Արդյո՞ք 24 թիվն ունի ամենամեծ բազմապատիկ: Բնական թվեր (N)

Հիմնաբառերվերացական:Ամբողջ թվեր. Թվաբանական գործողություններբնական թվերի նկատմամբ։ Բնական թվերի բաժանելիությունը. Պարզ և բաղադրյալ թվեր. Բնական թվի գործակցում պարզ գործոնների: Բաժանելիության նշանները 2-ի, 3-ի, 5-ի, 9-ի, 4-ի, 25-ի, 10-ի, 11-ի վրա: Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը (GCD), ինչպես նաև ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCD): Բաժանում մնացորդով.

Ամբողջ թվեր- սրանք թվեր են, որոնք օգտագործվում են օբյեկտները հաշվելու համար. 1, 2, 3, 4 , ... Բայց թիվը 0 բնական չէ!

Բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է Ն. Գրառում «3 ∈ N»նշանակում է, որ երեք թիվը պատկանում է բնական թվերի բազմությանը, իսկ նշումը «0 ∉ N»նշանակում է, որ զրո թիվը չի պատկանում այս բազմությանը։

Տասնորդական թվերի համակարգ- դիրքային արմատական ​​թվային համակարգ 10 .

Թվաբանական գործողություններ բնական թվերի վրա

Բնական թվերի համար սահմանվում են հետևյալ գործողությունները. գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում,հզորացում, արմատահանում։ Առաջին չորս գործողություններն են թվաբանություն.

Թող a, b և c լինեն բնական թվեր, ապա

1. ԼՐԱՑՈՒՄ. Ժամկետ + Ժամկետ = Գումար

Ավելացման հատկությունները
1. Հաղորդակցական a + b = b + a.
2. a + (b + c) = (a + b) + c շաղկապ:
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ՀԱՆՁՆԱՑՆԵԼ. Minuend - Subtrahend = Տարբերություն

Հանման հատկությունները
1. գումարը հանելով a - (b + c) = a - b - c թվից:
2. Գումարից հանելով թիվը (a + b) - c = a + (b - c); (ա + բ) - գ = (ա - գ) + բ.
3. ա - 0 = ա.
4. a - a = 0.

3. ԲԱԶՄԱՑՈՒՄ. Բազմապատկիչ * Բազմապատկիչ = Արտադրանք

Բազմապատկման հատկությունները
1. Հաղորդակցական a*b = b*a.
2. Կապակցական a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0:
5. Բաշխիչ (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. ԲԱԺԱՆՈՒՄ. Շահաբաժինը՝ բաժանարար = Քանակ

Բաժանման հատկությունները
1. ա: 1 = ա.
2. a: a = 1. Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի!
3. 0: a= 0:

Ընթացակարգը

1. Առաջին հերթին՝ փակագծերում տրված գործողությունները.
2. Հետո բազմապատկում, բաժանում:
3. Եվ միայն վերջում գումարում-հանում:

Բնական թվերի բաժանելիությունը. Պարզ և բաղադրյալ թվեր.

Բնական թվի բաժանարար Աայն բնական թիվն է, որին Աբաժանված է առանց մնացորդի. Թիվ 1 ցանկացած բնական թվի բաժանարար է:

Բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե միայն ունի երկուբաժանարար՝ մեկը և թիվն ինքնին։ Օրինակ՝ 2, 3, 11, 23 թվերը պարզ թվեր են։

Այն թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային. Օրինակ՝ 4, 8, 15, 27 թվերը բաղադրյալ թվեր են։

Բաժանելիության թեստ աշխատանքներըմի քանի թվեր. եթե գործոններից գոնե մեկը բաժանվում է որոշակի թվի, ապա արտադրյալը նույնպես բաժանվում է այս թվի վրա: Աշխատանք 24 15 77 բաժանված 12 , քանի որ այս թվի բազմապատկիչը 24 բաժանված 12 .

Գումարի բաժանելիության թեստ (տարբերություն)թվեր. եթե յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է որոշակի թվի, ապա ամբողջ գումարը բաժանվում է այս թվի վրա: Եթե ա՝ բԵվ գ՝ բ, Դա (ա + գ) : բ. Եւ եթե ա՝ բ, Ա գչի բաժանվում բ, Դա ա+գթվի վրա չի բաժանվում բ.

Եթե ա: գԵվ գ՝ բ, Դա ա՝ բ. Ելնելով այն փաստից, որ 72:24 և 24:12, մենք եզրակացնում ենք, որ 72:12.

Թվի ներկայացումը որպես պարզ թվերի հզորությունների արտադրյալ կոչվում է թվերը պարզ գործոնների վերածելը.

Թվաբանության հիմնարար թեորեմցանկացած բնական թիվ (բացի 1 ) կամ է պարզ, կամ այն ​​կարող է ֆակտորիզացվել միայն մեկ եղանակով.

Թիվը պարզ գործակիցների բաժանելիս օգտագործվում են բաժանելիության նշանները և օգտագործվում է «սյունակ» նշումը, այս դեպքում բաժանարարը գտնվում է ուղղահայաց գծից աջ, իսկ գործակիցը գրվում է դիվիդենտի տակ:

Օրինակ՝ առաջադրանք. թիվը վերածել պարզ գործակիցների 330 . Լուծում:

Բաժանելիության նշանները 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 և 11:

Կան բաժանելիության նշաններ 6, 15, 45 և այլն, այսինքն՝ թվերի մեջ, որոնց արտադրյալը կարող է ֆակտորիզացվել 2, 3, 5, 9 Եվ 10 .

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Ամենամեծ բնական թիվը, որով տրված երկու բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըայս թվերը ( GCD) Օրինակ, GCD (10; 25) = 5; և GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1:

Եթե ​​երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար է 1 , ապա այս թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային.

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ալգորիթմ(ՆՈԴ)

GCD-ն հաճախ օգտագործվում է խնդիրների դեպքում: Օրինակ՝ մեկ դասարանում աշակերտների միջև հավասարապես բաժանվել է 155 տետր և 62 գրիչ։ Քանի՞ աշակերտ կա այս դասարանում:

Լուծում: Այս դասարանի աշակերտների թիվը գտնելը հանգում է նրան, որ գտնենք 155 և 62 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, քանի որ տետրերն ու գրիչները բաժանվել են հավասար: 155 = 5 31; 62 = 2 31: GCD (155; 62) = 31.

Պատասխան. դասարանում 31 աշակերտ։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Բնական թվի բազմապատիկները Աբնական թիվ է, որը բաժանվում է Աառանց հետքի. Օրինակ՝ համարը 8 ունի բազմապատիկ՝ 8, 16, 24, 32 , ... Ցանկացած բնական թիվ ունի անսահման շատ բազմապատիկ:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը(LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որն այս թվերի բազմապատիկն է։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու ալգորիթմ ( ՀԱՕԿ):

LCM-ն հաճախ օգտագործվում է նաև խնդիրների դեպքում: Օրինակ, երկու հեծանվորդներ միաժամանակ մեկնարկեցին հեծանվահրապարակի երկայնքով նույն ուղղությամբ: Մեկը շրջանագիծ է անում 1 րոպեում, իսկ մյուսը՝ 45 վայրկյանում։ Շարժման մեկնարկից հետո քանի՞ րոպեի ընթացքում նրանք կհանդիպեն մեկնարկին:

Լուծում: Այն րոպեների թիվը, որոնցից հետո նրանք նորից կհանդիպեն մեկնարկի ժամանակ, պետք է բաժանել 1 րոպե, ինչպես նաև վրա 45 վ. 1 րոպեում = 60 վրկ. Այսինքն, անհրաժեշտ է գտնել LCM (45; 60): 45 = 32 5; 60 = 22 3 5: LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Արդյունքն այն է, որ հեծանվորդները կհանդիպեն սկզբում 180 վ = 3 րոպեում:

Պատասխան. 3 րոպե

Բաժանում մնացորդով

Եթե ​​բնական թիվ Աչի բաժանվում բնական թվի բ, ապա դուք կարող եք անել բաժանում մնացորդով. Այս դեպքում ստացված գործակիցը կոչվում է թերի. Հավասարությունն արդար է.

a = b n + r,

Որտեղ Ա- բաժանելի, բ- բաժանարար, n- թերի գործակից, r- մնացորդը. Օրինակ, թող դիվիդենտը հավասար լինի 243 , բաժանարար - 4 , Հետո 243: 4 = 60 (մնացորդը 3). Այսինքն, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, ապա 243 = 60 4 + 3 .

Թվեր, որոնք բաժանվում են 2 առանց մնացորդի, կոչվում են նույնիսկ: a = 2n, n ∈ Ն.

Մնացած թվերը կոչվում են տարօրինակ: b = 2n + 1, n ∈ Ն.

Սա թեմայի ամփոփումն է «Ամբողջ թվեր. Բաժանելիության նշաններ». Շարունակելու համար ընտրեք հաջորդ քայլերը.

• Անցեք հաջորդ ամփոփմանը.

Բնական թիվը մաթեմատիկայի հիմնական և թերևս առաջին հասկացություններից մեկն է։

Բնական թվերի բազմություն = (1, 2, 3...): Այսինքն՝ բնական թվերի բազմությունը բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունն է դրական թվեր. Բնական թվերի վրա սահմանվում են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման գործողությունները։ Երկու բնական թվերի գումարման, բազմապատկման և հանման արդյունքը ամբողջական թիվ է: Երկու բնական թվերի բաժանման արդյունքը կարող է լինել կամ ամբողջ թիվ, կամ կոտորակ:

Օրինակ՝ 20: 4 = 5 – բաժանման արդյունքը ամբողջ թիվ է:
20: 3 = 6 2/3 – բաժանման արդյունքը կոտորակ է:
n բնական թիվը կոչվում է, որ բաժանվում է m բնական թվի վրա, եթե բաժանման արդյունքը ամբողջ թիվ է։ Այս դեպքում m թիվը կոչվում է n թվի բաժանարար, իսկ n թիվը կոչվում է m թվի բազմապատիկ։

Առաջին օրինակում 20 թիվը բաժանվում է 4-ի, 4-ը 20-ի բաժանարար է, իսկ 20-ը 4-ի բազմապատիկն է։
Երկրորդ օրինակում 20 թիվը չի բաժանվում համապատասխանաբար 3 թվի վրա, բաժանարարների և բազմապատիկների մասին խոսք լինել չի կարող.

n թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն չունի այլ բաժանարարներ, բացի իրենից և մեկից: Պարզ թվերի օրինակներ՝ 2, 7, 11, 97 և այլն:
n թիվը կոչվում է բաղադրյալ, եթե այն ունի այլ բաժանարարներ, բացի իրենից և մեկից:

Ցանկացած բնական թիվ կարող է քայքայվել պարզերի արտադրյալի, և այս տարրալուծումը եզակի է՝ մինչև գործակիցների հերթականությունը։ Օրինակ՝ 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – այս բոլոր ընդլայնումները տարբերվում են միայն գործակիցների հերթականությամբ:

Երկու m և n թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ամենամեծ բնական թիվն է, որը և՛ m, և՛ n-ի բաժանարարն է։ Օրինակ, 34 և 85 թվերն ունեն ամենամեծ ընդհանուր գործակիցը 17:

Երկու m և n թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենափոքր բնական թիվն է, որը բազմապատիկ է և՛ m-ի, և՛ n-ի: Օրինակ՝ 15 և 4 թվերն ունեն 60-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Բնական թիվը, որը բաժանվում է երկու պարզ թվերի, բաժանվում է նաև դրանց արտադրյալի վրա։ Օրինակ, եթե մի թիվը բաժանվում է 2-ի և 3-ի, ապա այն բաժանվում է 6-ի = 2 3-ի, եթե 11-ի և 7-ի, ապա 77-ի:

Օրինակ՝ 6930 թիվը բաժանվում է 11-ի - 6930: 11 = 630, և բաժանվում է 7-ի - 6930: 7 = 990: Կարող ենք վստահորեն ասել, որ այս թիվը նույնպես բաժանվում է 77-ի: Եկեք ստուգենք՝ 6930: 77 = 90:

n թիվը պարզ գործոնների բաժանելու ալգորիթմ.

1. Գտի՛ր n թվի ամենափոքր պարզ բաժանարարը (բացի 1-ից) - a1:
2. n թիվը բաժանեք a1-ի, քանորդը նշանակելով n1:
3. n=a1 n1.
4. Նույն գործողությունը կատարում ենք n1-ով այնքան ժամանակ, մինչև ստանանք պարզ թիվ։

Օրինակ՝ 17,136 թիվը վերածիր պարզ գործակիցների

1. Ամենափոքր պարզ բաժանարարը, բացի 1-ից, այստեղ 2:

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. 8568-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 2-ն է:

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. 4284-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 2-ն է:

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. 2142-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 2-ն է:

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. 1071-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 3-ն է:

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. 357-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 3-ն է:

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. 119-ի ամենափոքր պարզ բաժանարարը 7-ն է:

20. 119: 7 = 17;

21. 17-ը պարզ թիվ է, որը նշանակում է 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2:

Մենք ստացել ենք 17136 թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների։

Բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկներըաԵվբմի թիվ է, որը այս թվերից յուրաքանչյուրի բազմապատիկն է:

Բոլոր ընդհանուր բազմապատիկներից ամենափոքր թիվը ԱԵվ բկանչեց այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը.

Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ԱԵվ բԵկեք համաձայնենք նշանակել K( Ա, բ).

Օրինակ՝ 12 և 18 երկու թվերը ընդհանուր բազմապատիկ են՝ 36, 72, 108, 144, 180 և այլն։ 36 թիվը 12 և 18 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։ Կարող եք գրել՝ K(12, 18) = 36։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար հետևյալ պնդումները ճշմարիտ են.

1. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ԱԵվ բ

2. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ԱԵվ բոչ պակաս, քան այս թվերից ավելի մեծը, այսինքն. Եթե ա >բ, հետո Կ( Ա, բ) ≥ Ա.

3. Թվերի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ ԱԵվ բբաժանված են իրենց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի վրա:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

a և բնական թվերի ընդհանուր բաժանարարըբայն թիվն է, որը տրված թվերից յուրաքանչյուրի բաժանարարն է.

Թվերի բոլոր ընդհանուր բաժանարարների ամենամեծ թիվը ԱԵվ բկոչվում է այս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։

Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ԱԵվ բԵկեք համաձայնենք նշել D( Ա, բ).

Օրինակ՝ 12 և 18 թվերի համար ընդհանուր բաժանարարները թվերն են՝ 1, 2, 3, 6։ 6 թիվը 12 և 18 է։ Կարող եք գրել՝ D(12, 18) = 6։

1 թիվը ցանկացած երկու բնական թվերի ընդհանուր բաժանարարն է աԵվ բ. Եթե ​​այս թվերը չունեն այլ ընդհանուր բաժանարարներ, ապա D( Ա, բ) = 1, իսկ թվերը ԱԵվ բկոչվում են փոխադարձաբար առաջնային.

Օրինակ, 14 և 15 թվերը համեմատաբար պարզ են, քանի որ D(14, 15) = 1:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

1. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բմիշտ կա և եզակի է:

2. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ԱԵվ բչի գերազանցում տրված թվերից փոքրը, այսինքն. Եթե ա< բ, Դա Դ(ա, բ) ≤ ա.

3. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բբաժանվում է այս թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարարի վրա:

Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բազմապատիկը ԱԵվ բև նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը փոխկապակցված են՝ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի արտադրյալը։ ԱԵվ բհավասար է այս թվերի արտադրյալին, այսինքն. Կ( ա, բ)·D( ա, բ) = ա· բ.

Այս հայտարարությունից հետևում են հետևյալ հետևությունները.

ա) Երկու փոխադարձ պարզ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին, այսինքն. D( ա, բ) = 1 => Կ( ա, բ) = ա· բ;

Օրինակ՝ 14 և 15 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար բավական է դրանք բազմապատկել, քանի որ D(14, 15) = 1։

բ) Աբաժանվում է համապարփակ թվերի արտադրյալի վրա մԵվ n, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն բաժանվի մ, և շարունակ n.

Այս պնդումը թվերով բաժանելիության նշան է, որը կարող է ներկայացվել որպես երկու համեմատաբար պարզ թվերի արտադրյալ։

գ) Տրված երկու թվերը նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա բաժանելով ստացված գործակիցները համեմատաբար պարզ թվեր են:

Այս հատկությունը կարող է օգտագործվել տրված թվերի հայտնաբերված ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի ճիշտությունը ստուգելիս։ Օրինակ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք 12 թիվը 24 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Դա անելու համար, ըստ վերջին հայտարարության, մենք 24-ը և 36-ը բաժանում ենք 12-ի: Ստանում ենք համապատասխանաբար 2 և 3 թվերը, որոնք. համապրայմ են։ Հետեւաբար, D(24, 36)=12:

Խնդիր 32.Ձևակերպե՛ք և ապացուցե՛ք 6-ի բաժանելիության թեստը։

Լուծում xբաժանվում է 6-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն բաժանվի 2-ի և 3-ի։

Թող համարը xբաժանվում է 6-ի. Ապա այն փաստից, որ x 6 և 62, հետևում է, որ x 2. Եվ այն փաստից, որ x 6 և 63, հետևում է, որ x 3. Մենք ապացուցեցինք, որ որպեսզի թիվը բաժանվի 6-ի, այն պետք է բաժանվի 2-ի և 3-ի:

Եկեք ցույց տանք այս պայմանի բավարարությունը։ Որովհետեւ x 2 և x 3, ապա x- 2 և 3 թվերի ընդհանուր բազմապատիկ: Թվերի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ բաժանվում է նրանց փոքրագույն բազմապատիկի վրա, ինչը նշանակում է. xԿ(2;3).

Քանի որ D(2, 3)=1, ապա K(2, 3)=2·3=6: Հետևաբար, x 6.

Խնդիր 33.Ձևակերպեք մինչև 12, 15 և 60:

Լուծում. Բնական թվի համար xբաժանվում է 12-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն բաժանվի 3-ի և 4-ի։

Բնական թվի համար xբաժանվում է 15-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն բաժանվի 3-ի և 5-ի։

Բնական թվի համար xբաժանվում է 60-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն բաժանվի 4-ի, 3-ի և 5-ի։

Խնդիր 34.Գտեք թվեր աԵվ բ, եթե K( ա, բ)=75, ա· բ=375.

Լուծում.Օգտագործելով K բանաձևը ա, բ)·D( ա, բ)=ա· բ, գտե՛ք պահանջվող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ԱԵվ բ:

D( ա, բ) === 5.

Այնուհետև անհրաժեշտ թվերը կարող են ներկայացվել ձևի մեջ Ա= 5Ռ, բ= 5ք, Որտեղ էջԵվ ք էջև 5 քհավասարության մեջ a b= 275. Ստացնենք 5 էջ· 5 ք=375 կամ էջ· ք=15. Ստացված հավասարումը լուծում ենք երկու փոփոխականներով՝ ընտրությամբ. գտնում ենք համեմատաբար պարզ թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է 15-ի: Նման երկու զույգ կա՝ (3, 5) և (1, 15): Հետեւաբար, պահանջվող թվերը ԱԵվ բեն՝ 15 և 25 կամ 5 և 75։

Խնդիր 35.Գտեք թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ) = 7 և ա· բ= 1470.

Լուծում. Քանի որ D ( ա, բ) = 7, ապա անհրաժեշտ թվերը կարող են ներկայացվել ձևով Ա= 7Ռ, բ= 7ք, Որտեղ էջԵվ քփոխադարձաբար պարզ թվեր են: Փոխարինենք 5 արտահայտությունները Ռև 5 քհավասարության մեջ ա բ = 1470. Հետո 7 էջ·7 ք= 1470 կամ էջ· ք= 30. Ստացված հավասարումը լուծում ենք երկու փոփոխականներով՝ ընտրության միջոցով. գտնում ենք համեմատաբար պարզ թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է 30-ի։ Նման զույգերը չորսն են՝ (1, 30), (2, 15), (3, 10)։ ), (5, 6)։ Հետեւաբար, պահանջվող թվերը ԱԵվ բեն՝ 7 և 210, 14 և 105, 21 և 70, 35 և 42:

Խնդիր 36.Գտեք թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ) = 3 և Ա:բ= 17:14.

Լուծում. Որովհետեւ ա:բ= 17:14, ուրեմն Ա= 17ՌԵվ բ= 14էջ, Որտեղ Ռ- թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ԱԵվ բ. Հետևաբար, Ա= 17·3 = 51, բ= 14·3 = 42:

Խնդիր 37.Գտեք թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Կ( ա, բ) = 180, ա:բ= 4:5.

Լուծում. Որովհետեւ ա: բ=4:5 ապա Ա=4ՌԵվ բ=5Ռ, Որտեղ Ռ- թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բ. Հետո Ռ·180=4 Ռ· 5 Ռ. Որտեղ Ռ=9. Հետևաբար, ա= 36 և բ=45.

Խնդիր 38.Գտեք թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ)=5, K( ա, բ)=105.

Լուծում. Քանի որ D ( ա, բ) Կ( ա, բ) = ա· բ, Դա ա· բ= 5 105 = 525. Բացի այդ, պահանջվող թվերը կարող են ներկայացվել ձևով Ա= 5ՌԵվ բ= 5ք, Որտեղ էջԵվ քփոխադարձաբար պարզ թվեր են: Փոխարինենք 5 արտահայտությունները Ռև 5 քհավասարության մեջ Ա· բ= 525. Հետո 5 էջ· 5 ք=525 կամ էջ· ք=21. Մենք գտնում ենք համեմատաբար պարզ թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է 21-ի: Նման երկու զույգ կա՝ (1, 21) և (3, 7): Հետեւաբար, պահանջվող թվերը ԱԵվ բեն՝ 5 և 105, 15 և 35։

Խնդիր 39.Ապացուցեք, որ թիվը n(2n+ 1)(7n+ 1) ցանկացած բնականի համար բաժանվում է 6-ի n.

Լուծում. 6 թիվը բաղադրյալ է, այն կարող է ներկայացվել որպես երկու համեմատաբար պարզ թվերի արտադրյալ՝ 6 = 2·3: Եթե ​​մենք դա ապացուցենք տրված համարըբաժանվում է 2-ի և 3-ի, ապա բաղադրյալ թվի բաժանելիության թեստի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ այն բաժանվում է 6-ի։

Ապացուցելու համար, որ թիվը n(2n+ 1)(7n+ 1) բաժանվում է 2-ի, մենք պետք է դիտարկենք երկու հնարավորություն.

1) nբաժանվում է 2-ի, այսինքն. n= 2կ. Այնուհետև ապրանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) նման կլինի՝ 2 կ(4կ+ 1)(14կ+ 1). Այս արտադրյալը բաժանվում է 2-ի, քանի որ առաջին գործակիցը բաժանվում է 2-ի;

2) nչի բաժանվում 2-ի, այսինքն. n= 2կ+ 1. Այնուհետեւ արտադրանքը n(2n+ 1 )(7n+ 1) կունենա հետևյալ տեսքը՝ (2 կ+ 1)(4կ+ 3)(14կ+ 8): Այս արտադրյալը բաժանվում է 2-ի, քանի որ վերջին գործակիցը բաժանվում է 2-ի։

Ապացուցելու համար, որ աշխատանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) բաժանվում է 3-ի, անհրաժեշտ է հաշվի առնել երեք հնարավորություն.

1) nբաժանվում է 3-ի, այսինքն. n= 3կ. Այնուհետև ապրանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) նման կլինի՝ 3 կ(6կ+ 1)(21կ+ 1). Այս արտադրյալը բաժանվում է 3-ի, քանի որ առաջին գործակիցը բաժանվում է 3-ի;

2) n 3-ի բաժանելիս մնացորդը 1 է, այսինքն. n= 3կ+ 1. Այնուհետեւ արտադրանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) կունենա հետևյալ տեսքը՝ (3 կ+ 1)(6կ+ 3)(21կ+ 8): Այս արտադրյալը բաժանվում է 3-ի, քանի որ երկրորդ գործակիցը բաժանվում է 3-ի;

3) nերբ բաժանվում է 3-ի, մնացորդը 2 է, այսինքն. n= 3կ+ 2. Այնուհետեւ արտադրանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) կունենա հետևյալ տեսքը՝ (3 կ+ 2)(6կ+ 5)(21կ+ 15): Այս արտադրյալը բաժանվում է 3-ի, քանի որ վերջին գործակիցը բաժանվում է 3-ի։

Այսպիսով, ապացուցված է, որ արտադրանքը n(2n+ 1)(7n+ 1) բաժանվում է 2-ի և 3-ի: Սա նշանակում է, որ այն բաժանվում է 6-ի:

Զորավարժություններ անկախ աշխատանքի համար

1. Տրվում է երկու թիվ՝ 50 և 75։ Դուրս գրի՛ր բազմությունը.

ա) 50 թվի բաժանարարները. բ) 75 թվի բաժանարարները. գ) տրված թվերի ընդհանուր բաժանարարները.

Ո՞րն է 50-ի և 75-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

2. Արդյո՞ք 375 թիվը թվերի ընդհանուր բազմապատիկն է՝ ա) 125 և 75; բ) 85 և 15.

3. Գտիր թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Կ( ա, բ) = 105, ա· բ= 525.

4. Գտիր թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ) = 7, ա· բ= 294.

5. Գտիր թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ) = 5, ա:բ= 13:8.

6. Գտիր թվեր ԱԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Կ( ա, բ) = 224, ա:բ= 7:8.

7. Գտիր թվեր աԵվ բ, եթե հայտնի է, որ Դ( ա, բ) = 3, K( ա; բ) = 915.

8. Ապացուցե՛ք 15-ի բաժանելիության թեստը:

9. 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 թվերի բազմությունից գրի՛ր 12-ի բաժանվողները։

10. Ձևակերպե՛ք 18-ի, 36-ի, 45-ի, 75-ի բաժանելիության չափանիշները: