Kuidas leida ruumis segmendi pikkust. Lõigu keskkoha koordinaatide leidmine, näited, lahendused

Toon üksikasjaliku näite, kuidas saate Test Ru veebisaidi võrguteenuse abil määrata lõigu pikkuse vastavalt etteantud koordinaatidele.

Oletame, et peate leidma tasapinna segmendi pikkuse

(ruumis saate arvutada analoogia põhjal, peate lihtsalt muutma punkti kolme mõõtmeks)

Lõigul AB on koordinaadid A (1, 2) ja B (3, 4).

Segmendi AB pikkuse arvutamiseks kasutage järgmisi samme:

1. Minge teenuse lehele, et leida võrgus kahe punkti vaheline kaugus:

Saame seda kasutada, sest lõigu pikkus piki koordinaati. on täpselt võrdne punktide A ja B vahelise kaugusega.

Punkti A õige mõõtme määramiseks lohistage alumist paremat serva vasakule, nagu on näidatud joonisel fig.

Pärast esimese punkti A(1, 2) koordinaatide sisestamist vajutage nuppu

3. Teises etapis näete teise punkti B sisestamise vormi, sisestage selle koordinaadid, nagu joonisel fig. allpool:

Punktid a ja b on sisestatud! Lahendus:

Antud punktid a =

ja b=

Leidke punktide (punktide) vaheline kaugus

Selles artiklis räägime lõigu keskkoha koordinaatide leidmisest selle otste koordinaatide järgi. Esmalt anname vajalikud mõisted, seejärel saame valemid lõigu keskkoha koordinaatide leidmiseks ning kokkuvõttes käsitleme lahendusi tüüpilistele näidetele ja probleemidele.

Leheküljel navigeerimine.

Segmendi keskkoha mõiste.

Lõigu keskpunkti mõiste tutvustamiseks vajame lõigu ja selle pikkuse määratlusi.

Lõigu mõiste antakse gümnaasiumi viienda klassi matemaatikatundides järgmiselt: kui võtta kaks suvaliselt mittekattuvat punkti A ja B, kinnitada neile joonlaud ja tõmmata joon punktist A punkti B (või punktist B). kuni A), siis saame segment AB(või segment B A). Punkte A ja B kutsutakse segmendi otsad. Peaksime meeles pidama, et segment AB ja segment BA on sama segment.

Kui lõiku AB on otstest mõlemas suunas lõpmatult pikendatud, siis saame sirge AB(või otsene VA). Lõik AB on punktide A ja B vahele jääv sirge AB osa. Seega on lõik AB punktide A, B ja punktide A ja B vahel paikneva sirge AB kõigi punktide kogum. Kui võtame punktide A ja B vahel asuva sirge AB suvalise punkti M, siis öeldakse, et punkt M valetab segmendil AB.

Segmendi pikkus AB on punktide A ja B vaheline kaugus antud skaalal (pikkusühiku segment). Lõigu AB pikkus tähistatakse kui .

Definitsioon.

Punkt C nimetatakse segmendi keskpaik AB, kui see asub lõigul AB ja on selle otstest samal kaugusel.

See tähendab, et kui punkt C on lõigu AB keskpunkt, siis asub see sellel ja.

Edasi on meie ülesandeks leida lõigu AB keskkoha koordinaadid, kui punktide A ja B koordinaadid on antud koordinaatjoonel või ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Lõigu keskpunkti koordinaat koordinaatjoonel.

Olgu meile antud koordinaatjoon Ox ja sellel kaks mittekattuvat punkti A ja B, mis vastavad reaalarvudele ja . Olgu punkt C lõigu AB keskpunkt. Leiame punkti C koordinaadi.

Kuna punkt C on lõigu AB keskpunkt, siis on võrdsus tõene. Jaotises, mis käsitleb kaugust punktist koordinaatjoone punktini, näitasime, et punktide vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, seega . Siis või . Võrdsusest leidke koordinaatjoonelt lõigu AB keskpunkti koordinaat: - see on võrdne poolega lõigu otste koordinaatide summast. Teisest võrdsusest saame , mis on võimatu, kuna võtsime punktid A ja B, mis ei lange kokku.

Niisiis, otstega lõigu AB keskpunkti koordinaadi leidmise valem ja sellel on kuju .

Lõigu keskpunkti koordinaadid.

Tutvustame tasapinnal ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatide süsteemi Оxyz. Olgu meile antud kaks punkti ja ja me teame, et punkt C on lõigu AB keskpunkt. Leiame koordinaadid ja punktid C.

Ehituselt sirge paralleelsed kui ka paralleelsed jooned , seega poolt Thalese teoreem segmentide AC ja CB võrdsusest järgib segmentide võrdsust ja , samuti segmentide ja . Seetõttu on punkt lõigu keskpunkt ja lõigu keskpunkt. Seejärel selle artikli eelmise lõigu alusel ja .

Nende valemite abil saab arvutada ka lõigu AB keskkoha koordinaadid juhul, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega. Jätkem need juhtumid kommentaarideta ja toome graafilised illustratsioonid.

Sellel viisil, lõigu AB keskpunkt tasapinnal, mille otsad on punktides ja millel on koordinaadid .

Lõigu keskkoha koordinaadid ruumis.

Olgu kolmemõõtmelises ruumis ja kahes punktis kasutusele võetud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz ja . Saame valemid punkti C koordinaatide leidmiseks, mis on lõigu AB keskpunkt.

Vaatleme üldist juhtumit.

Olgu ja on punktide A, B ja C projektsioonid vastavalt koordinaattelgedele Ox, Oy ja Oz.

Thalese teoreemi järgi on punktid seega lõikude keskpunktid vastavalt. Seejärel (vt selle artikli esimest lõiku). Nii et saime valemid lõigu keskkoha koordinaatide arvutamiseks selle ruumiotste koordinaatidest.

Neid valemeid saab kasutada ka juhtudel, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega, ja ka siis, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaattasandil või ühe koordinaatteljega paralleelne tasapind.tasandid.

Lõigu keskkoha koordinaadid selle otste raadiusvektorite koordinaatide kaudu.

Lõigu keskkoha koordinaatide leidmise valemeid on lihtne saada vektorite algebrale viidates.

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem Oxy ja punkt C on lõigu AB keskpunkt ja ja .

Vastavalt vektorite tehte geomeetrilisele definitsioonile on võrdsus (punkt C on vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaalide lõikepunkt ja punkt C on rööpküliku diagonaali keskpunkt). Artiklis vektori koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saime teada, et punkti raadiusvektori koordinaadid on võrdsed selle punkti koordinaatidega, seega . Seejärel, pärast vastavate toimingute sooritamist vektoritega koordinaatides , on meil . Kuidas järeldada, et punktil C on koordinaadid .

Täiesti samamoodi saab lõigu AB keskkoha koordinaadid leida selle ruumiotste koordinaatide kaudu. Sel juhul, kui C on segmendi AB keskpunkt ja , siis on meil .

Lõigu keskkoha koordinaatide leidmine, näited, lahendused.

Paljude ülesannete puhul tuleb lõigu keskpunkti koordinaatide leidmiseks kasutada valemeid. Vaatleme kõige iseloomulikumate näidete lahendusi.

Alustame näitega, mis vajab ainult valemi rakendamist.

Näide.

Tasapinnal on antud kahe punkti koordinaadid . Leia lõigu AB keskpunkti koordinaadid.

Lahendus.

Olgu punkt C lõigu AB keskpunkt. Selle koordinaadid on võrdsed punktide A ja B vastavate koordinaatide poolsummadega:

Seega on lõigu AB keskpunktil koordinaadid.

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab lõigu pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vastavad koordinaadid ümber paigutada: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Tingimusel pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline nipp – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab kordaja juure alt välja võtmist (kui võimalik). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täisarvu, mida ei saa välja võtta, siis proovime juure alt välja võtta teguri - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, püüdke alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Geomeetrias, teoreetilises mehaanikas ja teistes füüsikaharudes kasutatakse kolme peamist koordinaatide süsteemi: Descartes'i, polaarset ja sfäärilist. Nendes koordinaatsüsteemides on igal punktil kolm koordinaati. Teades kahe punkti koordinaate, saate määrata nende kahe punkti vahelise kauguse.

Sa vajad

• Lõigu otste ristkoordinaadid, polaar- ja sfäärilised koordinaadid

Juhend

Alustame ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemiga. Ruumipunkti asukoha selles koordinaatsüsteemis määrab koordinaadid x, y ja z. Koordinaatide alguspunktist punktini tõmmatakse raadiuse vektor. Selle raadiusvektori projektsioonid koordinaattelgedele on koordinaadid see punkt.
Oletame, et teil on nüüd kaks punkti koordinaadid x1,y1,z1 ja x2,y2 ja z2 vastavalt. Olgu r1 ja r2 vastavalt esimese ja teise punkti raadiusvektorid. Ilmselt on nende kahe punkti vaheline kaugus võrdne vektori r = r1-r2 mooduliga, kus (r1-r2) on vektori erinevus.
Vektori r koordinaadid on ilmselgelt järgmised: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Siis on vektori r moodul või kahe punkti vaheline kaugus: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

Vaatleme nüüd polaarkoordinaatide süsteemi, milles punkti koordinaadi annab radiaalkoordinaat r (raadiuse vektor XY-tasandil), nurkkoordinaat? (r-vektori ja X-telje vaheline nurk) ja z-koordinaat, mis on sarnane z-koordinaadiga Descartes'i süsteemis Punkti polaarkoordinaadid saab teisendada Descartes'iks järgmiselt: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Siis kahe punkti vaheline kaugus koos koordinaadid r1, ?1 ,z1 ja r2, ?2, z2 võrdub R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Nüüd kaaluge sfäärilist koordinaatide süsteemi. Selles on punkti asukoht antud kolmega koordinaadid r, ? ja?. r - kaugus lähtepunktist punktini, ? ja? on vastavalt asimuut- ja seniidinurk. Nurk? sarnane polaarkoordinaatide süsteemis sama tähistusega nurgaga, ah? - raadiusvektori r ja Z-telje vaheline nurk ning 0-koordinaadid r1, ?1, ?1 ja r2, ?2 ja ?2 on võrdne R = sqrt(((r1*sin?1*cos? 1-r2*sin? 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1- r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos ?1*cos?2 +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Olgu lõigu antud kahe punktiga koordinaattasandil, siis leiad selle pikkuse Pythagorase teoreemi abil.

Juhend

Olgu antud lõigu (x1-y1) ja (x2-y2) otste koordinaadid. Joonistage koordinaatsüsteemis sirglõik.

Langetage lõigu otstest ristid teljel X ja Y. Joonisel punasega märgitud lõigud on alglõigu projektsioonid koordinaattelgedel.

Kui teostate lõikude-projektsioonide paralleelset ülekandmist segmentide otstesse, saate täisnurkse kolmnurga. Selle kolmnurga jalad on ülekantud projektsioonid ja hüpotenuus on lõik AB ise.

Projektsiooni pikkusi on lihtne arvutada. Projektsiooni pikkus Y-teljel on y2-y1 ja projektsiooni pikkus X-teljel on x2-x1. Siis Pythagorase teoreemi järgi |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²-, kus |AB| - segmendi pikkus.

Olles esitanud selle skeemi lõigu pikkuse leidmiseks üldjuhul, on lõigu pikkust lihtne arvutada ilma lõiku konstrueerimata. Arvutame välja lõigu pikkuse, mille otste koordinaadid on (1-3) ja (2-5). Siis |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, seega on nõutava segmendi pikkus 5^1/2.

Joone mõõtmine tähendab selle pikkuse leidmist. Lõika pikkus on selle otste vaheline kaugus.

Segmente mõõdetakse, võrreldes seda segmenti teise mõõtühikuks võetud segmendiga. Mõõtühikuks võetud lõiku nimetatakse üks segment.

Kui sentimeetrit võetakse ühe segmendina, peate selle segmendi pikkuse määramiseks välja selgitama, mitu korda sentimeetrit sellesse segmenti paigutatakse. Sel juhul on mugav mõõta sentimeetrise joonlaua abil.

Joonistame segmendi AB ja mõõta selle pikkus. Rakendage segmendile sentimeetri joonlaua skaala AB nii et selle nullpunkt (0) langeb punktiga kokku A:

Kui selgub, et punkt B langeb kokku skaala mõne jaotusega - näiteks 5, siis öeldakse: segmendi pikkus AB võrdne 5 cm ja kirjutage: AB= 5 cm.

Joone mõõtmise omadused

Kui punkt jagab lõigu kaheks osaks (kaheks lõiguks), on kogu lõigu pikkus võrdne nende kahe lõigu pikkuste summaga.

Mõelge segmendile AB:

Punkt C jagab selle kaheks osaks: AC ja CB. Me näeme seda AC= 3 cm, CB= 4 cm ja AB= 7 cm. Seega AC + CB = AB.

Iga segmendi teatud pikkus on suurem kui null.