Propiedades de funciones - Hipermercado del conocimiento. Propiedades básicas de las funciones Función acotada en el conjunto x

Teorema sobre el límite de una función monótona. Se proporciona una demostración del teorema utilizando dos métodos. También se dan definiciones de funciones estrictamente crecientes, no decrecientes, estrictamente decrecientes y no crecientes. Definición de función monótona.

Contenido

La función no está limitada desde arriba.

1.1. Sea finito el número b: .
1.1.2. Deje que la función no esté acotada arriba.

.

en .

Denotemos. Entonces para cualquiera lo hay, entonces
en .
Esto significa que el límite a la izquierda en el punto b es (ver "Definiciones de límites infinitos unilaterales de una función en un punto final").

b temprano más infinito

La función está limitada desde arriba.

1. Deje que la función no disminuya en el intervalo.
1.2.1. Dejemos que la función esté limitada desde arriba por el número M: para .
Demostremos que en este caso hay un límite.

Como la función está acotada arriba, hay un supremo finito
.
Según la definición de límite superior exacto, se cumplen las siguientes condiciones:
;
Para cualquier positivo hay un argumento para el cual
.

Dado que la función no disminuye, entonces cuando . Luego a las . O
en .

Entonces encontramos que para cualquier persona hay un número, entonces
en .
"Definiciones de límites unilaterales en el infinito").

La función no está limitada desde arriba.

1. Deje que la función no disminuya en el intervalo.
1.2. Sea el número b igual a más infinito: .
1.2.2. Deje que la función no esté acotada arriba.
Demostremos que en este caso hay un límite.

Dado que la función no está acotada arriba, entonces para cualquier número M existe un argumento para el cual
.

Dado que la función no disminuye, entonces cuando . Luego a las .

Entonces, para cualquiera hay un número, entonces
en .
Esto significa que el límite en es igual a (ver "Definiciones de límites infinitos unilaterales en el infinito").

La función no es creciente.

Consideremos ahora el caso en el que la función no aumenta. Puede, como se indicó anteriormente, considerar cada opción por separado. Pero los cubriremos de inmediato. Para esto utilizamos . Demostremos que en este caso hay un límite.

Considere el mínimo finito del conjunto de valores de la función:
.
Aquí B puede ser un número finito o un punto en el infinito. Según la definición de límite inferior exacto, se cumplen las siguientes condiciones:
;
para cualquier vecindad del punto B existe un argumento para el cual
.
Según las condiciones del teorema, . Es por eso .

Dado que la función no aumenta, entonces cuando . Desde entonces
en .
O
en .
A continuación, observamos que la desigualdad define la vecindad perforada por la izquierda del punto b.

Entonces, encontramos que para cualquier vecindad del punto, hay una vecindad izquierda perforada del punto b tal que
en .
Esto significa que el límite a la izquierda en el punto b es:

(ver la definición universal del límite de una función según Cauchy).

Límite en el punto a

Ahora demostraremos que existe un límite en el punto a y encontraremos su valor.

Consideremos la función. Según las condiciones del teorema, la función es monótona para . Reemplacemos la variable x con - x (o hagamos una sustitución y luego reemplacemos la variable t con x ). Entonces la función es monótona para . Multiplicar desigualdades por -1 y cambiando su orden llegamos a la conclusión de que la función es monótona para .

De manera similar, es fácil demostrar que si no disminuye, entonces no aumenta. Entonces, según lo demostrado anteriormente, existe un límite
.
Si no aumenta, no disminuye. En este caso hay un límite
.

Ahora queda demostrar que si hay un límite de una función en , entonces hay un límite de la función en , y estos límites son iguales:
.

Introduzcamos la notación:
(1) .
Expresemos f en términos de g:
.
Tomemos un número positivo arbitrario. Sea una vecindad épsilon del punto A. La vecindad épsilon se define para valores finitos e infinitos de A (ver "Vecindad de un punto"). Dado que existe un límite (1), entonces, de acuerdo con la definición de límite, para cualquiera existe tal que
en .

Sea a un número finito. Expresemos la vecindad perforada por la izquierda del punto -a usando las desigualdades:
en .
Reemplacemos x por -x y tengamos en cuenta que:
en .
Las dos últimas desigualdades definen la vecindad derecha perforada del punto a. Entonces
en .

Sea a un número infinito, . Repetimos el razonamiento.
en ;
en ;
en ;
en .

Entonces, descubrimos que para cualquier persona existe tal que
en .
Esto significa que
.

El teorema ha sido demostrado.

Ver también:

Llamaremos a la función y=f(x) LIMITADA SUPERIOR (INFERIOR) en el conjunto A del dominio de definición D(f) si tal número existe METRO , que para cualquier x de este conjunto se cumple la condición

Usando símbolos lógicos, la definición se puede escribir como:

f(x) – delimitado arriba en el conjunto

(f(x) – delimitado desde abajo en el conjunto

También se introducen en consideración funciones limitadas en módulo o simplemente limitadas.

Llamaremos a una función ACOtada en el conjunto A del dominio de definición si existe un número positivo M tal que

En el lenguaje de los símbolos lógicos.

f(x) – limitado en el set

Una función que no está acotada se llama ilimitada. Sabemos que las definiciones dadas mediante la negación tienen poco contenido. Para formular esta afirmación como definición, utilizamos las propiedades de las operaciones cuantificadoras (3.6) y (3.7). Entonces, negar la acotación de una función en el lenguaje de símbolos lógicos dará:

f(x) – limitado en el set

El resultado obtenido nos permite formular la siguiente definición.

Una función se llama ILIMITADA en un conjunto A que pertenece al dominio de definición de la función si en este conjunto para cualquier número positivo M existe tal valor del argumento x , que el valor aún excederá el valor de M, es decir.

Como ejemplo, considere la función

Está definido en todo el eje real. Si tomamos el segmento [–2;1] (conjunto A), entonces estará delimitado tanto por arriba como por abajo.

De hecho, para demostrar que está acotado desde arriba, debemos considerar el predicado

y demuestre que existe (existe) tal M que para todo x tomado en el intervalo [–2;1], será verdadero

Encontrar una M así no es difícil. Podemos asumir M = 7, el cuantificador de existencia implica encontrar al menos un valor de M. La presencia de tal M confirma el hecho de que la función en el intervalo [–2;1] está acotada desde arriba.

Para demostrar que está acotado desde abajo, debemos considerar el predicado

El valor de M que asegura la verdad de un predicado dado es, por ejemplo, M = –100.

Se puede demostrar que la función también estará limitada en módulo: para todo x del intervalo [–2;1], los valores de la función coinciden con los valores de , por lo que como M podemos tomar, para Por ejemplo, el valor anterior M = 7.

Demostremos que la misma función, pero en el intervalo, será ilimitada, es decir

Para demostrar que tal x existe, considere el enunciado

Buscando los valores requeridos de x entre los valores positivos del argumento, obtenemos

Esto significa que no importa qué M positivo tomemos, los valores de x que aseguran el cumplimiento de la desigualdad

se obtienen de la relación .

Al considerar una función en todo el eje real, se puede demostrar que no está acotada en valor absoluto.

En efecto, de la desigualdad

Es decir, por muy grande que sea el M positivo, o asegurará el cumplimiento de la desigualdad.

FUNCIÓN EXTREMA.

La función tiene en el punto Con máximo local (mínimo), si existe una vecindad tal de este punto que por X¹ Con de este barrio se mantiene la desigualdad

especialmente que el punto extremo sólo puede ser un punto interno del intervalo y f(x) en él debe necesariamente estar definido. Los posibles casos de ausencia de un extremo se muestran en la Fig. 8.8.

Si una función aumenta (disminuye) en un intervalo determinado y disminuye (aumenta) en un intervalo determinado, entonces el punto Con es un punto máximo (mínimo) local.

Ausencia de un máximo de la función f(x) en el punto Con se puede formular así:

_______________________

f(x) tiene un máximo en el punto c

Esto significa que si el punto c no es un punto máximo local, entonces cualquiera que sea la vecindad que incluya el punto c como interno, habrá al menos un valor x no igual a c para el cual . Por lo tanto, si no hay un máximo en el punto c, entonces en este punto puede que no haya ningún extremo o puede ser un punto mínimo (figura 8.9).

El concepto de extremo ofrece una evaluación comparativa del valor de una función en cualquier punto en relación con los cercanos. Se puede realizar una comparación similar de los valores de las funciones para todos los puntos de un determinado intervalo.

El valor MÁXIMO (MÁS PEQUEÑO) de una función en un conjunto es su valor en un punto de este conjunto tal que – en . El valor más grande de la función se logra en el punto interior del segmento, y el más pequeño – en su extremo izquierdo.

Para determinar el valor más grande (más pequeño) de una función especificada en un intervalo, es necesario seleccionar el número más grande (más pequeño) entre todos los valores de sus máximos (mínimos), así como los valores aceptados. al final del intervalo. Este será el valor más grande (más pequeño) de la función. Esta regla se aclarará más adelante.

El problema de encontrar los valores mayor y menor de una función en un intervalo abierto no siempre es fácil de resolver. Por ejemplo, la función

en el intervalo (Fig. 8.11) no los tiene.

Procuremos, por ejemplo, que esta función no tenga la mayor importancia. De hecho, teniendo en cuenta la monotonicidad de la función, se puede argumentar que no importa qué tan cerca coloquemos los valores de x a la izquierda de la unidad, habrá otras x en las que los valores de la función serán ser mayor que sus valores en los puntos fijos dados, pero aún menor que uno.

Tenga en cuenta: todas las definiciones involucran un conjunto numérico X, que es parte del dominio de la función: X con D(f). En la práctica, la mayoría de las veces hay casos en los que X es un intervalo numérico (segmento, intervalo, rayo, etc.).

Definición 1.

Se dice que una función y = f(x) es creciente en un conjunto X con D(f) si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 del conjunto X tales que x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definición 2.

Se dice que una función y = f(x) es decreciente en un conjunto X con D(f) si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 del conjunto X tales que x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

En la práctica, es más conveniente utilizar las siguientes formulaciones: una función aumenta si un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función; una función disminuye si un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

En los grados 7 y 8 utilizamos la siguiente interpretación geométrica de los conceptos de aumento o disminución de una función: moviéndonos a lo largo de la gráfica de una función creciente de izquierda a derecha, parece que estamos subiendo una colina (Fig. 55); Moviéndonos a lo largo de la gráfica de una función decreciente de izquierda a derecha, es como si bajáramos una colina (Fig. 56).
Por lo general, los términos "función creciente" y "función decreciente" se combinan bajo el nombre general de función monótona, y el estudio de una función creciente o decreciente se denomina estudio de una función monotónica.

Observemos una circunstancia más: si una función aumenta (o disminuye) en su dominio natural de definición, generalmente decimos que la función aumenta (o disminuye), sin indicar el conjunto numérico X.

Ejemplo 1.

Examine la función para determinar la monotonicidad:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Solución:

a) Tome valores arbitrarios del argumento x 1 y x 2 y sea x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

La última desigualdad significa que f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Entonces de x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), lo que significa que la función dada es decreciente (en toda la recta numérica).

Definición 3.

Se dice que una función y - f(x) está acotada desde abajo en un conjunto X con D(f) si todos los valores de la función en el conjunto X son mayores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número m tal que para cualquier valor x є X la desigualdad f( x) >m).

Definición 4.

Se dice que una función y = f(x) está acotada desde arriba a un conjunto X con D(f) si todos los valores de la función son menores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número M tal que para cualquier valor x є X se cumple la desigualdad f(x)< М).

Si no se especifica el conjunto X, entonces se entiende que estamos hablando de que la función está acotada desde abajo o desde arriba en todo el dominio de definición.

Si una función está acotada tanto por debajo como por arriba, entonces se llama acotada.

La acotación de una función se lee fácilmente en su gráfica: si una función está acotada desde abajo, entonces su gráfica está completamente ubicada por encima de una determinada línea horizontal y = m (Fig. 57); si una función está acotada desde arriba, entonces su gráfica está completamente ubicada debajo de alguna línea horizontal y = M (Fig. 58).

Ejemplo 2. Examinar la acotación de una función.
Solución. Por un lado, la desigualdad es bastante obvia (según la definición de raíz cuadrada, esto significa que la función está acotada por debajo. Por otro lado, tenemos y por lo tanto
Esto significa que la función tiene un límite superior. Ahora mire la gráfica de la función dada (Fig. 52 del párrafo anterior). La limitación de la función tanto arriba como abajo se puede leer con bastante facilidad en el gráfico.

Definición 5.

El número m se denomina valor más pequeño de la función y = f(x) en el conjunto X C D(f) si:

1) en X hay un punto x 0 tal que f(x 0) = m;

2) para todo x de X se cumple la desigualdad m>f(x 0).

Definición 6.

El número M se llama el valor más grande de la función y = f(x) en el conjunto X C D(f), si:
1) en X hay un punto x 0 tal que f(x 0) = M;
2) para todo x de X la desigualdad
Denotamos el valor más pequeño de una función tanto en el séptimo como en el octavo grado con el símbolo y, y el más grande con el símbolo y.

Si no se especifica el conjunto X, se supone que estamos hablando de encontrar el valor más pequeño o más grande de la función en todo el dominio de definición.

Las siguientes declaraciones útiles son bastante obvias:

1) Si una función tiene Y, entonces está acotada por debajo.
2) Si una función tiene Y, entonces está acotada arriba.
3) Si la función no está acotada por debajo, entonces Y no existe.
4) Si la función no está acotada arriba, entonces Y no existe.

Ejemplo 3.

Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función.
Solución.

Es bastante obvio, especialmente si usa la gráfica de funciones (Fig. 52), que = 0 (la función alcanza este valor en los puntos x = -3 y x = 3), a = 3 (la función alcanza este valor en x = 0.
En séptimo y octavo grado mencionamos dos propiedades más de las funciones. La primera se llamó propiedad de convexidad de una función. Se considera que una función es convexa hacia abajo en un intervalo X si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas de X) con un segmento de recta, encontramos que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra debajo del segmento dibujado (Fig. .59). continuidad Una función es convexa hacia arriba en un intervalo X si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas de X) de la función con un segmento de recta, encontramos que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra encima del segmento dibujado ( Figura 60).

La segunda propiedad, la continuidad de una función en el intervalo X, significa que la gráfica de la función en el intervalo X es continua, es decir No tiene pinchazos ni saltos.

Comentario.

De hecho, en matemáticas todo es, como dicen, “exactamente al revés”: la gráfica de una función se representa como una línea continua (sin pinchazos ni saltos) sólo cuando se demuestra la continuidad de la función. Pero aún no está a nuestro alcance una definición formal de la continuidad de una función, que es bastante compleja y sutil. Lo mismo puede decirse de la convexidad de una función. Cuando analicemos estas dos propiedades de las funciones, seguiremos confiando en conceptos visuales e intuitivos.

Ahora revisemos nuestros conocimientos. Recordando las funciones que estudiamos en 7º y 8º grado, aclaremos cómo son sus gráficas y enumeremos las propiedades de la función, siguiendo un orden determinado, por ejemplo este: dominio de definición; monótono; limitación; , ; continuidad; rango; convexo.

Posteriormente, aparecerán nuevas propiedades de funciones y la lista de propiedades cambiará en consecuencia.

1. Función constante y = C

La gráfica de la función y = C se muestra en la Fig. 61 - línea recta, paralela al eje x. Esta es una característica tan poco interesante que no tiene sentido enumerar sus propiedades.

La gráfica de la función y = kx + m es una línea recta (Fig. 62, 63).

Propiedades de la función y = kx + m:

1)
2) aumenta si k > 0 (Fig. 62), disminuye si k< 0 (рис. 63);

4) no existe ni el valor mayor ni el menor;
5) la función es continua;
6)
7) no tiene sentido hablar de convexidad.

La gráfica de la función y = kx 2 es una parábola con un vértice en el origen y con ramas dirigidas hacia arriba si k > O (Fig. 64), y hacia abajo si k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Propiedades de la función y - kx 2:

Para el caso k> 0 (Fig.64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = no existe;
5) continuo;
6) E(f) = la función disminuye, y en el intervalo, disminuye en el rayo;
7) convexo hacia arriba.

La gráfica de la función y = f(x) se traza punto por punto; Cuantos más puntos de la forma (x; f(x)) tomemos, más precisa será la idea de la gráfica que obtendremos. Si toma muchos de estos puntos, obtendrá una imagen más completa del gráfico. Es en este caso que la intuición nos dice que la gráfica debe representarse como una línea continua (en este caso, en forma de parábola). Y luego, leyendo el gráfico, sacamos conclusiones sobre la continuidad de la función, sobre su convexidad hacia abajo o hacia arriba, sobre el rango de valores de la función. Debe comprender que de las siete propiedades enumeradas, sólo las propiedades 1), 2), 3), 4) son "legítimas" - "legítimas" en el sentido de que podemos justificarlas refiriéndonos a definiciones precisas. Sobre las propiedades restantes sólo tenemos ideas visuales e intuitivas. Por cierto, esto no tiene nada de malo. De la historia del desarrollo de las matemáticas se sabe que la humanidad utilizó a menudo y durante mucho tiempo diversas propiedades de ciertos objetos, sin conocer las definiciones exactas. Luego, cuando se pudieron formular tales definiciones, todo encajó.

La gráfica de la función es una hipérbola, los ejes de coordenadas sirven como asíntotas de la hipérbola (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) si k > 0, entonces la función disminuye en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo) (Fig. 66); si a< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) no está limitado ni desde abajo ni desde arriba;
4) no existe ni el valor más pequeño ni el más grande;
5) la función es continua en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) si k > 0, entonces la función es convexa hacia arriba en x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, es decir en la viga abierta (0, +oo) (Fig. 66). Si a< 0, то функция выпукла вверх при х >O y convexo hacia abajo en x< О (рис. 67).
La gráfica de la función es una rama de una parábola (Fig. 68). Propiedades de la función:
1) D(f) = , aumenta en el rayo y es diferenciable en el intervalo ( a;b), entonces hay un punto tal que

El teorema de Cauchy.

Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo y derivables en el intervalo (a, b) y g¢(x) ¹ 0 en el intervalo (a, b), entonces hay al menos una punto e, un< e < b, такая, что

Aquellos. la relación de incrementos de funciones en un segmento dado es igual a la relación de derivadas en el punto e. Ejemplos de cursos de conferencias sobre resolución de problemas Cálculo del volumen de un cuerpo a partir de áreas conocidas de sus secciones paralelas Cálculo integral

Ejemplos de trabajos de curso Ingenieria Eléctrica

Para demostrar este teorema, a primera vista es muy conveniente utilizar el teorema de Lagrange. Escribe una fórmula en diferencias finitas para cada función y luego divídelas entre sí. Sin embargo, esta idea es errónea, porque El punto e para cada función es generalmente diferente. Por supuesto, en algunos casos especiales este punto de intervalo puede resultar el mismo para ambas funciones, pero esto es una coincidencia muy rara, no una regla, y por lo tanto no puede usarse para demostrar el teorema.

Prueba. Considere la función auxiliar

Como x→x 0, el valor de c también tiende a x 0; Vayamos al límite en la igualdad anterior:

Porque , Eso .

Es por eso

(el límite de la razón de dos infinitesimales es igual al límite de la razón de sus derivadas, si esta última existe)

Regla de L'Hopital, en ∞/∞.

1) Dominio de función y rango de función.

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores válidos de los argumentos válidos. X(variable X), para lo cual la función y = f(x) determinado. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales. y, que la función acepta.

En matemáticas elementales, las funciones se estudian únicamente en el conjunto de los números reales.

2) Función ceros.

La función cero es el valor del argumento en el que el valor de la función es igual a cero.

3) Intervalos de signo constante de una función.

Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumentos en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.

4) Monotonicidad de la función..

Una función creciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.

Una función decreciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función.

5) Función par (impar).

Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad f(-x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto a la ordenada.

Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad es verdadera f(-x) = -f(x)). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

6) Funciones limitadas e ilimitadas.

Una función se dice acotada si existe un número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si tal número no existe, entonces la función es ilimitada.

7) Periodicidad de la función.

Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de definición de la función se cumple lo siguiente: f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en economía.

Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas.

1. Función lineal.

Función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable, a y b son números reales.

Número A llamada pendiente de la recta, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.

Propiedades de una función lineal

1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D(y)=R

2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R

3. La función toma un valor cero cuando o.

4. La función aumenta (disminuye) en todo el dominio de definición.

5. Una función lineal es continua en todo el dominio de definición, diferenciable y .

2. Función cuadrática.

Una función de la forma, donde x es una variable y los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático

Impares a B C determinar la ubicación del gráfico en el plano de coordenadas

El coeficiente a determina la dirección de las ramas. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las coordenadas del vértice de la parábola se encuentran mediante las fórmulas:

Propiedades de la función:

2. Un conjunto de valores para uno de los intervalos: o.

3. La función toma valores cero cuando , donde el discriminante se calcula mediante la fórmula :.

4. La función es continua en todo el dominio de definición y la derivada de la función es igual a.