Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.

teoría general

Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.

Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.

A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.

Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.

prisma triangular

Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.

La notación matemática se ve así: S = ½ av.

Para averiguar el área de la base de forma general, las fórmulas son útiles: Garza y ​​aquella en la que se toma la mitad del lado a la altura dibujada.

La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.

Segundo: S = ½ n a * a.

Si quieres saber el área de la base prisma triangular, lo cual es correcto, entonces el triángulo es equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.

prisma cuadrangular

Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.

Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.

Cuando se trata de un prisma cuadrangular, entonces el área de la base prisma recto calculado por la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.

En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.

Si un rombo se encuentra en la base del prisma, se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.

Prisma pentagonal regular

Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.

Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.

Prisma hexagonal regular

Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.

La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.

Tareas

No. 1. Se da una línea recta regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.

Solución. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadriplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .

Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .

No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.

Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.

Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .

Responder.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.

Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento de recta perpendicular a las bases del prisma

prisma diagonal- un segmento que une dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus aristas laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.

Sección perpendicular (sección ortogonal)- esta es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicularmente a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que están marcados con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral - la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma
• Superficie total: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1 , BB 1 , CC 1 y DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2 .

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• las bases son dos cuadrados iguales
• las bases son paralelas entre si
• Los lados son rectángulos.
• Las caras laterales son iguales entre sí.
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las costillas laterales son paralelas entre sí e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todas las nervaduras laterales y paralela a las bases
• Ángulos de sección perpendicular - Derecho
• La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas.

Al resolver problemas sobre el tema " prisma cuadrangular regular" implica que:

prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular, y las aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado. (ver arriba las propiedades de un prisma cuadrangular regular) Nota. Esto es parte de la lección con tareas de geometría (sección geometría sólida - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades en la resolución. Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para indicar la acción de extraer raíz cuadrada símbolo se utiliza en la resolución de problemas√ .

Una tarea.

En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es de 144 cm 2 y la altura es de 14 cm Halla la diagonal del prisma y el área total de la superficie.

Solución.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado.
En consecuencia, el lado de la base será igual a

√144 = 12 cm.
De donde la diagonal de la base de un prisma rectangular regular será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonal de un prisma regular se forma con la diagonal de la base y la altura del prisma triángulo rectángulo. En consecuencia, según el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Responder: 22cm

Una tarea

Halla el área total de la superficie de un prisma cuadrangular regular si su diagonal es de 5 cm y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Solución.
Dado que la base de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado, el lado de la base (denotado como a) se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:

un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

La superficie total será igual a la suma de la superficie lateral y el doble de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

La estereometría es una parte importante curso general la geometría, que considera las características de las figuras espaciales. Una de esas figuras es un prisma cuadrangular. En este artículo, revelaremos con más detalle la cuestión de cómo calcular el volumen de un prisma cuadrangular.

¿Qué es un prisma cuadrangular?

Obviamente, antes de dar la fórmula del volumen de un prisma cuadrangular, es necesario dar una definición clara de este figura geometrica. Dicho prisma se entiende como un poliedro tridimensional, que está limitado por dos cuadrángulos idénticos arbitrarios que se encuentran en planos paralelos y cuatro paralelogramos.

Los cuadrángulos marcados paralelos entre sí se llaman bases de la figura, y los cuatro paralelogramos son los lados. Cabe aclarar aquí que los paralelogramos también son cuadriláteros, sin embargo, las bases no siempre son paralelogramos. Un ejemplo de un cuadrilátero irregular, que bien puede ser la base de un prisma, se muestra a continuación en la figura.

Todo prisma cuadrangular consta de 6 lados, 8 vértices y 12 aristas. Hay diferentes tipos de prismas cuadrangulares. Por ejemplo, una figura puede ser oblicua o recta, irregular y correcta. Más adelante en el artículo, le mostraremos cómo puede calcular el volumen de un prisma cuadrangular, teniendo en cuenta su tipo.

Prisma inclinado de base irregular

Este es el tipo de prisma cuadrangular más asimétrico, por lo que calcular su volumen será relativamente difícil. La siguiente expresión te permite determinar el volumen de una figura:

El símbolo So aquí denota el área de la base. Si esta base es un rombo, un paralelogramo o un rectángulo, entonces no es difícil calcular el valor de So. Entonces, para un rombo y un paralelogramo, la fórmula es válida:

donde a es el lado de la base, ha es la longitud de la altura bajada a este lado desde la parte superior de la base.

Si la base es un polígono irregular (ver arriba), entonces su área debe dividirse en formas más simples (por ejemplo, triángulos), calcular sus áreas y encontrar su suma.

En la fórmula del volumen, el símbolo h denota la altura del prisma. representa la longitud segmento perpendicular entre dos bases. Dado que el prisma está inclinado, el cálculo de la altura h debe realizarse a partir de la longitud de la arista lateral by los ángulos diedros entre las caras laterales y la base.

La figura correcta y su volumen.

Si la base de un prisma cuadrangular es un cuadrado, y la figura en sí es recta, entonces se llama regular. Cabe aclarar que se llama prisma recto cuando todos sus lados son rectángulos y cada uno de ellos es perpendicular a las bases. La figura correcta se muestra a continuación.

El volumen de un prisma cuadrangular regular se puede calcular usando la misma fórmula que el volumen de una figura irregular. Como la base es un cuadrado, su área se calcula simplemente:

La altura del prisma h es igual a la longitud del borde lateral b (el lado del rectángulo). Entonces el volumen de un prisma cuadrangular regular se puede calcular usando la siguiente fórmula:

Un prisma regular de base cuadrada se llama cuboides. Este paralelepípedo, en el caso de lados iguales a y b, se convierte en un cubo. El volumen de este último se calcula de la siguiente manera:

Las fórmulas escritas para el volumen V indican que cuanto mayor sea la simetría de la figura, menos parámetros lineales se requieren para calcular este valor. Entonces, en el caso de un prisma regular, el número requerido de parámetros es dos, y en el caso de un cubo, uno.

Problema con la figura correcta

Habiendo considerado el tema de encontrar el volumen de un prisma cuadrangular desde el punto de vista de la teoría, aplicaremos los conocimientos adquiridos en la práctica.

Se sabe que un paralelepípedo regular tiene una diagonal de base de 12 cm, la diagonal de su lado lateral es de 20 cm, es necesario calcular el volumen del paralelepípedo.

Denotemos la diagonal de la base con el símbolo da, y la diagonal de la cara lateral con el símbolo db. Para la diagonal da, las expresiones son verdaderas:

En cuanto al valor db, es la diagonal de un rectángulo de lados a y b. Para ella se pueden escribir las siguientes igualdades:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Sustituyendo la expresión encontrada por a en la última igualdad, obtenemos:

b = √(db2 - da2/2)

Ahora puedes sustituir las fórmulas resultantes en la expresión del volumen de la figura correcta:

V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)

Reemplazando da y db con números de la condición del problema, llegamos a la respuesta: V ≈ 1304 cm3.

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su informacion personal en cualquier momento cuando nos contacte.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información variada, incluyendo su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y mensajes importantes.
• También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• En caso de que sea necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de organismos estatales en el territorio de la Federación Rusa, divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, aplicación de la ley u otras razones de interés público.
• En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.