Una ecuación cúbica que contiene coeficientes con raíz real, los otros dos se consideran un par conjugado complejo. Se considerarán ecuaciones con binomios y reflexivas, así como la búsqueda de raíces racionales. Toda la información estará respaldada por ejemplos.

Solución de una ecuación cúbica de dos términos de la forma A x 3 + B = 0

Una ecuación cúbica que contiene un binomio es A x 3 + B = 0. Debe reducirse a x 3 + B A = 0 dividiendo por A distinto de cero. Después de lo cual puedes aplicar la fórmula para la multiplicación abreviada de la suma de cubos. lo entendemos

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

El resultado del primer paréntesis tomará la forma x = - B A 3, y el trinomio cuadrado - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, y solo con raíces complejas.

Ejemplo 1

Encuentra las raíces de la ecuación cúbica 2 x 3 - 3 = 0.

Solución

Necesitas encontrar x a partir de la ecuación. Anotemos:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Es necesario aplicar la fórmula de multiplicación abreviada. Entonces entendemos eso

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Abramos el primer paréntesis y obtengamos x = 3 3 2 6. El segundo paréntesis no tiene raíces reales porque el discriminante es menor que cero.

Respuesta: x = 3 3 2 6 .

Resolver una ecuación cúbica recíproca de la forma A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

La forma de la ecuación cuadrática es A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, donde los valores de A y B son coeficientes. Es necesario agruparse. lo entendemos

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

La raíz de la ecuación es x = - 1, entonces para obtener las raíces del trinomio cuadrático A x 2 + x B - A + A es necesario utilizarla encontrando el discriminante.

Ejemplo 2

Resuelve una ecuación de la forma 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Solución

La ecuación es recíproca. Es necesario agruparse. lo entendemos

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Si x = - 1 es la raíz de la ecuación, entonces necesitas encontrar las raíces del trinomio dado 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Respuesta:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Resolver ecuaciones cúbicas con raíces racionales.

Si x = 0, entonces es la raíz de una ecuación de la forma A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Con el término libre D = 0, la ecuación queda A x 3 + B x 2 + C x = 0. Cuando quitamos x de los paréntesis, encontramos que la ecuación cambia. Cuando se resuelve mediante el discriminante o Vieta, tomará la forma x A x 2 + B x + C = 0.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de la ecuación dada 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0.

Solución

Simplifiquemos la expresión.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 es la raíz de la ecuación. Necesitas encontrar las raíces de un trinomio cuadrático de la forma 3 x 2 + 4 x + 2. Para hacer esto, es necesario igualar a cero y continuar la solución usando un discriminante. lo entendemos

D = 4 2 - 4 3 2 = - 8. Como su valor es negativo, no hay raíces del trinomio.

Respuesta: x = 0.

Cuando los coeficientes de la ecuación A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 son números enteros, entonces se pueden obtener raíces irracionales en la respuesta. Si A ≠ 1, entonces al multiplicar por A 2 ambos lados de la ecuación, las variables cambian, es decir, y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Llegamos a la forma de una ecuación cúbica. Las raíces pueden ser enteras o racionales. Para obtener una igualdad idéntica, es necesario sustituir divisores en la ecuación resultante. Entonces el y 1 resultante será la raíz. Esto significa que la raíz de la ecuación original es x 1 = y 1 A. Es necesario dividir el polinomio A x 3 + B x 2 + C x + D por x - x 1 . Entonces podemos encontrar las raíces del trinomio cuadrático.

Ejemplo 4

Solución

Es necesario realizar la transformación multiplicando ambas partes por 2 2, y reemplazando una variable como y = 2 x. lo entendemos

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

El término libre es igual a 36, entonces es necesario fijar todos sus divisores:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±36

Es necesario sustituir y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 para obtener una identidad de la forma

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

Desde aquí vemos que y = - 1 es una raíz. Esto significa x = y 2 = - 1 2 .

tenemos eso

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Luego necesitas encontrar las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 - 6 x + 9. Tenemos que la ecuación debe reducirse a la forma x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, donde x = 3 será su raíz.

Respuesta: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Comentario

El algoritmo se puede utilizar para ecuaciones recíprocas. Se puede ver que -1 es su raíz, lo que significa que el lado izquierdo se puede dividir por x + 1. Sólo así será posible encontrar las raíces del trinomio cuadrático. En ausencia de raíces racionales, se utilizan otros métodos de solución para factorizar el polinomio.

Resolver ecuaciones cúbicas usando la fórmula de Cardano

Es posible encontrar raíces cúbicas utilizando la fórmula de Cardano. Cuando A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, es necesario encontrar B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

Después de lo cual p = - B 1 2 3 + B 2 y q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3.

La pyq resultante en la fórmula de Cardano. lo entendemos

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

La selección de raíces cúbicas debe satisfacer el valor de salida - p 3 . Entonces las raíces de la ecuación original x = y - B 1 3 . Veamos la solución al ejemplo anterior usando la fórmula de Cardano.

Ejemplo 5

Encuentra las raíces de la ecuación dada 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Solución

Se puede ver que A 0 = 2, A 1 = - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Es necesario encontrar B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Resulta que

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Sustituimos en la fórmula de Cordano y obtenemos

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 tiene tres significados. Veámoslos a continuación.

343 216 3 = 7 6 porque π + 2 π k 3 + i sen π + 2 π k 3, k = 0, 1, 2

Si k = 0, entonces - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Si k = 1, entonces - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Si k = 2, entonces - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sen 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Es necesario dividir en pares, luego obtenemos - p 3 = 49 36.

Luego obtenemos los pares: 7 6 1 2 + i · 3 2 y 7 6 1 2 - i · 3 2, - 7 6 y - 7 6, 7 6 1 2 - i · 3 2 y 7 6 1 2 + i · 3 2.

Transformemos usando la fórmula de Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + yo 3 2 + 7 6 1 2 - yo 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Respuesta: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

Al resolver ecuaciones cúbicas, puedes encontrar una reducción para resolver ecuaciones de cuarto grado usando el método Ferrari.

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FórmulaCardano

Mostovói

Odesa

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Sobre la disputa que se suponía que iba a tener lugar entre el famoso matemático y el no menos famoso médico, sólo se hicieron las conjeturas más generales, ya que nadie sabía realmente nada. Dijeron que uno de ellos engañó al otro (se desconoce quién exactamente y a quién). Casi todos los que se reunieron en la plaza tenían las ideas más vagas sobre las matemáticas, pero todos esperaban con ansias el inicio del debate. Siempre fue interesante, podías reírte del perdedor, sin importar si tenía razón o no.

Cuando el reloj del ayuntamiento dio las cinco, las puertas se abrieron de par en par y la multitud entró corriendo en la catedral. A cada lado de la línea central que conecta la entrada al altar, se erigieron dos púlpitos altos cerca de las dos columnas laterales, destinados a los polemistas. Los presentes hicieron un fuerte ruido, sin prestar atención a que estaban en la iglesia. Finalmente, frente a la reja de hierro que separaba el iconostasio del resto de la nave central, apareció un pregonero con manto negro y violeta y proclamó: “¡Ciudadanos ilustres de la ciudad de Milán! Ahora le hablará el famoso matemático Niccolo Tartaglia de Brenia. Se suponía que su oponente sería el matemático y médico Gerónimo Cardano. Niccolò Tartaglia acusa a Cardano de ser el último en publicar en su libro “Ars magna” un método para resolver una ecuación de tercer grado, que le pertenece, Tartaglia. Sin embargo, el propio Cardano no pudo asistir al debate y por eso envió a su alumno Luige Ferrari. Entonces se declara abierto el debate y sus participantes son invitados a los departamentos”. Un hombre torpe, de nariz aguileña y barba rizada, subió al púlpito situado a la izquierda de la entrada, y al púlpito opuesto ascendió un joven de unos veinte años, de rostro atractivo y seguro de sí mismo. Todo su comportamiento reflejaba total confianza en que cada gesto y cada palabra sería recibido con deleite.

—empezó Tartaglia.

¡Estimados señores! Sabes que hace 13 años logré encontrar una manera de resolver una ecuación de 3er grado y luego, usando este método, gané la disputa con Fiori. Mi método atrajo la atención de su conciudadano Cardano, y él utilizó todo su astuto arte para descubrirme el secreto. No se detuvo ni ante el engaño ni ante la falsificación descarada. Sabéis también que hace 3 años se publicó en Nuremberg el libro de Cardano sobre las reglas del álgebra, donde mi método, tan descaradamente robado, se puso a disposición de todos. Reté a Cardano y a su alumno a una competencia. Me propuse resolver 31 problemas, mis oponentes me propusieron el mismo número. Se fijó un plazo para resolver los problemas: 15 días. En 7 días logré resolver la mayoría de los problemas compilados por Cardano y Ferrari. Los imprimí y los envié por mensajería a Milán. Sin embargo, tuve que esperar cinco meses hasta recibir respuestas a mis tareas. Fueron resueltos incorrectamente. Esto me dio motivos para desafiarlos a ambos a un debate público.

Tartaglia guardó silencio. El joven, mirando a la desgraciada Tartaglia, dijo:

¡Estimados señores! Mi digno oponente se permitió, desde las primeras palabras de su discurso, expresar tantas calumnias contra mí y contra mi maestro; su argumento era tan infundado que difícilmente me tomaría la molestia de refutar la primera y mostrarles la inconsecuencia de el segundo. En primer lugar, ¿de qué tipo de engaño podemos hablar si Niccolo Tartaglia compartió voluntariamente su método con nosotros dos? Y así escribe Geronimo Cardano sobre el papel de mi oponente en el descubrimiento de la regla algebraica. Dice que no es él, Cardano, “sino mi amigo Tartaglia quien tiene el honor de descubrir algo tan hermoso y sorprendente, que supera el ingenio humano y todos los talentos del espíritu humano. Este descubrimiento es verdaderamente un regalo celestial, una prueba tan maravillosa del poder de la mente que lo comprendió, que nada puede considerarse inalcanzable para él”.

Mi oponente nos acusó a mí y a mi maestro de supuestamente dar una solución equivocada a sus problemas. Pero, ¿cómo puede ser incorrecta la raíz de una ecuación si al sustituirla en la ecuación y realizar todas las acciones prescritas en esta ecuación llegamos a la identidad? Y si el señor Tartaglia quiere ser coherente, entonces debería haber respondido a la observación de por qué nosotros, que robamos, pero según sus palabras, su invento y lo utilizamos para resolver los problemas propuestos, recibimos la solución equivocada. Nosotros, mi profesor y yo, no consideramos de poca importancia el invento del signor Tartaglia. Este invento es maravilloso. Además, apoyándome en gran medida en ello, encontré una manera de resolver una ecuación de 4º grado, y en el Ars Magna mi profesor habla de esto. ¿Qué quiere el señor Tartaglia de nosotros? ¿Qué pretende conseguir con la disputa?

Señores, señores”, gritó Tartaglia, “¡les pido que me escuchen!” No niego que mi joven oponente es muy fuerte en lógica y elocuencia. Pero esto no puede reemplazar una verdadera demostración matemática. Los problemas que les comenté a Cardano y Ferrari no se resolvieron correctamente, pero lo demostraré también. De hecho, tomemos, por ejemplo, una ecuación de entre las resueltas. Es sabido...

... Así terminó esta disputa, que sigue provocando cada vez más disputas nuevas. ¿A quién pertenece realmente el método para resolver una ecuación de tercer grado? Estamos hablando ahora: Niccolò Tartaglie. Lo descubrió y Cardano lo engañó para que hiciera el descubrimiento. Y si ahora llamamos fórmula de Cardano a la fórmula que representa las raíces de una ecuación de tercer grado a través de sus coeficientes, entonces esto es una injusticia histórica. Sin embargo, ¿es injusto? ¿Cómo calcular el grado de participación de cada matemático en el descubrimiento? Tal vez con el tiempo alguien pueda responder a esta pregunta con absoluta precisión, o tal vez siga siendo un misterio...

fórmula cardano

Utilizando un lenguaje matemático moderno y un simbolismo moderno, la derivación de la fórmula de Cardano se puede encontrar utilizando las siguientes consideraciones extremadamente elementales:

Se nos dará una ecuación general de tercer grado:

hacha 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Si pones

, luego damos la ecuacion (1) a la mente

Introduzcamos una nueva incógnita. Ud. usando la igualdad

Al introducir esta expresión en (2) , obtenemos

por eso

Si el numerador y el denominador del segundo término se multiplican por la expresión y se tienen en cuenta, la expresión resultante para tu resulta ser simétrico con respecto a los signos “+” y “-”, entonces finalmente obtenemos

(El producto de los radicales cúbicos en la última igualdad debe ser igual pag).

Esta es la famosa fórmula Cardano. si vas de y de regreso X, luego obtenemos una fórmula que determina la raíz de una ecuación general de 3er grado.

El joven que trató a Tartaglia tan despiadadamente entendía las matemáticas con tanta facilidad como comprendía el derecho a guardar secretos sin pretensiones. Ferrari encuentra una manera de resolver una ecuación de cuarto grado. Cardano incluyó este método en su libro. ¿Qué es este método?

Dejar (1)

- ecuación general de 4to grado.

Si pones

entonces la ecuación (1) se puede recordar

Dónde p,q,r- algunos coeficientes dependiendo de a B C D e. Es fácil ver que esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

De hecho, basta con abrir los corchetes, luego todos los términos que contienen t, se cancela y volvemos a la ecuación (2) .

Seleccionemos un parámetro t para que el lado derecho de la ecuación (3) era un cuadrado perfecto respecto a y. Como es sabido, una condición necesaria y suficiente para ello es la desaparición del discriminante de los coeficientes del trinomio (con respecto a y) de pie a la derecha:

Hemos obtenido una ecuación cúbica completa, que ahora podemos resolver. Encontremos cualquiera de sus raíces y sumémosla a la ecuación. (3) , ahora tomará la forma

Esta es una ecuación cuadrática. Resolviendolo, puedes encontrar la raíz de la ecuación. (2) , y por lo tanto (1) .

Cuatro meses antes de su muerte, Cardano terminó su autobiografía, que escribió intensamente durante el último año y que se suponía resumiría su difícil vida. Sintió que la muerte se acercaba. Según algunos informes, su propio horóscopo vinculó su muerte con su 75 cumpleaños. Murió el 21 de septiembre de 1576. 2 días antes del aniversario. Existe una versión de que se suicidó previendo una muerte inminente o incluso para confirmar su horóscopo. En cualquier caso, el astrólogo Cardano se tomó en serio el horóscopo.

Una nota sobre la fórmula de Cardano

Analicemos la fórmula para resolver la ecuación en el dominio real. Entonces,

Al calcular X primero tenemos que sacar la raíz cuadrada y luego la raíz cúbica. Podemos sacar la raíz cuadrada permaneciendo en la región real si . Dos valores de raíz cuadrada que difieren en signo aparecen en términos diferentes para X. Los valores de la raíz cúbica en el dominio real son únicos y el resultado es una raíz real única X en . Al examinar la gráfica del trinomio cúbico, es fácil verificar que en realidad tiene una única raíz real en . Hay tres raíces reales. Cuando hay raíz real doble y raíz única, y cuando hay raíz triple x=0.

Sigamos estudiando la fórmula para . Resulta. ¿Qué pasa si una ecuación con coeficientes enteros tiene una raíz entera? Al calcularla usando la fórmula, pueden surgir irracionalidades intermedias. Por ejemplo, la ecuación tiene una única raíz (real): x=1. La fórmula de Cardano da para esta única raíz real la expresión

Pero prácticamente cualquier prueba implica utilizar el hecho de que esta expresión es la raíz de la ecuación. Si no adivina esto, durante la transformación aparecerán radicales cúbicos indestructibles.

El problema Cardano-Tartaglia pronto quedó en el olvido. La fórmula para resolver la ecuación cúbica se asoció con el "Gran Arte" y poco a poco comenzó a llamarse fórmula Cardano.

Muchos deseaban restaurar la imagen real de los acontecimientos en una situación en la que sus participantes, sin duda, no dijeron toda la verdad. Para muchos, era importante establecer el alcance de la culpabilidad de Cardano. A finales del siglo XIX, algunas de las discusiones comenzaron a adquirir el carácter de investigaciones históricas y matemáticas serias. Los matemáticos se dieron cuenta del importante papel que desempeñaba el trabajo de Cardano a finales del siglo XVI. Quedó claro lo que Leibniz había señalado incluso antes: “Cardano fue un gran hombre con todos sus defectos; sin ellos sería perfecto”.

Explica cómo resolver ecuaciones cúbicas. Se considera el caso en el que se conoce una raíz. Métodos para encontrar raíces enteras y racionales. Aplicación de las fórmulas de Cardano y Vieta para resolver cualquier ecuación cúbica.

Contenido

Aquí consideramos resolver ecuaciones cúbicas de la forma
(1) .
A continuación, asumimos que se trata de números reales.

(2) ,
luego dividiéndolo por , obtenemos una ecuación de la forma (1) con coeficientes
.

La ecuación (1) tiene tres raíces: , y . Una de las raíces es siempre real. Denotamos la raíz real como . Las raíces y pueden ser conjugadas reales o complejas. Las raíces reales pueden ser múltiplos. Por ejemplo, si , entonces y son raíces dobles (o raíces de múltiplo de 2) y es una raíz simple.

Si se conoce una raíz

Conozcamos una raíz de la ecuación cúbica (1). Denotemos la raíz conocida como . Luego, dividiendo la ecuación (1) por , obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos dos raíces más y .

Para demostrar esto, utilizamos el hecho de que un polinomio cúbico se puede representar como:
.
Luego, dividiendo (1) por , obtenemos una ecuación cuadrática.

En la página se presentan ejemplos de división de polinomios.
“División y multiplicación de un polinomio por un polinomio con esquina y columna”.
La resolución de ecuaciones cuadráticas se analiza en la página.
"Raíces de una ecuación cuadrática".

Si una de las raíces está entera.

Si la ecuación original es:
(2) ,
y sus coeficientes,,, son números enteros, entonces puedes intentar encontrar la raíz entera. Si esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del coeficiente. El método para encontrar raíces enteras es encontrar todos los divisores del número y verificar si la ecuación (2) se cumple para ellos. Si se satisface la ecuación (2), entonces hemos encontrado su raíz. Denotémoslo como . A continuación, dividimos la ecuación (2) por . Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendolo encontramos dos raíces más.

En la página se dan ejemplos de cómo definir raíces enteras.
Ejemplos de factorización de polinomios > > > .

Encontrar raíces racionales

Si en la ecuación (2) , , , son números enteros y no hay raíces enteras, entonces puedes intentar encontrar raíces racionales, es decir, raíces de la forma , donde y son números enteros.

Para hacer esto, multiplica la ecuación (2) por y haz la sustitución:
;
(3) .
A continuación, buscamos raíces enteras de la ecuación (3) entre los divisores del término libre.

Si hemos encontrado la raíz entera de la ecuación (3), entonces, volviendo a la variable, obtenemos la raíz racional de la ecuación (2):
.

Fórmulas de Cardano y Vieta para resolver la ecuación cúbica.

Si no conocemos una sola raíz y no hay raíces completas, entonces podemos encontrar las raíces de la ecuación cúbica usando las fórmulas de Cardano.

Considere la ecuación cúbica:
(1) .
Hagamos una sustitución:
.
Después de esto, la ecuación se reduce a una forma incompleta o reducida:
(4) ,
Dónde
(5) ; .

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.

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fórmula cardano

Las disputas en la Edad Media siempre presentaban un espectáculo interesante que atraía a habitantes ociosos, jóvenes y mayores. Los temas de los debates fueron variados, pero siempre científicos. Al mismo tiempo, se entendía por ciencia lo que estaba incluido en la lista de las llamadas siete artes liberales, que era, por supuesto, la teología. Las disputas teológicas fueron las más frecuentes. Discutieron por todo. Por ejemplo, sobre si asociar un ratón con el espíritu santo si come la Santa Cena, si la Cumae Sibila podría haber predicho el nacimiento de Jesucristo, por qué los hermanos y hermanas del Salvador no son canonizados, etc.
Sobre la disputa que se suponía que iba a tener lugar entre el famoso matemático y el no menos famoso médico, sólo se hicieron las conjeturas más generales, ya que nadie sabía realmente nada. Dijeron que uno de ellos engañó al otro (se desconoce quién exactamente y a quién). Casi todos los que se reunieron en la plaza tenían las ideas más vagas sobre las matemáticas, pero todos esperaban con ansias el inicio del debate. Siempre fue interesante, podías reírte del perdedor, sin importar si tenía razón o no.
Cuando el reloj del ayuntamiento dio las cinco, las puertas se abrieron de par en par y la multitud entró corriendo en la catedral. A cada lado de la línea central que conecta la entrada al altar, se erigieron dos púlpitos altos cerca de las dos columnas laterales, destinados a los polemistas. Los presentes hicieron un fuerte ruido, sin prestar atención a que estaban en la iglesia. Finalmente, frente a la reja de hierro que separaba el iconostasio del resto de la nave central, apareció un pregonero con manto negro y violeta y proclamó: “¡Ciudadanos ilustres de la ciudad de Milán! Ahora le hablará el famoso matemático Niccolo Tartaglia de Brenia. Se suponía que su oponente sería el matemático y médico Gerónimo Cardano. Niccolo Tartaglia acusa a Cardano de ser el último en publicar en su libro “Ars magna” un método para resolver una ecuación de tercer grado que le pertenecía a él, Tartaglia. Sin embargo, el propio Cardano no pudo asistir al debate y por eso envió a su alumno Luige Ferrari. Entonces se declara abierto el debate y sus participantes son invitados a los departamentos”. Un hombre torpe, de nariz aguileña y barba rizada, subió al púlpito situado a la izquierda de la entrada, y al púlpito opuesto ascendió un joven de unos veinte años, de rostro atractivo y seguro de sí mismo. Todo su comportamiento reflejaba total confianza en que cada gesto y cada palabra sería recibido con deleite.
—empezó Tartaglia.

¡Estimados señores! Sabes que hace 13 años logré encontrar una manera de resolver una ecuación de 3er grado y luego, usando este método, gané la disputa con Fiori. Mi método atrajo la atención de su conciudadano Cardano, y él utilizó todo su astuto arte para descubrirme el secreto. No se detuvo ni ante el engaño ni ante la falsificación descarada. Sabéis también que hace 3 años se publicó en Nuremberg el libro de Cardano sobre las reglas del álgebra, donde mi método, tan descaradamente robado, se puso a disposición de todos. Reté a Cardano y a su alumno a una competencia. Me propuse resolver 31 problemas, mis oponentes me propusieron el mismo número. Se fijó un plazo para resolver los problemas: 15 días. En 7 días logré resolver la mayoría de los problemas compilados por Cardano y Ferrari. Los imprimí y los envié por mensajería a Milán. Sin embargo, tuve que esperar cinco meses hasta recibir respuestas a mis tareas. Fueron resueltos incorrectamente. Esto me dio motivos para desafiarlos a ambos a un debate público.

Tartaglia guardó silencio. El joven, mirando a la desgraciada Tartaglia, dijo:

¡Estimados señores! Mi digno oponente se permitió, desde las primeras palabras de su discurso, expresar tantas calumnias contra mí y contra mi maestro; su argumento era tan infundado que difícilmente me tomaría la molestia de refutar la primera y mostrarles la inconsecuencia de el segundo. En primer lugar, ¿de qué tipo de engaño podemos hablar si Niccolo Tartaglia compartió voluntariamente su método con nosotros dos? Y así escribe Geronimo Cardano sobre el papel de mi oponente en el descubrimiento de la regla algebraica. Dice que no es él, Cardano, “sino mi amigo Tartaglia quien tiene el honor de descubrir algo tan hermoso y sorprendente, que supera el ingenio humano y todos los talentos del espíritu humano. Este descubrimiento es verdaderamente un regalo celestial, una prueba tan maravillosa del poder de la mente que lo ha comprendido, que nada puede considerarse inalcanzable para él”.
Mi oponente nos acusó a mí y a mi maestro de supuestamente dar una solución equivocada a sus problemas. Pero, ¿cómo puede ser incorrecta la raíz de una ecuación si al sustituirla en la ecuación y realizar todas las acciones prescritas en esta ecuación llegamos a la identidad? Y si el señor Tartaglia quiere ser coherente, entonces debería haber respondido a la observación de por qué nosotros, que robamos, pero según sus palabras, su invento y lo utilizamos para resolver los problemas propuestos, recibimos la solución equivocada. Nosotros, mi profesor y yo, no consideramos de poca importancia el invento del signor Tartaglia. Este invento es maravilloso. Además, apoyándome en gran medida en ello, encontré una manera de resolver una ecuación de 4º grado, y en el Ars Magna mi profesor habla de esto. ¿Qué quiere el señor Tartaglia de nosotros? ¿Qué pretende conseguir con la disputa?
Señores, señores”, gritó Tartaglia, “¡les pido que me escuchen!” No niego que mi joven oponente es muy fuerte en lógica y elocuencia. Pero esto no puede reemplazar una verdadera demostración matemática. Los problemas que les comenté a Cardano y Ferrari no se resolvieron correctamente, pero lo demostraré también. De hecho, tomemos, por ejemplo, una ecuación de entre las resueltas. Es sabido...

Un ruido inimaginable se levantó en la iglesia, absorbiendo por completo el final de la frase iniciada por el desventurado matemático. No se le permitió continuar. La multitud le exigió que se callara y que Ferrari tomara la vuelta. Tartaglia, viendo que continuar la discusión era completamente inútil, descendió apresuradamente del púlpito y salió a la plaza por el pórtico norte. El público saludó con entusiasmo al “ganador” de la disputa, Luigi Ferrari.
Así terminó esta disputa, que sigue provocando cada vez más disputas nuevas. ¿A quién pertenece realmente el método para resolver una ecuación de tercer grado? Estamos hablando ahora: Niccolò Tartaglie. Lo descubrió y Cardano lo engañó para que hiciera el descubrimiento. Y si ahora llamamos fórmula de Cardano a la fórmula que representa las raíces de una ecuación de tercer grado a través de sus coeficientes, entonces esto es una injusticia histórica. Sin embargo, ¿es injusto? ¿Cómo calcular el grado de participación de cada matemático en el descubrimiento? Tal vez con el tiempo alguien pueda responder a esta pregunta con absoluta precisión, o tal vez siga siendo un misterio...

fórmula cardano

Utilizando un lenguaje matemático moderno y un simbolismo moderno, la derivación de la fórmula de Cardano se puede encontrar utilizando las siguientes consideraciones extremadamente elementales:
Se nos dará una ecuación general de tercer grado:

Si ponemos , entonces reducimos la ecuación (1) a la forma

, (2)

Dónde , .
Introduzcamos una nueva incógnita usando la igualdad.
Introduciendo esta expresión en (2), obtenemos

. (3)

De aquí
,

por eso,
.

Si el numerador y denominador del segundo término se multiplican por la expresión y tomamos en cuenta que la expresión resultante para resulta ser simétrica respecto de los signos “” y “”, entonces finalmente obtenemos

(El producto de los radicales cúbicos en la última igualdad debe ser igual a ).
Esta es la famosa fórmula Cardano. Si pasamos de nuevo a , obtenemos una fórmula que determina la raíz de una ecuación general de 3er grado.
El joven que trató a Tartaglia tan despiadadamente entendía las matemáticas con tanta facilidad como comprendía el derecho a guardar secretos sin pretensiones. Ferrari encuentra una manera de resolver una ecuación de cuarto grado. Cardano incluyó este método en su libro. ¿Qué es este método?
Dejar
- (1)

Ecuación general de 4º grado.
Si establecemos , entonces la ecuación (1) se puede reducir a la forma

, (2)

donde , , son algunos coeficientes que dependen de , , , . Es fácil ver que esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

. (3)

De hecho, basta con abrir los corchetes, luego todos los términos que contienen , se cancelan entre sí y volvemos a la ecuación (2).
Elijamos un parámetro para que el lado derecho de la ecuación (3) sea un cuadrado perfecto con respecto a . Como se sabe, una condición necesaria y suficiente para ello es la desaparición del discriminante de los coeficientes del trinomio (con respecto a ) de la derecha:
. (4)

Hemos obtenido una ecuación cúbica completa, que ahora podemos resolver. Encontremos cualquiera de sus raíces e ingresémosla en la ecuación (3), ahora tomará la forma

De aquí
.

Esta es una ecuación cuadrática. Al resolverlo, se puede encontrar la raíz de la ecuación (2) y, en consecuencia, (1).
Cuatro meses antes de su muerte, Cardano terminó su autobiografía, que escribió intensamente durante el último año y que se suponía resumiría su difícil vida. Sintió que la muerte se acercaba. Según algunos informes, su propio horóscopo vinculó su muerte con su 75 cumpleaños. Murió el 21 de septiembre de 1576, 2 días antes del aniversario. Existe una versión de que se suicidó previendo una muerte inminente o incluso para confirmar su horóscopo. En cualquier caso, el astrólogo Cardano se tomó en serio el horóscopo.

Una nota sobre la fórmula de Cardano

Analicemos la fórmula para resolver la ecuación. en la verdadera región. Entonces,
.

Contenido

Ver también: Fórmula trigonométrica de Vieta.

Reducir la ecuación cúbica a forma reducida.

Considere la ecuación cúbica:
(1) ,
Dónde . Dividámoslo en:
(2) ,
Dónde , , .
Suponemos además que , y - son números reales.

Reduzcamos la ecuación (2) a una forma más simple. Para hacer esto, hagamos una sustitución.
.
;
;
.
Igualemos el coeficiente a a cero. Para hacer esto, pongamos
:
;
;
.
Obtenemos la siguiente ecuación:
(3) ,
Dónde
(4) ; .

Derivación de la fórmula de Cardano

Resolvemos la ecuación (3). Hacer una sustitución
(5) :
;
;
;
.
Para que se cumpla esta ecuación, pongamos
(6) ;
(7) .

De (7) tenemos:
.
Sustituyamos en (6):
;
.

Resolver una ecuación cuadrática.
(8) .
Tomemos el signo "+" superior:
,
donde introdujimos la notación
.
De (6) tenemos:
.

Entonces, encontramos una solución a la ecuación anterior de la siguiente forma:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Esta solución se llama fórmula cardano.

Si al elegir el signo de la raíz cuadrada en (8) tomamos el signo inferior, entonces cambiaremos de lugar y no obtendremos nada nuevo. Las cantidades y son iguales a las raíces cúbicas, por lo que tienen tres valores. De todos los pares posibles, es necesario elegir aquellos que satisfagan la ecuación (7).

Entonces, el algoritmo para resolver la ecuación cúbica reducida.
(3)
próximo.
1) Primero determinamos cualquier valor de la raíz cuadrada.
2) Calcula tres valores de la raíz cúbica.
3) Usando la fórmula (7), para cada valor, calculamos el valor:
.
Como resultado, obtenemos tres pares de cantidades y .
4) Para cada par de cantidades y , usando la fórmula (5) encontramos los valores de las raíces de la ecuación dada (3).
5) Calculamos los valores de las raíces de la ecuación original (1) usando la fórmula
.
De esta forma obtenemos los valores de las tres raíces de la ecuación original. Cuando dos o tres raíces son múltiplos (iguales).

En el paso 3) de este algoritmo, puedes hacerlo de manera diferente. Podemos calcular tres valores de la cantidad usando la fórmula (10). Y luego hacer tres pares de raíces y de modo que para cada par se cumpla la relación
(7) .

Caso Q ≥ 0

Consideremos el caso. Además, son números reales. Introduzcamos algo de notación. Sean y denotan los valores reales de las raíces cúbicas.

Encontremos los valores restantes de las raíces y . Escribámoslo de la siguiente forma:
; ,
donde - es un número entero;
- unidad imaginaria, .
Entonces
.
Asignando valores obtenemos tres raíces:
, ;
, ;
, .
De la misma forma obtenemos tres raíces:
;
;
.

Ahora los agrupamos en pares de modo que para cada par se cumpla la siguiente relación:
(7) .
Desde entonces
.
Entonces
.
De aquí obtenemos el primer par: .
A continuación notamos que
.
Es por eso
; .
Luego hay dos pares más.

Ahora obtenemos tres raíces de la ecuación anterior:
;
;
.
También se pueden escribir de la siguiente forma:
(12) ; .
Estas fórmulas se llaman fórmula de Cardano.

En , . Las dos raíces son múltiplos:
; .
Cuando las tres raíces son múltiplos:
.

Caso Q< 0

Si rastreamos la derivación de la fórmula (12), veremos que toda la conclusión sigue siendo válida para un valor negativo. Es decir, pueden ser complejos. Luego, para y puedes elegir cualquier valor de raíces cúbicas entre los cuales se mantenga la relación:
.