za studente 2. godine svih specijalnosti
Katedra za višu matematiku
Uvodni dio
Dragi studenti!
Predstavljamo Vam pregledno (uvodno) predavanje profesora N.Sh.Kremera iz discipline “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika” za studente druge godine VZFEI.
Na predavanju se raspravlja zadaci studira teoriju vjerojatnosti i matematičku statistiku na ekonomskom sveučilištu i njezino mjesto u sustavu školovanja suvremenog ekonomista, smatra se organizacija nezavisna dan je rad studenata korištenjem računalnog sustava za obuku (CTS) i tradicionalnih udžbenika pregled glavnih odredbi ovog predmeta, kao i metodičke preporuke za njegovo proučavanje.
Među matematičkim disciplinama koje se studiraju na ekonomskom sveučilištu posebno mjesto zauzimaju teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Prvo, to je teorijska osnova statističkih disciplina. Drugo, u istraživanju se izravno koriste metode teorije vjerojatnosti i matematičke statistike maseni agregati promatranih pojava, obrada rezultata promatranja i identificiranje obrazaca slučajnih pojava. Konačno, teorija vjerojatnosti i matematička statistika imaju važno metodološko značenje u kognitivni proces, kada se identificira opći obrazac istraživao procesa, služi kao logička osnova induktivno-deduktivno zaključivanje.
Svaki student druge godine mora imati sljedeći set (slučaj) iz discipline “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika”:
1. Pregledno orijentacijsko predavanje u ovoj disciplini.
2. Udžbenik N.Sh. Kremer “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika” - M.: UNITY - DANA, 2007 (u daljnjem tekstu jednostavno ćemo ga zvati “udžbenik”).
3. Nastavno-metodički priručnik“Teorija vjerojatnosti i matematička statistika” / ur. N.Sh. Kremer. – M.: Sveučilišni udžbenik, 2005 (u daljnjem tekstu: priručnik).
4. Računalni program obuke COPR za disciplinu (u daljnjem tekstu “računalni program”).
Na web stranici instituta, na stranici „Resursi poduzeća“, objavljene su online verzije računalnog programa KOPR2, pregledno orijentacijsko predavanje i elektronička verzija priručnika. Osim toga, računalni program i priručnik predstavljeni su na CD - ROM ah za studente druge godine. Dakle, u “papirnatom obliku” učenik treba imati samo udžbenik.
Objasnimo svrhu svakog od edukativnih materijala koji se nalaze u navedenom kompletu (kovčegu).
U udžbeniku prikazane su glavne odredbe nastavnog materijala discipline, ilustrirane dovoljno velikim brojem riješenih problema.
U koristi Dane su metodičke preporuke za samostalno proučavanje nastavnog gradiva, istaknuti su najvažniji pojmovi kolegija i tipični zadaci, navedena su ispitna pitanja za samotestiranje iz ove discipline, mogućnosti za domaće testove koje student mora ispuniti, kao i metodičke dane su upute za njihovu provedbu.
Kompjuterski program je dizajniran da vam pruži maksimalnu pomoć u savladavanju tečaja u načinu rada dijalog programirajte s učenikom kako biste u najvećoj mjeri nadoknadili nedostatak obuke u učionici i odgovarajućeg kontakta s nastavnikom.
Za studenta koji studira putem sustava učenja na daljinu primarni i odlučujući značaj je organizacija samostalnog rada.
Kada počinjete proučavati ovu disciplinu, pročitajte ovo pregledno (uvodno) predavanje do kraja. To će vam omogućiti da dobijete opću predodžbu o osnovnim konceptima i metodama koje se koriste u kolegiju “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika”, te o zahtjevima za razinu osposobljenosti studenata VZFEI.
Prije proučavanja svake teme Pročitajte smjernice za proučavanje ove teme u priručniku. Ovdje ćete pronaći popis obrazovnih pitanja o ovoj temi koja ćete proučavati; saznati koji su pojmovi, definicije, teoremi, problemi najvažniji koje treba prvo proučiti i savladati.
Zatim nastavite s učenjem osnovni obrazovni materijal prema udžbeniku sukladno dobivenim metodičkim preporukama. Savjetujemo vam da u posebnu bilježnicu vodite bilješke o glavnim definicijama, izjavama teorema, dijagramima njihovih dokaza, formulama i rješenjima tipičnih problema. Formule je preporučljivo ispisati u posebne tablice za svaki dio kolegija: teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Redovita uporaba bilježaka, posebice tablica s formulama, potiče njihovo pamćenje.
Tek nakon obrade osnovnog obrazovnog materijala svake teme u udžbeniku možete prijeći na proučavanje ove teme pomoću programa za računalnu obuku (KOPR2).
Obratite pozornost na strukturu računalnog programa za svaku temu. Iza naziva teme nalazi se popis glavnih nastavnih pitanja teme u udžbeniku s naznakom brojeva odlomaka i stranica koje treba proučiti. (Zapamtite da je popis ovih pitanja za svaku temu također dan u priručniku).
Zatim se u sažetom obliku daje referentni materijal o ovoj temi (ili o pojedinim odlomcima ove teme) - osnovne definicije, teoremi, svojstva i karakteristike, formule itd. Dok proučavate temu, na ekranu možete prikazati i one fragmente referentnog materijala (o ovoj ili prethodnim temama) koji su trenutno potrebni.
Zatim vam se nudi materijal za obuku i, naravno, standardni zadaci ( primjeri),čije se rješenje razmatra u načinu dijalog programa sa studentom. Funkcije niza primjera ograničene su na prikazivanje faza točnog rješenja na ekranu na zahtjev učenika. U isto vrijeme, u procesu pregledavanja većine primjera, postavljat će vam se pitanja ove ili one prirode. Odgovore na neka pitanja potrebno je unijeti pomoću tipkovnice. brojčani odgovor, drugima - odaberite točan odgovor (ili odgovore) od nekoliko predloženih.
Ovisno o odgovoru koji ste unijeli, program potvrđuje njegovu točnost ili predlaže, nakon čitanja savjeta koji sadrži potrebne teorijske principe, da ponovno pokušate dati točno rješenje i odgovor. Mnogi zadaci imaju ograničenje broja pokušaja rješavanja (ako se ovo ograničenje prekorači, točan napredak rješenja nužno se prikazuje na ekranu). Postoje i primjeri u kojima se količina informacija sadržanih u savjetu povećava kako se neuspješni pokušaji odgovora ponavljaju.
Nakon upoznavanja s teorijskim odredbama obrazovnog materijala i primjerima, koji su opremljeni detaljnom analizom rješenja, morate završiti vježbe samokontrole kako biste učvrstili svoje vještine u rješavanju tipičnih problema na svakoj temi. Zadaci samokontrole sadrže i elemente dijaloga s učenikom. Nakon rješavanja rješenja možete pogledati točan odgovor i usporediti ga s onim što ste dali.
Na kraju rada na svakoj temi treba riješiti kontrolne zadatke. Točni odgovori na njih vam se ne prikazuju, a vaši se odgovori snimaju na tvrdi disk računala za naknadni pregled od strane učitelja savjetnika (mentora).
Nakon proučavanja tema 1–7 potrebno je riješiti domaći test br. 3, a nakon proučavanja tema 8–11 domaći test br. 4. Varijante ovih testova dane su u priručniku (njegova elektronička verzija). Broj opcije koja se provodi mora odgovarati zadnjoj znamenki vašeg osobnog dosjea (razredna knjižica, studentska iskaznica). Za svaki test morate proći intervju, tijekom kojeg morate pokazati svoju sposobnost rješavanja problema i poznavanje osnovnih pojmova (definicije, teoremi (bez dokaza), formule itd.) na temu testa. Studij discipline završava kolegijskim ispitom.
Teorija vjerojatnosti je matematička znanost koja proučava obrasce slučajnih pojava.
Disciplina koja se nudi za studij sastoji se od dva dijela “Teorija vjerojatnosti” i “Matematička statistika”.
Mama je oprala okvir
Na kraju dugih ljetnih praznika, vrijeme je da se polako vratimo višoj matematici i svečano otvorimo praznu Verdov datoteku kako bismo počeli stvarati novu sekciju - . Priznajem, prvi redovi nisu laki, ali prvi korak je pola puta, stoga predlažem svima da pažljivo prouče uvodni članak, nakon čega će svladavanje teme biti 2 puta lakše! Uopće ne pretjerujem. …Uoči idućeg 1. rujna sjećam se prvog razreda i početnice…. Slova tvore slogove, slogovi tvore riječi, riječi tvore kratke rečenice - Mama je prala okvir. Savladavanje statistike prometa i matematike jednostavno je poput učenja čitanja! Međutim, za to morate znati ključne pojmove, koncepte i oznake, kao i neka specifična pravila, koji su predmet ove lekcije.
Ali prvo primite moje čestitke za početak (nastavak, završetak, označite prikladnim) školske godine i primite dar. Najbolji dar je knjiga, a za samostalan rad preporučujem sljedeću literaturu:
1) Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika
Legendarni udžbenik koji je doživio više od deset ponovljenih izdanja. Odlikuje se razumljivošću i krajnje jednostavnom prezentacijom gradiva, a prva su poglavlja potpuno dostupna, mislim, već učenicima 6.-7.
2) Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike
Knjiga rješenja istog Vladimira Efimoviča s detaljnim primjerima i problemima.
OBAVEZNO preuzmite obje knjige s interneta ili nabavite njihove papirnate originale! Radit će i verzija iz 60-ih i 70-ih, što je još bolje za glupane. Iako fraza "teorija vjerojatnosti za lutke" zvuči prilično smiješno, budući da je gotovo sve ograničeno na elementarne aritmetičke operacije. Preskaču, međutim, na mjestima izvedenice I integrali, ali to je samo mjestimično.
Pokušat ću postići istu jasnoću izlaganja, ali moram upozoriti da je moj tečaj usmjeren na rješavanje problema a teorijski proračuni svedeni su na minimum. Dakle, ako trebate detaljnu teoriju, dokaze teorema (teorema-teorema!), molimo pogledajte udžbenik. Pa tko hoće naučiti rješavati probleme u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici u najkraćem mogućem roku, prati me!
Dovoljno za pocetak =)
Dok čitate članke, preporučljivo je upoznati se (barem ukratko) s dodatnim zadacima razmatranih vrsta. Na stranici Gotova rješenja za višu matematiku Bit će objavljeni odgovarajući pdf-ovi s primjerima rješenja. Također će biti pružena značajna pomoć IDZ 18.1 Rjabuško(jednostavnije) i riješen IDZ prema Čudesenkovoj zbirci(teže).
1) Iznos dva događaja, a događaj se naziva da će se dogoditi ili događaj ili događaj ili oba događaja u isto vrijeme. U slučaju da događaji nekompatibilan, posljednja opcija nestaje, odnosno može se pojaviti ili događaj ili događaj .
Pravilo vrijedi i za veći broj pojmova, npr. događaj 
je ono što će se dogoditi najmanje jedan od događaja 
, A ako su događaji nespojivi – onda jedno i samo jedno događaj od ovog iznosa: ili događaj, ili događaj, ili događaj, ili događaj, ili događaj .
Ima dosta primjera:
Događaji (kada bacate kocku, 5 bodova se neće pojaviti) su ono što će se pojaviti ili 1, ili 2, ili 3, ili 4, ili 6 bodova.
Događaj (će ispasti ne više dvije točke) je da će se pojaviti 1 ili 2bodova.
Događaj 
(bit će paran broj bodova) je ono što se pojavljuje ili 2 ili 4 ili 6 bodova.
Događaj je da se iz špila izvuče crveni karton (srce). ili tambura), te priredbu 
– da će se “slika” izvući (jack ili dama ili kralj ili as).
Malo zanimljiviji je slučaj sa zajedničkim događanjima:
Događaj je da će se iz špila izvući tref ili sedam ili sedam klubova Prema gornjoj definiciji, barem nešto- ili bilo koji tref ili bilo koja sedmorka ili njihovo "presjecište" - tref sedmorka. Lako je izračunati da ovaj događaj odgovara 12 elementarnih ishoda (9 tref karata + 3 preostale sedmice).
Događaj je da će doći sutra u 12.00 BAREM JEDAN od skupnih zajedničkih događaja, naime:
– ili će biti samo kiša / samo grmljavina / samo sunce;
– ili će se dogoditi samo neki par događaja (kiša + grmljavina / kiša + sunce / grmljavina + sunce);
– ili će se sva tri događaja pojaviti istovremeno.
Odnosno, događaj uključuje 7 mogućih ishoda.
Drugi stup algebre događaja:
2) Posao dva događaja i nazvati događaj koji se sastoji od zajedničkog događanja tih događaja, drugim riječima, množenje znači da će pod nekim okolnostima biti I događaj, I događaj . Slična tvrdnja vrijedi i za veći broj događaja, npr. djelo implicira da će se pod određenim uvjetima dogoditi I događaj, I događaj, I događaj, …, I događaj .
Razmotrimo test u kojem se bacaju dva novčića i sljedeći događaji:
– glave će se pojaviti na 1. novčiću;
– 1. novčić će ispasti glave;
– glave će se pojaviti na 2. novčiću;
– 2. novčić će ispasti glave.
Zatim:
I na 2.) pojavit će se glave;
– događaj je da je na obje kovanice (1 I na 2.) to će biti glave;
– događaj je da će 1. novčić ispasti glave I 2. novčić je rep;
– događaj je da će 1. novčić ispasti glave I na 2. novčiću je orao.
Lako je vidjeti da događaji nekompatibilan (jer npr. ne mogu biti 2 glave i 2 repa u isto vrijeme) i oblik puna grupa (budući da je uzeto u obzir svi mogući ishodi bacanja dva novčića). Rezimirajmo ove događaje: . Kako protumačiti ovaj unos? Vrlo jednostavno – množenje znači logički veznik I, i dodatak – ILI. Dakle, iznos je lako pročitati razumljivim ljudskim jezikom: „pojavit će se dvije glave ili dvije glave ili 1. novčić će ispasti glave I na 2. repovima ili 1. novčić će ispasti glave I na 2. novčiću je orao"
Ovo je bio primjer kada u jednom testu radi se o nekoliko predmeta, u ovom slučaju o dva novčića. Još jedna uobičajena shema u praktičnim problemima je ponovno testiranje , kada se, na primjer, ista kocka baci 3 puta zaredom. Kao demonstraciju, razmotrite sljedeće događaje:
– u 1. bacanju dobit ćete 4 boda;
– u 2. bacanju dobit ćete 5 bodova;
– u 3. bacanju dobit ćete 6 bodova.
Zatim događaj 
je da ćete u 1. bacanju dobiti 4 boda I u 2. bacanju dobit ćete 5 bodova I na 3. bacanju ćete dobiti 6 bodova. Očito je da će u slučaju kocke biti znatno više kombinacija (ishoda) nego da bacamo novčić.
...Razumijem da možda primjeri koji se analiziraju nisu previše zanimljivi, ali to su stvari koje se često susreću u problemima i od njih se ne može pobjeći. Osim novčića, kocke i špila karata čekaju vas urne s raznobojnim kuglicama, nekoliko anonimnih ljudi koji pucaju u metu i neumorni radnik koji neprestano izbacuje neke detalje =)
Vjerojatnost događaja
Vjerojatnost događaja je središnji koncept teorije vjerojatnosti. ...Ubitačno logično, ali negdje smo morali početi =) Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji:
;
Geometrijska definicija vjerojatnosti
;
Statistička definicija vjerojatnosti
.
U ovom ću se članku usredotočiti na klasičnu definiciju vjerojatnosti, koja se najčešće koristi u obrazovnim zadacima.
Oznake. Vjerojatnost određenog događaja označena je velikim latiničnim slovom, a sam događaj uzet je u zagradu i služi kao svojevrsni argument. Na primjer:
Također, malo slovo se naširoko koristi za označavanje vjerojatnosti. Konkretno, možete napustiti glomazne oznake događaja i njihove vjerojatnosti 
u korist sljedećeg stila::
– vjerojatnost da će bacanje novčića rezultirati glavama;
– vjerojatnost da će bacanje kocke rezultirati s 5 bodova;
– vjerojatnost da će iz špila biti izvučena karta tref boje.
Ova je opcija popularna pri rješavanju praktičnih problema jer vam omogućuje značajno smanjenje snimanja rješenja. Kao iu prvom slučaju, ovdje je prikladno koristiti indekse/superskripte koji govore.
Svi su odavno pogodili brojeve koje sam upravo zapisao gore, a sada ćemo saznati kako su ispali:
Klasična definicija vjerojatnosti:
Vjerojatnost da se događaj dogodi u određenom testu naziva se omjer, gdje je:
– ukupan broj svih jednako moguće, elementarni ishode ovog testa, koji oblikuju puna grupa događaja;
- količina elementarni ishodi, povoljan događaj.
Prilikom bacanja novčića mogu ispasti glave ili repići - ovi se događaji formiraju puna grupa, dakle, ukupan broj ishoda; u isto vrijeme, svaki od njih elementarni I jednako moguće. Događaj favorizira ishod (glave). Prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti: 
.
Slično, kao rezultat bacanja kocke, mogu se pojaviti elementarni podjednako mogući ishodi, tvoreći potpunu grupu, a događaj je favoriziran jednim ishodom (bacanje petice). Zato: 
OVO SE NE PRIHVAĆA RADITI (iako nije zabranjeno procjenjivati postotke u glavi).
Uobičajeno je koristiti razlomke jedinice, i, očito, vjerojatnost može varirati unutar . Štoviše, ako je , tada je događaj nemoguće, ako - pouzdan, a ako , tada govorimo o slučajan događaj.
! Ako tijekom rješavanja bilo kojeg problema dobijete neku drugu vrijednost vjerojatnosti, potražite pogrešku!
U klasičnom pristupu određivanju vjerojatnosti, ekstremne vrijednosti (nula i jedan) dobivaju se potpuno istim razmišljanjem. Neka se nasumično izvuče 1 kuglica iz određene urne koja sadrži 10 crvenih kuglica. Razmotrite sljedeće događaje:
u jednom pokusu neće se dogoditi događaj male mogućnosti.
Zbog toga nećete osvojiti jackpot na lutriji ako je vjerojatnost tog događaja, recimo, 0,00000001. Da, da, to ste vi - s jedinom ulaznicom u određenoj tiraži. No, veći broj ulaznica i veći broj izvlačenja neće vam puno pomoći. ...Kad drugima pričam o tome, gotovo uvijek čujem kao odgovor: "ali netko pobjeđuje." U redu, onda napravimo sljedeći eksperiment: danas ili sutra kupite srećku za bilo koju lutriju (ne odgađajte!). A ako osvojite... pa, barem više od 10 kilorublja, svakako se prijavite - objasnit ću vam zašto se to dogodilo. Za postotak, naravno =) =)
Ali ne treba biti žalostan, jer postoji suprotno načelo: ako je vjerojatnost nekog događaja vrlo blizu jedinici, tada će u jednom pokušaju gotovo sigurno dogodit će se. Stoga, prije skoka s padobranom, nema potrebe za strahom, naprotiv, nasmijte se! Uostalom, moraju se dogoditi potpuno nezamislive i fantastične okolnosti da bi oba padobrana otkazala.
Iako je sve ovo lirika, jer ovisno o sadržaju događaja prvi princip može ispasti vedar, a drugi – tužni; ili su čak oba paralelna.
Možda je to dovoljno za sada, na nastavi Klasični problemi vjerojatnosti izvući ćemo maksimum iz formule. U završnom dijelu ovog članka razmotrit ćemo jedan važan teorem:
Zbroj vjerojatnosti događaja koji čine potpunu skupinu jednak je jedan. Grubo govoreći, ako događaji čine potpunu skupinu, tada će se sa 100% vjerojatnošću jedan od njih dogoditi. U najjednostavnijem slučaju, potpunu skupinu čine suprotni događaji, na primjer:
– kao rezultat bacanja novčića pojavit će se glave;
– rezultat bacanja novčića bit će glave.
Prema teoremu: 
Potpuno je jasno da su ovi događaji jednako mogući i da su im vjerojatnosti iste 
.
Zbog jednakosti vjerojatnosti često se nazivaju jednako mogući događaji jednako vjerojatno . A evo i jezičke za određivanje stupnja alkoholiziranosti =)
Primjer s kockom: događaji su suprotni, dakle 
.
Teorem koji se razmatra prikladan je jer vam omogućuje brzo pronalaženje vjerojatnosti suprotnog događaja. Dakle, ako je poznata vjerojatnost da je petica bačena, lako je izračunati vjerojatnost da nije bačena:
Ovo je puno jednostavnije od zbrajanja vjerojatnosti pet osnovnih ishoda. Za elementarne ishode, usput, ovaj teorem je također istinit:
. Na primjer, ako je vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu, onda je vjerojatnost da će promašiti.
! U teoriji vjerojatnosti nepoželjno je koristiti slova u bilo koje druge svrhe.
U čast Dana znanja, neću zadavati domaću zadaću =), ali je vrlo važno da možete odgovoriti na sljedeća pitanja:
– Koje vrste događaja postoje?
– Što je slučajnost i jednaka mogućnost događaja?
– Kako shvaćate pojmove kompatibilnost/nespojivost događaja?
– Što je potpuna skupina događaja, suprotnih događaja?
– Što znači zbrajanje i množenje događaja?
– Što je bit klasične definicije vjerojatnosti?
– Zašto je teorem za zbrajanje vjerojatnosti događaja koji tvore potpunu grupu koristan?
Ne, ne trebate ništa trpati, ovo su samo osnove teorije vjerojatnosti - neka vrsta početnice koja će vam brzo stati u glavu. A kako bi se to dogodilo što je prije moguće, predlažem da se upoznate s lekcijama
Teorija vjerojatnosti i matematička statistika
1. TEORIJSKI DIO
1. Konvergencija nizova slučajnih varijabli i distribucija vjerojatnosti
U teoriji vjerojatnosti imamo posla s različitim tipovima konvergencije slučajnih varijabli. Razmotrimo sljedeće glavne tipove konvergencije: po vjerojatnosti, s vjerojatnošću jedan, po redu p, po distribuciji.
Neka su,... slučajne varijable definirane na nekom prostoru vjerojatnosti (, F, P).
Definicija 1. Za niz slučajnih varijabli, ... kaže se da konvergira u vjerojatnosti prema slučajnoj varijabli (oznaka:), ako je za bilo koji > 0
Definicija 2. Za niz slučajnih varijabli, ... kaže se da konvergira s vjerojatnošću jedan (gotovo sigurno, gotovo posvuda) prema slučajnoj varijabli ako
oni. ako skup ishoda za koje () ne konvergiraju u () ima nultu vjerojatnost.
Ovaj tip konvergencije označava se na sljedeći način: , ili, ili.
Definicija 3. Niz slučajnih varijabli ... naziva se konvergent srednje vrijednosti reda p, 0< p < , если
Definicija 4. Za niz slučajnih varijabli... kaže se da konvergira u distribuciji prema slučajnoj varijabli (oznaka:) ako za bilo koju ograničenu kontinuiranu funkciju
Konvergencija u distribuciji slučajnih varijabli definirana je samo u smislu konvergencije njihovih funkcija distribucije. Stoga ima smisla govoriti o ovoj vrsti konvergencije čak i kada su slučajne varijable navedene u različitim prostorima vjerojatnosti.
Teorem 1.
a) Da bi bilo (P-a.s.), potrebno je i dovoljno da za bilo koje > 0
) Niz () je fundamentalan s vjerojatnošću jedan ako i samo ako za bilo koji > 0.
Dokaz.
a) Neka je A = (: |- | ), A = A. Tada
Stoga je izjava a) rezultat sljedećeg lanca implikacija:
P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,
n 0, > 0.) Označimo = (: ), = . Tada (: (()) nije fundamentalno ) = i na isti način kao u a) pokazuje se da (: (()) nije fundamentalno ) = 0 P( ) 0, n.
Teorem je dokazan
Teorem 2. (Cauchyjev kriterij za gotovo sigurnu konvergenciju)
Da bi niz slučajnih varijabli () bio konvergentan s vjerojatnošću jedan (nekoj slučajnoj varijabli), potrebno je i dovoljno da bude fundamentalan s vjerojatnošću jedan.
Dokaz.
Ako, onda +
iz čega slijedi nužnost uvjeta teorema.
Sada neka niz () bude fundamentalan s vjerojatnošću jedan. Označimo L = (: (()) nije fundamentalno). Tada je za sve niz brojeva () fundamentalan i, prema Cauchyjevom kriteriju za nizove brojeva, () postoji. Stavimo
Ova definirana funkcija je slučajna varijabla i.
Teorem je dokazan.
2 Metoda karakterističnih funkcija
Metoda karakterističnih funkcija jedan je od glavnih alata analitičkog aparata teorije vjerojatnosti. Uz slučajne varijable (uzimajući realne vrijednosti), teorija karakterističnih funkcija zahtijeva korištenje slučajnih varijabli složenih vrijednosti.
Mnoge definicije i svojstva koja se odnose na slučajne varijable lako se prenose na složeni slučaj. Dakle, matematičko očekivanje M ?slučajna varijabla kompleksne vrijednosti ?=?+?? smatra se sigurnim ako su određena matematička očekivanja M ?ih ?. U ovom slučaju, po definiciji pretpostavljamo M ?= M ? + ?M ?. Iz definicije neovisnosti slučajnih elemenata proizlazi da kompleksno vrijedne veličine ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2neovisni ako i samo ako su parovi slučajnih varijabli neovisni ( ?1 , ?1) i ( ?2 , ?2), ili, što je isto, neovisno ?-algebra F ?1, ?1 i F ?2, ?2.
Uz prostor L 2realne slučajne varijable s konačnim sekundnim momentom, možemo uvesti Hilbertov prostor slučajnih varijabli kompleksnih vrijednosti ?=?+?? s M | ?|2?|2= ?2+?2, i skalarni produkt ( ?1 , ?2)= M ?1?2¯ , Gdje ?2¯ - kompleksno konjugirana slučajna varijabla.
U algebarskim operacijama, vektori Rn se tretiraju kao algebarski stupci,
Kao vektori reda, a* - (a1,a2,…,an). Ako je Rn , tada će se njihov skalarni produkt (a,b) shvatiti kao veličina. Jasno je da
Ako su aRn i R=||rij|| je onda matrica reda nhn
Definicija 1. Neka je F = F(x1,....,xn) - n-dimenzionalna funkcija distribucije u (, ()). Njegova karakteristična funkcija naziva se funkcija
Definicija 2 . Ako? = (?1,…,?n) je slučajni vektor definiran na prostoru vjerojatnosti s vrijednostima u, tada se njegova karakteristična funkcija naziva funkcija
gdje je F? = F?(h1,….,hn) - funkcija vektorske distribucije?=(?1,…, ?n).
Ako funkcija distribucije F(x) ima gustoću f = f(x), tada
U ovom slučaju, karakteristična funkcija nije ništa drugo nego Fourierova transformacija funkcije f(x).
Iz (3) slijedi da se karakteristična funkcija ??(t) slučajnog vektora također može definirati jednakošću
Osnovna svojstva karakterističnih funkcija (u slučaju n=1).
Neka bude? = ?(?) - slučajna varijabla, F? =F? (x) je njegova distribucijska funkcija i karakteristična je funkcija.
Treba napomenuti da ako, onda.
Doista,
pri čemu smo iskoristili činjenicu da je matematičko očekivanje umnoška neovisnih (omeđenih) slučajnih varijabli jednako umnošku njihovih matematičkih očekivanja.
Svojstvo (6) je ključno pri dokazivanju graničnih teorema za sume nezavisnih slučajnih varijabli metodom karakterističnih funkcija. S tim u vezi, distribucijska funkcija se izražava kroz distribucijske funkcije pojedinih članova na mnogo složeniji način, naime, gdje znak * označava konvoluciju distribucija.
Svaka funkcija distribucije u može se pridružiti slučajnoj varijabli koja ima tu funkciju kao funkciju distribucije. Stoga se pri prikazu svojstava karakterističnih funkcija možemo ograničiti na razmatranje karakterističnih funkcija slučajnih varijabli.
Teorem 1. Neka bude? - slučajna varijabla s funkcijom raspodjele F=F(x) i - njezina karakteristična funkcija.
Događaju se sljedeća svojstva:
) je uniformno neprekidan u;
) je funkcija realne vrijednosti ako i samo ako je distribucija F simetrična
)ako za neki n? 1, onda za sve postoje izvodnice i
)Ako postoji i konačan je, tada
) Neka za sve n ? 1 i
onda za sve |t| Sljedeći teorem pokazuje da karakteristična funkcija jednoznačno određuje funkciju distribucije. Teorem 2 (jedinstvenost). Neka su F i G dvije funkcije distribucije s istom karakterističnom funkcijom, tj. za sve Teorem kaže da se funkcija distribucije F = F(x) može jedinstveno obnoviti iz svoje karakteristične funkcije. Sljedeći teorem daje eksplicitan prikaz funkcije F u smislu. Teorem 3 (formula generalizacije). Neka je F = F(x) funkcija distribucije i neka je njezina karakteristična funkcija. a) Za bilo koje dvije točke a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна, ) Ako tada funkcija raspodjele F(x) ima gustoću f(x), Teorem 4. Da bi komponente slučajnog vektora bile neovisne, potrebno je i dovoljno da njegova karakteristična funkcija bude umnožak karakterističnih funkcija komponenti: Bochner-Khinchinov teorem .
Neka je kontinuirana funkcija. Da bi bila karakteristična potrebno je i dovoljno da bude nenegativno određena, odnosno za bilo koje realne t1, ... , tn i bilo koje kompleksne brojeve Teorem 5. Neka je karakteristična funkcija slučajne varijable. a) Ako je za neke, onda je slučajna varijabla rešetka sa korakom, tj ) Ako je za dvije različite točke, gdje je iracionalan broj, onda je to slučajna varijabla? je degeneriran: gdje je a neka konstanta. c) Ako, onda je to slučajna varijabla? degenerirati. 1.3 Središnji granični teorem za neovisne identično distribuirane slučajne varijable Neka je () niz neovisnih, identično raspoređenih slučajnih varijabli. Očekivanje M= a, varijanca D= , S = , a F(h) je funkcija distribucije normalnog zakona s parametrima (0,1). Uvedimo još jedan niz slučajnih varijabli Teorema. Ako je 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х (). U tom slučaju niz () se naziva asimptotski normalan. Iz činjenice da je M = 1 i iz teorema o kontinuitetu slijedi da, uz slabu konvergenciju, FM f() Mf() za bilo koje kontinuirano ograničeno f, postoji i konvergencija M f() Mf() za bilo koje kontinuirano f , tako da je |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь. Dokaz. Uniformna konvergencija ovdje je posljedica slabe konvergencije i kontinuiteta F(x). Nadalje, bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti a = 0, jer bismo inače mogli uzeti u obzir niz (), a niz () se ne bi promijenio. Dakle, da bi se dokazala tražena konvergencija dovoljno je pokazati da je (t) e kada je a = 0. Imamo (t) = , gdje je =(t). Kako M postoji, onda dekompozicija postoji i vrijedi Prema tome, za n Teorem je dokazan. 1.4 Glavni zadaci matematičke statistike, njihov kratak opis Utvrđivanje obrazaca koji upravljaju masovnim slučajnim pojavama temelji se na proučavanju statističkih podataka – rezultata promatranja. Prvi zadatak matematičke statistike je ukazati na načine prikupljanja i grupiranja statističkih informacija. Drugi zadatak matematičke statistike je razviti metode za analizu statističkih podataka, ovisno o ciljevima proučavanja. Pri rješavanju bilo kojeg problema matematičke statistike postoje dva izvora informacija. Prvi i najodređeniji (eksplicitni) je rezultat opažanja (eksperiment) u obliku uzorka iz neke opće populacije skalarne ili vektorske slučajne varijable. U tom slučaju veličina uzorka n može biti fiksna ili se može povećavati tijekom eksperimenta (tj. mogu se koristiti tzv. postupci sekvencijalne statističke analize). Drugi izvor su sve apriorne informacije o svojstvima predmeta koji se proučava, akumulirane do sadašnjeg trenutka. Formalno, količina apriornih informacija ogleda se u početnom statističkom modelu koji se bira prilikom rješavanja problema. No, nema potrebe govoriti o približnom određivanju u uobičajenom smislu vjerojatnosti nekog događaja na temelju rezultata pokusa. Pod približnim određivanjem bilo koje količine obično se podrazumijeva da je moguće naznačiti granice pogreške unutar kojih se pogreška neće pojaviti. Učestalost događaja je slučajna za bilo koji broj eksperimenata zbog slučajnosti rezultata pojedinačnih eksperimenata. Zbog slučajnosti rezultata pojedinih eksperimenata, učestalost može značajno odstupati od vjerojatnosti događaja. Stoga, definiranjem nepoznate vjerojatnosti događaja kao učestalosti tog događaja tijekom velikog broja eksperimenata, ne možemo naznačiti granice pogreške i jamčiti da pogreška neće prijeći te granice. Stoga se u matematičkoj statistici obično ne govori o približnim vrijednostima nepoznatih veličina, već o njihovim prikladnim vrijednostima, procjenama. Problem procjene nepoznatih parametara javlja se u slučajevima kada je funkcija distribucije stanovništva poznata do parametra. U tom slučaju potrebno je pronaći statistiku čija bi se uzorkovana vrijednost za razmatranu implementaciju xn slučajnog uzorka mogla smatrati približnom vrijednošću parametra. Statistika čija je vrijednost uzorka za bilo koju realizaciju xn uzeta kao približna vrijednost nepoznatog parametra naziva se točkasta procjena ili jednostavno procjena, i vrijednost je točkaste procjene. Točkasta procjena mora zadovoljiti vrlo specifične zahtjeve kako bi njezina vrijednost uzorka odgovarala stvarnoj vrijednosti parametra. Moguć je i drugi pristup rješavanju problema koji se razmatra: pronaći takve statistike i, s vjerojatnošću? vrijedi sljedeća nejednakost: U ovom slučaju govorimo o intervalnoj procjeni za. Interval naziva se interval pouzdanosti za s koeficijentom pouzdanosti?. Nakon procjene jedne ili druge statističke karakteristike na temelju rezultata eksperimenata, postavlja se pitanje: koliko je konzistentna pretpostavka (hipoteza) da nepoznata karakteristika ima upravo onu vrijednost koja je dobivena kao rezultat njene procjene s eksperimentalnim podacima? Tako nastaje druga važna klasa problema matematičke statistike - problemi provjere hipoteza. U određenom smislu, problem testiranja statističke hipoteze je obrnut od problema procjene parametra. Kada procjenjujemo parametar, ne znamo ništa o njegovoj stvarnoj vrijednosti. Prilikom testiranja statističke hipoteze, iz nekog razloga se pretpostavlja da je njezina vrijednost poznata i potrebno je tu pretpostavku provjeriti na temelju rezultata eksperimenta. U mnogim problemima matematičke statistike razmatraju se nizovi slučajnih varijabli, koji u jednom ili drugom smislu konvergiraju do neke granice (slučajne varijable ili konstante), kada. Stoga su glavni zadaci matematičke statistike razvoj metoda za pronalaženje procjena i proučavanje točnosti njihove aproksimacije karakteristikama koje se procjenjuju te razvoj metoda za testiranje hipoteza. 5. Testiranje statističkih hipoteza: osnovni pojmovi Zadatak razvoja racionalnih metoda za provjeru statističkih hipoteza jedan je od glavnih zadataka matematičke statistike. Statistička hipoteza (ili jednostavno hipoteza) je svaka izjava o vrsti ili svojstvima distribucije slučajnih varijabli opaženih u eksperimentu. Neka postoji uzorak koji je realizacija slučajnog uzorka iz opće populacije čija gustoća distribucije ovisi o nepoznatom parametru. Statističke hipoteze o nepoznatoj stvarnoj vrijednosti parametra nazivaju se parametarske hipoteze. Štoviše, ako je skalar, tada govorimo o jednoparametarskim hipotezama, a ako je vektor, onda govorimo o višeparametarskim hipotezama. Statistička hipoteza se naziva jednostavnom ako ima oblik gdje je određena vrijednost parametra. Statistička hipoteza se naziva složenom ako ima oblik gdje je skup vrijednosti parametara koji se sastoji od više od jednog elementa. U slučaju testiranja dviju jednostavnih statističkih hipoteza oblika gdje su dvije zadane (različite) vrijednosti parametra, prva hipoteza se obično naziva glavna, a druga se naziva alternativna ili konkurentska hipoteza. Kriterij, odnosno statistički kriterij, za provjeru hipoteza je pravilo prema kojem se na temelju uzorka podataka donosi odluka o valjanosti prve ili druge hipoteze. Kriterij je određen pomoću kritičnog skupa, koji je podskup prostora uzorka slučajnog uzorka. Odluka se donosi na sljedeći način: ) ako uzorak pripada kritičnom skupu, odbaciti glavnu hipotezu i prihvatiti alternativnu hipotezu; ) ako uzorak ne pripada kritičnom skupu (tj. pripada komplementu skupa prostoru uzorka), tada se alternativna hipoteza odbacuje, a glavna hipoteza prihvaća. Pri korištenju bilo kojeg kriterija moguće su sljedeće vrste pogrešaka: 1) prihvatiti hipotezu kada je istinita - pogreška prve vrste; )prihvaćanje hipoteze kada je istinita je pogreška tipa II. Vjerojatnosti počinjenja pogrešaka prve i druge vrste označene su sa: gdje je vjerojatnost događaja pod uvjetom da je hipoteza istinita. Navedene vjerojatnosti izračunavaju se pomoću funkcije gustoće distribucije slučajnog uzorka: Vjerojatnost počinjenja pogreške tipa I naziva se i razina značajnosti kriterija. Vrijednost jednaka vjerojatnosti odbacivanja glavne hipoteze kada je istinita naziva se snaga testa. 1.6 Kriterij neovisnosti Postoji uzorak ((XY), ..., (XY)) iz dvodimenzionalne distribucije L s nepoznatom funkcijom distribucije za koju je potrebno provjeriti hipotezu H: , gdje su neke jednodimenzionalne funkcije distribucije. Jednostavan test prilagodbe za hipotezu H može se konstruirati na temelju metodologije. Ova tehnika se koristi za diskretne modele s konačnim brojem ishoda, pa se dogovorimo da slučajna varijabla uzima konačan broj s nekih vrijednosti koje ćemo označiti slovima, a druga komponenta - k vrijednosti. Ako izvorni model ima drugačiju strukturu, tada se moguće vrijednosti slučajnih varijabli preliminarno grupiraju zasebno u prvu i drugu komponentu. U ovom slučaju skup je podijeljen na s intervala, skup vrijednosti na k intervala, a sam skup vrijednosti na N=sk pravokutnika. Označimo s brojem opažanja para (broj elemenata uzorka koji pripadaju pravokutniku, ako su podaci grupirani), tako da. Prikladno je rezultate promatranja složiti u obliku tablice kontingencije dvaju predznaka (tablica 1.1). U primjenama i obično označava dva kriterija po kojima se klasificiraju rezultati promatranja. Neka je P, i=1,…,s, j=1,…,k. Tada hipoteza neovisnosti znači da postoje s+k konstante takve da i, tj. Tablica 1.1 Iznos . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Iznos . . .n Dakle, hipoteza H se svodi na tvrdnju da su frekvencije (njihov broj je N = sk) raspoređene prema polinomnom zakonu s vjerojatnostima ishoda zadane specifične strukture (vektor vjerojatnosti ishoda p određen je vrijednostima r = s + k-2 nepoznatih parametara. Kako bismo testirali ovu hipotezu, pronaći ćemo procjene najveće vjerojatnosti za nepoznate parametre koji određuju shemu koja se razmatra. Ako je nulta hipoteza točna, tada funkcija vjerojatnosti ima oblik L(p)= gdje množitelj c ne ovisi o nepoznatim parametrima. Odavde, korištenjem Lagrangeove metode neodređenih množitelja, dobivamo da tražene procjene imaju oblik Prema tome, statistika L() at, budući da je broj stupnjeva slobode u graničnoj distribuciji jednak N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1). Dakle, za dovoljno veliki n, može se koristiti sljedeće pravilo testiranja hipoteze: hipoteza H se odbacuje ako i samo ako t statistička vrijednost izračunata iz stvarnih podataka zadovoljava nejednakost Ovaj kriterij ima asimptotski (na) zadanoj razini značajnosti i naziva se kriterij neovisnosti. 2. PRAKTIČNI DIO 1 Rješenja zadataka o vrstama konvergencije 1. Dokažite da konvergencija gotovo sigurno implicira konvergenciju u vjerojatnosti. Navedite testni primjer da pokažete da obrnuto nije točno. Riješenje. Neka niz slučajnih varijabli gotovo sigurno konvergira prema slučajnoj varijabli x. Dakle, za bilo koga? > 0 Od tad a iz konvergencije xn u x gotovo sigurno slijedi da xn konvergira u x po vjerojatnosti, jer u ovom slučaju Ali suprotna izjava nije istinita. Neka je niz neovisnih slučajnih varijabli s istom funkcijom distribucije F(x), jednak nuli na x? 0 i jednaki za x > 0. Promotrimo niz Ovaj niz konvergira prema nuli u vjerojatnosti, jer teži nuli za bilo koji fiksni? I. Međutim, gotovo sigurno se neće dogoditi konvergencija na nulu. Stvarno teži jedinici, odnosno s vjerojatnošću 1 za bilo koji i n postojat će realizacije u nizu koje prelaze ?. Imajte na umu da u prisutnosti nekih dodatnih uvjeta nametnutih veličinama xn, konvergencija u vjerojatnosti implicira konvergenciju gotovo sigurno. Neka je xn monoton niz. Dokažite da u ovom slučaju konvergencija xn prema x u vjerojatnosti povlači za sobom konvergenciju xn prema x s vjerojatnošću 1. Riješenje. Neka je xn monotono opadajući niz, tj. Da bismo pojednostavili svoje razmišljanje, pretpostavit ćemo da je x º 0, xn ³ 0 za sve n. Neka xn vjerojatno konvergira prema x, ali do konvergencije gotovo sigurno neće doći. Postoji li onda? > 0, tako da za sve n Ali ono što je rečeno također znači da za sve n što je u suprotnosti s konvergencijom xn prema x u vjerojatnosti. Dakle, za monotoni niz xn, koji po vjerojatnosti konvergira prema x, također konvergira s vjerojatnošću 1 (gotovo sigurno). Neka niz xn konvergira prema x po vjerojatnosti. Dokažite da je iz ovog niza moguće izolirati niz koji konvergira k x s vjerojatnošću 1 at. Riješenje. Dopustiti biti neki niz pozitivnih brojeva, i neka i biti pozitivni brojevi tako da niz. Konstruirajmo niz indeksa n1 Zatim serija Budući da niz konvergira, onda za bilo koji? > 0 ostatak niza teži nuli. Ali tada teži nuli i Dokažite da konvergencija u prosjeku bilo kojeg pozitivnog reda implicira konvergenciju u vjerojatnosti. Navedite primjer koji pokazuje da obrnuto nije točno. Riješenje. Neka niz xn konvergira do vrijednosti x u prosjeku reda p > 0, tj Upotrijebimo generaliziranu Chebyshevljevu nejednakost: za proizvoljne? > 0 i p > 0 Usmjeravajući i uzimajući u obzir to, dobivamo to to jest, xn konvergira prema x po vjerojatnosti. Međutim, konvergencija u vjerojatnosti ne povlači za sobom konvergenciju u prosjeku reda p > 0. To je ilustrirano sljedećim primjerom. Razmotrimo prostor vjerojatnosti áW, F, Rñ, gdje je F = B Borelova s-algebra, R Lebesgueova mjera. Definirajmo niz slučajnih varijabli na sljedeći način: Niz xn konvergira prema 0 po vjerojatnosti, jer ali za svaki p > 0 odnosno neće konvergirati u prosjeku. Neka, što za sve n . Dokažite da u tom slučaju xn konvergira k x u srednjem kvadratu. Riješenje. Imajte na umu da... Uzmimo procjenu za. Razmotrimo slučajnu varijablu. Neka bude? - proizvoljan pozitivan broj. Zatim na i na. Ako, onda i. Stoga, . A zato? proizvoljno mali i tada na, to jest, u srednjem kvadratu. Dokažite da ako xn konvergira prema x po vjerojatnosti, tada dolazi do slabe konvergencije. Navedite testni primjer da pokažete da obrnuto nije točno. Riješenje. Dokažimo da ako, onda je u svakoj točki x, koja je točka kontinuiteta (ovo je nužan i dovoljan uvjet za slabu konvergenciju), funkcija raspodjele vrijednosti xn, i - vrijednosti x. Neka je x točka kontinuiteta funkcije F. Ako, tada je barem jedna od nejednakosti ili istinita. Zatim Slično, za barem jednu od nejednakosti ili i Ako, onda za onoliko malo koliko želite? > 0 postoji N takav da za sve n > N S druge strane, ako je x točka kontinuiteta, je li moguće pronaći ovako nešto? > 0, što za proizvoljno male Dakle, koliko god želite? i postoji N takav da je za n >N ili, što je isto, To znači da se konvergencija odvija u svim točkama kontinuiteta. Prema tome, slaba konvergencija slijedi iz konvergencije u vjerojatnosti. Obratna tvrdnja, općenito govoreći, ne vrijedi. Da bismo to provjerili, uzmimo niz slučajnih varijabli koje nisu jednake konstantama s vjerojatnošću 1 i imaju istu funkciju distribucije F(x). Pretpostavljamo da su za svih n količine i neovisne. Očito dolazi do slabe konvergencije, budući da svi članovi niza imaju istu funkciju distribucije. Smatrati: |Iz neovisnosti i identične distribucije vrijednosti proizlazi da Odaberimo između svih funkcija distribucije nedegeneriranih slučajnih varijabli takvu F(x) koja će biti različita od nule za sve dovoljno male ?. Tada ne teži nuli s neograničenim rastom n i neće doći do konvergencije u vjerojatnosti. 7. Neka postoji slaba konvergencija, gdje uz vjerojatnost 1 postoji konstanta. Dokažite da će u tom slučaju konvergirati prema in vjerojatnosti. Riješenje. Neka je vjerojatnost 1 jednaka a. Tada slaba konvergencija znači konvergenciju za bilo koji. Pošto, zatim na i na. Odnosno, na i na. Slijedi da za bilo koga? > 0 vjerojatnosti teže nuli pri. To znači da teži nuli pri, odnosno konvergira prema vjerojatnosti. 2.2 Rješavanje problema na centralnom grijanju Vrijednost gama funkcije G(x) pri x= izračunava se Monte Carlo metodom. Nađimo minimalni broj potrebnih testova da s vjerojatnošću od 0,95 možemo očekivati da će relativna pogreška izračuna biti manja od jedan posto. Za točnost koju imamo Poznato je da Izmjenom (1) dolazimo do integrala po konačnom intervalu: Kod nas, dakle Kao što se može vidjeti, može se predstaviti u obliku gdje, i ravnomjerno je raspoređen na. Neka se provedu statistički testovi. Tada je statistički analog kvantitet gdje su neovisne slučajne varijable s uniformnom distribucijom. pri čemu Iz CLT-a slijedi da je asimptotski normalan s parametrima. To znači da minimalni broj testova koji s vjerojatnošću osigurava relativnu pogrešku izračuna nije veći od jednakog. Razmatran je niz od 2000 neovisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli s matematičkim očekivanjem 4 i varijancom 1,8. Aritmetička sredina ovih veličina je slučajna varijabla. Odredite vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu (3,94; 4,12). Neka je …,… niz neovisnih slučajnih varijabli koje imaju istu distribuciju s M=a=4 i D==1,8. Tada je CLT primjenjiv na niz (). Slučajna vrijednost Vjerojatnost da će uzeti vrijednost u intervalu (): Za n=2000, 3,94 i 4,12 dobivamo 3. Testiranje hipoteza pomoću kriterija neovisnosti Kao rezultat istraživanja utvrđeno je da 782 svijetlookih očeva imaju i svijetlooke sinove, a 89 svijetlookih očeva ima tamnooke sinove. 50 tamnookih očeva također ima tamnooke sinove, a 79 tamnookih očeva ima svijetlooke sinove. Postoji li veza između boje očiju očeva i boje očiju njihovih sinova? Uzmite da je razina pouzdanosti 0,99. Tablica 2.1 Djeca Očevi SumaSvijetlookiTamnookiSvijetlooki78279861Tamnooki8950139Zbroj8711291000 H: Nema veze između boje očiju djece i očeva. H: Postoji veza između boje očiju djece i očeva. s=k=2 =90.6052 sa 1 stupnjem slobode Izračuni su napravljeni u Mathematici 6. Kako je > , onda hipotezu H o nepostojanju veze između boje očiju očeva i djece na razini značajnosti treba odbaciti i prihvatiti alternativnu hipotezu H. Navedeno je da učinak lijeka ovisi o načinu primjene. Provjerite ovu tvrdnju pomoću podataka prikazanih u tablici. 2.2 Uzmite razinu pouzdanosti 0,95. Tablica 2.2 Rezultat Metoda primjene ABC Nepovoljno 111716 Povoljno 202319 Riješenje. Da bismo riješili ovaj problem, koristit ćemo tablicu kontingencije od dvije karakteristike. Tablica 2.3 Rezultat Način prijave Iznos ABC Nepovoljno 11171644 Povoljno 20231962 Iznos 314035106 H: učinak lijekova ne ovisi o načinu primjene H: učinak lijekova ovisi o načinu primjene Statistika se izračunava pomoću sljedeće formule s=2, k=3, =0,734626 sa 2 stupnja slobode. Izračuni napravljeni u Mathematici 6 Iz distribucijskih tablica nalazimo da. Jer< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять. Zaključak U ovom radu prikazani su teorijski izračuni iz odjeljka “Kriterij neovisnosti”, kao i “Granični teoremi teorije vjerojatnosti”, kolegija “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika”. Tijekom rada u praksi je ispitan kriterij neovisnosti; Također, za zadane nizove nezavisnih slučajnih varijabli provjerena je ispunjenost središnjeg graničnog teorema. Ovaj rad mi je pomogao poboljšati poznavanje ovih dijelova teorije vjerojatnosti, rad s literarnim izvorima i čvrsto ovladati tehnikom provjere kriterija neovisnosti. probabilistic statistička hipoteza teorem Popis poveznica 1. Zbirka zadataka iz teorije vjerojatnosti s rješenjima. uč. dodatak / Ed. V.V. Semenets. - Kharkov: KhTURE, 2000. - 320 str. Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. - K.: Vishcha škola, 1979. - 408 str. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Matematička statistika: Udžbenik. dodatak za fakultete. - M.: Viši. škola, 1984. - 248 str., . Matematička statistika: Udžbenik. za sveučilišta / V.B. Gorjainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova i drugi; ur. V.S. Zarubina, A.P. Kriščenko. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2001. - 424 str. Trebate pomoć u proučavanju teme?
Naši stručnjaci savjetovat će vam ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju. Mnogi se, kada se suoče s konceptom “teorije vjerojatnosti”, uplaše, misleći da je to nešto neodoljivo, vrlo složeno. Ali zapravo sve nije tako tragično. Danas ćemo pogledati osnovni koncept teorije vjerojatnosti i naučiti kako rješavati probleme koristeći konkretne primjere. Što proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Bilježi uzorke i količine. Znanstvenici su se prvi put zainteresirali za ovo pitanje još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni pojam teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili opažanjem. Ali što je iskustvo? Drugi temeljni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj splet okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je samo svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na ono što se događa. Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije: Bez obzira na vrstu događaja, opaženih ili stvorenih tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Pozivamo vas da se upoznate sa svakom vrstom zasebno. To je okolnost za koju je poduzet potreban niz mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Ovom zakonu podliježu fizika, kemija, ekonomija i viša matematika. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao pouzdani događaj. Evo nekoliko primjera: Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, sigurno ćemo dobiti očekivani rezultat. Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo prijeći na objašnjenje sljedeće vrste događaja, naime nemogućeg. Prvo, odredimo najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Od ove formulacije ne može se odstupiti pri rješavanju problema. Radi pojašnjenja, evo primjera takvih događaja: Ne vrijedi navoditi više primjera, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi tijekom eksperimenta ni pod kojim okolnostima. Prilikom proučavanja elemenata posebnu pozornost treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi, ali i ne mora. Osim toga, test se može provoditi neograničeni broj puta. Živopisni primjeri uključuju: Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Kako bismo saželi i sistematizirali stečena znanja o događajima, donosimo tablicu. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih. Ime definicija Pouzdan Događaji koji se odvijaju uz 100% jamstvo ako su zadovoljeni određeni uvjeti. Upis u obrazovnu ustanovu nakon dobrog položenog prijemnog ispita. Nemoguće Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima. Pada snijeg pri temperaturi zraka od plus trideset Celzijevih stupnjeva. Slučajno Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom eksperimenta/testiranja. Pogodak ili promašaj prilikom ubacivanja košarkaške lopte u obruč. Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost događanja događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti: Kada izračunavate mogućnost nečeg složenog, možete koristiti skup jednostavnih događaja kako biste na lakši i brži način postigli rezultat. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju pomoću određenih teorema. Predlažemo da se najprije upoznate s prvim zakonom. Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije: Dakle, odmah na početku, vrlo je teško shvatiti suštinu. Evo definicija koje će vam pomoći razumjeti ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se zove konvergentan u vjerojatnosti, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizak jedinici. Prijeđimo na sljedeći prikaz, skoro sigurno. Za niz se kaže da konvergira skoro sigurno na slučajnu varijablu s n koja teži beskonačnosti i P koja teži vrijednosti blizu jedinici. Sljedeća vrsta je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa. Ostaje posljednja vrsta, pogledajmo je ukratko kako bismo mogli izravno prijeći na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", a kasnije ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta granične funkcije distribucije. Obećanje ćemo svakako održati: slaba konvergencija se od svega navedenog razlikuje po tome što slučajna varijabla nije definirana u prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo pomoću distribucijskih funkcija. Teoreme teorije vjerojatnosti, kao što su: Ako uzmemo u obzir sve te teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Predlažemo da to učinite odmah. Ali prije toga, pogledajmo aksiome teorije vjerojatnosti; oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema. S prvim smo se već susreli kada smo govorili o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Dali smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzijusa. Drugi je sljedeći: pouzdani događaj događa se s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako ovo napisati matematičkim jezikom: P(B)=1. Treće: Slučajni događaj se može, ali i ne mora dogoditi, ali mogućnost se uvijek kreće od nula do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veće su šanse; ako se vrijednost približava nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Zapišimo ovo matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1. Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dva događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Zapisujemo to matematičkim jezikom: P(A+B)=P(A)+P(B). Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja nije teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme na temelju već stečenog znanja. Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer – lutriju. Zamislite da ste kupili jednu srećku za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u optjecaju sudjeluje tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset ih ima po stotinu rubalja, pedeset ima nagradu od dvadeset rubalja, a sto ima nagradu od pet. Problemi vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnosti sreće. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gornjeg zadatka. Ako koristimo slovo A za označavanje dobitka od pet stotina rubalja, tada će vjerojatnost dobivanja A biti jednaka 0,001. Kako smo ovo dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" listića s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000). B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000) C - dobitak je dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerojatnost, ona je jednaka 0,05. Preostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od navedenog u uvjetu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost da dobijete najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost pojave određenog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim radnjama. Ostaje još samo zbrojiti potrebne podatke, a odgovor koji dobivamo je 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka. Problemi u teoriji vjerojatnosti mogu biti složeniji; na primjer, uzmimo sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte u nizu bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna. Prvo, pronađimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to dijelimo četiri sa trideset šest. Stavili su ga na stranu. Izvadimo drugu kartu, to će biti as s vjerojatnošću tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, pitamo se je li to bio as ili ne. Iz ovoga slijedi da događaj B ovisi o događaju A. Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost istovremenog događanja, odnosno množimo A i B. Njihov umnožak nalazimo na sljedeći način: množimo vjerojatnost jednog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog, koju izračunavamo, pretpostavljajući da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa s prvom kartom. Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A). Nastavimo rješavati naš problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ili P(A * B) = P(B) * P(A/B). Vjerojatnost je jednaka (4/36) * ((3/35)/(4/36). Računamo zaokruživanjem na najbližu stotinku. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Vjerojatnost da ćemo izvući dva asa zaredom je devet stotinki.Vrijednost je vrlo mala, iz čega slijedi da je vjerojatnost da se događaj dogodi izuzetno mala. Predlažemo da analiziramo još nekoliko varijanti zadataka koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku. Pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio zadnju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali kako je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom . Moramo izračunati vjerojatnost da neće nazvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako se poznaju pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti. Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno deset vrijednosti ukupno. Vjerojatnost da dobijete pravu je 1/10. Zatim, moramo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak dobro pogodio i odmah upisao pravu, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv promašuje, a drugi je na meti. Izračunajmo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, a kao rezultat također dobivamo 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv pokazali su se na krivoj adresi, tek trećim je dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnoženo s 8/9 i 1/8, što rezultira 1/10. Druge mogućnosti prema uvjetima problema nas ne zanimaju, pa samo trebamo zbrajati dobivene rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da se dječak neće javiti više od tri puta je 0,3. Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito izmiješali. Morate izračunati vjerojatnost da Prije nego prijeđemo na rješenje, uvjetujmo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađimo vjerojatnost da će broj biti paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, to će biti naše m, ukupno je devet mogućih opcija, odnosno m=9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9. Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može uopće biti uspješnih ishoda, odnosno m je jednako nula. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula. Matematika obuhvaća cijeli niz područja, a jedno od njih je, uz algebru i geometriju, teorija vjerojatnosti. Postoje pojmovi koji su zajednički svim tim područjima, ali osim njih postoje i specifične riječi, formule i teoremi koji su karakteristični samo za jednu specifičnu „nišu“. Fraza "teorija vjerojatnosti" izaziva paniku kod nepripremljenog učenika. Doista, mašta crta slike na kojima se pojavljuju zastrašujuće voluminozne formule, a za rješenje jednog problema potrebna je cijela bilježnica. Međutim, u praksi sve uopće nije tako strašno: dovoljno je jednom shvatiti značenje nekih pojmova i proniknuti u bit pomalo osebujne logike razmišljanja kako biste se jednom zauvijek prestali bojati zadataka. S tim u vezi, razmotrit ćemo temeljne pojmove teorije vjerojatnosti i matematičke statistike - mladog, ali iznimno zanimljivog područja znanja. Funkcija jezika je prenošenje informacija od jedne osobe do druge tako da ih ona razumije, razumije i može koristiti. Svaki matematički koncept može se objasniti jednostavnim riječima, ali u ovom slučaju bi čin razmjene podataka trajao mnogo duže. Zamislite da umjesto riječi "hipotenuza" uvijek morate reći "najduža stranica pravokutnog trokuta" - to je vrlo nezgodno i dugotrajno. Zato ljudi smišljaju nove termine za određene pojave i procese. Na isti način pojavili su se i osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti - događaj, vjerojatnost događaja itd. To znači da za korištenje formula, rješavanje problema i primjenu vještina u životu morate ne samo zapamtiti nove riječi, već i razumjeti što svaka od njih znači. Što ih dublje shvaćate, proničete u njihovo značenje, širi vam se opseg mogućnosti i potpunije percipirate svijet oko sebe. Upoznajmo se s osnovnim pojmovima teorije vjerojatnosti. Klasična definicija vjerojatnosti je sljedeća: ovo je omjer ishoda koji odgovaraju istraživaču prema ukupnom broju mogućih. Uzmimo jednostavan primjer: kada osoba baci kocku, ona može pasti na bilo koju od šest strana okrenutih prema gore. Dakle, ukupan broj ishoda je šest. Vjerojatnost da će se pojaviti nasumično odabrana strana je 1/6. Sposobnost predviđanja pojave određenog rezultata izuzetno je važna za razne stručnjake. Koliko neispravnih dijelova se očekuje u seriji? To određuje koliko trebate proizvesti. Koja je vjerojatnost da će lijek pomoći u prevladavanju bolesti? Takve informacije su apsolutno vitalne. Ali ne gubimo vrijeme na dodatne primjere i počnimo proučavati novo područje za nas. Razmotrimo osnovne pojmove teorije vjerojatnosti i njihovu upotrebu. U pravu, prirodnim znanostima i ekonomiji, formule i pojmovi prikazani u nastavku koriste se posvuda, budući da su izravno povezani sa statistikom i pogreškama mjerenja. Detaljnije proučavanje ovog pitanja otkrit će vam nove formule koje su korisne za točnije i složenije izračune, ali počnimo s jednom jednostavnom. Jedan od najosnovnijih i najosnovnijih koncepata teorije vjerojatnosti i matematičke statistike je slučajni događaj. Objasnimo jasnim riječima: od svih mogućih ishoda eksperimenta samo se jedan promatra kao rezultat. Čak i ako je vjerojatnost da će se ovaj događaj dogoditi znatno veća od drugog, on će biti slučajan, jer je teoretski ishod mogao biti drugačiji. Ako smo proveli niz eksperimenata i dobili određeni broj ishoda, tada se vjerojatnost svakog od njih izračunava pomoću formule: P(A) = m/n. Ovdje je m koliko smo puta u nizu testova promatrali pojavu rezultata koji nas zanima. Zauzvrat, n je ukupan broj izvedenih eksperimenata. Ako smo 10 puta bacili novčić i dobili glave 5 puta, tada je m=5 i n=10. Dešava se da je neki ishod zajamčeno promatran u svakom ispitivanju - takav događaj će se nazvati pouzdanim. Ako se to nikada ne dogodi, bit će nazvano nemogućim. Međutim, takvi se događaji ne koriste u problemima teorije vjerojatnosti. Osnovni pojmovi koje je puno važnije poznavati su zajednička i nezajednička događanja. Dešava se da se pri izvođenju eksperimenta dva događaja dogode istovremeno. Na primjer, bacamo dvije kocke - u ovom slučaju činjenica da jedna baca "šesticu" ne jamči da druga neće baciti drugi broj. Takvi događaji će se zvati zajednički. Ako bacimo jednu kockicu, tada se dva broja nikada ne mogu pojaviti u isto vrijeme. U tom slučaju, ishodi u obliku ispuštenog "jedan", "dva" itd. smatrat će se nekompatibilnim događajima. Vrlo je važno razlikovati koji se ishodi događaju u svakom konkretnom slučaju - to određuje koje formule koristiti u problemu pronalaženja vjerojatnosti. Nastavit ćemo proučavati osnovne pojmove teorije vjerojatnosti nekoliko odlomaka kasnije, kada budemo razmatrali značajke zbrajanja i množenja. Uostalom, bez njih se ne može riješiti niti jedan problem. Recimo da vi i prijatelj bacate kocku i dobijete četvorku. Da biste pobijedili, morate dobiti "pet" ili "šest". U ovom slučaju, vjerojatnosti će se zbrajati: budući da su šanse da oba broja budu izvučena 1/6, odgovor će izgledati kao 1/6 + 1/6 = 1/3. Sada zamislite da dva puta bacite kocku i vaš prijatelj dobije 11 bodova. Sada morate dobiti "šesticu" dva puta zaredom. Događaji su neovisni jedan o drugome, pa će vjerojatnosti trebati pomnožiti: 1/6 * 1/6 = 1/36. Među osnovnim pojmovima i teoremima teorije vjerojatnosti treba obratiti pozornost na zbroj vjerojatnosti zajedničkih događaja, odnosno onih koji se mogu dogoditi istovremeno. Formula zbrajanja u ovom će slučaju izgledati ovako: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Vrlo često moramo pronaći sve moguće kombinacije nekih parametara objekta ili izračunati broj bilo koje kombinacije (na primjer, pri odabiru šifre). U tome će nam pomoći kombinatorika koja je usko povezana s teorijom vjerojatnosti. Osnovni koncepti ovdje uključuju neke nove riječi, a brojne formule iz ove teme vjerojatno će vam dobro doći. Recimo da imate tri broja: 1, 2, 3. Pomoću njih trebate napisati sve moguće troznamenkaste brojeve. Koliko će ih biti? Odgovor: n! (uskličnik znači faktorijel). Kombinacije određenog broja različitih elemenata (brojeva, slova itd.), koji se razlikuju samo po redoslijedu rasporeda, nazivaju se permutacijama. Međutim, puno češće nailazimo na ovu situaciju: postoji 10 znamenki (od nule do devet) od kojih se sastoji lozinka ili kod. Pretpostavimo da je njegova duljina 4 znaka. Kako izračunati ukupan broj mogućih kodova? Za to postoji posebna formula: (n!)/(n - m)! Uzimajući u obzir gore predloženi uvjet problema, n=10, m=4. Nadalje, potrebni su samo jednostavni matematički izračuni. Usput, takve kombinacije će se zvati plasman. Konačno, tu je i koncept kombinacija - to su sekvence koje se međusobno razlikuju po barem jednom elementu. Njihov se broj izračunava pomoću formule: (n!) / (m!(n-m)!). Važan pojam s kojim se učenik susreće već na prvim satima predmeta je matematičko očekivanje. To je zbroj svih mogućih rezultirajućih vrijednosti pomnožen njihovim vjerojatnostima. U biti, to je prosječni broj koji možemo predvidjeti kao rezultat testa. Na primjer, postoje tri vrijednosti za koje su vjerojatnosti navedene u zagradama: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Izračunajmo matematičko očekivanje: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Dakle, iz predloženog izraza može se vidjeti da je ova vrijednost konstantna i ne ovisi o ishodu testa. Ovaj se koncept koristi u mnogim formulama i susrest ćete ga nekoliko puta u budućnosti. Nije teško raditi s njim: matematičko očekivanje zbroja jednako je zbroju mat. očekivanja - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Isto vrijedi i za proizvod: M(XY) = M(X) * M(Y). Vjerojatno se sjećate iz školskog tečaja fizike da je disperzija raspršenje. Koje je njegovo mjesto među temeljnim pojmovima teorije vjerojatnosti? Pogledajte dva primjera. U jednom slučaju dano nam je: 10(0,2); 20 (0,6); 30 (0,2). U drugom - 0(0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). Matematičko očekivanje u oba će slučaja biti isto, pa kako se onda te situacije mogu usporediti? Uostalom, golim okom vidimo da je širenje vrijednosti u drugom slučaju mnogo veće. Zbog toga je uveden koncept disperzije. Za njegovo dobivanje potrebno je izračunati matematičko očekivanje iz zbroja razlika svake slučajne varijable i matematičkog očekivanja. Uzmimo brojeve iz prvog primjera napisanog u prethodnom paragrafu. Prvo izračunajmo matematičko očekivanje: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Zatim vrijednost varijance: D(X) = 40. Drugi osnovni koncept statistike i teorije vjerojatnosti je standardna devijacija. Izračunati je vrlo jednostavno: trebate samo izvaditi kvadratni korijen varijance. Ovdje također možemo primijetiti tako jednostavan pojam kao opseg. Ovo je vrijednost koja predstavlja razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti u uzorku. Neki osnovni školski pojmovi vrlo se često koriste u znanosti. Dvije od njih su aritmetička sredina i medijan. Sigurno se sjećate kako pronaći njihova značenja. Ali za svaki slučaj, podsjetimo vas: aritmetička sredina je zbroj svih vrijednosti podijeljen njihovim brojem. Ako ima 10 vrijednosti, onda ih zbrajamo i dijelimo s 10. Medijan je središnja vrijednost među svim mogućim vrijednostima. Ako imamo neparan broj količina, onda ih ispisujemo u rastućem redoslijedu i biramo onu koja je u sredini. Ako imamo paran broj vrijednosti, uzimamo središnja dva i dijelimo s dva. Još dvije vrijednosti koje se nalaze između medijana i dvije krajnje - maksimalne i minimalne - vrijednosti skupa nazivaju se kvartilima. Računaju se na isti način - ako je broj elemenata neparan, uzima se broj koji se nalazi u sredini reda, a ako je broj elemenata paran, uzima se polovica zbroja dva središnja elementa. Postoji i poseban graf na kojem možete vidjeti sve vrijednosti uzorka, njegov raspon, medijan, interkvartilni interval, kao i outliere - vrijednosti koje se ne uklapaju u statističku grešku. Dobivena slika ima vrlo specifičan (pa čak i nematematički) naziv - "kutija s brkovima". Distribucija se također odnosi na osnovne koncepte teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Ukratko, predstavlja generaliziranu informaciju o svim slučajnim varijablama koje možemo vidjeti kao rezultat testa. Glavni parametar ovdje će biti vjerojatnost pojave svake određene vrijednosti. Normalna distribucija je ona koja ima jedan središnji vrh koji sadrži vrijednost koja se najčešće pojavljuje. Sve manje vjerojatni ishodi odmiču od njega u lukovima. Općenito, grafikon izvana izgleda kao "slajd". Kasnije ćete naučiti da je ova vrsta distribucije usko povezana sa središnjim graničnim teoremom, temeljnim za teoriju vjerojatnosti. Opisuje važne obrasce za granu matematike koju razmatramo, a koji su vrlo korisni u raznim proračunima. No, vratimo se temi. Postoje još dvije vrste distribucije: asimetrična i multimodalna. Prvi izgleda kao polovica "normalnog" grafikona, tj. luk se spušta samo na jednu stranu od vršne vrijednosti. Konačno, multimodalna distribucija je ona u kojoj postoji nekoliko "gornjih" vrijednosti. Dakle, grafikon ili pada ili raste. Najčešća vrijednost u bilo kojoj distribuciji naziva se mod. Također je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Gaussova, ili normalna, distribucija je ona u kojoj se odstupanje opažanja od prosjeka pokorava određenom zakonu. Ukratko govoreći, glavno širenje vrijednosti uzorka eksponencijalno teži prema modu - najčešćem od njih. Točnije, 99,6% svih vrijednosti nalazi se unutar tri standardne devijacije (sjećate se, o ovom konceptu smo raspravljali gore?). Gaussova distribucija jedan je od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti. Pomoću njega možete razumjeti je li neki element, prema određenim parametrima, uključen u kategoriju "tipičnih" - tako se procjenjuju visina i težina osobe u skladu s dobi, razinom intelektualnog razvoja, psihološkim stanjem i još mnogo toga. . Zanimljivo je da se "dosadni" matematički podaci mogu iskoristiti u vašu korist. Na primjer, jedan je mladić upotrijebio teoriju vjerojatnosti i statistiku kako bi osvojio nekoliko milijuna dolara na ruletu. Istina, prije toga sam se morao pripremiti - nekoliko mjeseci bilježiti rezultate igara u raznim kasinima. Nakon provedene analize ustanovio je da je jedna od tablica blago nagnuta, što znači da se određeni broj vrijednosti pojavljuje statistički značajno češće od ostalih. Malo kalkulacije i strpljenja - i sada se vlasnici lokala češkaju po glavi, pitajući se kako čovjek može imati toliko sreće. Postoji cijeli niz svakodnevnih svakodnevnih problema koji se ne mogu riješiti bez pribjegavanja statistici. Na primjer, kako odrediti koliko odjeće trgovina treba naručiti u različitim veličinama: S, M, L, XL? Za to je potrebno analizirati tko najčešće kupuje odjeću u gradu, regiji, u obližnjim trgovinama. Ako se takve informacije ne dobiju, vlasnik riskira gubitak puno novca. Pregledali smo cijeli niz osnovnih koncepata teorije vjerojatnosti: test, događaj, permutacije i plasmane, očekivanu vrijednost i disperziju, način i normalnu distribuciju... Osim toga, pogledali smo brojne formule za koje je potrebno više od mjesec dana razreda studirati na visokoškolskoj ustanovi. Ne zaboravite: matematika je neophodna pri studiju ekonomije, prirodnih znanosti, informatike i inženjerstva. Ni ovdje se ne može zanemariti statistika kao jedno od njezinih područja. Sada su u pitanju male stvari: vježbajte, rješavajte zadatke i primjere. Čak će i osnovni pojmovi i definicije teorije vjerojatnosti biti zaboravljeni ako ne odvojite vrijeme za pregled. Nadalje, sljedeće formule će se u velikoj mjeri oslanjati na one koje smo razmotrili. Stoga ih pokušajte zapamtiti, pogotovo jer ih nema puno.Podučavanje
Pošaljite svoju prijavu naznačite temu upravo sada kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konzultacija.Znanost
Događaji
Pouzdan događaj
Nemogući događaji
Slučajni događaji
Zakoni
Konvergencija nizova slučajnih varijabli
Zakon velikih brojeva
Aksiomi
Listić lutrije
Špil karata
Zaboravljeni broj
Kartice s brojevima
Zašto učiti koncepte?
Koje je značenje objekta
Prvi sastanak
Vrste događaja
Zbroj i umnožak
Kombinatorika
Očekivana vrijednost
Disperzija
Statistika
Distribucija
Gaussova distribucija
Kako se prijaviti
Zaključak
