Da biste razumjeli kako riješiti probleme s trapezom, korisno je zapamtiti tri osnovna rješenja.
I. Nacrtaj dvije visine.
Ia. Četverokut BCKF je pravokutnik (jer su mu svi kutovi pravi). Prema tome FK=BC.
AD=AF+FK+KD, dakle AD=AF+BC+KD.
Trokuti ABF i DCK su pravokutni trokuti.
(Treba uzeti u obzir još jednu opciju:
Ib.
U ovom slučaju AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)
Ic. Ako je trapez jednakokračan, rješenje problema je pojednostavljeno:
U tom su slučaju pravokutni trokuti ABF i DCK jednaki npr. po kraku i hipotenuzi (AB=CD prema uvjetu, BF=CK kao visina trapeza). Iz jednakosti trokuta slijedi da su im odgovarajuće stranice jednake:
AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.
II. Nacrtajte ravnu liniju paralelnu sa strane.
IIa. BM∥ CD. Kako je BC∥ AD (poput osnovica trapeza), onda je BCDM paralelogram. Prema tome, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.
IIb. Konkretno, za jednakokračni trapez
BM∥ CD. Kako je CD=AB, onda je BM=AB. Odnosno, dobivamo jednakokračni trokut ABM i paralelogram BCDM.
III. Nastavite stranice i dobijete trokut.
Pravci AB i CD sijeku se u točki P.
Trokuti APD i BPC slični su u dva kuta (kut P je zajednički, ∠ PAD= ∠ PBC koji odgovara BC∥ AD i sekanti AP).
Stoga su im stranice proporcionalne:
Ova tri pristupa rješavanju problema trapeza su glavni. Osim ovih, postoji mnogo drugih načina. Neki su pregledani na ovoj stranici. Na primjer, kako riješiti probleme s trapezom čije su dijagonale okomite.
U ovom članku za vas je napravljen još jedan izbor zadataka s trapezom. Uvjeti su nekako povezani s njegovom srednjom linijom. Tipovi zadataka preuzeti su iz otvorene banke tipičnih zadataka. Ako želite, možete obnoviti teoretsko znanje. Blog je već raspravljao o zadacima čiji su uvjeti povezani, kao i. Ukratko o srednjoj liniji:
Sredina trapeza spaja središta bočnih stranica. Paralelan je s bazama i jednak je njihovom poluzbroju.
Prije rješavanja problema, pogledajmo teorijski primjer.
Zadan je trapez ABCD. Dijagonala AC koja se siječe sa središnjicom čini točku K, dijagonala BD točku L. Dokažite da je dužina KL jednaka polovici razlike osnovica.
Prvo zapazimo činjenicu da srednja crta trapeza raspolavlja svaki segment čiji krajevi leže na njegovim bazama. Ovaj se zaključak nameće sam po sebi. Zamislite segment koji povezuje dvije točke baza; on će podijeliti ovaj trapez na dva druga. Ispada da će segment koji je paralelan s bazama trapeza i prolazi kroz sredinu stranice proći kroz sredinu druge strane.
Ovo se također temelji na Thalesovom teoremu:
Ako je nekoliko jednakih segmenata položeno jedan za drugim na jednoj od dvije crte i kroz njihove krajeve su povučene paralelne crte koje sijeku drugu crtu, tada će oni odrezati jednake segmente na drugoj liniji.
To jest, u ovom slučaju, K je sredina AC, a L je sredina BD. Dakle, EK je središnja crta trokuta ABC, LF je središnja crta trokuta DCB. Prema svojstvu srednje crte trokuta:
Sada možemo izraziti segment KL u terminima baza:
dokazano!
Ovaj primjer je dat s razlogom. U zadacima za samostalno rješavanje nalazi se upravo takav zadatak. Samo što ne kaže da segment koji povezuje središta dijagonala leži na središnjoj liniji. Razmotrimo zadatke:
27819. Odredite središnju trapeza ako su mu osnovice 30 i 16.
Računamo pomoću formule:
27820. Srednja crta trapeza je 28, a manja osnovica 18. Nađite veću osnovicu trapeza.
Izrazimo veću bazu:
Tako:
27836. Okomica spuštena iz vrha tupog kuta na veću osnovicu jednakokračnog trapeza dijeli ga na dijelove koji imaju duljine 10 i 4. Odredite središnju crtu tog trapeza.
Da biste pronašli srednju liniju morate znati baze. Bazu AB je lako pronaći: 10+4=14. Pronađimo DC.
Konstruirajmo drugu okomicu DF:
Segmenti AF, FE i EB bit će jednaki redom 4, 6 i 4. Zašto?
U jednakokračnom trapezu okomice spuštene na veću osnovicu dijele ga na tri segmenta. Dvije od njih, koje su kraci odsječenih pravokutnih trokuta, međusobno su jednake. Treći segment jednak je manjoj osnovici, jer se kod konstruiranja navedenih visina formira pravokutnik, au pravokutniku su suprotne strane jednake. U ovom zadatku:
Stoga je DC=6. Računamo:
27839. Osnovice trapeza su u omjeru 2:3, a srednica je 5. Nađite manju osnovicu.
Uvedimo koeficijent proporcionalnosti x. Tada je AB=3x, DC=2x. Možemo napisati:
Prema tome, manja baza je 2∙2=4.
27840. Opseg jednakokračnog trapeza je 80, njegova središnja linija jednaka je bočnoj stranici. Pronađite stranicu trapeza.
Na temelju uvjeta možemo napisati:
Ako srednju liniju označimo kroz vrijednost x, dobivamo:
Druga se jednadžba već može napisati kao:
27841. Srednjica trapeza je 7, a jedna mu je osnovica veća od druge za 4. Nađite veću osnovicu trapeza.
Označimo manju bazu (DC) kao x, tada će veća (AB) biti jednaka x+4. Možemo to zapisati
Otkrili smo da je manja baza rano pet, što znači da je veća jednaka 9.
27842. Srednjica trapeza je 12. Jedna od dijagonala ga dijeli na dva segmenta čija je razlika 2. Nađite veću osnovicu trapeza.
Veću osnovicu trapeza lako ćemo pronaći ako izračunamo odsječak EO. To je središnja linija u trokutu ADB, a AB=2∙EO.
Što imamo? Kaže se da je srednja linija jednaka 12, a razlika odsječaka EO i OF jednaka 2. Možemo napisati dvije jednadžbe i riješiti sustav:
Jasno je da u ovom slučaju možete odabrati par brojeva bez izračuna, to su 5 i 7. No, ipak, riješimo sustav:
Dakle, EO=12–5=7. Dakle, veća baza je jednaka AB=2∙EO=14.
27844. U jednakokračnom trapezu dijagonale su okomite. Visina trapeza je 12. Nađite njegovu središnju liniju.
Napomenimo odmah da visina povučena kroz sjecište dijagonala u jednakokračnom trapezu leži na osi simetrije i dijeli trapez na dva jednaka pravokutna trapeza, odnosno osnovice te visine dijele se popola.
Čini se da za izračunavanje srednje linije moramo pronaći razloge. Ovdje nastaje mala slijepa ulica... Kako, znajući visinu, u ovom slučaju izračunati baze? Nema šanse! Postoji mnogo takvih trapeza s fiksnom visinom i dijagonalama koje se sijeku pod kutom od 90 stupnjeva. Što da napravim?
Pogledajte formulu za središnju crtu trapeza. Uostalom, ne moramo znati same razloge, dovoljno je znati njihov zbroj (ili poluzbroj). Mi to možemo.
Budući da se dijagonale sijeku pod pravim kutom, formiraju se jednakokračni pravokutni trokuti visine EF:
Iz navedenog slijedi da je FO=DF=FC, a OE=AE=EB. Zapišimo sada čemu je jednaka visina izražena kroz segmente DF i AE:
Dakle, srednja linija je 12.
*Općenito, ovo je problem, kao što razumijete, za mentalno računanje. Ali siguran sam da je navedeno detaljno objašnjenje potrebno. I tako... Pogledate li sliku (pod uvjetom da se pri konstrukciji poštuje kut između dijagonala) odmah upada u oči jednakost FO=DF=FC, te OE=AE=EB.
Prototipovi također uključuju tipove zadataka s trapezom. Izgrađen je na listu papira u kvadratu i trebate pronaći srednju liniju; strana ćelije obično je jednaka 1, ali može biti drugačija vrijednost.
27848. Odredite središnju crtu trapeza ABCD, ako su stranice kvadratnih ćelija jednake 1.
Jednostavno je, izračunavamo baze po ćelijama i koristimo formulu: (2+4)/2=3
Ako su baze izgrađene pod kutom prema ćelijskoj mreži, tada postoje dva načina. Na primjer!
Bit će korisno za sve maturante koji se pripremaju za polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike da osvježe pamćenje na temu "Slobodni trapez". Kao što je dugogodišnja praksa pokazala, planimetrijski zadaci iz ovog odjeljka stvaraju određene poteškoće mnogim srednjoškolcima. Istodobno, rješavanje problema Jedinstvenog državnog ispita na temu "Slobodni trapez" potrebno je prilikom polaganja i osnovne i profilne razine certifikacijskog testa. Stoga bi se svi maturanti trebali moći nositi s takvim vježbama.
Kako se pripremiti za ispit?
Većina planimetrijskih problema rješava se klasičnim konstrukcijama. Ako u problemu Jedinstvenog državnog ispita trebate pronaći, na primjer, područje trapeza prikazanog na slici, vrijedi označiti sve poznate parametre na crtežu. Nakon toga zapamtite glavne teoreme vezane uz njih. Njihovom primjenom moći ćete pronaći točan odgovor.
Kako bi vaša priprema za ispit bila uistinu učinkovita, posjetite obrazovni portal Shkolkovo. Ovdje ćete pronaći sve osnovne materijale o temama „Slobodni trapez ili koji će vam pomoći da uspješno položite Jedinstveni državni ispit. Glavna svojstva slike, formule i teoremi prikupljeni su u odjeljku "Teoretske informacije".
Svoje vještine rješavanja problema maturanti će moći usavršiti i na našem matematičkom portalu. Odjeljak "Katalog" predstavlja velik izbor relevantnih vježbi različitih razina težine. Naši stručnjaci redovito ažuriraju i dopunjuju popis zadataka.
Studenti iz Moskve i drugih gradova mogu dosljedno izvoditi vježbe online. Ako je potrebno, bilo koji zadatak može se spremiti u odjeljak "Favoriti" i kasnije se vratiti na njega za raspravu s nastavnikom.
Praksa prošlogodišnjeg jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita pokazuje da geometrijski problemi stvaraju poteškoće mnogim školarcima. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.
U ovom ćete članku vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Na iste možete naići u KIM-ovima tijekom certifikacijskih ispita ili na olimpijadama. Stoga ih pažljivo tretirajte.
Što trebate znati o trapezu?
Za početak, podsjetimo se toga trapez naziva se četverokut u kojem su dvije suprotne stranice, koje se nazivaju i osnovice, paralelne, a druge dvije nisu.
U trapezu se visina (okomito na osnovicu) može i spustiti. Nacrtana je srednja linija - to je ravna linija koja je paralelna s bazama i jednaka je polovici njihovog zbroja. Kao i dijagonale koje se mogu presijecati, tvoreći oštre i tupe kutove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim kutom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati kružnica. I opišite krug oko njega.
Formule površine trapeza
Prvo, pogledajmo standardne formule za pronalaženje površine trapeza. U nastavku ćemo razmotriti načine za izračunavanje površine jednakokračnih i krivuljastih trapeza.
Dakle, zamislite da imate trapez s bazama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovicu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju jednostavno je poput guljenja krušaka. Samo trebate podijeliti zbroj duljina baza s dva i rezultat pomnožiti s visinom: S = 1/2(a + b)*h.
Uzmimo drugi slučaj: pretpostavimo da u trapezu, osim visine, postoji središnja linija m. Poznata nam je formula za određivanje duljine središnje crte: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za područje trapeza na sljedeći oblik: S = m* h. Drugim riječima, da biste pronašli područje trapeza, trebate pomnožiti središnju liniju s visinom.
Razmotrimo drugu opciju: trapez sadrži dijagonale d 1 i d 2 koje se ne sijeku pod pravim kutom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate podijeliti proizvod dijagonala s dva i pomnožiti rezultat s grijehom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Sada razmotrite formulu za pronalaženje područja trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim duljina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i složena formula, ali bit će korisno zapamtiti je za svaki slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za područje pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija strana graniči s bazama pod pravim kutom.
Jednakokračni trapez
Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokračan. Razmotrit ćemo nekoliko opcija za formulu za područje jednakokračnog trapeza.
Prva opcija: za slučaj kada je unutar jednakokračnog trapeza upisana kružnica polumjera r, a stranica i veća osnovica čine šiljasti kut α. U trapez se može upisati kružnica pod uvjetom da je zbroj duljina njegovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.
Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice s četiri i sve podijelite s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine poseban je slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.
Druga opcija: ovaj put uzimamo jednakokračni trapez, u kojem su dodatno nacrtane dijagonale d 1 i d 2, te visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovica zbroja osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući ovo, lako je transformirati formulu za područje trapeza koji vam je već poznat u ovaj oblik: S = h 2.
Formula za površinu zakrivljenog trapeza
Započnimo s otkrivanjem što je zakrivljeni trapez. Zamislimo koordinatnu os i graf kontinuirane i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar zadanog segmenta na x-osi. Krivocrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu, x os je na dnu (odsječak), a sa strane - ravne linije povučene između točaka a i b i grafa funkcija.
Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure pomoću gore navedenih metoda. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli F je antiderivacija naše funkcije na odabranom segmentu. A površina krivocrtnog trapeza odgovara prirastu antiderivacije na danom segmentu.
Uzorak problema
Da biste sve ove formule lakše razumjeli u glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo sami pokušate riješiti probleme, a tek onda usporedite dobiveni odgovor s gotovim rješenjem.
Zadatak #1: Zadan je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale od kojih je jedna duga 12 cm, a druga 9 cm.
Rješenje: Konstruirajte trapez AMRS. Povuci ravnu liniju RH kroz vrh P tako da bude paralelna s dijagonalom MC i siječe pravac AC u točki X. Dobit ćeš trokut APH.
Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMRX.
Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Odakle možemo izračunati stranicu AX trokuta ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Također možemo dokazati da je trokut APX pravokutan (za to primijenimo Pitagorin poučak - AX 2 = AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Zatim ćete morati dokazati da su trokuti AMP i PCX jednake površine. Osnova će biti ravnopravnost stranaka MR i CX (već gore dokazano). A također i visine koje spuštate na te strane - jednake su visini AMRS trapeza.
Sve ovo će vam omogućiti da kažete da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Zadatak #2: Zadan je trapez KRMS. Na njegovim bočnim stranicama nalaze se točke O i E, dok su OE i KS paralelne. Također je poznato da su površine trapeza ORME i OKSE u omjeru 1:5. RM = a i KS = b. Morate pronaći OE.
Rješenje: Kroz točku M povucite pravac paralelan s RK, a točku njegovog sjecišta s OE označite kao T. A je sjecište pravca povučenog kroz točku E paralelnog s RK s osnovicom KS.
Uvedimo još jednu oznaku - OE = x. I također visinu h 1 za trokut TME i visinu h 2 za trokut AEC (možete nezavisno dokazati sličnost ovih trokuta).
Pretpostavit ćemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OKSE su u omjeru 1:5, što nam daje za pravo sastaviti sljedeću jednadžbu: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Budući da su trokuti TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinirajmo oba unosa i dobijemo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Dakle, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Zaključak
Geometrija nije najlakša znanost, ali sigurno se možete nositi s ispitnim pitanjima. Dovoljno je pokazati malo upornosti u pripremi. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.
Pokušali smo prikupiti sve formule za izračunavanje površine trapeza na jednom mjestu kako biste ih mogli koristiti prilikom priprema za ispite i obnavljanja gradiva.
Obavezno obavijestite svoje kolege i prijatelje na društvenim mrežama o ovom članku. Neka bude više dobrih ocjena za jedinstveni državni ispit i državne ispite!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
- U kontaktu s 0
- Google+ 0
- u redu 0
- Facebook 0
