por ellos. Cuando definimos una función analíticamente, podemos tomar cualquier punto y nuestra función no se limita a ellos. Ésta es la peculiaridad. ¡Recordar!

Método gráfico para construir una función.

El método gráfico para construir una función no es menos conveniente. Dibujamos nuestra función y otra persona interesada puede encontrar a qué es igual y en un determinado x y así sucesivamente. Los métodos gráficos y analíticos se encuentran entre los más comunes.

Sin embargo, aquí debes recordar lo que hablamos al principio: ¡no todos los "garabatos" dibujados en el sistema de coordenadas son una función! ¿Te acuerdas? Por las dudas, copiaré aquí la definición de qué es una función:

Como regla general, la gente suele nombrar exactamente las tres formas de especificar una función que hemos discutido: analítica (usando una fórmula), tabular y gráfica, olvidando por completo que una función se puede describir verbalmente. ¿Como esto? ¡Sí, muy sencillo!

Descripción verbal de la función.

¿Cómo describir una función verbalmente? Tomemos nuestro ejemplo reciente: . Esta función se puede describir como "cada valor real de x corresponde a su valor triple". Eso es todo. Nada complicado. Usted, por supuesto, objetará: "¡Hay funciones tan complejas que es simplemente imposible especificarlas verbalmente!" Sí, las existen, pero hay funciones que son más fáciles de describir verbalmente que de definir con una fórmula. Por ejemplo: “cada valor natural de x corresponde a la diferencia entre los dígitos que lo componen, mientras que el minuendo se toma como el dígito más grande contenido en la notación del número”. Ahora veamos cómo se implementa en la práctica nuestra descripción verbal de la función:

El dígito más grande de un número dado es, respectivamente, el minuendo, entonces:

Principales tipos de funciones.

Ahora pasemos a la parte más interesante: veamos los principales tipos de funciones con las que ha trabajado/está trabajando y funcionará en el curso de matemáticas escolares y universitarias, es decir, vamos a conocerlas, por así decirlo. y dales una breve descripción. Lea más sobre cada función en la sección correspondiente.

Función lineal

Una función de la forma donde, son números reales.

La gráfica de esta función es una línea recta, por lo que construir una función lineal se reduce a encontrar las coordenadas de dos puntos.

La posición de la línea recta en el plano coordenado depende del coeficiente angular.

El alcance de una función (también conocido como el alcance de los valores de argumentos válidos) es.

Rango de valores - .

Función cuadrática

Función de la forma, donde

La gráfica de la función es una parábola; cuando las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo, cuando las ramas se dirigen hacia arriba.

Muchas propiedades de una función cuadrática dependen del valor del discriminante. El discriminante se calcula mediante la fórmula.

La posición de la parábola en el plano de coordenadas con respecto al valor y el coeficiente se muestra en la figura:

Dominio

El rango de valores depende del extremo de la función dada (punto vértice de la parábola) y del coeficiente (dirección de las ramas de la parábola)

Proporcionalidad inversa

La función dada por la fórmula, donde

El número se llama coeficiente de proporcionalidad inversa. Dependiendo del valor, las ramas de la hipérbola se encuentran en diferentes cuadrados:

Dominio - .

Rango de valores - .

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

1. Una función es una regla según la cual cada elemento de un conjunto está asociado a un único elemento del conjunto.

• - esta es una fórmula que denota una función, es decir, la dependencia de una variable de otra;
• - valor de variable o argumento;
• - cantidad dependiente: cambia cuando cambia el argumento, es decir, según cualquier fórmula específica que refleje la dependencia de una cantidad de otra.

2. Valores de argumentos válidos, o el dominio de una función, es lo que se asocia con las posibilidades en las que la función tiene sentido.

3. Rango de funciones- estos son los valores que se necesitan, dados valores aceptables.

4. Hay 4 formas de configurar una función:

• analítico (usando fórmulas);
• tabular;
• gráfico
• descripción verbal.

5. Principales tipos de funciones:

• : , donde, son números reales;
• : , Dónde;
• : , Dónde.