¿Qué propiedades tiene un paralelogramo? Proyecto de investigación "paralelogramo y sus propiedades"

Tarea 4.

Una de las diagonales de un paralelogramo de longitud 4√6 forma un ángulo de 60° con la base y la segunda diagonal forma un ángulo de 45° con la misma base. Encuentra la segunda diagonal.

Solución.

1. AO = 2√6.

2. Aplicamos el teorema del seno al triángulo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Respuesta: 12.

Tarea 5.

Para un paralelogramo con lados 5√2 y 7√2, el ángulo menor entre las diagonales es igual al ángulo menor del paralelogramo. Encuentra la suma de las longitudes de las diagonales.

Solución.

Sean d 1, d 2 las diagonales del paralelogramo, y el ángulo entre las diagonales y el ángulo más pequeño del paralelogramo es igual a φ.

1. Contemos dos diferentes
maneras su área.

S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f.

Obtenemos la igualdad 5√2 · 7√2 · sen f = 1/2d 1 d 2 sen f o

2 · 5√2 · 7√2 = re 1 re 2 ;

2. Usando la relación entre los lados y las diagonales del paralelogramo, escribimos la igualdad

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2.

re 1 2 + re 2 2 = 296.

3. Creemos un sistema:

(re 1 2 + re 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Multipliquemos la segunda ecuación del sistema por 2 y sumémosla a la primera.

Obtenemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Por tanto, Id 1 + d 2 I = 24.

Dado que d 1, d 2 son las longitudes de las diagonales del paralelogramo, entonces d 1 + d 2 = 24.

Respuesta: 24.

Tarea 6.

Los lados del paralelogramo son 4 y 6. El ángulo agudo entre las diagonales es de 45 grados. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución.

1. Del triángulo AOB, usando el teorema del coseno, escribimos la relación entre el lado del paralelogramo y las diagonales.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

re 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64.

2. De manera similar, escribimos la relación para el triángulo AOD.

tomemos en cuenta que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obtenemos la ecuación d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Tenemos un sistema
(re 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Restando la primera de la segunda ecuación, obtenemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 o

re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota: En este problema y en el anterior no es necesario resolver el sistema por completo, anticipando que en este problema necesitamos el producto de diagonales para calcular el área.

Respuesta: 10.

Tarea 7.

El área del paralelogramo es 96 y sus lados son 8 y 15. Encuentra el cuadrado de la diagonal más pequeña.

Solución.

1. S ABCD = AB · AD · sen ВAD. Hagamos una sustitución en la fórmula.

Obtenemos 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Por tanto sen ВAD = 4/5.

2. Busquemos cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Según las condiciones del problema, encontramos la longitud de la diagonal menor. La diagonal ВАD será menor si el ángulo ВАD es agudo. Entonces cos VAD = 3/5.

3. Del triángulo ABD, usando el teorema del coseno, encontramos el cuadrado de la diagonal BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Respuesta: 145.

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Así como en la geometría euclidiana un punto y una línea recta son los elementos principales de la teoría de los planos, el paralelogramo es una de las figuras clave de los cuadriláteros convexos. De él, como hilos de una bola, fluyen los conceptos de "rectángulo", "cuadrado", "rombo" y otras cantidades geométricas.

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Definición de paralelogramo

cuadrilátero convexo, formado por segmentos, cada par de los cuales es paralelo, se conoce en geometría como paralelogramo.

El aspecto de un paralelogramo clásico se representa mediante un cuadrilátero ABCD. Los lados se llaman bases (AB, BC, CD y AD), la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto a este vértice se llama altura (BE y BF), las rectas AC y BD se llaman diagonales.

¡Atención! El cuadrado, el rombo y el rectángulo son casos especiales de paralelogramo.

Lados y ángulos: características de la relación.

Propiedades clave, en general, predeterminado por la propia designación, están demostrados por el teorema. Estas características son las siguientes:

1. Los lados opuestos son idénticos en pares.
2. Los ángulos opuestos entre sí son iguales en pares.

Prueba: Consideremos ∆ABC y ∆ADC, que se obtienen dividiendo el cuadrilátero ABCD por la recta AC. ∠BCA=∠CAD y ∠BAC=∠ACD, ya que AC es común para ellos (ángulos verticales para BC||AD y AB||CD, respectivamente). De esto se deduce: ∆ABC = ∆ADC (el segundo signo de igualdad de los triángulos).

Los segmentos AB y BC en ∆ABC corresponden en pares a las rectas CD y AD en ∆ADC, lo que significa que son idénticos: AB = CD, BC = AD. Así, ∠B corresponde a ∠D y son iguales. Dado que ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que también son idénticos por pares, entonces ∠A = ∠C. La propiedad ha sido probada.

Características de las diagonales de una figura.

Caracteristica principal de estas rectas de un paralelogramo: el punto de intersección las divide por la mitad.

Prueba: Sea el punto de intersección de las diagonales AC y BD de la figura ABCD. Forman dos triángulos proporcionales: ∆ABE y ∆CDE.

AB=CD ya que son opuestos. Según rectas y secantes, ∠ABE = ∠CDE y ∠BAE = ∠DCE.

Según el segundo criterio de igualdad, ∆ABE = ∆CDE. Esto significa que los elementos ∆ABE y ∆CDE: AE = CE, BE = DE y a la vez son partes proporcionales de AC y BD. La propiedad ha sido probada.

Características de las esquinas adyacentes.

Los lados adyacentes tienen una suma de ángulos igual a 180°, ya que se encuentran en el mismo lado de rectas paralelas y una transversal. Para el cuadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propiedades de la bisectriz:

1. , bajados hacia un lado, son perpendiculares;
2. los vértices opuestos tienen bisectrices paralelas;
3. el triángulo obtenido al trazar una bisectriz será isósceles.

Determinación de los rasgos característicos de un paralelogramo mediante el teorema.

Las características de esta figura se derivan de su teorema principal, que establece lo siguiente: un cuadrilátero se considera un paralelogramo en el caso de que sus diagonales se crucen, y este punto las divida en segmentos iguales.

Prueba: dejemos que las líneas AC y BD del cuadrilátero ABCD se crucen en, es decir, Dado que ∠AED = ∠BEC, y AE+CE=AC BE+DE=BD, entonces ∆AED = ∆BEC (según el primer criterio para la igualdad de triángulos). Es decir, ∠EAD = ∠BCE. También son los ángulos transversales internos de la secante AC para las rectas AD y BC. Así, por definición de paralelismo - AD || ANTES DE CRISTO. También se deriva una propiedad similar de las líneas BC y CD. El teorema ha sido demostrado.

Calcular el área de una figura

Área de esta figura encontrado por varios métodos una de las más sencillas: multiplicar la altura y la base a la que se dibuja.

Prueba: trazar las perpendiculares BE y CF desde los vértices B y C. ∆ABE y ∆DCF son iguales, ya que AB = CD y BE = CF. ABCD tiene el mismo tamaño que el rectángulo EBCF, ya que se compone de figuras conmensurables: S ABE y S EBCD, así como S DCF y S EBCD. De esto se deduce que el área de esta figura geométrica es la misma que la de un rectángulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar la fórmula general para el área de un paralelogramo, denotamos la altura como media pensión, y el lado - b. Respectivamente:

Otras formas de encontrar el área

Cálculos de área a través de los lados del paralelogramo y el ángulo, que forman, es el segundo método conocido.

,

Spr-ma - área;

a y b son sus lados

α es el ángulo entre los segmentos a y b.

Este método se basa prácticamente en el primero, pero por si se desconoce. siempre corta un triángulo rectángulo cuyos parámetros se encuentran mediante identidades trigonométricas, es decir. Transformando la relación, obtenemos . En la ecuación del primer método reemplazamos la altura con este producto y obtenemos una prueba de la validez de esta fórmula.

A través de las diagonales de un paralelogramo y el ángulo, que crean cuando se cruzan, también puedes encontrar el área.

Prueba: AC y BD se cruzan para formar cuatro triángulos: ABE, BEC, CDE y AED. Su suma es igual al área de este cuadrilátero.

El área de cada uno de estos ∆ se puede encontrar mediante la expresión , donde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Desde , los cálculos utilizan un único valor de seno. Eso es . Dado que AE+CE=AC= d 1 y BE+DE=BD= d 2, la fórmula del área se reduce a:

.

Aplicación en álgebra vectorial

Las características de las partes constituyentes de este cuadrilátero han encontrado aplicación en álgebra vectorial, es decir, la suma de dos vectores. La regla del paralelogramo establece que si se dan vectoresYNoson colineales, entonces su suma será igual a la diagonal de esta figura, cuyas bases corresponden a estos vectores.

Prueba: desde un comienzo elegido arbitrariamente, es decir. - construir vectores y . A continuación, construimos un paralelogramo OASV, donde los segmentos OA y OB son lados. Por tanto, el sistema operativo se encuentra en el vector o suma.

Fórmulas para calcular los parámetros de un paralelogramo.

Las identidades se dan bajo las siguientes condiciones:

1. a y b, α - lados y el ángulo entre ellos;
2. d 1 y d 2, γ - diagonales y en el punto de su intersección;
3. h a y h b - alturas rebajadas hacia los lados a y b;

Parámetro	Fórmula
Encontrar los lados
a lo largo de las diagonales y el coseno del ángulo entre ellas
a lo largo de diagonales y lados
a través de la altura y el vértice opuesto
Encontrar la longitud de las diagonales
en los lados y el tamaño del ápice entre ellos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. La siguiente figura muestra el paralelogramo ABCD. Tiene el lado AB paralelo al lado CD y el lado BC paralelo al lado AD.

Como habrás adivinado, un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Consideremos las propiedades básicas de un paralelogramo.

Propiedades de un paralelogramo

1. En un paralelogramo, los ángulos opuestos y los lados opuestos son iguales. Demostremos esta propiedad: considere el paralelogramo presentado en la siguiente figura.

La diagonal BD lo divide en dos triángulos iguales: ABD y CBD. Son iguales a lo largo del lado BD y los dos ángulos adyacentes a él, ya que los ángulos que se encuentran transversalmente en la secante BD de las líneas paralelas BC y AD y AB y CD, respectivamente. Por lo tanto AB = CD y
antes de Cristo = d.C. Y de la igualdad de los ángulos 1, 2, 3 y 4 se deduce que ángulo A = ángulo1 + ángulo3 = ángulo2 + ángulo4 = ángulo C.

2. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección. Sea el punto O el punto de intersección de las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD.

Entonces el triángulo AOB y el triángulo COD son iguales entre sí, en el lado y en dos ángulos adyacentes. (AB = CD ya que estos son lados opuestos del paralelogramo. Y ángulo1 = ángulo2 y ángulo3 = ángulo4 son como ángulos transversales cuando las líneas AB y CD se cruzan con las secantes AC y BD, respectivamente.) De esto se deduce que AO = OC y OB = OD, que necesitaba ser probado.

Todas las propiedades principales se ilustran en las tres figuras siguientes.