Նախնական հավանականություն. Տես էջերը, որտեղ նշված է նախնական հավանականություններ տերմինը

Բացառապես ճշգրիտ փաստերի և այդ փաստերից ճշգրիտ եզրակացությունների վրա հիմնված պատճառաբանությունը կոչվում է խիստ դատողություն: Այն դեպքերում, երբ անորոշ փաստերը պետք է օգտագործվեն որոշումներ կայացնելու համար, խիստ պատճառաբանությունը դառնում է ոչ պիտանի: Հետևաբար, ցանկացած փորձագիտական ​​համակարգի ամենամեծ ուժեղ կողմերից մեկը անորոշության պայմաններում բանականություն ձևավորելու կարողությունն է, ինչպես դա անում են մարդկային փորձագետները: Նման պատճառաբանությունը խիստ չէ։ Մենք կարող ենք հանգիստ խոսել ներկայության մասին անորոշ տրամաբանություն.

Անորոշություն, և, որպես հետևանք, մշուշոտ տրամաբանությունը կարող է դիտվել որպես որոշումներ կայացնելու համար համապատասխան տեղեկատվության բացակայություն: Անորոշությունը դառնում է խնդիր, քանի որ այն կարող է խոչընդոտել լավագույն լուծման ստեղծմանը և նույնիսկ պատճառ դառնալ, որ վատ լուծում գտնվի: Պետք է նշել, որ իրական ժամանակում հայտնաբերված բարձրորակ լուծումը հաճախ համարվում է ավելի ընդունելի, քան ավելի լավ լուծումը, որը երկար ժամանակ է պահանջում հաշվարկելու համար: Օրինակ՝ բուժման հետաձգումը լրացուցիչ թեստավորում թույլ տալու համար կարող է հանգեցնել հիվանդի մահվան՝ նախքան բուժում ստանալը:

Անորոշության պատճառը տեղեկատվության մեջ տարբեր սխալների առկայությունն է։ Պարզեցված դասակարգումԱյս սխալները կարող են ներկայացվել իրենց բաժանման մեջ հետևյալ տեսակների.

• տեղեկատվության անորոշություն, որի առաջացումը պայմանավորված է նրանով, որ որոշ տեղեկություններ կարող են մեկնաբանվել տարբեր ձևերով.
• թերի տեղեկատվություն՝ որոշակի տվյալների բացակայության պատճառով.
• տեղեկատվության անբավարարություն՝ իրական իրավիճակին չհամապատասխանող տվյալների օգտագործման պատճառով ( հնարավոր պատճառներըսուբյեկտիվ սխալներ են՝ սուտ, ապատեղեկատվություն, սարքավորումների անսարքություն);
• չափման սխալներ, որոնք առաջանում են տվյալների քանակական ներկայացման չափանիշների ճշգրտության և ճշգրտության պահանջներին չհամապատասխանելու պատճառով.
• պատահական սխալներ, որոնց դրսևորումը տվյալների պատահական տատանումն է դրանց միջին արժեքի նկատմամբ (պատճառը կարող է լինել. սարքավորումների անհուսալիությունը, Բրաունյան շարժումջերմային էֆեկտներ և այլն):

Այսօր մշակվել են անորոշության զգալի թվով տեսություններ, որոնք անորոշության պայմաններում փորձում են վերացնել որոշ կամ նույնիսկ բոլոր սխալները և տալ հուսալի տրամաբանական եզրակացություն։ Գործնականում առավել հաճախ օգտագործվող տեսություններն են, որոնք հիմնված են հավանականության դասական սահմանման և հետին հավանականության վրա:

Խնդիրներ լուծելու ամենահին և կարևոր գործիքներից մեկը արհեստական ​​բանականությունհավանականություն է։ Հավանականությունանորոշության հաշվառման քանակական միջոց է: Դասական հավանականությունը ծագում է մի տեսությունից, որն առաջին անգամ առաջարկվել է Պասկալի և Ֆերմայի կողմից 1654 թվականին։ Այդ ժամանակից ի վեր մեծ աշխատանք է կատարվել հավանականության ոլորտում և հավանականության բազմաթիվ կիրառություններ գիտության, տեխնիկայի, բիզնեսի, տնտեսագիտության և այլ ոլորտներում:

Դասական հավանականություն

Դասական հավանականություննաև կոչվում է a priori հավանականություն, քանի որ դրա սահմանումը վերաբերում է իդեալական համակարգերին: «Ապրիորի» տերմինը նշանակում է հավանականություն, որը որոշվում է «իրադարձություններին»՝ առանց հաշվի առնելու բազմաթիվ գործոններ, որոնք տեղի են ունենում. իրական աշխարհը. Ապրիորի հավանականության գաղափարը տարածվում է իդեալական համակարգերում տեղի ունեցող իրադարձությունների վրա, որոնք հակված են մաշվելու կամ այլ համակարգերի ազդեցությանը: Իդեալական համակարգում իրադարձություններից որևէ մեկի առաջացումը տեղի է ունենում նույն ձևով, ինչը զգալիորեն հեշտացնում է դրանց վերլուծությունը:

Դասական հավանականության հիմնարար բանաձևը (P) սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Այս բանաձեւում Վ- սպասվող իրադարձությունների քանակը և Ն- հավասար հավանականություններով իրադարձությունների ընդհանուր թիվը, որոնք փորձի կամ թեստի հնարավոր արդյունքներ են: Օրինակ, ցանկացած վեցանկյուն եզր ստանալու հավանականությունը զառախաղ 1/6 է, իսկ 52 տարբեր քարտեր պարունակող տախտակամածից ցանկացած քարտ հանելը 1/52 է:

Հավանականությունների տեսության աքսիոմներ

Հավանականության պաշտոնական տեսությունը կարող է ստեղծվել երեք աքսիոմների հիման վրա.

Վերոնշյալ աքսիոմները հնարավորություն տվեցին հիմք դնել հավանականության տեսությանը, բայց դրանք չեն հաշվի առնում իրական-ոչ իդեալական համակարգերում տեղի ունեցող իրադարձությունների հավանականությունը: Ի տարբերություն a priori մոտեցման, իրական համակարգերում որոշ իրադարձության հավանականությունը P(E), որոշելու համար օգտագործվող մեթոդը փորձարարական հավանականությունորպես հաճախականության բաշխման սահման.

Հետին հավանականություն

Այս բանաձեւում f(E)նշանակում է ինչ-որ իրադարձության միջև եղած հաճախականությունը Ն- ընդհանուր արդյունքների դիտարկումների քանակը. Այս տեսակի հավանականությունը նույնպես կոչվում է հետին հավանականություն, այսինքն. հավանականությունը որոշվում է «իրադարձություններից հետո»։ Հետևի հավանականությունը որոշելու հիմքը այն հաճախականության չափումն է, որով ինչ-որ իրադարձություն տեղի է ունենում ընթացքում: մեծ քանակությամբթեստեր. Օրինակ, սահմանումը սոցիալական տեսակվարկունակ բանկի հաճախորդ՝ հիմնված էմպիրիկ փորձի վրա:

Իրադարձությունները, որոնք միմյանց բացառող չեն, կարող են ազդել միմյանց վրա: Նման իրադարձությունները դասակարգվում են որպես բարդ: Բարդ իրադարձությունների հավանականությունը կարելի է հաշվարկել՝ վերլուծելով դրանց համապատասխան ընտրանքային տարածությունները: Այս նմուշային տարածքները կարող են ներկայացվել Վենի դիագրամների միջոցով, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 1

Նկ. 1 Նմուշային տարածք երկու միմյանց չբացառող իրադարձությունների համար

A իրադարձության առաջացման հավանականությունը, որը որոշվում է հաշվի առնելով այն փաստը, որ B իրադարձություն է տեղի ունեցել, կոչվում է պայմանական հավանականություն և նշվում է. P(A|B). Պայմանական հավանականությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Նախնական հավանականություն

Այս բանաձեւում հավանականությունը P(B)չպետք է հավասար լինի զրոյի և ներկայացնում է ապրիորի հավանականություն, որը որոշվում է նախքան այլ լրացուցիչ տեղեկատվության հայտնի լինելը: Նախնական հավանականություն, որն օգտագործվում է պայմանական հավանականության կիրառման հետ կապված, երբեմն անվանում են բացարձակ հավանականություն։

Կա խնդիր, որն ըստ էության հակադրվում է պայմանական հավանականության հաշվարկի խնդրին։ Այն բաղկացած է հակադարձ հավանականության որոշման մեջ, որը ցույց է տալիս նախորդ իրադարձության հավանականությունը՝ հաշվի առնելով այն իրադարձությունները, որոնք տեղի են ունեցել ապագայում: Գործնականում այս տիպի հավանականությունը տեղի է ունենում բավականին հաճախ, օրինակ՝ բժշկական ախտորոշման կամ սարքավորումների ախտորոշման ժամանակ, որոնցում հայտնաբերվում են որոշակի ախտանիշներ, և խնդիր է դրված գտնել հնարավոր պատճառ:

Այս խնդիրը լուծելու համար օգտագործեք Բեյսի թեորեմ, որն անվանվել է 18-րդ դարի բրիտանացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բայեսի պատվին։ Բայեսյան տեսությունը այժմ լայնորեն օգտագործվում է տնտեսագիտության և սոցիալական գիտությունների մեջ որոշումների ծառերը վերլուծելու համար: Բայեսյան լուծույթների որոնման մեթոդն օգտագործվում է նաև PROSPECTOR փորձագիտական ​​համակարգում՝ օգտակար հանածոների հետախուզման համար խոստումնալից վայրեր հայտնաբերելիս: PROSPECTOR համակարգը լայն տարածում գտավ որպես առաջին փորձագիտական ​​համակարգը, որի օգնությամբ հայտնաբերվեց 100 մլն դոլար արժողությամբ մոլիբդենի արժեքավոր հանքավայր։

Պատահական իրադարձությունը գնահատվում է թվով, որը որոշում է այս իրադարձության դրսևորման ինտենսիվությունը: Այս համարը կոչվում է հավանականությունըիրադարձություններ P() . Տարրական իրադարձության հավանականությունը – . Իրադարձության հավանականությունը օբյեկտիվության աստիճանի, այս իրադարձության հնարավորության թվային չափումն է։ Որքան մեծ է հավանականությունը, այնքան ավելի հավանական է իրադարձությունը:

Ցանկացած իրադարձություն, որը համընկնում է արդյունքի ողջ տարածության հետ Ս, կանչեց հուսալի իրադարձություն, այսինքն. այնպիսի իրադարձություն, որը փորձի արդյունքում անպայման պետք է տեղի ունենա (օրինակ՝ զառի վրա 1-ից 6-ի ցանկացած միավորի կորուստ): Եթե ​​միջոցառումը չի պատկանում լրակազմին Ս, ապա համարվում է անհնարին(օրինակ՝ 6-ից մեծ թվի գլորում ձողի վրա): Անհնարին իրադարձության հավանականությունը 0 է, որոշակի իրադարձության հավանականությունը՝ 1։ Մնացած բոլոր իրադարձություններն ունեն 0-ից 1 հավանականություն։

Իրադարձություններ ԵԵվ կոչվում են հակառակը, Եթե Եգալիս է, երբ չի գալիս . Օրինակ՝ իրադարձություն Ե– «զույգ միավորների գլորում», այնուհետև միջոցառումը - «կենտ թվով միավորներ գլորել»: Երկու իրադարձություն Ե 1 Եվ Ե 2 կոչվում են անհամատեղելի, եթե երկու իրադարձությունների համար ընդհանուր արդյունք չկա:

Պատահական իրադարձությունների հավանականությունը որոշելու համար օգտագործվում են ուղղակի կամ անուղղակի մեթոդներ: Հավանականությունը ուղղակիորեն հաշվարկելիս առանձնանում են a priori և a posteriori հաշվարկման սխեմաներ, երբ. կատարել դիտարկումներ (փորձեր) կամ ապրիորի հաշվել փորձերի քանակը մ, որում դրսևորվել է իրադարձությունը և կատարված փորձերի ընդհանուր թիվը n. Անուղղակի մեթոդները հիմնված են աքսիոմատիկ տեսության վրա: Քանի որ իրադարձությունները սահմանվում են որպես բազմություններ, բոլոր տեսական գործողությունները կարող են կատարվել դրանց վրա: Բազմությունների տեսությունը և ֆունկցիոնալ վերլուծությունը առաջարկվել են ակադեմիկոս Ա.Ն. Կոլմոգորովը և հիմք դրեց հավանականության աքսիոմատիկ տեսության։ Ներկայացնենք հավանականության աքսիոմները.

ԱքսիոմաԻ. Իրադարձությունների դաշտՖ(Ս) բազմությունների հանրահաշիվ է.

Այս աքսիոմը ցույց է տալիս բազմությունների տեսության և հավանականությունների տեսության անալոգիան:

ԱքսիոմաII. Յուրաքանչյուր հավաքածուի համար-իցՖ(Ս) կապված է իրական թվի հետ P(), կոչվում է իրադարձության հավանականություն:

հաշվի առնելով, որ Ս 1 Ս 2 =  (անհամատեղելի իրադարձությունների համար Ս 1 Եվ Ս 2 ), կամ մի շարք անհամատեղելի իրադարձությունների համար

Որտեղ Ն- տարրական իրադարձությունների քանակը (հնարավոր արդյունքներ):

Հավանականություն պատահական իրադարձություն

,

Որտեղ - տարրական իրադարձությունների հավանականությունները ենթախմբում ներառված .

Օրինակ 1.1. Որոշե՛ք յուրաքանչյուր թվի ստացման հավանականությունը մատրից գցելու, զույգ թիվ ստանալու դեպքում 4 .

Լուծում. Յուրաքանչյուր թվի բազմությունից դուրս ընկնելու հավանականությունը

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Զույգ թվի գլորման հավանականությունը, այսինքն.
={2, 4, 6}, (1.6) հիման վրա կլինի P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Թիվ ստանալու հավանականությունը  4 , այսինքն.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

1. Զամբյուղում կա 20 սպիտակ, 30 սև և 50 կարմիր գնդակ: Որոշեք հավանականությունը, որ զամբյուղից հանված առաջին գնդակը կլինի սպիտակ; Սեվ; կարմիր.

2. Ուսանողական խմբում կա 12 տղա և 10 աղջիկ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հավանականությունների տեսության սեմինարից կբացակայեն՝ 1) երիտասարդ. 2) աղջիկ; 3) երկու երիտասարդ.

3. Տարվա ընթացքում 51 օրն առանձնանում էր նրանով, որ այս օրերին անձրև է եկել (կամ ձյուն է եկել): Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դուք վտանգի տակ եք ընկնում անձրևի (կամ ձյան) տակ. 1) աշխատանքի գնալ; 2) 5 օրով արշավի գնալու?

4. Կազմե՛ք խնդիր այս առաջադրանքի թեմայով և լուծե՛ք այն:

1.1.3. Հետևի հավանականության սահմանում (վիճակագրական հավանականություն կամ հաճախականություն

պատահական իրադարձություն)

Հավանականությունը a priori որոշելիս ենթադրվում էր, որ հավասարապես հավանական. Սա միշտ չէ, որ այդպես է լինում
ժամը
. Ենթադրություն
հանգեցնում է a priori որոշման սխալի P( ) ըստ սահմանված սխեմայի։ Որոշելու համար , իսկ ընդհանուր դեպքում P( ) իրականացնել նպատակային թեստեր. Նման փորձարկումների ժամանակ (օրինակ՝ թեստի արդյունքները 1.2, 1.3 օրինակներում) տարբեր պայմանների, ազդեցության, պատճառական գործոնների տարբեր պայմաններում, այսինքն. տարբեր դեպքեր,բազմազան արդյունքները(ուսումնասիրվող օբյեկտի տեղեկատվության տարբեր դրսևորումներ: Յուրաքանչյուր թեստի արդյունք համապատասխանում է մեկ տարրի): կամ մեկ ենթաբազմություն հավաքածուներ Ս.Եթե սահմանենք մորպես բարենպաստ իրադարձությունների քանակ Աարդյունքում ստացված արդյունքները nթեստեր, ապա հետին հավանականություն (պատահական իրադարձության վիճակագրական հավանականություն կամ հաճախականություն Ա)

Օրենքի հիման վրա մեծ թվերՀամար  Ա

, n  ,

դրանք. քանի որ փորձարկումների քանակը մեծանում է, պատահական իրադարձության հաճախականությունը (հետին կամ վիճակագրական հավանականություն) հակված է այս իրադարձության հավանականությանը:

Օրինակ 1.2. Որոշվում է դեպքերի սխեմայով, մետաղադրամը նետելիս վայրէջքի գլուխների հավանականությունը 0,5 է: Հարկավոր է մետաղադրամ նետել 10, 20, 30... անգամ և որոշել գլուխների պատահական իրադարձության հաճախականությունը թեստերի յուրաքանչյուր շարքից հետո։

Լուծում. C. Poisson-ը մետաղադրամ է նետել 24000 անգամ և 11998 անգամ իջել գլխին: Այնուհետեւ, ըստ (1.7) բանաձեւի, վայրէջքի գլուխների հավանականությունը

.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

Հիմք ընդունելով մեծ վիճակագրական նյութ ( n  ) ստացվել են տեքստերում ռուսերեն այբուբենի առանձին տառերի և տարածության () հայտնվելու հավանականության արժեքները, որոնք տրված են Աղյուսակ 1.1-ում:

Աղյուսակ 1.1. Տեքստում այբուբենի տառերի հայտնվելու հավանականությունը

Վերցրեք ցանկացած տեքստի էջ և որոշեք այդ էջում տարբեր տառերի առաջացման հաճախականությունը: Թեստերի երկարությունը հասցնել երկու էջի: Ստացված արդյունքները համեմատե՛ք աղյուսակի տվյալների հետ։ Եզրակացություն արեք.

Թիրախների վրա կրակելիս ստացվել է հետևյալ արդյունքը (տե՛ս Աղյուսակ 1.2).

Աղյուսակ 1.2. Թիրախային հրաձգության արդյունքները

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ թիրախը խոցվեր առաջին կրակոցով, եթե այն չափսերով ավելի փոքր լիներ, քան «տասը», «ինը» և այլն:

3. Պլանավորել և անցկացնել նմանատիպ թեստեր այլ միջոցառումների համար: Ներկայացրե՛ք դրանց արդյունքները։

I. Պայմանական հավանականություններ. Նախորդ և հետին հավանականություն. 3

II.Անկախ իրադարձություններ. 5

III.Վիճակագրական վարկածների փորձարկում. Վիճակագրական նշանակություն. 7

IV. Chi-square թեստի օգտագործումը 19

1. Հաճախականությունների բազմության և հավանականությունների բազմության տարբերության հուսալիության որոշում: 19

2. Հաճախականությունների մի քանի հավաքածուների տարբերության հուսալիության որոշում: 26

ԱՆԿԱԽ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ 33

Դաս թիվ 2

1. Պայմանական հավանականություններ. Նախորդ և հետին հավանականություն.

Պատահական փոփոխականը սահմանվում է երեք օբյեկտներով՝ տարրական իրադարձությունների մի շարք, իրադարձությունների մի շարք և իրադարձությունների հավանականություն: Այն արժեքները, որոնք կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը, կոչվում են տարրական իրադարձություններ.Տարրական իրադարձությունների բազմությունները կոչվում են իրադարձություններ. Թվային և այլ ոչ շատ բարդերի համար պատահական փոփոխականներտարրական իրադարձությունների հատուկ տրված ցանկացած շարք իրադարձություն է:

Օրինակ բերենք՝ զառ գցելը։

Ընդհանուր առմամբ կան 6 տարրական իրադարձություններ՝ «միավոր», «2 միավոր», «3 միավոր»... «6 միավոր»։ Իրադարձություն – տարրական իրադարձությունների ցանկացած հավաքածու, օրինակ՝ «զույգ»՝ «2 միավոր», «4 միավոր» և «6 միավոր» տարրական իրադարձությունների գումարը:

Ցանկացած տարրական իրադարձության P(A) հավանականությունը 1/6 է.

Իրադարձության հավանականությունը դրանում ներառված տարրական իրադարձությունների թիվն է՝ բաժանված 6-ի։

Շատ հաճախ, ի լրումն իրադարձության հայտնի հավանականության, կան լրացուցիչ տեղեկություններ, որոնք փոխում են այս հավանականությունը: Օրինակ՝ հիվանդների մահացությունը։ Սուր արյունահոսող ստամոքսի խոցով հիվանդանոց ընդունվածների մոտ 10% է: Այնուամենայնիվ, եթե հիվանդը 80 տարեկանից բարձր է, մահացության այս ցուցանիշը կազմում է 30%:

Նման իրավիճակները նկարագրելու համար այսպես կոչված պայմանական հավանականություններ. Դրանք նշվում են որպես P(A/B) և կարդում են «A իրադարձության հավանականությունը տրված իրադարձության B»: Պայմանական հավանականությունը հաշվարկելու համար օգտագործվում է բանաձևը.

Վերադառնանք նախորդ օրինակին.

Ենթադրենք, որ ստամոքսի սուր արյունահոսող խոցով հիվանդանոց ընդունված հիվանդների 20%-ը 80 տարեկանից բարձր հիվանդներ են։ Ավելին, բոլոր հիվանդների մեջ 80 տարեկանից բարձր մահացած հիվանդների համամասնությունը կազմում է 6% (հիշենք, որ բոլոր մահերի համամասնությունը կազմում է 10%)։ Այս դեպքում

Պայմանական հավանականությունները սահմանելիս հաճախ օգտագործվում են տերմինները a priori(բառացի – փորձից առաջ) և a posteriori(բառացի՝ փորձից հետո) հավանականություն։

Օգտագործելով պայմանական հավանականությունները, դուք կարող եք օգտագործել մեկ հավանականություն մյուսները հաշվարկելու համար, օրինակ, փոխանակեք իրադարձություն և պայման:

Դիտարկենք այս տեխնիկան՝ օգտագործելով ռևմատիկ տենդի (ռևմատիկ տենդ) ռիսկի և դրա համար ռիսկի գործոն հանդիսացող անտիգեններից մեկի փոխհարաբերությունների վերլուծության օրինակը։

Ռևմատիզմի հաճախականությունը կազմում է մոտ 1%: Ռևմատիզմի առկայությունը նշանակենք R +, մինչդեռ P(R +) = 0,01:

Հակագենի առկայությունը կնշանակվի որպես A +: Այն հանդիպում է ռևմատիզմով հիվանդների 95%-ի և ռևմատիզմով չտառապող մարդկանց 6%-ի մոտ։ Մեր նշումով դրանք են՝ պայմանական հավանականությունները P(A + /R +) = 0,95 և P(A + /R -) = 0,06:

Այս երեք հավանականությունների հիման վրա մենք հաջորդաբար կորոշենք այլ հավանականություններ։

Նախ, եթե ռևմատիզմի հաճախականությունը P(R +) = 0,01 է, ապա չհիվանդանալու հավանականությունը P(R -) = 1-P(R +) = 0,99 է։

Պայմանական հավանականության բանաձեւից մենք գտնում ենք, որ

P(A + andR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0.95*0.01 = 0.0095, կամ բնակչության 0.95%-ը տառապում է ռևմատիզմով և ունի հակագեն:

Նմանապես

P(A + andR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594, կամ բնակչության 5,94%-ը կրում է անտիգենը, սակայն չի տառապում ռևմատիզմով:

Քանի որ բոլոր նրանք, ովքեր ունեն հակագեն կամ տառապում են ռևմատիզմով, կամ չեն տառապում ռևմատիզմով (բայց ոչ երկուսն էլ միաժամանակ), վերջին երկու հավանականությունների գումարը ցույց է տալիս անտիգենի տեղափոխման հաճախականությունը ամբողջ պոպուլյացիայի մեջ.

P(A +)= P(A + andR +) + P(A + andR -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Ըստ այդմ, անտիգեն չունեցող մարդկանց մասնաբաժինը հավասար է

P(A -)=1- P(A +) = 0,9311

Քանի որ ռևմատիզմի հաճախականությունը կազմում է 1%, իսկ անտիգեն ունեցող և ռևմատիզմով տառապող մարդկանց մասնաբաժինը կազմում է 0,95%, ապա ռևմատիզմ ունեցող և հակագեն չունեցողների համամասնությունը հավասար է.

P(A - andR +) = P(R +) - P(A + andR +) = 0.01 – 0.0095 = 0.0005

Այժմ մենք շարժվելու ենք հակառակ ուղղությամբ՝ իրադարձությունների հավանականություններից և դրանց համակցություններից անցնելով պայմանական հավանականությունների։ Ըստ նախնական պայմանական հավանականության բանաձևի՝ P(A + /R +) = P(R + և A +)/ P(A +) = 0,0095/0,06890,1379, կամ հակագեն կրող անհատների մոտավորապես 13,8%-ը, կստանա ռևմատիզմ: . Քանի որ ընդհանուր բնակչության հաճախականությունը կազմում է ընդամենը 1%, հակագենի հայտնաբերման փաստը մեծացնում է ռևմատիզմի զարգացման հավանականությունը 14 անգամ:

Նմանապես, P(R + /A -) = P(R + andA -)/ P(A -) = 0,0005/0,93110,000054, այսինքն, այն փաստը, որ թեստավորման ընթացքում հակագեն չի հայտնաբերվել, նվազեցնում է ռևմատիզմի զարգացման հավանականությունը: 19 անգամ։

Եկեք ձևաչափենք այս առաջադրանքը Excel աղյուսակում.

Ռևմատիզմի առկայություն R+
Հակագենի առկայությունը A+-ով հիվանդների մոտ
Հակագենի առկայությունը ոչ հիվանդ A+ հիվանդների մոտ
Չհիվանդանալու հավանականությունը	P(R -)=1- P(R +)
Միաժամանակ նրանք տառապում են ռևմատիզմով և ունեն հակագեն	P(A + և R +)= P(A + /R +) * P(R +)
Նրանք կրում են հակագենը, բայց չեն հիվանդանում ռևմատիզմով	P(A + և R -)= P(A + /R -) * P(R -)
Ընդհանուր բնակչության մեջ անտիգենների փոխադրման հաճախականությունը	P(A +)= P(A + և R +) + P(A + և R -)
Անտիգեն չունեցող մարդկանց համամասնությունը	P(A -)=1- P(A +)
Ռևմատիզմով հիվանդների համամասնությունը, որոնք չունեն հակագեն	P(A - և R +) = P(R +) - P(A + և R +)
Անտիգեն կրող մարդկանց մոտ ռևմատիզմ է զարգանում	P(A + /R +)= P(R + և A +)/ P(A +)
Անտիգեն չկրող մարդկանց մոտ ռևմատիզմ չի զարգանա	P(R + /A -)=P(R + և A -)/ P(A -)

Դուք կարող եք տեսնել աղյուսակի ստեղծման գործընթացը picture2\p2-1.gif

Հարց թիվ 38. Միջոցառումների ամբողջական խումբ. Ընդհանուր հավանականության բանաձև. Բեյսի բանաձևերը.

Երկու իրադարձություն. Անկախությունը ընդհանուր առմամբ. Բազմապատկման թեորեմի ձևակերպումն այս դեպքում.

Հարց թիվ 37. Պայմանական հավանականություն. Բազմապատկման թեորեմ. Անկախության սահմանում

Պայմանական հավանականությունը մեկ իրադարձության հավանականությունն է՝ հաշվի առնելով, որ մեկ այլ իրադարձություն արդեն տեղի է ունեցել:

P(A│B)= p(AB)/ p(B)

Պայմանական հավանականությունն արտացոլում է մի իրադարձության ազդեցությունը մյուսի հավանականության վրա:

Բազմապատկման թեորեմ.

Իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը որոշվում է P(A 1,A 2,….A n)= P(A 1)P(A 2/ A 1)…P(A n / A 1 A 2… A n -1)

Երկու իրադարձությունների արտադրյալի համար հետևում է, որ

P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)

Եթե ​​մի իրադարձությունը մյուսից կախված չէ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի ազդում մյուսի առաջացման հավանականության վրա, ապա վերջինս նույնպես կախված չէ առաջինից։ Սա բոլոր հիմքերն է տալիս նման միջոցառումներն անկախ անվանելու։ Մաթեմատիկորեն անկախությունը նշանակում է, որ իրադարձության պայմանական հավանականությունը նույնն է, ինչ նրա հավանականությունը (անվերապահ հավանականություն):

1. Ասում են, որ A իրադարձությունը կախված չէ B իրադարձությունից, եթե

P(A│B)=P(A)

Եթե ​​A իրադարձությունը կախված չէ B իրադարձությունից, ապա B իրադարձությունը կախված չէ A իրադարձությունից:

2. Եթե իրադարձությունները A և B անկախ են, ապա P(AB) = P(A)P(B) - այս հավասարությունն օգտագործվում է անկախ իրադարձությունները որոշելու համար:

Անհրաժեշտ է տարբերակել իրադարձությունների զույգ անկախությունը ագրեգատում անկախությունից:

Իրադարձությունները A1, A2,….A-ն կոչվում են կոլեկտիվ անկախ, եթե դրանք զույգերով անկախ են, և դրանցից յուրաքանչյուրը կախված չէ որևէ այլ իրադարձությունների բազմության արտադրյալից:

Եթե ​​A1, A2,….A իրադարձություններն ամբողջությամբ անկախ են, ապա

P(A 1,A 2,….A n)=P(A 1)P(A 2)…P(A n):

Յուրաքանչյուր խմբում թեստի արդյունքում ինչ-որ իրադարձություն անպայման տեղի կունենա, և դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսների առաջացումը: Նման իրադարձությունները կոչվում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ:

Սահմանում. Եթե իրադարձությունների խումբն այնպիսին է, որ դրանցից առնվազն մեկը պետք է տեղի ունենա թեստի արդյունքում, և դրանցից երկուսը անհամատեղելի են, ապա իրադարձությունների այս խումբը կոչվում է ամբողջական խումբ:

Ամբողջական խմբից յուրաքանչյուր իրադարձություն կոչվում է տարրական իրադարձություն: Յուրաքանչյուր տարրական իրադարձություն հավասարապես հնարավոր է, քանի որ հիմքեր չկան ենթադրելու, որ դրանցից որևէ մեկն ավելի հնարավոր է, քան որևէ այլ իրադարձություն ամբողջ խմբում:

Երկու հակադիր իրադարձությունները կազմում են ամբողջական խումբ:

Ա իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը փորձերի քանակի հարաբերակցությունն է, որի արդյունքում տեղի է ունեցել A իրադարձությունը ընդհանուր թիվըփորձարկումներ.

Հարաբերական հաճախականության և հավանականության տարբերությունն այն է, որ հավանականությունը հաշվարկվում է առանց ուղղակի փորձի, իսկ հարաբերական հաճախականությունը՝ փորձարկումից հետո։

Ընդհանուր հավանականության բանաձև

(որտեղ A-ն ինչ-որ իրադարձություն է, H1, H2... Hi-ն զույգ-զույգ անհամատեղելի են՝ կազմելով ամբողջական խումբ, և A-ն կարող է առաջանալ H1, H2 Hi-ի հետ միասին)

P(A)=P(A|H 1) P(H 1)+P(A|H 2)P(H 2)+P(A|H 3)P(H 3)+…+P(A| Hn)P(Hn)

Բեյսի բանաձևը

Մեկնաբանություն. Hi իրադարձությունները կոչվում են հավանականության վարկածներ, p(Hi) հիպոթեզների a priori հավանականություններն են, իսկ P(Hi/A) հավանականությունները Hi հիպոթեզների հետին հավանականություններն են։

Թող հայտնի լինի փորձի արդյունքը, այն է, որ տեղի է ունեցել Ա-ի իրադարձությունը։ Հայտնի փորձարարական արդյունքով վարկածների հավանականությունը վերագնահատելու համար օգտագործվում է Բեյսի բանաձևը.

Օրինակ։ Երկու հրաձիգներից երկու կրակոցից հետո, որոնց հարվածի հավանականությունը հավասար էր 0,6 և 0,7, թիրախում մեկ անցք է հայտնվել։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին կրակողը խփեց:

Լուծում. Թող A իրադարձությունը լինի մեկ հարված երկու կրակոցով,

և վարկածներ՝ Հ1 – առաջին հարվածը, իսկ երկրորդը բաց թողնված,

H2 – առաջին բաց թողած, իսկ երկրորդ հարվածը,

H3 - երկուսն էլ հարվածել են,

Հ4 – երկուսն էլ բաց են թողել:

Վարկածների հավանականությունները.

р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18,

p(H2) = 0.4·0.7 = 0.28,

р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42,

p(H4) = 0.4 0.3 = 0.12:

Այնուհետև p(A/H1) = p(A/H2) = 1,

p(A/H3) = p(A/H4) = 0:

Հետեւաբար, ընդհանուր հավանականությունը p(A) = 0.18 1 + 0.28 1 + 0.42 0 + 0.12 0 = 0.46:

Ընդհանուր հավանականության բանաձևը թույլ է տալիս հաշվարկել հետաքրքրություն ներկայացնող իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձության պայմանական հավանականությունների միջոցով՝ որոշակի վարկածների ենթադրությամբ, ինչպես նաև այդ վարկածների հավանականությունները:

Սահմանում 3.1. Թող A իրադարձությունը կարող է տեղի ունենալ միայն H1, H2,..., Hn իրադարձություններից մեկի հետ միասին՝ կազմելով անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ: Այնուհետև Н1, Н2,…, Нп իրադարձությունները կոչվում են վարկածներ։

Թեորեմ 3.1. A իրադարձության հավանականությունը H1, H2,..., Hn վարկածների հետ միասին հավասար է.

որտեղ p(Hi)-ը i-րդ վարկածի հավանականությունն է, իսկ p(A/Hi)՝ A իրադարձության հավանականությունը, որը ենթակա է այս վարկածի իրականացմանը: Բանաձևը (P(A)= ) կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձև

Հարց թիվ 39. Բեռնուլիի սխեմա. m հաջողությունների հավանականությունը n փորձությունների շարքում