Որքա՞ն է ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը: Կանոնավոր բազմանկյուն

8-րդ դասարանում դպրոցում երկրաչափության պարապմունքների ժամանակ աշակերտներին նախ ծանոթացնում են ուռուցիկ բազմանկյուն հասկացությանը: Շատ շուտով նրանք կիմանան, որ այս գործիչը շատ հետաքրքիր հատկություն ունի։ Որքան էլ բարդ լինի, ուռուցիկ բազմանկյան բոլոր ներքին և արտաքին անկյունների գումարը ստանում է խիստ սահմանված արժեք։ Այս հոդվածում մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի դասախոսը խոսում է այն մասին, թե ինչին է հավասար ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը։

Ուռուցիկ բազմանկյան ներքին անկյունների գումարը

Ինչպե՞ս ապացուցել այս բանաձևը:

Մինչ այս պնդման ապացույցին անցնելը, հիշենք, թե որ բազմանկյունն է կոչվում ուռուցիկ։ Ուռուցիկ բազմանկյունը այն բազմանկյունն է, որն ամբողջությամբ ընկած է գծի մի կողմում, որը պարունակում է նրա ցանկացած կողմը: Օրինակ, այս նկարում ցուցադրվածը.

Եթե ​​բազմանկյունը չի բավարարում նշված պայմանին, ապա այն կոչվում է ոչ ուռուցիկ։ Օրինակ, այսպես.

Ուռուցիկ բազմանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է , որտեղ է բազմանկյան կողմերի թիվը:

Այս փաստի ապացույցը հիմնված է բոլոր դպրոցականներին քաջ հայտնի եռանկյան անկյունների գումարի թեորեմի վրա։ Համոզված եմ, որ այս թեորեմը ձեզ էլ է ծանոթ։ Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է.

Գաղափարը ուռուցիկ բազմանկյունը մի քանի եռանկյունների բաժանելն է: Դա կարելի է անել տարբեր ձևերով: Կախված նրանից, թե որ մեթոդն ենք մենք ընտրում, ապացույցները մի փոքր տարբեր կլինեն:

1. Ուռուցիկ բազմանկյունը բաժանեք եռանկյունների՝ օգտագործելով որոշ գագաթից գծված բոլոր հնարավոր անկյունագծերը: Հեշտ է հասկանալ, որ այդ դեպքում մեր n-գոնը կբաժանվի եռանկյունների.

Ընդ որում, ստացված բոլոր եռանկյունների բոլոր անկյունների գումարը հավասար է մեր n-անկյունի անկյունների գումարին։ Ի վերջո, ստացված եռանկյունների յուրաքանչյուր անկյուն մասնակի անկյուն է մեր ուռուցիկ բազմանկյունում: Այսինքն՝ պահանջվող գումարը հավասար է .

2. Կարող եք նաև ընտրել մի կետ ուռուցիկ պոլիգոնի ներսում և միացնել այն բոլոր գագաթներին: Այնուհետև մեր n-գոնը կբաժանվի եռանկյունների.

Ավելին, մեր բազմանկյան անկյունների գումարն այս դեպքում հավասար կլինի այս բոլոր եռանկյունների բոլոր անկյունների գումարին` հանած կենտրոնական անկյունը, որը հավասար է . Այսինքն՝ պահանջվող գումարը կրկին հավասար է .

Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը

Հիմա եկեք հարց տանք. «Որքա՞ն է ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը»: Այս հարցին կարելի է պատասխանել հետևյալ կերպ. Յուրաքանչյուր արտաքին անկյուն հարում է համապատասխան ներքինին։ Հետևաբար այն հավասար է.

Այնուհետև բոլոր արտաքին անկյունների գումարը հավասար է . Այսինքն՝ հավասար է։

Այսինքն՝ ստացվում է շատ զվարճալի արդյունք։ Եթե ​​ուռուցիկ n-անկյունի բոլոր արտաքին անկյունները հաջորդաբար գծենք մեկը մյուսի հետևից, ապա արդյունքը կլինի հենց ամբողջ հարթությունը:

Այս հետաքրքիր փաստը կարելի է պատկերացնել հետևյալ կերպ. Եկեք համեմատաբար փոքրացնենք ինչ-որ ուռուցիկ բազմանկյան բոլոր կողմերը, մինչև այն միաձուլվի մի կետի: Դա տեղի ունենալուց հետո բոլոր արտաքին անկյունները կդնեն մեկը մյուսից և այդպիսով կլցնեն ամբողջ հարթությունը:

Հետաքրքիր փաստ է, այնպես չէ՞։ Իսկ երկրաչափության մեջ նման փաստեր շատ կան։ Այսպիսով, սովորեք երկրաչափություն, սիրելի դպրոցականներ:

Նյութը, թե ինչին է հավասար ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը, պատրաստել է Սերգեյ Վալերիևիչը

Բազմանկյուններ. Բազմանկյունների տեսակները. Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին և արտաքին անկյունները: Ուռուցիկ n-անկյունի ներքին անկյունների գումարը (թեորեմ): Ուռուցիկ n-անկյունի արտաքին անկյունների գումարը (թեորեմ): Կանոնավոր բազմանկյուններ. Կանոնավոր բազմանկյունով շրջագծված շրջան (թեորեմ, հետևություն 1,2)

Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը ձևավորվում է այս գագաթին միացող նրա կողմերի կողմից: Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունը տվյալ գագաթում ներքինին հարող անկյունն է այս գագաթին: ներքին անկյուն արտաքին անկյուն

Թեորեմ. Ուռուցիկ բազմանկյան ներքին անկյունների գումարը (n – 2) · 180 о, որտեղ n-ը բազմանկյան կողմերի թիվն է։ Տրված է՝ ուռուցիկ n-gon. Ապացուցեք՝ α = (n – 2) ·180 о Ապացույց n-անկյունի ներսում վերցրեք կամայական O կետ և միացրեք այն բոլոր գագաթներին: Բազմանկյունը կբաժանվի n եռանկյունիների՝ ընդհանուր O գագաթով: Յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը 180 o է, հետևաբար, բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը 180 o n է: Այս գումարը, բացի բազմանկյան բոլոր ներքին անկյունների գումարից, ներառում է եռանկյունների անկյունների գումարը O գագաթին, որը հավասար է 360 աստիճանի։ Այսպիսով, բազմանկյան բոլոր ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o: Այսպիսով, n = (n – 2) 180 o: և այլն: Օ

Թեորեմ. Ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունների գումարը՝ վերցված յուրաքանչյուր գագաթին մեկական, կախված չէ n-ից և հավասար է 360-ի, որտեղ n-ը n-անկյունի կողմերի թիվն է։ Ապացույց. Քանի որ բազմանկյան արտաքին անկյունը կից է համապատասխան ներքին անկյան հետ, իսկ հարակից անկյունների գումարը հավասար է 180-ի, ապա բազմանկյան արտաքին անկյունների գումարը հավասար է՝ 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Արտաքին և ներքին ներքին Այսպիսով, ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունների գումարը, վերցված յուրաքանչյուր գագաթին մեկական, կախված չէ n-ից և հավասար է 360 o-ի, որտեղ n-ը n-անկյունի կողմերի թիվն է։ և այլն:

Թեորեմ. Ցանկացած կանոնավոր պոլիգոնում կարելի է շրջանագիծ ներգծել, այն էլ միայն մեկը: Ապացույց. Թող A1,A2,…,A n լինի կանոնավոր բազմանկյուն, O շրջագծված շրջանագծի կենտրոն: OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, հետևաբար O գագաթից գծված այս եռանկյունների բարձրությունները նույնպես հավասար են ОН1 = ОН2 =…= ОНn: Հետևաբար, O կենտրոնով և OH1 շառավղով շրջան ունեցող շրջանն անցնում է H1, H2, ..., Hn կետերով և դիպչում է բազմանկյան կողմերին այս կետերում, այսինքն. շրջանագիծը մակագրված է տրված բազմանկյան մեջ։ Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 Ան

Փաստենք, որ կա միայն մեկ ներգծված շրջան։ Ենթադրենք, որ կա O կենտրոնով և OA շառավղով մեկ այլ շրջան: Այնուհետև նրա կենտրոնը հավասար հեռավորության վրա է բազմանկյան կողմերից, այսինքն՝ O1 կետը գտնվում է բազմանկյունի անկյունների յուրաքանչյուր կիսիչի վրա և, հետևաբար, համընկնում է այս կիսանկյունների հատման O կետի հետ: Այս շրջանագծի շառավիղը հավասար է O կետից բազմանկյան կողմերի հեռավորությանը, այսինքն. հավասար է OH1-ի թեորեմն ապացուցված է: Եզրակացություն 1 Կանոնավոր բազմանկյան մեջ ներգծված շրջանագիծը դիպչում է բազմանկյան կողմերին իրենց միջնակետերում: Եզրակացություն 2 Կանոնավոր բազմանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է նույն բազմանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ:

Ձեր բազմանկյունը: Օրինակ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 15 կողմ ունեցող կանոնավոր բազմանկյան անկյունները, փոխարինեք n=15 հավասարման մեջ: Դուք կստանաք S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰:

Հաջորդը, ստացված ներքին անկյունների գումարը բաժանեք դրանց թվին: Օրինակ՝ բազմանկյունում անկյունների թիվը կողմերի քանակն է, այսինքն՝ 15։ Այսպիսով, ստացվում է, որ անկյունը 2340⁰/15=156⁰ է։ Բազմանկյունի յուրաքանչյուր ներքին անկյուն 156⁰ է:

Եթե ​​ձեզ համար ավելի հարմար է ռադիաններով հաշվարկել բազմանկյան անկյունները, ապա վարվեք հետևյալ կերպ. Կողմերի թվից հանել 2 թիվը և ստացված տարբերությունը բազմապատկել P (Pi) թվով։ Այնուհետև արտադրյալը բաժանեք բազմանկյունի անկյունների քանակով: Օրինակ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել կանոնավոր 15-անկյունի անկյունները, գործեք հետևյալ կերպ. անփոփոխ): Կամ պարզապես անկյան չափը բաժանեք աստիճաններով 57,3-ով, ահա թե որքան է պարունակվում մեկ ռադիանում:

Կարող եք նաև փորձել աստիճաններով հաշվարկել կանոնավոր բազմանկյունի անկյունները: Դա անելու համար կողմերի թվից հանեք 2, ստացված թիվը բաժանեք կողմերի թվով և ստացվածը բազմապատկեք 200-ով: Անկյունների չափման այս միավորն այսօր գրեթե չի օգտագործվում, բայց եթե որոշել եք անկյունները հաշվարկել աստիճաններով, մի մոռացեք, որ աստիճանները բաժանվում են մետրային վայրկյանների և րոպեների (րոպեում 100 վայրկյան):

Ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել հաշվարկել կանոնավոր բազմանկյունի արտաքին անկյունը, որի դեպքում դա արեք: Ներքին անկյունը հանեք 180⁰-ից, արդյունքում կստանաք հարակից, այսինքն՝ արտաքին անկյան արժեքը։ Այն կարող է վերցնել -180⁰-ից մինչև +180⁰ արժեք:

Օգտակար խորհուրդ

Եթե ​​ձեզ հաջողվի պարզել կանոնավոր բազմանկյան անկյունները, ապա հեշտությամբ կարող եք այն կառուցել: Գծե՛ք որոշակի երկարության մի կողմը և անկյունաչափով գծե՛ք նրանից ցանկալի անկյունը: Չափեք ճիշտ նույն հեռավորությունը (կանոնավոր բազմանկյան բոլոր կողմերը հավասար են) և կրկին մի կողմ դրեք ցանկալի անկյունը: Շարունակեք մինչև կողմերը հանդիպեն:

Աղբյուրներ:

• անկյունը կանոնավոր բազմանկյունում

Շրջապատված բազմանկյունը այն բազմանկյունն է, որի բոլոր կողմերը հպվում են դրանում ներգծված շրջանագծին: Դուք կարող եք նկարագրել միայն կանոնավոր բազմանկյուն, այսինքն՝ այն, որտեղ բոլոր կողմերը հավասար են: Հնագույն ճարտարապետները բախվել են նմանատիպ խնդրի լուծմանը, երբ նրանք պետք է նախագծեին, օրինակ, սյունակ: Ժամանակակից տեխնոլոգիաները հնարավորություն են տալիս դա անել նվազագույն ժամանակով, սակայն գործողության սկզբունքը մնում է նույնը, ինչ դասական երկրաչափության մեջ։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - կողմնացույց;
• - անկյունաչափ;
• - քանոն;
• - թուղթ.

Հրահանգներ

Տրվածով շրջան գծի՛ր։ Սահմանեք դրա կենտրոնը որպես O և գծեք շառավիղներից մեկը, որպեսզի կարողանաք սկսել շինարարությունը: Նրա շուրջը բազմանկյուն նկարագրելու համար անհրաժեշտ է նրա միակ պարամետրը՝ կողմերի քանակը։ Պիտակավորիր այն n.

Հիշեք, ցանկացած շրջանագծի անկյունը: 360° է։ Դրա հիման վրա կարելի է հաշվարկել այն հատվածների անկյունները, որոնց կողմերը կկապի շրջանագծի կենտրոնը բազմանկյունի կողմերի հետ շփման կետերի հետ։ Այս հատվածների թիվը հավասար է բազմանկյան կողմերի թվին, այսինքն՝ n։ Գտե՛ք α անկյունը՝ օգտագործելով α = 360°/n բանաձեւը:

Օգտագործելով անկյունաչափ, գծեք ստացված անկյունը շառավղից և գծեք մեկ այլ շառավիղ դրա միջով: Ճշգրիտ հաշվարկներ ապահովելու համար օգտագործեք հաշվիչ և կլոր արժեքներ միայն բացառիկ դեպքերում: Այս նոր շառավղից կրկին մի կողմ դրեք հատվածի անկյունը և մեկ այլ ուղիղ գիծ գծեք կենտրոնի և շրջանագծի միջև: Կառուցեք բոլոր անկյունները նույն ձևով:

Եռանկյուն, քառակուսի, վեցանկյուն - այս թվերը հայտնի են գրեթե բոլորին: Բայց ոչ բոլորը գիտեն, թե ինչ է կանոնավոր բազմանկյունը: Բայց սրանք բոլորը նույնն են. Կանոնավոր բազմանկյունն այն է, որն ունի հավասար անկյուններ և կողմեր: Նման թվերը շատ են, բայց դրանք բոլորն ունեն նույն հատկությունները, և նրանց նկատմամբ կիրառվում են նույն բանաձևերը:

Կանոնավոր բազմանկյունների հատկությունները

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն՝ լինի դա քառակուսի կամ ութանկյուն, կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ։ Այս հիմնական հատկությունը հաճախ օգտագործվում է գործիչ կառուցելիս: Բացի այդ, շրջանակը կարող է մակագրվել բազմանկյունի: Այս դեպքում շփման կետերի քանակը հավասար կլինի նրա կողմերի թվին: Կարևոր է, որ կանոնավոր բազմանկյան մեջ ներգծված շրջանագիծն իր հետ ունենա ընդհանուր կենտրոն։ Այս երկրաչափական պատկերները ենթակա են նույն թեորեմների: Կանոնավոր n-անկյունի ցանկացած կողմ կապված է այն շրջապատող R շրջանագծի հետ, հետևաբար, այն կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով. a = 2R ∙ sin180°: Միջոցով դուք կարող եք գտնել ոչ միայն կողմերը, այլև պոլիգոնի պարագիծը:

Ինչպես գտնել կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թիվը

Ցանկացած մեկը բաղկացած է միմյանց հավասար հատվածների որոշակի քանակից, որոնք միանալիս կազմում են փակ գիծ։ Այս դեպքում ստացված գործչի բոլոր անկյուններն ունեն նույն արժեքը: Բազմանկյունները բաժանվում են պարզ և բարդ: Առաջին խումբը ներառում է եռանկյուն և քառակուսի: Բարդ բազմանկյուններն ավելի շատ կողմեր ​​ունեն։ Դրանց թվում են նաև աստղաձև պատկերներ։ Բարդ կանոնավոր բազմանկյունների համար կողմերը հայտնաբերվում են շրջանագծով մակագրելով: Եկեք ապացույց տանք. Գծե՛ք կանոնավոր բազմանկյուն n կողմերի կամայական թվով: Շրջանակ գծեք դրա շուրջը: Սահմանեք R շառավիղը: Այժմ պատկերացրեք, որ ձեզ տրված է որոշ n-գոն: Եթե ​​նրա անկյունների կետերը ընկած են շրջանագծի վրա և հավասար են միմյանց, ապա կողմերը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը՝ a = 2R ∙ sinα: 2:

Գտեք ներգծված կանոնավոր եռանկյան կողմերի թիվը

Հավասարակողմ եռանկյունը կանոնավոր բազմանկյուն է: Դրա համար կիրառվում են նույն բանաձևերը, ինչ քառակուսի և n-անկյուն: Եռանկյունը կհամարվի կանոնավոր, եթե նրա կողմերը հավասար են երկարությամբ: Այս դեպքում անկյունները 60⁰ են։ Կառուցենք տրված կողմի երկարությամբ a եռանկյուն: Իմանալով նրա միջնագիծը և բարձրությունը՝ կարող եք գտնել նրա կողմերի արժեքը: Դա անելու համար մենք կօգտագործենք a = x բանաձեւի միջոցով գտնելու մեթոդը՝ cosα, որտեղ x-ը միջինն է կամ բարձրությունը: Քանի որ եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են, մենք ստանում ենք a = b = c: Այդ դեպքում ճշմարիտ կլինի հետևյալ պնդումը՝ a = b = c = x: cosα: Նմանապես, դուք կարող եք գտնել կողմերի արժեքը հավասարաչափ եռանկյան մեջ, բայց x-ը կլինի տրված բարձրությունը: Այս դեպքում այն ​​պետք է խստորեն նախագծված լինի գործչի հիմքի վրա: Այսպիսով, իմանալով x բարձրությունը, մենք գտնում ենք հավասարաչափ եռանկյան a կողմը՝ օգտագործելով a = b = x: cosα բանաձևը: a-ի արժեքը գտնելուց հետո կարող եք հաշվարկել c հիմքի երկարությունը։ Կիրառենք Պյութագորասի թեորեմը։ Մենք կփնտրենք c հիմքի կեսի արժեքը՝ 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) :cos^2α = x ∙ tanα: Այնուհետև c = 2xtanα: Այս պարզ եղանակով դուք կարող եք գտնել ցանկացած մակագրված բազմանկյունի կողմերի թիվը:

Շրջանակով գծված քառակուսու կողմերի հաշվարկը

Ինչպես ցանկացած այլ ներգծված կանոնավոր բազմանկյուն, քառակուսին նույնպես ունի հավասար կողմեր ​​և անկյուններ: Դրա համար կիրառվում են նույն բանաձևերը, ինչ եռանկյունին: Դուք կարող եք հաշվարկել քառակուսու կողմերը՝ օգտագործելով անկյունագծային արժեքը: Դիտարկենք այս մեթոդը ավելի մանրամասն: Հայտնի է, որ անկյունագիծը կիսում է անկյունը: Սկզբում դրա արժեքը 90 աստիճան էր։ Այսպիսով, բաժանումից հետո երկուսը ձևավորվում են հիմքում նրանց անկյունները հավասար կլինեն 45 աստիճանի: Համապատասխանաբար, քառակուսու յուրաքանչյուր կողմը հավասար կլինի, այսինքն՝ a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, որտեղ e-ն քառակուսու անկյունագիծն է կամ դրանից հետո ձևավորված ուղղանկյուն եռանկյան հիմքը: բաժանում. Սա քառակուսու կողմերը գտնելու միակ միջոցը չէ։ Եկեք այս պատկերը գրենք շրջանագծի մեջ: Իմանալով այս R շրջանագծի շառավիղը, մենք գտնում ենք քառակուսու կողմը: Մենք այն կհաշվարկենք հետևյալ կերպ՝ a4 = R√2: Կանոնավոր բազմանկյունների շառավիղները հաշվարկվում են R = a բանաձևով: 2tg (360 o: 2n), որտեղ a-ն կողմի երկարությունն է:

Ինչպես հաշվարկել n-gon-ի պարագիծը

n-անկյունի պարագիծը նրա բոլոր կողմերի գումարն է: Հեշտ է հաշվարկել: Դա անելու համար դուք պետք է իմանաք բոլոր կողմերի իմաստները: Բազմանկյունների որոշ տեսակների համար կան հատուկ բանաձևեր։ Նրանք թույլ են տալիս շատ ավելի արագ գտնել պարագիծը: Հայտնի է, որ ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն ունի հավասար կողմեր։ Ուստի դրա պարագիծը հաշվարկելու համար բավական է իմանալ դրանցից գոնե մեկը։ Բանաձևը կախված կլինի նկարի կողմերի քանակից: Ընդհանուր առմամբ, այն ունի հետևյալ տեսքը՝ P = an, որտեղ a-ն կողային արժեքն է, իսկ n-ը՝ անկյունների թիվը: Օրինակ՝ 3 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր ութանկյունի պարագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 8-ով, այսինքն՝ P = 3 ∙ 8 = 24 սմ վեցանկյունի համար 5 սմ կողմով հետևյալ կերպ՝ P = 5 ∙ 6 = 30 սմ Եվ այսպես՝ յուրաքանչյուր բազմանկյունի համար:

Գտնել զուգահեռագծի, քառակուսու և ռոմբի պարագիծը

Կախված նրանից, թե քանի կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, հաշվարկվում է նրա պարագիծը։ Սա շատ ավելի հեշտացնում է առաջադրանքը: Իսկապես, ի տարբերություն այլ գործիչների, այս դեպքում պետք չէ փնտրել դրա բոլոր կողմերը, բավական է մեկը։ Նույն սկզբունքով մենք գտնում ենք քառանկյունների պարագիծը, այսինքն՝ քառակուսի և ռոմբուս։ Չնայած այն հանգամանքին, որ դրանք տարբեր թվեր են, դրանց բանաձևը նույնն է. P = 4a, որտեղ a-ն կողմն է: Օրինակ բերենք. Եթե ​​ռոմբի կամ քառակուսու կողմը 6 սմ է, ապա պարագիծը գտնում ենք հետևյալ կերպ. Հետեւաբար, նրա պարագիծը հայտնաբերվում է այլ մեթոդով: Այսպիսով, մենք պետք է իմանանք նկարի a երկարությունը և b լայնությունը: Այնուհետև կիրառում ենք P = (a + b) ∙ 2 բանաձևը: Զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են, կոչվում է ռոմբ:

Գտնել հավասարակողմ և ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը

Ճիշտի պարագիծը կարելի է գտնել օգտագործելով P = 3a բանաձեւը, որտեղ a-ն կողմի երկարությունն է: Եթե ​​դա անհայտ է, ապա այն կարելի է գտնել մեդիանայի միջոցով: Ուղղանկյուն եռանկյունում միայն երկու կողմերն ունեն հավասար արժեք: Հիմքը կարելի է գտնել Պյութագորասի թեորեմի միջոցով։ Երբ բոլոր երեք կողմերի արժեքները հայտնի են, մենք հաշվարկում ենք պարագիծը: Այն կարելի է գտնել օգտագործելով P = a + b + c բանաձևը, որտեղ a և b-ը հավասար կողմեր ​​են, իսկ c-ն հիմքն է: Հիշեցնենք, որ հավասարաչափ եռանկյունում a = b = a, որը նշանակում է a + b = 2a, ապա P = 2a + c: Օրինակ, հավասարաչափ եռանկյան կողմը 4 սմ է, եկեք գտնենք դրա հիմքը և պարագիծը: Մենք հաշվարկում ենք հիպոթենուսի արժեքը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 սմ Այժմ հաշվարկեք պարագիծը P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 սմ:

Ինչպես գտնել կանոնավոր բազմանկյան անկյունները

Մեր կյանքում ամեն օր հանդիպում է կանոնավոր բազմանկյուն, օրինակ՝ կանոնավոր քառակուսի, եռանկյուն, ութանկյուն: Թվում է, թե այս գործիչը ինքներդ կառուցելուց ավելի հեշտ բան չկա: Բայց սա պարզ է միայն առաջին հայացքից: Ցանկացած n-անկյուն կառուցելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա անկյունների արժեքը: Բայց ինչպես գտնել դրանք: Նույնիսկ հին գիտնականները փորձել են կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցել: Նրանք հասկացան, թե ինչպես դրանք տեղավորել շրջանակների մեջ: Իսկ հետո դրա վրա նշվեցին անհրաժեշտ կետերը և միացվեցին ուղիղ գծերով։ Պարզ թվերի համար շինարարության խնդիրը լուծվեց։ Ստացվել են բանաձևեր և թեորեմներ։ Օրինակ, Էվկլիդեսը իր հայտնի «Սկիզբ» աշխատության մեջ զբաղվում էր 3-, 4-, 5-, 6- և 15-գոնների խնդիրների լուծմանը։ Նա գտավ դրանք կառուցելու և անկյուններ գտնելու ուղիներ: Եկեք նայենք, թե ինչպես դա անել 15 գոնի համար: Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա ներքին անկյունների գումարը: Անհրաժեշտ է օգտագործել S = 180⁰(n-2) բանաձեւը։ Այսպիսով, մեզ տրվում է 15 գոն, ինչը նշանակում է, որ n թիվը 15 է: Մենք փոխարինում ենք մեզ հայտնի տվյալները բանաձևով և ստանում S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰: Մենք գտանք 15 գոնի բոլոր ներքին անկյունների գումարը: Այժմ դուք պետք է ստանաք դրանցից յուրաքանչյուրի արժեքը: Ընդհանուր առմամբ կա 15 անկյուն: Մենք հաշվարկում ենք 2340⁰: 15 = 156⁰: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր ներքին անկյուն հավասար է 156⁰-ի, այժմ քանոնի և կողմնացույցի միջոցով կարող եք կառուցել կանոնավոր 15-անկյուն: Բայց ինչ վերաբերում է ավելի բարդ n-gon-ներին: Շատ դարեր շարունակ գիտնականները պայքարել են այս խնդիրը լուծելու համար։ Այն հայտնաբերվել է միայն 18-րդ դարում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի կողմից: Նա կարողացավ կառուցել 65537 գոն: Այդ ժամանակվանից խնդիրը պաշտոնապես համարվում է ամբողջությամբ լուծված։

n-գոնների անկյունների հաշվարկ ռադիաններով

Իհարկե, բազմանկյունների անկյունները գտնելու մի քանի եղանակ կա։ Ամենից հաճախ դրանք հաշվարկվում են աստիճաններով: Բայց դրանք կարող են արտահայտվել նաև ռադիաններով։ Ինչպե՞ս դա անել: Դուք պետք է շարունակեք հետևյալը. Սկզբում պարզում ենք կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թիվը, այնուհետև նրանից հանում ենք 2, Սա նշանակում է, որ մենք ստանում ենք արժեքը՝ n - 2: Գտնված տարբերությունը բազմապատկում ենք n թվով (“pi” = 3.14): Այժմ մնում է ստացված արտադրյալը բաժանել n-անկյունի անկյունների թվին։ Դիտարկենք այս հաշվարկները՝ օգտագործելով նույն տասնանկյունը որպես օրինակ։ Այսպիսով, n թիվը 15 է: Եկեք կիրառենք S = n(n - 2) բանաձևը: n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72: Սա, իհարկե, ռադիաններով անկյունը հաշվարկելու միակ միջոցը չէ։ Դուք պարզապես կարող եք անկյունը բաժանել աստիճաններով 57,3-ով: Ի վերջո, սա այն է, թե քանի աստիճան է համարժեք մեկ ռադիանի:

Անկյունների հաշվարկը աստիճաններով

Բացի աստիճաններից և ռադիաններից, դուք կարող եք փորձել գտնել կանոնավոր բազմանկյան անկյունները աստիճաններով: Դա արվում է հետևյալ կերպ. Անկյունների ընդհանուր թվից հանել 2 և ստացված տարբերությունը բաժանել կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի թվի վրա: Գտնված արդյունքը մենք բազմապատկում ենք 200-ով: Ի դեպ, անկյունների չափման այնպիսի միավոր, ինչպիսին աստիճաններն են, գործնականում չի օգտագործվում:

n-անկյունների արտաքին անկյունների հաշվարկ

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի համար, բացի ներքինից, կարող եք հաշվարկել նաև արտաքին անկյունը։ Դրա արժեքը հայտնաբերվում է այնպես, ինչպես մյուս գործիչների համար: Այսպիսով, կանոնավոր բազմանկյունի արտաքին անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ներքինի արժեքը։ Ավելին, մենք գիտենք, որ այս երկու անկյունների գումարը միշտ հավասար է 180 աստիճանի: Հետևաբար, մենք հաշվարկները կատարում ենք հետևյալ կերպ՝ 180⁰ հանած ներքին անկյան արժեքը։ Մենք գտնում ենք տարբերությունը. Այն հավասար կլինի դրան հարող անկյան արժեքին։ Օրինակ, քառակուսու ներքին անկյունը 90 աստիճան է, ինչը նշանակում է, որ արտաքին անկյունը կլինի 180⁰ - 90⁰ = 90⁰: Ինչպես տեսնում ենք, դժվար չէ գտնել։ Արտաքին անկյունը կարող է համապատասխանաբար ընդունել +180⁰-ից մինչև -180⁰ արժեք:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: