Կետի կենտրոնական պրոյեկցիան հարթության վրա: Ինչպես գտնել կետի պրոյեկցիան հարթության վրա. որոշման մեթոդ և խնդրի լուծման օրինակ

Կետի նախագծումը կոորդինատային անկյան պրոյեկցիաների երեք հարթությունների վրա սկսվում է H հարթության վրա նրա պատկերը ստանալուց՝ հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթությունում: Դրա համար պրոյեկցիոն ճառագայթ է անցնում A կետով (նկ. 4.12, ա) H հարթությանը ուղղահայաց։

Նկարում H հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Oz առանցքին: Ճառագայթի հատման կետը H հարթության հետ (ա կետ) ընտրվում է կամայականորեն։ Aa հատվածը որոշում է, թե A կետը ինչ հեռավորության վրա է գտնվում H հարթությունից, դրանով իսկ հստակ ցույց տալով A կետի դիրքը նկարում նախագծման հարթությունների նկատմամբ: Ա կետը A կետի ուղղանկյուն ելուստն է H հարթության վրա և կոչվում է A կետի հորիզոնական պրոյեկցիա (նկ. 4.12, ա):

V հարթության վրա A կետի պատկերը ստանալու համար (նկ. 4.12,բ) պրոյեկցիոն ճառագայթ է անցնում A կետով, որը ուղղահայաց է ելուստների ճակատային հարթությանը V: Նկարում V հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Oy առանցքին: . H հարթության վրա A կետից մինչև V հարթություն հեռավորությունը կներկայացվի aa x հատվածով՝ Oy առանցքին զուգահեռ և Ox առանցքին ուղղահայաց։ Եթե ​​պատկերացնենք, որ արձակող ճառագայթը և նրա պատկերը միաժամանակ կատարվում են V հարթության ուղղությամբ, ապա երբ ճառագայթի պատկերը հատում է Ox առանցքը a x կետում, ճառագայթը կհատի V հարթությունը a կետում։ V հարթության a x կետից ստացվում է Ox առանցքին ուղղահայաց, որը V հարթության վրա արձակող Aa ճառագայթի պատկերն է, ելնող ճառագայթի հետ հատման կետում ստացվում է a կետ»: a կետը A կետի ճակատային պրոյեկցիան է, այսինքն՝ նրա պատկերը V հարթության վրա։

Պրոֆիլի պրոյեկցիոն հարթության վրա A կետի պատկերը (նկ. 4.12, գ) կառուցված է W հարթությանը ուղղահայաց ելնող ճառագայթով Նկարում W հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Ox-ի առանցքին: H հարթության վրա A կետից դեպի W հարթություն արձակող ճառագայթը կներկայացվի aa y հատվածով, որը զուգահեռ է Ox առանցքին և ուղղահայաց է Oy առանցքին: Oy կետից, Oz առանցքին զուգահեռ և Oy առանցքին ուղղահայաց, կառուցվում է ելնող ճառագայթի պատկերը aA և ելնող ճառագայթի հետ հատման կետում ստացվում է a կետը: a կետը A կետի պրոֆիլային պրոյեկցիան է: , այսինքն՝ Ա կետի պատկերը W հարթության վրա։

a» կետը կարելի է կառուցել՝ a կետից a» a z հատվածը գծելով (V հարթության վրա արձակվող Aa ճառագայթի պատկերը) Ox առանցքին զուգահեռ, իսկ a z կետից՝ a»a z հատված Oy-ին զուգահեռ։ առանցք, մինչև այն հատվի ելնող ճառագայթի հետ:

Ստանալով A կետի երեք ելուստ պրոյեկցիոն հարթությունների վրա, կոորդինատային անկյունը ընդլայնվում է մեկ հարթության մեջ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.11,բ, A կետի և ելնող ճառագայթների ելուստների հետ միասին, և A կետը և ելնող ճառագայթները Aa, Aa» և Aa» հանվում են: Համակցված պրոյեկցիոն հարթությունների եզրերը գծված չեն, այլ գծված են միայն Oz, Oy և Ox, Oy 1 պրոյեկցիոն առանցքները (նկ. 4.13):

Կետի ուղղանկյուն գծագրի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ երեք հեռավորություն՝ Aa, Aa և Aa» (նկ. 4.12, c), որոնք բնութագրում են A կետի դիրքը տարածության մեջ, կարող են որոշվել՝ հրաժարվելով բուն պրոյեկցիոն օբյեկտից՝ A կետից, մեկ հարթության վերածված կոորդինատային անկյան վրա (նկ. 4.13): a"a z, aa y և Oa x հատվածները հավասար են Aa"-ին որպես համապատասխան ուղղանկյունների հակառակ կողմեր ​​(նկ. 4.12c և 4.13): Նրանք որոշում են պրոֆիլի պրոյեկցիոն հարթությունից A կետի հեռավորությունը: a"a x, a"a y1 և Oa y հատվածները հավասար են Aa հատվածին, որը սահմանում է հեռավորությունը A կետից մինչև հորիզոնական նախագծման հարթություն, aa x, a"a z և Oa y 1 հատվածները հավասար են Aa հատվածին: », սահմանելով հեռավորությունը A կետից մինչև ելուստների ճակատային հարթությունը:

Oa x, Oa y և Oa z հատվածները, որոնք տեղակայված են պրոյեկցիոն առանցքների վրա, A կետի X, Y և Z կոորդինատների չափերի գրաֆիկական արտահայտությունն են: Կետի կոորդինատները նշվում են համապատասխան տառի ցուցիչով: . Չափելով այս հատվածների չափերը՝ կարող եք որոշել կետի դիրքը տարածության մեջ, այսինքն՝ սահմանել կետի կոորդինատները։

Դիագրամում a"a x և aa x հատվածները գտնվում են որպես մեկ ուղիղ ուղղահայաց Ox առանցքին, իսկ a"a z և a"a z հատվածները՝ Oz առանցքին: Այս ուղիղները կոչվում են պրոյեկցիոն միացման գծեր: Նրանք հատում են պրոյեկցիոն առանցքները համապատասխանաբար ax և a z կետերում A կետի հորիզոնական պրոյեկցիան միացնող պրոյեկցիոն գիծը a y կետում պարզվեց:

Նույն կետի երկու ելուստները միշտ գտնվում են նույն պրոյեկցիայի միացման գծի վրա, ուղղահայաց ելուստների առանցքին:

Տիեզերքում կետի դիրքը ներկայացնելու համար բավարար են նրա երկու պրոյեկցիաները (կետ O) Նկ. 4.14, b կետի երկու պրոյեկցիան ամբողջությամբ որոշում է նրա դիրքը տարածության մեջ Օգտագործելով այս երկու պրոյեկցիան՝ հնարավոր է կառուցել A կետի պրոյեկցիան: Հետևաբար, ապագայում, եթե պրոֆիլի պրոյեկցիայի կարիք չլինի, դիագրամները կլինեն: կառուցված լինի երկու պրոյեկցիոն հարթության վրա՝ V և H։

Բրինձ. 4.14. Բրինձ. 4.15.

Դիտարկենք կետի գծագիրը կառուցելու և կարդալու մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1.Դիագրամի վրա նշված J կետի կոորդինատների որոշում երկու ելուստներով (նկ. 4.14): Չափվում է երեք հատված՝ հատված OB X (X կոորդինատ), հատված b X b (Y կոորդինատ) և հատված b X b" (Z կոորդինատ): Կոորդինատները գրվում են հետևյալ հաջորդականությամբ՝ X, Y և Z տառից հետո: կետի նշանակումը, օրինակ, B20;

Օրինակ 2. Տրված կոորդինատներում կետի կառուցում: C կետը տրված է C30 կոորդինատներով; 10; 40. Ox առանցքի վրա (նկ. 4.15) գտե՛ք c x կետը, որտեղ պրոյեկցիոն միացման գիծը հատում է պրոյեկցիոն առանցքը: Դրա համար X կոորդինատը (չափը 30) գծագրվում է Ox առանցքի երկայնքով սկզբնակետից (կետ O) և ստացվում է x-ով կետ: Այս կետով Ox առանցքին ուղղահայաց գծվում է պրոյեկցիոն միացման գիծ և կետից դրվում է Y կոորդինատը (չափ 10), ստացվում է c կետ՝ C կետի հորիզոնական պրոյեկցիան: Z կոորդինատը (չափ 40) դրված c x կետից նախագծման միացման գծի երկայնքով, կետը ստացվում է c» - C կետի ճակատային պրոյեկցիա:

Օրինակ 3. Կետի պրոֆիլային պրոյեկցիայի կառուցում` օգտագործելով տրված կանխատեսումները: Տրված են D կետի ելուստները՝ d և d". O կետի միջով գծված են Oz, Oy և Оу 1 պրոյեկցիոն առանցքները (նկ. 4.16, ա) D կետի պրոյեկցիան կառուցելու համար d կետի պրոյեկցիա. միացման գիծը գծված է Օզ առանցքի ուղղահայաց և այն շարունակում է Օզ առանցքի հետևից աջ: D կետի պրոյեկցիան կգտնվի այս գծի վրա: Այն կգտնվի Oz առանցքից նույն հեռավորության վրա, ինչ d կետի հորիզոնական պրոյեկցիան՝ Ox առանցքից, այսինքն՝ dd x հեռավորության վրա: d z d" և dd x հատվածները նույնն են, քանի որ դրանք սահմանում են նույն հեռավորությունը՝ հեռավորությունը D կետից մինչև ելուստների ճակատային հարթությունը: Այս հեռավորությունը D կետի Y կոորդինատն է:

Գրաֆիկորեն d z d» հատվածը կառուցվում է՝ dd x հատվածը նախագծման հորիզոնական հարթությունից պրոֆիլային հարթություն տեղափոխելով: Դա անելու համար գծեք Ox առանցքին զուգահեռ պրոյեկցիոն միացման գիծ, ​​ստացեք d y կետ Oy առանցքի վրա ( Նկար 4.16, բ Այնուհետև Od y հատվածի չափը փոխանցեք Oy առանցքի 1՝ Od y հատվածին հավասար շառավղով աղեղ գծելով դեպի Oy 1 առանցքի հատումը (նկ. 4.16): , բ), մենք ստանում ենք dy 1 կետը, ինչպես ցույց է տրված նկ. 4.16-ում, d y կետից ուղիղ գիծ գծելով 45° դեպի Oy առանցքը y1, Oz առանցքին զուգահեռ գծվում է պրոյեկցիոն միացման գիծ և դրա վրա դրվում է d"d x հատվածին հավասար հատված, ստացվում է d" կետ:

d x d հատվածի արժեքը պրոյեկցիաների պրոֆիլային հարթություն տեղափոխելը կարող է կատարվել գծագրի հաստատուն ուղիղ գծի միջոցով (նկ. 4.16, դ): Այս դեպքում պրոյեկցիոն կապի dd y գիծը գծվում է Oy 1 առանցքին զուգահեռ կետի հորիզոնական պրոյեկցիայի միջով, մինչև այն հատվում է հաստատուն ուղիղ գծի հետ, այնուհետև զուգահեռ է Oy առանցքին, մինչև այն հատվում է պրոյեկցիայի շարունակության հետ։ միացման գիծ d"d z.

Պրոյեկցիոն հարթությունների համեմատ կետերի տեղակայման հատուկ դեպքեր

Պրոյեկցիոն հարթության նկատմամբ կետի դիրքը որոշվում է համապատասխան կոորդինատով, այսինքն՝ ելուստի միացման գծի հատվածի չափով Ox առանցքից մինչև համապատասխան պրոյեկցիան։ Նկ. 4.17 A կետի Y կոորդինատը որոշվում է aa x հատվածով - հեռավորությունը A կետից մինչև V հարթություն: A կետի Z կոորդինատը որոշվում է a "a x - հեռավորությունը A կետից մինչև H հարթություն: Եթե մեկը կոորդինատների զրոյական է, այնուհետև կետը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա Նկար 4.17-ում ներկայացված են պրոյեկցիոն հարթություններին վերաբերող կետերի տարբեր տեղակայման օրինակներ B կետի Z կոորդինատը հավասար է զրոյի, կետը գտնվում է H հարթությունում: Նրա ճակատային պրոյեկցիան գտնվում է Ox առանցքի վրա և համընկնում է b x կետի հետ x.

Հետևաբար, եթե կետը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա, ապա այս կետի ելուստներից մեկը գտնվում է պրոյեկցիայի առանցքի վրա:

Նկ. 4.17, D կետի Z և Y կոորդինատները հավասար են զրոյի, հետևաբար, D կետը գտնվում է Ox պրոյեկցիոն առանցքի վրա և նրա երկու պրոեկցիաները համընկնում են:

Պրոյեկցիոն ապարատ

Պրոյեկցիոն ապարատը (նկ. 1) ներառում է երեք պրոյեկցիոն հարթություն.

π 1 –հորիզոնական նախագծման հարթություն;

π 2 –կանխատեսումների ճակատային հարթություն;

π 3- պրոֆիլի նախագծման հարթություն .

Պրոյեկցիոն հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են ( π 1^ π 2^ π 3), և դրանց հատման գծերը կազմում են առանցքները.

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 1Եվ π 2առանցք կազմել 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 1Եվ π 3առանցք կազմել 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 2Եվ π 3առանցք կազմել 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Առանցքների հատման կետը (OX∩OY∩OZ=0) համարվում է ելակետ (կետ 0):

Քանի որ հարթությունները և առանցքները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, նման ապարատը նման է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգին:

Պրոյեկցիոն հարթությունները ամբողջ տարածությունը բաժանում են ութ օկտանտների (նկ. 1-ում դրանք նշված են հռոմեական թվերով): Պրոյեկցիոն հարթությունները համարվում են անթափանց, և դիտողը միշտ ներսում է Ի-րդ օկտանտ.

Ուղղանկյուն պրոյեկցիա պրոյեկցիոն կենտրոններով Ս 1, Ս 2Եվ Ս 3համապատասխանաբար հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթությունների համար։

Ա.

Պրոյեկցիոն կենտրոններից Ս 1, Ս 2Եվ Ս 3դուրս են գալիս արտանետվող ճառագայթները լ 1, լ 2Եվ լ 3 Ա

- Ա 1 Ա;

- Ա 2- կետի ճակատային պրոյեկցիա Ա;

- Ա 3- կետի պրոֆիլի պրոյեկցիա Ա.

Տարածության կետը բնութագրվում է իր կոորդինատներով Ա(x, y, z) Միավորներ Կացին, Ա յԵվ Ա զհամապատասխանաբար առանցքների վրա 0X, 0YԵվ 0Zցույց տալ կոորդինատները x, yԵվ զմիավորներ Ա. Նկ. 1-ը տալիս է բոլոր անհրաժեշտ նշումները և ցույց է տալիս կետի միջև կապերը Ատարածությունը, դրա կանխատեսումները և կոորդինատները:

Կետային դիագրամ

Մի կետի սյուժեն ստանալու համար Ա(նկ. 2), պրոյեկցիոն ապարատում (նկ. 1) հարթությունը π 1 Ա 1 0X π 2. Հետո ինքնաթիռը π 3կետային պրոյեկցիայով Ա 3, պտտվել առանցքի շուրջը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ 0Z, մինչև այն հարթվի հարթության հետ π 2. Ինքնաթիռի պտույտների ուղղությունը π 2Եվ π 3ցույց է տրված Նկ. 1 նետ. Միևնույն ժամանակ՝ ուղիղ A 1 A xԵվ A 2 A x 0Xուղղահայաց A 1 A 2և ուղիղ գծեր A 2 A xԵվ A 3 A xտեղակայվելու է ընդհանուր առանցքի վրա 0Zուղղահայաց A 2 A 3. Հետևյալում մենք համապատասխանաբար կանվանենք այս տողերը ուղղահայաց Եվ հորիզոնական կապի գծեր.

Հարկ է նշել, որ պրոյեկցիոն ապարատից դիագրամ տեղափոխելիս նախագծվող առարկան անհետանում է, սակայն նրա ձևի, երկրաչափական չափերի և տարածության մեջ գտնվելու վայրի մասին բոլոր տեղեկությունները պահպանվում են։

Ա(x A, y A, z Ax A, y AԵվ z Ահետեւյալ հաջորդականությամբ (նկ. 2). Այս հաջորդականությունը կոչվում է կետային դիագրամի կառուցման մեթոդ:

1. Առանցքները գծված են ուղղանկյուն OX, OYԵվ ՕԶ.

2. Առանցքի վրա ԵԶ xAմիավորներ Աև ստացիր կետի դիրքը Կացին.

3. Կետի միջոցով Կացինառանցքին ուղղահայաց ԵԶ

Կացինառանցքի երկայնքով OYգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Ա Ա 1դիագրամի վրա։

Կացինառանցքի երկայնքով ՕԶգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը z Ամիավորներ Ա Ա 2դիագրամի վրա։

6. Կետի միջոցով Ա 2առանցքին զուգահեռ ԵԶգծված է կապի հորիզոնական գիծ։ Այս գծի և առանցքի հատումը ՕԶկտա կետի դիրքորոշումը Ա զ.

7. Հորիզոնական կապի գծի վրա մի կետից Ա զառանցքի երկայնքով OYգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Աեւ որոշվում է կետի պրոֆիլային պրոյեկցիայի դիրքը Ա 3դիագրամի վրա։

Կետերի բնութագրերը

Տիեզերքի բոլոր կետերը բաժանվում են առանձին և ընդհանուր դիրքերի կետերի:

Հատուկ դիրքի կետեր. Պրոյեկցիոն ապարատին պատկանող կետերը կոչվում են որոշակի դիրքի կետեր: Դրանք ներառում են կետեր, որոնք պատկանում են պրոյեկցիոն հարթություններին, առանցքներին, ակունքներին և պրոյեկցիոն կենտրոններին: Առանձին դիրքի կետերի բնորոշ հատկանիշներն են.

Մետամաթեմատիկական – մեկ, երկու կամ բոլոր թվային կոորդինատների արժեքները հավասար են զրոյի և (կամ) անսահմանության.

Դիագրամի վրա կետի երկու կամ բոլոր կանխատեսումները գտնվում են առանցքների վրա և (կամ) գտնվում են անսահմանության վրա:

Ընդհանուր դիրքի կետեր. Ընդհանուր դիրքի կետերը ներառում են կետեր, որոնք չեն պատկանում պրոյեկցիոն ապարատին: Օրինակ, կետ ԱՆկ. 1 և 2.

Ընդհանուր դեպքում, կետի կոորդինատների թվային արժեքները բնութագրում են դրա հեռավորությունը նախագծման հարթությունից. Xինքնաթիռից π 3; համակարգել yինքնաթիռից π 2; համակարգել զինքնաթիռից π 1. Հարկ է նշել, որ կոորդինատների թվային արժեքների նշանները ցույց են տալիս այն ուղղությունը, որով կետը հեռանում է նախագծման հարթություններից: Կախված կետի կոորդինատների թվային արժեքների նշանների համակցությունից՝ կախված է նրանից, թե որ օկտանում է այն գտնվում։

Երկու պատկերի մեթոդ

Գործնականում, ի լրումն ամբողջական պրոյեկցիայի մեթոդի, օգտագործվում է երկու պատկերի մեթոդը: Այն տարբերվում է նրանով, որ այս մեթոդը վերացնում է օբյեկտի երրորդ պրոյեկցիան։ Երկու պատկերային մեթոդի պրոյեկցիոն ապարատը ստանալու համար պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթությունն իր պրոյեկցիոն կենտրոնով բացառվում է լրիվ պրոյեկցիոն ապարատից (նկ. 3): Ընդ որում՝ առանցքի վրա 0Xնշանակվում է հղման կետ (կետ 0 ) և դրանից առանցքին ուղղահայաց 0Xպրոյեկցիոն հարթություններում π 1Եվ π 2նկարել կացինները 0YԵվ 0Zհամապատասխանաբար.

Այս սարքում ամբողջ տարածությունը բաժանված է չորս քառակուսուների: Նկ. 3 դրանք նշվում են հռոմեական թվերով։

Պրոյեկցիոն հարթությունները համարվում են անթափանց, և դիտողը միշտ ներսում է Ի--րդ քառորդ.

Դիտարկենք սարքի աշխատանքը՝ օգտագործելով կետի նախագծման օրինակը Ա.

Պրոյեկցիոն կենտրոններից Ս 1Եվ Ս 2դուրս են գալիս արտանետվող ճառագայթները լ 1Եվ լ 2. Այս ճառագայթները անցնում են կետով Աև հատվելով պրոյեկցիայի հարթությունների հետ՝ կազմում են դրա կանխատեսումները.

- Ա 1- կետի հորիզոնական պրոյեկցիա Ա;

- Ա 2- կետի ճակատային պրոյեկցիա Ա.

Մի կետի սյուժեն ստանալու համար Ա(նկ. 4), պրոյեկցիոն ապարատում (նկ. 3) հարթությունը π 1կետի արդյունքում առաջացած պրոյեկցիայի հետ Ա 1պտտվել առանցքի շուրջ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 0X, մինչև այն հարթվի հարթության հետ π 2. Ինքնաթիռի պտտման ուղղությունը π 1ցույց է տրված Նկ. 3 սլաք. Այս դեպքում երկու պատկերի մեթոդով ստացված կետի դիագրամի վրա մնում է միայն մեկը ուղղահայացկապի գիծ A 1 A 2.

Գործնականում, կետ գծելով Ա(x A, y A, z A) իրականացվում է ըստ նրա կոորդինատների թվային արժեքների x A, y AԵվ z Ահետեւյալ հաջորդականությամբ (նկ. 4).

1. Առանցքը գծված է ԵԶև նշանակվում է հղման կետ (կետ 0 ).

2. Առանցքի վրա ԵԶգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը xAմիավորներ Աև ստացիր կետի դիրքը Կացին.

3. Կետի միջոցով Կացինառանցքին ուղղահայաց ԵԶգծված է ուղղահայաց հաղորդակցման գիծ:

4. Ուղղահայաց կապի գծի վրա մի կետից Կացինառանցքի երկայնքով OYգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Աեւ որոշվում է կետի հորիզոնական պրոյեկցիայի դիրքը Ա 1 OYգծված չէ, բայց ենթադրվում է, որ դրա դրական արժեքները գտնվում են առանցքի տակ ԵԶ, իսկ բացասականներն ավելի բարձր են։

5. Կետից ուղղահայաց կապի գծի վրա Կացինառանցքի երկայնքով ՕԶգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը z Ամիավորներ Աեւ որոշվում է կետի ճակատային պրոյեկցիայի դիրքը Ա 2դիագրամի վրա։ Հարկ է նշել, որ դիագրամում առանցքը ՕԶգծված չէ, բայց ենթադրվում է, որ դրա դրական արժեքները գտնվում են առանցքի վերևում ԵԶ, իսկ բացասականներն ավելի ցածր են։

Մրցակցային միավորներ

Միևնույն ելնող ճառագայթի վրա գտնվող կետերը կոչվում են մրցակցային կետեր: Ելնող ճառագայթի ուղղությամբ նրանք ունեն ընդհանուր պրոյեկցիա նրանց համար, այսինքն. նրանց կանխատեսումները նույնական են. Հատկանշական հատկանիշԴիագրամի վրա մրցակցող կետերը նրանց նույնանուն կանխատեսումների նույնական համընկնումն է: Մրցակցությունը կայանում է դիտորդի նկատմամբ այս կանխատեսումների տեսանելիության մեջ: Այսինքն՝ տիեզերքում դիտորդի համար կետերից մեկը տեսանելի է, մյուսը՝ ոչ։ Եվ, համապատասխանաբար, գծագրում՝ մրցակցող կետերի պրոյեկցիաներից մեկը տեսանելի է, իսկ մյուս կետի պրոյեկցիան՝ անտեսանելի։

Երկու մրցակցող կետերից տարածական պրոյեկցիոն մոդելի վրա (նկ. 5): ԱԵվ INտեսանելի կետ Աըստ երկու փոխլրացնող հատկանիշների. Դատելով շղթայից S 1 →A→Bկետ Աավելի մոտ է դիտորդին, քան կետին IN. Եվ, համապատասխանաբար, նախագծման հարթությունից ավելի հեռու π 1(դրանք. z Ա > z Ա).

Բրինձ. 5 Նկ.6

Եթե ​​կետն ինքնին տեսանելի է Ա, ապա դրա պրոյեկցիան նույնպես տեսանելի է Ա 1. Դրա հետ համընկնող պրոյեկցիայի առնչությամբ Բ 1. Պարզության և, անհրաժեշտության դեպքում, գծապատկերի վրա, կետերի անտեսանելի ելքերը սովորաբար փակցվում են փակագծերում:

Եկեք հանենք մոդելի կետերը ԱԵվ IN. Ինքնաթիռում նրանց համընկնող կանխատեսումները կմնան π 1և առանձին կանխատեսումներ՝ միացված π 2. Պայմանականորեն թողնենք դիտորդի (⇩) ճակատային պրոյեկցիան, որը գտնվում է պրոյեկցիայի կենտրոնում Ս 1. Այնուհետեւ, պատկերների շղթայի երկայնքով ⇩ → Ա 2 → Բ 2դա հնարավոր կլինի դատել z Ա > z Բև որ կետն ինքնին տեսանելի է Աև դրա պրոյեկցիան Ա 1.

Եկեք նմանապես դիտարկենք մրցակցային միավորները ՀԵՏԵվ Դարտաքին տեսքով՝ համեմատած π 2 հարթության հետ։ Քանի որ այս կետերի ընդհանուր նախագծման ճառագայթը լ 2առանցքին զուգահեռ 0Y, ապա մրցակցային միավորների տեսանելիության նշան ՀԵՏԵվ Դորոշվում է անհավասարությամբ y C > y D. Հետեւաբար, այդ կետը Դփակված է մի կետով ՀԵՏև համապատասխանաբար կետի պրոյեկցիան Դ 2կտարածվի կետի պրոյեկցիայի միջոցով Գ 2մակերեսի վրա π 2.

Դիտարկենք, թե ինչպես է որոշվում մրցակցող կետերի տեսանելիությունը բարդ գծագրում (նկ. 6):

Դատելով համընկնող կանխատեսումներից Ա 1≡1-ումմիավորներն իրենք ԱԵվ INգտնվում են մեկ ելնող ճառագայթի վրա՝ առանցքին զուգահեռ 0Z. Սա նշանակում է, որ կոորդինատները կարելի է համեմատել z ԱԵվ z Բայս կետերը. Դրա համար մենք օգտագործում ենք ճակատային պրոյեկցիայի հարթությունը՝ կետերի առանձին պատկերներով։ Այս դեպքում z Ա > z Բ. Դրանից բխում է, որ պրոյեկցիան տեսանելի է Ա 1.

Միավորներ ԳԵվ ԴԴիտարկվող բարդ գծագրում (նկ. 6) նույնպես գտնվում են նույն ելնող ճառագայթի վրա, բայց միայն առանցքին զուգահեռ. 0Y. Հետեւաբար, համեմատությունից y C > y Dմենք եզրակացնում ենք, որ C 2 պրոեկցիան տեսանելի է:

Ընդհանուր կանոն . Մրցակցող կետերի համապատասխան պրոյեկցիաների տեսանելիությունը որոշվում է՝ համեմատելով այդ կետերի կոորդինատները ընդհանուր պրոյեկցիոն ճառագայթի ուղղությամբ: Տեսանելի է այն կետի պրոյեկցիան, որի կոորդինատը ավելի մեծ է։ Այս դեպքում կոորդինատների համեմատությունը կատարվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա՝ կետերի առանձին պատկերներով։

Կետի դիրքը տարածության մեջ կարելի է ճշտել նրա երկու ուղղանկյուն ելուստներով, օրինակ՝ հորիզոնական և ճակատային, ճակատային և պրոֆիլային: Ցանկացած երկու ուղղանկյուն կանխատեսումների համադրությունը թույլ է տալիս պարզել կետի բոլոր կոորդինատների արժեքը, կառուցել երրորդ պրոյեկցիան և որոշել այն օկտանտը, որտեղ այն գտնվում է: Դիտարկենք նկարագրական երկրաչափության դասընթացի մի քանի բնորոշ խնդիրներ:

A և B կետերի տվյալ բարդ գծագրման համար անհրաժեշտ է.

Նախ որոշենք A կետի կոորդինատները, որոնք կարելի է գրել A ձևով (x, y, z): A կետի հորիզոնական պրոյեկցիա՝ A կետ», ունենալով x, y կոորդինատներ: A կետից գծենք ուղղահայացներ դեպի x, y առանցքները և համապատասխանաբար գտնենք A x, A y: A կետի x կոորդինատը հավասար է գումարած նշանով A x O հատվածի երկարությանը, քանի որ A x-ը գտնվում է x առանցքի դրական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրի սանդղակը, մենք գտնում ենք x = 10: y կոորդինատը հավասար է մինուս նշանով A y O հատվածի երկարությանը, քանի որ t-ն գտնվում է բացասական արժեքների շրջանում y առանցք. Հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը՝ y = –30: A կետի ճակատային պրոյեկցիան - կետ A»» ունի x և z կոորդինատներ: Եկեք A»-ից ուղղահայացը գցենք z առանցքի վրա և գտնենք A z: A կետի z կոորդինատը հավասար է A z O հատվածի երկարությանը մինուս նշանով, քանի որ A z-ը գտնվում է z առանցքի բացասական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրության սանդղակը z = –10: Այսպիսով, A կետի կոորդինատներն են (10, –30, –10):

B կետի կոորդինատները կարելի է գրել B (x, y, z): Դիտարկենք B կետի հորիզոնական պրոյեկցիան - կետ B: Քանի որ այն գտնվում է x առանցքի վրա, ապա B x = B" և B y = 0 կոորդինատը: B կետի x աբսցիսան հավասար է B x հատվածի երկարությանը: O՝ գումարած նշանով։ Հաշվի առնելով գծագրման սանդղակը x = 30. B կետի ճակատային պրոյեկցիան ունի t, z. B»-ից z առանցքի ուղղահայաց գծենք՝ այդպիսով գտնելով B z-ն: B կետի կիրառական z-ը հավասար է B z O հատվածի երկարությանը մինուս նշանով, քանի որ B z-ը գտնվում է z առանցքի բացասական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը՝ որոշում ենք z = –20 արժեքը։ Այսպիսով, B-ի կոորդինատներն են (30, 0, -20): Բոլոր անհրաժեշտ կոնստրուկցիաները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Կետերի պրոյեկցիաների կառուցում

P 3 հարթության A և B կետերը ունեն հետևյալ կոորդինատները՝ A""" (y, z), B""" (y, z): Այս դեպքում A""-ը և A"""-ը գտնվում են z առանցքի վրա նույն ուղղահայաց վրա, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր z կոորդինատ: Նմանապես, B"" և B"""-ը գտնվում են z առանցքին ընդհանուր ուղղահայաց վրա: A կետի պրոյեկցիան գտնելու համար մենք y առանցքի երկայնքով գծագրում ենք ավելի վաղ հայտնաբերված համապատասխան կոորդինատի արժեքը: Նկարում դա արված է A y O շառավղով շրջանաձև աղեղի միջոցով: Դրանից հետո A y-ից ուղղահայաց գծեք, մինչև այն հատվի A կետից վերականգնված ուղղահայացով դեպի z առանցքը: Այս երկու ուղղահայացների հատման կետը որոշում է A"""-ի դիրքը:

B""" կետը գտնվում է z առանցքի վրա, քանի որ այս կետի y օրդինատը զրոյական է: Այս հարցում B կետի պրոյեկցիան գտնելու համար անհրաժեշտ է B""-ից ուղղահայաց նկարել z առանցքին: z առանցքի հետ այս ուղղահայաց հատման կետը B «» է։

Տիեզերքում կետերի դիրքի որոշում

Տեսողականորեն պատկերացնելով տարածական դասավորությունը, որը կազմված է պրոյեկցիոն հարթություններից P 1, P 2 և P 3, օկտանտների գտնվելու վայրը, ինչպես նաև դասավորությունը գծագրերի վերածելու կարգը, կարող եք ուղղակիորեն որոշել, որ A կետը գտնվում է III օկտանտում: , իսկ B կետը գտնվում է P 2 հարթությունում:

Այս խնդրի լուծման մեկ այլ տարբերակ բացառությունների մեթոդն է։ Օրինակ, A կետի կոորդինատներն են (10, -30, -10): Դրական աբսցիսա x-ը թույլ է տալիս դատել, որ կետը գտնվում է առաջին չորս օկտանտներում: Բացասական y օրդինատը ցույց է տալիս, որ կետը գտնվում է երկրորդ կամ երրորդ օկտանտում: Վերջապես, z բացասական կիրառումը ցույց է տալիս, որ A կետը գտնվում է երրորդ օկտանտում: Հետևյալ աղյուսակը հստակ ցույց է տալիս վերը նշված պատճառաբանությունը:

Օկտանտներ	Կոորդինատների նշաններ
	x	y	զ
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Բ կետի կոորդինատները (30, 0, -20). Քանի որ B կետի օրդինատը զրո է, այս կետը գտնվում է P 2 պրոյեկցիոն հարթությունում։ t-ի դրական աբսցիսան և բացասական կիրառումը ցույց են տալիս, որ այն գտնվում է երրորդ և չորրորդ օկտանտների սահմանին:

P 1, P 2, P 3 հարթությունների համակարգում կետերի տեսողական պատկերի կառուցում

Օգտագործելով ճակատային իզոմետրիկ պրոյեկցիա, մենք կառուցեցինք III օկտանտի տարածական դասավորությունը: Այն ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի դեմքերը P 1, P 2, P 3 հարթություններն են, իսկ անկյունը (-y0x) 45 º է։ Այս համակարգում x, y, z առանցքների երկայնքով հատվածները գծագրվելու են բնական չափերով՝ առանց աղավաղումների:

Սկսենք կառուցել A կետի տեսողական պատկերը (10, -30, -10) իր հորիզոնական պրոյեկցիայով A: Համապատասխան կոորդինատները գծելով աբսցիսայի և օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ գտնում ենք A x և A y կետերը վերակառուցված A x-ից և A y-ից համապատասխանաբար դեպի x և y առանցքները որոշում է A կետի դիրքը»: A-ից z առանցքին զուգահեռ դեպի իր բացասական արժեքները թողնելով AA հատվածը, որի երկարությունը 10 է, մենք գտնում ենք A կետի դիրքը:

B կետի տեսողական պատկերը (30, 0, -20) կառուցված է նմանատիպ ձևով. x և z առանցքների երկայնքով P2 հարթությունում անհրաժեշտ է գծագրել համապատասխան կոորդինատները: B x-ից և B z-ից վերակառուցված ուղղահայաց խաչմերուկը կորոշի B կետի դիրքը:

Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգը կազմված է երկու փոխադարձ ուղղահայաց պրոյեկցիոն հարթություններից (նկ. 2.1): Նրանք պայմանավորվեցին մեկը հորիզոնական, մյուսը՝ ուղղահայաց տեղադրելու մասին։

Հորիզոնական դիրքում գտնվող նախագծման հարթությունը կոչվում է հորիզոնական նախագծման հարթությունև նշել sch,իսկ հարթությունը նրան ուղղահայաց է կանխատեսումների ճակատային հարթությունլ 2.Նշվում է ինքնին պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգը p/p 2.Սովորաբար օգտագործվում են կրճատ արտահայտություններ՝ հարթություն Լ[,Ինքնաթիռ n 2.Ինքնաթիռների հատման գիծ schԵվ դեպի 2կանչեց պրոյեկցիոն առանցքՕհ.Այն յուրաքանչյուր պրոյեկցիոն հարթություն բաժանում է երկու մասի. հատակներ.Հորիզոնական նախագծման հարթությունն ունի առջևի և հետևի, իսկ ճակատային հարթությունը՝ վերին և ստորին հարկերը։

Ինքնաթիռներ schԵվ n 2տարածությունը բաժանել չորս մասի, կոչ քառորդներովև նշանակված հռոմեական I, II, III և IV թվերով (տես նկ. 2.1): Առաջին քառորդը տարածության այն մասն է, որը սահմանափակվում է վերին խոռոչ ճակատային և առաջի խոռոչ հորիզոնական նախագծման հարթություններով: Տարածության մնացած քառորդների համար սահմանումները նման են նախորդին:

Բոլոր մեքենաշինական գծագրերը նույն հարթության վրա կառուցված պատկերներ են: Նկ. 2.1 պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգը տարածական է։ Նույն հարթության վրա պատկերներին անցնելու համար մենք պայմանավորվեցինք համատեղել պրոյեկցիոն հարթությունները: Սովորաբար հարթ n 2մնացել է անշարժ, իսկ ինքնաթիռը Պպտտվել սլաքներով նշված ուղղությամբ (տես նկ. 2.1) առանցքի շուրջը Օհ 90° անկյան տակ, մինչև այն հարթվի հարթության հետ n 2.Այս պտույտով հորիզոնական հարթության առջևի հատակն իջնում ​​է, իսկ հետևը բարձրանում է: Ինքնաթիռները միավորելուց հետո դրանք նման են

ամուսնացած է թզ. 2.2. Ենթադրվում է, որ պրոյեկցիոն հարթությունները անթափանց են, և դիտորդը միշտ գտնվում է առաջին քառորդում: Նկ. 2.2 Հատակների համադրումից հետո անտեսանելի ինքնաթիռների նշանակումը վերցված է փակագծերում, ինչպես ընդունված է գծագրերում անտեսանելի ֆիգուրներն ընդգծելու համար:

Նախագծվող կետը կարող է տեղակայվել տարածության ցանկացած քառորդում կամ ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության վրա: Բոլոր դեպքերում, պրոյեկցիաներ կառուցելու համար դրա միջով գծվում են պրոյեկցիոն գծեր և հայտնաբերվում են դրանց հանդիպման կետերը 711 և 712 հարթությունների հետ, որոնք պրոյեկցիաներ են:

Դիտարկենք առաջին եռամսյակում գտնվող կետի պրոյեկցիան: Նշված են 711/712 պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգը և կետը Ա(նկ. 2.3): Նրա միջով գծված են երկու ուղիղ ՈՒՂԻՆԵՐ՝ ուղղահայաց 71) ԵՎ 71 2 ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻՆ։ Դրանցից մեկը կետում հատելու է 711 հարթությունը Ա»,կանչեց Ա կետի հորիզոնական պրոյեկցիան,իսկ մյուսը 71 2 ինքնաթիռն է կետում Ա»,կանչեց Ա կետի ճակատային պրոյեկցիա։

Ուղիղ գծերի նախագծում Ա.Ա.Եվ Ա.Ա.որոշել պրոյեկցիայի հարթությունը ա. Այն ուղղահայաց է հարթություններին Kip 2,քանի որ այն անցնում է նրանց ուղղահայացներով և ուղիղ գծերով հատում է պրոյեկցիոն հարթությունները Ա «Ախ և Ա «Ահ.Պրոյեկցիոն առանցք Օհ os հարթությանը ուղղահայաց, որպես երկու հարթությունների հատման գիծ 71| և 71 2, ուղղահայաց երրորդ հարթությանը (a), և հետևաբար դրանում ընկած ցանկացած ուղիղ գծին: Մասնավորապես, 0X1A"A xԵվ 0X1A «Ահ.

Ինքնաթիռները միացնելիս հատված Ա «Ահ,հարթ մինչև 2,մնում է անշարժ, իսկ հատվածը A «A x 71 հարթության հետ միասին) կպտտվեն առանցքի շուրջը Օհմինչև հարթեցվի 71 2 ինքնաթիռի հետ: Համակցված նախագծման հարթությունների տեսքը կետային ելքերի հետ միասին Ացույց է տրված Նկ. 2.4, Ա.Կետը համադրելուց հետո Ա», կացին և Ա»գտնվելու է մեկ ուղիղ գծի վրա՝ առանցքին ուղղահայաց Օհ.Սա ենթադրում է, որ նույն կետի երկու կանխատեսումներ

պառկեք պրոյեկցիայի առանցքին ընդհանուր ուղղահայաց վրա: Նույն կետի երկու ելուստները միացնող այս ուղղահայացը կոչվում է պրոյեկցիոն կապի գիծ.

Նկարչություն Նկ. 2.4, Ակարելի է շատ պարզեցնել. Համակցված նախագծման հարթությունների նշանակումները գծագրերում նշված չեն, և ուղղանկյունները, որոնք պայմանականորեն սահմանափակում են նախագծման հարթությունները, պատկերված չեն, քանի որ հարթություններն անսահմանափակ են: Պարզեցված կետային գծագրություն Ա(Նկար 2.4, բ)Կոչվում է նաեւ դիագրամ(ֆրանսերենից ?մաքուր - նկարչություն):

Ցուցադրված է Նկ. 2.3 քառանկյուն AE4 «A H A»ուղղանկյուն է, և դրա հակառակ կողմերը հավասար են և զուգահեռ: Հետեւաբար, հեռավորությունը կետից Ադեպի ինքնաթիռ Պ, չափվում է հատվածով ԱԱ«, գծագրում որոշվում է հատվածով Ա «Ահ.Հատվածը A «A x = AA»թույլ է տալիս դատել հեռավորությունը մի կետից Ադեպի ինքնաթիռ դեպի 2.Այսպիսով, կետի գծագրումը ամբողջական պատկերացում է տալիս դրա գտնվելու վայրի մասին պրոյեկցիոն հարթությունների համեմատ: Օրինակ, ըստ գծագրի (տես նկ. 2.4, բ)կարելի է պնդել, որ կետը Ագտնվում է առաջին քառորդում և հանվել ինքնաթիռից n 2ավելի փոքր հեռավորության վրա, քան ինքնաթիռից A «A xԱ «Ահ.

Անցնենք տարածության երկրորդ, երրորդ և չորրորդ քառորդներում կետի նախագծմանը:

Մի կետ նախագծելիս IN,գտնվում է երկրորդ քառորդում (նկ. 2.5), հարթությունները միացնելուց հետո նրա երկու ելուստները առանցքից բարձր կլինեն. Օհ.

Երրորդ քառորդում նշված Գ կետի հորիզոնական պրոյեկցիան (նկ. 2.6) գտնվում է առանցքի վերևում. Օհ,իսկ առջեւն ավելի ցածր է։

Դ կետը ցույց է տրված Նկ. 2.7, որը գտնվում է չորրորդ եռամսյակում: Պրոյեկցիոն հարթությունները միավորելուց հետո նրա երկու պրոյեկցիաներն էլ առանցքից ցածր կլինեն Օհ.

Համեմատելով տարածության տարբեր հատվածներում տեղակայված կետերի գծագրերը (տես նկ. 2.4-2.7), կարող եք նկատել, որ յուրաքանչյուրը բնութագրվում է ելուստների իր տեղակայմամբ՝ ելուստների առանցքի նկատմամբ։ Օհ.

Հատուկ դեպքերում նախագծված կետը կարող է ընկած լինել նախագծման հարթության վրա: Այնուհետև դրա կանխատեսումներից մեկը համընկնում է բուն կետի հետ, իսկ մյուսը կտեղակայվի ելուստների առանցքի վրա: Օրինակ, մի կետի համար Ե,ինքնաթիռում պառկած sch(նկ. 2.8), հորիզոնական պրոյեկցիան համընկնում է բուն կետի հետ, իսկ ճակատայինը՝ առանցքի վրա։ Օհ.Կետում Ե,գտնվում է ինքնաթիռում դեպի 2(նկ. 2.9), հորիզոնական պրոյեկցիա առանցքի վրա Օհ,իսկ ճակատայինը համընկնում է բուն կետի հետ։