Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես արագ քառակուսի դնել մեծ արտահայտություններն առանց հաշվիչի: Մեծ հաշվով նկատի ունեմ տասից մինչև հարյուր թվեր: Խոշոր արտահայտությունները չափազանց հազվադեպ են իրական խնդիրներում, և դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես կարելի է հաշվել տասից պակաս արժեքներ, քանի որ սա սովորական բազմապատկման աղյուսակ է: Այսօրվա դասի նյութը օգտակար կլինի բավականին փորձառու ուսանողների համար, քանի որ սկսնակ ուսանողները պարզապես չեն գնահատի այս տեխնիկայի արագությունն ու արդյունավետությունը:
Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչի մասին է խոսքը մենք խոսում ենք. Որպես օրինակ, ես առաջարկում եմ կառուցել կամայական թվային արտահայտություն, ինչպես մենք սովորաբար անում ենք: Ասենք 34. Բարձրացնում ենք՝ բազմապատկելով ինքն իրեն սյունակով.
\[((34)^(2))=\ անգամ \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156)))\]
1156-ը 34 քառակուսին է։
Այս մեթոդի խնդիրը կարելի է նկարագրել երկու կետով.
1) դա պահանջում է գրավոր փաստաթղթեր.
2) հաշվարկման գործընթացում շատ հեշտ է սխալվել.
Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես արագ բազմապատկել առանց հաշվիչի, բանավոր և գործնականում առանց սխալների:
Այսպիսով, եկեք սկսենք: Աշխատելու համար մեզ անհրաժեշտ է գումարի և տարբերության քառակուսու բանաձևը: Եկեք գրենք դրանք.
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ի՞նչ է սա մեզ տալիս: Փաստն այն է, որ 10-ից 100 միջակայքում ցանկացած արժեք կարող է ներկայացվել որպես $a$, որը բաժանվում է 10-ի, և $b$ թիվ, որը 10-ի բաժանման մնացորդն է։
Օրինակ, 28-ը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Մնացած օրինակները ներկայացնում ենք նույն ձևով.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Ի՞նչ է մեզ ասում այս գաղափարը: Փաստն այն է, որ գումարով կամ տարբերությամբ մենք կարող ենք կիրառել վերը նկարագրված հաշվարկները։ Իհարկե, հաշվարկները կրճատելու համար յուրաքանչյուր տարրի համար պետք է ընտրել ամենափոքր երկրորդ անդամով արտահայտությունը։ Օրինակ՝ $20+8$ և $30-2$ տարբերակներից պետք է ընտրել $30-2$ տարբերակը։
Մենք նմանապես ընտրում ենք տարբերակներ մնացած օրինակների համար.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Ինչո՞ւ արագ բազմապատկելիս պետք է ձգտենք կրճատել երկրորդ անդամը: Խոսքը գնում է գումարի և տարբերության քառակուսու նախնական հաշվարկների մասին: Փաստն այն է, որ $2ab$ տերմինը գումարած կամ մինուսով ամենադժվարն է հաշվարկել իրական խնդիրներ լուծելիս։ Եվ եթե $a$ գործակիցը, որը 10-ի բազմապատիկն է, միշտ հեշտությամբ բազմապատկվում է, ապա $b$ գործակիցով, որը մեկից մինչև տասը տատանվող թիվ է, շատ ուսանողներ պարբերաբար դժվարություններ են ունենում:
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Այսպիսով, երեք րոպեում մենք կատարեցինք ութ օրինակների բազմապատկում: Դա յուրաքանչյուր արտահայտության համար 25 վայրկյանից պակաս է: Իրականում մի փոքր պարապելուց հետո էլ ավելի արագ կհաշվեք։ Ցանկացած երկնիշ արտահայտություն հաշվարկելու համար ձեզանից կպահանջվի ոչ ավելի, քան հինգից վեց վայրկյան:
Բայց սա դեռ ամենը չէ: Նրանց համար, ում ցուցադրված տեխնիկան բավականաչափ արագ և բավականաչափ սառն է թվում, ես ավելին եմ առաջարկում արագ ճանապարհԲազմապատկում, որը, սակայն, աշխատում է ոչ բոլոր առաջադրանքների համար, այլ միայն նրանց համար, որոնք մեկով տարբերվում են 10-ի բազմապատիկներից: Մեր դասում կան չորս այդպիսի արժեքներ՝ 51, 21, 81 և 39:
Դա շատ ավելի արագ կթվա, մենք արդեն հաշվում ենք դրանք բառացիորեն մի քանի տողով. Բայց, փաստորեն, հնարավոր է արագացնել, և դա արվում է հետևյալ կերպ. Մենք գրում ենք այն արժեքը, որը տասի բազմապատիկն է, որն ամենամոտն է մեզ անհրաժեշտին: Օրինակ՝ վերցնենք 51։ Հետևաբար, սկսելու համար կառուցենք հիսուն.
\[{{50}^{2}}=2500\]
Տասը բազմապատիկները շատ ավելի հեշտ է քառակուսի դարձնել: Իսկ հիմա սկզբնական արտահայտությանը մենք ուղղակի ավելացնում ենք հիսուն և 51. Պատասխանը կլինի նույնը.
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Եվ այսպես, բոլոր թվերով, որոնք տարբերվում են մեկով:
Եթե մեր փնտրած արժեքը ավելի մեծ է, քան հաշվածը, ապա ստացված քառակուսին թվեր ենք ավելացնում: Եթե ցանկալի թիվն ավելի փոքր է, ինչպես 39-ի դեպքում, ապա գործողությունը կատարելիս պետք է արժեքը հանել քառակուսուց։ Եկեք պարապենք առանց հաշվիչ օգտագործելու.
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Ինչպես տեսնում եք, բոլոր դեպքերում պատասխանները նույնն են։ Ավելին, այս տեխնիկան կիրառելի է ցանկացած հարակից արժեքների համար: Օրինակ:
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Միևնույն ժամանակ, մենք կարիք չունենք հիշելու գումարի և տարբերության քառակուսիների հաշվարկները և օգտագործել հաշվիչ։ Աշխատանքի արագությունը գովասանքից վեր է։ Հետևաբար, հիշեք, կիրառեք և օգտագործեք գործնականում:
Հիմնական կետերը
Այս տեխնիկայի միջոցով դուք հեշտությամբ կարող եք բազմապատկել ցանկացածը բնական թվեր 10-ից 100-ը: Ավելին, բոլոր հաշվարկները կատարվում են բանավոր, առանց հաշվիչի և նույնիսկ առանց թղթի:
Նախ, հիշեք արժեքների քառակուսիները, որոնք 10-ի բազմապատիկ են.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100։ \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Ինչպես ավելի արագ հաշվել
Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Օգտագործելով այս արտահայտությունները, դուք կարող եք ակնթարթորեն քառակուսի թվեր «կից» հղվողներին: Օրինակ, մենք գիտենք 152 (հղման արժեքը), բայց մենք պետք է գտնենք 142 (հարակից թիվ, որը մեկով պակաս է հղման արժեքից): Եկեք գրենք այն.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ոչ միստիկություն: Թվերի քառակուսիները, որոնք տարբերվում են 1-ով, իրականում ստացվում են հղման թվերը իրենցով բազմապատկելով՝ հանելով կամ ավելացնելով երկու արժեք.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
Ինչու է դա տեղի ունենում: Գրենք գումարի (և տարբերության) քառակուսու բանաձևը. Թող $n$-ը լինի մեր հղման արժեքը: Այնուհետև դրանք հաշվարկվում են այսպես.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
-սա է բանաձեւը.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]
- նմանատիպ բանաձև 1-ից մեծ թվերի համար:
Հուսով եմ, որ այս տեխնիկան կխնայի ձեր ժամանակը ձեր բոլոր մաթեմատիկայի թեստերի և քննությունների վրա: Եվ դա ինձ համար ամեն ինչ է: Կտեսնվենք!
Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր.
Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի ուսումնասիրություն՝ երկու արտահայտությունների գումարի և տարբերության քառակուսի; երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերություն; երկու արտահայտությունների գումարի և տարբերության խորանարդ; երկու արտահայտությունների խորանարդների գումարներն ու տարբերությունները.
Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի կիրառումը օրինակներ լուծելիս.
Արտահայտությունները, գործոնային բազմանդամները պարզեցնելու և բազմանդամները ստանդարտ ձևի վերածելու համար օգտագործվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր։ Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, որոնք դուք պետք է անգիր իմանաք.
Թող a, b R. Ապա.
1. Երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսին հավասար էառաջին արտահայտության քառակուսին գումարած առաջին արտահայտության արտադրյալի կրկնապատիկը և երկրորդին գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսին հավասար էառաջին արտահայտության քառակուսին հանած երկու անգամ առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդին գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:
(ա - բ) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Քառակուսիների տարբերություներկու արտահայտությունը հավասար է այս արտահայտությունների տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալին:
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Գումարի խորանարդերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին արտահայտության խորանարդին գումարած եռապատկել առաջին արտահայտության քառակուսու արտադրյալը և երկրորդին գումարած եռապատկել առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին գումարած երկրորդ արտահայտության խորանարդը:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Տարբերության խորանարդերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին արտահայտության խորանարդին մինուս եռակի առաջին արտահայտության քառակուսու արտադրյալը և երկրորդին գումարած եռակի առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին հանած երկրորդ արտահայտության խորանարդը:
(ա - բ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Խորանարդների գումարըերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին և երկրորդ արտահայտությունների գումարի և այս արտահայտությունների տարբերության թերի քառակուսու արտադրյալին։
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Խորանարդների տարբերությունըերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին և երկրորդ արտահայտությունների տարբերության արտադրյալին այս արտահայտությունների գումարի ոչ լրիվ քառակուսու վրա:
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի կիրառումը օրինակներ լուծելիս.
Օրինակ 1.
Հաշվիր
ա) Օգտագործելով երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսու բանաձևը՝ ունենք
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681 թ.
բ) Օգտագործելով երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսու բանաձևը, ստանում ենք
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Օրինակ 2.
Հաշվիր
Օգտագործելով երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերության բանաձևը, ստանում ենք
Օրինակ 3.
Պարզեցնել արտահայտությունը
(x - y) 2 + (x + y) 2
Օգտագործենք գումարի քառակուսու և երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսու բանաձևերը
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը մեկ աղյուսակում.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(ա - բ) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(ա + բ) 3 = ա 3 + 3 ա 2 բ + 3աբ 2 + բ 3
(ա - բ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Թվի քառակուսին մաթեմատիկական գործողության արդյունք է, որն այս թիվը բարձրացնում է երկրորդ աստիճանի, այսինքն՝ այս թիվը մեկ անգամ բազմապատկում է ինքն իրեն։ Ընդունված է նման գործողություն նշանակել հետևյալ կերպ. Z2, որտեղ Z-ը մեր թիվն է, 2-ը՝ «քառակուսու» աստիճանը: Մեր հոդվածը ձեզ կպատմի, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել թվի քառակուսին:
Հաշվիր քառակուսին
Եթե թիվը պարզ է և փոքր, ապա դա հեշտ է անել կամ ձեր գլխում, կամ օգտագործելով բազմապատկման աղյուսակը, որը մենք բոլորս լավ գիտենք: Օրինակ:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81:
Եթե թիվը մեծ է կամ «հսկայական», ապա կարող եք օգտագործել կամ քառակուսիների աղյուսակը, որը բոլորը սովորել են դպրոցում, կամ հաշվիչը: Օրինակ:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321:
Բացի այդ, վերը նշված երկու օրինակներից պահանջվող արդյունքը ստանալու համար կարող եք այս թվերը բազմապատկել սյունակի մեջ:
Ցանկացած կոտորակի քառակուսին ստանալու համար պետք է.
- Կոտորակը (եթե կոտորակն ունի ամբողջ թվային մաս կամ տասնորդական է) փոխարկեք ոչ պատշաճ կոտորակ. Եթե կոտորակը ճիշտ է, ուրեմն կարիք չկա որևէ բան փոխարկել։
- Բազմապատկեք հայտարարը հայտարարով, իսկ համարիչը՝ կոտորակի համարիչով:
Օրինակ:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
Այս տարբերակներից որևէ մեկի դեպքում ամենահեշտ ձևը հաշվիչ օգտագործելն է: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է.
- Մուտքագրեք թիվ ստեղնաշարի վրա
- Կտտացրեք «բազմապատկման» նշանով կոճակը
- Սեղմեք կոճակը հավասար նշանով
Նաև միշտ կարող եք օգտվել ինտերնետի որոնման համակարգերից, օրինակ՝ Google-ից: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է որոնման համակարգի դաշտում մուտքագրել համապատասխան հարցումը և ստանալ պատրաստի արդյունք։
Օրինակ՝ 9.17 թվի քառակուսին հաշվարկելու համար որոնման համակարգում պետք է մուտքագրել 9.17*9.17 կամ 9.17^2 կամ «9.17 քառակուսի»: Այս տարբերակներից որևէ մեկում որոնման համակարգկտա ձեզ ճիշտ արդյունք՝ 84.0889:
Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ձեզ հետաքրքրող ցանկացած թվի քառակուսին, լինի դա ամբողջ թիվ, թե կոտորակ, անկախ նրանից՝ մեծ է, թե փոքր:
- հետ շփման մեջ 0
- Google+ 0
- լավ 0
- Ֆեյսբուք 0
