Svaki od segmenata av i cd. Usporedba segmenata

7. Mnogo točaka i pravaca nalazi se na ravnini. Prihvati to možete konstruirati točke i ravne linije na ravnini; U praksi se za konstruiranje ravne linije koristi ravnalo.

Ravna se linija proteže u beskraj u oba smjera. Za vraga. 4 konstruirana je pravac AB; svojom maštom možete ga nastaviti beskrajno u oba smjera. Ako konstruirate bilo koju točku, na primjer, točku O, na ravnoj liniji CD (slika 4), tada će ravna crta biti podijeljena na 2 dijela: jedan dio se proteže od točke O udesno bez kraja, a drugi od točke O lijevo bez kraja. Svaki od tih dijelova naziva se zraka. Ovdje imamo 2 grede: OD gredu i OC gredu.

Kroz svaku točku možemo konstruirati bezbroj zraka.

Ako uzmemo 2 točke na ravnoj liniji, na primjer, na pravoj liniji KL (slika 4) točke E i F, tada se dio prave između tih točaka naziva segment. Na crtežu imamo segment EF.

8. Usporedite podatke 2 segmenta AB i CD (nacrt 5).

Pomaknimo isječak CD tako da točka C pogodi A, i rotirajmo ga oko točke A sve dok isječak CD ne prođe duž isječka AB. Kad to postignemo, bilježimo gdje pada točka D: ako pada u B, onda su naši segmenti jednaki; ako je D negdje između točaka A i B (na primjer, u M), tada se segment CD smatra manjim od segmenta AB, a ako je točka D iza točke B (na primjer, u N), tada je segment CD je veći od segmenta AB.

“Usporedbu” dva segmenta razumijemo u smislu određivanja jesu li jednaki ili je jedan veći od drugog.

9. Odredi zbroj dva zadana segmenta.

Uzeta su dva segmenta AB i CD (slika 6); morate dodati ove segmente.

Da bismo to učinili, pomaknemo segment CD tako da točka C pogodi B, a zatim ga rotiramo oko B dok ne slijedi nastavak segmenta AB. Zabilježite gdje pada točka D; ako pogodi K, tada je segment BK = CD i AK = AB + BK ili AK = AB + CD.

Bilo koji segment može se međutočkama podijeliti u zbroj nekoliko članova; npr.:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (crtež 7)

Jasno nam je da zbroj segmenata ne mijenja se ovisno o preslagivanju članova .

10. Pronađite razliku između dva segmenta.

Dana su dva segmenta AB i CD (slika 8); trebate oduzeti manji segment CD od većeg segmenta AB.

Pomaknemo segment CD tako da točka D udari u točku B i počnemo ga rotirati oko B dok ne krene u smjeru BA; Napomenimo, kada to postignemo, gdje će pasti točka C. Ako C padne u K, tada je KB = CD i AK = AB – KB ili AK = AB – CD.

Ovaj segment možete pomnožiti s 2, 3, 4 itd., tj. ponoviti ga kao pojam 2, 3 itd. puta.

Iz paragrafa. 8-10, važno nam je razumjeti da su 1) sljedeći koncepti primjenjivi na segmente, kao i na brojeve: "jednako", "veće od" i "manje od"; 2) koncepti "zbroja i razlike dva segmenta" imaju vrlo određeno značenje.

U praksi, za konstruiranje segmenta koji je jednak zadanom, koristi se šestar.

11. Vježbe. 1. Imenujte odsječke zbrojnika i njihov zbroj na svakoj od sljedećih slika; zapišite (crtež A).

2. Na istim crtežima označite koji segment se može smatrati razlikom dva druga segmenta; Zapiši.

3. Podijelite ovaj segment na 2, 3 i 4 pojma; Zapiši.

4. Predstavite ovaj segment kao razliku dva druga segmenta.

12. Možemo graditi lik koji se sastoji od dvije zrake koje izlaze iz jedne točke, – takav se lik naziva kut. Za vraga. Na slici 9 prikazan je kut koji se sastoji od zraka OA i OB koje izlaze iz točke O. Ta se točka naziva vrh kuta, a svaka zraka njegova stranica. Riječ “kut” zamjenjuje se znakom ∠. Kut se naziva s tri slova od kojih se jedno nalazi na vrhu, a druga dva negdje na stranicama kuta - slovo na vrhu nalazi se u sredini naziva kuta. Za vraga. 9 imamo ∠AOB ili ∠BOA; ponekad se kut naziva jedno slovo postavljeno na njegov vrh, govoreći ∠O. Stranice kuta (zrake) moraju se smatrati da idu bez kraja.

Poseban slučaj kuta nastat će kada njegove stranice tvore jednu ravnu liniju; takav poseban kut naziva se ispravljen ili okrenut kut(Slika 12 prikazuje prave kutove AOB i A 1 O 1 B 1).

Svaki kut dijeli ravninu na 2 dijela, na dva područja. Jedan od tih dijelova zove se unutarnje područje kut i reći da leži unutar kuta, a drugi se zove vanjsko područje kutu i reci da se nalazi izvan kuta. Koji se od ta dva dijela naziva vanjska regija, a koji unutarnji, stvar je uvjeta. Svaki put biste trebali označiti nešto unutarnje, na primjer, područje. Označit ćemo unutarnje područje kuta zakrivljenim linijama nacrtanim na unutarnjem području između stranica kuta; na crnom 10 označava unutarnja područja kutova ABC, DEF i ispravljenog ∠KLM.

Korisno je izrezati kutove iz lista tankog kartona: komad kartona je grubi prikaz dijela ravnine; crtanjem dvije zrake na njemu koje izlaze iz jedne točke, i rezanjem ovog komada duž stranica nacrtanog kuta, podijelit ćemo komad kartona na 2 dijela; Uzmimo jedan od ovih dijelova, za koji želimo pretpostaviti da leži unutar kuta, i uklonimo drugi - tada ćemo imati model kuta zajedno s njegovim unutarnjim područjem. Za ispravno tumačenje ovog modela treba imati na umu da je komad kartona slika samo dijela ravnine, a sama ravnina se proteže bez kraja.

13. Usporedi dva zadana kuta∠ABC i ∠DEF (crtež 11).

“Usporediti” dva kuta znači utvrditi jesu li kutovi jednaki ili je jedan veći od drugog. Da bismo to učinili, počet ćemo postavljati jedan kut na drugi tako da njihova unutarnja područja idu jedno uz drugo: ako se u ovom slučaju pokaže da je moguće postići da vrhovi i strane naših kutova budu poravnati, tada kažemo da su ti kutovi jednaki; ako se vrhovi s jedne strane naših kutova poklapaju, a druge stranice se ne poklapaju, onda kutovi nisu jednaki, a manji čitamo kao onaj čija unutarnja površina pristaje na unutarnju površinu drugog.

Vježbajte. Izrežite modele uglova s ​​papira zajedno s njihovim unutarnjim površinama i, postavljajući te modele jedan na drugi, utvrdite mogućnost gore opisanih slučajeva; Izrezati model jednog kuta, zatim izrezati model kuta koji mu je jednak i modele kutova koji mu nisu jednaki (više ili manje).

Pogledajmo kutove ABC i DEF (slika 11); unutarnje područje svakog od njih označeno je na crtežu. Pomaknemo ∠DEF tako da njegov vrh E udari u točku B, a njegova stranica EF ide uz stranicu BC - tada će unutarnje površine kutova biti smještene jedna za drugom. Ako stranica ED ide uz stranicu BA, tada je ∠DEF = ∠ABC; ako stranica ED ide unutar ∠ABC, na primjer, duž zrake BM, tada je ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Korisno je ponoviti isto razmišljanje za kutove ABC i DEF (s označenim unutarnjim područjima) dano na sl. 11 bis.

Primijenimo opisanu metodu usporedbe dva kuta na dva ispravljena kuta. Neka su nam 2 ispravljena kuta ∠AOB i ∠A1O1B1 (crtež 12) čije su unutarnje površine označene na crtežu. Postavljanjem jednog od ovih kutova na drugi tako da vrh O 1 jednog padne u vrh O drugog i tako da stranica O 1 A 1 jednog ide uz stranicu OA drugog, dolazimo do zaključka da se ostale stranice ovih kutova O 1 B 1 i OB podudaraju, jer su pravci A 1 O 1 B 1 i AOB ravni, čiji položaj određuju dvije točke. (Ponekad kažu: “OB je nastavak OA” umjesto da kažu da je linija AOB ravna crta). Stoga dolazimo do zaključka:

Svi pravi kutovi su međusobno jednaki.

14. Ispravljeni ∠AOB (crtež 12) dijeli ravninu na 2 područja, unutarnje i vanjsko. Ako savijete ravninu duž ravne linije AOB, tada će se oba ova dijela podudarati. Stoga možemo pretpostaviti da su unutarnje i vanjsko područje ispravljenog kuta međusobno jednake.

Ako imamo bilo koji neispravljeni kut, npr. ∠DEF (crtež 11 ili crtež 11 bis), tada nastavljanjem jedne njegove stranice, npr. stranice DE (na crtežima nisu nacrtani nastavci), vidjet ćemo da o našem kutu može se utvrditi da je ili manji od ispravljenog (crtež 11), ili veći od njega (crtež 11 bis); Ovisi o tome koji se od dva dijela ravnine uzima kao unutarnje područje kuta. Obično se unutarnje područje kuta odabire tako da je taj kut manji od ispravljenog, au tom slučaju pristajemo da ne označavamo unutarnje područje kuta. Ponekad će ishodište kuta ukazivati ​​da unutarnjom regijom treba smatrati onaj dio ravnine u kojem će kut biti veći od ispravljenog. Ovi slučajevi će se ponekad dogoditi u budućnosti, a tada moramo označiti unutarnje područje kuta.

15. Nađi zbroj dvaju kutova: ∠AOB i ∠PNM (crtež 13), ili dodajte ∠AOB i ∠PNM.

Ovdje na crtežu unutarnja područja uglova nisu označena; prema napomeni prethodnog odlomka, to znači da moraju biti odabrani tako da svaki kut bude manji od izravnatog, a ta područja jasno vidimo.

Pomaknimo ∠PNM tako da se njegov vrh N poklapa s vrhom O kuta AOB, a rotacijom oko točke O osigurat ćemo da stranica NP ide uz stranicu OB; tada će unutarnja područja naših kutova biti jedna uz drugu - ova je okolnost bitna za zbrajanje kutova. Zapazimo zatim kako će ići stranica NM: neka, na primjer, ide duž zrake OC. Tada dobivamo novi ∠AOC, koji se uzima kao zbroj dvaju zadanih kutova. Možemo napisati:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
i 3) (na temelju 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Također možete saviti nekoliko uglova; Ovaj kut možete podijeliti na nekoliko članova. Za vraga. 14 imamo:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Lako je konstruirati dva ili više kutova primijenjenih jedan na drugi tako da njihov zbroj bude jednak ispravljenom kutu. Moguće je da će zbroj nekoliko kutova biti veći od ispravljenog kuta (slika 15), treba uočiti unutarnje područje tog zbroja.

Moguć je još jedan poseban slučaj dodavanja kutova, kada unutarnja područja dodanih kutova pokrivaju cijelu ravninu kada se nanose jedno na drugo. Za vraga. 16 imamo sljedeće kutove: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF i ∠FOA. U ovom slučaju, nakon što smo konstruirali zraku OM, koja je nastavak zrake OA, vidimo da se zbroj naših kutova sastoji od dva ispravljena kuta: 1) ispravljenog ∠AOM, čije je unutarnje područje označeno jednom zakrivljenom linijom , i 2) izravnati ∠AOM, čije je unutarnje područje označeno dvostrukom zakrivljenom linijom. Ovdje imamo:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 ispravljena kuta.

Oni kažu: Zbroj svih uzastopnih kutova koji okružuju točku jednak je dvama pravim kutovima.

Ako postoje dodatni kutovi osim onih konstruiranih na crtežu. 16, tada će se morati ponovno primijeniti na prethodne duž prvog ispravljenog kuta, a tada zbroj ispadne veći od dva ispravljena kuta, jednak tri ispravljena kuta, više od tri ispravljena kuta itd.

16. Nađi razliku dvaju kutova: ∠AOB i ∠MNP (Dev. 17), ili oduzmite ∠MNP od ∠AOB, pod pretpostavkom da je ∠MNP< ∠AOB.

Pomaknimo ∠MNP tako da njegov vrh N padne u vrh O kuta AOB; Rotacijom oko točke O tada ćemo postići da stranica NM ide uz stranicu OB, a unutarnja područja ovih kutova se nalaze jedna na drugoj. Neka NP strana prati OC zraku; tada dobivamo novi ∠AOC, za koji znamo da je ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, iz čega, prema definiciji oduzimanja kao obratne radnje zbrajanja, dobivamo:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
ali ∠COB = ∠MNP; Zato
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Iz paragrafa. 13-16 moramo shvatiti ideju da su sljedeći koncepti primjenjivi na kutove, kao i na segmente: više, manje, jednako, te da pojmovi zbroja i razlike dvaju kutova imaju određeno značenje.

17. Vježbe. 1. Konstruiraj dva međusobno vezana kuta, imenuj ih slovima, označi njihov zbroj i zapiši zbroj tih kutova.

2. Na istom crtežu označite da je jedan od kutova razlika druga dva; zapisati.

3. Na sljedećim crtežima (vidi crtež B), ∠AOB je izražen razlikom druga dva kuta.

4. Podijelite ovaj kut na 2, 3 i 4 člana; zapišite svaki put; učinite isto s ispravljenim kutom.

5. Taj kut predstavi kao razliku između ispravljenog i nekog drugog kuta. Kakva je struktura potrebna za to?

6. Zbrajanje i oduzimanje kutova pomoću modela kutova izrezanih na papiru.

18. Ubuduće ćemo često kutove označavati brojevima kako bismo skratili slovo nazivajući ih brojevima. Zapisat ćemo brojeve kutova unutar svakog kuta u blizini vrha.

Konstruirajmo ∠AOB (crtež 18) i nazovimo ga ∠1. Dodajmo ovaj kut ravnom. Problem ima dva rješenja: konstruirati zraku OC, koja služi kao nastavak zrake OA; tada dobivamo ∠BOC ili ∠2, što zadovoljava zahtjev, jer vidimo da

∠1 + ∠2 = ispravljeni kut.

Ovdje imamo primjer zbrajanja dvaju kutova kada je zbroj jednak ispravljenom kutu - takvi se kutovi nazivaju susjednim: ∠1 i ∠2 su susjedni kutovi. Da bi se 2 kuta mogla nazvati “susjednima”, potrebno je da su 1) međusobno nadovezani i 2) da je njihov zbroj jednak ispravljenom kutu ili, što je isto, da ti kutovi imaju zajednički vrh (kod kutova 1 i 2 zajednički vrh O), jedna zajednička stranica (naši kutovi imaju zajedničku stranicu OB) i da su druge dvije stranice nastavak jedna druge (OC je nastavak OA).

Drugo rješenje našeg problema dobit ćemo ako nastavimo stranicu OB - neka je OD nastavak OB; tada dobivamo još jedan ∠AOD ili ∠4 susjedan ∠1. Nazovimo tako dobiveni kut COD s ∠3.

Ispitajmo 2 dobivena rješenja našeg problema, tj. ∠2 i ∠4. Vidimo posebnost položaja ∠2 i ∠4: imaju zajednički vrh O, stranice jednog od njih su nastavci stranica drugog, naime OC je nastavak OA i obrnuto, a OB je nastavak OD i obrnuto – takva se dva kuta nazivaju okomitima.

Tada znamo da i ∠2 i ∠4 svaki komplementira ∠1 dok se ne ispravi; odavde zaključujemo da

Evo detaljnijeg sažetka potonjeg razmatranja. Prema konstrukciji imamo:

1) ∠1 + ∠2 = ispravljeni kut;
2) ∠1 + ∠4 = ispravljeni kut.

Vidimo da oba sabiranja vode do istog zbroja (svi pravi kutovi su međusobno jednaki), a osim toga, jedan član (tj. ∠1) u oba sabiranja je isti; odavde zaključujemo da ostali članovi moraju biti međusobno jednaki, tj. ∠2 = ∠4.

Ako konstruiramo dvije prave koje se sijeku, dobit ćemo dva para okomitih kutova. Za vraga. 18 imamo pravce AC i BD, jedan par okomitih kutova je ∠2 i ∠4, a drugi je ∠1 i ∠3. Sve gore navedeno vrijedi za svaki par okomitih kutova; na primjer, za par ∠1 i ∠3 imamo da svaki od njih komplementira ∠2 ispravljenom, dakle, ∠1 = ∠3. Stoga imamo teorem:
Vertikalni kutovi su međusobno jednaki.

Vježbajte. Konstruirajte tri ravne crte kroz točku i označite rezultirajuće okomite kutove; napiši njihovu jednakost.

Segment linije. Duljina segmenta. Trokut.

1. U ovom odlomku upoznat ćete se s nekim pojmovima geometrije. Geometrija- znanost o "mjerenju zemlje". Ova riječ dolazi od latinskih riječi: geo - zemlja i metr - mjera, mjeriti. U geometriji razne geometrijski objekti, njihova svojstva, njihove veze s vanjskim svijetom. Najjednostavniji geometrijski objekti su točka, linija, površina. Složeniji geometrijski objekti, na primjer, geometrijske figure i tijela, formiraju se od najjednostavnijih.

Ako ravnalo primijenimo na dvije točke A i B i povučemo crtu duž nje koja povezuje te točke, dobit ćemo segment linije, koji se naziva AB ili VA (čitamo: “a-be”, “be-a”). Točke A i B nazivaju se krajeve segmenta(slika 1). Udaljenost između krajeva segmenta, mjerena u jedinicama duljine, naziva se duljinaizrezatika.

Jedinice za duljinu: m - metar, cm - centimetar, dm - decimetar, mm - milimetar, km - kilometar itd. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Za mjerenje duljine segmenata koristite ravnalo ili metar. Izmjeriti duljinu segmenta znači saznati koliko puta određena dužinska mjera stane u njega.

Jednak nazivaju se dva segmenta koja se mogu kombinirati preklapanjem jednog na drugi (slika 2). Na primjer, možete zapravo ili mentalno izrezati jedan od segmenata i pričvrstiti ga na drugi tako da se njihovi krajevi podudaraju. Ako su dužine AB i SK jednake, tada pišemo AB = SK. Jednaki segmenti imaju jednake duljine. Suprotno je istina: dva segmenta jednake duljine su jednaka. Ako dva segmenta imaju različite duljine, tada nisu jednaki. Od dva nejednaka segmenta, manji je onaj koji čini dio drugog segmenta. Preklapajuće segmente možete usporediti pomoću kompasa.

Ako mentalno produžimo segment AB u oba smjera do beskonačnosti, tada ćemo dobiti predodžbu o ravno AB (slika 3). Bilo koja točka koja leži na pravcu dijeli ga na dva dijela greda(Slika 4). Točka C dijeli pravac AB na dva dijela greda SA i SV. Tosca C se zove početak zraka.

2. Ako tri točke koje ne leže na istom pravcu spojimo odsječcima, tada ćemo dobiti lik tzv trokut. Te se točke nazivaju vrhovi trokut, a segmenti koji ih spajaju su stranke trokut (slika 5). FNM - trokut, segmenti FN, NM, FM - stranice trokuta, točke F, N, M - vrhovi trokuta. Stranice svih trokuta imaju sljedeća svojstva: d Duljina bilo koje stranice trokuta uvijek je manja od zbroja duljina njegove druge dvije stranice.

Ako mentalno proširite, na primjer, površinu ploče stola u svim smjerovima, dobit ćete predodžbu o avion. Točke, segmenti, ravne linije, zrake nalaze se na ravnini (slika 6).

Blok 1. Dodatni

Svijet u kojem živimo, sve što nas okružuje, stari su nazivali prirodom ili prostorom. Prostor u kojem živimo smatra se trodimenzionalnim, tj. ima tri dimenzije. Često se nazivaju: duljina, širina i visina (na primjer, duljina sobe je 4 m, širina sobe je 2 m, a visina je 3 m).

Predodžbu o geometrijskoj (matematičkoj) točki daje nam zvijezda na noćnom nebu, točka na kraju ove rečenice, oznaka s igle itd. Međutim, svi navedeni objekti imaju dimenzije, za razliku od njih, dimenzije geometrijske točke smatraju se jednakima nuli (dimenzije su joj jednake nuli). Stoga se prava matematička točka može zamisliti samo mentalno. Također možete reći gdje se nalazi. Stavljanjem točke u bilježnicu nalivperom nećemo prikazati geometrijsku točku, već ćemo pretpostaviti da je konstruirani objekt geometrijska točka (slika 6). Bodovi su označeni velikim slovima latinične abecede: A, B, C, D, (čitati " točka a, točka be, točka tse, točka de") (Slika 7).

Žice koje vise na stupovima, vidljiva linija horizonta (granica između neba i zemlje ili vode), riječno korito prikazano na karti, gimnastički obruč, mlaz vode koji izvire iz fontane daju nam ideju o linijama.

Postoje zatvoreni i otvoreni pravci, glatki i neglatki, pravci sa i bez samopresjeka (slike 8 i 9).

List papira, laserski disk, školjka nogometne lopte, kartonska kutija za pakiranje, božićna plastična maska ​​itd. daj nam ideju površine(Slika 10). Prilikom bojenja poda sobe ili automobila, površina poda ili automobila se prekriva bojom.

Ljudsko tijelo, kamen, cigla, sir, lopta, ledena ledenica itd. daj nam ideju geometrijski tijela (slika 11).

Najjednostavnija od svih linija je to je ravno. Postavite ravnalo na list papira i olovkom povucite ravnu crtu. Mentalno produžujući ovu liniju do beskonačnosti u oba smjera, dobit ćemo ideju ravne linije. Smatra se da pravac ima jednu dimenziju - duljinu, a da su joj druge dvije dimenzije jednake nuli (slika 12).

Pri rješavanju zadataka ravna crta se prikazuje kao crta koja se olovkom ili kredom povlači duž ravnala. Izravne linije označene su malim latiničnim slovima: a, b, n, m (slika 13). Također možete označiti ravnu liniju s dva slova koja odgovaraju točkama koje leže na njoj. Na primjer, ravno n na slici 13 možemo označiti: AB ili VA, ADiliDA,DB ili BD.

Točke mogu ležati na pravcu (pripadati pravcu) ili ne ležati na pravcu (ne pripadati pravcu). Slika 13 prikazuje točke A, D, B koje leže na pravcu AB (pripadaju pravcu AB). U isto vrijeme pišu. Čitaj: točka A pripada pravoj AB, točka B pripada AB, točka D pripada AB. Točka D također pripada pravoj m, zove se Općenito točka. U točki D sijeku se pravci AB i m. Točke P i R ne pripadaju ravnima AB i m:

Kroz bilo koje dvije točke uvijek možete nacrtati ravnu liniju i samo jednu .

Od svih vrsta linija koje spajaju bilo koje dvije točke, segment čiji su krajevi te točke ima najmanju duljinu (slika 14).

Lik koji se sastoji od točaka i odsječaka koji ih povezuju naziva se izlomljena linija (Slika 15). Segmenti koji čine izlomljenu liniju nazivaju se poveznice isprekidana linija, a njihovi krajevi - vrhovi izlomljena linija Izlomljeni pravac se imenuje (označuje) navođenjem svih njegovih vrhova redom, na primjer, izlomljeni pravac ABCDEFG. Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika. To znači da je duljina izlomljene linije ABCDEFG jednaka zbroju: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Zatvorena izlomljena crta naziva se poligon, njegovi se vrhovi nazivaju vrhovi poligona, i njegove veze stranke poligon (slika 16). Mnogokut se imenuje (označuje) redom nabrajajući sve njegove vrhove, počevši od bilo kojeg, na primjer, poligon (sedmerokut) ABCDEFG, poligon (pentagon) RTPKL:

Zbroj duljina svih stranica mnogokuta naziva se perimetar mnogokut i označava se lat pismostr(čitati: pe). Opseg poligona na slici 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Mentalno produžujući površinu ploče stola ili prozorskog stakla u beskonačnost u svim smjerovima, dobivamo ideju o površini, koja se naziva avion (Slika 17). Zrakoplovi su označeni malim slovima grčkog alfabeta: α, β, γ, δ, ... (mi čitamo: ravnina alfa, beta, gama, delta itd.).

Blok 2. Rječnik.

Napraviti rječnik novih pojmova i definicija iz §2. Da biste to učinili, unesite riječi s donjeg popisa pojmova u prazne retke tablice. U tablici 2. označite brojeve pojmova prema brojevima redaka. Preporuča se da pažljivo pregledate §2 i blok 2.1 prije ispunjavanja rječnika.

Blok 3. Uspostavite korespondenciju (CS).

Geometrijski likovi.

Blok 4. Samotestiranje.

Mjerenje segmenta pomoću ravnala.

Podsjetimo se da izmjeriti segment AB u centimetrima znači usporediti ga sa segmentom duljine 1 cm i saznati koliko takvih segmenata od 1 cm stane u segment AB. Za mjerenje segmenta u drugim jedinicama duljine postupite na isti način.

Za rješavanje zadataka radite prema planu danom u lijevom stupcu tablice. U tom slučaju preporučamo prekriti desni stupac listom papira. Zatim možete usporediti svoje nalaze s rješenjima u tablici s desne strane.

Blok 5. Uspostava slijeda radnji (SE).

Konstruiranje odsječka zadane duljine.

opcija 1. Tablica sadrži pomiješani algoritam (pomiješan redoslijed radnji) za konstrukciju segmenta zadane duljine (na primjer, izgradimo segment BC = 7 cm). U lijevom stupcu je pokazatelj radnje, u desnom stupcu je rezultat izvođenja ove radnje. Preuredite retke tablice tako da dobijete točan algoritam za konstrukciju segmenta zadane duljine. Zapišite točan slijed radnji.

opcija 2. Sljedeća tablica prikazuje algoritam za konstrukciju segmenta KM = n cm, gdje umjesto n Možete zamijeniti bilo koji broj. U ovoj opciji ne postoji podudarnost između akcije i rezultata. Stoga je potrebno uspostaviti redoslijed radnji, zatim za svaku radnju odabrati njezin rezultat. Odgovor napišite u obliku: 2a, 1c, 4b itd.

Opcija 3. Koristeći algoritam opcije 2, u svojoj bilježnici konstruirajte odsječke na n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Blok 6. Fasetni test.

Odsječak, poluprava, pravac, ravnina.

U zadacima fasetnog testa koriste se slike i zapisi brojevima od 1 do 12 dani u tablici 1. Iz njih se formiraju podaci o zadacima. Zatim im se dodaju zahtjevi zadataka koji se u testu stavljaju iza spojne riječi „TO“. Odgovori na zadatke nalaze se iza riječi JEDNAKO. Skup zadataka dan je u tablici 2. Na primjer, zadatak 6.15.19 sastavljen je na sljedeći način: „AKO problem koristi sliku 6 , s Zatim mu se dodaje uvjet broj 15, zahtjev zadatka je broj 19.”

13) konstruirati četiri točke tako da sve tri ne leže na istoj ravnici;

14) kroz svake dvije točke povući ravnu liniju;

15) mentalno produžite svaku od površina kutije u svim smjerovima do beskonačnosti;

16) broj različitih segmenata na slici;

17) broj različitih zraka na slici;

18) broj različitih ravnih linija na slici;

19) broj dobivenih različitih ravnina;

20) duljina segmenta AC u centimetrima;

21) duljina segmenta AB u kilometrima;

22) duljina segmenta DC u metrima;

23) opseg trokuta PRQ;

24) duljina izlomljene linije QPRMN;

25) kvocijent opsega trokuta RMN i PRQ;

26) duljina segmenta ED;

27) duljina segmenta BE;

28) broj rezultirajućih točaka sjecišta pravaca;

29) broj nastalih trokuta;

30) broj dijelova na koje je avion podijeljen;

31) opseg poligona, izražen u metrima;

32) opseg poligona, izražen u decimetrima;

33) opseg mnogokuta, izražen u centimetrima;

34) opseg poligona, izražen u milimetrima;

35) opseg poligona, izražen u kilometrima;

JEDNAK (jednak, ima oblik):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28

Blok 7. Igrajmo se.

7.1. Matematički labirint.

Labirint se sastoji od deset soba sa troja vrata. U svakoj od soba nalazi se po jedan geometrijski objekt (nacrtan je na zidu sobe). Podaci o ovom objektu nalaze se u “vodiču” kroz labirint. Dok ga čitate, morate otići do sobe o kojoj piše u vodiču. Dok hodate kroz prostorije labirinta, nacrtajte svoju rutu. Posljednje dvije sobe imaju izlaze.

Vodič kroz labirint

1. Morate ući u labirint kroz sobu u kojoj se nalazi geometrijski objekt koji nema početak, ali ima dva kraja.
2. Geometrijski objekt ove sobe nema dimenzija, on je poput daleke zvijezde na noćnom nebu.
3. Geometrijski objekt ove sobe sastoji se od četiri segmenta koji imaju tri zajedničke točke.
4. Ovaj geometrijski objekt sastoji se od četiri segmenta s četiri zajedničke točke.
5. Ova soba sadrži geometrijske objekte od kojih svaki ima početak, ali nema kraj.
6. Ovdje su dva geometrijska objekta koja nemaju ni početak ni kraj, ali imaju jednu zajedničku točku.

1. Predodžbu o ovom geometrijskom objektu daje let topničkih granata

(putanja kretanja).

1. Ova soba sadrži geometrijski objekt s tri vrha, ali oni nisu planinski.

1. Let bumeranga daje ideju o ovom geometrijskom objektu (lov

oružje domorodaca Australije). U fizici se ta linija naziva putanja

pokreti tijela.

1. Predodžbu o ovom geometrijskom objektu daje površina jezera u

mirno vrijeme.

Sada možete izaći iz labirinta.

Labirint sadrži geometrijske objekte: ravninu, otvorenu liniju, ravnu liniju, trokut, točku, zatvorenu liniju, izlomljenu liniju, segment, zraku, četverokut.

7.2. Opseg geometrijskih oblika.

Na crtežima istakni geometrijske oblike: trokut, četverokut, peterokut i šesterokut. Pomoću ravnala (u milimetrima) odredite opseg nekih od njih.

7.3. Štafetna utrka geometrijskih objekata.

Relejni zadaci imaju prazne okvire. Upiši u njih riječ koja nedostaje. Zatim premjestite ovu riječ u drugi okvir gdje pokazuje strelica. U ovom slučaju, možete promijeniti velika i velika slova ove riječi. Dok prolazite kroz faze releja, ispunite potrebne formacije. Ako točno ispunite štafetu, na kraju ćete dobiti sljedeću riječ: perimetar.

7.4. Čvrstoća geometrijskih objekata.

Pročitajte § 2, ispišite nazive geometrijskih objekata iz njegovog teksta. Zatim napišite ove riječi u prazne ćelije "tvrđave".

Segmenti se nazivaju jednakima ako se mogu postaviti jedan na drugi tako da im se krajevi podudaraju.

Neka su nam dana dva segmenta AB i CD (slika). Položimo dužinu AB na dužinu CD tako da se točka A podudara s točkom C i usmjerimo dužinu AB duž dužine CD. Ako se točka B podudara s točkom D, tada su segmenti AB i CD jednaki; AB = CD.

Usporedimo dva segmenta KO i EM (slika).

Superponirajmo isječak KO na isječak EM tako da se točke K i E podudaraju. Usmjerimo segment KO duž segmenta EM. Ako je točka O negdje između točaka E i M, onda kažu da je dužina EM veća od dužine KO; segment KO je manji od segmenta EM.

Piše se ovako: JEDI > KO, KO

Konstruiranje odsječka jednakog zadanom pomoću šestara.

Konstrukcija segmenta jednakog danom segmentu AB (slika) izvodi se pomoću šestara na ovaj način:

jedna noga kompasa postavljena je na jedan kraj segmenta AB, a druga - na njegov drugi kraj i, bez mijenjanja kuta kompasa, prenesite ga na određenu ravnu liniju tako da kraj jedne noge označava neku točku N, tada kraj drugog kraka šestara označava neku točku R na istoj ravnoj liniji. Odsječak NP bit će jednak odsječku AB.

Zbrajanje i oduzimanje odsječaka.

Da biste pronašli zbroj dva segmenta, na primjer AB i CD (Sl.), trebate uzeti ravnu liniju i neku točku na njoj, na primjer točku N (Sl., b), a zatim, koristeći kompas, prvo iscrtajte segment NP na ovoj ravnoj liniji iz točke N, jednake segmentu AB, a zatim od njenog kraja u istom smjeru položite segment PM jednak segmentu CD. Odsječak NM nazvat ćemo zbroj odsječaka AB i CD.

Napisano je ovako:

NM = AB + CD.

Na isti način se nalazi zbroj nekoliko segmenata (sl.)

MN = AB + CD + EF.

Pri zbrajanju odsječaka, kao i u aritmetici pri zbrajanju brojeva, slijede zakoni: komutativni i asocijativni.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF).

Da biste pronašli razliku između dva segmenta AB i CD (sl.),

Potrebno je odvojiti manji segment (CD) na većem segmentu (AB) od njegovog kraja, na primjer, točke A. Preostali dio (KB) većeg segmenta bit će razlika ovih segmenata:

AB - CD = KV.

Množenje i dijeljenje segmenta cijelim brojem.

a) Pomnožite segment AB s cijelim brojem, na primjer s 5, to znači da se segment AB mora uzeti kao izraz 5 puta (sl.):

Odsječak MN umnožak je odsječka AB i broja 5.

b) Na slici je isječak MN sastavljen od pet jednakih isječaka, odnosno isječak MN podijeljen je na pet jednakih dijelova. Svaki od njih čini 1/5 segmenta MN.

c) Da biste šestarom podijelili segment na jednake dijelove, učinite ovo. Na primjer, ako trebate podijeliti segment na dva jednaka dijela, tada se šestar razmakne okom tako da otvor šestara bude otprilike polovica segmenta. Zatim se na određenom segmentu od njegovog kraja polažu dva segmenta uzastopno, jedan za drugim, ovim rješenjem šestara. Ako je rezultirajući zbroj segmenata manji od ovog segmenta, tada se rješenje kompasa povećava; ako se ispostavi da je iznos veći od ovog segmenta, tada se rješenje kompasa smanjuje. Dakle, postupno ispravljajući pogrešku, možete prilično točno pronaći polovicu segmenta (sl.).

Na isti način se izvodi približna podjela segmenta na 3, 4, 5 itd. jednakih dijelova. Samo u ovom slučaju treba uzeti 1/3 na oko; 14 ; 1/5... segmenta i uzeti uzeti segment odvojite 3, 4, 5... puta, ovisno o tome na koliko jednakih dijelova dani segment treba podijeliti.

Svojstvo odsječaka odsječenih paralelnim crtama na stranicama kuta

Teorema. Ako su jednaki segmenti položeni na jednoj strani kuta i kroz njihove krajeve su povučene paralelne linije koje sijeku drugu stranu kuta, tada će jednaki segmenti biti položeni na ovu stranu kuta.

Neka su na stranici AB kuta ABN položeni jednaki odsječci BM = MK = KS (sl.) i kroz razdjelne točke M, K i C povučene su paralelne crte koje sijeku stranicu BN istog kuta.

Na ovoj strani formirana su tri segmenta: VM', M'K' i K'S'. Potrebno je dokazati da je VM' = M'K' = K'C'.

Da bismo to dokazali, kroz točke M’ i K’ povučemo pravce paralelne s AB. Dobivamo trokute VMM', M'ÉK' i K'RS'. Usporedimo ove trokute.

Najprije usporedite trokute MVM' i M'EK'. U ovim trokutima imamo:

∠1 = ∠2, kao odgovarajući kutovi za paralele BA i M'E i sekantu BN;

∠3 = ∠4, kao šiljasti kutovi 1 s odgovarajućim paralelnim stranicama (AB || M'E i MM' || KK').

VM = MK po konstrukciji;

MK = M'E, kao suprotne stranice paralelograma.

Kutovi 1 i 4 mogu ispasti oba tupi, ali u tom će slučaju ostati jednaki, pa se stoga dokaz teorema neće promijeniti.

Prema tome, BM = M'E. Dakle, ΔVMM’ = ΔM’ÉK’ (na strani i dva susjedna kuta). Slijedi da je VM' = M'K'.

Također se može dokazati da je VM’ = K’C’, tj. VM’ = M’K’ = K’C’. Pri dokazivanju teorema započeli smo polaganje odsječaka od vrha kuta, ali teorem vrijedi i za slučaj kada polaganje odsječaka ne počinje od vrha kuta, već od bilo koje točke na njegovoj strani.

U tom slučaju vrh kuta ne mora biti označen na crtežu (sl.).

Teorem vrijedi i za slučaj kada su pravci KO i MR paralelni.

Proporcionalni segmenti

Iz aritmetike znamo da se jednakost dvaju omjera naziva proporcija. Na primjer: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 Istu stvar imamo u geometriji: ako su dana dva para odsječaka čiji su omjeri jednaki, tada se može napraviti proporcija.

Ako a / b= 4/3 i c / d= 4 / 3 (Nacrtano 351), tada dobivamo udio a / b = c / d ;

segmentima a, b, c, d se zovu proporcionalan.

Stav a / b naziva se, kao u aritmetici, prva relacija, c / d- drugi odnos; A I d nazivaju se ekstremni članovi omjera, b I S- srednji članovi.

U proporciji, omjeri mogu biti obrnuti; možete preurediti ekstremne članove, srednje članove; možete preurediti oboje u isto vrijeme.

Jer u proporciji a / b = c / d slova označavaju brojeve koji izražavaju duljine odsječaka, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku njegovih srednjih članova. Odavde, znajući tri člana proporcije, možete pronaći njen nepoznati četvrti član. Da, proporcionalno a / x = c / d x = a d / c

Napomenimo još neka svojstva proporcija, koja će se u budućnosti morati koristiti pri dokazivanju nekih teorema i rješavanju zadataka.

a) Ako su tri člana jedne proporcije redom jednaka trima članovima druge proporcije, onda su i četvrti članovi tih proporcija jednaki.

Ako a / b = c / x I a / b = c / g,Da x = y. Doista, x = b c / a , na = b c / a, tj. i x I na jednak istom broju b c / a .

b) Ako su prethodni članovi jednaki u omjeru, jednaki su i sljedeći, tj. ako a / x = a / g, To x = y.

Da bismo to provjerili, rasporedimo srednje članove u ovom omjeru.

Dobivamo: a / a = x / g. Ali a / a= 1. Prema tome, i x / g = 1.

A to je moguće samo ako su brojnik i nazivnik razlomka jednaki, tj.

x = y.

c) Ako su sljedeći članovi jednaki u omjeru, jednaki su i prethodni, tj. ako x / a = g / a, To x = y.

Pozvani ste da sami provjerite valjanost ove nekretnine. Da biste to učinili, provedite obrazloženje slično prethodnom.

Konstrukcija proporcionalnih odsječaka

Teorema. Ako su dva pravca presječena s tri paralelne pravce, tada je omjer dvaju odsječaka dobivenih na jednom pravcu jednak omjeru dvaju odgovarajućih odsječaka drugog pravca.

Neka dva pravca EF i OP sijeku tri paralelna pravca AB, CD i MN (sl.).

Potrebno je dokazati da su dužice AC, CM, BD i DN, zatvorene između paralelnih sekanti, proporcionalne, tj.

AC/CM = BD/DN

Neka je duljina segmenta AC R, a duljina segmenta CM jednaka je q.

Na primjer, R= 4 cm i q= 5 cm.

Podijelimo AC i CM na odsječke jednake 1 cm, a iz točaka podjele povučemo ravne linije paralelne s ravnima AB, CD i MN, kao što je prikazano na slici.

Tada će se jednaki segmenti položiti na ravnu liniju OR, s time da će 4 segmenta biti postavljena na segment BD, a 5 segmenta na segment DN.

Omjer AC prema CM je 4/5, a slično je i omjer BD prema DN 4/5.

Stoga je AC/CM = BD/DN.

To znači da su odsječci AC, CM, BD i DN proporcionalni. Odsječci AC, AM, BD i BN (koji se međusobno preklapaju) također su proporcionalni, tj. AC / AM = BD / BN,

budući da je AC/AM = 4/9 i BD/BN = 4/9

Teorem će vrijediti za sve druge cjelobrojne vrijednosti R I q.

Ako duljine odsječaka AC i CM nisu izražene u cijelim brojevima za datu mjernu jedinicu (na primjer, centimetar), tada je potrebno uzeti manju jedinicu (na primjer, milimetar ili mikron), u kojoj je duljine odsječaka AC i CM praktički su izražene u cijelim brojevima.

Dokazani teorem vrijedi iu slučaju kada jedna od paralelnih sekanti prolazi točkom presjeka ovih pravaca. Vrijedi iu slučaju kada se segmenti ne iscrtavaju direktno jedan za drugim, već nakon određenog intervala.