Prijepis
1 Međusobno inverzne funkcije Dvije funkcije f i g nazivamo međusobno inverznim ako formule y=f(x) i x=g(y) izražavaju isti odnos između varijabli x i y, tj. ako je jednakost y=f(x) istinita ako i samo ako je jednakost x=g(y) istinita: y=f(x) x=g(y) Ako su dvije funkcije f i g međusobno inverzne, tada je g naziva se inverzna funkcija za f i, obrnuto, f je inverzna funkcija za g. Na primjer, y=10 x i x=lgy su međusobno inverzne funkcije. Uvjet postojanja međusobno inverzne funkcije Funkcija f ima inverz ako se iz relacije y=f(x) varijabla x može jednoznačno izraziti kroz y. Postoje funkcije za koje je nemoguće jednoznačno izraziti argument kroz zadanu vrijednost funkcije. Na primjer: 1. y= x. Za dati pozitivni broj y, postoje dvije vrijednosti argumenta x tako da je x = y. Na primjer, ako je y=2, onda je x=2 ili x= - 2. To znači da je nemoguće jednoznačno izraziti x kroz y. Dakle, ova funkcija nema recipročnu vrijednost. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Za zadanu vrijednost y (y 1), postoji beskonačno mnogo vrijednosti x tako da je y=sinx. Funkcija y=f(x) ima inverz ako svaka ravna linija y=y 0 siječe graf funkcije y=f(x) u najviše jednoj točki (možda uopće ne siječe graf ako y 0 ne pripadaju području vrijednosti funkcije f) . Ovaj se uvjet može drugačije formulirati: jednadžba f(x)=y 0 za svaki y 0 ima najviše jedno rješenje. Uvjet da funkcija ima inverz sigurno je zadovoljen ako je funkcija strogo rastuća ili strogo padajuća. Ako f strogo raste, tada za dvije različite vrijednosti argumenta poprima različite vrijednosti, budući da veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Prema tome, jednadžba f(x)=y za strogo monotonu funkciju ima najviše jedno rješenje. Eksponencijalna funkcija y=a x je strogo monotona, pa ima inverznu logaritamsku funkciju. Mnoge funkcije nemaju inverze. Ako za neko b jednadžba f(x)=b ima više od jednog rješenja, tada funkcija y=f(x) nema inverz. Na grafu to znači da pravac y=b siječe graf funkcije u više od jedne točke. Na primjer, y=x 2 ; y=sinx; y=tgx.
2 Višeznačnost rješenja jednadžbe f(x) = b može se riješiti smanjivanjem domene definicije funkcije f tako da se njezin raspon vrijednosti ne mijenja, ali tako da svaku vrijednost uzima jednom. Na primjer, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Opće pravilo za pronalaženje inverzne funkcije za funkciju: 1. rješavajući jednadžbu za x, nalazimo; 2. Mijenjajući oznake varijable x u y, a y u x, dobivamo inverznu funkciju zadane. Svojstva međusobno inverznih funkcija Identiteti Neka su f i g međusobno inverzne funkcije. To znači da su jednakosti y=f(x) i x=g(y) ekvivalentne: f(g(y))=y i g(f(x))=x. Na primjer, 1. Neka je f eksponencijalna funkcija, a g logaritamska funkcija. Dobivamo: i. 2. Funkcije y=x2, x0 i y= su međusobno inverzne. Imamo dva identiteta: i za x 0. Područje definicije Neka su f i g međusobno inverzne funkcije. Područje funkcije f podudara se s područjem funkcije g, i obrnuto, područje funkcije f podudara se s područjem funkcije g. Primjer. Domena definicije eksponencijalne funkcije je cijela numerička os R, a njezino područje vrijednosti je skup svih pozitivnih brojeva. Za logaritamsku funkciju je suprotno: domena definicije je skup svih pozitivnih brojeva, a raspon vrijednosti je cijeli skup R. Monotonost Ako je jedna od međusobno inverznih funkcija strogo rastuća, onda druga je u strogom porastu. Dokaz. Neka su x 1 i x 2 dva broja koji leže u domeni definicije funkcije g, a x 1 3 Grafovi međusobno inverznih funkcija Teorem. Neka su f i g međusobno inverzne funkcije. Grafovi funkcija y=f(x) i x=g(y) međusobno su simetrični s obzirom na simetralu kuta how. Dokaz. Po definiciji međusobno inverznih funkcija, formule y=f(x) i x=g(y) izražavaju istu ovisnost između varijabli x i y, što znači da je ta ovisnost prikazana istim grafom neke krivulje C. Krivulja C je graf funkcije y=f(x). Uzmimo proizvoljnu točku P(a; b) C. To znači da je b=f(a) i istovremeno a=g(b). Konstruirajmo točku Q simetričnu točki P u odnosu na simetralu kuta xy. Točka Q će imati koordinate (b; a). Kako je a=g(b), tada točka Q pripada grafu funkcije y=g(x): doista, za x=b, vrijednost y=a jednaka je g(x). Dakle, sve točke simetrične točkama krivulje C u odnosu na naznačeni pravac leže na grafu funkcije y=g(x). Primjeri funkcija čiji su grafovi međusobno inverzni: y=e x i y=lnx; y=x 2 (x 0) i y= ; y=2x 4 i y= +2. 4 Derivacija inverzne funkcije Neka su f i g međusobno inverzne funkcije. Grafovi funkcija y=f(x) i x=g(y) međusobno su simetrični s obzirom na simetralu kuta how. Uzmimo točku x=a i izračunajmo vrijednost jedne od funkcija u ovoj točki: f(a)=b. Tada je, prema definiciji inverzne funkcije, g(b)=a. Točke (a; f(a))=(a; b) i (b; g(b))=(b; a) su simetrične u odnosu na ravnu liniju l. Budući da su krivulje simetrične, to su i tangente na njih simetrične u odnosu na ravnu liniju l. Iz simetrije, kut jedne od pravaca s x-osi jednak je kutu druge linije s y-osi. Ako ravna crta s x-osi tvori kut α, tada je njezin kutni koeficijent jednak k 1 =tgα; tada drugi pravac ima kutni koeficijent k 2 =tg(α)=ctgα=. Dakle, kutni koeficijenti pravaca simetričnih u odnosu na pravac l su međusobno inverzni, tj. k 2 =, ili k 1 k 2 =1. Prelazeći na derivacije i uzimajući u obzir da je nagib tangente vrijednost derivacije u točki dodira, zaključujemo: Vrijednosti derivacija međusobno inverznih funkcija u odgovarajućim točkama su međusobno inverzne, tj. Primjer 1. Dokažite da je funkcija f(x) = x 3, reverzibilna. Riješenje. y=f(x)=x 3. Inverzna funkcija bit će funkcija y=g(x)=. Nađimo izvod funkcije g:. Oni. =. Zadatak 1. Dokažite da je funkcija zadana formulom invertibilna 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5 Primjer 2. Nađite inverznu funkciju funkcije y=2x+1. Riješenje. Funkcija y=2x+1 je rastuća, dakle ima inverz. Izrazimo x kroz y: dobivamo.. Prijelazeći na općeprihvaćene zapise, Odgovor: Zadatak 2. Pronađite inverzne funkcije za ove funkcije 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Predavanje 20 TEOREM O DERIVACIJE KOMPLEKSNE FUNKCIJE. Neka je y = f(u), i u= u(x). Dobivamo funkciju y ovisno o argumentu x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija naziva se funkcija iz funkcije ili složena funkcija. Poglavlje 9 Stupnjevi Stupanj s cjelobrojnim eksponentom. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Ako je paran, tada ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Na primjer, () = > = = (), dakle Što ćemo učiti: Lekcija na temu: Proučavanje funkcije za monotonost. Opadajuće i rastuće funkcije. Odnos derivacije i monotonosti funkcije. Dva važna teoreme o monotonosti. Primjeri. Dečki, mi Linearna jednadžba a x = b ima: jedinstveno rješenje, za a 0; beskonačan skup rješenja, s a = 0, b = 0; nema rješenja, za a = 0, b 0. Kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima: dvije različite 6 Problemi koji vode do koncepta derivacije Neka se materijalna točka giba po ravnoj liniji u jednom smjeru prema zakonu s f (t), gdje je t vrijeme, a s je put koji prijeđe točka u vremenu t Zabilježimo a određena točka Banka zadataka na temu “DERIVACIJA” MATEMATIKA 11. razred (osnovni) Učenici trebaju znati/razumjeti: Pojam derivacije. Definicija derivata. Teoremi i pravila za nalaženje izvodnica zbroja, razlike, umnoška Geometrijsko značenje derivacije Promotrimo graf funkcije y=f(x) i tangente u točki P 0 (x 0 ; f(x 0)). Nađimo nagib tangente na graf u ovoj točki. Kut nagiba tangente P 0 Kvadratna funkcija u raznim problemima Dikhtyar MB Osnovne informacije Kvadratna funkcija (kvadratni trinom) je funkcija oblika y ax bx c, gdje su abc, zadani brojevi i kvadratne funkcije y POJAM DERIVACIJE FUNKCIJE Neka je funkcija definirana na skupu X i neka je točka X unutarnja točka onih točaka za koje postoji susjedstvo X. Uzmimo bilo koju točku i označimo je s tzv. Predavanje 5. Derivacije osnovnih elementarnih funkcija Sažetak: Daju se fizikalne i geometrijske interpretacije derivacije funkcije jedne varijable, razmatraju se primjeri diferenciranja funkcija i pravila. 1 SA Lavrenchenko Predavanje 12 Inverzne funkcije 1 Pojam inverzne funkcije Definicija 11 Funkcija se naziva jedan-na-jedan ako ne uzima nijednu vrijednost više od jednom, one koje slijede kada Odjel za matematiku i računarstvo Elementi visoke matematike Nastavno-metodički kompleks za učenike srednjeg strukovnog obrazovanja koji se školuju primjenom tehnologija na daljinu Modul Diferencijalni račun Sastavio: Poglavlje 5 Proučavanje funkcija korištenjem Taylorove formule Lokalni ekstrem funkcije Definicija Funkcija = f (dostiže lokalni maksimum (minimum) u točki c, ako je moguće specificirati δ > tako da njezin prirast MODUL “Primjena kontinuiteta i derivacije. Primjena izvoda na proučavanje funkcija." Primjena kontinuiteta.. Metoda intervala.. Tangenta na graf. Lagrangeova formula. 4. Primjena izvedenice Predavanje 9. Derivacije i diferencijali viših redova, njihova svojstva. Točke ekstrema funkcije. Fermatovi i Rolleovi teoremi. Neka je funkcija y diferencijabilna na nekom intervalu [b]. U ovom slučaju, njegova izvedenica Odjel za matematiku i računarstvo Matematička analiza Nastavno-metodički kompleks za studente visokog obrazovanja koji studiraju primjenom tehnologija na daljinu Modul 4 Derivacijske primjene Sastavio: izv. prof. Poglavlje 1. Granice i kontinuitet 1. Skupovi brojeva 1 0. Realni brojevi Iz školske matematike poznajete prirodne N cijelih brojeva Z racionalnih Q i realnih R brojeva Prirodne i cijele brojeve Predavanje 19 DERIVACIJA I NJENE PRIMJENE. DEFINICIJA DERIVACIJE. Neka nam je neka funkcija y=f(x), definirana na nekom intervalu. Za svaku vrijednost argumenta x iz ovog intervala, funkcija y=f(x) Diferencijalni račun Osnovni pojmovi i formule Definicija 1 Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da prirast argumenta Tema 8. Eksponencijalne i logaritamske funkcije. 1. Eksponencijalna funkcija, njen graf i svojstva U praksi se često koriste funkcije y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x itd., tj. funkcija oblik y=a x, 44 Primjer Pronađite ukupnu derivaciju složene funkcije = sin v cos w gdje je v = ln + 1 w= 1 Koristeći formulu (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Sada pronađite ukupni diferencijal kompleksa funkcija f Zadaci za samostalno rješavanje. Nađi domenu funkcije 6x. Odredite tangens kuta nagiba na x-os tangente koja prolazi točkom M (;) grafa funkcije. Nađi tangens kuta Tema Numerička funkcija, njezina svojstva i graf Pojam numeričke funkcije Domena definicije i skup vrijednosti funkcije Neka je zadan numerički skup X Pravilo koje svakom broju X pridružuje jedinstveni Predavanje 23 KONVEKSNOST I KONKAVNOST GRAFIKA FUNKCIJE TOČKE INFLEKSIJE Graf funkcije y=f(x) naziva se konveksnim na intervalu (a; b) ako se nalazi ispod bilo koje svoje tangente na tom intervalu Grafikon Tema Teorija limita Praktična nastava Brojevni nizovi Definicija brojevnog niza Ograničeni i neograničeni nizovi Monotoni nizovi Infinitezimalni Numeričke funkcije i numerički nizovi D. V. Lytkina NPP, I semestar D. V. Lytkina (SibGUTI) matematička analiza NPP, I semestar 1 / 35 Sadržaj 1 Numerička funkcija Pojam funkcije Numeričke funkcije. Banka zadataka na temu “DERIVACIJA” MATEMATIČKI razred (profil) Učenici trebaju znati/razumjeti: Pojam derivacije. Definicija derivata. Teoremi i pravila za nalaženje izvodnica zbroja, razlike, umnoška Â. À. MJERENJE OPASNOSTI: OKVIR OKVIRA. REZIME PRIRUČNIK ZA NASTAVU ZA SPO - izdanje, ispravljeno i dopunjeno od strane Ruske akademije znanosti sinonim A.V. Zemlyanko Matematika. Algebra i principi analize Voronjež SADRŽAJ TEMA 1. OSNOVNA SVOJSTVA FUNKCIJE... 6 1.1. Numerička funkcija... 6 1.2. Graf funkcije... 9 1.3. Pretvaranje grafova funkcija... Predmet. Funkcija. Metode dodjele. Implicitna funkcija. Inverzna funkcija. Klasifikacija funkcija Elementi teorije skupova. Osnovni pojmovi Jedan od temeljnih pojmova moderne matematike je pojam skupa. Neka je zadan numerički skup D R. Ako je svakom broju x D pridružen jedan broj y, tada kažemo da je na skupu D dana numerička funkcija: y = f (x), x D. Skup D nazivamo Funkcije više varijabli 11. Definicija funkcije više varijabli. Limit i neprekidnost FNP 1. Definicija funkcije više varijabli DEFINICIJA. Neka je X = ( 1 n i X i R ) U R. Funkcija MATEMATIKA ZA SVE Y.L. Kalinovsky Sadržaj 1 Grafovi funkcija. Dio I..................................... 5 1.1 Uvod 5 1.1.1 Pojam skupa.. ............................................. 5 1.1. Praktični rad 6 Tema: “Cjelovit studij funkcija. Crtanje grafova" Svrha rada: naučiti istraživati funkcije prema općoj shemi i konstruirati grafove. Kao rezultat završenog rada, student mora: Poglavlje 8 Funkcije i grafovi Varijable i ovisnosti između njih. Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalnim ako je njihov omjer konstantan, odnosno ako je =, gdje je konstantan broj koji se ne mijenja s promjenama PREDAVANJE 2. Operacije s potprostorima, brojem baza, brojem baza i brojem potprostora dimenzije k. Glavni rezultati predavanja 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Prebrojavanje ravnina u F 4 2. Pitanje 5. Funkcija, metode dodjele. Primjeri elementarnih funkcija i njihove grafike. Neka su dana dva proizvoljna skupa X i Y. Funkcija je pravilo po kojem se svaki element iz skupa X može pronaći Predavanje 4 NUMERIČKE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Pojam funkcije Metode zadavanja funkcije Osnovna svojstva funkcija Složena funkcija 4 Inverzna funkcija Pojam funkcije Metode zadavanja funkcije Neka D Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Navedimo nekoliko primjera Za izračunavanje površine trokuta poznata je Heronova formula S Kontinuitet funkcija Kontinuitet funkcije u točki Jednostrane limese Definicija Broj A naziva se limesom funkcije f(x) slijeva dok x teži a ako za bilo koji broj postoji takav broj Istraživački rad Matematika “Primjena ekstremnih svojstava funkcije za rješavanje jednadžbi” Izvršila: Elena Gudkova, učenica 11. razreda “G” MBOU srednje škole “Anninsky Lyceum” gradsko naselje. Anna Head: Savezna agencija za obrazovanje ----- DRŽAVNO POLITEHNIČKO SVEUČILIŠTE ST. PETERSBURG AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATIKA Elementarne funkcije i njihovi grafovi Obrazovni FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve ovisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti poznati pojam funkcionalne ovisnosti i uvesti Funkcija Pojam funkcije Metode zadavanja funkcije Karakteristike funkcije Inverzna funkcija Limit funkcije Limit funkcije u točki Jednostrani limiti Limit funkcije na x Beskonačno velika funkcija 4 Predavanje Odjeljak Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli Funkcija realnog argumenta Realni brojevi Pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodnim brojevima Zbrajanje prirodnim brojevima Sergey A Belyaev stranica 1 Matematički minimum 1. dio Teorijski 1 Je li definicija točna? Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od danih brojeva Odjeljak 2 Teorija granica Tema Brojčani nizovi Definicija brojčanog niza 2 Ograničeni i neograničeni nizovi 3 Monotoni nizovi 4 Infinitezimalni i Diferencijacija implicitno zadane funkcije Razmotrimo funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednadžbu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo Testni zadaci za pripremu ISPITA iz discipline "Matematika" za dopisne studente Derivacija funkcije y=f() naziva se: f A) B) f C) f f Ako je u nekoj okolini točke funkcija VARIJABLE I KONSTANTNE VELIČINE Kao rezultat mjerenja fizikalnih veličina (vrijeme, površina, volumen, masa, brzina itd.) određuju se njihove numeričke vrijednosti. Matematika se bavi količinama, rastreseno Matematička analiza Sekcija: Uvod u analizu Tema: Pojam funkcije (osnovne definicije, klasifikacija, osnovne karakteristike ponašanja) Predavač Rozhkova S.V. 2012 Literatura Piskunov N.S. Diferencijal Lekcija 7 Teoremi o srednjoj vrijednosti. L'Hopitalovo pravilo 7. Teoreme o sredini Teoreme o sredini su tri teoreme: Rolleov, Lagrangeov i Cauchyjev, od kojih svaki generalizira prethodni. Ovi se teoremi također nazivaju Predavanje pripremila izv. prof. dr. sc. Musina MV Kontinuitet funkcije Neka je funkcija y = f(x) definirana u točki x iu nekoj okolini te točke Funkciju y = f(x) nazivamo kontinuiranom u točki x ako je postoji DIFERENCIJACIJA FUNKCIJA JEDNE VARIJABLE Pojam derivacije, njeno geometrijsko i fizičko značenje Problemi koji dovode do pojma derivacije Određivanje tangente S na pravac y f (x) u točki A x; f ( 13. Parcijalne derivacije viših redova Neka = imaju i definirane su na D O. Funkcije i se također nazivaju parcijalne derivacije prvog reda funkcije ili prve parcijalne derivacije funkcije. i općenito Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije OBRAZOVNA USTANOVA "GRODNO DRŽAVNO SVEUČILIŠTE NAZVANO PO JANKU KUPALI" Yu.Yu. Gnezdovski, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENTARNI I LOGARITAMSKI Predavanje Poglavlje Skupovi i operacije nad njima Pojam skupa Pojam skupa odnosi se na najprimarnije pojmove matematike koji se ne definiraju kroz jednostavnije. Skup se shvaća kao zbirka Predavanje 8 Diferenciranje složene funkcije Promotrimo složenu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t t t t t t t t t t Teorem Neka su funkcije diferencijabilne u nekoj točki N t t t i funkcija f je diferencijabilna Predavanje 3 Ekstremum funkcije više varijabli Neka je funkcija više varijabli u = f (x, x) definirana u domeni D, a točka x (x, x) = pripada toj domeni Funkcija u = f ( x, x) ima Pitanje. Nejednadžbe, sustav linearnih nejednadžbi Razmotrimo izraze koji sadrže znak nejednakosti i varijablu:. >, - +x su linearne nejednadžbe s jednom varijablom x.. 0 je kvadratna nejednadžba. ODJELJAK PROBLEMI S PARAMETRIMA Komentar Problemi s parametrima tradicionalno su složeni zadaci u strukturi Jedinstvenog državnog ispita, koji zahtijevaju od kandidata ne samo da ovlada svim metodama i tehnikama za rješavanje različitih 2.2.7. Primjena diferencijala na aproksimativne proračune. Diferencijal funkcije y = ovisi o x i glavni je dio prirasta od x. Također možete koristiti formulu: dy d Tada je apsolutna pogreška: Poglavlje 6 Diferencijalni račun funkcije jedne varijable Problemi koji vode do koncepta derivacije Problem o brzini nejednolikog pravocrtnog gibanja S - zakon nejednolikog pravocrtnog gibanja Pravac na ravnini Opća jednadžba pravca. Prije nego uvedemo opću jednadžbu pravca na ravnini, uvedimo opću definiciju pravca. Definicija. Jednadžba oblika F(x,y)=0 (1) naziva se jednadžba linije L KOMISIJA ZA OPĆE I STRUČNO OBRAZOVANJE LENJINGRADSKE REGIJE DRŽAVNI PRORAČUN STRUČNE OBRAZOVNE USTANOVE LENJINGRADSKE REGIJE “VOLKHOV ALUMINUM COLLEGE” Metodološka Pravila derivacije i diferenciranja Neka funkcija y = f primi prirast y f 0 f 0 koji odgovara prirastu argumenta 0. Definicija Ako postoji ograničenje omjera prirasta funkcije y prema pozivatelju Moskovsko državno tehničko sveučilište nazvano po N.E. Bauman Fakultet temeljnih znanosti Zavod za matematičko modeliranje A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko INVERZNE FUNKCIJE Problemi u koje su uključene inverzne funkcije nalaze se u raznim granama matematike iu njezinim primjenama. Važno područje matematike su inverzni problemi u teoriji integrala Sustav zadataka na temu “Jednadžba tangente” Odredite predznak nagiba tangente povučene na graf funkcije y f (), u točkama s apscisama a, b, c a) b) Označite točke u kojima je izvodnica Odgovarajući izrazi koji se međusobno preokreću. Da biste razumjeli što to znači, vrijedi pogledati konkretan primjer. Recimo da imamo y = cos(x). Ako iz argumenta uzmete kosinus, možete pronaći vrijednost y. Očito, za ovo morate imati X. Ali što ako je igra u početku dana? Ovdje dolazi do srži stvari. Da biste riješili problem, morate koristiti inverznu funkciju. U našem slučaju to je arkosinus. Nakon svih transformacija dobivamo: x = arccos(y). To jest, da bi se našla funkcija inverzna datoj, dovoljno je jednostavno izraziti argument iz nje. Ali ovo funkcionira samo ako rezultirajući rezultat ima jedno značenje (više o tome kasnije). Općenito se ova činjenica može napisati na sljedeći način: f(x) = y, g(y) = x. Neka je f funkcija čija je domena skup X, a domena skup Y. Tada, ako postoji g čije domene obavljaju suprotne zadatke, tada je f invertibilna. Štoviše, u ovom slučaju g je jedinstven, što znači da postoji točno jedna funkcija koja zadovoljava ovo svojstvo (ni više, ni manje). Tada se naziva inverzna funkcija, a pismeno se označava na sljedeći način: g(x) = f -1 (x). Drugim riječima, mogu se smatrati binarnom relacijom. Reverzibilnost se javlja samo kada jedan element skupa odgovara jednoj vrijednosti od druge. Inverzna funkcija ne postoji uvijek. Da bi to učinili, svaki element y ê Y mora odgovarati najviše jednom x ê X. Tada se f naziva jedan-na-jedan ili injekcija. Ako f -1 pripada Y, tada svaki element tog skupa mora odgovarati nekom x ∈ X. Funkcije s ovim svojstvom nazivaju se surjekcije. Po definiciji vrijedi ako je Y slika f, ali to nije uvijek slučaj. Da bi bila inverzna, funkcija mora biti i injekcija i surjekcija. Takvi izrazi nazivaju se bijekcije. Funkcija je definirana na )
Definicija
Primjer: funkcije kvadrata i korijena
